九年级北师大版数学
北师大版九年级上册数学期末考试试卷含答案
北师大版九年级上册数学期末考试试题一、单选题 1．若25x y =，则xy的值是（ ） A ．52 B ．25 C ．32D ．232．如图所示的几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列关于矩形的说法，正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分 4．连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是（ ） A ．16 B ．14C ．12 D ．135．两个相似多边形的相似比是3：4，其中小多边形的面积为18cm 2，则较大多边形的面积为（ ）A ．16cm 2B ．54cm 2C ．32cm 2D ．48cm 2 6．如图，////AB CD EF ，若3BF DF =，则ACCE的值是（ ）A ．2B ．12 C ．13D ．3 7．点A （﹣3，y 1）、B （﹣1，y 2）、C （2，y 3）都在反比例函数y ＝6x-的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 3 8．下列对一元二次方程x 2+x ﹣3=0根的情况的判断，正确的是（ ） A ．有两个不相等实数根 B ．有两个相等实数根 C ．有且只有一个实数根 D ．没有实数根9．如图，有一张矩形纸片，长10cm ，宽6cm ，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm 2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm ，根据题意可列方程为（ ）A ．10×6﹣4×6x=32B ．（10﹣2x ）（6﹣2x ）=32C ．（10﹣x ）（6﹣x ）=32D ．10×6﹣4x 2=32 10．函数y=x+m 与my x=(m≠0)在同一坐标系内的图象可以是( ) A ．B ．C ．D ．11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣3，6）、B （﹣9，﹣3），以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B′的坐标是（ ）A ．（﹣3，﹣1）B ．（﹣1，2）C ．（﹣9，1）或（9，﹣1）D ．（﹣3，﹣1）或（3，1）12．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，2,BC AE BD =⊥，垂足为E ，30BAE∠=︒，那么ECO∆的面积是（）A B C D二、填空题13．在某一时刻，测得一根长为1.5m的标杆的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为16m，那么这根旗杆的高度为_______m．14．一个不透明袋中装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是27，则袋中红球约为________个．15．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2021=0有一根为x=﹣1，则a+b=______．16．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE//AC，CE//BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为_____．17．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心均在反比例函数y＝kx（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为___．三、解答题18．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．(1)若该方程的一个根为1，求a的值；(2)若a的值为3时，请解这个方程．19．某数学小组为调查实验学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“A：乘坐电动车，B：乘坐普通公交车或地铁，C：乘坐学校的定制公交车，D：乘坐家庭汽车，E：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．（1）本次调查中一共调查了名学生；扇形统计图中，E选项对应的扇形圆心角是度；（2）请补全条形统计图；（3）若甲、乙两名学生放学时从A、B、C三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率．20．某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为81元，平均每天可售出20件．（1）求平均每次降价盈利的百分率；（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？21．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，过点C的直线MN△AB，D为AB边上一点，过点D作DE△BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE ＝AD ；（2）当D 为AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC 满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？（不必说明理由）22．如图1，一次函数y ＝kx ﹣3（k≠0）的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数y ＝mx（x ＞0）的图象交于点A （8，1）．(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；(2)点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 作y 轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D ，连接OC ，OD ，AD ，当CD 等于6时，求点C 的坐标和△ACD 的面积； (3)在（2）的前提下，将△OCD 沿射线BA 方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O 的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标． 23．如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，//AD BC ，2AD BC =，90ABD ∠=︒，E 为AD 的中点，连接BE ．（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分BAD ∠，1BC =，求AC 的长．24．如图，已知Rt△ABO ，点B 在x 轴上，△ABO=90°，△AOB=30°，OB=函数()0ky x x=＞的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D ． （1）求反比例函数ky x=的表达式； （2）求△OCD 的面积；（3）点P 是x 轴上的一个动点，请直接写出使△OCP 为直角三角形的点P 坐标.25．如图，在Rt△ABC 中，△ACB=90°，点D 是斜边AB 的中点，过点B 、点C 分别作BE△CD ，CE△BD ．（1）求证：四边形BECD 是菱形；（2）若△A=60°，BECD 的面积.26．如图（1），在四边形ABCD 中，AB△DC ，CB△AB ，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，CD ＝8cm ，动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动，动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s ．点P 和点Q 同时出发，设运动的时间为t （s ），0＜t ＜5 （1）用含t 的代数式表示AP ；（2）当以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似时，求t 的值；（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当△QMB为直角三角形时，求t 的值．参考答案1．A【分析】利用比例的基本性质计算即可．【详解】△2x=5y，△xy=52，故选A．【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的性质并能进行灵活变形是解题的关键．2．D【分析】根据简单组合体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形，即可求解．【详解】解：根据简单组合体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形，因此选项D的图形比较符合题意，故选：D．【点睛】考查三视图的相关知识；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．3．D【详解】分析：根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：1．矩形的四个角都是直角2．矩形的对角线相等3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．5．对边平行且相等6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．解答：解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．故选D．4．B【分析】利用树状图法列出连续两次掷一枚质地均匀的硬币会出现的所有情况，看两次都正面朝上的情况占总情况的多少即为所求．【详解】解：画树状图如图所示：共有4种情况，两次都正面朝上的情况只有一种，所以两次都是正面朝上的概率是14．故答案选：B.【点睛】本题考查了求概率的方法，熟练应用树状图法或列表法求出所求情况数和总情况数是解题的关键．5．C【分析】设较大多边形的面积为S，由相似比与面积相似比的关系得18916S=，计算求解即可．【详解】解：设较大多边形的面积为S由两个相似多边形的相似比是3：4，可知两个相似多边形面积的相似比是9：16△18916 S=解得32S=故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键在于明确相似多边形的面积比与相似6．A【分析】由BF=3DF，得BD=2DF，使用平行线分线段成比例定理计算即可.【详解】△BF=3DF，△BD=2DF，△////AB CD EF，△ACCE=BDDF，△ACCE=2DFDF=2，故选A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是定理的对应关系是解题的关键.7．C【分析】分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数y＝6x-求出y1、y2、y3的值，再比较大小即可．【详解】解：△点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝6x-的图象上，△y1＝63--＝2，y2＝61--＝6，y3＝62-＝﹣3，△﹣3＜2＜6，△y3＜y1＜y2，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键8．A【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．【详解】△a=1，b=1，c=﹣3，△△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，△方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根，故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0△方程有两个不相等的实数根；（2）△=0△方程有两个相等的实数根；（3）△＜0△方程没有9．B【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．故选B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．B【分析】先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m 的取值，二者一致的即为正确答案．【详解】A．由函数y=x+m的图象可知m＜0，由函数ymx=的图象可知m＞0，相矛盾，故错误；B．由函数y=x+m的图象可知m＞0，由函数ymx=的图象可知m＞0，正确；C．由函数y=x+m的图象可知m＞0，由函数ymx=的图象可知m＜0，相矛盾，故错误；D．由函数y=x+m的图象可知m=0，由函数ymx=的图象可知m＜0，相矛盾，故错误．故选：B．【点睛】此题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，解题关键在于掌握它们的性质才能灵活解题．11．D【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以13或-13即可得到点B′的坐标．【详解】解：△以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，△点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．故选：D．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．12．B【分析】过点C作CF△BD于F．根据矩形的性质得到△ABE＝△CDF＝60°，AB＝CD ，AD ＝BC ＝2，△AEB ＝△CFD ＝90°．根据全等三角形的性质得到AE ＝CF ．解直角三角形得到OE 【详解】解：如图：过点C 作CF△BD 于F ．△矩形ABCD 中，BC ＝2，AE△BD ，△△ABE ＝△CDF ＝60°，AB ＝CD ，AD ＝BC ＝2，△AEB ＝△CFD ＝90°．△△ABE△△CDF ，（AAS ），△AE ＝CF ．△△ABE ＝△CDF ＝60°，△△ADE ＝△CBF ＝30°，△CF ＝AE ＝12AD ＝1，△BE ＝tan AE ABE ∠ △△ABE ＝60°，AO=BO ，△△ABO 是等边三角形，△OE ＝△S△ECO ＝12OE•CF ＝112= 故选B ．13．8【分析】根据同时同地物高与影长成比相等，列式计算即可得解．