数模案例集
数学建模简介2
罗钟瑞
张驹翔
王俊智
蔡少杰
王鸣涛
林瑶
黄维娜
林亦然
体育类省金奖 拓步体育旅游文化有限责任公司 09电信 09计科 林天飞 何陈文 09旅管 09财管 叶韩英 林丽婷 10电信 陈华津 10食科 林正方 10财管 10财管 许小青 陈巧炜
2013全国大学生创新创业计划训练项目
康跃体育旅游文化研究与企业开发利用 2013福建省大学生创新创业计划训练项目 小区智能监控系统的研制 基于时间序列与灰色拓扑的节假日火灾损失预测及综合治理
五、数学建模的实例
模型建立与求解
w(k) ~ 第k周(末)体重 c(k) ~第k周吸收热量
w(k 1) w(k ) c(k 1) w(k )
=1/8000(kg/kcal)
~ 代谢消耗系数(因人而异)
五、数学建模的实例
1）不运动情况的两阶段减肥计划
• 确定某甲的代谢消耗系数
赖晓燕
10财管 10食科 10农区 09土木
林莉莉 赖燕秋 陈志微 王世宇
11动医
林武涛
漳州市育松绞股蓝茶品加工厂
10国贸 10财管
林少郎 叶成群
10国贸 10财管 10计科 10广告
骆昊远 吴月 林燕凌 李鹏辉 乐圈传媒有限责任公司
09英语
邵瑛
09英语
周海燕
10机械 10财管
10食科 10工程
10食科 10电信 10电信 09土木
卢伟杰
石永杰
戴雪香
张凡凡
郑蓉芳
陈达隆 庄宇斌
刘芳伟
省优胜奖 农保生物农药有限公司 10食科 10电气 10财管 10食科 10土木 10农区 09土木 10国贸
数学建模案例分析线性代数建模案例20例
线性代数建模案例汇编张小向东南大学数学系2012年6月目录案例一. 交通网络流量分析问题 (1)案例二. 配方问题 (4)案例三. 投入产出问题 (6)案例四. 平板的稳态温度分布问题 (8)案例五. CT图像的代数重建问题 (10)案例六. 平衡结构的梁受力计算 (12)案例七. 化学方程式配平问题 (15)案例八. 互付工资问题 (17)案例九. 平衡价格问题 (19)案例十. 电路设计问题 (21)案例十一. 平面图形的几何变换 (23)案例十二. 太空探测器轨道数据问题 (25)案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 (26)案例十四. 显示器色彩制式转换问题 (28)案例十五. 人员流动问题 (30)案例十六. 金融公司支付基金的流动 (32)案例十七. 选举问题 (34)案例十八. 简单的种群增长问题 (35)案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 (37)案例二十. 最值问题 (39)附录数学实验报告模板 (40)这里收集了二十个容易理解的案例. 和各类数学建模竞赛的题目相比, 这些案例确实显得过于简单. 但如果学生能通过这些案例加深对线性代数基本概念、理论和方法的理解, 培养数学建模的意识, 那么我们初步的目的也就达到了.案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。
根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。
图1 某地交通实况图2 某城市单行线示意图【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).图3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值.(4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足500 = x 1 + x 2 ① 400 + x 1 = x 4 + 300 ② x 2 + x 3 = 100 + 200 ③ x 4 = x 3 + 300 ④ 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300x x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩其增广矩阵(A , b ) =1100500100110001103000011300⎛⎫⎪--⎪⎪ ⎪-⎝⎭−−−−→初等行变换10011000101600001130000000--⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭由此可得142434100600300x x x x x x -=-⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩ 即142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩. 为了唯一确定未知流量, 只要增添x 4统计的值即可.当x 4 = 350时, 确定x 1 = 250, x 2 = 250, x 3 = 50.若x 4 = 200, 则x 1 = 100, x 2 = 400, x 3 = 100 < 0. 这表明单行线“③④”应该改为“③④”才合理.【模型分析】(1) 由(A , b )的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.(2) 由142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩可得213141500200100x x x x x x =-+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩, 123242500300600x x x x x x =-+⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩, 132343200300300x x x x x x =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 这就是说x 1, x 2, x 3, x 4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 16-17.Matlab 实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组. (2)分析哪些流量数据是多余的.(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模.图5 日常膳食搭配图6 几种常见的作料【模型准备】一种佐料由四种原料A、B、C、D混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】(1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A、B、C、D四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A、B、C、D四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克).【模型建立】根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x袋第一种规格的佐料与y袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A、B、C、D四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组24,327,3,2 5.x yx yx yx y+=⎧⎪+=⎨+=⎪+=⎩【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵(A, b) =214327113125⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭−−−−→初等行变换101012000000⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭,可见{1,2.x y==又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成.【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T, α2 = (1, 2, 1, 1)T, β = (4, 7, 5, 3)T, 则原问题等价于“线性方程组Ax = b是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”.(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x克第一种规格的佐料与y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表因而有如下线性方程组214(),7619327(),7619113(),7619125().7619x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎨⎪+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎩ (*) 【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.Matlab 实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?