人教版八年级数学下册第十八章18.2.1矩形第1课时矩形的性质同步测试试题(含答案)

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人教版八年级下册数学 18.2.1矩形同步测试

18.2.1矩形同步测试一、选择题1．下列叙述错误的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 矩形的对角线相等D. 对角线相等的四边形是矩形2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（）A. AB=CDB. OA=OC，OB=ODC. AC⊥BDD. AB∥CD，AD=BC3．如已知：线段AB，BC，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对4．矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（）A. 5B. 5225．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（）A. 15B. 20C. 35D. 406．如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC 中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形GHCE；⑤CF=BD．正确的有（）个A. 2B. 3C. 4D. 57．如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,E为AB上一点,分别以ED,EC为折痕将两个角(∠A,∠B)向内折起,点A,B恰好落在CD边的点F处.若AD=3,BC=5,则EF的值是 ()A. 15B. 215C. 17D. 2178．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝（）A. 40°B. 35°C. 20°D. 15°9．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB=2，∠ABE=45°，则DE的长为( )A. 2-2B. -1C. -1D. 2-10．有一块矩形的牧场如图1，它的周长为700米．将它分隔为六块完全相同的小矩形牧场，如图2，每一块小矩形牧场的周长是（）A. 150米B. 200米C. 300米D. 400米二、填空题11．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是________；若AC＝5cm，则BD＝________．12．平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________13．如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，E是DC的中点，BF=12FC，则四边形DBFE的面积为_______ cm2．14．如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE//AB交AE 于E，则四边形ADCE的形状是___________.15．已知：如图，矩形ABCD中，E，F是CD的两个点，EG⊥AC，FH⊥AC，垂足分别为G，H，若AD=2，DE=1，CF=2，且AG=CH，则EG+FH=_____．16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为________cm．三、解答题17．如图，Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，已知∠B=90°，∠C=90°，连接EF，AD，点B，E，F，C在同一条直线上．求证：四边形ABCD是矩形．18．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积19．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．20．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．⑴求证：ΔABF≌ΔEDF；⑵将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点G正好重合，连接DG，若AB=6，BC=8，求DG的长.21．如图，在▱ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．（1）求证：△ABG≌△CDE；（2）猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；（3）若AB=6，BC=4，∠DAB=60°，求四边形EFGH的面积．22．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．参考答案1．D2．B3．A4．B5．C6．B7．A8．C9．A10．C11．矩形 5cm12．①⑤13．814．矩形15．516．917．解析：解：∵Rt△ABE与Rt△DCF关于直线m对称，∴AB=DC.∵∠B=90°，∠C=90°，点B，E，F，C在同一条直线上，∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠B=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．18．12.解析：解：∵AE∥BC，BE∥AC，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AE=CD．在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∴∠ADB=90°，BD=CD，∴BD=AE，∴平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，CD=12BC=3，∴AD=2253=4，∴四边形AEBD的面积为：BD•AD=CD•AD=3×4=12．19．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.又∵CF＝AE，∴BE＝DF.又∵BE∥DF，∴四边形BFDE为平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∴四边形BFDE是矩形．（2）∵四边形BFDE是矩形，∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°.在Rt△BFC中，由勾股定理，得BC＝＝＝10.∴AD ＝BC ＝10.又∵DF ＝10，∴AD ＝DF.∴∠DAF ＝∠DFA.∵AB ∥CD ，∴∠DFA ＝∠FAB.∴∠DAF ＝∠FAB.∴AF 是∠DAB 的平分线．20．（1）证明见解析；（2）254证明：在矩形ABCD 中，AB =CD ， 90C A ∠=∠=︒，由折叠的性质可知：DE =CD ， 90C E ∠=∠=︒ ，∴AB =DE ， 90A E ∠=∠=︒，又∵AFB EFD ∠=∠，∴△ABF ≌△EDF （AAS ）（2）解：∵AD //BC ，∴ADB DBG ∠=∠，由折叠的性质可知： ADB GDB ∠=∠ ∴GBD GDB ∠=∠∴BG =DG设GC 为x ，则BG =DG =8-x在Rt △DCG 中，由勾股定理可得： ()222222,8-6DG GC CD x x =+=+即解得： 7725,8444x DG =∴=-=21．（1）证明见解析；（2）矩形；（3解析：解：（1）∵GA 平分∠BAD ，EC 平分∠BCD ，∴∠BAG =12∠BAD ，∠DCE =12∠DCB ，∵▱ABCD 中，∠BAD =∠DCB ，AB =CD ，∴∠BAG =∠DCE ，同理可得，∠ABG =∠CDE ，在△ABG 和△CDE 中，∵∠BAG =∠DCE ，AB =CD ，∠ABG =∠CDE ，∴△ABG ≌△CDE （ASA ）；（2）四边形EFGH 是矩形．证明：∵GA 平分∠BAD ，GB 平分∠ABC ，∴∠GAB =12∠BAD ，∠GBA =12∠ABC ，∵▱ABCD 中，∠DAB +∠ABC =180°，∴∠GAB +∠GBA =12（∠DAB +∠ABC ）=90°，即∠AGB =90°，同理可得，∠DEC =90°，∠AHD =90°=∠EHG ，∴四边形EFGH 是矩形；（3）依题意得，∠BAG =12∠BAD =30°，∵AB =6，∴BG =12AB =3，AG ==CE ，∵BC =4，∠BCF =12∠BCD =30°，∴BF =12BC =2，CF =EF =﹣GF =3﹣2=1，∴矩形EFGH 的面积=EF ×GF22．试题解析：（1）证明：∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ， ∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN ∥BC ，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO =CO ，FO =CO ，∴OE =OF ；（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE =8，CF =6，∴EF =2286 =10，∴OC =12EF =5；（3）当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．证明：当O 为AC 的中点时，AO =CO ，∵EO =FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵∠ECF =90°，∴平行四边形AECF 是矩形．。

矩形的性质-【重难点突破练】-八年级数学下学期同步训练(人教版)(解析版)

