数学建模经典案例3
数学建模案例精选
数学建模案例精选数学建模是指利用数学方法和技术解决实际问题的过程，它在工程、经济、管理、自然科学等领域都有着广泛的应用。
在数学建模中，数学模型是解决问题的核心，通过建立合适的数学模型，可以更好地理解问题的本质，并找到解决问题的方法。
下面我们将介绍几个数学建模案例，来看看数学在实际问题中是如何发挥作用的。
案例一，交通拥堵问题。
在城市交通管理中，交通拥堵一直是一个严重的问题。
如何合理规划道路和交通流量，是一个复杂的问题。
数学建模可以通过建立交通流模型，分析不同道路的交通流量，预测交通拥堵的可能发生区域和时间，从而指导交通管理部门制定相应的交通疏导措施。
案例二，股票价格预测。
股票市场的波动一直是投资者关注的焦点，而股票价格的预测是投资决策的重要依据。
数学建模可以通过分析历史股票价格数据，建立股票价格预测模型，利用数学统计方法和时间序列分析方法，预测股票价格的未来走势，帮助投资者做出更明智的投资决策。
案例三，物流配送优化。
在物流配送领域，如何合理规划配送路线和减少配送成本是企业关注的重点。
数学建模可以通过建立物流配送网络模型，分析不同配送方案的成本和效率，优化配送路线，降低物流成本，提高配送效率，从而提升企业的竞争力。
案例四，环境污染监测。
环境污染是一个严重的问题，如何有效监测和治理环境污染成为了各国政府和环保部门的重要任务。
数学建模可以通过建立环境污染监测模型，分析环境污染源的分布和扩散规律，预测污染物的扩散范围和影响，为环境污染治理提供科学依据。
通过以上几个案例的介绍，我们可以看到数学建模在实际问题中的重要作用。
数学建模不仅可以帮助我们更好地理解和解决实际问题，还可以推动科学技术的发展，促进社会经济的进步。
因此，加强数学建模的研究和应用，对于推动科学技术创新和社会发展具有重要意义。
希望通过今后更多的实际案例和研究，能够进一步挖掘数学建模的潜力，为解决更多实际问题提供更加有效的方法和工具。
数学建模与应用案例
数学建模与应用案例数学建模是一种将数学方法和技巧应用于实际问题求解的过程。
它通过建立数学模型，对问题进行抽象和描述，然后利用数学工具进行分析和求解，最终得出问题的解决方案。
数学建模在各个领域都有广泛的应用，本文将介绍几个数学建模与应用的案例。
案例一：交通流量预测交通流量预测是城市交通规划和管理中的重要问题。
通过对交通流量进行预测，可以合理安排交通资源，提高交通效率。
数学建模可以通过分析历史交通数据，建立交通流量预测模型。
以某城市的交通流量预测为例，可以采用时间序列分析方法，通过对历史交通数据的分析，建立交通流量与时间的关系模型。
然后利用该模型对未来的交通流量进行预测，从而为交通规划和管理提供科学依据。
案例二：股票价格预测股票价格预测是金融领域的重要问题。
通过对股票价格进行预测，可以帮助投资者做出更明智的投资决策。
数学建模可以通过分析历史股票数据，建立股票价格预测模型。
以某股票的价格预测为例，可以采用时间序列分析方法，通过对历史股票数据的分析，建立股票价格与时间的关系模型。
然后利用该模型对未来的股票价格进行预测，从而为投资者提供参考。
案例三：疾病传播模型疾病传播是公共卫生领域的重要问题。
通过建立疾病传播模型，可以预测疾病的传播趋势，制定有效的防控策略。
数学建模可以通过分析疾病传播的规律，建立疾病传播模型。
以某传染病的传播为例，可以采用传染病动力学模型，通过对疾病传播的机理进行建模，预测疾病的传播速度和范围。
然后利用该模型对疾病传播进行预测，从而为公共卫生部门提供决策支持。
案例四：物流配送优化物流配送是供应链管理中的重要问题。
通过优化物流配送方案，可以降低物流成本，提高物流效率。
数学建模可以通过分析物流配送的需求和约束条件，建立物流配送优化模型。
以某物流公司的配送问题为例，可以采用线性规划方法，通过对物流配送的需求和约束进行建模，优化配送方案。
然后利用该模型对物流配送进行优化，从而为物流公司提供最佳配送方案。
数学建模：第六章建模范例三
103.133872
(3)
101.310287
(3,1)
98.472872
(5)
96.731702
(5,1)
94.787533
(5,2)
92.480158
(5,3)
90.844949
(5,3,1)
4108.656375
(5,5)
*
M=5000万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）
3
改为
4
利用
5
软件求解（程序略）M=5000万元，
6
n=10年基金使用最佳方案：（单位：万元）
7
*
M=5000万元，n=10年基金使最佳方案（单位：万元）
存1年定期
存2年定期
存3年定期
存5年定期
取款数额（到期本息和）
每年发放奖学金数额
第一年初
105.650679
103.527252
220.429705
2.255
*
由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下的存款策略(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)和（3,3）。