案例三. 投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief提出了投入产出模型. 这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief因此获得了1973年的Nobel经济学奖.图7 三个经济部门这里暂时只讨论一个简单的情形.【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求?【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x元, y元, z元刚好满足需求. 则有下表根据需求, 应该有(0.60.5)60000(0.30.10.1)100000(0.20.1)0x y zy x y zz x y-+=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩,即0.60.5600000.30.90.11000000.20.10x y zx y zx y z--=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1]; b = [60000;100000;0];>> x = A\bMatlab执行后得x =1.0e+005 *1.99661.84150.5835可见煤矿要生产1.9966⨯105元的煤, 电厂要生产1.8415⨯105元的电恰好满足需求.【模型分析】令x =xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭, A =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭, b =60000100000⎛⎫⎪⎪⎝⎭, 其中x称为总产值列向量, A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则Ax =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭=0.60.50.30.10.10.20.1y zx y zx y+⎛⎫⎪++⎪+⎝⎭根据需求, 应该有x Ax = b, 即(E A)x = b. 故x = (E A )1b.Matlab实验题某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?案例四. 平板的稳态温度分布问题在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度.图8 一块平板的温度分布图【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C), 求中间4个点处的温度T 1, T 2, T 3, T 4.图9 一块平板的温度分布图【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值.【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组1232143144231(90100)41(8060)41(8060)41(5050)4T T T T T T T T T T T T ⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪=+++⎪⎪=+++⎪⎩ 【模型求解】将上述线性方程组整理得1231241342344190414041404100T T T T T T T T T T T T --=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-=⎪--+=⎪⎩. 在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得ans =82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可见T 1 = 82.9167, T 2 = 70.8333, T 3 = 70.8333, T 4 = 60.4167.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 15-16.Matlab 实验题假定下图中的平板代表一条金属梁的截面, 并忽略垂直于该截面方向上的热传导. 已知平板内部有30个节点, 每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍, 例如学号为16308209的同学计算本题时, 选择T l = 40, T u = 10, T r = 0, T d = 45.图10 一块平板的温度分布图(1) 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组.(2) 用Matlab 软件求解该线性方程组.(3) 用Matlab 中的函数mesh 绘制三维平板温度分布图.案例五. CT 图像的代数重建问题X 射线透视可以得到3维对象在2维平面上的投影, CT 则通过不同角度的X射线得到3维对象的多个2维投影, 并以此重建对象内部的3维图像. 代数重建方法就是从这些2维投影出发, 通过求解超定线性方程组, 获得对象内部3维图像的方法.图11双层螺旋CT 图12 CT 图像 这里我们考虑一个更简单的模型, 从2维图像的1维投影重建原先的2维图像.一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖, 每个网格对应一个像素, 它是该网格上各点像素的均值. 这样一个图像就可以用一个矩阵表示,其元素就是图像在一点的灰度值(黑白图像). 下面我们以33图像为例来说明.表4 消耗与产出情况33图像水平方向上 的叠加值x 1 + x 2 + x 3 = 1x 4 + x 5 + x 6 = 1x 7 + x 8 + x 9 = 1.5的叠加值x 1 + x 4 + x 7 = 1.5 x 2 + x 5 + x 8 = 0.5 x 3 + x 6 + x 9 = 1.5 每个网格中的数字x i 代表其灰度值, 范围在[0, 1]内. 0表示白色, 1表示黑色, 0.5表示灰色. 如果我们不知道网格中的数值, 只知道沿竖直方向和水平方向的叠加值, 为了确定网格中的灰度值, 可以建立线性方程组(含有6个方程, 9个未知数)123456369111x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪++=⎪⎩ 显然该方程组的解是不唯一的, 为了重建图像, 必须增加叠加值. 如我们增加从右上方到左下方的叠加值, 则方程组将增加5个方程x 1 = 1,x 2 + x 4 = 0,x 3 + x 5 + x 7 = 1,x 6 + x 8 = 0.5,x 9 = 1,和上面的6个方程放在一起构成一个含有11个方程, 9个未知数的线性方程组.【模型准备】设33图像中第一行3个点的灰度值依次为x 1, x 2, x 3, 第二行3个点的灰度值依次为x 4, x 5, x 6, 第三行3个点的灰度值依次为x 7, x 8, x 9. 沿竖直方向的叠加值依次为1.5, 0.5, 1.5, 沿水平方向的叠加值依次为1, 1, 1.5, 沿右上方到左下方的叠加值依次为1, 0, 1, 0.5, 1. 确定x 1, x 2, …, x 9的值.【模型建立】由已知条件可得(含有11个方程, 9个未知数的)线性方程组1234569111x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1;1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,1,0,1,0,0;0,0,0,0,0,1,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1];>> b = [1;1;1.5;1.5;0.5;1.5;1;0;1;0.5;1];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得Warning: Rank deficient, rank = 8 tol = 4.2305e-015.ans =1.0000 0.0000 0 -0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.0000 1.0000可见上述方程组的解不唯一. 其中的一个特解为x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0.5, x 6 = 0.5, x 7 = 0.5, x 8 = 0, x 9 = 1.【模型分析】上述结果表明, 仅有三个方向上的叠加值还不够.可以再增加从左上方到右下方的叠加值. 在实际情况下, 由于测量误差, 上述线性方程组可能是超定的.这时可以将超定方程组的近似解作为重建的图像数据.Matlab 实验题给定一个33图像的2个方向上的灰度叠加值: 沿左上方到右下方的灰度叠加值依次为0.8, 1.2, 1.7, 0.2, 0.3; 沿右上方到左下方的灰度叠加值依次为0.6, 0.2,1.6, 1.2, 0.6.