基本初等函数的一致连续性

合集下载

——函数的连续性

第四章函数的连续性第一节连续性的概念一、函数在一点的连续性 1、函数的直观图解2、函数在一点连续的定义（1）极限形式定义定义1：设f 在0()U x 内有定义，若00lim ()()x x f x f x →=，则称f 在点0x 连续。

例、220(),lim ()lim 0(0)x x f x x f x x f →→====2()f x x ∴=在0x =处连续。

注：①讨论f 在点0x 连续，要求f 在0()U x （包括点0x ）由定义。

②f 在点0x 连续，意味着下面的运算法则成立()(l i m )l i mx x x x f x f x →→= （2）增量极限形式定义记自变量x （在点0x ）的增量0x x x =-，则0000()()()()y f x f x f x x f x y y =-=+-=-定义：若0lim 0x x y →=，则称()f x 在0x 处连续。

（3）εδ-语言定义若00,0,(,)x U x εδδ∀>∃>∀∈有0|()()|f x f x ε-<，则称()f x 在点0x 连续。

例、证明()()f x xD x =在0x =连续，其中1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，为狄利克雷函数。

（4）左、右极限形式定义定义2：设f 在在某区间0()U x +（或0()U x -）内由定义，且0l i m ()()x x f x f x +→=（或00lim ()()x x f x f x -→=）则称f 在点0x 右（左）连续（5）归结到数列极限定义f 在点0x 连续⇔000{}(),(),lim ()()n n n n x U x x x n f x f x →∞∀⊂→→∞=二、间断点及其分类 1、间断点定义定义3：设f 在某00()U x 内有定义，若f 在0x 无定义，或f 在0x 处有定义但是不连续，则称点0x 为f 的间断点或不连续点。

浅析数学分析一致连续

一引入“一致性”的意义数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。

数学分析中的三个“一致性”(即一致有界, 一致连续, 一致收敛) 的概念对数学基础知识的学习很重要。

弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。

数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。

但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解。

一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。

在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。

数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。

对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。

函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。

为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。

证明函数连续,一致连续

证明函数连续,一致连续证明函数连续、一致连续是数学分析中的重要课题。

函数的连续性是指在函数定义域内，函数在某一点处连续。

函数的一致连续性是指在函数定义域内，函数在任意两点之间的变化都可以被控制在一定的范围内。

在证明函数连续和一致连续的过程中，我们需要运用极限、序列、Cauchy列、介值定理、等等方法。

首先，我们来证明函数的连续性。

设函数$f(x)$在定义域$[a,b]$上连续，则对于任意$epsilon>0$，存在$delta>0$，当$|x-x_0|<delta$时，有$|f(x)-f(x_0)|<epsilon$。

这意味着在函数定义域内，函数在某一点处的取值可以无限接近于该点的函数值。

我们可以用极限的概念来证明函数的连续性，即证明$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$。

若极限存在，则函数在该点连续。

接下来，我们来证明函数的一致连续性。

设函数$f(x)$在定义域$[a,b]$上一致连续，则对于任意$epsilon>0$，存在$delta>0$，当$|x-y|<delta$时，有$|f(x)-f(y)|<epsilon$。

这意味着在函数定义域内，函数在任意两点之间的变化都可以被控制在一定的范围内。

我们可以用Cauchy列的概念来证明函数的一致连续性，即证明在函数定义域内，若对于任意$epsilon>0$，存在一个正整数$N$，使得当$n,m>N$时，有$|f(x_n)-f(x_m)|<epsilon$，则函数在该定义域上一致连续。