【详解】设旗杆高度为x 米，由题意得：1.5316x = 解得8x =.故答案为8．14．25【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷27=35个，所以袋中红球约为35-10=25个.考点：简单事件的频率.15．2021【分析】将1x =-代入原方程即可得出答案．【详解】解：将1x =-代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2021=0中，得：20210a b +-=，△2021a b +=，故答案为：2021．16．10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD ＝20，证出平行四边形OCED 为矩形，得OE ＝CD ＝10即可．【详解】解：△DE //AC ，CE //BD ，△四边形OCED 为平行四边形，△四边形ABCD 是菱形，△AC△BD ，OA ＝OC ＝12AC ＝6，OB ＝OD ＝12BD ＝8，△△DOC ＝90︒，CD ＝10，△平行四边形OCED 为矩形，△OE ＝CD ＝10，故答案为：10．17．4.【分析】设A 点的坐标为（m ，n ）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为2n ，根据中心在反比例函数y ＝k x 上，求出中心的横坐标为2k n ，进而可得出BC 的长度，根据矩形ABCD 的面积即可求得．【详解】如图，延长DA 交y 轴于点E ，△四边形ABCD 是矩形，设A 点的坐标为（m ，n ）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为2n ，△矩形ABCD 的中心都在反比例函数y ＝k x 上， △x ＝2k n， △矩形ABCD 中心的坐标为（2k n ，2n ） △BC ＝2（2k n ﹣m ）＝4k n﹣2m ， △S 矩形ABCD ＝8，△（4k n﹣2m ）•n ＝8, 4k ﹣2mn ＝8，△点A （m ，n ）在y ＝k x上， △mn ＝k ，△4k ﹣2k ＝8解得：k ＝4故答案为:418．(1)12(2)12x x == 【分析】（1）将x=1代入原方程可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 的值； （2）把a=3代入原方程得到x 2+3x+1=0，再利用公式法求解即可．(1)将x=1代入原方程，得：1+a+a-2=0，解得：a=12．(2)把a=3代入原方程得，x 2+3x+1=0，△Δ=32-4×1×1=5，△x ==△12x x ． 19．（1）200，72；（2）见解析；（3）13．【分析】（1）根据B 的人数以及百分比得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；（2）求出C 组的人数即可补全图形；（3）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率．【详解】解：（1）本次调查的学生人数为6030%200÷=（名)，扇形统计图中，B 项对应的扇形圆心角是4036072200︒⨯=︒， 故答案为：200；72；（2）C 选项的人数为200(20603040)50-+++=（名)，补全条形图如下：（3）画树状图如图：共有9个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有3个， ∴甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为3193=． 20．（1）10%；（2）60元【分析】（1）设每次下降的百分率为a ，根据刚上市每件利润100元和连续两次降价后每件利润81元，可列方程为：100（1﹣a ）2＝81，即可求解；（2）设每件应降价x 元，则降价后的利润为()81x -，因降价后销量为()202x +，根据总利润=利润⨯销量，列方程进而求解．【详解】（1）设每次下降的百分率为a ，根据题意，得：100（1﹣a ）2＝81，解得：a ＝1.9（舍）或a ＝0.1＝10%，答：每次下降的百分率为10%；（2）设每件应降价x元，根据题意，得（81﹣x）（20+2x）＝2940，解得：x1＝60，x2＝11，△尽快减少库存，△x＝60，答：若商场每天要盈利2940元，每件应降价60元．21．（1）见解析；（2）菱形，理由见解析；（3）△A＝45°．【分析】（1）根据△ACB=90°，DE△BC可得DE//AC，即可证明四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得结论；（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得AD＝BD=CD，可得BD=CE，根据AB//MN可证明BECD是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论；（3）根据正方形的性质可得△CBD=45°，根据△ACB=90°可得△ABC为等腰直角三角形，可得答案．【详解】（1）△DE△BC，△△DFB＝90°，△△ACB＝90°，△△ACB＝△DFB，△AC△DE，△MN△AB，即CE△AD，△四边形ADEC是平行四边形，△CE＝AD．（2）四边形BECD是菱形，理由如下：△D为AB中点，△ACB＝90°，△AD＝BD=CD，△CE＝AD，△BD＝CE，△BD△CE，△四边形BECD是平行四边形，△BD=CD，△四边形BECD是菱形．（3）当△ABC 是等腰直角三角形时，四边形BECD 是正方形，理由如下：由（2）可知，四边形BECD 是菱形，△△BDC=90°时，四边形BECD 是正方形，△△CBD ＝45°，△△ACB=90°，△△ABC 是等腰直角三角形，△当△ABC 是等腰直角三角形时，四边形BECD 是正方形．22．(1)132y x =-，y=8x； (2)C （2，-2），18(3)O'（4，2），D'（6，6）．【分析】（1）把A 坐标代入一次函数解析式求出k 的值，确定出一次函数解析式，再将A 坐标代入反比例函数解析式求出k 的值，即可确定出反比例解析式；（2）设C 的坐标为（a ，132a -），表示出D 的坐标，两点纵坐标之差即为DC 的长，由已知DC 的长求出a 的值，确定出C 的坐标，过A 作AE△CD 于点E ，由A 与C 的横坐标之差求出AE 的长，三角形ACD 面积以DC 为底，AE 为高，求出即可；（3）连接OO'，由平移可得：OO'△AC ，根据两直线平行时k 的值相同确定出直线OO'的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点O'的坐标，根据平移的性质，由O 平移到O'的路径确定出D 平移到D'的路径，进而确定出D'的坐标即可．（1）解：△点A （8，1）在直线y=kx -3上，△1=8k -3，解得：k=12，△一次函数解析式为132y x =-，△A （8，1）在y=m x（x ＞0）的图象上， △1=8m ， 解得：m=8，则反比例函数解析式为y=8x；（2）解：设C（a，132a-）（0＜a＜8），则有D（a，8a），△CD=8a-（132a-）=8132aa-+，△CD=6，△81362aa-+=，解得：a=-8（舍去）或a=2，△131322a-=-=-，△C（2，-2），过A作AE△CD于点E，则AE=8-2=6，△S△ACD=12CD•AE=12×6×6=18；（3）连接OO'，由平移可得：OO'△AC，△直线OO'的解析式为y=12x，联立得：812y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得：42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩（不合题意，舍去）， △O'（4，2），即O （0，0）通过往右平移4个单位，往上平移2个单位得到O'（4，2），又由（2）中知D 坐标为（2，4），△点D （2，4）往右平移4个单位，往上平移2个单位得到D'（6，6）．【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．23．（1）见解析；（2）AC =（1）根据2AD BC =，E 为AD 的中点，证得四边形BCDE 是平行四边形，再根据BE=DE 即可证得结论；（2）根据AD△BC ，AC 平分BAD ∠，求出AD=2BC=2=2AB ，得到30ADB ∠=︒，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒，根据Rt ACD ∆求出答案即可．【详解】（1）证明：2AD BC =，E 为AD 的中点，DE BC ∴=．//AD BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形．90ABD ∠=︒，AE DE =，BE DE ∴=，则四边形BCDE 是菱形；（2）解：如答图所示，连接AC ，//AD BC ，AC 平分BAD ∠，BAC DAC BCA ∴∠=∠=∠．1AB BC ∴==．22AD BC ∴==，2AD AB ∴=，∴在Rt ABD ∆中，30ADB ∠=︒．30DAC ∴∠=︒，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒．在Rt ACD ∆中2AD =，1CD ∴=，∴AC．【点睛】此题考查菱形的判定定理及性质定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，平行线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟记菱形的判定及性质是解题的关键．24．（1）0)y x =>；（2（3）P （2，0）或（4，0）【分析】（1）解直角三角形求得AB ，作CE△OB 于E ，根据平行线分线段成比例定理和三角形中位线的性质求得C 的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）补形法，求出各点坐标，S △OCD =S △AOB -S △ACD - S △OBD ；（3）分两种情形：△△OPC=90°．△△OCP=90°，分别求解即可．【详解】解：（1）△△ABO=90°，△AOB=30°，OB=OB=2， 作CE△OB 于E ，△△ABO=90°，△CE△AB ，△OC=AC ， △OE=BE=12CE=12AB=1，△C1），△反比例函数k y x =（x ＞0）的图象经过OA 的中点C ，△反比例函数的关系式为y=；（2）△OB=△D的横坐标为代入y=y=12，△D（12），△BD=12，△AB=12，△AD=32，△S△OCD =S△AOB-S△ACD- S△OBD=12OB•AB-12AD•BE-12（3）当△OPC=90°时，点P的横坐标与点C的横坐标相等，C（2，2），△P（2，0）．当△OCP=90°时．△C（2，2），△△COB=45°．△△OCP为等腰直角三角形．△P（4，0）．综上所述，点P的坐标为（2，0）或（4，0）．【点睛】本题主要考查的是一次函数、反比例函数的综合应用，列出关于k、n的方程组是解答问题（2）的关键，分类讨论是解答问题（3）的关键．25．（1）见解析；（2）面积（1）先证明四边形BECD是平行四边形，再根据直角三角形中线的性质可得CD=BD，再根据菱形的判定即可求解；（2）根据图形可得菱形BECD的面积=直角三角形ACB的面积，根据三角函数可求BC，根据直角三角形面积公式求解即可．【详解】（1）证明：△BE△CD，CE△BD，△四边形BECD是平行四边形，△Rt△ABC中点D是AB中点，△CD=BD，△四边形BECD是菱形；（2）解：△Rt△ABC中，△A=60°，，△直角三角形ACB的面积为△菱形BECD【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．26．（1）10-2t；（2）4013或2513；（3）3527或209【分析】（1）作DH△AB于H，得矩形DHBC，则CD=BH=8cm，DH=BC=6cm，AH=8cm，由勾股定理可求得AD的长，从而可得AP；（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；（3）分△QMB=90゜和△MQB=90゜两种情况考虑即可，再由相似三角形的性质即可求得t 的值．【详解】（1）如图，作DH△AB于H则四边形DHBC是矩形△CD=BH=8cm，DH=BC=6cm△AH=AB-BH=16-8=8(cm)在Rt△ADH中，由勾股定理得10(cm)AD==△DP=2tcm△AP=AD-DP=(10-2t)cm（2）△当△APQ△△ADB时则有AP AD AQ AB=△10210 216tt-=解得：4013 t=△当△APQ△△ABD时则有AP AB AQ AD=△10216 210tt-=解得：2513 t=综上所述，当4013t=或2513t=时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似；（3）△当△QMB=90゜时，△QMB为直角三角形如图，过点P作PN△AB于N，DH△AB于H△△PNQ=△BHD△△QMB=90゜△△PQN+△DBH=90゜△△PQN+△QPN=90゜△△QPN=△DBH△△PNQ△△BHD△6384 QN DHPN BH===即4QN=3PN△PN△DH△△APN△△ADH△63105PN DHAP AD===，84105AN AHAP AD===△33(102)55PN AP t==-，44(102)55AN AP t==-△418(102)2855 QN AN AQ t t t =-=--=-由4QN=3PN得：1834(8)3(102) 55t t -=⨯-解得：3527 t=△当△MQB=90゜时，△QMB为直角三角形，如图则PQ△DH△△APQ△△ADH△45 AQ AHAP AD==△45 AQ AP=即42(102)5t t =-解得：209 t=综上所述，当3527t=或209时，△QMB是直角三角形．。
北师大版九年级数学上册综合与实践池塘里有多少条鱼
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如果口袋中只有若干个白球,没有其它颜色的球, 而且不允许将球倒出来数,那么你如何估计出其中 的白球数呢?与同伴进行交流. 可以向口袋中另放几个黑球,也可以从口袋中 抽出几个球并把它们染成黑色或做上标记
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八仙过海,尽显才能
（1）你能设计一个方案估计某鱼塘中鱼的总数吗？ （2）利用这种方法还可以解决生活中的哪些问题？请 举一个实例，并提供一个相应的解决方案．
一个口袋中有8个黑球和若干个白球,如果不许将球倒出 来数,那么你能估计出其中的白球数吗? 从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋 中.不断重复上述过程.我共摸了200次,其中有57次摸到 黑球,因此我估计口袋中大约有20个白球.