(1) 建立可以确定网格数据的线性方程组, 并用Matlab 求解.(2) 将网格数据乘以256, 再取整, 用Matlab 绘制该灰度图像.案例六. 平衡结构的梁受力计算在桥梁、房顶、铁塔等建筑结构中, 涉及到各种各样的梁. 对这些梁进行受力分析是设计师、工程师经常做的事情.图13埃菲尔铁塔全景图14 埃菲尔铁塔局部下面以双杆系统的受力分析为例, 说明如何研究梁上各铰接点处的受力情况. 【模型准备】在图15所示的双杆系统中, 已知杆1重G1 = 200牛顿, 长L1 = 2米, 与水平方向的夹角为1 = /6, 杆2重G2 = 100牛顿, 长L2= 米, 与水平方向的夹角为2 = /4. 三个铰接点A, B, C所在平面垂直于水平面. 求杆1, 杆2在铰接点处所受到的力.图15双杆系统【模型假设】假设两杆都是均匀的. 在铰接点处的受力情况如图16所示.【模型建立】对于杆1:水平方向受到的合力为零, 故N1 = N3,竖直方向受到的合力为零, 故N2 + N4 = G1,以点A为支点的合力矩为零, 故(L1sin1)N3 + (L1cos1)N4 = (12L1cos1)G1.图16 两杆受力情况对于杆2类似地有N5N6/6/4N 5 = N 7, N 6 = N 8 + G 2, (L 2sin 2)N 7 = (L 2cos 2)N 8 + (12L 2cos 2)G 2. 此外还有N 3 = N 7, N 4 = N 8. 于是将上述8个等式联立起来得到关于N 1, N 2, …, N 8的线性方程组:132414800N N N N G N N -=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> G1=200; L1=2; theta1=pi/6; G2=100; L2=sqrt(2); theta2=pi/4;>> A = [1,0,-1,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0;0,0,L1*sin(theta1),L1*cos(theta1),0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,-1,0;0,0,0,0,0,1,0,-1;0,0,0,0,0,0,L2*sin(theta2),-L2*cos(theta2);0,0,1,0,0,0,-1,0;0,0,0,1,0,0,0,-1];>> b = [0;G1;0.5*L1*cos(theta1)*G1;0;G2;0.5*L2*cos(theta2)*G2;0;0];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得ans =95.0962 154.9038 95.0962 45.0962 95.0962 145.0962 95.0962 45.0962【模型分析】最后的结果没有出现负值, 说明图16中假设的各个力的方向与事实一致. 如果结果中出现负值, 则说明该力的方向与假设的方向相反.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 157-158.Matlab 实验题有一个平面结构如下所示, 有13条梁(图中标号的线段)和8个铰接点(图中标号的圈)联结在一起. 其中1号铰接点完全固定, 8号铰接点竖直方向固定, 并在2号, 5号和6号铰接点上, 分别有图示的10吨, 15吨和20吨的负载. 在静平衡的条件下,任何一个铰接点上水平和竖直方向受力都是平衡的. 已知每条斜梁的角度都是45º.(1) 列出由各铰接点处受力平衡方程构成的线性方程组.(2) 用Matlab 软件求解该线性方程组, 确定每条梁受力情况.图17 一个平面结构的梁案例七. 化学方程式配平问题在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应. 这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据. 在定性地检测出反应物和生成物之后,可以通过求解线性方程组配平化学方程式.图18 污水处理 【模型准备】某厂废水中含KCN, 其浓度为650mg/L. 现用氯氧化法处理, 发生如下反应:KCN + 2KOH + Cl 2 = KOCN + 2KCl + H 2O.投入过量液氯, 可将氰酸盐进一步氧化为氮气. 请配平下列化学方程式:KOCN + KOH + Cl 2 === CO 2 + N 2 + KCl + H 2O.(注: 题目摘自福建省厦门外国语学校2008-2009学年高三第三次月考化学试卷)【模型建立】设x 1KOCN ＋ x 2KOH ＋ x 3Cl 2 === x 4CO 2 ＋ x 5N 2 ＋ x 6KCl ＋ x 7H 2O,则1261247141527362222x x x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=+⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩, 即1261247141527360200202020x x x x x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+--=⎪⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎪-=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0;1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得ans =1 2 3/2 1 1/2 3 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T .取k = 2得x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T . 可见配平后的化学方程式如下2KOCN + 4KOH + 3Cl 2 === 2CO 2 + N 2 + 6KCl + 2H 2O.【模型分析】利用线性方程组配平化学方程式是一种待定系数法. 关键是根据化学方程式两边所涉及到的各种元素的量相等的原则列出方程. 所得到的齐次线性方程组Ax = 中所含方程的个数等于化学方程式中元素的种数s, 未知数的个数就是化学方程式中的项数n.当r(A) = n1时, Ax = 的基础解系中含有1个(线性无关的)解向量. 这时在通解中取常数k为各分量分母的最小公倍数即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍数为2, 故取k = 2.当r(A) n2时, Ax = 的基础解系中含有2个以上的线性无关的解向量. 这时可以根据化学方程式中元素的化合价的上升与下降的情况, 在原线性方程组中添加新的方程.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 84-85.Matlab实验题配平下列反应式(1) FeS + KMnO4 + H2SO4——K2SO4 + MnSO4 + Fe2(SO4)3 + H2O + S↓(2) Al2(SO4)3 + Na2CO3 + H2O ——Al(OH)3↓+ CO2↑+ Na2SO4案例八. 互付工资问题互付工资问题是多方合作相互提供劳动过程中产生的. 比如农忙季节, 多户农民组成互助组, 共同完成各户的耕、种、收等农活. 又如木工, 电工, 油漆工等组成互助组, 共同完成各家的装潢工作. 由于不同工种的劳动量有所不同, 为了均衡各方的利益, 就要计算互付工资的标准.图19 农忙互助 图20 装修互助 【模型准备】现有一个木工, 电工, 油漆工. 相互装修他们的房子, 他们有如下协议:(1) 每人工作10天(包括在自己家的日子),(2) 每人的日工资一般的市价在60~80元之间,(3) 日工资数应使每人的总收入和总支出相等.求每人的日工资. 【模型假设】假设每人每天工作时间长度相同. 无论谁在谁家干活都按正常情况工作, 既不偷懒, 也不加班.【模型建立】设木工, 电工, 油漆工的日工资分别为x , y , z 元, 则由下表可得 2610451044310x y z x x y z y x y z z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [-8,1,6;4,-5,1;4,4,-7];>> x = null(A,’r ’); format rat, x ’Matlab 执行后得ans =31/36 8/9 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (31/36, 8/9, 1)T . 因而根据“每人的日工资一般的市价在60~80元之间”可知 60 3631k <98k < k 80, 即 312160 k 80. 也就是说, 木工, 电工, 油漆工的日工资分别为3631k 元, 98k 元, k 元, 其中312160 k 80. 为了简便起见, 可取k = 72, 于是木工, 电工, 油漆工的日工资分别为62元, 64元, 72元.