在证明函数的连续和一致连续过程中，我们还需要用到介值定理。

介值定理是指如果函数$f(x)$在定义域$[a,b]$上连续且$f(a)<y<f(b)$，则在$(a,b)$中必有一点$x_0$，使得$f(x_0)=y$。

介值定理的应用可以帮助我们证明函数的连续和一致连续。

总之，函数连续、一致连续是数学分析中的基本概念，对于深入理解分析学的基本思想和方法具有重要意义。

函数一致连续的若干方法

函数一致连续的若干方法函数的一致连续性是数学中一个重要的概念，它描述了函数在整个定义域上的连续性质。

简单来说，如果一个函数在整个定义域上都连续，我们就称这个函数是一致连续的。

一致连续性是一种比普通连续性更强的性质，它保证了函数的连续性在整个定义域上都保持一致，没有局部的不连续点。

要理解一致连续性，我们先回顾一下连续性的定义。

在数学中，函数f(x)在点x=a处是连续的，意味着满足以下三个条件：1.函数f(x)在点x=a处有定义；2. 函数f(x)在点x=a处有极限，即lim(x -> a) f(x)存在；3. 函数f(x)在点x=a的极限值等于函数f(x)在点x=a处的函数值，即lim(x -> a) f(x) = f(a)。

而函数f(x)在整个定义域上连续，则需要对每一个点x=a都满足上述三个条件。

但是，连续性并不保证函数在定义域上的每个点都有相同的性质。

因此，我们引入了一致连续性的概念。

函数f(x)在定义域上一致连续，意味着对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当，x-y，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε，其中x和y是定义域上的任意两个点。

接下来，介绍几种常用的方法来证明函数的一致连续性。

1. 利用函数的Lipschitz常数：如果存在一个正数K，对于定义域上的任意两个点x和y，满足，f(x) - f(y)，≤ K，x - y，则函数f(x)是一致连续的。

这里的K称为Lipschitz常数。

证明时可以通过计算函数的导数或者构造辅助函数来得到Lipschitz常数。

2.利用连续性和有界性：如果函数f(x)在定义域上连续，并且有界，即存在一个正数M，使得对于任意的x，f(x)，≤M，那么函数f(x)是一致连续的。

这个方法相对简单，通过连续性可以找到一个正数δ，在这个δ范围内，函数值的变化受到有界性的限制。

3. 利用Cauchy收敛准则：如果函数f(x)在定义域上满足Cauchy收敛准则的条件，即对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当，x - y，< δ时，有，f(x) - f(y)，< ε，那么函数f(x)是一致连续的。

[整理]一致连续性的判定定理及性质.

