北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案
北邮版概率论答案
习题三1.将一硬币抛掷三次;以X 表示在三次中出现正面的次数;以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 111222⨯⨯111222⨯⨯=2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球;在其中任取4只球;以X 表示取到黑球的只数;以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 的联合分布律如表： 23247C 3C 35= 13247C 2C 35= 1232247C C 6C 35= 1132247C C 12C 35=13247C 2C 35= 2427C /C =2132247C C 6C 35= 23247C 3C 35=3.设二维随机变量X ;Y 的联合分布函数为Fx ;y =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量X ;Y 在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 解如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4346362(31).4=--+=-题3图说明：也可先求出密度函数;再求概率.. 4.设随机变量X ;Y 的分布密度fx ;y =⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求：1 常数A ；2 随机变量X ;Y 的分布函数；3 P {0≤X <1;0≤Y <2}. 解1 由-(34)0(,)d d e d d 112x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得 A =12 2 由定义;有 (,)(,)d d y xF x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他3 {01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12e d d (1e )(1e )0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰⎰5.设随机变量X ;Y 的概率密度为fx ;y =⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k1 确定常数k ；2 求P {X ＜1;Y ＜3}；3 求P {X <1.5}；4 求P {X +Y ≤4}. 解1 由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故 18R =2 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ 3 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰⎰⎰如图1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰4 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b240212d (6)d .83xx x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量;X 在0;0.2上服从均匀分布;Y 的密度函数为f Y y =⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求：1 X 与Y 的联合分布密度；2 P {Y ≤X }.题6图解1 因X 在0;0.2上服从均匀分布;所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他 所以(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他. 2 5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y -≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xyx x y x -==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量X ;Y 的联合分布函数为Fx ;y =⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求X ;Y 的联合分布密度.解(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量X ;Y 的概率密度为fx ;y = 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 解()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题8图 题9图9.设二维随机变量X ;Y 的概率密度为fx ;y =e ,0,0,.y x y -⎧<<⎨⎩其他求边缘概率密度. 解()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题10图10.设二维随机变量X ;Y 的概率密度为fx ;y =22,1,0,.cx y x y ⎧≤≤⎨⎩其他1 试确定常数c ；2 求边缘概率密度. 解1(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==⎰⎰ 得214c =. 2 ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰522217d ,01,420,0,.y y x y x y y -⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 11.设随机变量X ;Y 的概率密度为fx ;y =1,,01,0,.y x x ⎧<<<⎨⎩其他求条件概率密度f Y ｜X y ｜x ;f X ｜Y x ｜y .题11图解()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.xx y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他 12.袋中有五个号码1;2;3;4;5;从中任取三个;记这三个号码中最小的号码为X ;最大的号码为Y .1 求X 与Y 的联合概率分布；2 X 与Y 是否相互独立解1 X 与Y 的联合分布律如下表3 4 5{}i P X x =13511C 10= 3522C 10= 3533C 10= 610 23511C 10= 3522C 10= 310 3 02511C 10= 110{}i P Y y =110 310 6102 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量X ;Y 的联合分布律为 2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.031求关于X 和关于Y 的边缘分布； 2 X 与Y 是否相互独立 2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38YXXYXY2 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量;X 在0;1上服从均匀分布;Y 的概率密度为f Y y =⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e1求X 和Y 的联合概率密度；2 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0;试求a 有实根的概率.解1 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图2 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y ∆=-≥故 X 2≥Y ;从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰21/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x y x yπ-==-Φ-Φ=⎰⎰15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命以小时计;并设X 和Y 相互独立;且服从同一分布;其概率密度为fx =⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.解如图;Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y=≤=≤ 1 当z ≤0时;()0Z F z =2 当0<z <1时;这时当x =1000时;y =1000z如图a 3366102222101010()d d d d yz Z zx y zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰题15图3 当z ≥1时;这时当y =103时;x =103z 如图b3366222210101010()d d d d zy Z x y zF z x y y x x yx y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 336231010101=d 12y y zy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即 11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他16.设某种型号的电子管的寿命以小时计近似地服从N 160;202分布.随机地选取4 只;求其中没有一只寿命小于180h 的概率.解设这四只寿命为X i i =1;2;3;4;则X i ~N 160;202;从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ== 17.