§18.2.1.1矩形的性质一、知识导航1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形注意：（1）矩形的定义有两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角，二者缺一不可；（2）矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形2.矩形的性质类别性质符号语言图形角四个角都是直角四边形ABCD 是矩形ABC BCD CDA ∴∠=∠=∠90DAB =∠=︒对角线对角线相等四边形ABCD 是矩形AC BD ∴=对称性矩形是轴对称图形，具有两条对称轴（对边中点所连成的直线）二、重难点突破重点1利用矩形的性质求线段长度例1.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知120AOD ∠=︒， 2.5AB cm =，则矩形对角线BD 的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OD ，结合120AOD ∠=︒得到30ADO DAO ∠=∠=︒，进一步得到BD=2AB ．【详解】因为四边形ABCD 为矩形，所以AC BD =，90BAD ∠=︒12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，所以OA OD =，所以ADO DAO ∠=∠，因为120AOD ∠=︒所以1801801203022AOD ADO DAO ︒-∠︒-︒∠=∠==︒因为90BAD ∠=︒，所以12AB BD =，故22 2.55BD AB cm ==⨯=．故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质和含30°的直角三角形的边角关系，本题也可用等边三角形的性质和矩形的性质进行求解．变式1-1如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，连接EF ，若6AB cm =，8BC cm =，则EF 的长是（）A ．2.2cmB ．2.3cmC ．2.4cmD ．2.5cm【答案】D 【分析】由勾股定理求出BD 的长，根据矩形的性质求出OD 的长，最后根据三角形中位线定理得出EF 的长即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°，AC=BD ，OA=OC=OD=OB ，∵6AB cm =，8BC cm =，∴AC 10cm==∴BD =10cm ，∴152OD BD cm ==，∵点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，∴115 2.522EF OD cm ==⨯=．重点点拨：在矩形中已知边要求角的度数时需要利用矩形的性质和特殊三角形的性质找到角的关系，这些所求角度一般为45°，60°等特殊角度故选：D ．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．变式1-2如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，过对角线交点O 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交BC 于点F ，则DE 的长是（）A ．1B ．125C ．2D ．53【答案】D 【分析】连接CE ，由矩形的性质得出∠ADC ＝90°，CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝6，OA ＝OC ，由线段垂直平分线的性质得出AE ＝CE ，设DE ＝x ，则CE ＝AE ＝6−x ，在Rt △CDE 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】连接CE ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝90°，CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝6，OA ＝OC ，∵EF ⊥AC ，∴AE ＝CE ，设DE ＝x ，则CE ＝AE ＝6﹣x ，在Rt △CDE 中，由勾股定理得：x 2+42＝（6﹣x ）2，解得：x ＝53，即DE ＝53；故选：D ．【点睛】本题考查矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．重点2利用矩形的性质求角度例2.如图，四边形ABCD是矩形，连接BD，60∠=o，延长BC到E使CE=BD，连接ABDAE，则AEB∠的度数为（）A．15 B．20 C．30 D．60【答案】A【分析】如图，连接AC．只要证明CE=CA，推出∠E=∠CAE，求出∠ACE即可解决问题．【详解】如图，连接AC．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．∵EC=BD，∴AC=CE，∴∠AEB=∠CAE，易证∠ACB=∠ADB=30°．∵∠ACB=∠AEB+∠CAE，∴∠AEB=∠CAE=15°．故选A．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．变式2-1将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（）A．125°B．115°C．110°D．120°【答案】B【分析】根据矩形得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1+∠BFE＝180°，求出∠BFE，根据三角形内角和定理求出∠EFG，即可求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠1+∠BFE＝180°，∵∠1＝125°，∴∠BFE ＝55°，∵在△EGF 中，∠EGF ＝90°，∠FEG ＝30°，∴∠EFG ＝180°﹣∠EGF ﹣∠FEG ＝60°，∴∠BFG ＝∠BFE+∠EFG ＝55°+60°＝115°，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形的内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．变式2-2如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，DE ⊥AC 于点E ，若∠AOD ＝110°，则∠CDE ＝________°．【答案】35【分析】先根据三角形外角的性质和矩形的性质得到∠OCD 的度数，再根据DE ⊥AC 即可得到∠CDE 的度数．【详解】∵∠AOD ＝110°，∴∠ODC+∠OCD=110°，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC=OD ，∴∠ODC=∠OCD=55°，又∵DE ⊥AC ，∴∠CDE=180°-∠OCD-∠DEC=180°-55°-90°=35°，故答案为：35．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形内角和，三角形外角的性质，掌握知识点是解题关键．重点3利用矩形与折叠的性质进行计算例3.如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在点1D 、1C 的位置，1ED 的重点点拨：矩形的每条对角线都将矩形分成两个直角三角形，因此利用矩形的性质求线段的长度，可以转化为在直角三角形中求线段的长度，利用勾股定理等来解答.延长线交BC 于点G ，若64EFG ∠=︒，则EGB ∠等于（）A ．128︒B ．130︒C ．132︒D ．136︒【答案】A 【分析】由矩形得到AD //BC ，∠DEF =∠EFG ，再由与折叠的性质得到∠DEF =∠GEF =∠EFG ，用三角形的外角性质求出答案即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD //BC ，∵矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，∴∠DEF =∠GEF ，又∵AD //BC ，∴∠DEF =∠EFG ，∴∠DEF =∠GEF =∠EFG =64︒，∵EGB ∠是△EFG 的外角，∴EGB ∠=∠GEF +∠EFG =128︒故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，关键在于折叠得出角相等，再由平行得到内错角相等，由三角形外角的性质求解．变式3-1将长方形ABCD 纸片沿AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED'=70°，则∠EAB 的大小是()A ．60°B ．50°C ．75°D ．55°【答案】D【分析】首先根据折叠的性质得出∠DEA=∠D′EA=55°，然后由余角的性质得出∠DEA=∠EAD′=35°，进而得出∠D′AB=20°，最后即可得出∠EAB.【详解】根据折叠的性质，∠CED'=70°，得∠DEA=∠D′EA=18070552︒-︒=︒∵∠ADE=∠AD′E=90°∴∠DAE=∠EAD′=90°-55°=35°∴∠D′AB=90°-∠DAE-∠EAD′=90°-35°-35°=20°∴∠EAB=∠EAD′+∠D′AB=35°+20°=55°故答案为D.【点睛】此题主要考查折叠的性质以及余角的性质，熟练掌握，即可解题.变式3-2如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为（）A．95B．185C．165D．125【答案】B【分析】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，根据勾股定理求得AE=5，利用直角三角形面积的两种表示法求得BH=125，即可得BF=245，再证明∠BFC=90°，最后利用勾股定理求得CF=18 5．【详解】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴=，∵1122AB BE AE BH⋅=⋅，∴1134522BH ⨯⨯=⨯⨯，∴BH=125，则BF=245，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴=18 5．故选B．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质及勾股定理的应用，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．变式3-3如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为()A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【详解】∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8﹣3=5，在Rt△CEF中，CF==4，设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式求解重点4直角三角形斜边上的中线的性质的运用例4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是AD的中点．若AB=8，则EF=_____．【答案】2【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】在Rt △ABC 中，∵AD=BD=4，∴CD=12AB=4，∵AF=DF ，AE=EC ，∴EF=12CD=2，故答案为2.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．变式4-1如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6，点F 是BC 的中点，点D 是AB 的中点，连接AF 和DF ，若△DBF 的周长是11，则AB ＝_____．【答案】8【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF=12AB ，EF=12BC ，然后代入数据计算即可得解．重点点拨：通过图形的折叠分别找出折叠部分与原图形之间线段和角的关系，将条件集中在一个直角三角形中，再利用勾股定理求解.【详解】解：∵AF ⊥BC ，BE ⊥AC ，D 是AB 的中点，∴DE=DF=12AB ，∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴点F 是BC 的中点，∴BF=FC=3，∵BE ⊥AC ，∴EF=12BC=3，∴△DEF 的周长=DE+DF+EF=AB+3=11，∴AB=8，故答案为8．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．变式4-2如图，在Rt △BAC 和Rt △BDC 中，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，O 是BC 的中点，连接AO 、DO ．若AO ＝3，则DO 的长为_____．【答案】3【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可.【详解】∵在Rt △BAC 和Rt △BDC 中，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，O 是BC 的中点，∴12AO BC =,12DO BC =,∴DO =AO =3.故答案为3.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键.重点5利用矩形的性质进行证明例5.在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE AD =,DF ⊥AE ，垂足为F .（1）求证.DF AB =重点点拨：含两直角的四边形中，若出现一条对角线将该四边形分割成两个直角三角形的情形，且已知斜边上的中点，一半可作斜边上的中线（2）若30FDC ∠=︒,且4AB =,求AD .【分析】（1）利用“AAS”证△ADF ≌△EAB 即可得；（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF ，根据DF=AB 可得答案．【详解】（1）证明：在矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠AEB=∠DAF ，又∵DF ⊥AE ，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B ，又∵AD=EA ，∴△ADF ≌△EAB ，∴DF=AB ．（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF ，∵DF=AB ，∴AD=2AB=8．【点睛】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．变式5-1已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，且BE =CF ，EF ⊥DF ，求证：BF =CD ．【分析】由四边形ABCD 为矩形，得到四个角为直角，再由EF 与FD 垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA 得到三角形BEF 与三角形CFD 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．【详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形∴∠B =∠C =90°∵EF ⊥DF∴∠EFD =90°∴∠EFB +∠CFD =90°∵∠EFB +∠BEF =90°∴∠BEF =∠CFD在△BEF 和△CFD 中，BEF CFD BE CF B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BEF ≌△CFD （ASA ）∴BF =CD ．【点睛】考点：（1）矩形的性质；（2）全等三角形的判定与性质三、提升训练1.下列说法正确的是（）A ．矩形的对角线互相垂直且平分B ．矩形的邻边一定相等C ．对角线相等的四边形是矩形D ．有三个角为直角的四边形为矩形【答案】D【分析】根据矩形的性质可知：A 、B 两个选项错误；根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形这个判定知，C 选项错误；三个角为直角，则第四个也为直角，根据有四个角是直角的四边形是矩形判定得，故D 选项正确．【详解】A ：矩形的对角线的性质是：矩形的对角线互相平分且相等，故此说法错误；B ：矩形的邻边不一定相等，但对边一定相等，故此说法错误；C ：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，由此判定知，此说法错误；重点点拨：矩形的对边平行且相等，对角线相等且互相平分，这些性质都可以用来证明线段相等或线段的倍分问题.D ：当有三个角是直角时，根据四边形内角和定理，第四个角也是直角，从而判定是矩形，此说法正确．故选：D【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，必须准确而熟练地掌握矩形的判定和性质．2.如图，E 为矩形ABCD 的边AB 上一点，将矩形沿CE 折叠，使点B 恰好落在ED 上的点F 处，若BE =1，BC =3，则CD 的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】B 【分析】先根据翻折变换的性质得出EF =BE =1，BC =CF =AD =3，可证得△AED ≌△FDC 进而求得CD 的长．【详解】解：由题意得：E 为矩形ABCD 的边AB 上一点，将矩形沿CE 折叠，使点B 恰好落在ED 上的点F 处，可得BE =EF =1，CF =BC =3，∠EFC =∠B =90︒，ABCD 为矩形，可得∠AED =∠CDF ，在△AED 与△FDC 中，AD =CF ，∠A =∠DFC =90︒，∠AED =∠CDF ，∴△AED ≌△FDC ，ED =CD ，设CD 的长为x ，在Rt △EAD 中，有222ED AE AD =+，即222(1)3x x =-+，解得x =5，故选：B ．【点睛】本题主要考查矩形的性质和翻折变换后的性质，灵活证三角形全等是解题的关键．3.如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，若∠EAO ＝15°，则∠BOE 的度数为（）．A ．85°B ．80°C ．75°D ．70°【答案】C【分析】由矩形的性质得出OA ＝OB ，再由角平分线得出△ABE 是等腰直角三角形，得出AB ＝BE ，证明△AOB 是等边三角形，得出∠ABO ＝60°，OB ＝AB ，得出OB ＝BE ，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得出结果．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠ABC ＝90°，OA ＝12AC ，OB ＝12BD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AB ＝BE ，∵∠EAO ＝15°，∴∠BAO ＝45°+15°＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴∠ABO ＝60°，OB ＝AB ，∴∠OBE ＝90﹣60°＝30°，OB ＝BE ，∴∠BOE ＝12（180°﹣30°）＝75°．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．4.如图，将矩形纸条ABCD 折叠，折痕为EF ，折叠后点C ，D 分别落在点C '，D '处，D E '与BF 交于点G ．已知30BGD '∠=︒，则α∠的度数是（）A ．30°B ．45°C ．74°D ．75°【答案】D 【分析】依据平行线的性质，即可得到AEG ∠的度数，再根据折叠的性质，即可得出α∠的度数．【详解】∵矩形纸条ABCD 中，//AD BC ，∴30AEG BGD '∠=∠=︒，∴18030150DEG ∠=︒-︒=︒，由折叠可得，111507522DEG α∠=∠=⨯︒=︒，故选：D ．【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．5.如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，M 、N 分别为BC 、OC 的中点．若4MN =，则AC 的长为__．【答案】16.【分析】根据中位线的性质求出BO 长度，再依据矩形的性质2AC BD BO ==进行求解问题．【详解】M 、N 分别为BC 、OC 的中点，2248BO MN ∴==⨯=，四边形ABCD 是矩形，216AC BD BO === ，故答案为16．【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．6.如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若5AB =，12AD =，则四边形ABOM 的周长为_______.【答案】20【分析】先由5AB =，12AD =得到13AC =，然后结合矩形的性质得到 6.5OB =，再结合点O 和点M 分别是AC 和AD 的中点得到OM 和AM 的长，最后得到四边形ABOM 的周长．【详解】5AB = ，5CD ∴=，12AD =∵，90D ∠=︒，13AC ∴=，点O 和点M 分别是AC 和AD 的中点，6.5OB ∴=，162AM AD ==，OM 是ACD ∆的中位线，1 2.52OM CD ∴==，5 6.5 2.5620ABOM C AB BO OM MA ∴=+++=+++=四边形．故答案为：20．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质．7.如图，E 是矩形ABCD 的对角线的交点，点F 在边AE 上，且DF =DC ，若∠ADF =25°，则∠BEC =________．【答案】115°【分析】由∠ADF 求出∠CDF ，再由等腰三角形的性质得出∠DFC ，从而求出∠BCE ，最后用等腰三角形的性质即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC =∠BCD =90°，BE =CE ．∵∠ADF =25°，∴∠CDF =∠ADC ﹣∠ADF =90°﹣25°=65°．∵DF =DC ，∴∠DFC =∠DCA =（180°-∠CDF ）÷2=（180°-65°）÷2=1152，∴∠BCE =∠BCD ﹣∠DCA =90°﹣1152 =652．∵BE =CE ，∴∠BEC =180°﹣2∠BCE =180°﹣65°=115°．故答案为：115°【点睛】本题是矩形的性质，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是求出∠DFC ．是一道中考常考的简单题．8.如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED=2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE=2，DF=8，则AB 的长为______．【答案】3【分析】先证明∠ADE=∠DEC ，设∠CED=x ，则∠AED=2x ，∠ADE=x ，证明∠AED=∠AGE=2x ，则AE=AG=4，由勾股定理计算AB 的长即可【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠BAD=90°，∴∠ADE=∠DEC ，设∠CED=x ，则∠AED=2x ，∠ADE=x ，在Rt △FAD 中，G 是DF 的中点，DF=8，∴AG=DG=4，∴∠GAD=∠ADE=x ，∴∠AGE=∠GAD+∠ADE=2x ，∴∠AGE=∠AED=2x ，∴AE=AG=4，由勾股定理得：2222AE BE 42-=-3故答案为:3【点睛】本题考查了矩形的性质，还考查了等腰三角形、直角三角形斜边中线的性质，设未知数，分别表示相关的角，根据等角对等边证明边相等，从而可以利用勾股定理计算边的长度．9.如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE ，如果∠ADB ＝38°，则∠E 等于_____度．【答案】19【分析】由矩形性质可得∠E=∠DAE 、BD=AC=CE ，知∠E=∠CAE ，而∠ADB=∠CAD=38°，可得∠E 度数．【详解】解：如图，记矩形的对角线的交点为O ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BE ，AC=BD ，,OA OD OB OC ===∴∠E=∠DAE ，∠ADB=∠CAD=38°，又∵BD=CE ，∴CE=CA ，∴∠E=∠CAE ，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE ，∴∠E+∠E=38°，即∠E=19°．故答案为：19．【点睛】本题主要考查矩形性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．10.如图，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=3，动点P 满足PAB S ∆=13ABCDS 矩形，则PA+PB 的最小值为_____．【答案】【分析】首先由PAB S ∆=13ABCDS 矩形，得出动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE 中，由勾股定理求得BE 的值，即PA+PB 的最小值．【详解】解：设△ABP 中AB 边上的高是h ，∵PAB S ∆=13ABCD S 矩形，∴1123AB h AB AD = ，∴223233h AD ===，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 的长就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB=8，AE=2+2=4，∴222284805AB AE ++即PA+PB 的最小值为5故答案为：45【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．根据面积关系得出动点P 所在的位置是解题的关键．11.如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D 到点O 的最大距离是______．【答案】22【分析】取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE 的长，两者相加即可得解．【详解】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE+DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB=4，BC=2，∴OE=AE=12AB=2，22AD AE +22222+，∴OD 的最大值为：22，故答案为22【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大是解题的关键．12.如图，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P ，E 分别是线段AC 、BC 上的点，且四边形PEFD 为矩形．（1）若PCD ∆是等腰三角形时，求AP 的长；（2）求证：PC ⊥CF ．【分析】（1）先求出AC ，再分三种情况讨论计算即可得出结论；（2）连接PF ，DE ，记PF 与DE 的交点为O ，连接OC ，根据矩形的性质解答即可．【详解】（1）在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6，22AD DC +=10；要使△PCD 是等腰三角形，有如下三种情况：①当CP=CD 时，CP=6，∴AP=AC-CP=4；②当PD=PC 时，∠PDC=∠PCD ，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA ，∴PD=PA ，∴PA=PC ，∴AP=AC 2，即AP=5；③当DP=DC 时，过D 作DQ ⊥AC 于Q ，则PQ=CQ ，∵S △ADC =12AD·DC=12AC·DQ ，∴DQ=AD·DC 24AC 5=，∴2218DC DQ 5-=，∴PC=2CQ =365,∴AP=AC-PC=145.综上所述，若△PCD 是等腰三角形，AP 的长为4或5或145.（2）连接PF 、DE ，记PF 与DE 的交点为O ，连接OC ，四边形ABCD 是矩形，1BCD 90,OE OD,OC ED 2∠∴=︒=∴=在矩形PEFD 中,PF DE =,∴1OC PF 2=,1OP OF PF 2== ,OC OP OF ∴==,OCF OFC ∠∠∴=,OCP OPC∠∠=又OPC OFC PCF 180∠∠∠++=︒ ，2OCP 2OCF 180∠∠∴+=︒,PCF 90∠∴=︒∴PC ⊥CF ．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键是分三种情况讨论计算．。