由1,2,3,5四种定期能够组成的策略（5年定期不重复） 只能有（1）,（2）,（3）,（3,1）,(5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,3,1)九种，
*
根据以上的推理，可得n年的最优存储方案公式二为：
据上公式用
可以求得n=10年，M=5000万元时
基金使用的最优方案：（单位：万元）
每年奖学金：
问题三求解：
方案一：只存款不购买国库券
1
因学校要在基金到位后的第3年举行校庆，所以此年奖金应是其他年度的1.2倍，
数学建模获奖作品范例
数学建模获奖作品范例近年来，数学建模竞赛在高中和大学生中越来越受欢迎。
数学建模是一种将实际问题转化为数学问题并求解的方法，通过建立数学模型，对问题进行分析和预测，得出有关结论和解决方案。
下面将介绍一些数学建模获奖作品的范例，以展示数学建模的应用和价值。
第一个范例是关于城市交通流量的建模。
城市交通流量是一个复杂的问题，涉及到车辆的流动、道路的拥堵、信号灯的控制等多个因素。
一支参赛团队利用数学建模的方法，通过收集城市交通数据和实地观察，建立了一个交通流量模型。
他们使用了微分方程和概率统计等数学工具，对车辆的速度、密度和流量进行了建模和预测。
通过模型的分析，他们提出了一些优化交通流量的方法，如调整信号灯的时长、增加道路的容量等。
他们的建模方法和解决方案得到了专家的肯定，并在数学建模竞赛中获得了一等奖。
第二个范例是关于物种扩散的建模。
物种扩散是生态学中的一个重要问题，研究物种的扩散过程对于了解生态系统的稳定性和保护生物多样性具有重要意义。
一支参赛团队通过数学建模的方法，结合实地调查和数据分析，建立了一个物种扩散模型。
他们使用了偏微分方程和随机过程等数学工具，对物种的扩散速度和扩散范围进行了建模和预测。
通过模型的分析，他们揭示了物种扩散的规律和影响因素，并提出了一些保护生物多样性的建议。
他们的建模方法和研究成果在数学建模竞赛中获得了特等奖。
第三个范例是关于金融风险管理的建模。
金融风险管理是一个重要的经济问题，涉及到金融市场的波动、投资组合的风险等多个因素。
一支参赛团队利用数学建模的方法，通过收集金融数据和分析市场趋势，建立了一个金融风险管理模型。
他们使用了时间序列分析、随机过程和蒙特卡洛模拟等数学工具，对金融资产的风险价值进行了建模和预测。
通过模型的分析，他们提出了一些风险管理的策略，如分散投资、对冲交易等。
他们的建模方法和风险管理方案在数学建模竞赛中获得了一等奖。
以上是关于数学建模获奖作品的三个范例。
这些范例展示了数学建模在不同领域中的应用和价值。
数学建模简单13个例子
另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线
拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来
黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。
第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停
得住车。
第二步，黄灯亮的时间应当让已过线
的车顺利穿过马路，
D
即T 至少应当达到 （L+D）/v。
L
返回
9、砖块延伸
出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上
要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。
停车是需要时间的，在这段时间内，车辆
仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在
离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽
管它没被画在地上），见图。对于那些黄
D
灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍 能穿过马路。
L
马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确
总距离为 n 1 ，
故有砖点n块 出向人右意可料时 叠。k1至, 2knk任1 2意1k远，n这1 一21n结果多少返回
10、寻找黑匣子
飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种 射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。 确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离， 试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参 数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣 子发射射线的强度。
I2 I1
1
方法二
A
在方法一中，两检测点与黑匣子
位于β一α a
直线上，这一点比较容易 点是结果对照度测
量的精C做度到要， 求主 较要 高缺 ，B
很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很