【模型分析】事实上各人都不必付自己工资, 这时各家应付工资和各人应得收入如下由此可得6845447y z x x z y x y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩可见这样得到的方程组与前面得到的方程组是一样的. Matlab 实验题甲, 乙, 丙三个农民组成互助组, 每人工作6天(包括为自己家干活的天数), 刚好完成他们三人家的农活, 其中甲在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 2, 2.5, 1.5; 乙在甲, 乙, 丙三家各干2天活, 丙在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 1.5, 2, 2.5. 根据三人干活的种类, 速度和时间, 他们确定三人不必相互支付工资刚好公平. 随后三人又合作到邻村帮忙干了2天(各人干活的种类和强度不变), 共获得工资500元.问他们应该怎样分配这500元工资才合理?案例九. 平衡价格问题为了协调多个相互依存的行业的平衡发展, 有关部门需要根据每个行业的产出在各个行业中的分配情况确定每个行业产品的指导价格, 使得每个行业的投入与产出都大致相等.图21 三个行业 【模型准备】假设一个经济系统由煤炭、电力、钢铁行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:等的平衡价格.【模型假设】假设不考虑这个系统与外界的联系.【模型建立】把煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别用x 1, x 2, x 3表示, 则123212331230.40.60.60.10.20.40.50.2x x x x x x x x x x x =+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩, 即1231231230.40.600.60.90.200.40.50.80x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩.【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8];>> x = null(A,’r ’); format short, x ’Matlab 执行后得ans =0.9394 0.8485 1.0000可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (0.9394, 0.8485, 1)T .这就是说, 如果煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别0.9394亿元, 0.8485亿元, 1亿元, 那么每个行业的投入与产出都相等.【模型分析】实际上, 一个比较完整的经济系统不可能只涉及三个行业, 因此需要统计更多的行业间的分配数据.Matlab实验题假设一个经济系统由煤炭、石油、电力、钢铁、机械制造、运输行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:等的平衡价格.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 49-50.案例十. 电路设计问题电路是电子元件的神经系统. 参数的计算是电路设计的重要环节. 其依据来自两个方面: 一是客观需要, 二是物理学定律.图22 USB 扩展板 【模型准备】假设图23中的方框代表某类具有输入和输出终端的电路. 用11v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭记录输入电压和输入电流(电压v 以伏特为单位, 电流i 以安培为单位), 用22v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭记录输出电压和输入电流. 若22v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭= A 11v i ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则称矩阵A 为转移矩阵.图23 具有输入和输出终端的电子电路图 图24给出了一个梯形网络, 左边的电路称为串联电路, 电阻为R 1(单位: 欧姆). 右边的电路是并联电路, 电路R 2. 利用欧姆定理和楚列斯基定律, 我们可以得到串联电路和并联电路的转移矩阵分别是1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭和2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭串联电路 并联电路图24 梯形网络设计一个梯形网络, 其转移矩阵是180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.v 2【模型假设】假设导线的电阻为零.【模型建立】设A 1和A 2分别是串联电路和并联电路的转移矩阵, 则输入向量x 先变换成A 1x , 再变换到A 2(A 1x ). 其中A 2A 1 =2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭=121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭就是图22中梯形网络的转移矩阵.于是, 原问题转化为求R 1, R 2的值使得121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【模型求解】由121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭可得121281/0.51/5R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据其中的前两个方程可得R 1 = 8, R 2 = 2. 把R 1 = 8, R 2 = 2代入上面的第三个方程确实能使等式成立. 这就是说在图22中梯形网络中取R 1 = 8, R 2 = 2即为所求.【模型分析】若要求的转移矩阵改为180.54-⎛⎫ ⎪-⎝⎭, 则上面的梯形网络无法实现. 因为这时对应的方程组是121281/0.51/4R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据前两个方程依然得到R 1 = 8, R 2 = 2,但把R 1 = 8, R 2 = 2代入上第三个方程却不能使等式成立.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 129-130.练习题根据基尔霍夫回路电路定律(各节点处流入和流出的电流强度的代数和为零, 各回路中各支路的电压降之和为零), 列出下图所示电路中电流i 1, i 2, i 3所满足的线性方程组, 并用矩阵形式表示:图25 简单的回路E 12案例十一. 平面图形的几何变换随着计算机科学技术的发展, 计算机图形学的应用领域越来越广, 如仿真设计、效果图制作、动画片制作、电子游戏开发等.图26 计算机图形学的广泛应用图形的几何变换, 包括图形的平移、旋转、放缩等, 是计算机图形学中经常遇到的问题. 这里暂时只讨论平面图形的几何变换.【模型准备】平面图形的旋转和放缩都很容易用矩阵乘法实现, 但是图形的平移并不是线性运算, 不能直接用矩阵乘法表示. 现在要求用一种方法使平移、旋转、放缩能统一用矩阵乘法来实现.【模型假设】设平移变换为(x, y ) (x+a, y+b)旋转变换(绕原点逆时针旋转θ角度)为(x, y ) (x cosθy sinθ, x sinθ + y cosθ)放缩变换(沿x轴方向放大s倍, 沿y轴方向放大t倍)为(x, y ) (sx, ty)【模型求解】R2中的每个点(x, y)可以对应于R3中的(x, y, 1). 它在xOy平面上方1单位的平面上. 我们称(x, y, 1)是(x, y)的齐次坐标. 在齐次坐标下, 平移变换(x, y ) (x+a, y+b)可以用齐次坐标写成(x, y , 1) (x+a, y+b, 1).于是可以用矩阵乘积1001001ab⎛⎫⎪⎪⎝⎭1xy⎛⎫⎪⎪⎝⎭=1x ay b+⎛⎫⎪+⎪⎝⎭实现.旋转变换(x, y ) (x cosθy sinθ, x sinθ + y cosθ) 可以用齐次坐标写成(x, y , 1) (x cosθy sinθ, x sinθ + y cosθ, 1).于是可以用矩阵乘积cos sin0sin cos0001θθθθ-⎛⎫⎪⎪⎝⎭1xy⎛⎫⎪⎪⎝⎭=cos sinsin cos1x yx yθθθθ-⎛⎫⎪+⎪⎝⎭实现.放缩变换(x, y ) (sx, ty) 可以用齐次坐标写成(x, y , 1) (sx, ty, 1).于是可以用矩阵乘积0000001s t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1sx ty ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭实现. 【模型分析】由上述求解可以看出, R 2中的任何线性变换都可以用分块矩阵1⎛⎫ ⎪⎝⎭A O O 乘以齐次坐标实现, 其中A 是2阶方阵. 