黄山市2017高三第二次模拟考试数学(理)试题(word版含答案)

安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题参考公式：如果事件A 、B 互斥, 那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 互斥独立, 那么()()().P AB P A P B = 如果随机变量(),B n p ξ ，则()()(),1E np D np p ξξ==-第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}R 12,1,0,1,2,|02x A B x x -⎧⎫=--=≥⎨⎬+⎩⎭ð，则A B = （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}1,0- C ．{}2,1,0-- D ．{}0,1,2 2. 复数()()()i 3i R z a a a =+-+∈，若0z <，则a 的值是（ ）A ．a =．a =．1a =- D ．1a =3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()112,1N n n a a S n *+==+∈，则5S = （ ）A ． 31B ．42C ．37D ．47 4. 在ABC ∆中，()()()2,0,2,0,,B C A x y -,给出ABC ∆满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为（ ）A ．123,,C C CB ．312,,C C C C.321,,C C CD ．132,,C C C 5. 在区间[]0,8上随机取一个x 的值，执行下面的程序框图，则输出的3y ≥的概率为（ ）A ．13 B ．12 C. 23 D ．346. 过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆推的体积为（ ）A ．1B ．23π C. 43π D ．83π 7. 已知()122051,1log 3,cos 6a x dxbc π=-=-=⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b << C.a c b << D ．b c a <<8. 已知1,,m x y >满足约束条件405001x y mx y m x -+≥⎧⎪-+-≤⎨⎪≤≤⎩,若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为3，则12a b+（ ） A ．有最小值BC.D9. 《中国诗词大会》（第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ） A ．144种 B ．288种 C. 360种 D ．720种 10.已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（ ）A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭C.⎫⎪⎪⎝⎭ D．⎛ ⎝⎭11. 函数()())ln 00x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩与()()112g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],32ln 2-∞-B ．[)32ln 2,-+∞C.)+∞ D．(,-∞12.将函数4y x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象向左平移3个单位，得函数()4y x πϕϕπ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象(如图) ，点,M N 分别是函数()f x 图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设MON θ∠=，则()tan ϕθ-的值为（ ）A．2-．21．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知1,1,2222a b a b ⎛==+= ⎝⎭，则b 在a 方向上的投影为 ．14. 若随机变量()22,3X N ，且()()1P X P Xa≤=≥，则()52x a a x ⎛+ ⎝展开式中3x 项的系数是 ．15. 祖暅（公元前5-6世纪)，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家. 他提出了一条原理：“幂势既同，則积不容异. ”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上. 以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆知总成立. 据此，短轴长为4cm ，长轴为6cm 的椭球体的体积是3cm ．16. 设()A n 表示正整数n 的个位数，()()2,n a A n A n A =-为数列{}n a 的前202项和，函数()1xf x e e =-+，若函数()g x 满足()11x Ax f g x A -⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，且()()N n b g n n *=∈，则数列{}n b 的前n 项和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC ∆ 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量 )(),cos 1,sin m n A A ==+，且m n 的值为2（1）求A ∠的大小；（2）若3a B ==，求ABC ∆的面积. 18. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD ∆是边长为2的等边三角形，PC M =在PC 上，且PA 面MBD .（1）求证:M 是PC 的中点；（2）在PA 上是否存在点F ，使二面角F BD M --为直角？若存在，求出AFAP的值；若不存在，说明理由.19. 2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选. 美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客. 现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：（1）若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品，记这3人中赞成“自助游”人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附: ()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++20. 已知椭圆(222:12x y E a a +=>的离心率e =，右焦点(),0F c ，过点2,0a A c ⎛⎫⎪⎝⎭的直线交椭圆E 于,P Q 两点. （1）求椭圆E 的方程；（2）若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证:,,M F Q 三点共线； (3) 当FPQ ∆面积最大时，求直线PQ 的方程.21. 已知函数()()()21'0xf x ax x e f =+-+.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()()l n ,xx g x ef x x h x e -=+=，过()0,0O 分别作曲线()yg x =与()yh x =的切线12,l l ，且1l 与2l 关于x 轴对称，求证:()321222e e a e ++-<<-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为ρ=()1,0P 的直线l 交曲线C 于,A B 两点.（1）将曲线C 的极坐标方程的化为普通方程； （2）求PA PB 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()2,1f x x g x x x =-=+-. （1）解不等式()()f x g x >；（2）若存在实数x ，使不等式()()()R m g x f x x m -≥+∈能成立，求实数m 的最小值.安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: CADBB 6-10: DBAAB 11-12：BA二、填空题13.14-14.1620 15.16π 16.2332nn n +-+ 三、解答题17. 解：(1)sin 2sin 3m n A A A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ sin 136A A ππ⎛⎫∴+=⇒= ⎪⎝⎭.(2)cos sin B B =∴=,由sin sin b a B A =得32b ==，())1sin sin cos cos sin 2ABC S ab C A B A B A B ∆∴==+=+=.18. 