一致连续性的判定定理及性质作者：朱肖红指导老师：张海摘要函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要概念,在分析问题中起着十分重要的作用.它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础,而且与随后的含参量积分,函数项级数等概念都有着密切的联系.因此,判定函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容.本文对函数的一致连续性的概念进行了深入分析,对判定函数一致连续性的充分条件,充要条件作了简要概括,并给出了闭区间和开区间上函数一致连续性的判别方法.包括无穷区间上函数一致连续性的判定,并分别给出了这些定理的证明.同时,本文也总结了一致连续性的几个性质及它的应用.关键词连续函数极限有界函数一致连续非一致连续1引言弄清函数一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续性的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键.数学分析教材中只给出了一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的Cator 定理,内容篇幅少,但实际运用时,这些远远不够.本文将给出函数在区间上一致连续性的几个充分条件,充要条件及性质与运用.这几种方法为教科书所忽视,但比较实用且应用面广泛,有必要加以详细讨论.2一致连续性的概念定义 2.1 设函数()x f 在区间I 上有定义.若,,,0,021I x x ∈∀>∃>∀δε只要,21δ<-x x 都有()()ε<-21x f x f ,称函数()x f 在I 上一致连续.对函数一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题：（1）要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系比较函数在区间的连续性和一致连续性可知：前者的δ不仅和ε有关,而且还和点0x 有关,即对于不同的0x ,一般来说δ是不同的,这表明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连续；后者的δ仅与ε有关,与0x 无关,即对不同的0x ,δ是相同的.这表明函数在区间的一致连续性,不仅要求函数在这个区间的每一点都连续,而且要求函数在区间上的连续是“一致”的.（即连续可对一点来讲,而且对于某一点0x ,δ取决于0x 和ε ,而一致连续必须以区间为对象, 只取决于ε ,与点0x 的值无关.）在区间I 上一致连续的函数在这个区间一定是一致连续的,事实上,由一致连续性定义将1x 固定,令2x 变化,即知函数()x f 在1x 连续,又1x 是I 的任意一点,从而函数()x f 在I连续,但在区间I 连续的函数在这区间上不一定一致连续,例如()xx f 1=在区间 ()1,0 就是如此.（2）函数一致连续性的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值的差,就绝对值来说,可以任意小,即任意的21,x x ,当δ<-21x x 时,就有()()ε<-21x f x f .（3）要注意函数一致连续的否定叙述一致连续的否定就是非一致连续,即设函数()x f 在区间I 上有定义,若δδε<-∈∃>∀>∃21210:,,0,0x x I x x 有()()021ε≥-x f x f ,则称)(x f 在I 上非一致连续.总的来说,函数的连续性反映了函数的局部性质,而函数的一致连续性则反映了在整个区间上的整体性质.二者之间既有区别又有联系.3一致连续性的判定定理判定函数一致连续性的几个充要条件定理3.1 ()x f 在 []b a ,上一致连续的充要条件是()x f 在[]b a , 上连续. 证明［必要性］由定义直接可得.［充分性］采用反证法,假设()x f 在 []b a ,上非一致连续, 即,00>∃ε对0>∀η,在区间[]b a , 内至少存在两点1x 及2x , 虽然η<-21x x ,但()()021ε≥-x f x f .现取() 3,2,11==n nη ,那么在[]b a , 内存在两点()n x 1 及 ()n x 2 . 虽然 ()()nx x n n 121<-,但()()()()021ε≥-n n x f x f .应用魏尔斯特拉斯定理,在有界数列(){}nx 1中存在一个收敛的子列()()∞→→k x x k n 01,这里[]b a x ,0∈,再由于()()nx x n n 121<- , 所以 ()()kk k n x x 121<-, 亦即()()∞→→-k x x kk n n 021.因为()()∞→→k x x k n 01 ,所以()()∞→→k x x k n 02, 并且()()()()021ε≥-kkn n x f x f对一切 k 成立.另一方面,由于()x f 在 0x 连续,亦即()()00lim x f x f x x =→.