强，现提出另一方法，在 A点测得黑匣子方向后 ，
到B点再测方向 ，AB 距离为a ，∠BAC=α，
数学建模简单示例
否则一处的车辆将会越积越多。
例4 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射 出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须 尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确 定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑 匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要 用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发 射射线的强度。
方法一
点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 2 的平方成反比，即
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下， 可以保证途中至少存在一地，此人在两天 中的同一时间到达该地。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
初中数学建模的若干简要案例
初中数学建模的若干简要案例1.找出一个公园内最短游览路径的问题假设一个公园有多个景点，每个景点之间有不同的距离，我们希望找到一条最短的路径，使得可以在最短时间内游览完所有的景点。
我们可以将每个景点表示为节点，距离表示为边，然后利用图论中的最短路径算法（如迪杰斯特拉算法）来解决这个问题。
2.优化一家快递公司的邮件投递路径假设一个快递公司需要投递邮件到不同的区域，每个区域的邮件数不同，我们希望找到一条最优的路径，使得快递员可以在最短时间内投递完所有的邮件。
我们可以将每个区域表示为节点，不同区域之间的距离表示为边，然后利用图论中的最短路径算法或者启发式算法（如A*算法）来解决这个问题。
3.设计一个购物车的最佳装载方案假设一个网上购物平台需要将一些商品装载到购物车中，每个商品有不同的体积和重量，而购物车有一定的容量限制。
我们希望找到一个最佳的装载方案，使得购物车可以装载尽可能多的商品。
我们可以将每个商品表示为节点，商品之间的限制条件（如体积和重量限制）表示为约束条件，然后利用线性规划算法（如简单的背包问题）来解决这个问题。
4.优化一条生产线的生产效率假设一个工厂有多个生产环节，每个生产环节有不同的效率和成本，我们希望找到一个最优的生产线配置方案，使得生产效率最高，成本最低。
我们可以将每个生产环节表示为节点，不同生产环节之间的依赖关系和成本表示为边，然后利用图论中的最优路径算法（如最小生成树算法）来解决这个问题。
5.设计一个最优的课程表假设一个学校有多个班级和多个教师，每个班级需要上不同的课程，每个教师可以同时教授多个班级的课程，我们希望找到一个最优的课程表，使得教师的利用率最高，学生的课程安排最优。
我们可以将每个班级和教师表示为节点，教师的教学能力和班级的需求表示为边的权重，然后利用图论中的最大流算法或者启发式算法（如基因算法）来解决这个问题。
这些案例都是初中数学建模的常见问题，通过数学建模的方法，可以帮助我们解决这些实际问题，提高问题的解决效率和准确性。
简单数学建模应用例子
建模实例
虽然椅子只有四个距离，但是由于正方形的中 心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A， C两脚与地面的距离之和为f( )，B，D两脚与 地面的距离之和为g( )， f( ),g( )≥0，由假设2， f与g均是连续函数。由假设3，椅子在任何位 置至少有三只脚着地，所以对于任意的 ， f( ), g( )中至 少有一个为零，当 =0时 不妨设g( )=0, f( )>0。
dt
xm
x(0) x0
（5）
称为阻滞增长模型，非线性微分方程（5）可 以用分离变量法求解，结果为
x(t)
xm
1( xm 1)ert
x0
（6）
建模实例
实例一：椅子能在不平的地面上放稳吗？ 把椅子往不平的地面上放，通常只有三只脚着 地，放不稳，然而只需挪动几次，就可以使四 脚同时着地，放稳了。这看来似乎与数学无关 的现象能够用数学语言以表述，并用数学工具 来证实吗？
建模实例
模型假设：对椅子和地面应该作一些必要的假 设。 1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可 视为一个点，四脚的连线呈正方形。 2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不 会出现间断，即地面可视为数学上的连续曲面。 3. 对椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是 相对平坦的，使椅子在任何位置至少三只脚着 地。
建模实例