设X ;Y 是相互独立的随机变量;其分布律分别为P {X =k }=pk ;k =0;1;2;…; P {Y =r }=qr ;r =0;1;2;….证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(;i =0;1;2;….证明因X 和Y 所有可能值都是非负整数;所以 {}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==于是0{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑()()ik p k q i k ==-∑18.设X ;Y 是相互独立的随机变量;它们都服从参数为n ;p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ;p 的二项分布.证明方法一：X +Y 可能取值为0;1;2;…;2n .{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki ki n i k i n k ii k k n k i k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑方法二：设μ1;μ2;…;μn ;μ1′;μ2′;…;μn ′均服从两点分布参数为p ;则X =μ1+μ2+…+μn ;Y =μ1′+μ2′+…+μn ′; X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′;所以;X +Y 服从参数为2n ;p 的二项分布.1 求P {X =2｜Y =2};P {Y =3｜X =0}；2 求V =max X ;Y 的分布律；3 求U =min X ;Y 的分布律；4 求W =X +Y 的分布律. 解1{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑ {3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑ 2{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤= 10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为 V =max X ;Y 0 1 2 3 4 5 P 00.040.160.280.240.283 {}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k ik i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3,i =于是 U =min X ;Y 0 1 2 3 P0.280.300.250.174类似上述过程;有W =X +Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P0.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷达的圆形屏幕半径为R ;设目标出现点X ;Y 在屏幕上服从均匀分布. 1 求P {Y ＞0｜Y ＞X }；2 设M =max{X ;Y };求P {M ＞0}.题20图解因X ;Y 的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他 1{0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=>0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=⎰⎰⎰⎰π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r rR r rR θθ=⎰⎰⎰⎰3/83;1/24== 2 {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=⎰⎰21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0;x =1;x=e 2所围成;二维随机变量X ;Y 在区域D 上服从均匀分布;求X ;Y 关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少题21图解区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===⎰X ;Y 的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x ⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他X ;Y 关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他 所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立;下表列出了二维随机变量X ;Y 联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. y 1 y 2 y 3P {X =x i }=p ix 1 x 21/81/8P {Y =y j }=p j 1/61解因21{}{,}j j iji P Y y P P X x Y y ======∑;故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===-= YX而X 与Y 独立;故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====;从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即：1111{}/.2464P X x ===又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y ===同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===又31{}1j j P Y y ===∑;故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=故23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λλ>0的泊松分布;每位乘客在中途下车的概率为p 0<p <1;且中途下车与否相互独立;以Y 表示在中途下车的人数;求：1在发车时有n 个乘客的条件下;中途有m 人下车的概率；2二维随机变量X ;Y 的概率分布.解1 {|}C (1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=.2 {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======e C (1),,0,1,2,.!m m n mnnp p n m n n n λλ--=-≤≤=24.设随机变量X 和Y 独立;其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021;而Y 的概率密度为fy ;求随机变量U =X +Y 的概率密度gu .解设Fy 是Y 的分布函数;则由全概率公式;知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 和Y 独立;可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此;得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-25. 设随机变量X 与Y 相互独立;且均服从区间0;3上的均匀分布;求P {max{X ;Y }≤1}. 解：因为随即变量服从0;3上的均匀分布;于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 因为X;Y 相互独立;所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩ 推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=. 26. 设二维随机变量X ;Y 的概率分布为其中a ;1 a ;b ;c 的值；2 Z 的概率分布；3 P {X =Z }.解 1 由概率分布的性质知;a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =-;可得0.1a c -+=-.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++;得 0.3a b +=.解以上关于a;b;c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.2 Z 的可能取值为-2;-1;0;1;2;{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=;{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=;{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=;{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===;{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====;即Z 的概率分布为3 {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.27. 设随机变量X;Y 独立同分布;且X 的分布函数为Fx;求Z=max{X;Y}的分布函数.解：因为X;Y 独立同分布;所以F X z=F Y z;则F Z z=P{Z ≤z}=P{X ≤z;Y ≤z}=P{x ≤z}·P{Y ≤z}=Fz 2.28.设随机变量X 与Y 相互独立;X 的概率分布为1{},1,0,1,3P X i i ===-Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y ≤<⎧=⎨⎩其他.记Z =X +Y .1求1{|0};2P Z X ≤=2求Z 的概率密度()Z f z分析 题1可用条件概率的公式求解.