2018名校高考数学模拟试题及答案5
山西省太原市2018届高考模拟理科数学试题Word版含答案
山西省太原市2018届高考模拟试卷（理科数学）一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．设全集U=R ，集合A={x|0＜x ＜2}，B={x|x ＜1}，则集合（∁U A ）∩B=（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（﹣∞，0] C ．（2，+∞） D ．[2，+∞）2．已知复数Z 的共轭复数=，则复数Z 的虚部是（ ）A ．B ． iC ．﹣D ．﹣ i3．命题“∃x 0≤0，使得x 02≥0”的否定是（ ）A ．∀x ≤0，x 2＜0B ．∀x ≤0，x 2≥0C ．∃x 0＞0，x 02＞0D ．∃x 0＜0，x 02≤04．已知直线l 经过圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为，则直线l 的方程为（ ） A ．x+2y+5=0B ．2x+y ﹣5=0C ．x+2y ﹣5=0D ．x ﹣2y+3=05．五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．486．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．6D ．77．已知公差不为0的等差数列{a n }，它的前n 项和是S n ，，a 3=5，则取最小值时n=（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．98．已知，则y=f （x ）的对称轴为（ ）A ．B ．C ．D ．9．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n 为（ ）A ．2B ．3C ．7D ．1110．设实数x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的x ≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．411．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2的直线交双曲线右支于A 、B 两点，连结AF 1、BF 1，若|AB|=|BF 1|且，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知定义在R 上的函数f （x ），其导函数为f'（x ），若f'（x ）﹣f （x ）＜﹣2，f （0）=3，则不等式f （x ）＞e x +2的解集是（ ）A ．（﹣∞，1）B ．（1，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，是夹角为的两个单位向量， =﹣2， =k+，若•=0，则实数k 的值为 ．14．已知的展开式中，x 3项的系数是a，则= ．15．函数f （x ）=，若方程f （x ）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．16．已知等边三角形ABC的边长为，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，沿MN 将△ABC 折成直二面角，则四棱锥A ﹣MNCB 的外接球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC 的面积．18．康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X ，求X 的分布列和期望E （X ）．附：其中：n=a+b+c+d．19．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD ⊥AF，AE=AD=2．（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（2）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．20．已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．21．已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行．（1）求a的值；（2）已知t∈R，求函数y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥4．山西省太原市2018届高考模拟试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁UA）∩B=（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U=R求出A的补集，再求A的补集与B的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}=（0，2），B={x|x＜1}=（﹣∞，1），∴∁UA=（﹣∞，0]∪[2，+∞）；∴（∁UA）∩B=（﹣∞，0]．故选：B．2．已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（）A．B． i C．﹣D．﹣ i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得Z后得答案．【解答】解：由==，得，∴复数Z的虚部是．故选：A．3．命题“∃x0≤0，使得x2≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x2＞0 D．∃x＜0，x2≤0【考点】2J：命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0≤0，使得x2≥0”的否定是∀x≤0，x2＜0．故选：A．4．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C的圆心C（1，2），设直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，由坐标原点到直线l的距离为，求出直线的斜率，由此能求出直线l的方程．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心C（1，2），∵直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，∴当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时坐标原点到直线l的距离为1，不成立；当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x﹣1）+2，且=，解得k=﹣，∴直线l的方程为y=﹣（x﹣1）+2，即x+2y﹣5=0．故选：C．5．五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用间接法分析：首先计算甲和乙坐在一起排法数目，再计算其中甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法数目，结合题意，用“甲和乙坐在一起排法数目”减去“甲乙相邻且乙和丙坐在一起”的排法数目即可得答案．【解答】解：根据题意，甲乙必须相邻，将甲乙看成一个元素，考虑其顺序，有A22=2种情况，将甲乙与剩余的3个人进行全排列，有A44=24种情况，则甲和乙坐在一起有2×24=48种不同的排法，其中，如果乙和丙坐在一起，则必须是乙在中间，甲和丙在乙的两边， 将3个人看成一个元素，考虑其顺序，有A 22=2种情况， 将甲乙丙与剩余的2个人进行全排列，有A 33=6种情况， 则甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法有2×6=12种；故甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起排法有48﹣12=36种； 故选C ．6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．6D ．7【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图， 正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V 正方体﹣2V 棱锥侧=．故选：A ．7．已知公差不为0的等差数列{a n }，它的前n 项和是S n ，，a 3=5，则取最小值时n=（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而求出a n ，S n ，利用基本不等式能求出取最小值时n 的值．【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n }，它的前n 项和是S n ，，a 3=5，∴a 3=a 1+2d=5，且（a 1+d ）2=a 1（a 1+4d ）， 由d ≠0，解得a 1=1，d=2，∴a n =2n ﹣1，∴，∴，∴当n=7的取等号， 故选：B ．8．已知，则y=f （x ）的对称轴为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】GL ：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象． 【分析】化简函数f （x ）的解析式，求出函数的对称轴即可．【解答】解：，∴对称轴方程为，∴x=﹣，令k=1，得x=，故选：B ．9．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n 为（ ）A．2 B．3 C．7 D．11【考点】EF：程序框图．【分析】算法的功能辗转相除法求m、n的最大公约数，利用辗转相除法求出m、n的最大公约数可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能利用辗转相除法求m、n的最大公约数，当输入m=210，n=119，则210=119+91；119=91+28；91=3×28+7，；28=4×7+0．∴输出n=7．故选：C．10．设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4【考点】7C：简单线性规划．【分析】利用线性规划的知识求出则Z在点D处取得最大值，由此得出a、b的关系式，max再利用基本不等式求的最小值．【解答】解：约束条件表示的平面区域如图所示；由，解得D （4，6），目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为12， 则Z max 在点D 处取得最大值； 即4a+6b=12， 所以2a+3b=6，所以，当且仅当a=b=时取“=”． 故选：A ．11．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2的直线交双曲线右支于A 、B 两点，连结AF 1、BF 1，若|AB|=|BF 1|且，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，|BF 1|﹣|BF 2|=2a ，结合等腰直角三角形可得|AF 1|=4a ，设|BF 1|=x ，运用勾股定理，可得a ，c 的关系，由离心率公式即可得到所求． 【解答】解：由双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，|BF 1|﹣|BF 2|=2a ， 相加可得|AF 1|+|BF 1|﹣|AB|=4a ，|AB|=|BF 1|且，∴|AF1|=4a，设|BF1|=x，则，，又∵，即有8a2+（2a﹣2a）2=4c2，化简可得（5﹣2）a2=c2，即有e==．故选：B．12．已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣2，f（0）=3，则不等式f（x）＞e x+2的解集是（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】问题转化为，令，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．【解答】解：f（x）＞e x+2转化为：，令，则，∴g（x）在R上单调递减，又∵∴g（x）＞0的解集为（﹣∞，0），故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，是夹角为的两个单位向量， =﹣2， =k+，若•=0，则实数k 的值为．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k ．【解答】解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：14．已知的展开式中，x 3项的系数是a ，则=．【考点】67：定积分；DB ：二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得展开式中的含x 3项的系数a 的值，再求定积分，可得要求式子的值．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1=C 5r （）r x 5﹣2r ，令5﹣2r=3则r=1∴x 3的系数为，∴dx=lnx|=ln，故答案为：ln15．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（，）．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象，由数形结合求解．【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，由题意，C（0，﹣），B（1，0）；故kBC=，当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=；解得，x1=；故kAC=；结合图象可得，实数m的取值范围是（，）．故答案为：（，）．16．已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为52π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】折叠为空间立体图形，得出四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，利用平面问题求解得出四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，求解即可．【解答】解：由，取BC的中点E，则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．F是△AMN外心，作OE⊥平面MNCB，OF⊥平面AMN，则O是四棱锥A﹣MNCB的外接球的球心，且OF=DE=3，AF=2．设四棱锥A﹣MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，所以表面积是52π．故答案为：52π．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由正弦定理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，从而sin（B﹣C）=1，由此能证明．（2）由，得，，由，a=2，利用正弦定理求出b，c，由此能求出三角形△ABC的面积．【解答】证明：（1）由及正弦定理得：…整理得：sinBcosC﹣sinCsinB=1，所以sin（B﹣C）=1，又…所以…解：（2）由（1）及，得，，又因为，a=2…所以，，…所以三角形△ABC的面积…18．康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．（1）根据以上信息，完成下面2×2列联表：（2）能否判定在犯错误概率不超过0.001的前提下认为全市高三年级学生的“语文成绩与外语成绩有关系”？（3）将上述调查所得到的频率视为概率，从全市高三年级学生成绩中，随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X ，求X 的分布列和期望E （X ）．附：其中：n=a+b+c+d ．【考点】BO ：独立性检验的应用；CH ：离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（1）由题意填写列联表即可； （2）计算观测值，对照临界值即可得出结论；（3）根据题意知随机变量X ～B （3，），计算对应的概率，写出X 的分布列，求出数学期望值． 【解答】解：（1）由题意得列联表：… （2）因为，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为全市高三年级学生“语文成绩与外语成绩有关系”； …（3）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的概率是，… 则X ～B （3，），；…X 的分布列为…数学期望为．…19．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE ﹣BCF 和一个正四棱锥P ﹣ABCD 组合而成，AD ⊥AF ，AE=AD=2．（1）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（2）求正四棱锥P ﹣ABCD 的高h ，使得二面角C ﹣AF ﹣P 的余弦值是．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明：AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P﹣ABCD 的高．【解答】（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，所以：平面PAD⊥平面ABFE…．（Ⅱ）∵AD⊥平面ABFE，∴建立以A为坐标原点，AB，AE，AD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设正四棱锥P﹣ABCD的高为h，AE=AD=2，则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=（1，﹣h，1），=（x，y，z）是平面AFC的法向量，则，令x=1，则y=z=﹣1，即=（1，﹣1，﹣1），设=（x，y，z）是平面ACP的法向量，则，令x=1，则y=﹣1，z=﹣1﹣h，即=（1，﹣1，﹣1﹣h），∵二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．∴cos＜，＞===．得h=1或h=﹣（舍）则正四棱锥P﹣ABCD的高h=1．20．已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）圆心到直线x+y+1=0的距离，由椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，知b=c，由此能求出椭圆方程．（2）当直线l的斜率不存在时，可得t=0；当直线l的斜率存在时，t≠0，设直线l方程为y=kx+2，设P（x0，y），将直线方程代入椭圆方程得：（k2+2）x2+4kx+2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为x2+（y﹣c）2=a2，∴圆心到直线x+y+1=0的距离∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b=c，，代入得b=c=1，∴，故所求椭圆方程为…（2）当直线l的斜率不存在时，可得t=0，适合题意．…当直线l 的斜率存在时，t ≠0，设直线l 方程为y=kx+2，设P （x 0，y 0）， 将直线方程代入椭圆方程得：（k 2+2）x 2+4kx+2=0，… ∴△=16k 2﹣8（k 2+2）=8k 2﹣16＞0，∴k 2＞2．设S （x 1，y 1），T （x 2，y 2），则，…由，当t ≠0，得…整理得：，由k 2＞2知，0＜t 2＜4，…所以t ∈（﹣2，0）∪（0，2），… 综上可得t ∈（﹣2，2）．…21．已知函数f （x ）=x 2﹣ax （a ≠0），g （x ）=lnx ，f （x ）的图象在它与x 轴异于原点的交点M 处的切线为l 1，g （x ﹣1）的图象在它与x 轴的交点N 处的切线为l 2，且l 1与l 2平行． （1）求a 的值；（2）已知t ∈R ，求函数y=f （xg （x ）+t ）在x ∈[1，e]上的最小值h （t ）；（3）令F （x ）=g （x ）+g′（x ），给定x 1，x 2∈（1，+∞），x 1＜x 2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m 满足：α=mx 1+（1﹣m ）x 2，β=（1﹣m ）x 1+mx 2，并且使得不等式|F （α）﹣F （β）|＜|F （x 1）﹣F （x 2）|恒成立，求实数m 的取值范围．．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a 值；（2）令u=xlnx ，再研究二次函数u 2+（2t ﹣1）u+t 2﹣t 图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F （x ）=g （x ）+g′（x ）=lnx+，再利用导数工具研究所以F （x ）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x ≥1时，F （x ）≥F （1）＞0，下面对m 进行分类讨论：①当m ∈（0，1）时，②当m ≤0时，③当m ≥1时，结合不等式的性质即可求出a 的取值范围． 【解答】解：（1）y=f （x ）图象与x 轴异于原点的交点M （a ，0），f′（x ）=2x ﹣a ，y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得k l1=k l2，即a=1；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在 x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e，u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，①当u=≤0，即t≥时，y最小=t2﹣t，②当u=≥e，即t≤时，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t，③当0＜＜e，即＜t＜时，y最小=y|u==﹣；（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=≥0，所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，①当m∈（0，1）时，有，α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的单调性知 0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2），从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符，③当m ≥1时，同理可得α≤x 1，β≥x 2，得|F （α）﹣F （β）|≥|F （x 1）﹣F （x 2）|，与题设不符， ∴综合①、②、③得 m ∈（0，1）．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为，（ϕ为参数），直线l 的参数方程为（t 为参数）．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为．（Ⅰ）求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点为A ，B ，求|PA|+|PB|的值． 【考点】QH ：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（I ）消参数即可得到普通方程，根据极坐标的几何意义即可得出P 的直角坐标； （II ）将l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得出A ，B 对应的参数，利用参数得几何意义得出|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ），y=sin=，∴P 的直角坐标为；由得cos φ=，sin φ=．∴曲线C 的普通方程为．（Ⅱ）将代入得t 2+2t ﹣8=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=﹣2，t 1t 2=﹣8， ∵P 点在直线l 上，∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|==6．[选修4-5：不等式选讲] 23．设函数f （x ）=|x ﹣a|（1）当a=2时，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0）求证：m+2n≥4．【考点】R6：不等式的证明；R5：绝对值不等式的解法．【分析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．【解答】解：（1）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得x≤﹣，故x≤﹣；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得x≥，故x≥．综合①、②、③知，原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪[，+∞）．（2）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴∴得a=1，∴ +=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（+）≥2+2=4，当且仅当=即m=2n时及m=2，n=1时，等号成立，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．。