假设口袋中有 x 个白球,通过多 次试验 , 我们可以估计出从口 袋中随机摸出一球 , 它为黑球 的概率 ;另一方面 ,这个概率又
《数学》( 北师大.九年级 上册 )
综合实践
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要知道一个鱼缸里有多少条鱼? 只要知道自己的池塘中有多少条 鱼，该怎么办呢？
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先考虑一个比较简单的问题: 一个口袋中有8个黑球和若干个白球,如果不许将球倒 出来数,那么你能估计出其中的白球数吗? （1）分组设计摸球方案，估计口袋中所放的白球数． 有几种摸球方案？ （2）交流各组的摸球方案，说说其中的道理． 可以一次摸 一个球，也 可以一次摸 多个球．
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袋中是何色球 一个口袋中有8个黑球和若干个白球,如果不许将 球倒出来数,那么你能估计出其中的白球数吗? 小明是这样做的:
从口袋中随机摸出一球，记 下其颜色，再把它放回口袋 中.不断重复上述过程.我共 摸了200次,其中有57次摸到 黑球,因此我估计口袋中大约 有20个白球.
北师大版九年级上册全册数学课件及复习
C
∟
两组对边 分别平行
平行 四边形
一个角 是直角
矩形
一、矩形与平形四边形之间的关系
平行四边形 矩形
即：矩形是一种特殊的平行四边形
矩形有哪些性质？
具有平行四边形的所有性质
边：矩形的对边平行且相等
角：矩形对角相等；邻角互补 对角线：矩形对角线互相平分
∵四边形ABCD是平行四边形 又∵Aห้องสมุดไป่ตู้⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
议一议
已知线段AC,你能用尺规作图的方法做一 个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗?
D
A
B
C
议一议
以下是小刚的作法
你是怎么做的?你认为小刚的作法正确吗?与 同伴交流.
请尝试证明下面的定理
四条边相等的四边形是菱形 已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证: 四边形ABCD是菱形 证明:∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=BC
课堂小结
1. 通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的 学习过程中应该怎么做？
矩形的性质与判定
回忆
四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形
平行四边形的性质有： 边： 对边平行且相等
角：对角相等；邻角互补 对角线：对角线互相平分
平行四边形是中心对称图形.
四边形
有一个角是直角的平行四边 矩形的定义： 形叫做矩形.
试一试
对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与 BD交于点O,AC⊥BD. 求证: □ABCD是菱形
证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC 又∵AC⊥BD ∴BD是线段AC的垂直平分线 ∴BA=BC ∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
北师大版九年级数学第一学期期末试题及答案
北师大版九年级数学第一学期期末试题及答案一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（）A．0.4B．0.6C．0.8D．42．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，点A是位似中心，且AC：AF＝2：3，则四边形ABCD 与四边形AEFG的面积之比等于（）A．2：3B．4：9C．1：4D．1：24．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+n＝0没有实数根，则实数n的值可以为（）A．0B．1C．2D．35．（3分）已知反比例函数y＝，在下列结论中，不正确的是（）A．图象必经过点（1，2）B．图象在第一、二象限C．图象在第一、三象限D．若x＝2，则y＝16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的面积是（）A．6B．9C．12D．157．（3分）笼子里关着一只小松鼠（如图）．笼子主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先过第一道门（A或B），再过第二道门（C，D或E）才能出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门、再经过D门”的概率为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为边作正方形ABPQ，ACFH，BP交FH于点O．若BC＝BF＝2，则OP的长为（）A．B．2C．D．2二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+6＝0．其中一个解x＝3，则m的值为．10．（3分）地面上有一支蜡烛，蜡烛前面有一面墙，王涛同学在蜡烛与墙之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小而（增大、变小）．11．（3分）在一个布袋中装有只有颜色不同的a个小球，其中红球的个数为2，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出a大约是．12．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，且AF：AD＝1：3，EF交AC于G．若AC＝40，则AG＝．三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）14．（5分）解方程：y（y﹣7）+2y﹣14＝0．15．（5分）画出如图所示的正三棱柱的三视图．16．（5分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，以AC为边长作正方形ACEF，求这个正方形的周长．17．（5分）已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，求正整数m的值．18．（5分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形．19．（5分）某游泳池有1200立方米水，设放水的平均速度为v立方米/小时，将池内的水放完需t小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）若要求在3小时之内把游泳池的水放完，则每小时应至少放水多少立方米？20．（5分）如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF＝FB．21．（6分）解读诗词（通过列方程算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．22．（7分）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆“AB＝2.5米，BD＝23米，FB＝2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大楼的高度CD．23．（7分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有三个种类的奶制品：A：纯牛奶，B：酸奶，C：核桃奶；伊利品牌有两个种类的奶制品：D：纯牛奶，E：核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请用列表法或画树状图法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．24．（8分）如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．（1）求证：△ECD∽△EDB；（2）求△DCE与△ACB的周长比．25．（8分）如图，直角坐标系中，点B坐标为（6，0），且AO＝AB＝5，AH⊥x轴于点H，过B作BC⊥x轴交过点A的双曲线于点C，连接OC交AB于点D，交AH于点M．（1）求双曲线的表达式；（2）求的值．26．（10分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：△APD≌△CPD；（2）求证：△APE∽△FP A；（3）若PE＝4，PF＝12，求PC的长．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（）A．0.4B．0.6C．0.8D．4【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义，即可得＝，又由a＝3，b＝0.6，c＝2，即可求得d的值．【解答】解：∵a、b、c、d四条线段是成比例的线段，∴＝，∵a＝3，b＝0.6，c＝2，∴＝解得：d＝0.4．故选：A．【点评】此题考查了比例线段，此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．2．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看是两个同心圆，内圆要画成实线．故选：C．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3．（3分）如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，点A是位似中心，且AC：AF＝2：3，则四边形ABCD 与四边形AEFG的面积之比等于（）A．2：3B．4：9C．1：4D．1：2【分析】根据位似图形的概念得到EF∥BC，证明△BAC∽△EAF，根据相似三角形的性质求出，根据相似多边形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，∴四边形ABCD∽四边形AEFG，EF∥BC，∴△BAC∽△EAF，∴＝＝，∴四边形ABCD与四边形AEFG的面积之比为4：9，故选：B．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+n＝0没有实数根，则实数n的值可以为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据方程没有实数根得出（﹣3）2﹣4×1×n＜0，解之求出n的范围，结合各选项可得答案．【解答】解：根据题意，得：（﹣3）2﹣4×1×n＜0，解得：n＞，∴n的值可以是3，故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．（3分）已知反比例函数y＝，在下列结论中，不正确的是（）A．图象必经过点（1，2）B．图象在第一、二象限C．图象在第一、三象限D．若x＝2，则y＝1【分析】由k＝2＞0即可判断B，C；把x＝2，代入y＝可判断A，D．【解答】解：A．把（2，1）代入y＝得：左边＝右边，故本选项不符合题意；B．k＝2＞0，图象在第一、三象限内，故本选项符合题意；C．k＝2＞0，图象在第一、三象限内，故本选项不符合题意；D．把x＝2，代入y＝得y＝1，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，能熟练地根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．6．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的面积是（）A．6B．9C．12D．15【分析】由矩形的性质可得AO＝CO＝BO＝DO，可得S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△OCD＝3，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，∴S△AOB＝S△BOC＝S△AOD＝S△OCD＝3，∴矩形ABCD的面积＝12，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．