题2可先求Z 的分布函数;再求导得密度函数.解1 1{0,}12{|0}2{0}P X Z P Z X P X =≤≤===1{0,}2{0}P X Y P X =≤== 11{}22P Y =≤=2(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=1[{1}{}{1}]3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤-1[(1)()(1)]3Y Y Y F z F z F z =+++-'1()()[(1)()(1)]3Z Z Y Y Y f z F z f z f z f z ==+++-1,1230,.z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其他29.设随机变量X;Y 服从二维正态分布;且X 与Y 不相关;f X x;f Y y 分别表示X;Y 的概率密度;求在Y=y 的条件下;X 的条件概率密度f X ｜Y x ｜y.解：由第四章第三节所证可知;二维正态分布的不相关与独立性等价;所以fx;y= f X x ·F Y y;由本章所讨论知;/()()(,)(/)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===.30.设二维随机变量X ;Y 的概率密度为2,01,01,(,)0,.x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他1求{2};P X Y >2求Z =X +Y 的概率密度()Z f z .分析 已知X;Y 的联合密度函数;可用联合密度函数的性质{(,)P X Y ∈}(,)GG f x y dxdy =⎰⎰ 解1； Z=X+Y 的概率密度函数可用先求Z 的分布函数再求导的方法或直接套公式求解. 解 12{2}(,)x yP X Y f x y dxdy >>=⎰⎰120120(2)57().824x dx x y dyx x dx =--=-=⎰⎰⎰2()(,),Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中 2()01,01(,)0x z x x z x f x z x ---<<<-<⎧-=⎨⎩其他201,01z x z x -<<<-<⎧=⎨⎩其他当02z z ≤≥或时;()0Z f z =； 当01z <<时;0()(2)(2);zZ f z z dx z z =-=-⎰ 当12z ≤<时;121()(2)(2),Z z f z z dx z -=-=-⎰即Z 的概率密度为2(2)01()(2)120Z z z z f z z z -<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
大学概率论试题及答案
大学概率论试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从二项分布B(n, p)，则其期望E(X)为（）。
A. npB. n(1-p)C. 1-pD. p答案：A2. 如果随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其概率密度函数为（）。
A. f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))B. f(x) = 1/(μ√(2π)) * e^(-(x-σ)^2 / (2μ^2))C. f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2μ^2))D. f(x) = 1/(μ√(2π)) * e^(-(x-σ)^2 / (2σ^2))答案：A3. 两个随机变量X和Y相互独立，则以下哪个等式一定成立？（）A. P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)B. P(X=x, Y=y) = P(X=x) + P(Y=y)C. P(X=x, Y=y) = P(X=x) - P(Y=y)D. P(X=x, Y=y) = P(X=x) / P(Y=y)答案：A4. 以下哪个事件是不可能事件？（）A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，反面朝上C. 抛一枚硬币，正面和反面同时朝上D. 抛一枚硬币，正面或反面朝上答案：C5. 如果随机变量X服从泊松分布，其参数为λ，则其方差Var(X)为（）。
A. λB. λ^2C. 1/λD. 2λ答案：A6. 以下哪个事件是必然事件？（）A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，反面朝上C. 抛一枚硬币，正面和反面同时朝上D. 抛一枚硬币，正面或反面朝上答案：D7. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，则其期望E(X)为（）。
A. (a+b)/2B. aC. bD. 2a-b答案：A8. 以下哪个事件是随机事件？（）A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，反面朝上C. 抛一枚硬币，正面和反面同时朝上D. 抛一枚硬币，正面或反面朝上答案：A9. 如果随机变量X和Y相互独立，则以下哪个等式一定成立？（）A. P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)B. P(X=x, Y=y) = P(X=x) + P(Y=y)C. P(X=x, Y=y) = P(X=x) - P(Y=y)D. P(X=x, Y=y) = P(X=x) / P(Y=y)答案：A10. 以下哪个事件是不可能事件？（）A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，反面朝上C. 抛一枚硬币，正面和反面同时朝上D. 抛一枚硬币，正面或反面朝上答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其概率密度函数为f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ表示________，σ^2表示________。
北邮版概率论标准答案(7)
习题七1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计.【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X所以p 的矩估计量 ˆXpn= 2.设总体X 的密度函数f （x ,θ）=22(),0,0,.x x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】23022022()()d ,233x x E X x x x θθθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰令E (X )=A 1=X ,因此3θ=X 所以θ的矩估计量为 ^3.X θ=3.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似然估计.（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-⎧≥⎨<⎩（2） f （x ，θ）=1,01,0,.x x θθ-⎧<<⎨⎩其他【解】（1） 似然函数111(,)ee eniii n nx x nn ii i L f x θθθθθθ=---==∑===∏∏1ln ln ni i g L n x θθ===-∑由1d d ln 0d d ni i g L n x θθθ===-=∑知 1ˆnii nxθ==∑所以θ的极大似然估计量为1ˆXθ=.(2) 似然函数11,01nni i i L x x θθ-==<<∏g,i =1,2,…,n.1ln ln (1)ln ni i L n x θθ==+-∏由1d ln ln 0d ni i L nx θθ==+=∏知 11ˆln ln nniii i n nxx θ===-=-∑∏所以θ的极大似然估计量为 1ˆln nii nxθ==-∑求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n =¶0.094.EXx ==- 由222221()()[()],()ni i x E X D X E X E X A n==+==∑知222ˆˆ[()]E X A σ+=,即有 ˆσ=于是 ˆ0.101890.0966σ=== 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966. 5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2E X θ=,令()E X X =，则ˆ2X θ=且ˆ()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为ˆ220.6 1.2x θ==⨯=且ˆ2X θ=是一个无偏估计.(2) 似然函数8811(,)i i L f x θθ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∏,i =1,2, (8)显然L =L (θ)↓(θ>0)，那么18max{}i i x θ≤≤=时，L =L (θ)最大,所以θ的极大似然估计值ˆθ=0.9. 因为E(ˆθ)=E (18max{}i i x ≤≤)≠θ,所以ˆθ=18max{}ii x ≤≤不是θ的无偏计. 6.设X 1，X 2，…，X n 是取自总体X 的样本，E （X ）=μ，D （X ）=σ2，2ˆσ=k 1211()n i i i X X -+=-∑,问k 为何值时2ˆσ为σ2的无偏估计. 【解】令 1,i i i Y X X +=-i =1,2,…,n -1,则 21()()()0,()2,i i i i E Y E X E X D Y μμσ+=-=-==于是 1222211ˆ[()](1)2(1),n ii E E k Yk n EY n k σσ-===-=-∑那么当22ˆ()E σσ=,即222(1)n k σσ-=时, 有 1.2(1)k n =-7.