2018年全国普通高等学校高考高三数学模拟试卷及解析高三理科数学(一)
2018年全国普通高等学校高考数学模拟理科数学试题及解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|﹣x2＋4x≥0},,C＝{x|x＝2n,n∈N},则(A∪B)∩C＝()A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x＝2n,n∈N}2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x＋yi的共轭复数是()A.2﹣iB.﹣2﹣iC.2＋iD.﹣2＋i3.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,则下列命题正确的是()A.a5是常数B.S5是常数C.a10是常数D.S10是常数4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.5.(5分)已知点F为双曲线C：(a＞0,b＞0)的右焦点,直线x＝a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.6.(5分)已知函数则()A.2＋πB.C.D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A. B. C. D.8.(5分)已知函数(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象()A.可由函数g(x)＝cos4x的图象向左平移个单位而得B.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得C.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得D.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为()A.﹣73B.﹣61C.﹣55D.﹣6310.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A. B. C. D.11.(5分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.20C.24D.3212.(5分)若函数y＝f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)＝f(x＋T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y＝f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知向量,,且,则＝.14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为.15.(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设b n＝a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{b n}的前2n项和为.16.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,,点E是线段CD 上异于点C,D的动点,EF⊥AD于点F,将△DEF沿EF折起到△PEF的位置,并使PF ⊥AF,则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边a,b,c分别满足c＝2b＝2,2bcosA＋acosC ＋ccosA＝0,又点D满足.(1)求a及角A的大小；(2)求的值.B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠18.(12分)在四棱柱ABCD﹣AA1AB＝∠A1AD＝60°.(1)求证：BD⊥CC1；(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若,则P(μ﹣σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ﹣2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9544.20.(12分)已知椭圆C：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和k AD＋k BD为定值？若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.21.(12分)已知函数f(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)＝0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a 是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|2x＋1|.(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集；(2)若正数m,n满足m＋2n＝mn,求证：f(m)＋f(﹣2n)≥16.2018年全国普通高等学校高考数学模拟理科数学试题及解析(一)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|﹣x2＋4x≥0},,C＝{x|x＝2n,n∈N},则(A∪B)∩C＝()A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x＝2n,n∈N}【试题解答】解：A＝{x|﹣x2＋4x≥0}＝{x|0≤x≤4},＝{x|3﹣4＜3x＜33}＝{x|﹣4＜x＜3},则A∪B＝{x|﹣4＜x≤4},C＝{x|x＝2n,n∈N},可得(A∪B)∩C＝{0,2,4},故选C.2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x＋yi的共轭复数是()A.2﹣iB.﹣2﹣iC.2＋iD.﹣2＋i【试题解答】解：由,得x＋yi＝＝2＋i,∴复数x＋yi的共轭复数是2﹣i.故选：A.3.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,则下列命题正确的是()A.a5是常数B.S5是常数C.a10是常数D.S10是常数【试题解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,∴a4＋a5＋a6＋a7＝2(a1＋a10)＝18,∴a1＋a10＝9,∴＝45.故选：D.4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.【试题解答】解：设AB＝2,则BC＝CD＝DE＝EF＝1,∴S＝××＝,△BCIS平行四边形EFGH＝2S△BCI＝2×＝,∴所求的概率为P＝＝＝.故选：A.5.(5分)已知点F为双曲线C：(a＞0,b＞0)的右焦点,直线x＝a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.【试题解答】解：设双曲线C：的右焦点F(c,0),双曲线的渐近线方程为y＝x,由x＝a代入渐近线方程可得y＝b,则A(a,b),可得AF的中点为(,b),代入双曲线的方程可得﹣＝1,可得4a2﹣2ac﹣c2＝0,由e＝,可得e2＋2e﹣4＝0,解得e＝﹣1(﹣1﹣舍去),故选：D.6.(5分)已知函数则()A.2＋πB.C.D.【试题解答】解：∵,＝∫cos2tdt＝＝＝,∴＝()＋(﹣cosx)＝﹣2.故选：D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A. B. C. D.【试题解答】解：第1次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝2；第2次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝3；第3次循环后,S＝＝2,不满足退出循环的条件,k＝4；…第n次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝n＋1；…第2018次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝2019第2019次循环后,S＝＝2,满足退出循环的条件,故输出的S值为2,故选：C8.(5分)已知函数(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象()A.可由函数g(x)＝cos4x的图象向左平移个单位而得B.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得C.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得D.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得【试题解答】解：函数＝sin(2ωx)﹣•＋＝sin(2ωx﹣)(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,∴•＝,∴ω＝2,f(x)＝sin(4x﹣)＝cos[(4x﹣)﹣]＝cos(4x﹣).故把函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位,可得f(x)的图象,故选：B.9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为()A.﹣73B.﹣61C.﹣55D.﹣63【试题解答】解：展开式中所有各项系数和为(2﹣3)(1＋1)6＝﹣64；＝(2x﹣3)(1＋＋＋…),其展开式中的常数项为﹣3＋12＝9,∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为﹣64﹣9＝﹣73.故选：A.10.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A. B. C. D.【试题解答】解：如图,可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF,底面是正六边形,有一PAF侧面垂直底面,且P在底面的投影为AF中点,过底面中心N作底面垂线,过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线,两垂线的交点即为球心O,设△PAF的外接圆半径为r,,解得r＝,∴,则该几何体的外接球的半径R＝,∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S＝4πR2＝.故选：C.11.(5分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.20C.24D.32【试题解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0),设直线l1：y＝k1(x﹣1),直线l2：y＝k2(x﹣1),由题意可知,则,联立,整理得：k12x2﹣(2k12＋4)x＋k12＝0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝,设D(x3,y3),E(x4,y4),同理可得：x3＋x4＝2＋,由抛物线的性质可得：丨AB丨＝x1＋x2＋p＝4＋,丨DE丨＝x3＋x4＋p＝4＋,∴|AB|＋|DE|＝8＋＝＝,当且仅当＝时,上式“＝”成立.∴|AB|＋|DE|的最小值24,故选：C.12.(5分)若函数y＝f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)＝f(x＋T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y＝f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.【试题解答】解：根据题意,对于函数f(x),当x∈[0,2)时,,分析可得：当0≤x≤1时,f(x)＝﹣2x2,有最大值f(0)＝,最小值f(1)＝﹣,当1＜x＜2时,f(x)＝f(2﹣x),函数f(x)的图象关于直线x＝1对称,则此时有﹣＜f(x)＜,又由函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2；则在∈[6,8)上,f(x)＝23•f(x﹣6),则有﹣12≤f(x)≤4,则f(8)＝2f(6)＝4f(4)＝8f(2)＝16f(0)＝8,则函数f(x)在区间[6,8]上的最大值为8,最小值为﹣12；对于函数,有g′(x)＝﹣＋x＋1＝＝,分析可得：在(0,1)上,g′(x)＜0,函数g(x)为减函数,在(1,＋∞)上,g′(x)＞0,函数g(x)为增函数,则函数g(x)在(0,＋∞)上,由最小值f(1)＝＋m,若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,必有g(x)min≤f(x)max,即＋m≤8,解可得m≤,即m的取值范围为(﹣∞,]；故选：B.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知向量,,且,则＝.【试题解答】解：根据题意,向量,,若,则•＝2sinα﹣cosα＝0,则有tanα＝,又由sin2α＋cos2α＝1,则有或,则＝(,)或(﹣,﹣),则||＝,则＝2＋2﹣2•＝；故答案为：14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为.【试题解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(2,4),＝,令t＝5x﹣3y,化为y＝,由图可知,当直线y＝过A时,直线在y轴上的截距最大,t有最小值为﹣2.∴目标函数的最小值为.故答案为：.15.(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设b n＝a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{b n}的前2n项和为.【试题解答】解：等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设首项为a1,公比为q,则：,整理得：,解得：.则：,﹣a2n＝＝﹣22n﹣4,所以：b n＝a2n﹣1则：T 2n ＝＝.故答案为：.16.(5分)如图,在直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC,AD ∥BC,,点E 是线段CD上异于点C,D 的动点,EF ⊥AD 于点F,将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置,并使PF ⊥AF,则五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的取值范围为 (0,) .【试题解答】解：∵PF ⊥AF,PF ⊥EF,AF ∩EF ＝F, ∴PF ⊥平面ABCD.设PF ＝x,则0＜x ＜1,且EF ＝DF ＝x.∴五边形ABCEF 的面积为S ＝S 梯形ABCD ﹣S △DEF ＝×(1＋2)×1﹣x 2＝(3﹣x 2).∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积V ＝(3﹣x 2)x ＝(3x ﹣x 3),设f(x)＝(3x ﹣x 3),则f′(x)＝(3﹣3x 2)＝(1﹣x 2), ∴当0＜x ＜1时,f′(x)＞0,∴f(x)在(0,1)上单调递增,又f(0)＝0,f(1)＝. ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的范围是(0,). 故答案为：.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边a,b,c 分别满足c ＝2b ＝2,2bcosA ＋acosC＋ccosA＝0,又点D满足.(1)求a及角A的大小；(2)求的值.【试题解答】解：(1)由2bcosA＋acosC＋ccosA＝0及正弦定理得﹣2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC,即﹣2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB,在△ABC中,sinB＞0,所以.又A∈(0,π),所以.在△ABC中,c＝2b＝2,由余弦定理得a2＝b2＋c2﹣2bccosA＝b2＋c2＋bc＝7,所以.(2)由,得＝,所以.18.(12分)在四棱柱ABCD﹣AB1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠A1AB＝∠A1AD＝60°.(1)求证：BD⊥CC1；(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.【试题解答】解：(1)连接A1B,A1D,AC,因为AB＝AA1＝AD,∠A1AB＝∠A1AD＝60°,所以△A1AB和△A1AD均为正三角形,于是A1B＝A1D.设AC与BD的交点为O,连接A1O,则A1O⊥BD,又四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,而A1O∩AC＝O,所以BD⊥平面A1AC.又AA1⊂平面A1AC,所以BD⊥AA1,又CC1∥AA1,所以BD⊥CC1.(2)由,及,知A 1B⊥A1D,于是,从而A1O⊥AO,结合A1O⊥BD,AO∩AC＝O,得A1O⊥底面ABCD,所以OA、OB、OA1两两垂直.如图,以点O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz,则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,﹣1,0),A1(0,0,1),C(﹣1,0,0),,,,由,得D1(﹣1,﹣1,1).设(λ∈[0,1]),则(x E＋1,y E＋1,z E﹣1)＝λ(﹣1,1,0),即E(﹣λ﹣1,λ﹣1,1),所以.设平面B 1BD的一个法向量为,由得令x＝1,得,设直线DE与平面BDB1所成角为θ,则,解得或(舍去),所以当E为D1C1的中点时,直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若,则P(μ﹣σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ﹣2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9544.【试题解答】解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为.(2)①∵Z 服从正态分布N(μ,σ2),且μ＝26.5,σ≈11.95,∴P(14.55＜Z ＜38.45)＝P(26.5﹣11.95＜Z ＜26.5＋11.95)＝0.6826, ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826.②根据题意得X ～B(4,),；；；；.∴X 的分布列为∴.20.(12分)已知椭圆C ：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 相交于A,B 两点,在y 轴上是否存在点D,使直线AD 与BD 的斜率之和k AD ＋k BD 为定值？若存在,求出点D 坐标及该定值,若不存在,试说明理由.【试题解答】解：(1)由已知可得解得a2＝2,b2＝c2＝1,所求椭圆方程为.(2)由得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0,则△＝64k2﹣24(1＋2k2)＝16k2﹣24＞0,解得或.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,设存在点D(0,m),则,,所以＝＝.要使k AD＋k BD为定值,只需6k﹣4k(2﹣m)＝6k﹣8k＋4mk＝2(2m﹣1),k与参数k无关,故2m﹣1＝0,解得,当时,k AD＋k BD＝0.综上所述,存在点,使得k AD＋k BD为定值,且定值为0.21.(12分)已知函数f(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)＝0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.【试题解答】解：(1)根据题意,函数f(x)＝e2﹣2(a﹣1)x﹣b,其导数为f'(x)＝e x﹣2(a﹣1),当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,f'(x)＝e x﹣2(a﹣1)≥0在区间[0,1]上恒成立,∴2(a﹣1)≤(e x)min＝1(其中x∈[0,1]),解得；当函数f(x)在区间[0,1]单调递减时,f'(x)＝e x﹣2(a﹣1)≤0在区间[0,1]上恒成立,∴2(a﹣1)≥(e x)max＝e(其中x∈[0,1]),解得.