最短路径问题“两点一线”型教案

13.4最短路径问题
——“两点一线”型
教学目标：
1.掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定.
2.能利用轴对称解决实际问题中路径最短的问题.
教学重点：
掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定. 教学难点：
能利用轴对称解决实际问题中路径最短的问题.
教学过程
一、复习引入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
PC最短，因为垂线段最短
引入课题：“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
二、探究新知
问题1已知点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离的和最短？
问题2如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离的和最短？
验证： 你能用所学的知识证明AC ＋BC 最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C ′（与点C 不重合），连接AC ′，BC ′，B ′C ′．由轴对称的性质知，
BC ＝B ′C ，BC ′＝B ′C ′．
∴ AC ＋BC ＝ AC ＋B ′C ＝ AB ′，
∴ AC ′＋BC ′＝ AC ′＋B ′C ′．
在△AB ′C ′中，AB ′＜AC ′＋B ′C ′，
∴ AC ＋BC ＜AC ′＋BC ′．
即 AC ＋BC 最短．
三、巩固提升
如图，△ABC 是一块三角形的草坪，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，现要在BC 边上建一座凉亭P ，使△PDE 的周长最小，在图中作出凉亭的位置.
四、课堂小结：
E D B C A
P
五、课后巩固练习
1．如图，A ，B 在直线l 的同侧，在直线l 上求一点P ，使△P AB 的周长最小．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A （－2，4），B （4，2）在x 轴上取一点P ，使点P 到点A 和点B 的距离之和最小，则点P 的坐标是（ ） A ．（－2，0）
B ．（4，0）
C ．（2，0）
D ．（0，0）
3．如图，在所给网格图（每小格均为边长为1的正方形）中完成下列各题（用直尺画图）．
（1）画出格点△ABC （顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△111A B C ；
（2）在DE 上画出点P ，使1PB ＋PC 最小；
（3）在DE 上画出点Q ，使QA ＋QC 最小．
4．如图，点A ，B 分别为∠MON 的边上的定点，在∠MON 的两边ON ，OM 上分别找到两点P ，Q ，使得AP ＋PQ ＋QB 最小（保留作图痕迹，不要求写作法）．
l。