设X 1，X 2是从正态总体N （μ，σ2）中抽取的样本112212312211311ˆˆˆ;;;334422X X X X X X μμμ=+=+=+ 试证123ˆˆˆ,,μμμ都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 【证明】（1）11212212121ˆ()()(),333333E E X X E X E X μμμμ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭21213ˆ()()()44E E X E X μμ=+=, 31211ˆ()()(),22E E X E X μμ=+= 所以123ˆˆˆ,,μμμ均是μ的无偏估计量. (2) 22221122145ˆ()()(),3399D D X D X X σμσ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222212135ˆ()()(),448D D X D X σμ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()223121ˆ()()(),22D D X D X σμ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭8.某车间生产的螺钉，其直径X ~N （μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm ）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 【解】n =6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,0.25214.95, 1.96,a x u u ===,μ的置信度为0.95的置信区间为/2(14.950.1 1.96)(14.754,15.146)x u α⎛±=±⨯= ⎝.9.总体X ~N (μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n 多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L ？【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为/2x u α⎛± ⎝,/2u α,/2u α≤L ,得n ≥22/224()u L ασ 10.设某种砖头的抗压强度X ~N （μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg ·cm -2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间. 【解】76.6,18.14,10.950.05,20,x s n α===-==/20.025222/20.0250.975(1)(19) 2.093,(1)(19)32.852,(19)8.907t n t n ααχχχ-==-===(1) μ的置信度为0.95的置信区间/2(1)76.6 2.093(68.11,85.089)a x n ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)2σ的置信度为0.95的置信区间222222/21/2(1)(1)1919,18.14,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.8528.907n s n s n n ααχχ-⎛⎫--⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 11.设总体X ~f (x )=(1),01;10,.x x θθθ⎧+<<>-⎨⎩其中其他X 1,X 2,…,X n 是X 的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)1101()()d (1)d ,2E X xf x x x x θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰ 又1(),2X E X θθ+==+ 故21ˆ1X Xθ-=-所以θ的矩估计量 21ˆ.1X Xθ-=- (2) 似然函数11(1) 01(1,2,,)()()0n n ni i i i i x x i n L L f x θθθ==⎧+<<=⎪===⎨⎪⎩∏∏L 其他. 取对数11ln ln(1)ln (01;1),d ln ln 0,d 1nii i ni i L n x x i n L n x θθθθ===++<<≤≤=+=+∑∑所以θ的极大似然估计量为1ˆ1.ln nii nXθ==--∑12.设总体X ~f (x )= 36(),0;0,.xx x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1,X 2,…,X n 为总体X 的一个样本（1） 求θ的矩估计量ˆθ； （2） 求ˆ()D θ.【解】(1) 236()()d ()d ,2x E X xf x x x x θθθθ+∞-∞=-=⎰⎰令 ,2EX X θ==所以θ的矩估计量 ˆ2.X θ= (2)4ˆ()(2)4(),D D X D X DX nθ===， 又322236()63()d ,2010x x E X x θθθθθ-===⎰于是222223()()(),10420D XE X EX θθθ=-=-=,所以2ˆ().5D nθθ=13.设某种电子元件的使用寿命X 的概率密度函数为f (x ,θ)= 2()2,;0,.x x x θθθ--⎧>⎨≤⎩e其中θ(θ>0)为未知参数，又设x 1,x 2,…,x n 是总体X 的一组样本观察值，求θ的极大似然估计值.【解】似然函数12()12e 0;1,2,,;()0ln ln 22(),;1,2,,,ni i x n i n i i i x i n L L L n x x i n θθθθ=--=⎧∑⎪⋅≥===⎨⎪⎩=--≥=∑L L 其他.由d ln 20ln (),d Ln L θθ=>↑知 那么当01ˆˆmin{}ln ()max ln ()ii nx L L θθθθ>≤≤==时 所以θ的极大似然估计量1ˆmin{}ii nx θ≤≤=其中θ(0<θ<12)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值. 【解】813ˆ(1)()34,()4 28ii x E X E X x x x θθ=-=-====∑令得又 所以θ的矩估计值31ˆ.44x θ-== （2） 似然函数86241(,)4(1)(12).ii L P x θθθθ===--∏2ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),d ln 628628240,d 112(1)(12)L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==---- 解2628240θθ-+=得1,272θ=. 由于71,122> 所以θ的极大似然估计值为7ˆ2θ-=15.设总体X 的分布函数为F （x ,β）=1,,0,.x xx ββααα⎧->⎪⎨⎪≤⎩其中未知参数β>1,α>0，设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本（1） 当α=1时，求β的矩估计量；（2） 当α=1时，求β的极大似然估计量； （3） 当β=2时，求α的极大似然估计量. 【解】当α=1时，11,1;(,)(,1,)0,1.x x f x F x x x ββββ+⎧≥⎪==⎨⎪<⎩当β=2时, 2132,;(,)(,,2)0,.x x f x F x x x ααααα⎧≥⎪==⎨⎪<⎩(1) 111()d 11E X x x x βββββββ+∞-+∞===--⎰令()E X X =,于是ˆ,1XX β=- 所以β的矩估计量ˆ.1XX β=- (2) 似然函数(1)1111,1,(1,2,,);()(,)0,.ln ln (1)ln ,d ln ln 0,d n n ni i i i i ni i ni i x x i n L L f x L n x L n x ββββββββ-+====⎧⎛⎫>=⎪ ⎪===⎨⎝⎭⎪⎩=-+=-=∏∏∑∑L 其他所以β的极大似然估计量1ˆ.ln nii nxβ==∑(3) 似然函数23112,,(1,2,,);(,)0,.n ni nn i i i i x i n L f x x ααα==⎧≥=⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩∏∏L 其他 显然(),L L α=↑那么当1ˆmin{}i i nx α≤≤=时,0ˆ()max ()a L L L αα>== , 所以α的极大似然估计量1ˆmin{}i i nx α≤≤=. 16.从正态总体X ~N （3.4，62）中抽取容量为n 的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问n 至少应取多大？2/2()d zt z t ϕ-=⎰【解】26~3.4,X N n ⎛⎫⎪⎝⎭,则~(0,1),X Z N = {1.4 5.4}33210.95333Z P X P PZ ΦΦΦ<<<<=⎧=-<<⎨⎩⎭⎛⎫⎛⎛⎫=-=-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是0.975Φ≥ 1.96≥, ∴ n ≥35.17. 设总体X 的概率密度为f (x ，θ)=,01,1,12,0,.x x θθ<<⎧⎪-≤<⎨⎪⎩其他 其中θ是未知参数（0<θ<1）,X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值x 1,x 2,…,x n 中小于1的个数.求： （1） θ的矩估计；（2） θ的最大似然估计. 解 (1) 由于121(;)d d (1)d EX xf x x x x x x θθθ+∞-∞==+⎰⎰⎰-133(1)222θθθ=+-=-. 令32X θ-=，解得32X θ=-， 所以参数θ的矩估计为$32X θ=-. (2) 似然函数为1()(;)(1)nN n N i i L f x θθθθ-===-∏，取对数，得ln ()ln ()ln(1),L N n N θθθ=+--两边对θ求导，得d ln ().d 1L N n Nθθθθ-=-- 令 d ln ()0,d L θθ=得 Nnθ=，所以θ的最大似然估计为$Nnθ=. 18.设12,,,n X X X L 是总体2(,)N μσ的简单随机样本.