这样, 只要把平面图形上点的齐次坐标写成列向量, 平面图形的每一次几何变换, 都可通过左乘一个3阶变换矩阵来实现.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 139-141.Matlab 实验题在Matlab 命令窗口输入以下命令>>clear all , clc,>>t = [1,3,5,11,13,15]*pi/8;>>x = sin(t); y=cos(t);>>fill(x,y,'r');>>grid on ;>>axis([-2.4, 2.4, -2, 2])运行后得图25.图26 Matlab 绘制的图形(1) 写出该图形每个顶点的齐次坐标; (2) 编写Matlab 程序, 先将上面图形放大0.9倍; 再逆时针旋转3π; 最后进行横坐标加0.8, 纵坐标减1的图形平移. 分别绘制上述变换后的图形.案例十二. 太空探测器轨道数据问题太空航天探测器发射以后, 可能需要调整以使探测器处在精确计算的轨道里. 雷达监测到一组列向量x 1, …, x k , 它们给出了不同时刻探测器的实际位置与预定轨道之间的偏差的信息.图28 火星探测器 【模型准备】令X k = [x 1, …, x k ]. 在雷达进行数据分析时需要计算出矩阵G k = X k X k T . 一旦接收到数据向量x k +1, 必须计算出新矩阵G k +1. 因为数据向量到达的速度非常快, 随着k 的增加, 直接计算的负担会越来越重. 现需要给出一个算法, 使得计算G k 的负担不会因为k 的增加而加重.【模型求解】因为G k = X k X k T = [x 1, …, x k ]T 1T k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x =T 1k i i i =∑x x ,G k +1 = X k +1T 1k +X = [X k , x k +1]T T 1k k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦X x = X k X k T + x k +1T 1k +x = G k + x k +1T 1k +x ,所以一旦接收到数据向量x k +1, 只要计算x k +1T 1k +x , 然后把它与上一步计算得到的G k相加即可. 这样计算G k 的负担不会因为k 的增加而加重.【模型分析】计算机计算加法的时间与计算乘法的时间相比可以忽略不计. 因此在考虑计算矩阵乘积的负担时, 只要考察乘法的次数就可以了. 设x k 的维数是n , 则X k = [x 1, …, x k ]是n k 的矩阵, G k = X k X k T 是n n 的矩阵. 直接计算G k = X k X k T 需要做n 2k 次乘法. 因而计算的负担会随着k 的增加而增加. 但是对于每一个k , 计算x k T k x 始终只要做n 2次乘法.Matlab 实验题用Matlab 编写一个程序用于处理这个问题.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 123.。
数字模拟混合电路设计
江苏经贸职业技术学院毕业设计（论文）题目：数字和模拟混合系统的设计201 5 年05 月10 日数字和模拟混合系统的设计摘要本文通过讨论数模混合电路系统的设计。
了解数模混合系统电路的现状，了解数模混合电路在实际应用中有哪些难点，知道模混合系统电路的缺陷，通过成功案例的分析，找到解决模混合系统电路的缺陷，使数模混合电路更加完善。
文章首先了解数模混合电路系统设计的特点，通过软件的分析，对数模混合电路的发展状况进行了解，对数模混合电路的干扰进行分析，如何解决这些问题进行探讨，以及遗留的问题进行分析，对数模混合电路的一些关键问题进行阐述。
以及数模混合电路的集成电路进行的数字、模拟模块的划分。
以便了解更多的关于数模混合电路的知识。
关键词现状难点缺陷解决方法The desig n of digital and an alog mixed systemAbstract This paper discusses the design of mixed circuit system. The status quo of mixed circuit knowledge, understand the mixed circuit and what are the difficulties in the practical applicati on, know the defect mode of hybrid system circuit, through the an alysis of successful cases, find a solution to the defect mode mixing circuit, the mixed circuit more perfect.Firstly, understand the characteristics of digital analog hybrid circuit design system, through the software analysis, to understand the development of mixed circuit, analyze the interferenee in mixed sig nal circuits, discusses how to solve these problems, and the rema ining problems are analyzed, some key problems of mixed circuit were described. Division and analog IC circuit, the digital simulation module. In order to understand more about the mixed circuit knowledge.Keywords Prese nt situatio nThe difficultyDefectSolutio n引言 (5)第一章数模混合电路的现状分析 (6)1.1 数模混合电路的现状 (6)1.2 数模混合电路问题的产生 (6)1.3 数模混合电路的现有解决方案 (6)第二章数模混合电路案例 (7)2.1 模拟电路部分. (7)2.2 数字电路部分. (7)2.3 数模混合时钟电路 (7)2.3.1 模拟电路原理图 (8)2.3.2 模拟电路仿真图 (8)2.3.3 数模混合时钟电路显示仿真图 (9)第三章数模混合电路的问题与分析 (10)3.1 数模混合电路的解决分割问题方案 (10)3.1.1 按电路功能分割接地面 (10)3.1.2 采用局部接地 (11)3.1.3 采用“统一地平面” (12)3.1.4 数字和模拟电源做为电源面分割 (13)3.2 数模混合电路缺陷解决方案不足 (13)3.3 解决方案实施重点 (13)3.4 数模混合电路未来的发展 (13)第四章数模混合电路噪音解决方案的的总结 (14)参考文献 (15)由于数字技术的飞速发展，数模混合系统在社会中得到广泛运用，特别在计算机技术等电子产品中的高速发展中普及，在现在通信、控制及检测领域中，信号的处理都是运用了模数混合技术。
数模混合信号电路设计
设计前的准备
根据需求分析，设计模拟电路部分，包括放大器、滤波器、比较器等。
模拟电路设计
设计数字电路部分，如逻辑门、触发器、寄存器等。
数字电路设计
设计模拟和数字电路之间的接口，确保信号的正确传输。
接口设计
电路设计
功能仿真
验证电路的功能是否符合设计要求。
优化调整
根据仿真结果，对电路参数进行优化调整，提高性能和降低成本。
元器件选择
布局设计
合理安排模拟和数字部分的布局，避免信号之间的相互干扰。
布线设计
采用合适的线宽和间距，确保信号传输的稳定性和可靠性。
电源设计
优化电源网络设计，减小电源噪声对电路性能的影响。
PCB设计
根据设计需求选择合适的电路板制作工艺，如PCB、FPC等。
制作工艺
搭建符合测试要求的测试环境，包括电源、信号源、测量仪器等。
模拟信号放大电路设计概述
模拟信号放大电路设计主要目的是将微弱的模拟信号放大到足够大的幅度，以便于后续的处理或传输。
模拟信号放大电路设计流程
模拟信号放大电路设计流程包括确定放大倍数、选择合适的放大器件、设计合适的反馈电路等步骤。
模拟信号放大电路应用
模拟信号放大电路广泛应用于音频放大、传感器信号放大、电子测量等领域，对于提高信号的信噪比和传输质量具有重要作用。
集成度高
由于同时涉及数字和模拟电路，数模混合信号电路设计较为复杂，需要考虑数字和模拟电路之间的相互影响和干扰。
设计复杂
数模混合信号电路的特点
03
设计流程和方法
明确电路的功能需求，包括模拟和数字部分的需求，以及性能指标要求。
需求分析
了解相关技术和发展趋势，选择合适的技术和工艺。
PDQ产品数据质量管理解决方案
TWO 某主机厂CAE网格划分案例
➢ Creo数据在用Creo的CAE分析时发生网格划分失败。该案例不存在数据格式交换问题
➢ 经查是由于原始模型中存在狭长面和尖面连接的质量 问题，经修复后就可以自动划分网格了。
TWO 数模封装及内外流体域提取
源数据
戴姆勒、日产、本田及其他大公司正利用 ASFALIS来构建数据转换平台，经测3D 数
据的转换达到了99.9%的成功率。
其他转换方式
转换错误!