7．（3分）笼子里关着一只小松鼠（如图）．笼子主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先过第一道门（A或B），再过第二道门（C，D或E）才能出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门、再经过D门”的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图，即可得出答案．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，先经过A门、再经过D门只有1种结果，所以先经过A门、再经过D门的概率为，故选：D．【点评】此题考查的是用树状图法．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；正确画出树状图是解题的关键．8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为边作正方形ABPQ，ACFH，BP交FH于点O．若BC＝BF＝2，则OP的长为（）A．B．2C．D．2【分析】根据正方形的性质得到△FOB∽△CBA，根据相似三角形的性质得到OF，利用勾股定理分别求出OB，PB进而可求．【解答】解：∵四边形ABPQ，ACFH为正方形，∴PB＝AB，AC＝CF＝CB+BF＝4，∠F＝∠C＝90°，∠PBA＝90°，∴∠FOB+∠FBO＝90°，∠ABC+∠FBO＝90°∴∠FOB＝∠ABC，∴△FOB∽△CBA，∴＝，即＝，∴OF＝1，在Rt△FBO中，由勾股定理得，OB＝＝＝，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝2，∴OP＝PB﹣OB＝，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质和相似三角形的性质与判定，利用正方形的性质得到△FOB∽△CBA，根据相似三角形的性质得到OF是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+6＝0．其中一个解x＝3，则m的值为5．【分析】把x＝3代入方程x2﹣mx+6＝0得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣mx+6＝0得9﹣3m+6＝0，解得m＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．（3分）地面上有一支蜡烛，蜡烛前面有一面墙，王涛同学在蜡烛与墙之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小而变小（增大、变小）．【分析】可连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长．【解答】解：连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长．则他在墙上投影长度随着他离墙的距离变小而变小．故答案为变小．【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．11．（3分）在一个布袋中装有只有颜色不同的a个小球，其中红球的个数为2，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出a大约是10．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解：由题意可得，＝0.2，解得，a＝10．故可以推算出a大约是10个．故答案为：10．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．12．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为2．【分析】首先延长BA交y轴于点E，易得四边形ADOE与四边形BCOE是矩形，又由点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，即可得S矩形ADOE＝1，S矩形BCOE＝3，继而求得答案．【解答】解：延长BA交y轴于点E，∵四边形ABCD为矩形，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，∴AE⊥y轴，∴四边形ADOE与四边形BCOE是矩形，∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，∴S矩形ADOE＝1，S矩形BCOE＝3，∴S矩形ABCD＝S矩形BCOE﹣S矩形ADOE＝3﹣1＝2．故答案为：2．【点评】此题考查了反比例函数的系数k的几何意义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，且AF：AD＝1：3，EF交AC于G．若AC＝40，则AG＝8．【分析】设AC的中点为O，连接EO，根据题意可得OE是△ABC的中位线，从而可得OE＝BC，OE∥BC，进而可证8字模型相似三角形△AFG∽△OEG，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：设AC的中点为O，连接EO，∴AO＝AC＝20，∵E是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝BC，OE∥BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD∥OE，∴∠F AG＝∠AOE，∠AFG＝∠OEG，∴△AFG∽△OEG，∴＝，∵AF：AD＝1：3，∴＝，∴＝＝，∴＝，∴AG＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）14．（5分）解方程：y（y﹣7）+2y﹣14＝0．【分析】根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：y（y﹣7）+2y﹣14＝0，y（y﹣7）+2（y﹣7）＝0，分解因式得：（y﹣7）（y+2）＝0，则y﹣7＝0或y+2＝0，解得：y1＝7，y2＝﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．15．（5分）画出如图所示的正三棱柱的三视图．【分析】根据题意可得正三棱柱的主视图为中间有一条竖的实心线的矩形，左视图为矩形，俯视图为正三角形，从而可画出三视图．【解答】解：如图所示：【点评】此题考查了作图﹣三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握三视图的观察方法，要求一定的空间想象能力．16．（5分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，以AC为边长作正方形ACEF，求这个正方形的周长．【分析】根据已知可求得△ABC是等边三角形，从而得到AC＝AB，再根据正方形的周长公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴正方形ACEF的周长是16．【点评】本题考查菱形与正方形的性质，关键是根据已知可求得△ABC是等边三角形．17．（5分）已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，求正整数m的值．【分析】先根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，∴3﹣2m＞0，解得m＜，∴正整数m的值是1．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．18．（5分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形．【分析】根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题关键．19．（5分）某游泳池有1200立方米水，设放水的平均速度为v立方米/小时，将池内的水放完需t小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）若要求在3小时之内把游泳池的水放完，则每小时应至少放水多少立方米？【分析】（1）由题意得vt＝900，即v＝，自变量的取值范围为t＞0，（2）把t＝3代入求出相应的v的值，即可求出放水速度．【解答】解：（1）由题意得：vt＝1200，即：v＝，答：v关于t的函数表达式为v＝，自变量的取值范围为t＞0．（2）当t＝3时，v＝＝400，所以每小时应至少放水400立方米．【点评】考查求反比例函数的应用，根据常用的数量关系得出函数关系式是解题的关键．20．（5分）如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF＝FB．【分析】结合条件可得到GF∥AD，则有＝，由BF∥CD可得到＝，又因为AD＝CD，可得到GF ＝FB．【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BF∥CD，∴＝，∵FG∥BE，∴GF∥AD，∴＝，∴＝，且AD＝CD，∴GF＝BF．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例及正方形的性质，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意利用比例相等也可以证明线段相等．21．（6分）解读诗词（通过列方程算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论．【解答】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3，依题意得：10（x﹣3）+x＝x2，解得x1＝5，x2＝6，当x＝5时，25＜30，（不合题意，舍去），当x＝6时，36＞30（符合题意），答：周瑜去世时的年龄为36岁．【点评】本题是一道数字问题的运用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人30岁的年龄是关键．22．（7分）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆“AB＝2.5米，BD＝23米，FB＝2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大楼的高度CD．【分析】如图1中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．利用相似三角形的性质求出CH，可得结论．【解答】解：如图中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．∴EF＝BJ＝DH＝1.5米，BF＝EJ＝2米，DB＝JH＝23米，∵AB＝2.5米．∴AJ＝AB﹣BJ＝2.5﹣1.5＝1（米），∵AJ∥CH，∴△EAJ∽△ECH，∴＝，∴＝，∴CH＝12.5（米），∴CD＝CH+DH＝12.5+1.5＝14（米）．答：大楼的高度CD为14米．【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（7分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有三个种类的奶制品：A：纯牛奶，B：酸奶，C：核桃奶；伊利品牌有两个种类的奶制品：D：纯牛奶，E：核桃奶．（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是；（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请用列表法或画树状图法求出两人选购到同一种类奶制品的概率．【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是，故答案为：；（2）列表如下：A B CD（A，D）（B，D）（C，D）E（A，E）（B，E）（C，E）由表知，共有6种等可能结果，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种结果，所以两人选购到同一种类奶制品的概率为＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．24．（8分）如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．