记222211111,(),.1n n i ii i X X S X X T X S n n n====-=--∑∑ （1）证明T 是2μ的无偏估计量； （2）当0,1μσ==时，求D(T).分析 根据无偏估计的定义求E(T)即可证明（1）.（2）可用方差的计算公式或统计量的分布的定义和性质求解. 证（1）因为222222222211()()1()E T E X S E X ES n nE X DX ES nnnσσμμ=-=-=+-=+-= 所以T 是2μ的无偏估计量.解（2） 解法1 当0,1μσ==时，有222222222222221()()1111[(1)](1)11121222(1)(1).(1)1(1)D T D X S n DX DS D D n S n n n n n n n n n n n n =-=+=+--=+-=+=---g g g g 解法2 22()()()D T E T E T =- 22()0()1E T E S σ===42224221()()()()()()D T E T E X E X E S E S n n==-+其中4222()()()E X D X E X =+222222222)[()()]1[()]1132()D X D X E X D D X n n n n=++=+=+=g 4222()()()E S D S E S =+ 222211[(1)](1)2(1)11(1)1D n S n n n n n =+---+=+=-- 22321112()11(1)n D T n n n n n n n +∴=-⨯⨯+⨯=--19.设总体X 的概率密度为1,0,21(,),1,2(1)0x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数θ(0<θ<1)未知，12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（1）求参数θ的矩估计量θ∧；（2）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.分析 利用矩估计原理 11u A ∧=可求出θ的矩估计量，再求2(4)E X 判断24X 是否为2θ的无偏估计量.解 （1） ()(;)E X xf x dx θ+∞-∞=⎰ 101.22(1)42x x dx dx θθθθθ=+=+-⎰⎰ 令 2()X E X =，即142X θ=+，得θ的矩估计量为12.2X θ∧=- （2）因为 222(4)44[()]E X EX DX EX ==+221114[()()]4241()4D X n D X n θθθ=++=+++ 又 ()0,0,D X θ≥>所以 22(4)E X θ>，即 22(4),E X θ≠因此 24X 不是2θ的无偏估计量.。
2013-2014-北邮概率论研究生概率论-答案
北京邮电大学2013——2014学年第1学期《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。
在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一、 填空题：（每空3分，共30分）1．给定集合A ⊂Ω，则定义在Ω上的包含A 的最小σ-代数是 .{,,,}A A ΩΦ2．若12A ,A 是Ω上的两个非空集合类，i ν是i A (1,2)i =上的测度，若满足：（1） ;（2）112,()()A A A νν∀∈=有A ，则称2ν是1ν在2A 上的扩张。
12⊂A A3．某集代数包含了所有的左开右闭区间（实数集上的）. 该集代数上有一个测度P ，对于任意可测集(,]a b ，其中a b <，均有()(,]P a b b a =-.将该测度扩张到某σ-代数上记为μ.对单点集{}1，{}()1μ= . 04．设概率测度空间(),,F P Ω，,,A F B F AB ∈∈=Φ，()()11,23P A P B ==，两个简单函数()()()2A A f ωχωχω=+，()()()2B B g ωχωχω=+，则[]E f = ，[]E fg = .37,235． 设X 为定义某概率空间上的随机变量，若X 的分布函数为()F x ，则数学期望EX 的L-S 积分形式为 .()xdF x +∞-∞⎰6． 设三维随机变量(,,)X Y Z 服从正态分布(,)N a B ，其中()1,2,3a =，211121112B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则[[|]]E E X YZ =17．设随机过程{(),}t t X -∞<<+∞为平稳二阶矩过程，且均方连续.设该过程的均值函数为1μ=，相关函数(,)2t sR s t e --=，均方积分220()X t dt π⎰记为随机变量ξ. 则()E ξ= .π8．设()N t 为泊松过程,则条件概率((2)2|(3)3)P N N === .499. 设()W t 为参数为2σ的维纳过程,(0)0W =,则()cov (1),(2)W W = .2σ二.（8分）设A 是λ系，证明A 是单调类；若A 也是π系，证明A 是σ-代数。
概率论期末试题及答案
概率论期末试题及答案在概率论的学习过程中，期末试题是评估学生对该学科知识理解和应用的重要方式。
本文将给出一份概率论的期末试题及答案，以供参考。
试题将按照适当的格式整理，确保排版整洁美观，语句通顺，全文表达流畅，同时符合阅读体验的要求。
试题一：概率基础1. 已知事件A发生的概率为0.4，事件B发生的概率为0.6，求事件A和事件B同时发生的概率。
2. 一桶中装有6个红色球和4个蓝色球，从中随机抽取2个球，求这2个球颜色相同的概率。
3. 掷一颗骰子，点数为1至6的概率各为1/6。
连续投掷两次，求两次投掷结果和为7的概率。
试题二：概率分布1. 某商品的销售量服从正态分布N(150, 25)，计算销售量在120至180之间的概率。
2. 某批产品的质量服从均匀分布U(60, 80)，求产品质量小于75的概率。
3. 甲、乙两个小组分别进行同一项任务，甲组平均完成时间为4小时，标准差为0.5小时；乙组平均完成时间为3.8小时，标准差为0.3小时。
求完成时间小于4.2小时的概率。
试题三：条件概率1. 假设事件A和事件B是相互独立的，已知P(A)=0.3，P(B)=0.4，求P(A|B)和P(B|A)。
2. 某城市的天气预报根据历史数据和气象模型给出，根据预报可以推测出降雨的概率。
已知天气预报准确率为80%，预报为有降雨的概率为30%，求实际发生降雨的概率。
3. 从一批产品中随机抽取一件进行检验，已知该批产品中次品率为5%，已检一件产品为次品，求该件产品来自次品批次的概率。
试题四：随机变量1. 设随机变量X服从指数分布Exp(λ)，已知λ=0.1，求P(X≥2)。
2. 设随机变量X服从均匀分布U(20, 40)，求X的期望值E(X)和方差Var(X)。
3. 设随机变量X服从正态分布N(60, 16)，求P(X>70)和P(50≤X≤80)。
试题五：大数定律和中心极限定理1. 设随机变量X服从参数为p的二项分布B(n,p)，当n=200，p=0.4时，根据大数定律，计算X的期望值E(X)和方差Var(X)。
大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案
大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案一、填空题(每空 3 分，共 30分)在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加 样本容量 .设随机变量具有数学期望与方差，则有切比雪夫不等式 .设为连续型随机变量,为实常数，则概率= 0 . 设的分布律为，,若绝对收敛(为正整数),则=.某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为. 设服从参数为的分布,则=. 设，则数学期望= 7 .为二维随机变量, 概率密度为, 与的协方差的积分表达式为 .设为总体中抽取的样本的均值,则＝ . (计算结果用标准正态分布的分布函数表X ()E X μ=2()D X σ={}2P X μσ-≥≤14X a {}P X a =X ,{}1,2,k k P X x p k ===2Y X =1n k k k x p ∞=∑n()E Y 21k k k x p ∞=∑17X λpoisson (2)E X 2λ(2,3)YN 2()E Y (,)X Y (,)f x y X Y (,)Cov X Y (())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰X N （3，4）14,,X X {}15P X ≤≤2(2)1Φ-()x Φ示)10. 随机变量,为总体的一个样本，,则常数=.A 卷第1页共4页 概率论试题(45分) 1、(8分)题略解：用，分别表示三人译出该份密码,所求概率为 （2分）由概率公式 （4分）（2分） 2、(8分) 设随机变量，求数学期望与方差.解：(1) = （3分） (2) （3分） （2分）(8分) 某种电器元件的寿命服从均值为的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命相互独立，记，用中心极限定理计算的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数表示).2(0,)XN σn X X X ,,,21 X221()(1)ni i Y k X χ==∑k 21n σA B C 、、P A B C （）P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）1-1-1-p q r =1-（）（）（）()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====()E X Y +(23)D X Y -()E X Y +E X E Y （）+（）=1+3=4(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-8361244XYρ=+-=-100h i T 161ii T T ==∑{1920}P T ≥()x Φ解： （3分） （5分）(4分)(10分)设随机变量具有概率密度,.(1)求的概率密度； (2) 求概率.