由函数极限与数列极限的关系,有()()()()()()021lim ,lim x f x f x f x f k k n k n k ==∞→∞→.而()()()()()0lim 21=-∞→k k n n k x f x f .这同()()()()021ε≥-k kn n x f x f对一切 k 成立相矛盾.即假设不成立.即原命题成立.定理 3.2 函数 ()x f 在有限开区间()b a , 内一致连续的充要条件是()x f 在()b a , 内连续且极限()x f ax +→lim 和()x f bx -→lim 存在.证明［充分性］令⎝⎛=-∈=+=b x b f b a x x f a x a f x g ),0(),(),(),0()(则)(x g 在[]b a ,上连续,从而)(x g 在[]b a ,上一致连续.［必要性］因为()x f 在()b a , 内一致连续.∴()x f 在()b a , 内连续,并且∈>∃>∀21,,0,0x x δε()b a , ,当δ<-21x x 时, 有()()ε<-21x f x f于是当()δ+∈a a x x ,,21 时，有()()ε<-21x f x f .根据柯西准则,极限()x f ax +→lim 存在.同理可证()x f bx -→lim 也存在.定理3.3设函数()x f 在区间 I 上有定义, 在I 上一致连续的充要条件是对区间I 上的任意两数列}{n x 与}{n y ,当0)(lim =-∞→n n n y x 时, 有()()0)(lim =-∞→n n n y f x f .证明［必要性］因为()x f 在I 上一致连续,所以I y x ∈∀>∃>∀,,0,0δε,当δ<-y x 时有ε<-)()(y f x f .任取I 上的两数列}{n x 与}{n y 并且满足0)(lim =-∞→n n n y x .则对N ∃>,00δ ,当N n >时有0δ<-n n y x .于是ε<-)()(n n y f x f ,即0)]()([lim =-∞→n n n y f x f .［充分性］假设()x f 在I 上不一致连续, 则δδε<-∈∃>∀>∃21210:,,0,0x x I x x ,但()()021ε≥-x f x f .特别,取)(1N n n ∈=δ ,则ny x I y x n n n n 1,,<-∈,但 0)]()([lim )()(,0≠-∴≥-∞→n n n n n y f x f y f x f ε,这与已知条件矛盾.所以原命题成立.判定函数一致连续性的几个充分条件定理 3.4 若()x f 在),(+∞-∞ 内连续,且)(lim ),(lim x f x f x x +∞→-∞→ 都存在,则()x f 在),(+∞-∞ 上一致连续.证明 0,)(lim ,0,01>∃∴=>∃>∀+∞→b A x f x δε ,当b x > 时, 有2)(ε<-A x f ,从而当12121,,δ<->x x b x x 时, 有ε<-+-≤-A x f A x f x f x f )()()()(2121 .所以()x f 在),[+∞b 上一致连续. 同理可证当221δ<-x x 时,有()()ε<-21x f x f ,即知()x f 在],(a -∞ 上一致连续.又()x f 在[]b a ,上连续,03>∃∴δ当 321δ<-x x 时，有()()ε<-21x f x f ,故()x f 在[]b a , 上一致连续. 取},,m in{321δδδδ= ,当 δ<-21x x 时便有()()ε<-21x f x f即()x f 在),(+∞-∞上一致连续.定理3.5 若函数)(x f 在区间I 上的导数有界,则)(x f 在I 上一致连续.推论若函数)(x f 在),[+∞a 上单调增加,可导且其图形是上凸的,则 )(x f 在区间),[+∞a 上一致连续.证明：由 )(x f 可导且单增,从而0)('≥x f ,又曲线)(x f y = 向上凸,从而 )('x f 在),[+∞a 上单减.所以)()(0''a f x f +≤≤ ,于是)('x f 在 ),[+∞a 上有界,由上定理知,)(x f 在 ),[+∞a 上一致连续 .定义 3.1 设函数 )(x f 是区间 I 上的实值函数,如果任取 10,,≤≤∈λI y x ,有())])}()1()())1(([){()1()(]1[y f x f y x f y f x f y x f λλλλλλλλ-+≥-+-+≤-+称是区间上凸（下凸）函数.定义 3.2 若)(x f 在 )(00x U 有定义,且hh x f h x f h )2()2(lim000--+← 的极限存在,则称)(x f 在0x 拟可导,记为hh x f h x f x Df h )2()2(lim)(0000--+=→. 引理3.1凸函数在任意开区间（有限或无穷）I 上连续. 引理3.2 若函数)(x f 在I 上连续,且对I x x ∈∀21,,有)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+ ,则)(x f 为下凸函数.定理3.6 若函数)(x f 在区间I （有限或无穷）上单调,且)(x Df 在I 内处处存在且有界,则函数)(x f 在开区间 I 上一致连续.