人教版数学八年级下册第十八章18.2.1矩形讲义(带答案)+当堂练习

矩形综合知识集结知识元矩形的定义与性质知识讲解矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形.矩形的性质1.平行四边形的性质矩形都具有；2.角：矩形的四个角都是直角；3.边：邻边垂直；4.对角线：矩形的对角线相等；5.矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．例题精讲矩形的定义与性质例1.有一个四边形ABCD是矩形，则下列不一定正确的是（）【解析】题干解析:矩形的概念与性质可得，矩形的对角线不一定垂直。

例2.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=2，则矩形的对角线AC的长是（）C．D．【解析】题干解析:由矩形ABCD的性质得OA=OB,又∠AOB=60°,AB=2，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2,∴AC=4.例3.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=5过对角线交点O作OE AC 交AD于E则AE的长是（）【解析】题干解析:连接EC,∵四边形是ABCD矩形，∴OA=OC, ∵OE AC,设AE=x，在Rt△ECD中，由勾股定理得解得x=3.4.矩形性质的应用知识讲解通过画图，识记矩形的定义及相关性质，根据题意解决问题.例题精讲矩形性质的应用例1.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,,AB=5,则AD的长是（）A．B．【解析】题干解析:四边形ABCD是矩形,又,是等边三角形,,.故选A.例2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）【解析】题干解析:解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB=OC，∴∠OBC=∠ACB=30°，∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．故选：B．例3.如图,在矩形ABCD中, 相交于点O,则图中等腰三角形的个数是_____个.【答案】4【解析】题干解析:四边形ABCD是矩形,,都是等腰三角形例4.矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点，则的周长为______.【答案】12【解析】题干解析:∵四边形ABCD是矩形，AC=8，,是等边三角形的周长是4+4+4=12折叠问题知识讲解对于折叠问题，首先应该明白折叠前后的两部分全等，通过全等得到对应角和对应边相等，遇到求边的问题，通常我们会设X，根据勾股定理来列方程求得。