（1）求证：△ECD∽△EDB；（2）求△DCE与△ACB的周长比．【分析】（1）由DE∥AB得∠EDC＝∠A，因为∠CBD＝∠A，所以∠EDC＝∠EBD，而∠A＝∠A，可证明△ECD ∽△EDB；（2）由DE∥AB可证明△DCE∽△ACB，而AC＝3CD，所以△DCE的周长：△ACB的周长＝CD：AC＝1：3，即可得出问题的答案．【解答】（1）证明：如图，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠A，∵∠CBD＝∠A，∴∠EDC＝∠CBD，即∠EDC＝∠EBD，∵∠E＝∠E，∴△ECD∽△EDB；（2）解：∵DE∥AB，∴△DCE∽△ACB，∵AC＝3CD，∴△DCE的周长：△ACB的周长＝CD：AC＝1：3＝，∴△DCE与△ACB的周长比为．【点评】此题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，其中证明△DCE∽△ACB是解题的关键．25．（8分）如图，直角坐标系中，点B坐标为（6，0），且AO＝AB＝5，AH⊥x轴于点H，过B作BC⊥x轴交过点A的双曲线于点C，连接OC交AB于点D，交AH于点M．（1）求双曲线的表达式；（2）求的值．【分析】（1）根据B坐标为（6，0），得到OB＝6，根据等腰三角形的性质得到OH＝BH＝OB＝3，根据勾股定理得到AH＝＝＝4，求得A坐标为（3，4），于是得到结论；（2）设C坐标为（6，m），根据y＝（x＞0）经过点C，求得BC＝2，根据相似三角形的性质得到＝，根据三角形的中位线定理得到MH＝BC＝×2＝1于是得到结论．【解答】解：（1）∵B坐标为（6，0），∴OB＝6，∵AO＝AB＝5，AH⊥x轴于点H，∴OH＝BH＝OB＝3，在Rt△AOH中，AO2＝AH2+OH2，∴AH＝＝＝4，∴A坐标为（3，4），∵y＝（x＞0）经过点A，∴4＝，∴k＝12，∴双曲线表达式为y＝（x＞0）；（2）设C坐标为（6，m），∵y＝（x＞0）经过点C，∴m＝＝2，∴BC＝2，∵AH⊥x轴，BC⊥x轴，∴AM∥CB，∴△ADM∼△ABC，∴＝，∵OH＝BH，∴OM＝CM，∴MH是△OBC的中位线，∴MH＝BC＝×2＝1，∴AM＝AH﹣MH＝3，∴＝．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．26．（10分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：△APD≌△CPD；（2）求证：△APE∽△FP A；（3）若PE＝4，PF＝12，求PC的长．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得AD＝CD＝AB＝CB，还有BD是公共边，可证明△ADB ≌△CDB，得∠PDA＝∠PDC，再证明△APD≌△CPD即可；（2）由CD∥AB得∠F＝∠PCD，由△APD≌△CPD得∠P AE＝∠PCD，所以∠P AE＝∠F，而∠P AE＝∠FP A，即可证明△APE∽△FP A；（3）由△APE∽△FP A得＝，其中PE＝4，PF＝12，可求出P A的长，由△APD≌△CPD可知PC＝P A，即可求得PC的长．【解答】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝AB＝CB，在△ADB和△CDB中，，∴△ADB≌△CDB（SSS），∴∠PDA＝∠PDC，在△APD和△CPD中，，∴△APD≌△CPD（SAS）．（2）证明：如图，∵CD∥AB，∴∠F＝∠PCD，∵∠P AE＝∠PCD，∴∠P AE＝∠F，∵∠P AE＝∠FP A，∴△APE∽△FP A．（3）解：如图，∵△APE∽△FP A，∴＝，∵PE＝4，PF＝12，∴P A2＝PE•PF＝4×12＝48，∴P A＝＝4，∴PC＝P A＝4．∴PC的长为4．【点评】此题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，根据菱形的性质找出相等的角并证明角相等是解题的关键．。
北师大版初三数学下册教学计划（精选8篇）
初三数学下册教学计划北师大版初三数学下册教学计划（精选8篇）时间一晃而过，我们的教学工作又将在忙碌中充实着，在喜悦中收获着，让我们一起来学习写教学计划吧。
以期更好地开展接下来的教学工作，以下是小编精心整理的北师大版初三数学下册教学计划（精选8篇），欢迎大家分享。
初三数学下册教学计划1一、指导思想以《初中数学新课程标准》为依据，全面推进素质教育。
数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。
学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。
内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
二、教材目标及要求1、分式的重点是分式的四则运算，难点是分式四则混算、解分式方程以及列分式方程解应用题。
2、反比例函数掌握反比例函数的概念，性质，并利用其性质解决一些实际问题。
进一步理解变量与常量的辩证关系，进一步认识数形结合的思维方法。
3、勾股定理：会用勾股定理和逆定理解决实际问题。
4、四边形的重点是平行四边形的定义、性质和判定，难点是平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系和区别以及中心对称。
5、数据描述三、教学措施1、加强教学“六认真”，面向全体学生。
由于学生在知识、技能方面的发展和兴趣、特长等不尽相同，所以要因材施教。
在组织教学时，应从大多数学生的实际出发，并兼顾学习有困难的和学有余力的学生。
(完整版)北师大版九年级数学下册知识点归纳复习提纲
图1 新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二．特殊角的三角函数值30 º45 º 60 º sin α21 22 23 h i=h:lBC三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。
4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。
用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。
2024-2025学年北师大版数学九年级上册期末培优训练(含答案)
2024-2025学年北师大版数学九年级上册期末培优训练一、单选题(共10题；共30分)1．（3分）如图，在矩形中，、相交于点O ，平分交于点E ，若，则的度数为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（3分）关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．且3．（3分）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，点在线叹上．周长为4，若，财的周长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．64．（3分）七巧板是一种开发智力的玩具，为提高学生的感知能力，老师投影演示如下：在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．通过观察演示过程，甲同学得出：图中的三角形都是等腰直角三角形；乙同学得出：四边形是菱形；3a <ABCV ABCD BD BC BDO ABCD AC BD AE BAD ∠BC 15CAE ∠=︒BOE ∠60︒75︒72︒90︒2(2)210a x x -++=3a >3a <23a <<2a ≠ABC V '''A B C V O A 'OA '2AA OA =''''A B C V E F CD AP EF ⊥EF P M N BO DO MP NF MPEB丙同学得出：四边形的面积占正方形面积的．则正确的是（ ）A ．只有甲答的对B ．甲、丙答案合在一起才完整C ．甲、乙答案合在一起才完整D ．三人答案合在一起才完整5．（3分）如图，是一个等腰直角三角形纸板，，在此三角形内部作一个正方形DEFG ，使DE 在AC 边上，点F ，G 分别在BC ，AB边上.将一个飞镖随机投掷到这个纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）A ．B．C ．D ．6．（3分）如图，在矩形中，以点A 为圆心的长为半径画弧交于点E，若，，则的长为（ ）A ．B ．C D7．（3分）用配方法解方程x 2﹣4x+2＝0时，配方后所得的方程是（ ）A ．（x ﹣2）2＝2B ．（x+2）2＝2C ．（x ﹣2）2＝1D ．（x ﹣2）2＝﹣28．（3分）如图，一块长方形场地 的长 与宽 的比是： ， ，，垂足分别是 、 两点.现计划在四边形 区域种植花草，则四边形 与长方形 的面积比等于（ ）A ．1：3B ．2：3C ．1：2D ．1：49．（3分）如图，在菱形ABCD 中，AB=AC=1，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接ABCD ABC V ABCD CD DEBF ABCD PFDM 1490ABC ∠=︒12134959AB 1AD ＝2AB ＝CE 221-2-ABCD AB BC 1DE AC ⊥BF AC ⊥E F DEBFCE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ，则下列结论：①△ABF ≌△CAE ；②∠FHC=∠B ；③△ADO ≌△ACH ；④ ；其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（3分）如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．下列正确的选项是（ ）A ．①②④B ．①③C ．①②③D ．②③④二、填空题(共6题；共18分)11．（3分）《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田的面积有多少？请帮他算一算，该田的面积为 平方步．12．（3分）用配方法解一元二次方程，则方程可变形为(x ―5)2= ．13．（3分）在实数范围内，对于任意实数，n (n ≠0)规定一种新运算：．例如：．若，则 ．14．（3分）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高m ，测得m ，m ．则建筑物的高是 m．ABCD E AC E BC F DE EFDEFGBE ABCD S 菱形DE EF DE ⊥DEFGCG CE CG +=45GCF ∠=︒CE =210110x x --=m 3n m n m mn ⊗=+-242442321⊗=+⨯-=23x ⊗=-x =BE 1.51.2AB =14.8BC =CD15．（3分）已知关于的方程．若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长 ．16．（3分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB ＝2m ，它的影子BC ＝1.5m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN ＝1.8m ，MN ＝0.8m ，木竿PQ 的长度为 ．三、解答题(共7题；共52分)17．（6分）解方程：（1）（3分）（2）（3分）(x +3)(x ―3)=x ―318．（7分）为传承中华优秀传统文化，深入挖掘中华经典诗词中所蕴含的民族正气、爱国情怀、道德品质和艺术魅力，引领诗词教育发展，我校举办诗词大赛，第一轮为经典诵读参赛者从《短歌行》《将进酒》《观沧海》《木兰辞》（分别用A 、B 、C 、D 表示）中随机抽取一首进行朗诵：第二轮为诗词讲解，参赛者从《蒹葭》《沁园春·雪》《念奴娇·赤壁怀古》（分别用E 、F 、G 表示）中随机抽取一首进行讲解，小明和晓慧都参加了诗词大赛．（1）（3分）小明第一轮抽到《将进酒》的概率是______．（2）（4分）利用树状图或列表法，求晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》的概率．19．（7分）已知一元二次方程x 22(31)220x k x k k -+++=ABC 6cm a =b ccm 22x +=223220x x m --+=（1）（3分）若该一元二次方程有两个实数根，求m的范围.（2）（4分）若该一元二次方程有一个根为1，求方程的另一个实数根.20．