综上所述,实数a的取值范围是.(2)函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,则g'(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,分析可得f(x)＝g'(x).由g(0)＝g(1)＝0,知g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,设该零点为x0,则g(x)在区间(0,x0)内不单调,所以f(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理,f(x)在区间(x0,1)内存在零点x2,所以f(x)在区间(0,1)内恰有两个零点.由(1)知,当时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意.当时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,故f(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意；所以.令f'(x)＝0,得x＝ln(2a﹣2)∈(0,1),所以函数f(x)在区间[0,ln(2a﹣2)]上单调递减,在区间(ln(2a﹣2),1]上单调递增.记f(x)的两个零点为x1,x2(x1＜x2),因此x1∈(0,ln(2a﹣2)],x2∈(ln(2a﹣2),1),必有f(0)＝1﹣b＞0,f(1)＝e﹣2a＋2﹣b＞0.由g(1)＝0,得a＋b＝e,所以,又f(0)＝a﹣e＋1＞0,f(1)＝2﹣a＞0,所以e﹣1＜a＜2.综上所述,实数a的取值范围为(e﹣1,2).请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a 是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.【试题解答】解：(1)圆C1：(θ是参数)消去参数θ,得其普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2,将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ代入上式并化简,得圆C1的极坐标方程,由圆C2的极坐标方程,得ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ.将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,x2＋y2＝ρ2代入上式,得圆C2的直角坐标方程为(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝2.(2)由(1)知圆C1的圆心C1(﹣1,﹣1),半径r1＝a；圆C 2的圆心C2(1,1),半径,,∵圆C1与圆C2外切,∴,解得,即圆C1的极坐标方程为.将代入C1,得,得；将代入C2,得,得；故.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|2x＋1|.(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集；(2)若正数m,n满足m＋2n＝mn,求证：f(m)＋f(﹣2n)≥16.【试题解答】解：(1)此不等式等价于或或解得或或3＜x≤4.即不等式的解集为.(2)证明：∵m＞0,n＞0,m＋2n＝mn,,即m＋2n≥8,当且仅当即时取等号.∴f(m)＋f(﹣2n)＝|2m＋1|＋|﹣4n＋1|≥|(2m＋1)﹣(﹣4n＋1)|＝|2m＋4n|＝2(m＋2n)≥16,当且仅当﹣4n＋1≤0,即时,取等号.∴f(m)＋f(﹣2n)≥16.。
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（11套）2018年广东省所有市高考数学模拟试题汇总2018年广东省东莞市高考数学二调试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，4，8}C．{1，2，4}D．{1，2，4，8}2．（5分）若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．3．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．4．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．6．（5分）已知，则z=22x+y的最小值是（）A．1 B．16 C．8 D．47．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．118．（5分）设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）9．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°10．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=﹣对称，则把函数f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=11．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e） C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．15．（5分）已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），当x，y∈R时，点P 满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率为．16．（5分）已知函数，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的零点，则m的取值范围是．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为ω．在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元；（1）试写出是S（ω）的表达式：（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：K2=19．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中PF=2．（1）求证：PF⊥平面ABED；（2）求点A到平面PBE的距离．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞x2+x+2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．[选修4-4参数方程与极坐标系]22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（2）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2018年广东省东莞市高考数学二调试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，4，8}C．{1，2，4}D．{1，2，4，8}【解答】解：∵A={1，2，4，8，16}，∴B={y|y=log2x，x∈A}={0，1，2，3，4}，∴A∩B={1，2，4}．故选：C．2．（5分）若复数z满足（1+2i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．B．C．D．【解答】解：由（1+2i）z=（1﹣i），得=，则|z|=．故选：C．3．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sinα﹣cosα=，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，∴sin2α=﹣，故选：A．4．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．5．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，∴AB=BC，由余弦定理得：AC===BC，故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，∴sinA=，故选：D6．（5分）已知，则z=22x+y的最小值是（）A．1 B．16 C．8 D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，设m=2x+y，则得y=﹣2x+m，平移直线y=﹣2x+m，由图象可知当直线y=﹣2x+m经过点A时，直线的截距最小，此时m最小，z也最小，由，解得，得A（1，1）此时m=2×1+1=3，z=22x+y=z=23=8，故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【解答】解：模拟程序的运行，可得：，否；，否；，否；，否；，是，输出i=9，故选：B．8．（5分）设函数f（x）=x3+ax2，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，则点P的坐标为（）A．（0，0） B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（﹣1，1）【解答】解：∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=﹣1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=﹣1，当x0=﹣1时，f（x0）=1．故选：D．9．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP因为E为PC中点，所以OE∥PA，所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．因为四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即∠PAO=60°，因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1．所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°，即面直线PA与BE所成的角为45°．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=﹣对称，则把函数f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【解答】解：根据函数f（x）=sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x=﹣对称，可得，可得λ=﹣1，所以．把f（x）的图象横坐标扩大到原来的2倍，可得y=sin（x﹣）的图象，再向右平移，得到函数g（x）=sin[（x﹣）﹣]=sin（x﹣）的图象，即g（x）=sin（﹣），令=kπ+，求得x=2kπ+，k∈Z，故函数g（x）的图象的对称轴方程为x=2kπ+，k∈Z．当k=0时，对称轴的方程为，故选：D．11．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D12．（5分）已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A．（e，+∞）B．（0，e） C．D．【解答】解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2的导数为：f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx+2x=x（2+cosx），则x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，且f（﹣x）=xsinx+cos（﹣x）+（﹣x）2=f（x），则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），则不等式，即为f（lnx）＜f（1）即为f（|lnx|）＜f（1），则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1，解得，＜x＜e．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．14．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=2，，∴+=4，化为：q4﹣4q2+4=0，解得q2=2，q＞0，解得q=．则数列{a n}的通项公式a n==．故答案为：．15．（5分）已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为（x，y），当x，y∈R时，点P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率为．【解答】解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD及其内部满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点位于的区域是以C（2，2）为圆心，半径等于2的圆及其内部∴P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率为P1===．故答案为：16．（5分）已知函数，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的零点，则m的取值范围是（3，+∞）．【解答】解：当m＞0时，函数的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2①．=2a n+1﹣2②，则：S n+1=2a n，②﹣①得：a n+1即：（常数），当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得：a1=2，所以数列的通项公式为：，（Ⅱ）由于：，则：，=，=2n +1﹣2．﹣2﹣2﹣ (2)=2n +2﹣4﹣2n ．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失S （单位：元），空气质量指数API 为ω．在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API 为150时造成的 经济损失为500元，当API 为200时，造成的经济损失为700元）；当API 大于300时造成的 经济损失为2000元； （1）试写出是S （ω）的表达式：（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？ 附： K 2=【解答】解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得S（ω）=；（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A；由200＜S≤600，得100＜ω≤175，频数为33，∴P（A）=；（2）根据以上数据得到如表：K2的观测值K2=≈4.575＞3.841所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．19．（12分）如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中PF=2．（1）求证：PF⊥平面ABED；（2）求点A到平面PBE的距离．【解答】解：（1）连结EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，在△PBF中，PF2+BF2=20+16=36=PB2，所以PF⊥BF…（2分）在图1中，利用勾股定理，得EF==，在△PEF中，EF2+PF2=61+20=81=PE2，∴PF⊥EF…（4分）又∵BF∩EF=F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，∴PF⊥平面ABED．…（6分）（2）解：由（1）知PF⊥平面ABED，∴PF为三棱锥P﹣ABE的高．…（8分）设点A到平面PBE的距离为h，由等体积法得V A=V P﹣ABE，…（10分）﹣PBE即∴h=，即点A到平面PBE的距离为．…（14分）20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的离心率为，且过点A（2，1），所以，．…（2分）因为a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，…（3分）所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）解法一：因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为﹣k．…（5分）所以直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），直线AQ的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2）．设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），由，消去y，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．①因为点A（2，1）在椭圆C上，所以x=2是方程①的一个根，则，…（6分）所以．…（7分）同理．…（8分）所以．…（9分）又．…（10分）所以直线PQ的斜率为．…（11分）所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…（12分）解法二：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PA的斜率，直线QA的斜率．因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k PA=﹣k QA，即，①…（5分）因为点P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以，②．③由②得，得，④…（6分）同理由③得，⑤…（7分）由①④⑤得，化简得x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0，⑥…（8分）由①得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0，⑦…（9分）⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2（y1+y2）．…（10分）②﹣③得，得．…（11分）所以直线PQ的斜率为为定值．…（12分）解法三：设直线PQ的方程为y=kx+b，点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+b，y2=kx2+b，直线PA的斜率，直线QA的斜率．…（5分）因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在直线关于直线x=2对称．所以k PA=﹣k QA，即=，…（6分）化简得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0．把y1=kx1+b，y2=kx2+b代入上式，并化简得2kx1x2+（b﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4b+4=0．（*）…（7分）由，消去y得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，（**）则，…（8分）代入（*）得，…（9分）整理得（2k﹣1）（b+2k﹣1）=0，所以或b=1﹣2k．…（10分）若b=1﹣2k，可得方程（**）的一个根为2，不合题意．…（11分）若时，合题意．所以直线PQ的斜率为定值，该值为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞x2+x+2．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣=…（2分）当a≤0时，f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，所以，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；…（4分）当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，所以，函数在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx，要证明f（x）+e x＞x2+x+2，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0，设g（x）=e x﹣lnx﹣2，则问题转化为证明对任意的x＞0，g（x）＞0，令g′（x）=e x﹣=0，得e x=，容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足e x0=，当x变化时，g′（x）和g（x）变化情况如下表g（x）min=g（x0）=e x0﹣lnx0﹣2=+x0﹣2，因为x0＞0，且x0≠1，所以g（x）min＞2﹣2=0，因此不等式得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．[选修4-4参数方程与极坐标系]22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线的参数方程为（t为参数），转化为：x+y﹣4=0．曲线C：ρ=2．转化为：x2+y2=2x+2y，即：x2+y2﹣2x﹣2y=0．（Ⅱ）圆的方程x2+y2﹣2x﹣2y=0，转化为标准式为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则：圆心（1，1）到直线的距离d=，所以：曲线上的点到直线的最大距离为：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（1）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（2）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【解答】解：（1）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣，所以﹣＜a≤0；②当0＜a＜时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以0＜a＜；③当a≥时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得a＜，所以≤a＜；综上所述，实数a的取值范围是（﹣，）．（2）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．2018年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=i，则|Z|=（）A．B．C．D．22．（5分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，2]C．[2，3]D．