证明不妨设)(x f 在开区间 I 上单调增加.因为)(x Df 在I 内处处存在,有界,即 I x M ∈∀>∃,0,有 M x Df <)(. 下面证明：对I x x x x ∈<2121,, ,有)(2)()(1212x x M x f x f -<- .若不然,1111,,b a I b a <∈∃ ,使)(2)()(1111a b M a f b f -≥- .令)(2111b a c +=,则区间 ],[1c a 和 ],[1b c 中至少一个,记为],[22b a , 满足 )(2)()(2222a b M a f b f -≥-由此,利用归纳法可得到区间套 ⊃⊃⊃⊃],[],[],[2211n n b a b a b a .)(21)2()(2)()()1(111a b a b a b M a f b f n n n n n n n -=--≥--根据区间套定理,这些区间有惟一的公共点,记为ξ . 由条件知,M Df <)(ξ .所以,0>∃δ ,使当δ<h ,且I hh ∈+-2,2ξξ时，有M hf h f h <--+)]2()2([1ξξ . (3) 因为],[1n n n b a ∞=⋂∈ξ,且0→-n n a b ,故存在正整数 N,使22δξξδξ+<≤<-N a .不妨设ξξ-<-N N b a .令 )(20ξ-=N b h ,则 δ<0h ,且222200δξξξδξ+<=+<<-<-N N b h a h . 故000)(2)()()2()2(Mh a b M a f b f hf h f N N N N ≥-≥-=--+ξξ 此与（3）矛盾,从而（1）试对I 内任意两点都成立,因而可得 )(x f 在区间 I 上一致连续.推论1 若函数)(x f 是开区间I （有限或无穷）上的凸函数,且拟导数存在,有界,则)(x f在区间 I 上一致连续.证明不妨设)(x f 为区间I 上的下凸函数, .因为)(x f 为凸函数,所以)(x f 在I 上连续.若)(x f 在I 上单调,由定理3知结论成立.若)(x f 在 I 上不单调,由 )(x f 为区间I 上的下凸函数可知,在I 上至少存在三点321x x x << ,有)()(21x f x f > ,且 )()(32x f x f <.因为)(x f 在],[31x x 上连续,故存在),(310x x x ∈,使)(min )(],[031x f x f x x x ∈= .下证)(min )(0x f x f Ix ∈= .否则,若存在][314x x I x --∈ ,且)()(04x f x f < .若04x x < ,则λ∃ ,使 10,)1(401<<-+=λλλx x x ,从而)())()1()()(0401x f x f x f x f <-+≤λλ,矛盾.同理04x x >不成立.于是,由)(x f 为区间I 上的下凸函数定义可证, )(x f 在 ],(0x a 上递减,在[),0b x 上递增.故)(x f 在],(0x a 与0[,)x b 上一致连续.而)(x f 在I 上连续,故)(x f 在I 上一致连续.推论2 若函数)(x f 在开区间 I （有限或无穷）满足条件：I x x ∈∀21,)1(,有);2(2)()(2121x x f x f x f +≥+)(,)2(x f I x -∈∀. 和)(x f + 都存在)3(在I 上处处拟可导,且拟导数有界.则函数)(x f 在区间I 上一致连续.证明先证)(x f 在I 上连续.对I x ∈∀0,下证)()(00x f x f +-= .因为)()(00x f x f +-≠ ,则不妨设)()(00x f x f +-< ，取0,0))()((41100>∃>-=-+δεx f x f , 100:δ<-<∈∀x x I x ，有ε<--)()(0x f x f , 100:δ<-<∈∀x x I x ,有ε<-+)()(0x f x f .}2,,2)()(min{,0,0100δδδM x f x f h M -+-=∃>∀>∀有hx f x f hx f x f h x f h h x f h x f )()()2()()2()2()2(0000000-++-+---+=--+ M M x f x f x f x f h x f x f h x f x f =--≥-=-->-+-+-+-+2))()((2)()(2)()(2)()(00000000ε.与已知条件矛盾,所以)()(00x f x f +-= .又由)2(2)()(00xx f x f x f +≥+,两边对x 取极限,得 )()(00x f x f -≥.因为 I 为开区间,取0>h ,使I h x h x ∈-+00, , 则2)()()2()(00000h x f h x f h x h x f x f -++≤-++=,两边对 h 取极限, 得)(2)()()(0000x f x f x f x f --+=+≤,从而)(x f 在0x 点连续,即)(x f 在区间I 上连续,由引理2得)(x f 为凸函数.由推论1得)(x f 在区间I 上一致连续定理 3.7 若函数 )(x f 在区间I 上满Lipschitz 条件,即存在常数0>L ,使对任何I x x ∈21, ,都有2121)()(x x L x f x f -≤- ,则函数 )(x f 在区间 I 上一致连续.