人教版初二数学下册18.2.1 矩形含答案

18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形基础闯关全练1．（2018山东淄博高青一模）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CDB．AD=BCC．AB=BCD．AC=BD2．（2018广西南宁马山期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分3．如图18-2-1-1．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为（）A．4B．3C．2D．1.4．（2018天津河西三中期中）如图18-2-1-2，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AB=1，∠AOB=60º，则AD=_______.5．如图18-2-1-3，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为_______.6．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C ．测量一组对角是否都为直角D.测量三个角是不是直角7．如图18-2-1-4，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）A ．AB=CDB ．AC=BDC ．当∠ABC=90º时，它是矩形D.AC 与BD 互相平分能力提升全练1．（2018四川内江中考）如图18-2-1-5，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ，已知∠BDC=62º．则∠DFE 的度数为（）A ．31ºB ．28ºC ．62ºD ．56º2．（2018四川成都中考）如图18-2-1-6，在矩形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和C 为圆心，以大于21AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交CD 于点E ．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC 的长为_______．3．（2018四川攀枝花中考）如图18-2-1-7，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P 满足ABCD 矩形PAB △S 31=S ，则点P 到A ，B 两点的距离之和PA+PB 的最小值是_______.三年模拟全练一、选择题1．（2018湖北宜昌东部期中，10，★★☆）八年级(3)班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，如图18-2-1-8．计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来红花（）A．48盆B．49盆C．50盆D．51盆2．（2018重庆巴蜀期末，8，★☆☆）如图18-2-1-9，已知在矩形ABCD中，AC与BD相交于D，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15º，则∠COE的度数为（）A．75ºB．85ºC．90ºD．65º3．（2018江西萍乡期末，9，★☆☆）如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形4．（2018四川资阳期末，9，★★☆）如图18-2-1-10．在△ABC中，∠C=90º，AC=6，BC=8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2B．2.4C．2.5D．4.8二、填空题5．（2017重庆荣昌盘龙中学期中，17，★☆☆）如图18-2-1-11，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，可添加的条件是___________.6．（2018陕西西安东仪中学期末，13，★★☆）如图18-2-1-12，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若CD=5．则EF的长为_________.三、解答题7．（2018安徽桐城期末，20，★★☆）如图18-2-1-13，在△ABC中，D是边BC上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.(1)求证：BD=CD；(2)如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．五年中考全练一、选择题1．（2018上海中考，5，★☆☆）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠BB．∠A=∠CC．AC=BDD．AB⊥BC二、填空题2．（2018福建中考，13，★☆☆）如图18-2-1-14，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AB=6，D 是AB的中点，则CD=________．3．（2018湖南株洲中考，14，★☆☆）如图18-2-1-15，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为________．4．（2018黑龙江龙东中考,3，★☆☆）如图18-2-1-16，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________，使平行四边形ABCD是矩形．5．（2018广西贵港中考,16,★★☆）如图18-2-1-17，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC 的对应边B′C′与CD交于点M，若∠B′MD=50º，则∠BEF的度数为________.三、解答题6．（2018山东青岛中考,21,★★☆）如图18-2-1-18，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.(1)求证：AB=AF；(2)若AG=AB，∠BCD=120º，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．核心素养全练1．阅读以下材料，然后解答下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，那么称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图18-2-1-19①所示，矩形ABEF为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”：(2)如图18-2-1-19②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90º．在图18-2-1-19②中画出△ABC 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3)若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图18-2-1-19③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．2．长与宽之比为2：1的矩形纸片称为标准纸，请思考并解答下列问题：(1)将一张标准纸ABCD(AB＜BC)对开，如图18-2-1-20所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸，请给予证明．(2)在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上的点F处，折痕为AE(如图18-2-1-21甲)；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上的点N处，折痕为DG(如图18-2-1-21乙)，此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图18-2-1-21丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是不是标准纸，请说明理由．(3)不难发现：将一张标准纸按如图18-2-1-22所示的方式一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸，现有一张标准纸ABCD ，AB=1，BC=2，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2018次对开后所得标准纸的周长．18.2特殊的平行四边形18.2.1 矩形1．D 添加AC=BD ，∵四边形ABCD 的对角线互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC=BD ，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知四边形ABCD 是矩形，故选D ．2．C 矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．3．A 因为矩形的对角线相等且互相平分，OA=2，所以AC=20A=4，BD=AC ，所以BD 的长为4．4．答案 3解析 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∠BAD=90º，∴AO=BO,∵∠A OB=60º，∴AO=BO=AB=1.∴BD=2,∴AD=3122222=-=-AB BD ．5．答案10解析 ∵AD ⊥BC ，E 为AC 的中点，∴DE 是Rt △ADC 斜边上的中线,∴AC=2DE=10.又AB=AC,∴ AB=10.6．D 根据有三个角是直角的四边形是矩形可以判定此四边形是矩形．7.B 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB=CD ，AC 与BD 互相平分，当∠A BC=90º时，它是矩形，所以选项A 、C 、D 中结论正确，故选B ．1．D ∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∠A DC=90º，∴∠FDB=90º-∠B DC=90º-62º=28º,∵AD ∥BC,∴ ∠C BD =∠FDB=28º，∵矩形ABCD 沿对角线BD 折叠,∴∠FBD=∠CBD=28º，∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28º+28º=56º.2．答案30解析如图，连接AE ，由作图可知MN 垂直平分AC ，∴EA=EC=3，∵四边形ABCD 是矩形,∴∠D =90º．∴在Rt △ADE 中,AD=5232222=-=-DE AE ， ∴在Rt △ADC 中，AC=()()303252222=++=+DC AD .3．答案42解析如图，设点P 到AB 的距离是h ，则21AB •h=31AB •AD ，即21×4h=31×4×3,∴h=2，可见点P 是直线EF(EF ∥AB,且EF 与AB 间的距离是2)上的动点，作点B 关于EF 的对称点B ′，连接AB ′交EF 于点P ，则此时PA+PB 的值最小，最小值为AB ′=24′22=+BB AB ．一、选择题1．A ∵矩形的对角线互相平分且相等，∴一条对角线用了49盆红花，中间一盆为对角线交点,∴还需要从花房运来红花49-1=48盆，故选A ．2．A 由题意知∠C DE=∠CED=45º，又∠B DE=15º，所以∠CDO=60º，由矩形的特征“对角线相等且互相平分”可知OD=OC ，故△OCD 是等边三角形，从而有OC=OD=CE ，∠DCO=60º，∠OCB=30º，进而求得∠COE=230-180=75º． 3.B 因为“平行四边形的两组时角分别相等”“邻角互补”，所以相邻两个角的平分线组成的角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形的四个角都是直角，是矩形．故选B ．4.D 连接PC ，∵PE ⊥CA,PF ⊥BC ，∴∠PEC =∠PFC =∠C =90º，∴四边形ECFP 是矩形，∴EF=PC ，∴当PC 最小时，EF 也最小，又∵当CP ⊥AB 时，PC 最小，且AC=6，BC=8，∴由勾股定理得AB=10．因此由等面积法，得PC=1086⨯=⋅AB BC AC =4.8，故选D ．二、填空题5．答案EF ⊥FC(答案不唯一) 解析连接AC ，∵E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=21AC ，同理，HG ∥AC,HG=21AC ，∴EF ∥HG 、EF=HG 、∴四边形EFGH 是平行四边形，要使四边形EFGH 是矩形，则需有一个角为直角，如EF ⊥FG ．答案不唯一．6．答案5解析根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得AB=2CD=10．根据三角形的中位线性质，可得EF=21AB ，因此EF=5．三、解答题7．解析 (1)证明：由题意知AF ∥BD,∴∠AFE =∠ECD ，∵E 为AD 的中点，∴AE=DE ，又∠A EF =∠D EC ，∴△AEF ≌△DEC(AAS),∴AF=CD ，又AF=BD ，∴BD=CD.(2)四边形AFBD 为矩形，证明：∵AB=AC ，由(1)知BD=CD ，∴AD ⊥BC(三线合一)，即∠A DB=90º．又∵AF ∥BD ，AF=BD ，∴四边形AFBD 为平行四边形，∴四边形AFBD 是矩形，一、选择题1．B ∵∠A=∠B，AD ∥BC,∴∠A =∠B=90º，故A 选项能判定：∵∠A=∠C 是一组对角相等，任意平行四边形都具有的性质，故B 选项不能判定：∵对角线相等的平行四边形是矩形，故C 选项能判定，∵AB ⊥B C,∴∠B=90º，故D 选项能判定．故选B ．二、填空题2．答案3解析 ∵∠A CB=90º，D 为AB 的中点，∴CD=21AB=21×6=3． 3．答案 25 解析 ∵四边形ABCD 是矩形，∴BD=AC=10,OD=21BD ，∴OD=5，∵P,Q 分别为AO 、AD 的中点，∴PQ=21OD=25． 4．答案AC=BD 或∠A BC=90º或∠B CD=9025或∠CDA=9025或∠DAC=9025或AB ⊥BC 等（答案不唯一）解析根据矩形的判定可知：添加AC=BD 或∠A BC=90º或∠B CD=90º或∠C DA=90º或∠DAC=90º或AB ⊥BC 等条件后可使平行四边形ABCD 是矩形．5．答案70º解析依题意得∠B=∠B′=∠B′MD+∠B′EA=90º，所以∠B′EA=90º-50º=40º．所以∠B ′EB=180º-∠B′EA=140º，又∠B ′EF=∠BEF ，所以∠BEF=21∠B ′EB=70º．三、解答题6．解析(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD,∴∠AFC =∠D CF,∵G 为AD 的中点，∴GA=GD ，又∠A GF=∠DGC ，∴△AGF ≌△DGC(AAS),∴AF=CD,∴AB=AF.(2)四边形ACDF 是矩形，证明：∵AF=CD ，AF ∥CD ，∴四边形ACDF 是平行四边形．∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B AD =∠B CD=120º，∴∠FAG=60º,∵AB=AC=AF ，∴△AGF 是等边三角形，∴AG=GF ，∵△AGF ≌△DGC,∴ FG=CG=21CF, ∵AG=GD=21AD ，∴AD=CF ，∴四边形ACDF 是矩形． 1．解析 (1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．(2)如图，共有两个“友好矩形”，分别为矩形BCAD 、矩形ABEF ．易知，矩形BCAD 、ABEF 的面积都等于△ABC 面积的2倍，所以，Rt △ABC 的两个“友好矩形”的面积相等．(3)如图，共有3个“友好矩形”，分别为矩形BCDE 、矩形CAFG 和矩形ABHK ，其中矩形ABHK 的周长最小．证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，设其面积为S ，矩形BCDE ，CAFG 及ABHK 的周长分别为L ₁，L ₂，L ₃，BC=a ，CA=b ，AB=c ，则L ₁=a S 2+2a,L ₂=b S 2+2b,L ₃=cS 2+2c, L ₁-L ₂=(a S 2+2a)-(b S 2+2b)=-ab S 2（a-b ）+2(a-b)=2(a-b)•ab S ab ,∵ab＞S,a ＞b,∴L ₁-L ₂＞0，即L ₁＞L ₂,同理可得，L ₂＞L ₃,∴L ₁＞L ₂＞L ₃，∴L ₃最小，即矩形ABHK 的周长最小．2．解析(1)证明：∵矩形纸片ABCD 是标准纸，且AB ＜BC ， ∴2=ABBC . 由对开的含义知AF=21BC ，∴222221==⋅==AC AB BC AB AF AB , ∴矩形纸片ABEF 是标准纸．(2)是标准纸．理由如下：设AB=CD=a ，a ＞0．由图形折叠可知△ABE ≌△AFE ，∴∠BAE=∠FAE，∴∠DAE=21∠B AD=45º，由图形折叠知DG ⊥EM ，∴∠A GD=90º,∴△ADG 是等腰直角三角形，又由图形折叠知DG=CD=a ，∴在Rt △ADG 中，AD=a DG AG 222=+， ∴22==aa AB AD .∴矩形纸片ABCD 是标准纸，(3)∴第5次对开后所得的标准纸的周长为422+，第2018次对开后所得的标准纸的周长为1008221+．。