[1，3]3．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数字专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a、b分别为96、42，则输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5分）如果实数x，y满足关系，又≥λ恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，3]C．[，+∞）D．（3，+∞）6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则的值为（）A．3 B．5 C．9 D．258．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（1+x）=f（3﹣x），且当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a10．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣2cosx的一条对称轴为x=﹣，且f（x1）•f（x2）=﹣16，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．C． D．11．（5分）对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a ×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD﹣EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（）A．4 B．8 C．D．12．（5分）若存在实数x使得关于x的不等式（e x﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，则实数a的取值范围是（）A．{} B．{} C．[，+∞）D．[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知等差数列{a n}前15项的和S15=30，则a2+a9+a13=．14．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的序号是①f（x）＜0恒成立；②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；④f（）＞f（）⑤f（）＜f（）16．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点．若△ABC的面积为2，则•+2的最小值为．三、解答题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c ﹣b）cosA．（1）求cosA的值；（2）若b=3，点M在线段BC上，=2，||=3，求△ABC的面积．18．（12分）在如图所示的圆台中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆O′的直径，满足AB⊥CD，又DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角．（Ⅰ）若面BCD与面ABE的交线为l，证明：l∥面CDE；（Ⅱ）若AB=2CD，求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值．19．（12分）如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？（Ⅲ）若90～95分数段内的这n名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F2，过F1直线l：x+my+=0与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率e=；（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆存在点M，使得2=+，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣alnx，其中a∈R．（1）若函数f（x）在[，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）设正实数m1，m2满足m1+m2=1，当a＞0时，求证：对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）当a=2时，若正实数x1，x2，x3满足x1+x2+x3=3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为t为参数，直线l和圆C交于A，B两点．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设l上一定点M（0，1），求|MA|•|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若∃x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，求实数t的取值范围．2018年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=i，则|Z|=（）A．B．C．D．2【解答】解：由（1+i）Z=i，得Z=，∴|Z|=．故选：A．2．（5分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，2]C．[2，3]D．[1，3]【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={y|y=x2+1}={y|y≥1}，则A∩B={x|1≤x≤3}=[1，3]，故选：D3．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数字专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a、b分别为96、42，则输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由程序框图可知：当a=96，b=42时，满足a＞b，则a=96﹣42=54，i=1由a＞b，则a=54﹣42=12，i=2由a＜b，则b=42﹣12=30，i=3由a＜b，则b=30﹣12=18，i=4由a＜b，则b=18﹣12=6，i=5由a＞b，则a=12﹣6=6，i=6由a=b=6，输出i=6．故选：C．5．（5分）如果实数x，y满足关系，又≥λ恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，3]C．[，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设z==2+，z的几何意义是区域内的点到D（3，1）的斜率加2，作出实数x，y满足关系对应的平面区域如图：由图形，可得C（，），由图象可知，直线CD的斜率最小值为=，∴z的最小值为，∴λ的取值范围是（﹣∞，]．故选：A．6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V==，故选：B．7．（5分）已知等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则的值为（）A．3 B．5 C．9 D．25【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则有a6==15，则q==5，则==q2=25；故选：D．8．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且•n=•，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：C．9．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（1+x）=f（3﹣x），且当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【解答】解：∵f（1+x）=f（3﹣x），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，∴f（3）=f（1）．当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f′（x）＜0，∴f′（x）＞0，即f（x）单调递增，∵0＜＜1，∴f（0）＜f（）＜f（2），即a＜b＜c，故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣2cosx的一条对称轴为x=﹣，且f（x1）•f（x2）=﹣16，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．C． D．【解答】解：f（x）=asinx﹣2cosx=sin（x+θ），由于函数f（x）的对称轴为：x=﹣，所以f（﹣）=﹣a﹣3，则|﹣a﹣3|=，解得：a=2；所以：f（x）=4sin（x﹣），由于：f（x1）•f（x2）=﹣16，所以函数f（x）必须取得最大值和最小值，所以：x1=2kπ+或x2=2kπ﹣，k∈Z；所以：|x1+x2|的最小值为．故选：C．11．（5分）对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a ×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD﹣EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：据向量积定义知，向量垂直平面ABCD，且方向向上，设与所成角为θ．∵∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，∴点E在底面ABCD上的射影在直线AC上．作EI⊥AC于I，则EI⊥面ABCD，∴θ+∠EAI=．过I作IJ⊥AD于J，连EJ，由三垂线逆定理可得EJ⊥AD．∵AE=2，∠EAD=60°，∴AJ=1，EJ=．又∵∠CAD=30°，IJ⊥AD，∴AI=．∵AE=2，EI⊥AC，∴cos∠EAI==．∴sinθ==cos∠EAI=，cosθ=．故=||||sin∠BAD||cosθ=8××=，故选D．12．（5分）若存在实数x使得关于x的不等式（e x﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，则实数a的取值范围是（）A．{} B．{} C．[，+∞）D．[，+∞）【解答】解：不等式（e x﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，即为（e x﹣a）2+（x﹣a）2≤，表示点（x，e x）与（a，a）的距离的平方不超过，即最大值为．由（a，a）在直线l：y=x上，设与直线l平行且与y=e x相切的直线的切点为（m，n），可得切线的斜率为e m=1，解得m=0，n=1，切点为（0，1），由切点到直线l的距离为直线l上的点与曲线y=e x的距离的最小值，可得（0﹣a）2+（1+a）2=，解得a=，则a的取值集合为{}．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知等差数列{a n}前15项的和S15=30，则a2+a9+a13=6．【解答】解：∵设等差数列的等差为d，{a n}前15项的和S15=30，∴=30，即a1+7d=2，则a2+a9+a13=（a1+d）+（a1+8d）+（a1+12d）=3（a1+7d）=6．故答案为：6．14．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为1120．【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．∴=，其展开式的通项=，令8﹣2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为．故答案为：1120．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的序号是②⑤①f（x）＜0恒成立；②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；④f（）＞f（）⑤f（）＜f（）【解答】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示：f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确；③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确，④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤．故答案为：②⑤．16．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点．若△ABC的面积为2，则•+2的最小值为2．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，∴M到BC的距离等于点A到BC的距离的一半，=2S△MBC，而△ABC的面积2，则△MBC的面积S△MBC=1，∴S△ABCS△MBC=丨MB丨•丨MC丨sin∠BMC=1，∴丨MB丨•丨MC丨=．∴•=丨MB丨•丨MC丨cos∠BMC=．由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨•丨CM丨cos∠BMC，显然，BM、CM都是正数，∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨•丨CM丨，∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC=2×﹣2×．∴•+2≥+2×﹣2×=2•，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值为2；方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，则•+2的最小值为2；故答案为：2．三、解答题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c ﹣b）cosA．（1）求cosA的值；（2）若b=3，点M在线段BC上，=2，||=3，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为acosB=（3c﹣b）cosA，由正弦定理得：sinAcosB=（3sinC﹣sinB）cosA，即sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA，可得：sinC=3sinCcosA，在△ABC中，sinC≠0，所以．…（5分）（2）∵=2，两边平方得：=4，由b=3，||=3，，可得：，解得：c=7或c=﹣9（舍），所以△ABC的面积．…（12分）18．（12分）在如图所示的圆台中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆O′的直径，满足AB⊥CD，又DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角．（Ⅰ）若面BCD与面ABE的交线为l，证明：l∥面CDE；（Ⅱ）若AB=2CD，求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，在圆台OO′中，∵CD⊂圆O′，∴CD∥平面ABE，∵面BCD∩面ABE=l，∴l∥CD，∵CD⊂平面CDE，l⊄平面CDE，∴l∥面CDE；（Ⅱ）解：连接OO′、BO′、OE，则CD∥OE，由AB⊥CD，得AB⊥OE，又O′B在底面的射影为OB，由三垂线定理知：O′B⊥OE，∴O′B⊥CD，∴∠O′BO就是求面BCD与底面ABE所成二面角的平面角．设AB=4，由母线与底面成角，可得OE=2O′D=2，DE=2，OB=2，OO′=，∴cos∠O′BO=．19．（12分）如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？（Ⅲ）若90～95分数段内的这n名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）80～90分数段的毕业生的频率为：p1=（0.04+0.03）×5=0.35，此分数段的学员总数为21人，∴毕业生的总人数N为N==60，90～95分数段内的人数频率为：p2=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，∴90～95分数段内的人数n=60×0.1=6．（Ⅱ）将90～95分数段内的6名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有：=18不同的分配方法．（Ⅲ）ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为：所以随机变量ξ数学期望为E（ξ）==．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F2，过F1直线l：x+my+=0与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率e=；（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆存在点M，使得2=+，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）过F1直线l：x+my+=0，令y=0，解得x=﹣，∴c=，∵e==，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1，∴椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），由2=+，得：x3=x1+x2，y3=y1+y2代入椭圆方程可得：（x1+x2）2+（y1+y2）2﹣1=0，∴（x12+y12）+（x22+y22）+（x1x2+4y1y2）=1，∴x1x2+4y1y2=0联立方程消x可得（m2+4）y2+2my﹣1=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴x1x2+4y1y2=（my1+）（my2+）+4y1y2=（m2+4）4y1y2+m（y1+y2）+3=0，即m2=2，解得m=±所求直线l的方程：x±y+=0．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣alnx，其中a∈R．（1）若函数f（x）在[，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）设正实数m1，m2满足m1+m2=1，当a＞0时，求证：对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）当a=2时，若正实数x1，x2，x3满足x1+x2+x3=3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣alnx，导数为f′（x）=x﹣，函数f（x）在[，+∞）上单调递增，可得f′（x）=x﹣≥0在[，+∞）恒成立，即为a≤x2的最小值，由x2在[，+∞）的最小值为，可得a≤；（2）证明：由f（x）=x2﹣alnx，a＞0，可得f′（x）=x﹣，f″（x）=1+＞0，即有f（x）为凹函数，由m1+m2=1，可得对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）由f（x）=x2﹣2lnx，可得导数为f′（x）=x﹣，f″（x）=1+＞0，则f（x）为凹函数，有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）]，即为f（x1）+f（x2）+f（x3）≥3f（）=3f（1）=3×=，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值为．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为t为参数，直线l和圆C交于A，B两点．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设l上一定点M（0，1），求|MA|•|MB|的值．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵圆C的极坐标方程为：ρ=2sin（θ﹣）=2（sinθcos﹣cosθsin）=2sinθ﹣2cosθ，∴ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程x2+y2=2y﹣2x，即（x+1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）直线l的参数方程为，t为参数，直线l的参数方程可化为，t′为参数，代入（x+1）2+（y﹣1）2=2，得（﹣+1）2+（）2=2，化简得：t'2﹣﹣1=0，∴=﹣1，∴|MA|•|MB|=||=1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若∃x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，求实数t的取值范围．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．即|x﹣m|﹣3≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．∴m+3=4，m﹣3=﹣2，解得m=1．（Ⅱ）∵∃x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，即|x﹣1|﹣3≥t+|2﹣x|，∴∃x∈R，|x﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3，令g（t）=|x﹣1|﹣|x﹣2|=，∴∃x∈R，|x﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3成立，∴t+3≤g（x）max=1，∴t≤﹣2．2018年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x﹣x2=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．（0，1） D．{0，1}2．（5分）设复数z 1=2+i，z2=1+ai，若，则实数a=（）A．﹣2 B．C．D．23．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．94．（5分）袋中有5个球，其中红色球3个，标号分别为1，2，3；篮色球2个，标号分别为1，2；从袋中任取两个球，则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p：∀x＞1，log2x+4log x2＞4，则¬p为（）。
2018年北京专家高考模拟试卷(三)文科数学参考答案
n( 3)n 4
( 3)n 4
3n 4
∴ n 3 时， cn1 cn ； n 4 时， cn1 cn
∴ c1 c2 c3 c4 c5 c6
∴
n(
3 4
)n
max
c3
c4
81 64
∴ k 27 ∴实数 k 的取值范围为 (, 27) ，故选 D .
