最短路径数学建模案例及详解
数学建模案例分析最短路问题
2020/4/21
数学建模
算法步骤：
（１）赋初值：令 S＝{ u0 }, l(u0 ) =0
? v ? S ? V \ S ,令 l(v) = W(u0 ,v) , z(v) = u0 u ? u0
（2）更新 l(v) 、 z(v) ： ? v ? S ? V \ S ,若l(v) >l(u) ? W(u, v)
（１）顶点与边相互交错且 ? (ei ) ? vi?1vi (i=1,2,…,k)的有限非空序列 w ? (v0e1v1e2 ? vk?1ek vk ) 称为一条从 v0 到 vk 的通路，记为Wv0vk （２）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为 Tv0vk （３）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为 Pv0 vk
2020/4/21
数学建模
最后标记:
l (v) z(v)
l(ui )
u1 u2 u3 u4
u5 u6
u7 u8
0 2 1 7 3 6 9 12
u1 u1
u1 u6 u2
u5 u4
u5
u2
u5
u 1
2020/4/21
u 4
u 6
u 3
u 7
数学建模
u8
返回
每对顶点之间的最短路
（一）算法的基本思想 (二)算法原理
图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1 导出的子图，记为 G[ V1].
(3)设 E1 ? E,且 E1 ? ? ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图,
称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[ E1].
G
2020/4/21
G[{ v1,v4,v5}]
数学建模
终稿-数学建模与数学实验-最短路问题-行遍性问题
M= 1 1 0 1 0 v2
0 0
0 1
1 1
1 0
0 1
v3 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 1
0
若vi
是e
的起点
j
若vi
是e
的终点
j
若vi与e j不关联
返回
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
v1
e1
v2
e4
e5 e2
v4
e3
e6 v3
v5
e7
e8
v7 e9
v6
情形２ G 有２n 个奇次顶点（n ２）
Edmonds 最小对集算法：
基本思想：
先将奇次顶点配对，要求最佳配对，即点对之间距离总和 最小．再沿点对之间的最短路径添加重复边得欧拉图 G*，G*的 欧拉巡回便是原图的最佳巡回．
算法步骤：
C= v1,v2,… ,vi,,vj , vj-1,… , vi+1,vj+1, …,vn,v1 (3)对 C 重复步骤(2)，直到条件不满足为止，最后得到的 C 即 为所求．
例 对以下完备图，用二边逐次修正法求较优H圈．
返回
数学建模与数学实验 最短路问题
实验目的 实验内容
1．了解最短路的算法及其应用 2．会用MATLAB软件求最短路
中．
欧拉图
定义１ 设 G=(V,E)是连通无向图 （１）经过 G 的每边至少一次的闭通路称为巡回． （２）经过 G 的每边正好一次的巡回称为欧拉巡回． （３）存在欧拉巡回的图称为欧拉图． （４）经过 G 的每边正好一次的道路称为欧拉道路．
初中数学建模案例
初中数学建模案例数学建模案例：城市交通拥堵问题的优化摘要：城市交通拥堵是大城市所面临的普遍问题，本案例将通过建立数学模型对城市交通拥堵问题进行优化分析，以求解最佳车辆通行路线，提高交通运行效率。
通过引入实时的交通流数据，通过数学建模和优化算法，对现有的交通流模型进行改进。
1.引言城市交通拥堵严重影响到居民的出行效率和生活质量，同时还造成大量的汽车尾气排放，给环境带来巨大的负面影响。
因此，对城市交通拥堵问题进行优化分析，以提高交通运行效率和减少交通污染，具有重要的现实意义。
2.问题建模2.1基本假设我们对城市交通拥堵问题进行以下基本假设：1)假设城市交通网络是一个有向图，交叉口为节点，道路为边。
2)假设车辆的行驶速度在不同道路上是相同的。
3)假设车辆在交叉口处按照指定的交通规则进行行驶。
4)假设车辆的目的地是已知的。
2.2确定目标我们的目标是通过优化交通流模型，使得车辆在城市交通网络中的行驶时间最短。
2.3建立数学模型我们将采用最短路径算法求解车辆行驶的最佳路径。
首先，我们需要对城市交通网络进行建模。
假设城市交通网络中交叉口数量为N，那么可以用一个N×N的矩阵A来表示交通网络的连通关系，其中A[i][j]表示从节点i到节点j的道路长度。
如果节点i和节点j之间不存在直接的道路连接，则取A[i][j]为无穷大。
然后，我们可以采用Dijkstra算法来求解最短路径。
