数学建模经典案例 选课策略
高校数学建模竞赛案例分析思路与框架搭建
高校数学建模竞赛案例分析思路与框架搭建一、引言数学建模竞赛作为高校学生的重要学习和交流平台，要求参赛者在给定的问题背景下，运用数学知识和建模方法解决实际问题。
本文将从案例分析的思路和框架搭建两个方面，探讨参赛者在高校数学建模竞赛中的应对策略和技巧。
二、案例分析思路1. 理解问题在分析竞赛案例时，首先要仔细阅读问题描述，理解问题的背景和目标。
对于案例中提到的各个要素（如影响因素、限制条件等），需要明确其意义和作用，并与数学相关知识进行联系。
2. 形成数学模型在理解问题基础上，参赛者需要将问题转化为数学模型。
a) 建立数学关系：根据问题所涉及的变量和影响因素，建立相应的数学关系表达式。
b) 确定目标函数：明确问题的求解目标，将其转化为数学函数的形式。
c) 确定约束条件：考虑问题中可能存在的限制条件，并用不等式或等式表示。
d) 选择合适的数学方法：根据所需求解的数学模型，选择合适的数学方法和算法，如优化算法、最小二乘法等。
3. 分析解题方法分析解题方法的关键是明确解题步骤和路径，以及如何利用数学工具和方法解决问题。
有以下几个方面需要注意：a) 确定解题思路：将大问题拆解为多个小问题，分析每个小问题的解决方法，在全面考虑的基础上选择合适的解题思路。
b) 运用数学工具：根据问题的特点，运用相应的数学工具或方法，如微积分、概率统计等。
c) 创新解题思维：在传统数学方法的基础上，加入自己独特的思考，尝试新颖的解题方法和创新的思维路径。
三、框架搭建1. 建立问题框架在进行数学建模竞赛时，建立清晰的问题框架非常重要。
问题框架主要包括问题背景、问题目标和解决方案等要素。
要求参赛者在竞赛开始前充分了解问题的背景和要求，明确问题目标和解决方案的方向。
2. 思维框架的构建参赛者在解决数学建模竞赛案例时，需要构建思维框架，在问题求解的过程中保持思路清晰和逻辑严谨，可以考虑如下几个方面：a) 分析问题：对给定问题进行全面细致的分析，理清问题的逻辑关系，为后续的建模和求解提供基础。
数学建模-选课问题
数学建模-选课问题选课问题⼀、摘要⼤学⽣在学习中常会遇到选课问题，既要使⾃⼰所选择的课程符合⾃⼰的兴趣，⼜要⽤最少的课程达到最好的效果，最重要是满⾜学校所修课程的要求以达到毕业，有些课程必须在具备基础科⽬学习经历的前提下才能进⾏选择，，在这多种因素引导下选课过程往往发⽣⽭盾。
因此只有对各种因素进⾏周密考虑，最终⽅可得出最优化的结果。
选课所得到的结果必然为整数，因此本题可以可归结为整数线性规划的最优化问题。
⼆．问题重述某学校规定，其运筹学专业的学⽣想要毕业，就⾄少要修过两门数学课，三门运筹学课和两门计算机课。
⽽其备选课程供有9种，按1到9编号，都有其各⾃对应的学分，以及对于先修课程的要求。
在满⾜题设要求的前提下，提出问题：1.学⽣毕业时最少可以学习哪些课程；2.学⽣选择哪些课程可以使⾃⼰选修的课程数量少⽽所获总学分多？三、问题分析根据题⽬要求，学⽣选修课程必须同时满⾜下列条件：（1）任何⼀个学⽣所选择的所有课程中，⾄少应包括两门属于数学类的课程，三门属于运筹学类的课程以及两门属于计算机类的课程；（2）课程编号为3、4、5、6、8、9的六门课选修前都必须先学过其他⼏门课。
要选3号或5号、9号课程就必须先学1、2号课程，要选4号或6号课程就必须先学7号课程，要学8号课程就必须先学5号课程。
因此，针对⽬标⼀，要求所选符合上述要求的课程数量最少，我们选择了以下⽅案⾸先选择1,2再选择课程5,8，其次选择课程课程7,6；如此来看这样只⽤选择六个课程就可以完成所也需要的要求，粗略的估计出选择1,2,5,8,7,6这⼏个课程是最好的结果；针对⽬标⼆，要求选择的符合要求的课程数量最少的同时其累计学分最多，我们也认为这个⽅案可以获得的学分为22分即是最好的结果。
但这都是主观上的判断，难免有偏差。
由于本题研究的是选课过程的最优化结果，因此⾸先必须根据所给条件，分析出各个课程之间的关系，并⽤清晰的数学表达式描述。
因此，我们建⽴0-1型整数线性规划模型，对结果进⾏分别预测后通过Matlab求解多⽬标规划模型，并将之前预测结果和求解结果进⾏⽐较，得到选课结果的最优化组合。
数学教学中的数学建模案例
数学教学中的数学建模案例数学建模是指运用数学原理与方法解决实际问题的过程。
在数学教学中，数学建模可以帮助学生将抽象的数学概念与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力和应用数学的能力。
本文将介绍几个数学建模在数学教学中的典型案例。
案例一：用数学建模解决实际问题我们以一个实例开始，假设一个园区的供电系统需要进行优化和改造，以降低能耗和成本。