（7分）随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．（1）（3分）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；（2）（4分）该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？21．（8分）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA中点，点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动，设运动时间为t秒．（1）△ODP的面积S=________．（2）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（3）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（4）若△OPD为等腰三角形，请写出所有满足条件的点P的坐标（请直接写出答案，不必写过程）22．（8分）如图，菱形的边长为，，对角线、相交于点，点在对角线上，连接，作，且边与直线相交于点．（1）（4分）求菱形的面积；（2）（4分）求证：23．（9分）模拟经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当同向行驶的三辆汽车经过这个十字路口时，（1）（3分）求三辆车全部同向而行的概率．（2）（3分）求至少有两辆车向左转的概率．（3）（3分）这个路口汽车左转．右转、直行的指示绿灯交替亮起，亮的时间均为30秒．交管部门对这个十字路口交通高峰时段车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为，在绿灯亮的总时间不变的条件下，为使交通更加通畅，请你用统计的知识对此十字路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．O E BD F ABCD ABCD 860ABC ∠=︒AC BD AE 120AEF ∠=︒EF DC AE EF=25310答案解析部分1．B 2．D 3．A 4．B 5．C 6．A 7．A 8．A 9．B 10．B 11．48012．13．0或－214．2015．16或2216．3.2m17．（1），（2）18．（1）（2）19．（1）解：∵该一元二次方程有两个实数根∴∴ （2）解：把得： 14361x =+2x =122x x ==1122Δ494(22)20b ac m =-=--+⨯≥16-70m ≥716m ≥2123220x x x m =--+=代入方程12m =22310x x -+=方程∴20．（1）解：设该公司生产A 型无人机每月产量的平均增长率为x ，根据题意可得：2000（1+x ）2＝12500，解得：x 1＝1.5＝150%，x 2＝﹣3.5（不合题意舍去），答：该公司生产A 型无人机每月产量的平均增长率为150%；（2）解：设生产A 型号无人机a 架，则生产B 型号无人机（100﹣a ）架，需要成本为w 元，依据题意可得：a≤3（100﹣a ），解得：a≤75，w ＝200a+300（100﹣a ）＝﹣100a+30000，∵﹣100＜0，∴当a 的值增大时，w 的值减小，∵a 为整数，∴当a ＝75时，w 取最小值，此时100﹣75＝25，w ＝﹣100×75+30000＝22500，∴公司生产A 型号无人机75架，生产B 型号无人机25架成本最小．21．（1）10；（2）5；（3）（8，4）；（4）满足条件的点P 的坐标为P 1（3，4），P 2（2.5，4），P 3（2，4），P 4（8，4）.22．（1）解：四边形是菱形，，，，，是等边三角形，，，，菱形的面积；（2）证明：连接，ABCD ABCD (21)(1)0x x --=12112x x ==， 8AB BC ∴==AC BD ⊥2BD OB =60ABC ∠=︒ ABC ∴V 8AC BA ∴==BO AB ==BD ∴=∴11822AC BD =⋅=⨯⨯=EC垂直平分，，，，，，，，，，，，，．23．（1）解：分别用A 、B 、C 表示向左转，直行，向右转，根据题意画出树状图如下：由图可知：共有27种等可能的结果数，三辆车全部同向而行的有3种情况，∴P （ 三辆车全部同向而行的概率）=；（2）解：∵至少有两辆车向左转的情况数有7种，∴P （ 至少有两辆车向左转 ）=；（3）解：∵汽车向右转、向左转，直行的概率分别为，AC BD EA EC ∴=EAC ECA ∴∠=∠DA DC = DAC DCA ∴∠=∠EAC DAC ECA DCA ∴∠+∠=∠+∠DCE DAE ∴∠=∠120AEF ∠=︒ 60ADC ABC ∠=∠=︒360180EAD F AEF ADC ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒180ECD ECF ∠+∠=︒ F ECF ∴∠=∠EF EC ∴=EF AE ∴=31279=72723351010，，∴ 在绿灯亮的总时间不变的条件下可以调整绿灯亮的时间如下：向左转及直行的绿灯亮的时间都为：（秒），向右转绿灯亮的时间为：（秒）.3902710⨯=290365⨯=。
2024-2025学年北师大版九年级上册数学期末测试综合练习题(解析版)
2024-2025学年北师大版九年级上册数学期末测试综合练习题考试时间：100分钟 满分：100分一、单选题(共10题；共30分)1. 将一正方形分割成n 个()1n >小正方形，则在下列数据中，n 不可能取的数是（ ） A. 4B. 5C. 9D. 16【答案】B【详解】设大正方形的边长为a ，分割成的小正方形的边长为b ，∴根据题意可得，22a nb =， ∴222a a n b b ==， ∴n 是个平方数，∴n 不可能取的数是5．故选：B ．2. 如图，已知P ，Q 分别是反比例函数1k y x =与2k y x =，且PQ x ∥轴，点P 的坐标为3,22 − ，分别过点P ，Q 作PM x ⊥轴于点M ，QN x ⊥轴于点N ．若四边形PMNQ 的面积为2，则2k 的值为（ ）．A. 5B. 5−C. 1D. 1−【答案】D 【详解】∵点P 是反比例函数1k y x=上的点 ∴过点P 与坐标轴围成的矩形的面积为3232k =−×=， ∴过点Q 与坐标轴围成的矩形的面积为321−=，∵反比例函数在第二象限，∴21k =−．故选：D ．3. 关于x 的方程()22410x k x k +−++=的两个根互为相反数，则k 值是（ ） A. 1−B. 2±C. 2D. 2− 【答案】D 【详解】解：∵()22410x k x k +−++=∴设原方程的两根为12x x 、，则2124x x k +=−； 由题意，得240k −=；∴122,2k k ==−；又∵22(4)4(1)k k ∆=−−+，∴当2k =时，120∆=−<，原方程无实根；当2k =−时，40∆=>，原方程有实根．∴2k =−．故选D ．4. 一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各面分别标有数字123456､､､､､，掷两次所得点数之和为11的概率为（ ） A. 118 B. 136 C. 112 D. 115【答案】A【详解】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中掷两次所得的点数之和等于11的结果数为2，所以掷两次所得的点数之和等于11的概率为213618=， 故选：A ．5. 下列四个命题中是真命题的有（ ）①对角线相等的平行四边形是矩形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四角相等且两边相等的四边形是正方形；④对角线和一边的夹角是45°的菱形是正方形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，所以①为真命题；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以②为真命题；四角相等且邻边相等的四边形是正方形，所以③为假命题；对角线和一边的夹角是45°的菱形是正方形，所以④为真命题．故选：C．6. 如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线ykx=相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（）A. 12B. ﹣12C. 16D. ﹣16 【答案】D【详解】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，∵D点在双曲线ykx=上，∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，∵D点在矩形的对角线OB上，∴矩形OEDF∽矩形OABC，∴29()4OEDF OABC OD OBS S ==， ∵S 矩形OABC =36，∴S 矩形OEDF =16，∴|k |=16，∵双曲线y k x =在第二象限， ∴k =-16，故选：D ．7. 如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE BC ⊥于点E ，PF DC ⊥于点F ，连接EF ，给出下列四个结论：①AP EF =；②AP EF ⊥；③PFE BAP ∠=∠；④PD =，其中正确的是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D 【详解】解：证明：过P 作PG ⊥AB 于点G ，∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，∴GP =EP ，在△GPB 中，∠GBP =45°，∴∠GPB =45°，∴GB =GP ，同理，得PE =BE ，∵AB =BC =GF ，∴AG =AB -GB ，FP =GF -GP =AB -GB ，∴AG =PF ，∴△AGP ≌△FPE ，①∴AP =EF ；∠PFE =∠GAP∴③∠PFE =∠BAP ，②延长AP 到EF 上于一点H ，∴∠P AG =∠PFH ，∵∠APG =∠FPH ，∴∠PHF =∠PGA =90°，即AP ⊥EF ；④∵GF ∥BC ，∴∠DPF =∠DBC ，又∵∠DPF =∠DBC =45°，∴∠PDF =∠DPF =45°，∴PF =EC ，∴在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，∴④DP E C ．∴其中正确结论的序号是①②③④．故选：D ．8. 如图，矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AB ，CD 的中点，BP AN ⊥于P ，CP 的延长线交AD 于Q ．下列结论：①PM CN =；②PM CQ ⊥；③PQ AQ =；④2DQ PN <．其中结论正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【详解】连接CM 、DM ，∵矩形ABCD∴AB CD =,90DAB CBA ∠=∠=° ∵BP AN ⊥，M ，N 分别是边AB ，CD 的中点， ∴1122PMAM BM AB CD CN ===== 故①正确；∵AM CN = ∴四边形AMCN 是平行四边形∴AN ∥CM∴BP CM ⊥∵PM BM =∴CM 垂直平分PB∴BC =PC∴CPM CBM ≅ （SSS ）∴90CPM CBA ∠=∠=°即PM CQ ⊥故②正确；∵PM CQ ⊥，90DAB ∠=°，PM AM =∴Rt QPM Rt QAM ≅ （HL ）∴PQ AQ =故③正确；取CQ 中点E ，连接EN∵N 是CD 中点∴EN 是△CDQ 的中位线∴2DQ EN =∵90PEN EPN ∠>°>∠∴PN EN > ∴12PN DQ >，即2DQ PN < 故④正确；综上所述，正确的是①②③④故选：D ．9. 如图，正方形纸片ABCD 的边长为4 cm ，点M 、N 分别在边AB 、CD 上．将该纸片沿MN 折叠，使点D 落在边BC 上，落点为E ，MN 与DE 相交于点Q ．随着点M 的移动，点Q 移动路线长度的最大值是（ ）\A. 2 cmB. 4 cmC. cmD. 1 cm【答案】A 【详解】如图，取AB ，CD 的中点K ，G ，连接KG ，BD 交于点O ，由题意知，点Q 运动的路线是线段OG ，因为DO=OB ，所以DG=GC ，所以OG=12BC=12×4=2，所以点Q 移动路线的最大值是2，故选A .10. 