Dijkstra算法是一种贪心算法，它通过不断更新起点到所有其他节点的最短路径长度，从而找到起点到终点的最短路径。
具体步骤如下：1)初始化起点到所有其他节点的最短路径长度为无穷大。
2)将起点到起点的最短路径长度设为0。
3)将起点标记为已访问。
4)对于起点直接相连的节点，更新起点到这些节点的最短路径长度。
5)选择一个未访问的节点中最短路径长度最小的节点，将其标记为已访问。
6)更新这个节点直接相连的节点的最短路径长度。
7)重复步骤5和步骤6，直到所有节点都被标记为已访问。
初中数学：最短路径求最值12个模型详解
初中数学：最短路径求最值12个模型详解姓名： __________指导: ___________日期： __________初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由給点和路径组成的）中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括：①确定起，点的最短路径问题・即已知起始结点，求嚴短路径的问题.②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求锻短路径的问题.③确定起点终点的最短路径问题・即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.④全局嚴短路径问题・求图中所有的最短路径.【问题原型】''将军饮马”，“造桥选址“，''费马点'、.【涉及知识】“两点之间线段最短“，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”,“平移【岀题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折"转“直“，近两年出现“三折线”转“直"等变式问题考查.【例题及解析】例I 如图1,在直角梯形 A BCD 中，ZABC=90。
，AD〃BC, AD=4, AB=5, BC=6,点P是AB上一个动点.当PC + PD的和最小时，PB的收为( )(A)l (B)2 (C)2.5 (D)3DM D C图1分析此题首先要确定P点的位置，可以延长CB (或DA)的一倍，即CB=BM,再连接MD交AB于点P(大家可以思考一下P点的正确性与合理性一可运用两点之间，线段谥短这一性质〉.我们可以通过△MFBsADPA,从而求出FB的圮故选D.例2如图2, AABC中，AB = AC=I31 BC=10, AD是BC边上的中线，F为AD上的动点，E为AC边上的动点，则CE + EF的最小值为______ •分析显然，本题需要确定两个动点E和F,那么，怎样确定这两个点呢？我们可以过点B 作BE丄AC 交AD于点F,从而确定了E和卜点(大家可以用从直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短来加以说明).此时,CF + EF = BE.用S舛=• BC = -BE•祀■构逍方程■求出BE二罟.即CE七EF的艰小伉为罟.例3如图3,已知平面直角坐标系中，A (2, —3), B(4, —1)・(1) 若点卩仕，0)是x轴上的一个动点，当APAB的周长最短时，求x的值；(2) 若C、D是x轴上的两个动点，且D(a, 0), CD=3,当四边形ABCD的周长最短时, 求a的值；(3) 设M, N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M(m, 0)和N(0, n), 使得四边形ABMN的周长巌短？若存在，求岀n的值.若不徉在，请说明理由.分析与解(1)如图3,找岀A (或B)关于x轴的对称点Ai,连结AiB交x轴于点P・设直线AiB的解析式为y =kix+bi・将A】(2, 3)、B(4, -1)代入，得严:+ 6.仏+ 6, 解之码l k'=-2'16, =7. 故〉=-2x+7,(2)如图4,过A点作x轴的平行线，井戳取AA】=3・画点A,关于x轴的对称点A?,连结・dB交x紬于点C.再在x轴上截取「1) = 3,可得周长最短的四边形ABCD (大家也可以利用两点之间，线段最短，来证明最短周长的正确性).由题厳,町知4,(53).设A2B的直线解析式为y = k込4 by将人(5.3)出(4.・1)代人■得当时“殳八”3诗(3) 如图5t我们可以先分别找岀A、B关于y轴和x轴的对称点片和B b再连结AiB u分别交x袖和y轴于点M与N,此时，四边形ABMN的周长是最短的(同样, 可以用两点之间，线段最短来加以证明).设A I B I的直线解析式为y=bx + bs・将 4,(-2. -3) A(4.1)代入•得= 1 •1 ・ 2k 、+ by = - 3,2 5故 y = y * - y. 当 x = OHhy S -y,当y «0时/ •壬・ 所以・m.n 的值分别为手•■斗例4如图6,四边形ABCD 是正方形，M 是对角线BD 上的任意一点.(1)当点M 在何处时.AM+CM 的值最小？(2)当点M 在何处时，AM + BM + CM 的值最小？并说明理由.分析(1)(如图6,显然，连结AC 与BD 的交点即为M 点(可利用两点之间，线段最短来证明).⑵如图7,以AB 为边在正方形外画等边三角形ABE.连结EC 交BD 于点M ・此时， MA-I MB 4-MC-EC(M 中，A UMN 为等边三焦形，且 VEBN^ACBM,所以 MA I MB-EM). 若在BD 上(除N4点之外)任取一点卜1八过点Mi 作M1N1//MN 交BN 或延长线于点 连结ENi.可利用两点之间线段嚴短，证明MiA + M 】B+MK>EC,从而得岀MA+MB + Mca 短.解之得H s y-。
