各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度

各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度

其中冒泡排序加个标志，所以最好情况下是o(n)

直接选择排序：

排序过程：

1 、首先在所有数据中经过n-1次比较选出最小的数，把它与第1个数据交换，

2、然后在其余的数据内选出排序码最小的数，与第2个数据交换...... 依次类推，直到所有数据排完为止。

在第i 趟排序中选出最小关键字的数据，需要做n-i次比较。

1 2 3 4 5 6 7 8 //冒泡排序，大的数不断向后冒泡

void buddle(vector& nums)

{

int len=nums.size();

for(int i=0;i

{

for(int j=0;j

{

9

10

11

12

13

14

if(nums[j]>nums[j+1])

swap(nums[j],nums[j+1]);

}

}

}

线性排序算法

计数排序

假设：有n个数的集合，而且n个数的范围都在0~k(k = O(n))之间。

运行时间：Θ(n+k)

待排序数组A如图2.1所示，需要辅助数组B(存储最后排序结果)，数组C(存储元素的个数)。基于上述的假设，数组C的大小为k，C[i]表示数组A中元素i(0 <= i < k)的个数(如图2.2所示)，为了保证计数排序的稳定性，数组C变化为图2.3，C[i]表示小于或者等于i的个数。代码如下：

1: /*

2: 输入：待排序数组A,存储排序后的数组B，数组A的大小，数组C的大小

3: 功能：计数排序

4: */

5: void CountingSort(int A[], int B[], int len, int k)

6: {

7: int *CountArr = new int[k];

8: int i;

9: for (i = 0; i < k; i++)

10: {

11: CountArr[i] = 0;

12: }

13:

14: for (i = 0; i < len; i++)

15: {

16: CountArr[A[i]]++;

17: }

18:

19: for (i = 1; i < k; i++)

20: {

21: CountArr[i] += CountArr[i-1];

22: }

23:

24: // 从右至左保证算法的稳定性

25: for (i = len-1; i >=0; i--)

26: {

27: B[CountArr[A[i]]-1] = A[i];

28: CountArr[A[i]]--;

29: }

30: }

9-12行和19-22行的运行时间Θ(k)，14-17行和25-29行的运行时间为Θ(n)，所以总的运行时间为Θ(2(n+k)) = Θ(n+k)。

基数排序

基数排序：将所有待比较数值(正整数)统一为同样的数位长度，数位较短的数前面补零。然后，从最低位开始，依次进行一次排序。这样从最低位排序一直到最高位排序完成以后，数列就变成一个有序序列。

基数排序分为两种LSD和MSD。

LSD(Least significant digital)：最低有效位优先，即从右向左开始排序。

MSD(Most significant digital)：最高有效位优先，即从左往右开始排序。

以下是LSD方式的基数排序的伪代码

1: RadixSort(A,d)

2: for i <- 1 to d

3: 用稳定的排序算法排列数组A中元素的第i位

如图3：先牌个位，然后十位，最后百位。为数组的某一位排序的时候一定需要稳定的算法。

运行时间为Θ(d(n+k))。在基数排序中排列数组各位的算法是计数排序所以运行时间为Θ(n+k)，又d 是数组中数的最大位数。

桶排序

桶排序：将数组分到有限个桶子内，然后再对桶子里面的序列进行排序，运行时间Θ(n)。桶排序基于一个假设：输入的数据由随机过程构成，否则在最坏情况下都分配到一个桶子里面，如果又不满足计数排序的假设要求，那么只能使用基于比较的排序算法进行排序，运行时间就退化到Ω(nlogn)。

排序算法稳定性

排序算法稳定性：假设待排序序列中有两个元素相等，而且在排序前和排序后两个相等的元素的相对位置不变，即有 a = b，排序前a在b前面，那么排序后，a还是要在b前面。排序算法的稳定性是要看具体的算法实现，比如一般情况下，直接选择排序，快速排序，希尔排序，堆排序都不是稳定排序算法，基数排序，计数排序，归并排序，插入排序，冒泡排序都是稳定排序算法。

快速排序：A = {2，2， 1}，排序后A = {1，2，2}。

希尔排序：A = {1，2，5，4，4，7}，排序后（k = 2）；A = {1， 2，4， 4， 5， 7} 。

堆排序：A = {2，2，1}，排序后A = {1，2， 2}。

直接选择排序： A = {4，4， 2， 5},排序后 A = {2，4， 4， 5}。

以上举例都不满足稳定性。