ASFALIS转换及修复的结果
TWO 产品数据质量影响虚拟装配
➢ 在进行装配时无法捕获中心线，圆弧线/面变成碎线 来自于供应商的零件由于经过格式转换或去参处理，造成无法捕获旋转类零件的中心线，从而无 法以中心轴线为基准进行精准装配。粗略装配会影响干涉间隙检查的结果。同时破碎的圆弧线/面 会影响尺寸的标注和测量。
CAD数据 CATIA V5
NX I-DEAS
Creo Inventor
MDT SOLIDWORKS Parasolid CADmeister
JT IGES STEP
数据转换
ENF
PDM
（未来规划）
PDM集成
CAD插件
数据转换
XCR
Result
Creo Parametric
NX
(计划开发)
SOLIDWORKS
➢ 非实体数模 由于没有产品实体信息（在CAD中为实体），但无法自动提取产品及装配的体积、质量、质心及转 动惯量、惯性积等信息，影响产品整体的虚拟装配校核及自动干涉间隙检查。
TWO 产品数据质量影响CAE分析前处理
➢ 产品数据质量不佳影响CAE网格自动生成效率和网格质量 产品数据质量不佳造成网格生成速度及CAE分析计算速度及结果的准确性。同时CAE工程师要花费 60%的时间用在网格前处理修复上。从而造成产品CAE分析的瓶颈。
数学建模(数学分支)
建模背景
数学技术
建模应用
近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来 越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领 域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。
数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质 属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展 提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现 实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提 炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。
应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立数学模 型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和 研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的 理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础、敏锐的洞察力和想象力、对实际问题的浓厚兴趣 和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术 转化的主要途径。数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代 科技工作者必备的重要能力之一。
为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内 外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等 院校的教学改革和培养高层次的科技人才的一个重要方面，许多院校正在将数学建模与教学改革相结合，努力探 索更有效的数学建模教学法和培养面向21世纪的人才的新思路，与我国高校的其它数学类课程相比，数学建模具 有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点，数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、 不断完善和提高的过程。为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式，数学 建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。
数模“四维联动”模式
四维之二： 四维之二：教学设置
竞赛与训练体系: 竞赛与训练体系: 系列课程--校赛---校赛--多阶段训 系列课程--校赛--多阶段训 练--全国赛--训练--美国赛 --全国赛--训练--美国赛 全国赛--训练--
2012-3-7
HDU，G.T.Chen
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二、实践与建设成果(2) 实践与建设成果(2)
竞赛成绩优异
2004年以来国家奖 2004年以来国家奖 04年一等奖 年一等奖1 二等奖3 04年一等奖1项，二等奖3项； 05年一等奖4项，二等奖1项； 05年一等奖4 二等奖1 年一等奖 06年一等奖 年一等奖1 二等奖9 06年一等奖1项，二等奖9项； 07年一等奖 年一等奖2 二等奖5 07年一等奖2项，二等奖5项； 08年一等奖 年一等奖3 二等奖7 08年一等奖3项，二等奖7项； 五年共计全国一等奖11 11项 二等奖25 25项 五年共计全国一等奖11项，二等奖25项 2006年以来美国奖：一等奖8 2006年以来美国奖：一等奖8项，二等奖14项 年以来美国奖 二等奖14项 14
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四维之四： 四维之四：内容建设
训练和拓展内容： 训练和拓展内容： 1，收集整理形成优秀案例集和 ， 论文集， 用于学生阅读讨论。 论文集， 用于学生阅读讨论。 2，整理编写若干问题，用于课 ，整理编写若干问题， 程设计和竞赛实训。 程设计和竞赛实训。
实训问题来源: 国内外已有数学建模辅助材料中筛选； 国内外科技杂志搜集改造整理建模案例； 教师结合自己的教学与科研课题整理出训练案例。
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数学科学学院创新创业课程《数学建模》课程建设方案