数学建模最短路径模型
数学建模最短路径模型数学建模是一种将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法加以分析和求解的过程。
在实际生活中，最短路径问题是我们经常遇到的一个问题。
例如，出行时如何选择最优路线、快递如何选择最短路线送达等等。
所以最短路径模型是数学建模中比较基础的问题之一。
最短路径问题是指在一个图中，给定两个节点，求两个节点之间的最短路径。
其中图中的节点可以表示位置，边可以表示路径（即从一个位置到另一个位置的路线）。
解决最短路径问题的方法有很多，这里我们介绍其中的两类：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法是指从一个起点开始不断扩张，直到到达终点的过程。
具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个起点，然后将该点到其它点的路程距离存储到数组D中，若两点之间没有路线，则存储为∞。
（2）定义一个集合S，将起点加入S中。
（3）对于除起点外的其它所有点v，若v与起点有路径，则将D[v]赋值为该路径的距离，否则保持为∞。
（4）进入循环，对于集合V-S中的每个点v，找到距离它最近的点k，即D[k]+weight[k][v]最小，并将其加入S中。
若从起点到k的路径加上k到v的路径距离小于从起点到v的路径距离，则更新D[v]。
（5）重复上述步骤3和4，直到S中含有终点或V-S为空为止。
（6）输出起点到终点的最短路径长度。
弗洛伊德算法是一种动态规划算法，通过对于任意两个节点的距离进行不断松弛来计算最短路径。
具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个二维数组m，其中m[i][j]表示节点i到节点j的最短距离。
初始化m[i][j]为i到j的直接距离，若不存在直接距离则设置为∞。
（2）对于任意k，遍历所有节点i和j，若m[i][j]>m[i][k]+m[k][j]，则更新m[i][j]。
（3）输出起点到终点的最短路径长度。
以上就是解决最短路径模型的两种方法，每种方法都有其适用的场景。
无论是哪种方法，最短路径模型的核心是图的表示方法和路径之间距离的计算方法，通过这个模型可以在实际生活中解决很多常见的问题。
军旅导航——最短路径问题的数学模型
军旅导航——最短路径问题的数学模型引言军队战斗中的导航问题十分重要，其中最短路径问题是一个常见且关键的挑战。
本文将介绍一种基于数学模型的军旅导航最短路径解决方案。
问题描述军队需要从起点A到达目标点B，但是在中间有多个地点需要经过。
军队希望找到一条最短的路径，以最小化时间和资源的消耗。
数学模型我们可以使用图论中的最短路径算法来解决这个问题。
以下是一个简单的数学模型：1. 将地点和道路表示为图中的节点和边。
2. 将起点A和目标点B分别设为图中的起始节点和目标节点。
3. 对于每个节点，计算其与相邻节点之间的距离或代价。
4. 使用最短路径算法（如Dijkstra算法或A*算法）计算从起点到目标点的最短路径。
5. 输出最短路径以及路径上的节点和边的信息。
算法流程以下是一个简单的算法流程：1. 初始化图中的节点和边的信息。
2. 将起点A设为当前节点。
3. 对于每个相邻节点，计算从起点A到该节点的距离或代价。
4. 选择距离或代价最小的节点作为下一个当前节点，并更新当前节点。
5. 重复步骤3和4，直到当前节点为目标节点B。
6. 输出最短路径以及路径上的节点和边的信息。
实例应用假设军队需要从基地出发，穿越多个村庄，最终到达敌方阵地。
每个村庄之间的距离和敌方阵地的位置已知。
我们可以使用上述数学模型来解决这个问题。
结论通过使用数学模型和最短路径算法，我们可以为军队提供一种有效的军旅导航最短路径解决方案。
这将有助于军队在战斗中更快地到达目标地点，以及更有效地利用资源。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题将军饮马优秀教学案例
在本章节的学习过程中，学生将经历以下过程与方法：