64
64
11. B【解析】法 1：以 A 为坐标原点， AB 为 x 轴正方向建系，则有
a4
30,
解得：
a2
3, a4
27
或
a2
27, a4
3 ，故 q2
1 9
或 q2
9,
q 0,q 3 或 q 1 . 3
14. 3 【解析】执行循环体，依次得到 S 的值为 2 , 4 , 3 , 1 , 2 , 4 , 3 ，可得，S 是以 4 为周期的循环，故可
IA
IA
7
.故
最大值为
7
.
IA
IA
IA
4
4
12. D【解析】 f x 1 x2 mx m n ln x (x 0) ， f (x) x m m n
2
2
2x
2x2
2mx 2x
m
n
，由
f
(x)
的两个极值点
x1 ,
x2
满足 0
x1
1
x2
，得函数
g(x)
2x2
2mx
m
n
的两个零点
x1 ,
2
13
13
sin( ) sin[2 ( )] sin 2 cos( ) cos 2 sin( ) 16 .故选 A. 65
2018届赣州市高考理科数学模拟试卷及答案
2018 届赣州市高考理科数学模拟试卷及答案理科考生要想考好理科数学，就需要多做一些理科数学模拟试卷，对自己复习后的知识进行查漏补缺，这样将对你高考很有帮助，下面是为大家精心推荐的2018 届赣州市高考理科数学模拟试卷，希望能够对您有所帮助。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则()A.B.C.D.2. 已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为()A.B.C.D.3. 总体由编号为01, 02, 03，…，49, 50的50个个体组成，利用随机数表(以下选取了随机数表中的第1 行和第2行)选取5个个体,选取方法是从随机数表第1 行的第9 列和第10 列数字开始由左向右读取,则选出来的4 个个体的编号为()A.05B.09C.11D.204. 已知双曲线的一条渐近线方程为,则的离心率为()A.B. 或C.2D.5. 执行下图程序框图,若输出,则输入的为()A. 或或1B.C. 或1D.16. 数列是首项,对于任意,有,则前5 项和()A.121B.25C.31D.357. 某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为()A.4B.8C.D.8. 函数(其中为自然对数的底数)的图象大致为()ABCD9. 若，则()A.1B.513C.512D.51110. 函数() 在内的值域为，则的取值范围是()A.B.C.D.11. 抛物线的焦点为，为准线上一点，为轴上一点，为直角，若线段的中点在抛物线上，则的面积为()A.B.C.D.12. 已知函数有两个极值点，且，若，函数，则()A. 恰有一个零点B. 恰有两个零点C. 恰有三个零点D. 至多两个零点第H卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13. 已知向量，，则在方向上的投影为.14. 直线的三个顶点都在球的球面上，，若三棱锥的体积为 2 ，则该球的表面积为.15. 已知变量满足约束条件，目标函数的最小值为，则实数.16. 数列的前项和为，若，则.三、解答题(本大题共6 小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在中，角，，所对应的边分别为，，，.(1) 求证：;(2) 若，为锐角，求的取值范围.18. 某学校用简单随机抽样方法抽取了100 名同学，对其日均课外阅读时间(单位：分钟) 进行调查，结果如下：男同学人数711151221女同学人数89171332若将日均课外阅读时间不低于60 分钟的学生称为“读书迷” .(1) 将频率视为概率，估计该校4000 名学生中“读书迷”有多少人?(2) 从已抽取的8 名“读书迷” 中随机抽取4 位同学参加读书日宣传活动.(i) 求抽取的4 位同学中既有男同学又有女同学的概率;(ii) 记抽取的“读书迷”中男生人数为，求的分布列和数学期望.19. 如图，平行四边形中，，，，，分别为，的中点，平面.(1) 求证：平面;(2) 求直线与平面所成角的正弦值.20. 已知椭圆经过点，且离心率为.(1)求椭圆的方程;直线与圆相切于点，且与椭圆相交于不同的两点，，求的最(2)大值.21.已知函数，.(1)讨论函数的单调性;(2)若函数在区间有唯一零点，证明：.22.点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.(1) 求曲线，的极坐标方程;(2) 射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积23. 已知函数.(1) 若，解不等式;(2) 当时，，求满足的的取值范围.一.选择题：BACCDDBDACBA二.填空题：(13)(14)(15)(16)三.解答题：(17) 解：(I)由根据正弦定理得，即，得.(n)由余弦定理得，由知，由为锐角，得，所以.从而有.所以的取值范围是.(18) 解：(I )设该校4000名学生中“读书迷”有人，贝几解得. 所以该校4000名学生中“读书迷”约有320人.(n)(i)抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率:(ii)可取0, 1, 2, 3.的分布列为:0123(19) 解:(1) 连接,因为平面,平面,所以,在平行四边形中,,,所以，，从而有，所以，又因为，所以平面，平面，从而有，又因为，，所以平面.(2) 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，因为平面，所以，又因为为中点，所以，所以，，> > >设平面的法向量为，由，得，，令，得.设直线与平面所成的角为，则：即直线与平面所成角的正弦值为.(20) 解：(I)由已知可得，，解得，，所以椭圆r的方程为(n)当直线垂直于轴时，由直线与圆：相切,可知直线的方程为，易求. 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，由直线与圆相切，得，即，将代入，得，设，，则，，又因为，所以，当且仅当，即时等号成立，综上所述，的最大值为2.(21) 解：(I),,令，，若，即，则，当时，，单调递增，若，即，则，仅当时，等号成立，当时，，单调递增. 若，即，则有两个零点，，由，得，当时，，，单调递增;当时，，，单调递减;当时，，，单调递增.综上所述，当时，在上单调递增;当时，在和上单调递增，在上单调递减.(n)由(1)及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求此时，就是函数在区间的唯一零点.所以，从而有，又因为，所以，令，则，设，则，再由(1) 知：，，单调递减，又因为，，所以，即.(22) 解：(I)曲线的极坐标方程为.设，则，则有.所以，曲线的极坐标方程为.( n ) 到射线的距离为，则.(23) 解：(I),所以表示数轴上的点到和1 的距离之和，因为或2 时，依据绝对值的几何意义可得的解集为.(n),当时，，等号当且仅当时成立，所以无解当时，，由得，解得，又因为，所以; 当时，，解得，综上，的取值范围是.。
2018年全国一般高等学校招生高考数学模拟试卷理科一及答案
2018年全国一般高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，那么（）A．A∩B={x|0＜x≤2} B．A∩B={x|x＜0} C．A∪B={x|x＜2} D．A∪B=R2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z知足z+3i=a+ai，假设复数z 是纯虚数，那么（）A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜03．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图顶用勾（a）和股（b）别离表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，假设从图中随机取一点，那么此点不落在中间小正方形中的概率是（）A． B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=6π，那么tan a5=（）A． B．C．﹣D．﹣5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），那么以下结论正确的选项是（）A．∀a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增B．∃a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（）A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣487．（5分）如图是某个几何体的三视图，那么那个几何体的表面积是（）A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+4 8．（5分）假设a＞1，0＜c＜b＜1，那么以下不等式不正确的选项是（）A．log2018a＞log2018b B．log b a＜log c aC．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b9．（5分）执行如下图的程序框图，假设输出的n值为11，那么判定框中的条件能够是（）A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部份图象如下图，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g （x）的图象重合，那么（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的核心为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，那么+的值为（）A．B．C．1 D．212．（5分）已知数列{an }中，a1=2，n（an+1﹣an）=an+1，n∈N*，假设关于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，那么实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），假设向量2﹣与=（1，2）共线，那么向量在向量方向上的投影为．14．（5分）假设实数x，y知足，那么z=x﹣3y+1的最大值是．15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下核心F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，假设以AB为直径的圆恰好于其上核心F2，那么双曲线的离心率为．16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，那么当该长方体体积最大时，其外接球的体积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边别离为a，b，c，假设2acosA=bcosC+ccosB．（1）求角A的大小；（2）假设点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．19．（12分）第一届“一带一路”国际合作顶峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地域合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情形，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，取得其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，假设该校共有3000名学生，试估量该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人．①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的散布和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右核心为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，假设在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．（1）假设a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；（2）假设0＜a＜，试判定函数f（x）的零点个数．请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位成立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；（2）假设g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．2018年全国一般高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，那么（）A．A∩B={x|0＜x≤2} B．A∩B={x|x＜0} C．A∪B={x|x＜2} D．A∪B=R【解答】解：集合A={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，B={x|（）x＜1}={x|x＞0}，那么A∩B={x|0＜x＜2}，A∪B=R．应选：D．2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z知足z+3i=a+ai，假设复数z 是纯虚数，那么（）A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜0【解答】解：由z+3i=a+ai，得z=a+（a﹣3）i，又∵复数z是纯虚数，∴，解得a=0．应选：B．3．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图顶用勾（a）和股（b）别离表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，假设从图中随机取一点，那么此点不落在中间小正方形中的概率是（）A． B． C．D．【解答】解：设直角三角形的长直角边为a=4，短直角边为b=3，由题意c=5，∵大方形的边长为a+b=3+4=7，小方形的边长为c=5，那么大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，∴知足题意的概率值为：1﹣=．应选：B．4．（5分）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，且S9=6π，那么tan a5=（）A． B．C．﹣D．﹣【解答】解：由等差数列的性质可得：S9=6π==9a5，∴a=．5=tan=﹣．那么tan a5应选：C．5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），那么以下结论正确的选项是（）A．∀a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增B．∃a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增【解答】解：当a≤0时，函数f（x）=x+在区间（0，+∞）内单调递增，当a＞0时，函数f（x）=x+在区间（0，]上单调递减，在[，+∞）内单调递增，故A，B均错误，∀a∈R，f（﹣x）=﹣f（x）均成立，故f（x）是奇函数，故C错误，应选：D．6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（）A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣48【解答】解：∵（2﹣x）4展开式的通项公式为 T=•24﹣r（﹣x）r，r+1∴（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为﹣•23+24=﹣16，应选：A．7．（5分）如图是某个几何体的三视图，那么那个几何体的表面积是（）A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+4【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．其直观图如下所示：其表面积S=2×π•12+2××2×1++﹣2×1=2π+4+4，应选：B8．（5分）假设a＞1，0＜c＜b＜1，那么以下不等式不正确的选项是（）A．log2018a＞log2018b B．logba＜logcaC．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b【解答】解：依照对数函数的单调性可得log2018a＞log2018b正确，logba＜logca正确，∵a＞1，0＜c＜b＜1，∴a c＜a b，a﹣c＞0，∴（a﹣c）a c＜（a﹣c）a b，故C不正确，∵c﹣b＜0，∴（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b正确，应选：C．9．