数学科学学院创新创业课程《数学建模》课程建设方案一、 创新创业课程建设目标高等教育的目的是为国家培养出具有良好的思想道德素质、扎实的基础理论知识和较强解决实际问题能力的科技人才。
创新创业课程建设的目的是使学生在大学阶段就感受到前沿科学研究的氛围，提高“创新、创智、创业”三创能力。
一般来讲，用人单位满意的人才一般具备三个基本素质：一是能干事，具有较强的实践能力，能够创造性的解决问题；二是能来事，具有一定的创新或创造能力，能提出问题并能解决难题；三是能处事，具有较强的合作能力和坚强的意志力。
显而易见，培养善于发现问题、提出问题并能解决问题的具有科学研究素养的人才是高等院校工作的重点。
《数学建模》课程正是将数学基本理论运用到实际生活中的重要基础课程，是现在众多高校重点建设的一门数学应用课程。
天津工业大学始终坚持中国特色社会主义办学方向，落实立德树人根本任务，坚持以德为先，能力为重，全面发展和个性发展相结合的原则，着力培养胸怀经纬、求真务实，品高学优、工勤业精，具有创新精神的应用型高级专门人才，努力追求本科教学质量国内同类院校一流水平。
我校世界一流现代纺织学科群和新工科的建设无不呈现出对信息化、模型化、数据化的新一轮科技变革的急迫需要。
设置数学建模课程对纺织学科的建设与发展具有重要的支撑作用。
数学建模是数学与应用数学、信息与计算科学、应用统计学、金融学等专业的专业必修方向课，也是电子与信息工程学院、电气工程与自动化学院、机械工程学院、经济与管理学院、材料科学与工程学院、纺织科学与工程学院、化学与化工学院、环境科学与工程学院、物理科学与技术学院所属的近40 个专业的专业选修课。
数学建模是将生活中的实际问题转化成数学问题，并运用数学软件加以计算用以解决实际问题的一门课程。
它不同于传统的数学课，是联系数学和实际应用问题的桥梁。
本课程系统地介绍数学建模和建模过程中的一些常用方法，通过课堂教学和讨论，使学生了解数学建模的特性，使学生在应用数学知识解决实际问题的能力有所提高，从而具备一定的优化与控制、预测预报、关联分析、分类与判别、综合评价的能力以及运用MATLAB 和Lingo 编程计算的能力。
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案例一: 买房问题— Buying a House背景资料：张丽和王跃夫妻俩工作时间不太长，在这座繁华的大都市里，他们还没拥有属于自己的房子。
近年城市中心的房地产价格上涨迅猛，所以他们改变了最初买新房子的计划，而准备买一所合适的二手房。
经过一段时间多方寻找，终于在城南了解到一处房产。
今天是星期六，他俩早早地如约去看了房子和环境。
房产中介人小李告诉他们，房屋标价是￥400,000，而有超过10个买主都有购买的意向。
如果他俩看好此房，应该在近一两天拍板，因为据他了解的情况，另外有一个买主可能今天下午会提出其买价。
所以小李给他俩建议，如有意买此房，则他们所提出的买价应该要很接近￥400,000。
中介人小李还告诉他们，根据他的中介交易经验，如果有另外的买主的报价也接近这个标价时，在有这种竞争报价时，一般情况下房主会通知中介人，要求买主在第二天提出他们的最终报价。
小张和小王为了作出这次重大的决策，他俩又再次详细考察了该房的所有情况。
小王决定采用决策树的方法来分析他的这次重大决策。
夫妻俩都认为￥400000的价格是比较公平合理的，同时，如果他们能最终买得此房的话，他们还为此房添加了￥10000的“情感价值”，也就是说，在他们夫妻俩的心中，该房值￥410000。
这样，假如最终他们能以￥390000成功地买到此房就相当于他们额外赚了￥20000。
当然，假如最终他们没能买到此房，那么这额外的附加值就为￥0。
最后，小王经过分析认为，他们是此房的唯一报价人的可能性很小，其概率估计只有0.3。
反复考虑之后，小王决定今天下午就给中介人小李回话。
接下来他准备分析三种报价：￥390000，￥400000或￥405000。
他估计，如果他是唯一的报价买主的话，那么￥390000能成交的概率是0.4，￥400000能成交的概率是0.6，而￥405000能成交的概率是0.9。
然而，不管怎么说，有很大的可能性是买主不只他一人。
这样，中介人小李就会告诉他：“房主要求第二天提出其最终报价”。
这时，小王就不得不重新考虑他应该怎么办：他可以取消报价而放弃买该房，他也可以再次报出与第一次同样的价格，还可以在第一次报价的基础上增加￥5000。
小王认为，在有多人竟价的情况下，最终他们能以￥390000成功地买到此房的概率是0.2，以￥395000成功地买到此房的概率是0.3，以￥400000成功地买到此房的概率是0.5，以￥405000成功地买到此房的概率是0.7，而以￥410000成功地买到此房的概率是0.8。
案例二：土地开发权购买战略（简化版）背景资料：李正华，海景发展公司的总裁，正在考虑投标购买一块土地，这块土地将会在城市税务抵押拍卖会上以封标的形式出售。
李正华最初的判断是投500万元的标。
根据以往的经验，李正华判断500万元的标为最高标的概率为0.2，而如果竞标成功，海景将获得这块土地的开发权。
此时的日期是7月1日，而这块土地的的封标必须在8月15日之前投出，且在9月1日宣布获胜的标。
如果海景投出最高的标进而获得这块土地的开发权，公司计划建设并出售一期高档公寓楼。
然而，使此问题变得复杂的一个因素是这块土地新近被划分为仅作为单身家庭居住建设用地。
李正华相信在11月选举的时候，居民会对此规划进行复决投票，而复决投票的结果将可能改变土地原来的规划，并允许在这块土地上盖高档公寓楼。
封标程序要求投标者随标附上金额为标额10%的有效支票。
如果没有中标，这笔资金会被退回；如果中标了，这笔资金就作为购买这块土地的现金支付款。
然而，如果中标了，但竞标者没有在6个月内完成购买手续且满足其他的财务上的要求，那么这笔资金就被没收充公。
如果是这种情况，市政府就会把这块土地的开发权转给下一个最高竞标者。
为了确定海景是否应该投这500万元的标，李正华作了一些预期的分析。
依据这些准备工作，李正华判断复决投票改变原有规划计划的概率为0.3。
估计高档公寓楼建好后随之带来的支出和收益如下表所示：如果海景获得了这块土地的开发权，但在11月的复决投票中改变规划被否决，李正华认为公司最佳的选择是不要完成土地的开发权的购买手续。
这样的话，海景随标附上的10%的资金就会被没收充公。