解: (1) （1分）A 卷第2页共4页（2分）（2分）概率密度函数 （2分）(2) . （3分） (11分) 设随机变量具有概率分布如下,且.i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000{1920}0.8}1P T P ≥=≥≈-Φ（0.8）X 11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它21Y X =+Y ()Y f y 312P Y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12Y Y y F y y F y≤>时（）=0,时（）=1212,{}{1}()d Y y F yP Y y P X y f x x <≤≤=+≤=（）=02d 1x y ==-2()=Y Y y f y F y≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222(,)X Y {}110P X Y X +===(1)求常数； (2)求与的协方差,并问与是否独立?解: (1) （2分）由（2分） 可得 （1分）(2), , （3分） （2分） 由可知与不独立 （1分） 三、数理统计试题(25分)1、(8分) 题略. A 卷第3页共4页 证明:,相互独立（4分） ,（4分）,p q X Y (,)Cov X Y X Y 1111134123p q p q ++++=+=，即{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X p P X Y X P X P X p +====+========+，，1p q ==EX 1（）=2E Y 1（）=-3E XY 1（）=-6,-CovX Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0..ij i j P P P ≠X Y 222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ--22(1)X n S σ-2(1)X t n -(1)X t n -(10分) 题略解：似然函数 （4分）由 可得为的最大似然估计 (2分)由可知为的无偏估计量，为的有偏估计量 (4分) 、(7分) 题略 解： （2分）检验统计量，拒绝域 （2分）而 （1分）因而拒绝域，即不认为总体的均值仍为4.55 （2分）A 卷第4页共4页2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑2,μσ221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==11ˆn i i x n μ==∑μ2211ˆ()ni i x n σμ==-∑2σ01: 4.55: 4.55H H μμ=≠x z =0.025 1.96z z ≥=0.185 1.960.036z ==>0H。
北邮版概率论答案(7)
习题七1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计.【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X所以p 的矩估计量 ˆXpn= 2.设总体X 的密度函数f （x ,θ）=22(),0,0,.x x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】23022022()()d ,233x x E X x x x θθθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰令E (X )=A 1=X ,因此3θ=X 所以θ的矩估计量为^3.X θ=3.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似然估计.（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-⎧≥⎨<⎩（2） f （x ，θ）=1,01,0,.x x θθ-⎧<<⎨⎩其他【解】（1） 似然函数111(,)ee eniii n nx x nn ii i L f x θθθθθθ=---==∑===∏∏1ln ln ni i g L n x θθ===-∑由1d d ln 0d d ni i g L n x θθθ===-=∑知 1ˆnii nxθ==∑所以θ的极大似然估计量为1ˆXθ=.(2) 似然函数11,01nni i i L x x θθ-==<<∏g,i =1,2,…,n.1ln ln (1)ln ni i L n x θθ==+-∏由1d ln ln 0d ni i L nx θθ==+=∏知 11ˆln ln nniii i n nxx θ===-=-∑∏所以θ的极大似然估计量为 1ˆln nii nxθ==-∑求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n =¶0.094.EXx ==-由222221()()[()],()ni i x E X D X E X E X A n==+==∑知222ˆˆ[()]E X A σ+=,即有 ˆσ=于是 ˆ0.101890.0966σ=== 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为和.5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：,,,,,,,，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2E X θ=,令()E X X =，则ˆ2X θ=且ˆ()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为ˆ220.6 1.2x θ==⨯=且ˆ2X θ=是一个无偏估计.(2) 似然函数8811(,)i i L f x θθ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∏,i =1,2, (8)显然L =L (θ)↓(θ>0)，那么18max{}i i x θ≤≤=时，L =L (θ)最大,所以θ的极大似然估计值ˆθ=. 因为E(ˆθ)=E (18max{}i i x ≤≤)≠θ,所以ˆθ=18max{}ii x ≤≤不是θ的无偏计. 6.设X 1，X 2，…，X n 是取自总体X 的样本，E （X ）=μ，D （X ）=σ2，2ˆσ=k 1211()n i i i X X -+=-∑,问k 为何值时2ˆσ为σ2的无偏估计. 【解】令 1,i i i Y X X +=-i =1,2,…,n -1,则 21()()()0,()2,i i i i E Y E X E X D Y μμσ+=-=-==于是 1222211ˆ[()](1)2(1),n ii E E k Yk n EY n k σσ-===-=-∑那么当22ˆ()E σσ=,即222(1)n k σσ-=时, 有 1.2(1)k n =-7.设X 1，X 2是从正态总体N （μ，σ2）中抽取的样本112212312211311ˆˆˆ;;;334422X X X X X X μμμ=+=+=+ 试证123ˆˆˆ,,μμμ都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 【证明】（1）11212212121ˆ()()(),333333E E X X E X E X μμμμ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭21213ˆ()()()44E E X E X μμ=+=, 31211ˆ()()(),22E E X E X μμ=+= 所以123ˆˆˆ,,μμμ均是μ的无偏估计量. (2) 22221122145ˆ()()(),3399D D X D X X σμσ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222212135ˆ()()(),448D D X D X σμ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()223121ˆ()()(),22D D X D X σμ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭8.某车间生产的螺钉，其直径X ~N （μ，σ2），由过去的经验知道σ2=,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm ）如下：试求μ的置信概率为的置信区间. 【解】n =6,σ2=,α==,0.25214.95, 1.96,a x u u ===,μ的置信度为的置信区间为/2(14.950.1 1.96)(14.754,15.146)x u α⎛±=±⨯= ⎝.9.总体X ~N (μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n 多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为/2x u α⎛± ⎝,/2u α,/2u α≤L ,得n ≥22/224()u L ασ 10.设某种砖头的抗压强度X ~N （μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg ·cm -2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1） 求μ的置信概率为的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为的置信区间.【解】76.6,18.14,10.950.05,20,x s n α===-==/20.025222/20.0250.975(1)(19) 2.093,(1)(19)32.852,(19)8.907t n t n ααχχχ-==-===(1) μ的置信度为的置信区间/2(1)76.6 2.093(68.11,85.089)a x n ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)2σ的置信度为的置信区间222222/21/2(1)(1)1919,18.14,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.8528.907n s n s n n ααχχ-⎛⎫--⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 11.