解：(1)证明：连AC 交BD 于E ，连.ME ABCD 是矩形，E ∴是AC 中点.又PA 面MBD ，且ME 是面PAC 与面MDB 的交线，,PA ME M ∴∴ 是PC 的中点.(2)取AD 中点O ，由（1）知,,OA OE OP 两两垂直. 以O 为原点，,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为()()()()(131,0,0,1,3,0,1,0,0,1,3,0,,,22A B D C P M ⎛--- ⎝⎭.设存在F 满足要求，且AFAPλ=，则由AF AP λ=得：()1F λ-，面MBD 的一个法向量为21,3n ⎛=- ⎝⎭，面FBD的一个法向量为21,3m ⎛=- ⎝ ，由0n m = ，得421093λλ-++=，解得38λ=，故存在F ，使二面角F BD M --为直角，此时38AF AP =. 19. 解：(1)将22⨯列联表中的数据代入计算，得2K 的观测值：()210030104515100 3.030, 3.030 3.8414555752533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ，∴在犯错误的概率不超过0.05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系. (2)X 的所有可能取值为：0,1,2,3,依题意()()i 3ii 33313,,i ,i 0,1,2,3444X B P X C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为： ()4E X np ==.20. 解：(1)由3a a =⇒=∴椭圆E 的方程是22162x y +=. (2)由（1）可得()3,0A ，设直线PQ 的方程为()3y k x =-. 由方程组()221623x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()222231182760kx k x k +-+-=，依题意()212230k ∆=->，得k <<设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()()()2212121111222218276,,2,0,,,2,,2,3131k k x x x x F M x y MF x y FQ x y k k -+==-=-=-++ ，由()()()()()()12211221222323x y x y x k x x k x ---=-----()22121222182765212521203131k k k x x x x k k k ⎛⎫-=+--=--=⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭ ，得,,,MF FQ M F Q ∴三点共线.(3)设直线PQ 的方程为3x my =+. 由方程组221623x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()223630my my +++=，依题意()22361230m m ∆=-+>，得232m >.设()()1122,,,P x y Q x y ，则12121233631,.332FPQ m y y y y S AF y y m m ∆+=-=∴=-++====，令23t m =+，则212111,3929FPQS y y t m t ∆=-==∴==+=，即 26,m m ==FPQ S ∆最大，FPQS ∆∴最大时直线PQ 的方程为30x -=.21. 解：由已知得()()()2'21,'00x f x ax a x e f ⎡⎤=++=⎣⎦，所以()()21xf x ax x e =+-.(1)()()()2'2121x x f x ax a x e x ax a e ⎡⎤=++=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦. ① 若0a >，当12x a <--或0x >时，()'0f x >；当120x a--<<时，()'0f x <，所以()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭； 单调递减区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ②若()()()0,1,'x x a f x x e f x xe ==-=，当0x >时，()'0f x >；当0x <时，()'0f x <，所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞. ③ 若102a -<<，当12x a >--或0x <时，()'0f x <；当102x a <<--时，()'0f x >，所以()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.④若()211,'022x a f x x e =-=-≤，故()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞.⑤若12a <-，当12x a <--或0x >时，()'0f x <；当120x a --<<时，()'0f x >，所以()f x 的单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭. 当0a >时，()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 当0a =时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞.当102a -<<时，()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭. 当12a =-时，()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当12a <-时，()f x 单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ；单调递减区间为1,2a ⎛⎫-∞--⎪⎝⎭,()0,+∞； (2)()()()22ln 1ln 1ln x x x g x e f x x e ax x e x ax x x --=+=-+-+=+-+,设2l 的方程为2y k x =，切点为()22,x y ，则222222,x x y y e k e x ===，所以2221,,x y e k e ===.由题意知12k k e =-=-，所以1l 的方程为y ex =-，设1l 与()y g x =的切点为()11,x y ，则()111121111111'21,22y e k g x ax e a x x x x +==++==-=--. 又2111111ln y ax x x ex =++-+=-,即1113ln 022e x x ++-=，令()()1311ln ,'222e e u x x x u x x++=+-=+，在定义域上，()'0u x >，所以()0,+∞上，()u x 是单调递增函数，又()2310,ln 021212e e e e u u e e -⎛⎫=>=+-< ⎪++⎝⎭，所以()101e u u e ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，即111e x e <<+，令11t x =，则()()2111,12e t a t t e t e +⎡⎤<<=-++⎣⎦，所以()()32112,122e e e a a a a e e +++⎛⎫>=-<=- ⎪⎝⎭，故 ()321222e e a e ++-<<-. 22. 解：(1)由ρ=()221sin 2ρθ+=，得曲线C 的普通方程为2212x y +=. (2)由题意知，直线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数），将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2212x y +=得()222cos 2sin 2cos 10t t ααα++-=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12222111,1cos 2sin 1sin 2PA PB t t ααα⎡⎤===∈⎢⎥++⎣⎦，PA PB ∴ 的取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.23. 解：（1）由题意不等式()()f x g x >可化为21x x x -+>+，当1x <-时，()()21x x x --+>-+，解得3x >-，即31x -<<-；当12x -≤≤时，()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；当2x >时，21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，综上所述，不等式()()f x g x >的解集为{|31x x -<<或}3x >.（2）由不等式()()()R m g x f x x m -≥+∈可得()min 21,21m x x m x ≥-++∴≥-++，()21213,3x x x x m -++≥--+=∴≥ ，故实数m 的最小值是3.。