如图，将5个全等的阴影小正方形摆放得到边长为1的正方形ABCD ，中间小正方形的各边的中点恰好为另外4（a 、b 为正整数），则a b +的值为（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】B【详解】解：由题意可知，21AD +=∴(42)(42a a b −−−=∵a 、b 都是正整数∴4a − =0，4a-2=2b∴a=4,b=7∴a+b=11故选B. 二、填空题(共7题；共21分)11. 如图是反比例函数1k y x =，2k y x=在x 轴上方的图像，平行四边形OABC 的面积是5，若点A 在x 轴上，点B 在1k y x =的图像上，点C 在2k y x=的图像上，则21k k −的值为______．【答案】5−【详解】解：如图所示，连接BO ，∵四边形ABCD 是平行四边形，平行四边形OABC 的面积是5，点B 在1k y x=的图像上，点C 在2k y x =的图像上，∴1225ABCD BCO S S k k ==−=∴215k k −=− 故答案为：5−．12. 近些年重庆市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益，其中：农户甲2020年纯收入为20000元，经“助农计划”帮扶，到2022年农户甲的纯收入增长到39200元，则农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为______．【答案】40%【详解】设农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为x ，由题意得，()220000139200x +=解得0.4x =或 2.4x =−（舍去），即农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为40%，故答案为：40%．13. 古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦90 cm AB =，支撑点C 是靠近点A 的一个黄金分割点，则BC = _________cm ．（结果保留根号）【答案】()45−【详解】解： 点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC AC >，(45cm BC AB ∴==，故答案为：()45−．14. 如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，AB 上一点，且EF ＝EC ，EF EC ⊥，若DE ＝2，矩形ABCD 的周长为24，则矩形ABCD 的面积为________．【答案】35【详解】解：∵四边形ABD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∠A =∠D =90°，∵EF ⊥EC ，∴∠FEC =90°，∴∠AEF +∠DEC =90°，∵∠DCE +∠DEC =90°．∴∠AEF =∠DCE ，在△AEF 和△DCE 中，A D AEF DCE EF CE ∠=∠ ∠=∠ =， ∴△AEF ≌△DCE （AAS ）．∴AE =CD ，AF =DE =2，∴AD =AE +DE =AE +2，∵矩形ABCD 的周长为24，∴2（AE +ED +CD ）=24，∴2（2AE +2）=24，解得：CD =AE =5，∴AD =7，∴矩形ABCD 的面积=AD ×CD =7×5=35， 故答案为：35．15. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，3OH =，则菱形ABCD 的面积为______．【答案】36【详解】解： 四边形ABCD 是菱形， 6OA OC OB OD AC BD ∴===⊥，，，12AC ∴=， DH AB ⊥ ，90DHB ∴∠=°，OH ∴是BDH △斜边上中线，的26BD OH ∴==，∴菱形ABCD 的面积为：1126362××=， 故答案为：36．16. 如图，长方形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，点F 、G 在边CD 上，连接EF 、EG ．将BEG ∠对折，点B 落在直线EG 上的点B ′处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点A ′处，得折痕EN ．20FEG ∠=°，则MEN ∠=_____________．【答案】100°或80°．【详解】解：当点G 在点F 的右侧，EN 平分AEF ∠，EM 平分BEG ∠，12NEF AEF ∴∠=∠，MEG BEG ∠， 1111()()2222∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠−∠NEF MEG AEF BEG AEF BEG AEB FEG ， 180AEB ∠=° ，20FEG ∠=°， 1(18020)802NEF MEG ∴∠+∠=°−°=°， 8020100MEN NEF FEG MEG ∴∠=∠+∠+∠=°+°=°；当点G 在点F 的左侧，EN 平分AEF ∠，EM 平分BEG ∠，12NEF AEF ∴∠=∠，12MEG BEG ∠=∠，1111()()2222NEF MEG AEF BEG AEF BEG AEB FEG ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠， 180AEB ∠=° ，20FEG ∠=°， 1(18020)1002NEF MEG ∴∠+∠=°+°=°， 1002080MEN NEF MEG FEG ∴∠=∠+∠−∠=°−°=°，综上，MEN ∠的度数为100°或80°，故答案为：100°或80°．17. 如图是一张矩形纸片ABCD ，点E 在边BC 上，且满足 2AB BE =，把ABE 沿直线AE 折叠，使点B 落在点F 处，EF 的延长线与边CD 交于点G ．若CG DG =，则CE BE=_____． 【答案】34【详解】如图，延长EF ，AD ，二线交于点H ，∵矩形纸ABCD ，∴,90AB CD AD BC ADC HDG ECG ==∠=∠=∠=°，， ∵HDG ECG DG CGHGD EGC ∠=∠ = ∠=∠， ∴()ASA CGE DGH ≌，∴EG GH =，CE DH =，∴2EH EG =， 设CEk BE x BE==，， 则,222CEDH kx AB CD DG CG x ======， ∴2EH EG ===，()21AH kx x kx k x =++=+，∵矩形纸ABCD ，ABE 沿直线AE 折叠，使点B 落在点F 处，∴,AD BC AEB AEG ∠=∠ ， ∴,AEB EAH AEB AEG ∠=∠∠=∠， ∴EAH AEG ∠=∠，∴EH AH =，∴()21k x +，∴2244441k k k +=++， 解得34k =， 故34CE BE =， 故答案为：34． 三、解答题(共7题；共49分18. 解方程：（1）2210x x −−=（2）()25410x x x −=−【答案】（1）11x =+21x =−（2）152x =，22x = 【小问1详解】解：2210x x −−=∵1a =，2b =−，1c =−∴()22Δ4248b ac =−=−+=x =∴11x =+21x =；【小问2详解】解：()25410x x x −=−()()25225x x x −=−()()2520x x −−=解得：152x =，22x = 19. 一个等腰三角形的腰长是方程28150x x −+=的一个根，其底边长为8，求该三角形底边上的高．【答案】3【详解】解：28150x x −+=，(3)(5)0x x −−=，∴13x =，25x =，若该等腰三角形的腰长为3，此时三角形的三条边长分别为3、3、8，不能构成三角形，故舍去； 若该等腰三角形的腰长为5，此时三角形的三条边长分别为5、5、8，可以构成三角形，如下图，5AB AC ==，8BC =，作底边上的高AD ，则142BDCD BC ===，∴3AD ，即该三角形底边上的高为3．20. 某商场以每千克20元的价格购进某种榴莲，计划以每千克40元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量y （kg ）与每千克降价x （元）（010x <<）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y 关于x 的函数解析式．（2）该商场在销售这种榴莲中要想获利1105元，则这种榴莲每千克应降价多少元？【答案】（1）()550010y x x =+<< （2）7元【小问1详解】解：设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b （k ≠0），将（2，60），（4，70）代入y =kx +b 得：260 470k b k b += +=，解得550k b = = ， ∴y 关于x 的函数解析式为y =5x +50（0＜x ＜10）；【小问2详解】解：依题意，得（40-x -20）（5x +50）=1105，整理得210210x x −+=，解得13x =，27x =．又∵要让顾客得到更大的实惠，∴7x =，答：这种榴莲每千克应降价7元．21. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习（A ）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B ）液桥演示实验，（C ）水油分离实验，（D ）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息，回答下列问题：（1）共调查了_________名学生，图2中A 所对应的圆心角度数为_________；（2）请补全条形统计图；（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．【答案】（1）50，144°； （2）详见解析；（3）23，详见解析． 【解析】 【小问1详解】共调查的学生人数为：1020%50÷=（名）， ∴图2中A 所对应的圆心角度数为：2036014450×=°°， 故答案为：50144°，；【小问2详解】 （2）由图知，D 的人数为：5010%5×=（人）， ∴C 的人数为：502010515−−−=（人）， 补全条形统计图如下：【小问3详解】（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为82123=． 22. 2022年“卡塔尔”世界杯开幕式在海湾球场举行．32支参赛队伍通过抽签共分成A 至H 八个小组，每一个组积分排名前二的队伍将晋级16强．（1）“卡塔尔”队被分在A 组是 事件：（从“不可能”、“必然”、“随机”选择一个填空）（2）分在C 组的有沙特、波兰、墨西哥和阿根廷四支队伍，请通过列表法或树状图法，求“沙特”和“阿根廷”两队能同时晋级16强的概率．【答案】（1）随机 （2）16【解析】【小问1详解】解：“卡塔尔”队被分在A 组可能发生，也可能不发生，是随机事件， 故答案为：随机；【小问2详解】解：画树状图如下：共有12种情况，“沙特”和“阿根廷”两队能同时晋级16强的有2种情况， 故“沙特”和“阿根廷”两队能同时晋级16强的概率为21126=．23. 若关于x 的函数y ，当11t x t −≤≤+时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数2M N h −=，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“合体函数”． （1）①若函数2024y x =−，当1t =时，则函数y “合体函数”h = ；②若函数5(0y kx k =+≠，k 为常数)，求函数y 的“合体函数”h 的表达式； （2）若函数y =1x()2x ≥，求函数y 的“合体函数”h 的最大值． 【答案】（1）①2024；②h k = （2）18【解析】【小问1详解】解：①当1t =时，02x ≤≤2024y x =−，当0x =时，0y =，当2x =时4048y =−，∴0,4048M N ==−，∴()0404820242h −−=， 故答案为：2024．