为了解决这个问题，我们可以通过数学建模来分析和优化供电系统。
首先，我们可以收集园区的用电数据，包括用电量、峰谷电价等信息。
然后，我们可以建立数学模型，使用线性规划等方法来优化供电系统的运行。
通过调整供电系统的负荷分配和电源配置，我们可以找到一种最优方案，以达到降低能耗和成本的目标。
在数学教学中，我们可以通过这个案例引导学生运用数学知识和方法解决实际问题。
学生可以根据实际场景，收集数据，建立数学模型，并利用计算机软件进行模拟和优化。
这样，学生不仅可以巩固数学知识，还可以提高他们的问题解决能力和创新思维。
案例二：用数学建模解决交通流问题交通流问题是城市规划中的一个重要问题。
如何合理安排信号灯的时序，以及交通流的优化调度，都是需要运用数学建模来解决的。
我们可以以某个路口的交通流问题为例。
假设某个路口存在交通拥堵问题，我们需要通过数学建模来优化车辆的行驶路径和交通信号。
首先，我们可以通过收集交通流数据，包括车辆数量、车速等信息。
然后，我们可以建立数学模型，使用图论等方法来分析交通网络的拓扑结构，考虑车辆的速度、密度等因素，并结合交通信号的控制，来优化交通流的调度和路口的通行效率。
在数学教学中，我们可以通过这个案例让学生了解到数学在交通规划中的应用。
学生可以通过收集数据、建立数学模型，运用图论等数学知识，来解决交通流问题。
通过这种实践性的学习，学生可以更好地理解数学的应用和实际问题的解决方法。
案例三：用数学建模解决金融风险问题金融风险管理是银行和其他金融机构需要处理的一个重要问题。
数学建模实例实用教案
数学建模实例实用教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模》第五章第一节《线性规划》，详细内容包括线性规划的基本概念、线性规划模型的建立、求解线性规划问题的图解法及单纯形方法。
二、教学目标1. 让学生理解线性规划的基本概念，掌握线性规划模型的建立方法。
2. 让学生掌握线性规划问题的图解法及单纯形方法的求解过程，并能解决实际问题。
3. 培养学生的数学建模能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点难点：线性规划模型的建立及单纯形方法的求解过程。
重点：线性规划的基本概念、图解法求解线性规划问题。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体设备学具：直尺、圆规、计算器五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示实际生活中的线性规划问题，如物流配送、生产计划等，让学生了解线性规划在实际生活中的应用。
2. 基本概念讲解（10分钟）讲解线性规划的基本概念，如线性规划问题的标准形式、可行解、最优解等。
3. 模型建立（15分钟）以实际例题为例，引导学生建立线性规划模型，并解释模型中各参数的含义。
4. 图解法求解（20分钟）介绍图解法求解线性规划问题的步骤，结合例题进行讲解，让学生在草稿纸上跟随操作。
5. 单纯形方法讲解（20分钟）讲解单纯形方法的基本原理和求解步骤，结合例题进行演示。
6. 随堂练习（15分钟）给出两道线性规划问题，让学生独立求解，巩固所学知识。
六、板书设计1. 线性规划的基本概念2. 线性规划模型的建立3. 图解法求解线性规划问题4. 单纯形方法求解线性规划问题七、作业设计1. 作业题目：max z = 2x + 3ys.t. x + y ≤ 42x + y ≤ 6x ≥ 0, y ≥ 0max z = 3x + 4y + 2zs.t. x + 2y + 3z ≤ 122x + 3y + z ≤ 15x + y + z ≥ 5x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0答案：（1）最优解为（2, 2），最大值为10。
新高考背景下高中数学建模教学策略与案例分析
新高考背景下高中数学建模教学策略与案例分析摘要：数学学科是高中阶段的基础课程，具有逻辑严密、抽象度较高、应用广泛等特点。
数学建模作为数学学科的六大核心素养之一，是将抽象的数学知识与现实世界联系在一起的重要工具。
随着新课改工作的深入推进，数学建模的重要性被越来越多的人所认识，并在日常教学工作中开展了相应的教学活动。
关键词：新高考；高中数学；建模教学策略引言由新课程、新教材、新高考构成的“三新”理念为高中数学学科的创新发展提供了充足动力,使学科能力培养目标更加明确。