人教版数学八年级下册18.2.1矩形的性质测试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ (满分80分，45分钟完成) 一、选择题(每题5分,共40分)1．矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )A.对角线互相平分B.邻角互补C.对角线相等D.对角相等【答案】C 【解析】试题分析：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等。

故选：C ．考点：矩形的性质2．如图，四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形，点B 在EF 边上，若矩形ABCD 和矩形AEFC 的面积分别是S 1、S 2的大小关系是（）A ．S 1＞S 2B ．S 1=S 2C ．S 1＜S 2D ．3S 1=2S 2【答案】B 【解析】试题分析：由于矩形ABCD 的面积等于2个△ABC 的面积，而△ABC 的面积又等于矩形AEFC 的一半，所以可得两个矩形的面积关系S 1=S 2. 故选B ．考点：矩形的面积3．如图，直线EF 经过矩形ABCD 对角线的交点O ，分别交AB 、CD 于点E 、F ，那么图中阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积（）A 、51B 、41C 、31D 、101【答案】B. 【解析】试题解析：∵矩形ABCD 的边AB ∥CD ， ∴∠ABO=∠CDO ，在矩形ABCD 中，OB=OD ，在△BOE 和△DOF 中，ABO CDO OB ODBOE DOF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△BOE ≌△DOF （ASA ）， ∴S △BOE =S △DOF ，∴阴影部分的面积=S △AOB =14S 矩形ABCD ．故选B ．考点：矩形的性质．4．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，将矩形ABCD 沿AC 折叠，则重叠部分面积为（）.[来源:学*科*网]A ．258 B ．758 C ．7516 D ．254【答案】C ．【解析】试题分析：因为AD 为CH 边上的高，要求△ACH 的面积，求得HC 即可，先证△ADH ≌△HEC ，得AH=HC ，设AH=x ，则在Rt △ADH 中，根据勾股定理求x ，解答即可．根据翻折的性质可知：BC=EC=AD ，∠D=∠E ，∠AHD=∠CHE ，∴△ADH ≌△HEC ，∴AH=HC ，设HC=x ，则DH=4﹣x ，在Rt△ADH 中，AH 2=DH 2+AD 2，即为x 2=（4﹣x ）2+32，解之得：x=258，∴S △AHC =12•HC •AD=12×3×258=7516，故选：C ．考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质．3.勾股定理运用.5．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，点E 为AD 中点，点F 为BC 边上任一点，过点F 分别作EB ，EC 的垂线，垂足分别为点G ，H ，则FG+FH 为（）.A ．52B ．5210C ．310 10D ．35 10 【答案】D ．【解析】试题分析：先连接EF ，由矩形的性质得出AB=CD=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，由勾股定理求出BE ，由SAS 证明△ABE ≌△DCE ，得出BE=CE=10，再由△BCE 的面积=△BEF 的面积+△CEF 的面积，即可得出结果．如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，∵点E 为AD 中点，∴AE=DE=1，∴22AEAB+2213+10，在△ABE 和△DCE 中，AE DE A D AB DC ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCE （SAS ），∴10，∵△BCE 的面积=△BEF 的面积+△CEF的面积，∴12BC ×AB=12BE ×FG+12CE ×FH ，即BE （FG+FH ）=BC ×AB 10（FG+FH ）=2×3，解得：FG+FH=3105；故选：D ．考点：矩形的性质．[来源:学科网ZXXK]6．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若∠AOB=60°，AB=5，则对角线AC的长为（）A．5 B．7.5 C．10 D．15【答案】C【解析】[来源:学&科&网]试题分析：根据矩形对角线的性质可推出△ABO为等边三角形．已知AB=5，易求AC的长．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∵AO=AC，BO=BD，∴AO=BO，又∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AO=AB=5，∴AC=2AO=10．故选C．考点：矩形性质7．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）A ．5B ．613C ．1D ．65【答案】D 【解析】试题分析：过F 作FH ⊥AE 于H ，根据矩形的性质得到AB=CD ，AB ∥CD ，推出四边形AECF 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE ，根据相似三角形的性质得到FH ADAF AE =，于是得到AE=AF ，列方程即可得到结论．过F 作FH ⊥AE 于H ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF=CE ，∴DE=BF ，∴AF=3﹣DE ，∴AE=24DE +，∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，∴∠DAE=∠AFH ，∴△ADE ∽△AFH ，∴FH AD AF AE =，∴AE=AF ，∴AE=24DE +=3﹣DE ，∴DE=65，考点： 1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、勾股定理8．如图，矩形纸片ABCD 中，点E 是AD 的中点，且AE=1，BE 的垂直平分线MN 恰好过点C ．则矩形的一边AB 的长度为（）A ．1B ．C ．D ．2【答案】C 【解析】试题分析：本题要依靠辅助线的帮助，连接CE ，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC ．求出EC 后根据勾股定理即可求解．如图，连接EC．∵FC垂直平分BE，∴BC=EC（线段垂直平分线的性质）又∵点E是AD的中点，AE=1，AD=BC，故EC=2，利用勾股定理可得AB=CD==．故选：C．考点：1、勾股定理；2、线段垂直平分线的性质；3、矩形的性质．二、填空题(每题4分,共20分)9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC= 3：2，则∠BDF=_________．【答案】18°【解析】试题分析：根据矩形的性质可得∠ADF+∠FDC=90°，∠ADF：∠FDC=3:2，可得∠ADF=54°，∠FDC=36°，根据FD⊥AC，∠ADF=54°，可得∠OAD=36°，根据对角线的性质可得∠ODA=36°，则∠BDF=∠ADF-∠AOD=18°.考点：矩形的性质10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF是OA的中垂线，分别交AD、OA于点E、F．若AB=6cm，BC=8cm，则△DEO的周长= cm．【答案】13．【解析】试题分析：根据“矩形的对角线相互平分且相等”的性质和勾股定理求得OD=12BD=5cm；由线段垂直平分线的性质推知AE=EO，所以△DEO的周长=DO+AD．如图，∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∴AD=BC=8，AC=BD=22BCAB+=2268+=10（cm），∴OD=12BD=5cm．又∵EF是OA的中垂线，∴AE=EO，∴△DEO的周长为：EO+OD+ED=OD+AD=5+8=13（cm）．故答案是：13．考点：1.矩形的性质；2.线段垂直平分线的性质．11．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ．【答案】5【解析】试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB又∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形．∴AB=OA=12AC=5，故答案是：5．考点：矩形的性质．12. 如图，在矩形ABCD中，AD=9cm，AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合，则重叠部分（△BEF）的面积为 cm2．【答案】7.5【解析】试题分析：设DE=xcm．由翻折的性质可知DE=EB=x，∠DEF=∠BEF，则AE=（9﹣x）cm．在Rt△ABE中，由勾股定理得；BE2=EA2+AB2，即x2=（9﹣x）2+32．解得：x=5．∴DE=5cm．∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD．∴∠BFE=∠DEF．∴∠BFE=∠FEB．∴FB=BE=5cm．∴△BEF的面积=12BF•AB=12×3×5=7.5（cm2）；故答案为：7.5．考点：矩形的性质．13．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为．[来源:学&科&网Z&X&X&K]【答案】（0，4 3）．【解析】试题分析：过D作DE⊥AC于E，∵四边形ABCO是矩形，B（4，3），∴OC=AB=3，OA=BC=4，∠CCOA=90°，[来源:Z#xx#] ∵AD平分∠OAC，∴OD=DE，由勾股定理得：OA2=AD2﹣OD2，AE2=AD2﹣DE2，∴OA=AE=4，由勾股定理得：AC=5，在Rt△DEC中，DE2+EC2=CD2，即OD2+（5﹣4）2=（3﹣OD）2，解得：OD=4 3，所以D的坐标为（0，4 3）．考点：1、矩形的性质；2、坐标与图形性质．三、解答题(每题10分,共20分)14．如图，E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上的点，EF=EC，且EF⊥EC．（1）求证：△AEF≌△DCE；（2）若DC=2，求BE的长．【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、2.【解析】试题分析：(1)、根据矩形的性质和已知条件可证明△AEF≌△DCE；(2)、由（1）可知AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的长．试题解析：(1)、在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AFE+∠AEF=90°，∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠CED=90°，∴∠AEF=∠CED，∴△AEF≌△DCE（AAS），(2)、由（1）得AE=DC，∴AE=DC=2，在矩形ABCD 中，AB=CD=2，在R △ABE 中，AB 2+AE 2=BE 2，即（2）2+（2）2=BE 2， ∴BE=2．考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质．15．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于E ，若BE ：ED=1：3，AD=6．（1）求∠BAE 的度数；（2）求AE 的长．【答案】(1)、30°；(2)、3. 【解析】试题分析：(1)、根据矩形的性质可得：OB=OD ，OA=OC ，AC=BD ，OA=OB ，根据BE ：ED=1：3，得出BE ：OB=1：2，从而说明BE=0E ，得出△ABE 和△AEO 全等，从而得出△AOB 为等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠BAE 的度数；(2)、根据等边三角形的性质得出∠ADE 的度数，然后根据直角三角形的性质求出AE 的长度.试题解析：(1)、∵四边形ABCD 是矩形，∴OB=OD ，OA=OC ，AC=BD ，∴OA=OB ∵BE ：ED=1：3，∴BE ：OB=1：2，∴BE=OE ∵AE ⊥BD ∴AEO AEB ∠∠=在△AEB 和△AEO 中⎪⎩⎪⎨⎧===OE BE AEO AEB AE AE ∠∠ ∴△AEB ≌△AEO ∴AB=AO ，∴OA=AB=OB ，即△OAB 是等边三角形，∴∠BAE=30°(2)、∵△OAB 是等边三角形，∴∠ABD=60° ∴∠ADE=90°﹣∠ABD=30° ∵AE ⊥BD ，AD=6，∴AE=21AD=3．考点：1、矩形的性质；2、三角形全等的判定与性质；3、等边三角形的性质.。