的②当0k >时，函数5y kx =+在11t x t −≤≤+的最大值()15M k t =++，最小值()15N k t =−+ ∴()()151522k t k t M N h k ++−−−−== 当0k <时，()15M k t =−+，()15N k t =++∴()()151522k t k t M N h k −+−+−−===− 综上所述，h k =【小问2详解】∵11t x t −≤≤+，2x ≥∴分情况讨论，①当12t −≥即3t ≥时，011t x t <−≤≤+，∴函数()12y x x=≥的最大值为11M t =−，最小值11N t =+ ∵211111221M N t t h t −−−+==−，3t ≥ ∴当3t =时，21−t 最小，h 最大，则h 的最大值为211318=− ②当121t t −<≤+，即13t ≤<21x t ≤≤+，∴函数()12y x x =≥的最大值为12M =，最小值11N t =+ ∵13t ≤<，∴214t ≤+<∴最小值14N > ∴11112242228N M N h −−−==<= 即18h <， ③当12t +≤时，∵11t x t −≤≤+∴2x ≥∴此情形不存在，综上所述，h 的最大值为1824. 如图，平面直角坐标系中有Rt ABC △，90A ∠=°，AB AC =，(8,0)A −、(9,3)C −，点B 、C 在第二象限内．（1）点B 的坐标__________．（2）将Rt ABC △以每秒1个单位的速度沿x 轴向右平移t 秒，若存在某时刻t ，使在第一象限内点B 、C 两点的对应点B ′、C ′正好落在某反比例函数k y x =的图象上，请求由此时t 的值以及这个反比例函数的解析式；（3）在（2）的情况下，将Rt A B C ′′′ 向下平移m 个单位，当直线B C ′′与k y x =的图象有且只有一个公共点，请求出m 的值．【答案】（1）（-5，1）（2）t =11，反比例函数解析式为：6x=（3）14m =+，24m =−【解析】【小问1详解】解：如图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，则：∠DCA +∠DAC =90°，∵∠CAB =90°，∴∠CAC +∠BAE =90°，在∴∠DCA=∠BAE，∵∠CDA=∠AEB=90°，AC=AB，∴△ACD≌△BAE（AAS），∴CD=AE，AD=BE，∵C（-9，3），A（-8，0），∴AE=CD=3，BE=AD=1，∴B（-5，1）．故答案为：（-5，1）．【小问2详解】解：由题意得：点B′（-5+t，1）、C′（-9+t，3），∵点B′、C′正好落在反比例函数kyx=（k≠0）的图象上，∴-5+t=3（-9+t），解得：t=11，∴B′（6，1）、C（2，3），∴k=6，∴t=11，反比例函数解析式：6yx =．【小问3详解】解：设直线B′C的关系式为y kx b=+，∵B′（6，1）、C′（2，3），∴1632k bk b =+=+，解得124kb=−=．∴一次函数的关系式为142y x=−+．∴平移后的一次函数的解析式为142y x m =−+−，由题意得：1642x mx −+−=，为第21页/共21页化简得2(28)120x m x +−+=， ∵直线B C ′′与k y x =的图象有且只有一个公共点， ∴Δ=0，∴2(28)480m −−=，∴14m =+，24m =− ∴将Rt A B C ′′′向下平移4+或4−个单位时，直线B C ′′与k y x =的图象有且只有一个公共点．。
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九年级北师大版数学
第五章１．反比例函数
临漳县砖寨营中学 耿爱霞
一、学生知识状况分析
本节课通过对具体情境的分析，概括出反比例函数的表达形式，明确反比
例函数的概念.通过例题和列举的实例可以丰富对反比例函数的认识，理解反
比例函数的意义.
由于本节课比较抽象，学生理解起来比较困难，因此，在学习反比例函数概念的过程中，
充分利用学生已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境，引导学生关注问题中变量
的相依关系及变化规律，并逐步加深理解.教学中要提供直观背景展现反比例函数的经验来
源，在获得反比例函数概念之后，经验背景将成为概念的某种直观解释或实际意义，在活动
中，教师应注意提供思考或研究问题的方向.
二、教学任务分析
教学目标
(一)教学知识点
1.从现实情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相似关系，加深
对函数概念的理解.
2.经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函
数的概念.
(二)能力训练要求
结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达
式.
(三)情感与价值观要求
结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具
体形象，是从感性认识到理性认识的转化过程，发展学生的思维；同时体验数学
活动与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
教学重点
经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数
的概念.
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教学难点
领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设问题情境，引入新课；第二环
节：新课讲解；第三环节：课堂练习；第四环节：课时小结；第五环节：课后作
业。
第一环节：创设问题情境，引入新课
活动目的 给学生设置疑问，激发学生学习兴趣。
活动过程
我们在前面学过一次函数和正比例函数，知道一次函数的表达式为y＝kx+b
其中k，b为常数且k≠0，正比例函数的表达式为y＝kx，其中k为不为零的常
数,但是在现实生活中，并不是只有这两种类型的表达式，如从A地到B地的路
程为1200 km，某人开车要从A地到B地，汽车的速度v(km／h)和时间t(h)之
间的关系式为vt＝1200，则t＝v1200中，t和v之间的关系式肯定不是正比例函
数和一次函数的关系式，那么它们之间的关系式究竟是什么关系式呢?这就是本
节课我们要揭开的奥秘.
第二环节：新课讲解
活动目的 在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出数学概
念，结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型。
活动过程
引入我们今天要学习的是反比例函数，它是函数中的一种，首先我们先来回
忆一下什么叫函数?
1.复习函数的定义
在某变化过程中有两个变量x，y.若给定其中一个变量x的值，y都有唯一
确定的值与它对应,则称y是x的函数.
能举出实例吗? （要求学生完成）
例如，购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与铅笔数n(个)的关系是y
＝0.4n，这是一个正比例函数.
又如，等腰三角形的顶角的度数y与底角的度数x的关系为y=180-2x，y是
x的一次函数.等
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2.经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式.
复习了函数的定义以及正比例函数和一次函数的表达式以后，再来看下面实际问
题中的变量之间是否存在函数关系，若是函数关系，那么是否为正比例或一次函
数关系式.
问题1：电流I，电阻R，电压U之间满足关系式U＝IR，当U＝220 V时.
(1)你能用含有R的代数式表示I吗?
(2)利用写出的关系式完成下表：
R/Ω 20 40 60 80 100
I/A
当R越来越大时，I怎样变化?当R越来越小呢?
(3)变量I是R的函数吗?为什么?
请学生大家交流后回答.
答案为(1)能用含有R的代数式表示I. 由IR=220，得I=R220.
(2)利用上面的关系式可知，从左到右依次填11，5.5，3.67，2.75，2.2.
从表格中的数据可知，当电阻R越来越大时，电流I越来越小；当R越来越
小时，I越来越大.
(3)变量I是R的函数.
由IR＝220得I＝R220.当给定一个R的值时，相应地就确定了一个I值，因
此I是R的函数.
舞台灯光为什么在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或
由黑夜变成白昼的?
请学生互相交流后回答.
答案为：根据I＝R220，当R变大时，I变小，灯光较暗；当R变小时，I变
大，灯光较亮.所以通过改变电阻R的大小来控制电流I的变化，就可以在很短
的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼.
问题2：投影片：(§ 5.1 A)
京沪高速公路全长约为1262 km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽
车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km／h)之间有怎样的关系?变
量t是v的函数吗?为什么?
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经过刚才的例题讲解，学生可以独立完成此题.如有困难再进行交流.
答案：由路程等于速度乘以时间可知1262＝vt，则有t＝v1262.当给定一个v
的值时，相应地就确定了一个t值，根据函数的定义可知t是v的函数.
从上面的两个例题得出关系式
I=R220和t=v1262.它们是函数吗?它们是正比例函数吗?是一次函数吗?能否根
据两个例题归纳出这一类函数的表达式呢?
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝xk (k为常数，
k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.
从y＝xk中可知x作为分母，所以x不能为零.
活动效果及注意事项 在教学中，引导学生体会，定义中非零常数K及变量
x，y已经不在局限于只取正值而允许取任意非零数值。这里不宜使用“定义域”
和“值域”等名词。
3.做一做
活动目的 前两个问题旨在强化函数和反比例函数的实际意义，在此基础上，
第三个问题进一步明确：确定一个反比例函数关系的关键是求得K的值。
活动内容 投影片(§ 5.1 B)
1.一个矩形的面积为20 cm2，相邻的两条边长分别为x cm和y cm，那么变
量y是变量x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
2.某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕
地面积m(公顷／人)是全村人口数n的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
3. y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
x -2 -1 -21 21 1 3
y 32 2 -1
(1)写出这个反比例函数的表达式；
(2)根据函数表达式完成上表.
活动效果及注意事项 学生加强了对概念的理解，并初步体会函数表达式
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与函数表格的相互转化。
第三环节：课堂练习
活动目的 巩固反比例函数概念的理解
活动过程 学生自主完成练习1
第四环节：课时小结
活动目的 培养学生总结归纳的能力
活动内容 本节课我们学习了反比例函数的定义，并归纳总结出反比例函数
的表达式为y＝xk (k为常数.k≠0)，自变量x不能为零.还能根据定义和表达式
判断某两个变最之间的关系是否是函数，是什么函数.
活动效果及注意事项 在获得反比例函数概念之后，经验背景将成为概念的
某种直观解释或实际意义，通过举例，说理，讨论等活动，使学生体验如何用数
学眼光来审视某些实际问题
第五环节：课后作业
习题5.1
四、教学反思
在教学反比例的定义时，我首先通过复习，巩固学生对正比例函数的理解。
然后安排从中发现不成正比例，从而引入学习内容和学习目标。这通过复习、比
较，不成正比例，那么它成不成比例呢？又会成什么比例？通过设疑不仅激发了
学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新
知创造了条件并激发了积极的情感态度。在教学时，我以学生学习的正比例的意
义为基础，在学生之间创设了一种自主探究、相互交流、相互合作的关系，让学
生主动、自觉地去观察、分析、概括、发现规律，培养了学生的自主探究的能力。