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题,以及用数学方法构建模型解决问题的素养,是高中数学的重要教学内容。
随着建模思想在数学教材与高考试题中比重增加,高中数学教师应及时调整教学策略,处理好建模教学的现存问题,助力学生全面发展数学学科核心素养。
一、丰富知识经验，注重小组合作学习不同的学生在建模过程中，受个体知识经验、知识储备以及心理因素的影响等，对于同一问题，不同的学生的关注点也会存在差异，对于问题的思考与理解也是不同的。
对此，可通过小组学习、交流、讨论等，激发学生调动原有的知识经验，从小组学习中获得补充，有效展开数学建模教学。
教师在建模教学过程中要看到每名学生的优点，发掘每名学生的魅力。
例如，在“茶水最佳饮用时间”数学建模任务中，教师可根据不同学生的特点进行分组，有的学生思维活跃、善于发现问题，能够发现茶叶类型、茶具等会影响茶水的口感；而有的学生比较细心且动手能力较强，可测量茶水的温度并进行记录；还有的学生具有较强的信息技术能力，这是数学建模中数据处理的关键能力。
教师充分利用这种小组合作的学习方式进行数学建模教学，就可以充分发挥每名学生的内在潜力。
二、巧妙设置课后习题，强化建模思想训练课后习题作为课堂教学的持续与延伸，在整个教学体系中占据着较为重要的地位，不仅可以帮助学生巩固课内所学的理论知识，还能够训练解题技巧，强化数学思想方法的训练，自然也会涉及到建模思想。
高中数学建模竞赛的指导策略
高中数学建模竞赛的指导策略数学建模竞赛作为培养高中生创新思维和实践能力的重要平台，对于提升学生的数学素养和综合素质具有重要意义。
在高中阶段指导学生参与数学建模竞赛，需要教师有清晰的策略和方法，以帮助学生更好地应对挑战，取得优异成绩。
一、激发学生兴趣，培养建模意识兴趣是最好的老师，在指导高中数学建模竞赛时，首先要激发学生对数学建模的兴趣。
可以通过引入实际生活中的有趣案例，如交通流量预测、商品定价策略、资源分配问题等，让学生感受到数学建模在解决实际问题中的强大作用。
例如，在讲解线性规划问题时，可以以工厂生产不同产品的资源分配为例，引导学生建立数学模型来优化生产方案，从而提高利润。
同时，还可以组织学生开展小组讨论，让他们分享自己在生活中遇到的可以用数学建模解决的问题，激发学生的主动思考和探索欲望。
此外，展示以往优秀的数学建模竞赛作品，让学生了解数学建模的成果和魅力，也是激发兴趣的有效方式。
通过这些方式，逐步培养学生的建模意识，让他们认识到数学建模不仅仅是抽象的理论，更是解决实际问题的有力工具。
二、扎实数学基础，提升建模能力扎实的数学基础是进行数学建模的前提。
高中数学的知识体系，如函数、不等式、数列、概率统计、向量等，都在数学建模中有着广泛的应用。
在日常教学中，教师要注重对这些基础知识的深入讲解，让学生不仅掌握定理公式，更要理解其背后的数学思想和方法。
例如，在函数教学中，要引导学生理解函数的本质是一种对应关系，能够用函数的观点去看待和解决实际问题。
同时，加强数学运算能力和逻辑推理能力的培养。
数学建模过程中常常需要进行大量的数据处理和复杂的推理，只有具备较强的运算和推理能力，才能保证建模的准确性和有效性。
为了提升学生的建模能力，还可以开展针对性的专题训练。
例如，设置优化问题、预测问题、决策问题等专题，让学生在实践中熟悉不同类型问题的建模方法和思路。
三、强化团队协作，提高竞赛水平数学建模竞赛通常以团队形式参赛，因此培养学生的团队协作能力至关重要。
高中数学建模教学设计案例
高中数学建模教学设计案例一、教学任务及对象1、教学任务本教学案例聚焦于高中数学建模教学，旨在通过案例分析和实际问题解决，使学生掌握数学建模的基本方法与技能，激发学生运用数学知识解决实际问题的兴趣，提高学生的创新意识和团队合作能力。
教学内容主要包括：认识数学建模，了解数学建模的基本步骤，掌握数学建模的方法和技巧，运用数学知识解决实际问题。
2、教学对象本教学案例针对的是高中学生，他们已经具备了一定的数学基础知识，掌握了基本的数学运算和解决问题的方法。
在此基础上，通过数学建模教学，引导学生运用所学知识解决现实生活中的问题，提高学生的数学素养和实际问题解决能力。
此外，考虑到学生的个体差异，教学过程中将注重分层教学，关注每一个学生的成长与进步。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解数学建模的定义和意义，掌握数学建模的基本方法和步骤；（2）能够运用所学的数学知识，如函数、方程、不等式、几何等，解决实际问题；（3）学会使用数学软件和工具，如MATLAB、Mathematica等，进行数学建模的计算和分析；（4）提高数学表达和逻辑推理能力，能够清晰地阐述自己的观点和解决问题的过程；（5）培养团队协作能力，学会在团队中发挥自己的优势，共同解决问题。