1.通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.引导学生从实际问题出发，培养学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3.利用数学软件、教具等辅助工具，培养学生的动手操作能力和实际应用能力。
4.通过对最短路径问题的探讨，引导学生掌握数学建模的方法，提高学生的数学思维能力。
4.教师巡回指导，关注每个小组的学习情况，及时解答学生疑问。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对所学知识进行总结、反思，帮助学生巩固知识点，形成知识体系。
2.鼓励学生自我评价，反思自己在解决问题过程中的优点和不足，培养学生的自我认知能力。
3.组织小组互评，让学生学会欣赏他人的优点，发现自身的不足，促进团队合作。
3.对学生提出的解决方案进行讨论、分析，找出最优解，并解释其原理。
（三）小组合作
小组合作是实现教学目标的重要途径，具体策略如下：
1.将学生分成若干小组，每组4-6人，确保组内成员在知识、能力、性格等方面具有一定的互补性。
2.各小组针对问题进行讨论、研究，共同寻找解决方案。
3.小组间进行交流、分享，互相学习，取长补短。
4.教师对学生在课堂上的表现进行评价，给予肯定和鼓励，指出需要改进的地方。
（五）作业小结
在作业小结环节，我将布置以下任务：
1.请学生运用所学知识，解决一个生活中的最短路径问题，并以作文或报告的形式提交。
2.要求学生在作业中阐述自己的思考过程、解决方案和心得体会，以提高学生的书面表达能力。
3.鼓励学生进行课后拓展，了解其他求解最短路径的方法，如：A*算法、遗传算法等，提升学生的自主学习能力。
3.小组间进行分享、交流，互相借鉴，完善各自的方法和思路。
数学建模简单例题
数学建模简单例题
近年来，数学建模迅速发展，成为数学教育的重要组成部分。
不仅如此，数学建模也在实际应用中扮演着重要角色。
以下是举出的一些简单例题，介绍如何应用数学建模解决实际问题。
例1：汽车路线优化
假设有A、B、C三个城市，从A到B需要经历200公里，从B到C需要经历300公里。
同时，存在有限路段，要求尽可能明确最短路径。
此时，可以建立一个图，将A、B、C三个城市看作三个顶点，再建立若干边，表示每条路径的距离，再使用迪杰斯特拉算法，计算出最短路径。
例2：工厂设备调配
假想一家公司有3台生产设备，每台设备有不同的生产能力和每日最大生产量，要求给出每天各台设备的最优配置，以达到每日最大生产量。
给定三台设备的生产能力和每日最大生产量，建立这个问题的数学模型，可以采用最短路径算法的思想，建立一张图，把每台设备看成一个顶点，再建立若干边，表示每台设备的最大生产能力，最后根据路径的长度，计算出各台设备的最优配置。
以上是两个简单的数学建模例题，为了解决具体实际问题，数学建模不仅仅可以使用上述算法，还可以使用线性规划、最优化、反问题等方法来解决实际问题。
本文就介绍了数学建模的一些基础原理，
并举出了几个例子，希望能对读者有所帮助。
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最短路径数学建模案例及详解
最短路径问题是数学建模中一个经典的问题，它在实际生活中有很多应用，例如网络传输、交通规划、物流配送等等。
下面我们以交通规划为例，来详细解析最短路径问题的数学建模过程。
问题描述：
假设有一座城市，城市中有多个地点（称为节点），这些节点之间有道路相连。
我们希望找到两个节点之间的最短路径，即耗费时间最短的路径。
数学建模：
1. 数据准备：
a. 用图的方式表示这座城市和道路连接关系。
我们可以用一
个有向图来表示，其中各个节点代表不同的地点，边表示道路，边的权重表示通过该道路所需的时间。
b. 节点间道路的时间数据。
这是一个关键的数据，可以通过
实地调研或者其他数据收集手段获取，或者通过模拟生成。
2. 建立数学模型：
a. 定义问题中的主要变量和约束条件。
- 变量：选择经过的边，即路径（也可以看作是边的集合）。
- 约束条件：路径必须是从起始节点到目标节点的有向路径，不允许重复经过节点。
b. 建立目标函数。
我们的目标是最小化路径上的时间，所以
目标函数可以定义为路径上各边的权重之和。
c. 建立约束条件。
- 定义起始节点和目标节点。
- 定义路径必须从起始节点出发，到目标节点结束。
- 定义路径不能重复经过同一节点。
3. 解决模型：
a. 利用最短路径算法求解，比如在有向图中，可以用Dijkstra 算法或者 Bellman-Ford 算法等。
4. 结果分析和验证：
找到了最短路径后，我们可以对结果进行分析，比如查看路径上的具体节点和道路，以及路径的耗时。
我们还可以按照实际情况进行验证，比如通过实地考察或者其他数据对比来验证求解得到的路径是否合理。
总结：
最短路径问题是一个常见的数学建模问题，在实际应用中有着广泛的应用。
通过数学建模，我们可以准确刻画问题，用数学方法求解，得到最优的结果。
在实际解决问题过程中，还需要对结果进行分析和验证，以保证结果的合理性和可行性。