设总体X ~f (x )=(1),01;10,.x x θθθ⎧+<<>-⎨⎩其中其他X 1,X 2,…,X n 是X 的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)1101()()d (1)d ,2E X xf x x x x θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰ 又1(),2X E X θθ+==+ 故21ˆ1X Xθ-=-所以θ的矩估计量 21ˆ.1X Xθ-=- (2) 似然函数11(1) 01(1,2,,)()()0n n ni i i i i x x i n L L f x θθθ==⎧+<<=⎪===⎨⎪⎩∏∏L 其他. 取对数11ln ln(1)ln (01;1),d ln ln 0,d 1nii i ni i L n x x i n L n x θθθθ===++<<≤≤=+=+∑∑所以θ的极大似然估计量为1ˆ1.ln nii nXθ==--∑12.设总体X ~f (x )= 36(),0;0,.xx x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1,X 2,…,X n 为总体X 的一个样本（1） 求θ的矩估计量ˆθ； （2） 求ˆ()D θ.【解】(1) 236()()d ()d ,2x E X xf x x x x θθθθ+∞-∞=-=⎰⎰令 ,2EX X θ==所以θ的矩估计量 ˆ2.X θ= (2)4ˆ()(2)4(),D D X D X DX nθ===， 又322236()63()d ,2010x x E X x θθθθθ-===⎰于是222223()()(),10420D XE X EX θθθ=-=-=,所以2ˆ().5D nθθ=13.设某种电子元件的使用寿命X 的概率密度函数为f (x ,θ)= 2()2,;0,.x x x θθθ--⎧>⎨≤⎩e其中θ(θ>0)为未知参数，又设x 1,x 2,…,x n 是总体X 的一组样本观察值，求θ的极大似然估计值.【解】似然函数12()12e 0;1,2,,;()0ln ln 22(),;1,2,,,ni i x n i n i i i x i n L L L n x x i n θθθθ=--=⎧∑⎪⋅≥===⎨⎪⎩=--≥=∑L L 其他.由d ln 20ln (),d Ln L θθ=>↑知 那么当01ˆˆmin{}ln ()max ln ()ii nx L L θθθθ>≤≤==时 所以θ的极大似然估计量1ˆmin{}ii nx θ≤≤=其中θ(0<θ<12)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值. 【解】813ˆ(1)()34,()4 28ii x E X E X x x x θθ=-=-====∑令得又 所以θ的矩估计值31ˆ.44x θ-== （2） 似然函数86241(,)4(1)(12).ii L P x θθθθ===--∏2ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),d ln 628628240,d 112(1)(12)L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==---- 解2628240θθ-+=得1,272θ±=. 由于71,122+> 所以θ的极大似然估计值为7ˆ2θ-=. 15.设总体X 的分布函数为F （x ,β）=1,,0,.x xx ββααα⎧->⎪⎨⎪≤⎩其中未知参数β>1,α>0，设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本（1） 当α=1时，求β的矩估计量；（2） 当α=1时，求β的极大似然估计量； （3） 当β=2时，求α的极大似然估计量. 【解】当α=1时，11,1;(,)(,1,)0,1.x x f x F x x x ββββ+⎧≥⎪==⎨⎪<⎩当β=2时, 2132,;(,)(,,2)0,.x x f x F x x x ααααα⎧≥⎪==⎨⎪<⎩(1) 111()d 11E X x x x βββββββ+∞-+∞===--⎰令()E X X =,于是ˆ,1XX β=- 所以β的矩估计量ˆ.1XX β=- (2) 似然函数(1)1111,1,(1,2,,);()(,)0,.ln ln (1)ln ,d ln ln 0,d n n ni i i i i ni i ni i x x i n L L f x L n x L n x ββββββββ-+====⎧⎛⎫>=⎪ ⎪===⎨⎝⎭⎪⎩=-+=-=∏∏∑∑L 其他所以β的极大似然估计量1ˆ.ln nii nxβ==∑(3) 似然函数23112,,(1,2,,);(,)0,.n ni nn i i i i x i n L f x x ααα==⎧≥=⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩∏∏L 其他 显然(),L L α=↑那么当1ˆmin{}i i nx α≤≤=时,0ˆ()max ()a L L L αα>== , 所以α的极大似然估计量1ˆmin{}i i nx α≤≤=. 16.从正态总体X ~N （，62）中抽取容量为n 的样本，如果其样本均值位于区间（，）内的概率不小于，问n 至少应取多大2/2()d zt z t ϕ-=⎰【解】26~3.4,X N n ⎛⎫⎪⎝⎭,则~(0,1),X Z N = {1.4 5.4}33210.95333Z P X P P ZΦΦΦ<<<<=⎧=-<<⎨⎩⎭⎛⎫⎛⎛⎫=-=-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是0.975Φ≥ 1.96≥, ∴ n ≥35.17. 设总体X 的概率密度为f (x ，θ)=,01,1,12,0,.x x θθ<<⎧⎪-≤<⎨⎪⎩其他 其中θ是未知参数（0<θ<1）,X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值x 1,x 2,…,x n 中小于1的个数.求： （1） θ的矩估计；（2） θ的最大似然估计. 解 (1) 由于121(;)d d (1)d EX xf x x x x x x θθθ+∞-∞==+⎰⎰⎰-133(1)222θθθ=+-=-. 令32X θ-=，解得32X θ=-， 所以参数θ的矩估计为$32X θ=-. (2) 似然函数为1()(;)(1)nN n N i i L f x θθθθ-===-∏，取对数，得ln ()ln ()ln(1),L N n N θθθ=+--两边对θ求导，得d ln ().d 1L N n Nθθθθ-=-- 令 d ln ()0,d L θθ=得 Nnθ=，所以θ的最大似然估计为$Nnθ=. 18.设12,,,n X X X L 是总体2(,)N μσ的简单随机样本.记222211111,(),.1n n i ii i X X S X X T X S n n n====-=--∑∑ （1）证明T 是2μ的无偏估计量； （2）当0,1μσ==时，求D(T).分析 根据无偏估计的定义求E(T)即可证明（1）.（2）可用方差的计算公式或统计量的分布的定义和性质求解. 证（1）因为222222222211()()1()E T E X S E X ES n nE X DX ES nnnσσμμ=-=-=+-=+-= 所以T 是2μ的无偏估计量.解（2） 解法1 当0,1μσ==时，有222222222222221()()1111[(1)](1)11121222(1)(1).(1)1(1)D T D X S n DX DS D D n S n n n n n n n n n n n n =-=+=+--=+-=+=---g g g g 解法2 22()()()D T E T E T =- 22()0()1E T E S σ===42224221()()()()()()D T E T E X E X E S E S n n==-+其中4222()()()E X D X E X =+222222222)[()()]1[()]1132()D X D X E X D D X n n n n=++=+=+=g 4222()()()E S D S E S =+ 222211[(1)](1)2(1)11(1)1D n S n n n n n =+---+=+=-- 22321112()11(1)n D T n n n n n n n +∴=-⨯⨯+⨯=--19.设总体X 的概率密度为1,0,21(,),1,2(1)0x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数θ(0<θ<1)未知，12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（1）求参数θ的矩估计量θ∧；（2）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.分析 利用矩估计原理 11u A ∧=可求出θ的矩估计量，再求2(4)E X 判断24X 是否为2θ的无偏估计量.解 （1） ()(;)E X xf x dx θ+∞-∞=⎰ 101.22(1)42x x dx dx θθθθθ=+=+-⎰⎰ 令 2()X E X =，即142X θ=+，得θ的矩估计量为12.2X θ∧=- （2）因为 222(4)44[()]E X EX DX EX ==+221114[()()]4241()4D X n D X n θθθ=++=+++ 又 ()0,0,D X θ≥>所以 22(4)E X θ>，即 22(4),E X θ≠因此 24X 不是2θ的无偏估计量.。
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第1章概率论的基本概念§1 .1 随机试验与随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A=；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为：.(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为：.(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为：.(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为：. (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为：.(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为：. 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则 (1)=)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃=.2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P =.§1 .4古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=⋃)(B A P 。
