高中数学选修2-1课时作业22：1.2.1 充分条件与必要条件

1.2.1 充分条件与必要条件
即时达标对点练
题组1 充分、必要条件的判断
1．“数列{a n }为等比数列”是“a n ＝3n (n ∈N *)”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和2x －2ay ＝1平行”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．“sin A ＝12”是“A ＝π
6”的__________条件．
题组2 充要条件的证明
5．函数y ＝(2－a )x (a <2且a ≠1)是增函数的充要条件是 ( ) A ．1< a <2 B ．3
2< a <2
C ．a <1
D ．a <0
6．求证：一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0.
题组3 利用充分、必要条件求参数的范围
7．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．a >0 C ．a <－1 D ．a <1
8．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________．
9．已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x | x 2－5 x －24<0}，若N 是M 的必要条件，求a 的取值范围．
能力提升综合练
1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C ．丙是甲的充要条件
D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 2．设0<x <π
2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1 ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥β
C ．存在两条平行直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α
D ．存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α
4．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．
6．下列命题：
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；
②b2－4ac<0是一元二次不等式a x 2＋b x＋c<0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0 ”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
7．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
8．已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.
——★参考答案★——
即时达标对点练
题组1 充分、必要条件的判断 1．[答案]B
[解析]当a n ＝3n 时，{a n }一定为等比数列，但当{a n }为等比数列时，不一定有a n ＝3n ，故应为必要不充分条件． 2．[答案]A
[解析]由a ＋b ＝0可知a ，b 是相反向量，它们一定平行；但当a ∥b 时，不一定有a ＋b ＝0，故应为充分不必要条件． 3．[答案]C
[解析]当a ＝0时，两直线方程分别为x ＝1和2x ＝1，显然两直线平行；反之，若两直线平行，必有1×(－2a )＝(－2a )×2，解得a ＝0，故应为充要条件． 4．[答案]必要不充分
[解析]由sin A ＝12不一定能推得A ＝π6，例如A ＝5π6等；但由A ＝π6一定可推得sin A ＝1
2，所以
“sin A ＝12”是“A ＝π
6”的必要不充分条件．
题组2 充要条件的证明 5．[答案]C
[解析]由指数函数性质得，当y ＝(2－a )x (a <2且a ≠1)是增函数时，2－a >1，解得a <1.故选C.
6．证明：①充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ， 因为f (－x )＝k (－x )＝－kx ， 即f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．
②必要性：因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )对任意x 均成立， 即k (－x )＋b ＝－kx ＋b ， 所以b ＝0.
综上，一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0. 题组3 利用充分、必要条件求参数的范围 7．[答案]C
[解析]∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．
由于{a |a <－1}
{a |a <0}，故选C.
8．[答案]－2
3
[解析]x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－2
3.
9．解：由(x －a )2<1，得a －1<x <a ＋1， 由x 2－5 x －24<0，得－3<x <8. ∵N 是M 的必要条件， ∴M ⊆N .
故a 的取值范围为[－2，7]．
能力提升综合练
1．[答案]A
[解析]因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙， 如图．
综上，有丙⇒甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 2．[答案]B
[解析]因为0< x <π
2，所以0<sin x <1.由x ·sin x <1知x sin 2x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1
得x sin x <，而>1，因此充分性不成立．
3．[答案]D
[解析]当满足A 、B 、C 三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D 符合． 4．[答案]C
[解析]{ a n }为等比数列，a n ＝a 1·q n －
1，由a 1<a 2<a 3，得a 1<a 1 q <a 1 q 2，即a 1>0，q >1或a 1<0，0< q <1，则数列{ a n }为递增数列．反之也成立． 5．[答案](2，＋∞)
[解析]根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1){ x |( a ＋x )(1＋x )<0}，
故有a >2.
6．[答案]④
[解析]①x >2且y >3时，x ＋y >5成立，反之不一定，如x ＝0，y ＝6.所以“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R 的充要条件是a <0且b 2－4ac <0，故②为假命题；
③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝2
1，∴a ＝2.因此，“a ＝2”是“两直
线平行”的充要条件； ④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0， ∴xy ＝1且x >0，y >0.
所以“lg x ＋lg y ＝0”成立，xy ＝1必然成立，反之不然． 因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 综上可知，真命题是④.
7．解：令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2，则方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根
⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2k －1）2－4k 2≥0，
－2k －12>1，
f （1）>0
⇔k <－2.
因此k <－2是使方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的实数根的充要条件． 8．解：依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a ， 得x －1<－a 或x －1>a ， ∴x <1－a 或x >1＋a .
由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <1
2
或x >1.
要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎪⎨
⎪⎧1－a ≤12，
1＋a >1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a <12，
1＋a ≥1，
解得a ≥1
2.令a ＝1，则p ：x <0或x >2，
此时必有x <1
2或x >1.
即p ⇒q ，反之不成立． ∴最小正整数a ＝1.。