（5分）执行如下图的程序框图，假设输出的n值为11，那么判定框中的条件能够是（）A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？【解答】解：第1次执行循环体，S=3，应不知足输出的条件，n=2，第2次执行循环体，S=7，应不知足输出的条件，n=3，第3次执行循环体，S=15，应不知足输出的条件，n=4，第4次执行循环体，S=31，应不知足输出的条件，n=5，第5次执行循环体，S=63，应不知足输出的条件，n=6，第6次执行循环体，S=127，应不知足输出的条件，n=7，第7次执行循环体，S=255，应不知足输出的条件，n=8，第8次执行循环体，S=511，应不知足输出的条件，n=9，第9次执行循环体，S=1023，应不知足输出的条件，n=10，第10次执行循环体，S=2047，应不知足输出的条件，n=11第11次执行循环体，S=4095，应知足输出的条件，故判定框中的条件能够是S＜4095？，应选：C．10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部份图象如下图，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g （x）的图象重合，那么（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）【解答】解：依照函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部份图象，可得==+，∴ω=2，依照+φ=2•（﹣）+φ=0，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，故g（x）=2sin（2x++）=2sin（2x+）．应选：A．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的核心为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，那么+的值为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：抛物线C：y2=4x的核心为F（1，0），过点F作斜率为1的直线l：y=x﹣1，可得，消去y可得：x2﹣6x+1=0，可得xP +xQ=6，xPxQ=1，|PF|=xP +1，|QF|=xQ+1，|PF||QF|=xQ +xP+xPxQ+1=6+1+1=8，则+===1．应选：C．12．（5分）已知数列{an }中，a1=2，n（an+1﹣an）=an+1，n∈N*，假设关于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，那么实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【解答】解：依照题意，数列{a n }中，n （a n+1﹣a n ）=a n +1， 即na n+1﹣（n+1）a n =1，那么有﹣==﹣，那么有=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）+2=3﹣＜3，＜2t 2+at ﹣1即3﹣＜2t 2+at ﹣1，∵关于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *，不等式＜2t 2+at ﹣1恒成立，∴2t 2+at ﹣1≥3， 化为：2t 2+at ﹣4≥0，设f （a ）=2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]， 可得f （2）≥0且f （﹣2）≥0，即有即，可得t ≥2或t ≤﹣2，那么实数t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）． 应选：A ．二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），假设向量2﹣与=（1，2）共线，那么向量在向量方向上的投影为0 ．【解答】解：向量=（1，λ），=（3，1），向量2﹣=（﹣1，2λ﹣1），∵向量2﹣与=（1，2）共线，∴2λ﹣1=﹣2，即λ=．∴向量=（1，﹣），∴向量在向量方向上的投影为||•cos＜，＞===0．故答案为：0．14．（5分）假设实数x，y知足，那么z=x﹣3y+1的最大值是．【解答】解：实数x，y知足，对应的可行域如图：线段AB，z=x﹣3y+1化为：y=，若是z最大，那么直线y=在y轴上的截距最小，作直线l：y=，平移直线y=至B点时，z=x﹣3y+1取得最大值，联立，解得B（，）．因此z=x﹣3y+1的最大值是：．故答案为：﹣．15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下核心F作y轴的垂线，交1，那么双曲线的双曲线于A，B两点，假设以AB为直径的圆恰好于其上核心F2离心率为．作y轴的垂线，【解答】解：过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下核心F1交双曲线于A，B两点，那么|AB|=，，以AB为直径的圆恰好于其上核心F2可得：，∴c2﹣a2﹣2ac=0，可得e2﹣2e﹣1=0，解得e=1+，e=1﹣舍去．故答案为：1+．16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，那么当该长方体体积最大时，其外接球的体积为4．【解答】解：设该项长方体底面边长为x米，由题意知其高是：=6﹣2x，（0＜x＜3）那么长方体的体积V（x）=x2（6﹣2x），（0＜x＜3），V′（x）=12x﹣6x2=6x（2﹣x），由V′（x）=0，得x=2，且当0＜x＜2时，V′（x）＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜3时，V′（x）＜0，V（x）单调递减．∴体积函数V（x）在x=2处取得唯一的极大值，即为最大值，现在长方体的高为6﹣2x=2，∴其外接球的直径2R==2，∴R=，∴其外接球的体积V==4．故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边别离为a，b，c，假设2acosA=bcosC+ccosB．（1）求角A的大小；（2）假设点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．【解答】解：（1）∵2acosA=bcosC+ccosB，∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosA=，∴A=．（2）在△ABC中，由余弦定理的cosA==，解得AC=1+或AC=1﹣（舍）．∵BD是∠ABC的平分线，∴=，∴AD=AC=．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1）取线段AB的中点E，连接DE，EM．∵AD=DB，AE=EB，∴DE∥BB1，ED=，又M为CC1的中点，∴．∴四边形CDEM是平行四边形．∴CD∥EM，又EM⊂MAB1，CD⊄MAB1∴CD∥平面MAB1；解（2）∵CA，CB，CC1两两垂直，∴以C为原点，CA，CB，CC1所在直线别离为x、y、z轴成立空间直角坐标系．∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，可得∠MAC为直线AM与平面ABC所成的角，设AC=1，tan，得CM=∴C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2），M（0，0，）设AMB1的法向量为，可取又平面B1C1CB的法向量为．cos==．∵二面角A﹣MB1﹣C1为钝角，∴二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值为﹣．19．（12分）第一届“一带一路”国际合作顶峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地域合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情形，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，取得其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，假设该校共有3000名学生，试估量该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人．①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的散布和数学期望．【解答】解：（1）众数为76，中位数为76，抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中任选1人，那个人测试成绩在70分以上的概率为=，∴该校这次测试成绩在70分以上的约有：3000×=2000人．（2）①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94，当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类：一类是：82，88，93，94，共1种；另一类是：76，88，93，94，共3种．∴P（X≥87）==．②由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，∴ξ的散布列为：ξ 0 1 2 3 4P∴E（ξ）==2．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右核心为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，假设在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）显然当点P位于短轴端点时，△PF1F2的面积取得最大值，∴，解得，∴椭圆的方程为=1．（2）联立方程组，消元得（8+9k2）x2+36kx﹣36=0，∵直线l恒过点（0，2），∴直线l与椭圆始终有两个交点，设M（x1，y1），N（x2，y2），那么x1+x2=，设MN的中点为E（x0，y），那么x=，y=kx+2=．∵|GM|=|GN|，∴GE⊥MN，设G（m，0），那么kGE==﹣，∴m==，当k＞0时，9k+≥2=12．当且仅当9k=，即k=时取等号；∴﹣≤m＜0，当k＜0时，9k+≤﹣2=﹣12，当且仅当9k=，即k=﹣时取等号；∴0＜m≤．∴点G的横坐标的取值范围是[﹣，0）∪（0，]．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．（1）假设a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；（2）假设0＜a＜，试判定函数f（x）的零点个数．【解答】解：（1）∵函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，∴f′（x）=e x﹣≥0在区间[0，+∞）恒成立，即a≥e﹣x﹣x在[0，+∞）恒成立，记g（x）=e﹣x﹣x，那么g′（x）=﹣e﹣x﹣1＜0恒成立，故g（x）在[0，+∞）递减，故g（x）≤g（0）=1，a≥1，故实数a的范围是[1，+∞）；（2）∵0＜a＜，f′（x）=e x﹣，记h（x）=f′（x），那么h′（x）=e x+＞0，知f′（x）在区间（﹣a，+∞）递增，又∵f′（0）=1﹣＜0，f′（1）=e﹣＞0，，∴f′（x）在区间（﹣a，+∞）内存在唯一的零点x即f′（x）=﹣=0，于是x0=﹣ln（x+a），当﹣a＜x＜x时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞x时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）min =f（x）=﹣2a﹣ln（x+a）=x+a+﹣3a≥2﹣3a，当且仅当x+a=1时取“=”，由0＜a＜得2﹣3a＞0，∴f（x）min =f（x）＞0，即函数f（x）无零点．请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位成立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．【解答】解：（1）依照题意，椭圆C的方程为+=1，那么其参数方程为，（α为参数）；直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，变形可得ρsinθcos+ρcosθsin =3，即ρsinθ+ρcosθ=3，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，即直线l的一般方程为x+y﹣6=0；（2）依照题意，M（x，y）为椭圆一点，那么设M（2cosθ，4sinθ），|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|，分析可得，当sin（θ+）=﹣1时，|2x+y﹣1|取得最大值9．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；（2）假设g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．【解答】（1）解：不等式f（x）+f（2+x）≤4，即为|x﹣2|+|x|≤4，当x≥2时，2x﹣2≤4，即x≤3，那么2≤x≤3；当0＜x＜2时，2﹣x+x≤4，即2≤4，那么0＜x＜2；当x≤0时，2﹣x﹣x≤4，即x≥﹣1，那么﹣1≤x≤0．综上可得，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}；（2）证明：g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）=|x﹣2|﹣|x|，由|x﹣2|﹣|x|≤|x﹣2﹣x|=2，当且仅当x≤0时，取得等号，即g（x）≤2，那么m=2，任意不相等的正实数a，b，可得af（b）+bf（a）=a|b﹣2|+b|a﹣2|=|ab﹣2a|+|ab﹣2b|≥|ab﹣2a﹣ab+2b|=|2a﹣2b|=2|a﹣b|=m|a﹣b|，当且仅当（a﹣2）（b﹣2）≤0时，取得等号，即af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．。
东莞市达标名校2018年高考一月仿真备考数学试题含解析
东莞市达标名校2018年高考一月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数3()1f x x ax =--，以下结论正确的个数为（ ） ①当0a =时，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-； ②当3a ≥时，函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数； ③若函数()f x 在(–1,1)上不单调，则0<<3a ； ④当12a =时，()f x 在[–4,5]上的最大值为1． A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）A ．623+B ．622+C ．442+D ．443+3．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x>，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ）A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A <B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C< C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A >D ．()()22cosC sin sin cos f B f B C >4．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α5．已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ）A ．12B ．1-C ．±1D ．12±6．已知实数x，y满足约束条件202201x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21yzx-=+的最小值为A．23-B．54-C．43-D．12-7．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．140 D ．1208．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（）A．300，0.25B．300，0.35C．60，0.25D．60，0.359．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)10．设集合{}2320M x x x=++>，集合1{|()4}2xN x=≤，则M N⋃=（）A．{}2x x≥-B．{}1x x>-C．{}2x x≤-D．R11．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 12．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．247-B ．1731-C ．247D ．1731二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年高三数学模拟卷及答案