由于规划复决投票被通过的可能性在这一决策过程中起着至关重要的作用，李正华建议公司聘请一家市场调查咨询服务公司对投票者进行调查，这一调查将对复决投票通过重新规划的可能性做出更为准确的判断。
曾经与海景公司合作过的一家市场调查咨询公司同意以150 000元的价格接受这一调查任务。
调查结果可在8月1日出来，这样的话，海景就可以在8月15日的投标截止日之前获得这方面的信息。
调查的结果要么是预计重新规划被通过，要么是预计重新规划被否决。
在参考了该市场调查公司在以往为海景所做的几次调查中的表现，李正华得出了以下所示的就市场调查信息的准确度方面的概率估计：P（A︱S1）= 0.9 P（N︱S1）= 0.1 ；P（A︱S2）= 0.2 P（N︱S2）= 0.8 其中 A = 咨询公司给出预计投票者会改变原来规划咨询报告，N = 咨询公司给出预计投票者不会改变原来规划咨询报告；S1 = 投票者改变原来规划，S2 = 投票者不改变原来规划。
案例三:渤海罐头食品厂背景资料：渤海罐头食品厂在东北地区算得上是一家比较完善的中型企业。
该厂可以加工多种类型的罐头食品，全部以批发方式销售。
由于该厂经营得力，信誉较高，因此其产品不仅畅销国内，还有相当数量已跻身海外，在过去的内外销售中盈利可观。
1986年8月10日（星期一）上午，主管生产经营的副厂长高东光通知财会科长、销售科长和质量管理科长到他的办公室商谈有关在本季节收获的西红柿果实的加工问题。
按照预定合同，一批新鲜西红柿即将运到工厂，而西红柿罐头的成批生产必须在下个星期一开工。
按照通知的时间，财会科长魏连昆，销售科长叶荣祖首先来到高副厂长的办公室。
几分钟后，质管科长田保善携带一份关于这批西红柿质量的调查报告也随后赶到。
报告中指出：“这批西红柿共有1500吨，其中大约20%可评为纯 A 等，其余为混 C 等”。
高副厂长向叶科长仔细询问了下一年度中对西红柿罐头的需求情况，叶科长向大家汇报了有关这方面的需求预测（见表1）。
他还告诉大家：“这些罐头产品的价格是根据本厂的长远战略规划而确定的，它们预示了本厂产品的潜在的销路。
”表1 渤海罐头食品厂西红柿罐头需求预测听完叶科长的汇报后，魏科长首先发言。
他认为本厂将有希望在西红柿罐头的生产中获利。
根据他已建立的会计系统，可以有效地算出各种产品是利润。
早在当年5月本厂与市郊农场签订了一份以每千克0.12元的平均价格购买一批西红柿的合同，魏科长便算出了该年加工西红柿果实可以获得的利润（见表2）。
根据他分析，在加工整蕃茄罐头上可获得的且逐渐提高的利润远比其他产品的利润可观，而整蕃茄罐头的销路最佳，因此他认为本厂应当把这批西红柿果实全部用于加工整蕃茄罐头。
表２渤海罐头食品厂西红柿罐头利润（元／罐）听到这里，田科长提醒魏科长注意：虽然工厂有足够的生产能力，但是将这批西红柿果实全部用于加工整蕃茄罐头是不可能的，因为这批西红柿原料中质量纯 A等的所占比例太小。
根据本厂《质量管理规范》，西红柿原料及其制品的质量均按百分制评定，较高的分数代表较高的质量。
依据《规范》，质管科对这批西红柿的质量评分为：纯 A等的每千克90分，混 C等的平均每千克40分。
而用来制做整蕃茄罐头的西红柿原料的质量不得低于平均每千克80分，蕃茄汁不得低于平均每千克45分，而蕃茄酱不得低于平均每千克40分，这意味着可用于加工整蕃茄罐头的西红柿原料最多不超过300吨。
高副厂长认为这并不一定要作为对整蕃茄罐头产品的限制。
他最近曾责令供应科派人跟农场商谈过以每千克0.18元的价格购买400吨纯 A等西红柿，但未谈成。
不过，高副厂长仍然感到问题不是太大。
接着，叶科长根据他所做的一些计算结果发表了自己的见解。
尽管他也同意魏科长关于本厂将有希望在西红柿罐头的生产中获利这一基本观点，但他认为这笔利润的获得并非取决于整蕃茄罐头的生产。
叶科长说：“西红柿罐头的原料费用应是根据西红柿的质量与数量这两者来确定的，而不是单纯取决于数量。
”基于这一观点，他重新计算了西红柿原料的费用：设: x = 纯 A等西红柿的费用（元/千克）, y = 混 C等西红柿的费用（元/千克）则有: 300000x + 1200000y = 1500000×0.12 , x/90 =y/40解得: x = 0.216（元/千克）, y = 0.096（元/千克）据此，再根据西红柿罐头的原料质量标准，他算出了每种西红柿罐头的原料费用与利润（见表3）。
表3 （单位：元/罐）根据以上计算结果，叶科长认为：应取1000吨混 C等西红柿用于生产蕃茄酱，余下的200吨混 C等西红柿和所有的纯 A等西红柿用于生产蕃茄汁。
若预测的需求量得以实现的话，则工厂将可以在本年度西红柿果实的加工中期望获得利润三万八千元。
案例四：特塞格公司（Texago Corporation）的选址问题问题描述特塞格公司（Texago Corporation）是一家设在美国本土的大型一体化石油公司。
这家公司大部分的石油在公司自己的油田中生产，所需的其他部分从中东地区进口。
公司拥有大型配送网络，把石油运送到公司的炼油厂，然后再把石油产品从炼油厂运送到公司的配送中心。
这些设施的所在地如表1所示。
表1 特塞格公司目前设施的所在地特塞格公司正在持续增加其几种主要产品的市场占有率。
因此管理层决定建立一个新的炼油厂来增加公司的产量，同时增加从中东地区进口石油的数量。
接下来所要作出的决策就是确定在什么地方建设新的炼油厂。
新的炼油厂的加入对整个配送系统都将产生巨大的影响，其中包括要确定从每一个出发地运输到新的炼油厂的原油数量，以及从每一个炼油厂运送石油制品到每一个配送中心的数量。
因此，影响管理者选择新炼油厂建设地点的三个关键因素是：1、从出发地运送原油到所有炼油厂（包括新炼油厂）的成本；2、从所有炼油厂（包括新炼油厂）运送石油制品到每一个配送中心的成本；3、新的炼油厂的运作成本，包括劳动力成本、税赋、原料（不包括原油）成本、能源成本、保险成本，等等。
（资金成本并不是一个所要关心的因素，因为任何地点的资金成本几乎都是相同的。
）管理层决定成立一个特别工作小组来专门研究在什么地点建造这个新炼油厂的问题。
经过大量的研究，特别工作组确定了三个非常有潜力和吸引力的备选地点。
这些地点以及每一个地点的主要优势如表2。
表2 特塞格公司新炼油厂的备选建造地点他们的主要优势收集必要的数据特别工作小组需要收集大量的数据，其中一些数据甚至需要进行大量的挖掘工作，以此来对管理层提出的问题——新炼油厂的选址问题进行分析。