2、过程与方法（1）通过案例分析，使学生了解数学建模的实际应用，掌握数学建模的基本过程；（2）采用问题驱动的教学方法，引导学生发现问题、分析问题、提出假设、建立模型、求解模型、验证模型，培养学生的问题解决能力；（3）注重启发式教学，鼓励学生独立思考、主动探究，提高学生的自主学习能力；（4）组织小组讨论和分享，促进学生之间的交流与合作，提高学生的沟通能力；（5）通过实践操作，使学生体会数学建模的乐趣，培养学生的学习兴趣和动手能力。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学建模的兴趣，激发学生学习数学的热情；（2）引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，增强学生的数学应用意识；（3）培养学生勇于面对困难、积极解决问题的态度，增强学生的自信心和毅力；（4）通过团队合作，培养学生的集体荣誉感和责任感，提高学生的团队协作精神；（5）培养学生的创新意识，鼓励学生敢于挑战权威，勇于提出不同的观点和解决方案；（6）引导学生树立正确的价值观，将所学知识用于国家和社会的发展，为我国科技创新和社会进步贡献力量。
高校数学建模竞赛案例分析思路详解
高校数学建模竞赛案例分析思路详解数学建模竞赛作为一种综合性竞赛形式，在高校中得到了广泛的开展。
参赛选手需要通过对给定案例的分析，应用数学方法和技巧，提出解决问题的思路和方案。
本文将详细探讨高校数学建模竞赛案例分析的思路和步骤，以帮助参赛选手更好地进行比赛准备。
第一步：审题理解首先，我们要仔细审题，理解给定的竞赛案例。
在阅读案例时，我们要抓住关键信息，并对问题的要求和限制进行准确的把握。
通常，竞赛案例提供的信息包括问题的背景、样本数据、需要解决的具体问题等。
通过充分理解案例，我们能够更好地确定解决问题的思路和方向。
第二步：问题建模在理解了案例后，我们需要对问题进行建模。
建模是将真实世界的问题转化为数学模型的过程。
我们可以根据问题的要求，选择合适的数学模型来描述问题，并利用已有的数学知识和方法进行分析和求解。
在这个过程中，我们需要充分考虑问题的特点和约束条件，合理地抽象问题，建立适当的数学模型。
第三步：问题求解建立了数学模型后，我们接下来需要通过数学方法对问题进行求解。
根据模型的不同，我们可以选择合适的数学工具和技巧进行分析和计算。
在这个阶段，我们需要全面地运用相关的数学理论和知识，结合给定的样本数据和问题的要求，进行计算和推导。
通过合理的计算和推导，我们可以得到问题的解答或者一定的结论。
第四步：模型验证在得到了问题的解答后，我们需要对模型的可靠性和有效性进行验证。
模型验证是判断数学模型是否符合实际情况的过程。
我们可以通过对比模型的计算结果与实际样本数据的差异，对模型进行验证和调整。
如果模型的计算结果和实际情况相符合，说明我们的模型是可靠和有效的；如果不符合，我们可能需要重新调整模型或者进行其他的分析。
第五步：结果分析最后，我们需要对模型的结果进行全面和深入的分析。
通过对结果进行分析，我们可以得到对问题的深入理解和洞察，并从中提取出有价值的信息和结论。
同时，我们还可以对模型的上限和下限进行分析，评估模型的优劣，并提出改进的方向和建议。
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4 5 6 7 8 9
多目标规划
对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y = λ1Z λ2W = 0.7 Z 0.3W
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 ≥ 2
Hale Waihona Puke x3 + x5 + x6 + x8 + x9 ≥ 3
x4 + x6 + x7 + x9 ≥ 2
0-1规划模型 规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件 先修课程要求 x3=1必有 1 = x2 =1 必有x 必有
0-1规划模型 规划模型
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 所属类别 数学 数学 数学； 数学；运筹学 数学； 数学；计算机 数学； 数学；运筹学 计算机； 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学； 运筹学；计算机
Min {Z , W }