这里假设1显然是合理的，假设2相应于 给出了椅子能放稳的条件，因为如果地面 高度不连续，譬如在有台阶的地方是无法 使椅子四脚同时着地的，至于假设3是要 排除这样的情况：地面上与椅脚间距和椅 腿长度的尺寸大小相应的范围内，出现深 沟或凸峰，致使三只脚无法同时着地。
建模实例
模型构成： 这里首先要解决的中心问题是用数学语言把椅 子四脚同时着地的条件和结论表示出来。 首先要用变量表示椅子的位置，注意到椅脚连 线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心 的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以 用旋转角度这一变量表示椅子的位置。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求 n 使 G(n) 最大
求解
n
将r视为连续变量
f (r ) p(r )dr(概率密度）
G(n) 0 [(a b)r (b c)(n r )] p(r )dr n (a b)np(r )dr
dG (a b)np(n) n (b c) p(r )dr 0 dn (a b)np(n) (a b) p(r )dr
模型假设
1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立， 生产周期是常数； 2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在 一个周期内是等可能的； 3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台 的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的； 4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统.
切掉多余部 分的概率
整根报废 的概率
p(概率密度)
m P , P
m P , P
存在最佳的m使总的浪费最小 0
P P P´ P´ l m m
x
建模
选择合适的目标函数 整根报废 的浪费
l
总浪费 = 切掉多余部分 + 的浪费
W l ( x l ) p( x)dx xp( x)dx
钢材长度正态分布
均值可以调整
方差由设备精度确定
粗轧钢材长 度小于规定
整根报废
问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小.
分析
设已知精轧后钢材的规定长度为 l， 粗轧后钢材长度的均方差为 .
记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的 钢材长度为正态随机变量，记作 x~N(m, 2).
P P ( x l ) P P ( x l )
x s u 0
x s u 0, x u S
确定(s, S), 使目标函数——每周总费用的平均值最小 s ~ 订货点， S ~ 订货值 订货费c0, 购进价c1, 贮存费c2, 缺货费c3, 销售量 r 平均 费用
c0 c1u L( x u ), J (u ) L( x)
J(u)在u+x=S处达到最小
J(u)与I(x)相似 I(x)在x=S处达到最小值I(S) I(x)图形 I(S)
I(x)
I(S)+c0
I(S)
0 s S x
I ( x) c0 I ( S ) 的最小正根 s
9.4 轧钢中的浪费
背 景
随机因 素影响
轧制钢材 两道工序 粗轧
• 粗轧(热轧) ~ 形成钢材的雏形 • 精轧(冷轧) ~ 得到钢材规定的长度 粗轧钢材长 度大于规定 精轧 切掉多余 部分
mN lPN m 得到一根成品材平均浪费长度 l PN P m 更合适的目标函数 略去常数l, 记 J (m) P ( m) ( x m ) 1 P(m) l p( x)dx, p( x) e 2 2
2 2
粗轧N根得成品材 PN根
优化模型：已知l ,, 求m 使J(m) 最小.
J ( z) ( z)
J ( ) ( )
z
1 e 2
y2 2
( z )
已知, 求 z 使J(z) 最小
求解
J ( z)
( z )
( z)
dJ 0 dz
( z ) ( z )( z ) 0
( z ) ( z )
S
S
dJ 0 du
p (r )dr c c P1 p (r )dr c c P2
0 S 3 1 2 1
p
c3 S , c2 S
P1 0
P2 S r
建模与求解
c0 c1u L( x u ), J (u ) L( x)
u0 u0
p(r )dr P , p(r )dr P
0 1 n
2
取n使
P a b 1 P2 bc
p
a-b ~售出一份赚的钱
b-c ~退回一份赔的钱
P1 0 P2 n r
(a b) n , (b c) n
9.3 随机存贮策略
问 题
以周为时间单位；一周的商品销售量为随机； 周末根据库存决定是否订货，供下周销售. (s, S) 存贮策略:下界s, 上界S，当周末库存小于s 时订货，使下周初的库存达到S; 否则，不订货. 考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订 （s, S) 存贮策略,使(平均意义下)总费用最小.