2021年人教版数学八年级下册18.2.1 《矩形的性质》课后练习(含答案)

2021年人教版数学八年级下册18.2 《矩形的性质》课后练习一.选择题1.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）A.（2，2）B.（3，2）C.（3，3）D.（2，3）3.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（）A.1.6B.2.5C.3D.3.44.一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（）A.50B.50或40C.50或40或30D.50或30或205.菱形具有而矩形不具有性质是（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线平分且相等6.在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．正确的是（）A.②③B.③④C.①②④D.②③④7.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是（）A.2B.4C.2D.48.已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（）A. B.C. D.9.如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为（）A.5cmB.8cmC.9cmD.10cm10.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，则图中全等的直角三角形共有（）A.6对B.5对C.4对D.3对11.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′=30°，则∠AED′等于（）A.30°B.45°C.60°D.75°12.矩形ABCD中的顶点A.B.C.D按顺时针方向排列，若在平面直角坐标系内，B.D两点对应的坐标分别是（2，0）.（0，0），且A.C两点关于x轴对称，则C点对应的坐标是（）A.（1，1）B.（1，﹣1）C.（1，﹣2）D.（，﹣）13.如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF.GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（）A.3对B.4对C.5对D.6对14.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是A.60°B.50°C.75°D.55°15.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（）A.600m2B.551m2C.550m2D.500m2二.填空题1.在矩形ABCD中，A（4，1），B（0，1），C（0，3），则点D的坐标为．2.如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于_________．3.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠AEF=______．1.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积是多少？4.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一点，且AE=AB，则∠CBE的度数是多少？5.5.矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，则对角线AC与边BC所成的角是多少度？参考答案一.选择题1.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）A.（2，2）B.（3，2）C.（3，3）D.（2，3）答案：B知识点：坐标与图形性质；矩形的性质解析：解答：解：如图可知第四个顶点为：即：（3，2）．故选B．分析：本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为2.本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案．2.如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿A⇒B⇒C⇒M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）A. B.C. D.答案：A知识点：函数的图像；分段函数；矩形的性质解析：解答：解：点P由A到B这一段中，三角形的AP边上的高不变，因而面积是路程x的正比例函数，当P到达B点时，面积达到最大，值是1．在P由B到C这一段，面积随着路程的增大而减小；到达C点，即路程是3时，最小是；由C到M这一段，面积越来越小；当P到达M时，面积最小变成0．因而应选第一个选项．故选A．分析：根据每一段函数的性质，确定其解析式，特别注意根据函数的增减性，以及几个最值点，确定选项比较简单．本题考查了分段函数的画法，是难点，要细心认真．3.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（）A.1.6B.2.5C.3D.3.4答案：D知识点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质解析：解答：解：连接EC，由矩形的性质可得AO=CO，又因EO⊥AC，则由线段的垂直平分线的性质可得EC=AE，设AE=x，则ED=AD﹣AE=5﹣x，在Rt△EDC中，根据勾股定理可得EC2=DE2+DC2，即x2=（5﹣x）2+32，解得x=3.4．故选D．分析：利用线段的垂直平分线的性质，得到EC与AE的关系，再由勾股定理计算出AE的长．本题考查了利用线段的垂直平分线的性质.矩形的性质及勾股定理综合解答问题的能力，在解上面关于x的方程时有时出现错误，而误选其它选项．4.一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（）A.50B.50或40C.50或40或30D.50或30或20答案：C知识点：等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质解析：解答：解：如图四边形ABCD是矩形，AD=18cm，AB=16cm；本题可分三种情况：①如图（1）：△AEF中，AE=AF=10cm；S△AEF=•AE•AF=50cm2；②如图（2）：△AGH中，AG=GH=10cm；在Rt△BGH中，BG=AB﹣AG=16﹣10=6cm；根据勾股定理有：BH=8cm；∴S△AGH=AG•BH=×8×10=40cm2；③如图（3）：△AMN中，AM=MN=10cm；在Rt△DMN中，MD=AD﹣AM=18﹣10=8cm；根据勾股定理有DN=6cm；∴S△AMN=AM•DN=×10×6=30cm2．故选C．分析：本题中由于等腰三角形的位置不确定，因此要分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积．题主要考查了等腰三角形的性质.矩形的性质.勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论．5.菱形具有而矩形不具有性质是（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线平分且相等答案：C知识点：菱形的性质；矩形的性质解析：解答：解：A.菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线一定相等，故本选项错误；B.菱形和矩形的对角线均互相平分，故本选项错误；C.菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直（互相垂直时是正方形），故本选项正确；D.菱形和矩形的对角线均互相平分且相等，故本选项错误．故选C．分析：由于菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，据此进行比较从而得到答案．本题考查矩形与菱形的性质的区别：矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分.垂直且平分每一组对角．6.在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED．正确的是（）A.②③B.③④C.①②④D.②③④知识点：矩形的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。

春学期八年级数学下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形第1课时矩形的性质练习(新人教版)