高级中学高三数学〔理科〕试题一、选择题：〔每题5分，共60分〕1、集合{x∈≤2}，{x∈2≤1}，那么A∩〔〕A、[﹣1，1]B、[﹣2，2]C、{﹣1，0，1}D、{﹣2，﹣1，0，1，2}【答案】C解：根据题意，≤2⇒﹣2≤x≤2，那么{x∈≤2}={﹣2≤x≤2}，x2≤1⇒﹣1≤x≤1，那么{x∈2≤1}={﹣1，0，1}，那么A∩{﹣1，0，1}；应选：C．2、假设复数〔a∈R，i为虚数单位〕是纯虚数，那么实数a的值为〔〕A、3B、﹣3C、0D、【答案】A解：∵ = 是纯虚数，那么，解得：3．应选A．3、命题“∃x 0∈R，〞的否认是〔〕A、∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0B、∀x∈R，x2﹣x﹣1＞0C、∃ x0∈R，D、∃ x0∈R，【答案】A 解：因为特称命题的否认是全称命题，所以命题“∃x0∈R，〞的否认为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0．应选：A4、?张丘建算经?卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织一样量的布，假设第一天织5尺布，现有一月〔按30天计〕，共织390尺布〞，那么该女最终一天织多少尺布？〔〕A、18B、20C、21D、25 【答案】C解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=30×5+ d，解得．∴最终一天织的布的尺数等于5+295+29× =21．应选：C．5、二项式的绽开式中常数项为32，那么〔〕A、8B、﹣8C、2D、﹣2【答案】D解：二项式〔x﹣〕4的绽开式的通项为1=〔﹣a〕44﹣r，令4﹣=0，解得3，∴〔﹣a〕3C43=32，∴﹣2，应选：D6、函数〔﹣＜x＜〕的大致图象是〔〕A、 B、 C、 D、【答案】A 解：在〔0，〕上，是减函数，是减函数，且函数值y＜0，故解除B、C；在〔﹣，0〕上，是增函数，是增函数，且函数值y＜0，故解除D，应选：A．7、假设数列满意，且及的等差中项是5，等于( B )〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕8、如图是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A、1B、C、D、【答案】B解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，四棱锥的一条侧棱及底面垂直，且侧棱长为1，∴四棱锥的体积是．应选B．9、设a＞0，b＞0，假设2是2a及2b的等比中项，那么的最小值为〔〕A、8B、4C、2D、1 【答案】C解：∵2是2a及2b的等比中项，∴2a•24，∴2，〔〕=1，而a＞0，b＞0，∴ =〔〕〔+ 〕=1+ + ≥1+2 =2，当且仅当1时取等号．应选：C．10、假设函数f〔x〕=2〔〕〔﹣2＜x＜10〕的图象及x轴交于点A，过点A的直线l及函数的图象交于B、C两点，那么〔+ 〕• =〔〕A、﹣32B、﹣16C、16D、32 【答案】D 解：由f〔x〕=2〔〕=0可得∴6k﹣2，k∈Z，∵﹣2＜x＜10∴4即A〔4，0〕设B〔x1， y1〕，C〔x2， y2〕∵过点A的直线l及函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x12=8，y12=0那么〔+ 〕• =〔x12， y12〕•〔4，0〕=4〔x12〕=32应选D11、双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的右顶点为A，假设双曲线右支上存在两点B，C使得△为等腰直角三角形，那么该双曲线的离心率e的取值范围是〔〕A、〔1，2〕B、〔2，+∞〕C、〔1，〕D、〔，+∞〕【答案】C【解析】【解答】解：如图，由△为等腰直角三角形，所以∠45°，设其中一条渐近线及x轴的夹角为θ，那么θ＜45°，即θ＜1，又上述渐近线的方程为x，那么＜1，又，∴1＜e＜，双曲线的离心率e的取值范围〔1，〕，应选C．12、函数f〔x〕，假设k∈Z，且k〔x﹣1〕＜f〔x〕对随意的x＞1恒成立，那么k的最大值为〔〕A、2B、3C、4D、5【答案】B解：由k〔x﹣1〕＜f〔x〕对随意的x＞1恒成立，得：k＜，〔x＞1〕，令h〔x〕= ，〔x＞1〕，那么h′〔x〕= ，令g〔x〕﹣﹣2=0，得：x﹣2，画出函数﹣2，的图象，如图示：∴g〔x〕存在唯一的零点，又g〔3〕=1﹣3＜0，g〔4〕=2﹣4=2〔1﹣2〕＞0，∴零点属于〔3，4〕；∴h〔x〕在〔1，x0〕递减，在〔x0，+∞〕递增，而3＜h〔3〕= ＜4，＜h〔4〕= ＜4，∴h〔x0〕＜4，k∈Z，∴k的最大值是3．二、填空题：〔每题5分，共20分〕13、假设x，y满意那么2y的最大值为．【答案】2 解：由足约束条件作出可行域如图，由2y，得﹣+ ．要使z最大，那么直线﹣+ 的截距最大，由图可知，当直线﹣+ ．过点A时截距最大．联立，解得，∴A〔0，1〕，∴2y的最大值为0+2×1=2．故答案为：2．14、向量=〔1，2〕，⊥〔+ 〕，那么向量在向量方向上的投影为．【答案】﹣解：由⊥〔+ 〕，那么•〔+ 〕=0，即2+ • =0，那么• =﹣丨丨2，向量在向量方向上的投影为=﹣丨丨=﹣=﹣，故答案为：﹣．15、斜率为k〔k＞0〕的直线l经过点F〔1，0〕交抛物线y2=4x于A，B 两点，假设△的面积是△面积的2倍，那么．【答案】2【解析】【解答】解：∵S△2S△，∴﹣2 ，①∴设的方程为1〔m＞0〕，及y2=4x联立消去x得y2﹣4﹣4=0，∴4m②，﹣4③由①②③可得，∴2 。
2018年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．36．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm37．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2 C．D．912．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A． B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情况抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879附：（，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i【解答】解：==﹣1﹣3i故选A2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B．∵集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，∴a≥2故选：D．3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即2﹣•=0，即1+m2﹣（m﹣1+2m）=0，即m2﹣3m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，量=（1，1），=（0，2），满足≠，当m=2时，量=（1，2），=（1，2），不满足≠，综上m=1，故选：B．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题【解答】解：“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故A错；“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题，比如m=0，若a＜b，则am2=bm2，故B错；对任意x＞0，均有3x＜4x成立，故C错；对若，则”的逆否命题是“若α=，则sinα=”为真命题，则D正确．故选D．5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．3【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．6．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．7．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象，故本题即求y=sin2x的减区间，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：B．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），则：数列为等差数列．设公差为d，则：d=a2﹣a1=2﹣1=1，则：a n=1+n﹣1=n．故：，则：，所以：，=，=，=．所以：．故选：C9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]【解答】解：当x≤0时，f（x）单调递增，∴f（x）≤f（0）=1﹣a，当x＞0时，f（x）单调递增，且f（x）＞﹣a．∵f（x）在R上有两个零点，∴，解得0＜a≤1．故选A．10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，∵PF1⊥PF2，则•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，令f（y）=（）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）×+2y，∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．方法二：由直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，由题意可知：直线AB与圆O：x2+y2=c2相切，可得d==c，两边平方，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2 C．D．9【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）=598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7=602，所以y=4，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则xy=G2，2G=a+b，即有a+b=4，a＞0，b＞0，则+=（a+b）（+）=（1+4++）≥（5+2）=×9=，当且仅当b=2a=时，的最小值为．12．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A． B．C．D．【解答】解：根据题意，对于（2x﹣）•ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，即（2e﹣）ln≤，设t=，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，设f（t）=（2e﹣t）lnt，（t＞0）则其导数f′（t）=﹣lnt+﹣1，又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）=﹣lne+﹣1=0，则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）的最大值为f（e），且f（e）=e，若f（t）=（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；故选：D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为1．【解答】解：设变量x，y满足约束条件在坐标系中画出可行域三角形，平移直线4x﹣y=0经过点A（1，3）时，4x﹣y最小，最小值为：1，则目标函数z=4x﹣y的最小值：1．故答案为：1．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=3．【解答】解：∵直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，∴，解得a=3．故答案为：3．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=100．【解答】解：∵，∴log2a n+1﹣log2a n=1，即，∴．∴数列{a n}是公比q=2的等比数列．则a101+a102+…+a110=（a1+a2+a3+…+a10）q100=2100，∴log2（a101+a102+…+a110）=．故答案为：100．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为y=x，则另一渐近线ON的方程为y=﹣x，由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=x，可得M的横坐标为，由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=﹣x，可得N的横坐标为．由2=，可得2（﹣c）=﹣c，即为﹣c=，由e=，可得﹣1=，即有e4﹣5e2+4=0，解得e2=4或1（舍去），即为e=2，即c=2a，b=a，可得渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．【解答】解：（1）由正弦定理可知：===2R，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由2ccosB=2a+b，则2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，由0＜B＜π，sinB≠0，cosC=﹣，0＜C＜π，则C=；（2）由S=absinC=c，则c=ab，由c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，∴=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时取等号，∴ab≥12，故ab的最小值为12．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情况抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879附：（，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（1）按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名；∴x=80﹣（5+10+15+47）=3，y=20﹣（2+3+10+2）=3；抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A，B，C；两位女生设为a，b；从5名任意选2名，总的基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个；设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A”；则事件包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6个；∴P（A）==；（2）填写2×2列联表如下：男生女生总计体育达人50555非体育达人301545总计8020100则K2=≈9.091；∵9.091＞6.635且P（K2≥6.635）=0.010，∴在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．【解答】证明：（1）连接CD，据题知AD=4，BD=2，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos，∴=8，∴CD=2，∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，CD∩AC=C，∴PD⊥平面ABC．解：（2）∵，∴PD=AD=4，∴PA=4，在Rt△PCD中，PC==2，∴△PAC是等腰三角形，∴，设点B到平面PAC的距离为d，由V E=V P﹣AEC，得，﹣PAC∴d==3，故点B到平面PAC的距离为3．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则圆心为（﹣1，1）．抛物线E：y2=2px（p＞0），焦点坐标F（），由于：圆心C到抛物线焦点F的距离为．则：，解得：p=6．故抛物线的方程为：y2=12x（2）设直线的方程为x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），则：，整理得：y2﹣12my﹣12t=0，所以：y1+y2=12m，y1y2=﹣12t．由于：OA⊥OB．则：x1x2+y1y2=0．即：（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2=0．整理得：t2﹣12t=0，由于t≠0，解得t=12．故直线的方程为x=my+12，直线经过定点（12，0）．当CN⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到直线的距离取最大值．