不等式的性质 (2)

不等式的基本性质

教学目标：

知识与技能

1.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同.

2.掌握不等式的基本性质,并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x>a”或“x

过程与方法

1.能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式,发展其代数变形能力,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯.

2.通过类比等式的基本性质研究得到不等式的基本性质,体会类比的数学思想.

3.进一步发展学生的符号表达能力,以及提出问题、分析问题、解决问题的能力.

情感态度价值观

1.通过学生自我探索,发现不等式的基本性质,提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心.

2.尊重学生的个体差异,关注学生对问题的实质性认识与理解.

【重点】探索不等式的基本性质,并能灵活地掌握和应用.

【难点】能根据不等式的基本性质进行化简.

【教师准备】多媒体课件.

【学生准备】复习上一节不等关系的知识及等式的基本性质.

导入一:

请班上同学站在不同的位置上比高矮.在最高的同学和最矮的同学同时站在地面上、矮的同学站在桌子上、高的同学站到楼梯的下一层三种不同的情况下比较高矮.怎样比较才公平? [设计意图]让学生体会当两位同学同时增高或同时减少相同的高度时,比较才是公平的,高的同学仍然高,矮的同学仍然矮,这是不可能改变的事实.

导入二:

师:我们学习了等式,并掌握了等式的基本性质,大家还记得等式的基本性质吗?

生:记得.等式的基本性质1:在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,所得的结果仍是等式.等式的基本性质2:在等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式. 师:不等式与等式只有一字之差,那么它们的性质是否也有相似之处呢?本节课我们将研究不等式的基本性质.

[设计意图]基于学生对等式的基本性质的认识,采用类比的方式进行教学,使学生接受起来比较容易.

一、不等式的基本性质

思路一

[过渡语]同学们,你们还记得等式的基本性质吗?请用字母表示出来.不等式也有类似的性质吗?先猜一猜.

小组活动,共同探究,解决下列问题:

(1)用等号或不等号完成下面的填空.

已知2<3,那么:

2×53×5;

2×3×;

2×(-1)3×(-1);

2×(-5)3×(-5);

2×3×.

(2)用字母表示你所发现的结论.

(3)与同伴交流你的结论,并展示.

生1:等式的基本性质1用字母可以表示为:若a=b,则a±c=b±c.类似地,不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变.用字母表示为:若a>b,则a±c>b±c.

生2:等式的基本性质2用字母可以表示为: 若a=b,则ac=bc,=(c≠0).经过前面的探索,可类似地得到:如果不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号方向不变;不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.用字母表示为:若a>b,c>0,则ac>bc,>;若a>b,c<0,则ac

不等式的基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;

不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

[设计意图]通过等式的基本性质类比得到不等式的基本性质,由特殊的数值到用字母代表数,并从中归纳出一般性结论,进一步发展学生的符号感和提出问题、分析问题、解决问题的能力.

思路二

[过渡语]等式的基本性质我们已经掌握了,那么不等式的基本性质是否和等式的基本性质一样呢?请大家探索后发表自己的看法.

生:已知3<5,且3+2<5+2,3-2<5-2,所以3+a<5+a,3-a<5-a,即在不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变.

师:很好.不等式的这一条性质和等式的基本性质相似.下面继续进行探究.

生1:已知3<5,且3×2<5×2,3×<5×,所以3•a<5•a,即在不等式的两边都乘同一个数,不等号的方向不变.

生2:不对.如3<5,但3×(-2)>5×(-2),所以他的总结是错的.

师:看来大家有不同意见,请大家互相讨论后举例说明.

生3:已知3<4,且3×3<4×3,3×<4×,3×(-3)>4×(-3),3×(-5)>4×(-5),由此看来,在不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向不变;在不等式的两边都乘同一个负数时,不等号的方向改变.

师:非常棒,那么在不等式的两边同时除以某一个数时(除数不为0),情况会怎样呢?请大家用类似的方法进行推导.

生:当不等式的两边都除以同一个正数时,不等号的方向不变;当不等式的两边都除以同一个负数时,不等号的方向改变.

师:由此,大家可以总结得出不等式的基本性质2和基本性质3,同学们要学会灵活运用.

总结:不等式的基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变;

不等式的基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;

不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

[设计意图]以问题的形式引导学生用类比的方法先猜想不等式的基本性质,再通过具体数值验算性质,最后总结、归纳出性质.在整个教学过程中,学生均处于主导地位,教师只是从旁指引.

二、例题讲解

[过渡语]刚刚我们学习了不等式的基本性质,下面我们通过几个例题来看看同学们理解得怎么样.

(补充例题)用两根长度均为l cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆.我们猜想,无论绳长l 取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即>.你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗? 解:∵4π<16,∴>,由题意可知l2>0,

根据不等式的基本性质2,