18.2 特殊的平行四边形18．2.1 矩形第1课时矩形的性质01 基础题知识点1 矩形的定义和性质(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形．图1 图2(2)矩形的性质：矩形的对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线互相平分且相等．如图，∵四边形ABCD 是矩形， ∴// CD ，// BC ，∠BAD ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°，AO ＝CO ＝12AC ，BO ＝DO ＝12BD ，AC ＝BD ．1．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，以下说法错误的是(D )A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OBD．OA＝AD2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为(A) A．4 B．4 3 C．3 D．5第2题图第3题图3．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(C) A．8 B．6 C．4 D．24．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8．5．如图，已知矩形ABCD的对角线长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长等于16cm.6．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF ＝CD.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝90 °.∴∠BFE ＋∠BEF ＝90 °.∵EF⊥DF，∴∠DFE ＝90 °.∴∠BFE ＋∠CFD ＝90 °. ∴∠BEF ＝∠CFD.在△BEF 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEF ＝∠CFD，BE ＝CF ，∠B ＝∠C，∴△BEF≌△CFD (ASA )．∴BF ＝CD.知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，则CD ＝12AB ．7．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线．若∠A＝20°，则∠BDC＝(B )A ．30°B ．40°C ．45°D ．60°第7题图第8题图8．(2018·福建)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AB ＝6，点D 是AB 的中点，则CD ＝3．02中档题9．(2017·遵义汇川区期中)如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC 于点H，FD＝12，则HE等于(B)A．24 B．12 C．6 D．8第9题图第10题图10．如图，在矩形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是(C)A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(C)A．18° B．36° C．45° D．72°第11题图第12题图12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使BC ＝2CD，连接DM，DN，MN.若AB＝6，则DN＝3．13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，MN∥AB 交AD 于点M ，交BC 于点N ，在MN 上任取两点P ，Q ，那么图中阴影部分的面积是5．第13题图第14题图14．如图，把一张矩形纸片沿对角线BD 折叠，若AD ＝8，CE ＝3，则DE ＝5．15．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE ＝CF ，连接OE ，OF.求证：OE ＝OF.证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠ADC ＝∠BCD ＝90 °，AC ＝BD ， OD ＝12BD ，OC ＝12AC ，即OD ＝OC.∴∠ODC ＝∠OCD.∴∠ADC －∠ODC ＝∠BCD －∠OCD，即∠EDO ＝∠FCO. 又∵DE ＝CF ，∴△ODE≌△OCF (SAS )． ∴OE ＝OF.16．(2018·连云港)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF.(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠FAE＝∠CDE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CD E(ASA)．∴CD＝FA.又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形．(2)BC＝2CD.理由：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45 °.∵∠CDE＝90 °，∴△CDE是等腰直角三角形．∴CD＝DE.∵E是AD的中点，∴AD＝2DE＝2CD.∵AD＝BC，∴BC ＝2CD. 03 综合题17．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于点E ，PF⊥AC 于点F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为65．。

人教版八年下学期数学18.2.1矩形同步练习

18.2.1矩形同步练习一、选择题1.如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点M在BC上，若MA平分∠DMB，则CM的长是（）A.3√2B.2√6C.2√5D.√32.如图，矩形ABCD中，∠BOC=120°，BD=12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（）A.3B.4C.5D.63.如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点，若AB=6，BC=8，则△BOE的周长为（）A.10B.8+2√5C.8+2√13D.144.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.两组对边分别相等B.两组对角分别相等C.两条对角线互相平分D.两条对角线相等5.如图，矩形ABCD中，AB=8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点，则AD的长为（）E处，AE交CD于点F。

若AF=254A.4B.5C.6D.76.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线交于点O，则BO=()A.3B.4C.5D.107.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，AB=7cm，D是AC的中点，则BD的长为（）A.7.5cmB.7cmC.6.5cmD.6cm8.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB=4，AC=2，DE=√3，则∠ACD（）A.15°B.30°C.22.5°D.45°9.如图，在矩形ABCD纸片中，E为AD上一点，将△CDE沿CE翻折至△CFE，若点F恰好落在AB上，AF=4，BC=10，则DE=（）A.5.8B.5C.4.8D.310.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E、F分别是AC、AD的中点，且BE=EF,若AB=8，BC=4，则CD的长为（）A.4√5B.4√3C.2√5D.8二、填空题1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,∠C=60°，点D为边AC的中点，BD=2，则BC的长为_________.2.如图，在矩形ABCD中，AD=8，AB=4，E，F分别是边AD，BC上的点（点E，F不与顶点重合）。

八年级数学下册第十八章平行四边形18.2矩形同步练习含解析新版新人教版

18.2矩形测试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，过对角线交点O 作OE⊥AC 交AD 于点E ，则AE 的长是（）A.1.6B.2.5C.3D.3.42.如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD3.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD=DE=a ，则AB 的长为（）A.2aB.22aC.3aD.334 a4.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A.310 B.4C.4.5D.55.如图所示，把矩形OABC 放入平面直角坐标系中，点B 坐标为（10，8），点D 是OC 上一动点，将矩形OABC 沿直线BD 折叠，点C 恰好落在OA 上的点E 处，则点D 的坐标是（）A.（59-，512） B.（512-，59） C.（516-，512） D.（-512，516） 6.下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（）A.测量两条对角线，看是否相等B.测量两条对角线，看是否互相平分C.用曲尺测量门框的三个角，看是否都是直角D.用曲尺测量对角线，看是否相互垂直7.如果将长为6cm ，宽为5cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（）A.8cmB.52cmC.5.5cmD.1cm8.下列说法错误的是（）A.矩形的对角线互相平分B.有一个角是直角的四边形是矩形C.矩形的对角线相等D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形9.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）A.AO=OCB.AC=BDC.AC⊥BDD.BD平分∠ABC10.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=38°，则∠E的值是（）A.19°B.18°C.20°D.21°二.填空题（每小题3分,共24分）11.如图，在□ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形.12.如图，四边形ABCD是矩形，则∠BAD=度，∠ABC=度，∠BCD=度，∠ADC=度.13.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，若AB=6，D 是AB 的中点，则CD= ．14.如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 的中点，若∠C=55°，则∠ABD= .15.如图，在□ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE⊥AB，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是 .①∠DCF=21∠BCD； ②EF=CF；③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE=3∠AEF.16.四边形ABCD 中，AD∥B C ，∠D=90°，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD 是矩形，那么可添加的条件是 .（不再添加线或字母，写出一种情况即可）17.如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AC=10cm ，点D 为AC 的中点，则BD= cm.18.如图，四边形ABCD 是平行四边形，若∠A= 90°，则四边形ABCD 是矩形.【矩形的判定（定义法）】有一个角是的四边形叫做矩形.解答题（共66分）19.如图，□ABCD 的四个内角的平分线分别交于点E ，G ，F ，H.求证：四边形EFGH 为矩形.20.如图，在梯形ABCD 中，AD=31BC ，E ，F 两点在边BC 上，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC. （1）求证：四边形AEFD 是平行四边形；（2）当AB=DC 时，求证：□AEFD 是矩形.21.如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点.求证：四边形EFGH 是矩形.22.如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.23.题干长与宽之比为2:1的矩形纸片称为标准纸，请思考并解答下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸，请给予证明.（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上的点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合.请你探究：矩形纸片ABCD是不是标准纸，请说明理由.（3）不难发现：将一张标准纸按如图3所示的方式一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸，现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=2，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2018次对开后所得标准纸的周长.24.如图，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是矩形.解答题（共34分）25.如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E.（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形ABCD为矩形，请加以证明.人教版八年级下册18.2矩形测试卷一．选择题1.答案：D.解：连结CE.设AE=x，则DE=5-x.∵四边形ABCD为矩形，∴AO=CO，∠CDE=90°.∵EO⊥AC，AO=CO，∴EO所在直线为线段AC的垂直平分线，∴EC=AE=x.∵∠CDE=90°，CD=3，DE=5-x，EC=x，∴(5-x)2+32= x2解得x=3.4.则AE的长为3.4.故选D.2.答案：D.解：可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形.∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形.故选D.3.答案：B.解：∵CD⊥AB，CD=DE=a，∴CE=2a.∵点E是AB的中点，∠ACB=90°，∴BE=AE=CE=2a，∴AB=22a.故选B.4.答案：D.解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=6，AB=CD=9，∵点C′是AD边的中点，BC=6，∴DC′=3.由折叠的性质可知，C′F=CF.在Rt△C′DF中，DF2+DC′2=C′F2，即CF2+9=(9-CF)2，解得CF=5.故选D.5.答案：C.解：∵折痕BD是四边形DEBC的对称轴，∴在Rt△ABE中，BE=BC=10，AB=8，AE=BE2−AB2=6，∴OE=4，在Rt△DOE中，DO2+OE2=DE2，∵DE=CD，∴(8-CD)2+42=CD2，∴CD=5，则OD=OC-CD=8-5=3，∴D（0，3）.6.答案：C.解：A，两条对角线相等的四边形可能是等腰梯形，故错误；B，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；C，利用三个角是直角的四边形是矩形，正确；D，两条对角线互相垂直的四边形可能是菱形，故错误.故选C.7.答案：A.解：根据题意易知最长折痕为长方形对角线的长，根据勾股定理可知，对角线的长为62+52=61≈7.8cm，因此折痕长不可能为8cm.故选A.8.答案：B.解：A.矩形的对角线互相平分，正确；B.直角梯形有一个角是直角，但不是矩形，错误；C.矩形的对角线相等，正确；D.有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确.故选B.9.答案：B.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∵添加AC=BD，∴四边形ABCD是矩形.故选B.10.答案：A.解：连接AC，如图：∵四边形ABCD是距形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠BDA=∠DAC=38°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=38°，即∠E=19°.故选A.填空题11.答案：DC=EB（答案不唯一）.解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC.∴DE=BC.∵DE∥BC，DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形.所以根据对角线相等的平行四边形是矩形，我们可以添加一个条件即DC=EB.12.答案：90；90；90；90.解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90度，∠ABC=90度，∠BCD=90度，∠ADC=90度.13.答案：3.解：∵D是AB的中点，∴CD是Rt△ABC的斜边AB的中线，∴CD=12AB=3.14.答案：35°.解：∵∠ABC=90°，D为AC的中点，∴BD=AD=DC，∴∠ABD=∠A，∵∠C=55°，∴∠A=90°-55°=35°，∴∠ABD=35°.15.答案：①②④.解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD.∵在平行四边形ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF.∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，故结论①正确.延长EF，交CD的延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF.∵F为AD中点，∴AF=FD.在△AEF和△DFM中，{∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM，∴△AEF≌△DMF，∴FE=FM，∠AEF=∠M.∵CE⊥AB.∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°.∵FM=EF，∠ECD=90°,∴EF=CF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM.∵MC＞BE，∴S△ECM＞S△BEC.∵S△ECM=S△EFC+S△CFM，S△EFC=S△CFM，∴S△BEC＜2S△EFC.故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x.∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故结论④正确.综上可知，一定成立的是①②④.16.答案：本题答案不唯一，如AB∥CD或AD=BC. 解：答案不唯一，可添加AB∥CD.∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形.17答案：5.解：∵D是斜边AC的中点，∴BD是Rt△ABC斜边上的中线，∴BD=12×AC=5.故答案为5.18.答案：直角；平行.解：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.解答题（题5分，共15分）19.证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB∥CD，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ABC+∠BCD=180°.又∵□ABCD的四个内角的平分线分别交于点E，F，G，H，∴∠BAF+∠ABF=90°，∠GBC+∠GCB=90°，∴ ∠GFE=∠AFB=90°，∠G=90°，同理可证∠GHE=90°，∠E=90°，∴ 四边形EFGH为矩形.20.证明：（1）∵AD∥BC，AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE=AD=13BC，同理，FC=AD=13BC，∴EF=BC-BE-FC=13BC，∴AD∥EF，AD=EF，∴四边形AEFD是平行四边形.（2）∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴DE=AB，AF=DC.∵AB=DC，∴DE=AF，∴平行四边形AEFD是矩形.21.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∵E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，∴AE=OE，OG=CG，OF=BF，OH=DH，∴OE=OG，OF=OH，EG=FH.∵OE=OG，OF=OH，∴四边形EFGH是平行四边形，又∵EG=FH，∴四边形EFGH是矩形．22.解：当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．证明：∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2.又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO.同理，FO=CO，∴EO=FO.又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形.∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4=∠5.∵∠1=∠2，∴∠1+∠5=∠2+∠4.又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°，∴平行四边形AECF是矩形.23.（1）证明：∵矩形纸片ABCD是标准纸，且AB＜BC，∴BCAB=2.由对开的含义知：AF=12BC，∴ABAF=ABBC2=2ABBC=22=2，∴矩形纸片ABEF也是标准纸.（2）解：是标准纸.理由如下：设AB=CD=a，由图形折叠可知DN=CD=DG=a，DG⊥EM，△ABE≌△AFE，∴∠DAE=12∠BAD=45 °，∴△ADG是等腰直角三角形，∴在Rt△ADG中，AD=AG2+DG2=2a，∴ADAB=2，∴矩形纸片ABCD是一张标准纸.（3）解：第一次，周长为：2(1+122)=2+2，第二次，周长为：2(12+122)=1+2，第三次，周长为：2(12+142)=1+22，第四次，周长为：2(14+142)=1+22，第五次，周长为：2(14+182)=2+24，第六次，周长为：2(18+182)=1+24，⋅⋅⋅∴第5次对开后所得标准纸的周长是：2+24，第2018次对开后所得标准纸的周长为：1+221008.24.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=BO=CO=DO.∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四边形EFGH是平行四边形.∵OE+OG=FO+OH即EG=FH，∴四边形EFGH是矩形.解答题（共34分）25.（1）证明：∵AE=CD，EC=DA，AC=AC，∴△DCA≌△EAC.（2）添加AB∥CD（答案不唯一）.理由如下：∵BA=DC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵CE⊥AE，∴∠E=90°．∵△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．。