当CP⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到动直线L的距离取得最大值．k MP=k CP=﹣，则：m=．此时直线的方程为：x=，即：13x﹣y﹣156=0．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a=0，解得：a=1，∴f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（1）不等式f（x）﹣+2x+＞k（x﹣1）可化为lnx﹣+x﹣＞k（x﹣1），令g（x）=lnx﹣+x﹣﹣k（x﹣1），（x＞1），g′（x）=，∵x＞1，令h（x）=﹣x2+（1﹣k）x+1，h（x）的对称轴是x=，①当≤1时，即k≥﹣1，易知h（x）在（1，x0）上递减，∴h（x）＜h（1）=1﹣k，若k≥1，则h（x）≤0，∴g′（x）≤0，∴g（x）在（1，x0）递减，∴g（x）＜g（1）=0，不适合题意．若﹣1≤k＜1，则h（1）＞0，∴必存在x0使得x∈（1，x0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．②当＞1时，即k＜﹣1，易知必存在x0使得h（x）在（1，x0）递增，∴h（x）＞h（1）=1﹣k＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．综上，k的取值范围是（﹣∞，1）．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】（1）直线L的参数方程为：（α为参数）．曲线C的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：y2=8x（2）当时，直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=8x得到：．（t1和t2为A和B的参数），所以：，t1t2=﹣16．所以：．O到AB的距离为：d=．则：=．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得|x+3|＜|2x﹣1|，即|x+3|2＜|2x﹣1|2，则有3x2﹣10x﹣8＞0，∴x＜﹣或x＞4，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（4，+∞）；（2）由已知，设h（x）=2f（x）+g（x）=2|x+3|+|2x﹣1|=，当x≤﹣3时，只需﹣4x﹣5＞ax+4恒成立，即ax＜﹣4x﹣9，∵x≤﹣3＜0，∴a＞=﹣4﹣恒成立，∴a＞，∴a＞﹣1，当﹣3＜x＜时，只需7＞ax+4恒成立，即ax﹣3＜0恒成立，只需，∴，∴﹣1≤a≤6，当x≥时，只需4x+5＞ax+4恒成立，即ax＜4x+1，∵x≥＞0，∴a＜=4+恒成立，∵4+＞4，且无限趋近于4，∴a≤4，综上，a的取值范围是（﹣1，4]．。
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2018届全国100所名校示范卷 高考模拟卷 数 学 卷 （三）第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．与tang2oo8º的值最接近的数是 （ ）（A （B （C ） （D ）2．已知()lg(f x x =，若f （a ）=b ，则f （-a ）= （ ）（A ）b （B ）-b （C ）1b （D ）-1b3．某机床在生产中所需垫片可以外购，也可自己生产，其中外购的单价是每个1.10元,若自己生产,则每月需投资固定成本800元,并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共0.60元,设该厂每月所需垫片x 个,则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是（ ） （A ）x>1800 （B ）x>1600 （C ）x>500 （D ）x>1400 4．已知等差数列{}n a 中，它的前n 项和n s 为,若点(n,ns n)恒在直线上,则该数列的通项公式n a 为（ ）（A ）4n+1 （B ）2n+1 （C ）4n-1 （D ）2n-15．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F FMF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）（A （B （C （D 6.有下面四个命题，其中正确命题的序号是①“直线a 、b 为异面直线”的充分而不必要条件是“直线a 、b 不相交”； ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”; ③“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；④“直线a ∥平面α”的必要而不充分条件是“直线a 平行于α内的一条直线.” A.①③ B.②③ C.②④ D.③④7.如果a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6的平均数（期望）为3，那么2(a 1－3)、2(a 2－3)、2(a 3－3)、2(a 4－3)、2(a 5－3)、2(a 6－3)的平均数（期望）是A.0B.3C.6D.12 8.如果函数y =log 2｜ax －1｜(a ≠0)的图象的对称轴方程是x =－2,那么a 等于A.21 B.－21 C.2 D.－29.若f (x )=ax 3+3x 2+2,且f ′(－1)=4,则a 等于A.319 B.316 C.313 D.310 10.已知抛物线y =ax 2的焦点为F ，准线l 与对称轴交于点R ，过抛物线上一点P （1，2）作PQ ⊥l ，垂足为Q ，则梯形PQRF 的面积为A.47 B.811 C.1619 D.165 11.在某市举行的“市长杯”足球比赛中，由全市的6支中学足球队参加.比赛组委会规定：比赛采取单循环赛制进行，每个队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.在今年即将举行的“市长杯”足球比赛中，参加比赛的市第一中学足球队的可能的积分值有A.13种B.14种C.15种D.16种 12.给出四个命题，则其中正确命题的序号为 ①存在一个△ABC ，使得sin A +cos A =－1; ②△ABC 中,A ＞B 的充要条件为sin A ＞sin B ;③直线x =8π是函数y =sin(2x +45π)图象的一条对称轴； ④△ABC 中，若sin2A =sin2B ,则△ABC 一定是等腰三角形. A.①② B.②③ C.③④D.①④二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．已知5lg (）x x x +展开式的第四项的值等于118，则x =14．过抛物线x y 42=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=8，O 为坐标原点，则△OAB 的重心的横坐标为 15．)321132112111(lim nn +++++++++++∞→ 的值为 16．对于函数x x x f sin cos )(+=，给出下列四个命题： ①存在34)(),2,0(=∈απαf 使； ②存在)3()(),2,0(ααπα+=+∈x f x f 使恒成立；③存在R ∈ϕ，使函数)(ϕ+x f 的图像关于y 轴对称；④函数)(x f 的图象关于点)0,43(π对称； 其中正确命题的序号是第Ⅱ卷（非选择题，共90分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填在下面的答案栏中.）（本题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上）13. 14.15. 16.三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分１２分）设a =（1+sin2x ，sinx ），b =（tan （4π-x ），9），0≤x ≤2π，求函数f （x ）=a ∙b 的最大值。
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高考模拟试卷数学卷 （本卷满分150分 考试时间120分钟 ） 参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式 S=4πR2 V=Sh 球的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
V=34πR3 台体的体积公式
其中R表示球的半径 V=31h(S1+21SS+S2) 锥体的体积公式 其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积， V=31Sh h表示台体的高
其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
选择题部分 (共40分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．已知全集UR，|21xAyy，|ln0Bxx，则UABð
A． B．|01xx C．1|12xx D． |1xx
2．已知0.32a，20.3b，0.3log2c，则 A．bca B．bac C．cab D．cba 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A．64 B．72 C．80 D．112 4．在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知23a，3A，ABC的面积为23，则bc A．4 B．6 C．8 D．10
5．设实数,xy满足20,240,20,xyxyy1yzx，则 A．z有最大值，有最小值 B．z有最大值，无最小值 C．z无最大值，有最小值 D．z无最大值，无最小值
6．在二项式5212xx的展开式中，含2x的项的系数是 A．80 B．40 C．5 D． 10 7．从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任取3个不同的数，若每个数被取到的可能性相同，则这3个数的和恰好能被3整除概率是
A．120 B．110 C．310 D．720
8．已知F为抛物线2:4Cyx的焦点，,,ABC为抛物线C上三点，当0FAFBFC时，称ABC
为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有 A．0个 B．1个 C．3个 D．无数个 9．已知向量3,1a，向量1cos,sin055tttb，则向量,ab的夹角可能是
A．218 B．518 C．718 D．1118 10．已知函数2()fxxaxb，,mn满足mn且fmn，fnm，则当mxn时， A．fxxmn B．fxxmn C．0fxx D．0fxx
非选择题部分 (共110分) 二、填空题：本大题共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．已知复数12iz，其中i为虚数单位，则z___________，zz___________．
12．设等比数列na的首项11a，且1234,2,aaa成等差数列，则公比q___________；数列na的前n项和nS___________．
13．已知圆C的方程为22680xyxy,则圆C的坐标是___________，半径是___________；圆C
关于直线:10lxy对称的圆的方程是___________．
14．已知函数211,0,22ln,0,xxfxxxx则1ff___________；若函数yfxa有一个零点，则a的取值范围是___________． 15．将3个1，11个0排成一列，使得每两个1之间至少隔着两个0，则共有___________种不同的排法．
16．设,ab为正实数，则2ababab的最小值是___________．
17．如图，ABC平面，且ABCBC平面，1AB，3BC，56ABC，平面内一动点P满足6PAB，则PC的最小值是___________．
三、 解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分14分）已知函数()sin()(0,0)fxx的最小正周期是，将函数()fx图象向左平移3个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P．
（Ⅰ）求fx； （Ⅱ）若0,2x，求函数fx的值域． 19．（本题满分15分）如图，在三棱柱111CBAABC中，ACCABAAA111，90ABC，45BAC，NM,分
别是BACC11,的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABC； （Ⅱ）求直线NC1与平面ABC所成的角的余弦值．
20．（本题满分15分）已知函数21504afxxxx，ln4gxx，曲线ygx在点14，
处的切线与曲线yfx相切． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）证明：当0x时，fxgx． 21．（本题满分15分）已知椭圆222210xyabab的离心率为63，以椭圆的2 个焦点与1个 短轴端点为顶点的三角形的面积为22． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交与,AB两点，以线段AB为直径的圆截直线1x所得的弦的长度为5，求直线l的方程． 22．（本题满分15分）设数列na满足113a，212nnnaaan，*nN．证明： （Ⅰ）求23,aa； （Ⅱ）数列na为递增数列； （Ⅲ）212121nnnann，*nN． 2018年高考（或中考）模拟试卷数学参考答案与评分标准 1．（原创）答案：B． 解析：因为|1Axx，所以|1UAxxð，又因为|01Bxx，所以|01UABxxð．
2．（原创）答案：D． 解析：因为0.321a，20.30,1b，0.3log20c，所以cba． 3．（原创）答案：C． 解析：该几何体为一个正方体与一个四棱锥的组合体，故体积为321443803． 4．（原创）答案：B． 解析：由1sin232SbcA得8bc．由2222cosbcbcAa得2212bcbc，所以6bc． 5．（原创）答案：C．
解析：不等式组20,240,20,xyxyy表示的平面区域为如图的阴影部分，目标函数1yzx表示阴影部分中的点与点0,1的连线的斜率，故z有最小值，无最大值． 6．（原创）答案：A． 解析：二项式5212xx的展开式的通项为555315521221rrrrrrrrTCxCxx，由532r得1r，所以含2x的项的系数是11452180C． 7．（原创）答案：D． 解析：从10个数中任取3个共有310120C种取法，若所取的3个数的和恰能被3整除，则第一类：这3个数从1,4,7,10中取，共有344C种取法；第二类：这3个数从2,5,8中取，共有331C种取法； 第三类：这3个数从3,6,9中取，共有331C种取法；第四类：这从1,4,7,10
中取1个数，从2,5,8中取1个数，从3,6,9中取1个数，共有43336种取法，所以所取的3个数的和恰好能被3整除概率是41136712020．
8．（原创）答案：D． 解析：如图，由0FAFBFC得F为ABC的重心，设点A坐标为00,xy，3AMMF，则点M坐标为003,22xy，只要满足点M在抛物线内部，即2003422yx，
002x时，直线00034:22xylyxy与抛物线2:4Cyx的交点,BC关于点M对称，此时ABC为“和谐三角形”，因此有无数个“和谐三角形”． 9．（原创）答案：B． 解析：如图，若向量1cos,sin055tttb的起点为原点，则其终点在射线tan115yxx上，故向量,ab的夹角的取值范围为11630，． 10．（原创）答案：A． 解析：因为函数2()fxxaxb是上凹函数，所以1fxfmfnfmxmnm，因此fxxmn．
11．（原创）答案：12i；1． 解析：12iz，1zzzz． 12．（原创）答案：2；21n． 解析：由1234,2,aaa成等差数列得21344aaa，即244qq，解得2q，1212112nnnS． 13．（原创）答案：34，，5；225225xy． 解析：由圆C的方程为223425xy得圆心坐标为34，，半径为5，圆心34，关于直线:10lxy的对称点的坐标为52，，所以圆C关于直线:10lxy对称的圆的方程是225225xy．
14．（原创）答案：2；10,ln22． 解析：112fff；由22lnfxxx得21414xfxxxx
，因此yfx在区间10,2上
单调递减，在区间12，上单调递增，故11ln222ff
极小
，函数yfx的图象如图所示，
所以当10,ln22a时，函数yfxa有一个零点． 15．（原创）答案：120． 解析：符合条件的排列中，3个1将11个0分成四段，设每一段分别有1234,,,xxxx个0，则10x，22x，32x，40x且123411xxxx，令222xx，332xx，则12347xxxx．因此原问题等价于求方程12347xxxx的自然数解的组数，将7个1与3块隔板进行排列，其排列数即对应方程自然数解的组数，所以方程共有310120C组自然数解，故共有120种不同的排法．
16．（原创）答案：222． 解析：令2abxaby，显然,0xy，则2ayxbxy，所以 2222222abyxxyyxababxyxy
，当2xy，即2ab时，等号成立．
17．（原创）答案：52．