江西省瑞金市第三中学2019届高三数学12月月考试题文

2019届高三第一次统考数学试题（文科）

参考答案

一、选择题：（每小题5分,共60分）

1~5BACDA6~10DBCBD 11~12CC

二、填空题：（每小题5分,共20分）

13、 14、 15、 16、

三、解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）

17、（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由及正弦定理得

从而即

又中, ∴.……………………6分

（Ⅱ）外接圆半径为3,,由正弦定理得……………………8分

再由余弦定理,及

得

∴的面积.……………………12分

18、（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直, ∴,

∵矩形菱形, ∴平面,

∵平面, ∴,……………………3分

∵菱形中,,为的中点．∴

,……………………5分

∵, ∴平面．……………………6分

（Ⅱ）解：∵矩形, ∴、到平面的距离相等,

从而……………………9分

由（Ⅰ）可知平面,故

∵,则, ∴

.………12分

19【解析】（1）由表中数据知，，，……2分

∴，……3分

，……4分

∴所求回归直线方程为．……5分

（2）由（1）知，令，则人．……7分

（3）设3月份抽取的4位驾驶员编号分别为，，，，4月份的驾驶员编号分別为，．从这6人中任选两人包含以下基本事件，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件；……10分

其中两个恰好来自同一月份的包含7个基本事件，……11分

∴所求概率为．……12分

20、（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：设直线方程为：代入椭圆并整理得：

设,则.……………………3分

从而

所以直线、的斜率互为相反数. …………………… 6分

（Ⅱ）设的左顶点和下顶点分别为、,则直线、、为互相平行的直线,所以、两点到直线的距离等于两平行线、间的距离.

……………………9分

,又点在第一象限,

所以当时,四边形的面积取得最大值为.……………………12分

21、（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）

令,,所以在上单调递减,, 即,所以在上单调递增,则

所以.………………………4分

（Ⅱ）对一切恒成立,

令,,

所以为上的增函数,又,,所以在上存在唯一的零点,令为,则………………………7分

由（Ⅰ）知当时,

所以,………………………9分

在（Ⅰ）中令得当时,,所以

………………………11分

所以

所以最大的整数为14．………………………12分

请考生在22~23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）

当时,取得最大值,此时的极坐标为

．……………………… 5分

（Ⅱ）由,得∴

将代入并整理得：,

…………………8分

由的几何意义得

．………………………10分

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）因为,所以

,

当时,, ∴;

当时,；

当时,, ∴；

综上所述：．………………………5分

（Ⅱ）∵,……………………… 7分

又∵（当且仅当时取等号）,………………………

9分

∴,故的最大值为,（当且仅当时取等号）．………………………10分