§1 .6 全概率公式1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。
2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。
§1 .7 贝叶斯公式1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。
2． 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，B 被误收作A 的概率为0.01，信息A 与信息B 传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？§1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。
设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。
A B L R C D2. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。
第1章作业答案§1 .11：（1）},,,,,,,{TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH S =； （2）}3,2,1,0{=S2：（1）}6,5,4,3{}5,3,1{==B A ；（2）{=A 正正，正反{},=B 正正，反反{},=C 正正，正反，反正}。
§1 .21： (1) ABC ；(2) C AB ；(3) C B A ；(4)C B A ⋃⋃；(5) BC AC AB ⋃⋃；(6) C B C A B A ⋃⋃或C B A C B A C B A C B A +++；2： (1)}41:{<<=⋃x x B A ；(2)}32:{≤≤=x x AB ；(3)}43:{<<=x x B A ；（4）10:{≤≤=⋃x x B A 或}52≤≤x ；（5）}41:{<<=x x B A 。
§1 .31： (1) )(AB P =0.3,(2))(B A P = 0.2,(3) )(B A P ⋃ = 0.7.2：)(B A P )=0.4.§1 .41：(1)103082228/C C C ,(2)(103082228922181022/C C C C C C ）（++,(3)1-(1030922181022/C C C C ）+.2： 3344/P .§1 .51：. 2/6；2： 1/4。
§1 .61：设A 表示第一人“中”，则 P(A) = 2/10设B 表示第二人“中”，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A )P(B|A )=1029210891102=⋅+⋅ 两人抽“中‘的概率相同, 与先后次序无关。
2： 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：p = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.45§1 .71：（1）94% （2）70/94； 2： 0.993；§1 .8.1： 用A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB ∪CD, 从而，由概率的性质与A,B,C,D 的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)424222p p p p p -=-+=2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章 随机变量与其分布§2.1 随机变量的概念，离散型随机变量1 一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X 表示取出的3个球 中的最大., 试写出X 的分布律.2 某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X 表示射击的次数, 试写出X 的分布律。
§2.210-分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2 设随机变量X 有分布律： X 23 , Y ～π(X), 试求： p 0.4 0.6（1）P(X=2,Y ≤2)； (2)P(Y ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。
§2.3贝努里分布1 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻 (1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少？ (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少？ (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少？ (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少？ 2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？§2.4随机变量的分布函数1设随机变量X 的分布函数是： F(x) = ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<11115.010x x x（1）求 P(X ≤0 )； P ()10≤<X ；P(X ≥1)，(2) 写出X 的分布律。
2 设随机变量X 的分布函数是：F(x) = ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+001x x xAx , 求（1）常数A, (2) P ()21≤<X .§2.5连续型随机变量1 设连续型随机变量X 的密度函数为：⎩⎨⎧<<=他其010)(x kx x f（1）求常数k 的值；（2）求X 的分布函数F(x)，画出F(x) 的图形，（3）用二种方法计算 P(- 0.5<X<0.5).2 设连续型随机变量0≥x 的分布函数为：F(x) = ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<e x e x x x 11ln 10(1)求X 的密度函数)(x f ，画出)(x f 的图形，(2)并用二种方法计算 P(X>0.5).§2.6均匀分布和指数分布1设随机变量K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 42x + 4Kx + K + 2 = 0有实根的概率。
2 假设打一次 所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进 亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。
§2.7正态分布1 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(2<X ≤5) , P(- 4<X ≤10), P(|X|>2),P(X>3)； (2) 确定c ，使得 P(X>c) = P(X<c)。
2 某产品的质量指标X 服从正态分布，μ=160，若要求P(120<X<200)≥0.80，试问σ最多取多大？§2.81设随机变量X Y = 2X – 1, 求随机变量的分布律。
2设随机变量X 的密度函数为：⎩⎨⎧<<-=他其010)1(2)(x x x f ，2X Y =；求随机变量Y 的密度函数。
3. 设随机变量X 服从（0， 1）上的均匀分布，X Y ln 2-=，求随机变量Y 的密度函数。
第2章作业答案§2.1 1p 0.1 2 p 0.4 §2.2 1(2) P(X ≥1) = 0.981684,(3) P(X ≤1) = 1 - P(X ≥2) = 1 – 0.908422 = 0.091578。
2：(1) 由乘法公式：P(X=2,Y ≤2) = P(X=2) P(Y ≤2 | X=2)= 0.4× (22222---++e e e)= 22-e（2）由全概率公式：P(Y ≤2) = P(X=2) P(Y ≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y ≤2 | X=3)= 0.4×52-e + 0.6×3217-e = 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 （3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y ≤2)=516.052458.027067.0)2()2,2(==≤≤=Y P Y X P§2.3 1： 设X 表示在同一时刻被使用的台数，则 X ～B(5, 0.6),(1) P( X = 2 ) = 32254.06.0C (2) P(X ≥3 ) = 544523356.04.06.04.06.0++C C(3) P(X ≤3 ) = 1 - 54456.04.06.0-C (4)P(X ≥1 ) = 1 - 54.02： 至少必须进行11次独立射击.§2.4 1：（1）P(X ≤0 )=0.5； P ()10≤<X = 0.5；P(X ≥1) = 0.5，(2) X 的分布律为：P 0.5 0.52： (1) A = 1,(2) P ()21≤<X =1/6§2.5 1：（1）2=k ，（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x xx x F ； （3）P(- 0.5<X<0.5) =4120)(5.005.05.05.0=+=⎰⎰⎰--xdx dx dx x f ； 或= F(0,5) – F(-0.5) =41041=-。