《1.4 充分条件与必要条件》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

第一章集合与常用逻辑用语

1.4充分条件与必要条件

本课是高中数学第一章第4节，充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系,目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.

课程目标

学科素养

1.教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；

2.教学难点：命题条件充要性的判断及其证明。

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一、情景引入，温故知新

情景1：如图所示电路中(整个电路及灯泡一切正常), 记p:闭合开关A, q:灯泡亮。

请把这个电路图改写为“若p ，则q ”形式的命题并判断真假。

【答案】真命题

情景2：记p:x >2, q:x >0 。

判断命题“若x >2 ，则 x >0”的真假。 【答案】真命题 二、探索新知

探究一 充分条件与必要条件的含义 1.思考:下列“若P ，则q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？

（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；

（3）若2

430,1;x x x -+==则

（4）若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l ,则a//b 。

【答案】（1）真 (2)假 (3) 假 （4）真

2、归纳新知 （1）充分条件、必要条件的含义

一般地,用p 、

q 分别表示两个命题,如果命题p 成立,可以推出命题q 也成立,即p q ?,那么p 叫做q 的充分条件, p 叫做q 的必要

条件.

的一个充分条件。

22 1;

2;(3),41,1;(5),;

(6)p q q p x x ac bc a b xy x y ====例：下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？

（）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角 分别相等（）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例若四边形的对角线互相垂直则这个四边形为菱形；（）若则若则若为无理数，则、为无理数。

解：（1）这是一条平行四边形的性质定理，P q ?，所以q 是p 的必要条件；

（2）这是一条相似三角形的性质定理，P q ?，所以q 是p 的必要条件；

（3）如图，四边形ABCD 的对角线互相垂直，但它不是菱形p q ≠?，所以q 不是p 的必要条件； （4）显然P q ≠?， 所以q 不是p 的必要条件。 （5）由于 (1)010,11,,p q -?=?-≠≠?但所以q 不是p 的必要条件；

（6）12=2?由于为无理数，但1，2不全是无理数，p q ≠?，所以q 不是p 的必要条件。

思考：例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的必要

条件吗？

【解析】四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，

四边形的两条对角线互相平分都是其必要条件。

【结论】一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。 探究二 充要条件的含义

1.思考：下列“若P ，则q ”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？

（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；

（3）若一元二次方程2

0ax bx c ++=有两个不相等的实数根，则

通过判断命题及其逆命题的真假，概括归纳充要条件的定义，提高学生的抽象概括能力。

提高例题进一步巩固充要条件。

通过思考理解充要条件的不唯一。

提高例题掌握充要条件的证明方法，提

高学生解决问题的能力。去体验知识方

法。发现并提出数学

问题，应用数学语言

予以表达。

0ac <。

（4）若A B U 是空集，则A 与B 均是空集。

【解析】命题(1)、（4）与它们的逆命题都是真命题。

2.定义：一般地，如果既有，又有，就记作：, 这时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件。其中叫做等价符号。

。

例3 下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？

（1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分； （2）P:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例； （3）p:xy>0,q:x>0,y>0;

(4) p:x=1是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，q:

0(0)a b c a ++=≠。

解：（1）因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以

q p ≠?，所以p 不是q 的充要条件。

（2）因为“若p ，则q ”是相似三角形的性质定理，“若q ，则p ”是相似三角形的判定定理，所以它们均是真命题，即p q ?，所以P 是q 的充要条件。

（3）因为xy>0时，x>0,y>0不一定成立，所以 p q ≠?，所以p 不是q 的充要条件。

（4）因为“若p ，则q”与“若q ，则p”均为真命题，即p q ?， 所以P 是q 的充要条件。

3.探究：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？

【解析】四边形的两组对角分别相等、四边形的两组对边分别相等、四边形的一组对边平行且相等、四边形的对角线互相平分、四边形的两组对边分别平行都是它的充要条件。

例4 已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线L 的距离为d 。求证：d=r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件。

解析:设：，：直线与⊙O 相切。要证是的充要条件，只需证明充分性（）和必要性（）即可。 解：教材P 22

点评：在处理充分和必要条件问题时，首先应分清条件和结论，然后才能进行推理和判断。

p q ?q p ?p q ??p q p q q p ???表示且p d r =q l p q p q ?q p ?

本节课对于充要性关键是理清题意,特别要认清条件与结论分别是什么,

可以从语文中的定语前

置或定语后置来让学生分析条件与结论。这点内容学生理解较为困难,讲解时要多举一些例子。通过练习,发现学生将充要条件问题转化为集合问题时问题较多,特别是涉及到高一所学的集合与函数内容时,感到无从下手。从教学中及时调整了教案,让每一个想发言的学生都能表达自己的想法,尽管他们有些数学语言的运用还不太准确,但我还是给与了肯定与鼓励。