问 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 题
购进太多卖不完退回赔钱
每天购进多少份可使收入最大？
分 购进太少不够销售赚钱少 析
应根据需求确定购进量. 每天需求量是随机的
存在一个合 适的购进量
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望
准 备 建 模
调查需求量的随机规律——每天 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2… • 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
2）对库存 x， x 确定订货点s L( x) c2 0 ( x r ) p(r )dr c3 x (r x) p(r )dr 若订货u, u+x=S, 总费用为 J 1 c0 c1 ( S x) L( S )
若不订货, u=0, 总费用为 J 2 L( x)
定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比） 当n远大于1时, E n/2m ~ E与n成正比，与m成反比 若n=10, m=40, D87.5% (89.4%) 提高效率 的途径： • 增加m
• 习题1
9.2 报童的诀窍
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
第九章
概率模型
9.1 传送系统的效率
9.2 报童的诀窍
9.3 随机存贮策略
9.4 轧钢中的浪费 9.5 随机人口模型 9.6 航空公司的预订票策略 9.7 学生作弊现象的调查和估计
确定现象
随机现象
统计学家和赌场经理对待随机现象的态度几乎一样， 只是前者用的是随机数，后者用的是扑克牌——斯汀 • 骰子赌博的诀窍 • 敏感问题调查 调查目的：敏感问题出现的概率x有多大? 调查问卷：1.敏感问题，2.普通问题；回答：是，否 被调查人按单双学号回答问题1或2，答卷只有是或否 已知普通问题回答“是”的先验概率 p 设调查人数为n，其中回答m
x 2m / n p
随机模型
确定性因素和随机性因素
随机因素可以忽略 随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现 随机因素影响必须考虑 概率模型 统计回归模型 确定性模型
随机性模型 马氏链模型
9.1 传送系统的效率
背 景
传送带 挂钩 产品 工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工 作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多. 在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径.
x
u0 u0
L( x) c2 0 ( x r ) p(r )dr c3 x (r x) p(r )dr
建模与求解 建模与求解
1）设 x<s, 求 u 使 x J(u) 最小，确定S L( x) c2 0 ( x r ) p(r )dr c3 x (r x) p(r )dr
xp( x)dx l lp ( x)dx m lP
直接方法 粗轧N根 总长度mN 成品材 PN根
粗轧一根钢材平均浪费长度
成品材长度l PN
mN lPN m lP N
共浪费长度 mN-lPN
建模
选择合适的目标函数
mN lPN m lP 粗轧一根钢材平均浪费长度 N
x u dJ c1 c2 0 p (r ) dr c3 x u p ( r )dr du
c0 c1u L( x u ), J (u ) L( x)
u0 u0
xu S
p(r )dr 1
0
(c1 c2 )0 p(r )dr (c3 c1 )S p(r )dr
u=1/m
p=1-(1-1/m)n
D=m[1-(1-1/m)n]/n
模型解释
传送带效率(一周期内运走 产品数与生产总数之比）
m [1 (1 1 ) n ] D n m
若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则
m n n(n 1) n 1 D [1 (1 )] 1 2 n m 2m 2m
( z ) z ( y ) dy
z ( z ) / ( z )
F ( z) z F ( z ) ( z ) / ( z )
( y)
r n 售出r 赚(a b)r
退回n r 赔(b c)(n r )
r n 售出n 赚(a b)n
G (n) [( a b)r (b c)( n r )] f (r )
r 0 n r n 1
(a b)nf (r )
n
(b c) p(r )dr (a b) p(r )dr
0 n
n
dG 0 dn
p ( r ) dr a b p ( r ) dr b c
n 0 n
结果解释
n
p ( r ) dr a b p ( r ) dr b c
n 0 n
模型建立
• 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n 为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？ • 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp 如 何 求 概 率 设每只挂钩为空的概率为q，则 p=1-q 设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则 q=rn 设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则 r=1-u 一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方