人教版八年级下册数学 18.2.1矩形同步训练

人教版八年级下册数学18.2.1矩形同步训练一.单选题1．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，则AE的长为（）A．3.5B．3C．2.8D．2.52．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若OA=AB，则∠BOC的度数为（）A．60°B．110°C．120°D．130°3．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO=BE，那么∠BOE 的度数为（）A．55°B．65°C．75°D．67.5°4．矩形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若∠OAB=30°，B3,0，对角线AC与BD相交于点E，AC∥x轴，则BD的长为（）A．4B．6C．8D．125．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交与点O，AE⊥BD于E，点F为AB中点，连接EF，若∠DOC=64°，则∠AEF的度数为（）A．26°B．32°C．42°D．58°6．如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B 向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长不变B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长逐渐增大D．无法确定7．如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC,AB∥CD把纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°二.填空题8．两个矩形的位置如图所示，若∠1=63°，则∠2=°．9．如图，已知直角三角形ABC的斜边AC=10，则斜边上的中线BD=．10．如图：∠C=90°，将Rt△ABC沿着射线BC方向平移4cm，得到△A′B′C′．已知BC=3cm，AB=5cm，则阴影部分的面积为cm2．11．如图，长方形ABCD是篮球场地的简图，长是28m，宽是15m，则它的对角线长约为m．（精确到1m）12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=°.13．如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D′处，折痕为EF，则AD′的长为，DD′的长为．三.解答题14．如图，矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，(1)在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)若AD＝2，CD＝4，求折叠后重合部分的面积．15．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD．(1)求证：四边形ADBE是矩形；(2)作EF⊥AB于F，若BC=4，AD=3，求EF的长．16．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，折痕EF交BC于点E，交AD于点F，与对角线BD交于点O，BE=DF，∠CEF=60°，连接CF．(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若CD=3，求BC的长．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）连接DE，交AB与点O，若BC＝8，AO＝3，求△ABC的面积．。

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人教版八年级数学下册第十八章18．2.1矩形第1课时矩形的性质同步测试题
（时间：100分钟、满分100分）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(C)
A．对边相等B．对角相等
C．对角线相等D．对角线互相平分
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(B)
A．30° B．60° C．90° D．120°
3．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED＝90°.当AD＝10 cm时，AB 等于(B)
A．10 cm B．5 cm
C．5 2 cm D．5 3 cm
4．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(C)
A．18°
B．36°
C．45°
D．72°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE.
若△CDE 的周长为21，则BC 的长为(D )
A ．6
B ．9
C ．10
D ．12
6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，过对角线交点O 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交BC 于点F ，则DE 的长是(B )
A ．1
B .74
C ．2
D .12
5
7.如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，BE ⊥AC ，垂足为E.若DE ＝4，AE ＝6，则BE 的长度是(D)
A ．10
B ．2 5
C ．8
D ．27
8.如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，则∠ABD 为(D)
A ．60°
B ．62.5°
C ．65°
D ．67.5°
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8，面
积是48．
10．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN ＝4，则AC的长为16．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，点D是AB的中点，则CD＝3．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．若∠A＝26°，则∠BDC＝52°．
13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为
60°
14.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点，AC＝6，BD＝10，则EF的长为4．
三、解答题（共58分）
15．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中和∠α相等的角有几个？并说明理由．
解：与∠α相等的角有3个．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，DO＝CO＝OA＝OB.
∴∠DCA＝∠α，∠CDB＝∠ABD.
∵DO＝CO，
∴∠DCA＝∠CDB.
∴∠DCA＝∠CDB＝∠ABD＝∠α.
16．如图，已知矩形ABCD，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E.求证：AC＝EC.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，AC＝BD.
又∵CE∥BD，
∴四边形DBEC是平行四边形．
∴BD＝EC.
∴AC＝EC.
17．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点．求证：△ECD是等腰三角形．
证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°. 又∵E 为AB 的中点， ∴CE ＝12AB ，DE ＝1
2AB.
∴CE ＝DE.
∴△ECD 是等腰三角形．
18.如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF. (1)求证：四边形ACDF 是平行四边形；
(2)当CF 平分∠BCD 时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD. ∴∠FAE ＝∠CDE. ∵E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE.
又∵∠FEA ＝∠CED ， ∴△FAE ≌△CDE(ASA )． ∴CD ＝FA. 又∵CD ∥AF ，
∴四边形ACDF 是平行四边形． (2)BC ＝2CD.
理由：∵CF 平分∠BCD ， ∴∠DCE ＝45°. ∵∠CDE ＝90°，
∴△CDE 是等腰直角三角形．
∴CD ＝DE. ∵E 是AD 的中点， ∴AD ＝2DE ＝2CD. ∵AD ＝BC ， ∴BC ＝2CD.
19．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．
(1)求证：△ABM ≌△CDN ；
(2)点G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD. 在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD ，AM ＝CN ，
∴△ABM ≌△CDN(SAS )． (2)连接EF ，交AC 于点O. 在△AEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠EOA ＝∠FOC ，∠EAO ＝∠FCO ，AE ＝CF ，
∴△AEO ≌△CFO(AAS )． ∴EO ＝FO ，AO ＝CO.
∴O 为EF ，AC 中点．
∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝3
2.
在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝5
2
.
∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.。