最优解如上， 门课 最优解如上，6门课 总学分21 程，总学分 。 最优解显然是选修所 有9门课程 。 门课程
多目标优化的处理方法：化成单目标优化。 多目标优化的处理方法：化成单目标优化。
多目标规划
9
在课程最少的前提下 学分最多为目标。 以学分最多为目标。
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
模型求解（ 模型求解（LINDO） ） 最优解： 最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为 ；6门课程，总学分 其它为0； 门课程 总学分21 门课程，
x8 x5 ≤ 0
2 x9 x1 x 2 ≤ 0
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？ 讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？ 课程最少 学分最多
微积分； 微积分；线性代数 计算机编程 微积分； 微积分；线性代数 计算机编程 应用统计 微积分； 微积分；线性代数
要求至少选两门数学课、 要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 为了选修课程门数最少， 为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 选修课程最少，且学分尽量多， 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
Z = ∑ xi
i =1
9
W = 5x1 + 4x2 + 4x3 + 3x4 + 4x5 + 3x6 + 2x7 + 2x8 + 3x9
最优解： 最优解： x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x9 =1， ， 其它为0；总学分28。 其它为 ；总学分 。
λ1 > 3 / 4
最优解与 的结果相同——课程最少 最优解与λ1=1，λ2=0的结果相同 ， 的结果相同 课程最少
案例11 选课策略 案例
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3 所属类别 数学 数学 数学； 数学；运筹学 数学； 数学；计算机 数学； 数学；运筹学 计算机； 计算机；运筹学 计算机 运筹学 运筹学； 运筹学；计算机 先修课要求
1 2 3
4 5 6 7 8 9
微积分； 微积分；线性代数 计算机编程 微积分； 微积分；线性代数 计算机编程 应用统计 微积分； 微积分；线性代数
x3 ≤ x1 , x3 ≤ x 2
2 x3 x1 x 2 ≤ 0
x4 ≤ x7 x4 x7 ≤ 0
2 x 5 x1 x 2 ≤ 0 x6 x7 ≤ 0
多目标规划
Min Y = λ1 Z λ 2W
讨论与思考
λ1 + λ2 = 1, 0 ≤ λ1 , λ2 ≤ 1
W = 5x1 + 4x2 + 4x3 + 3x4 + 4x5 + 3x6 + 2x7 + 2x8 + 3x9
Z = ∑ xi
i =1
9
λ1 < 2 / 3
最优解与 的结果相同——学分最多 最优解与λ1=0，λ2=1的结果相同 ， 的结果相同 学分最多
决策变量 xi=1 ~选修课号 的 选修课号i 选修课号 课程（ 不选） 课程（xi=0 ~不选） 不选 目标函数 选修课程总数最少
Min
Z = ∑ xi
i =1
9
约束条件
最少2门数学课， 最少 门数学课， 门数学课 3门运筹学课， 门运筹学课， 门运筹学课 2门计算机课。 门计算机课。 门计算机课
Min
Z = ∑ xi
i =1
9
Max W = 5x1 + 4x2 + 4x3 + 3x4 + 4x5 + 3x6 + 2x7 + 2x8 + 3x9
两目标(多目标) 两目标(多目标)规划
以课程最少为目标， 以课程最少为目标 为目标， 不管学分多少。 不管学分多少。 以学分最多为目标， 学分最多为目标， 不管课程多少。 不管课程多少。
增加约束
∑
i =1
xi = 6，
以学分最多为目标求解。 以学分最多为目标求解。 最优解： 最优解： x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它为0；总 其它为0； 学分由21增至 增至22。 学分由 增至 。 注意：最优解不唯一！ 注意：最优解不唯一！ 易为 可将x9 =1 易为x6 =1 可将 LINDO无法告诉优化 无法告诉优化 问题的解是否唯一。 问题的解是否唯一。