依定义可立即证得推论若函数)(x f 在区间I 上可导,且 )('x f 在区间I 上有界,则函数)(x f 在区间I上一致连续.证明 )('x f 在区间I 上有界,即 I x L ∈∀>∃,0,有L x f ≤)(' .因为)(x f 在区间I上可导,据拉格朗日定理I x x ∈∀21,,有))(()()(21'21x x f x f x f -=-ξ .从而2121'21)()()(x x L x x f x f x f -≤-=-ξ ,即)(x f 在区间I 上满足Lipschitz 条件,故)(x f 在区间I 上一致连续.定理 3.8 若函数)(x f 在),[+∞a 可导,且λ=+∞→)(lim 'x f x （常数或∞+）,则)(x f 在),[+∞a 一致连续的充要条件是λ为常数.证明［充分性］若λ为常数,由局部有界性,,a A >∃可使)('x f 在),[+∞A 有界,再由定理4推论,)(x f 在 ),[+∞A 上一致连续,再由Cantor 定理知)(x f 在],[A a 一致连续 .故)(x f 在),[+∞a 一致连续.［必要性］（反证法）设+∞=+∞→)(lim 'x f x .则0,210>∀=∃δε ,取δ1=G ,故,,A x a A >∀>∃有.)('G x f >.取A x x >21, ,且使δδ<=-221x x ,据拉格朗日定理有212)()()(21'21=>-=-δξGx x f x f x f . 故)(x f 在),[+∞A 非一致连续,这与)(x f 在),[+∞a 一致连续矛盾.上定理的结论相当完美,它使得许多初等函数在无限区间上一致连续与非一致连续的判别,都变得简便易行.4一致连续的性质性质 4.1若)(x f 和)(x g 都是区间I 上的有界的一致连续函数,则)()()(x g x f x F =也在I 上一致连续.证明由题设)(x f ,)(x g 有界,从而存在0>M ,使.,)(,)(I x M x g M x f ∈∀<< .再由 )(x f ,)(x g 都一致连续,则0,01>∃>∀δε 和02>δ ,使I x x x x ∈∀4321,,, ,且243121,δδ<-<-x x x x ,时有Mx g x g Mx f x f 2)()(,2)()(4321εε<-<- ,令},m in{21δδδ=,则I x x ∈∀65,,且δ<-65x x 时)()()()()()()()()()()()(656655665565x f x f x g x g x g x f x g x f x g x f x F x F -+-≤-=-εεε=+<MMMM22.所以)(x f )(x g 在I 上一致连续.性质 4.２函数)(x f 在 ],[b a 上一致连续,又在],[c b 上一致连续,c b a << .用定义证明：)(x f 在],[c a 上一致连续.证明由)(x f 在],[b a 一致连续,故0,01>∃>∀δε,使当],[,21b a x x ∈,且121δ<-x x 时,有2)()(21ε<-x f x f (i)同理,)(x f 在],[c b 上一致连续,对上述0>ε,存在02>δ,使当],[,43c b x x ∈ ,且243δ<-x x 时,有2)()(43ε<-x f x f (ii)令},m in{21δδδ= ,则对0>ε,当],[,65c a x x ∈ 且 δ<-65x x 时,（1）若],,[,65b a x x ∈由（i ）式有εε<<-2)()(65x f x f（2）若],[,65c b x x ∈,由（ii ）式也有ε<-)()(65x f x f （3）若],[],,[65c b x b a x ∈∈时,则δδ<-<-b x b x 65, 所以 εεε=+<-+-≤-22)()()()()()(6565x f b f b f x f x f x f .从而得证 )(x f 在 ],[c a 上一致连续.性质 4.3设函数)(x f 在),[+∞a 连续,函数)(x g 在),[+∞a 一致连续,且0)()(lim =-+∞→x g x f x ,则)(x f 在 ),[+∞a 一致连续.证明 0)()(lim =-+∞→x g x f x ,故 A x x a A ≥∀>∃>∀21,,,0ε,有 3)()(,3)()(2211εε<-<-x g x f x g x f .及函数)(x g 在),[+∞a 一致连续,故对上述A x x ≥∀>∃>21,,0,0δε ,且 δ<-21x x ,有3)()(21ε<-x g x g .综上A x x ≥∀21,,且 δ<-21x x ,有)()()()()()()()(22211121x g x f x g x g x g x f x f x f -+-+-≤- .εεεε=++<333即 )(x f 在),[+∞A 一致连续,再由Cantor 定理知)(x f 在 ],[A a 上一致连续,故)(x f ),[+∞a 在一致连续.定理5表明：若连续函数可在无穷远处充分接近一个一致连续函数,则其必一致连续.考虑到线性函数必一致连续,如果某连续函数在无穷远处充分接近一个线性函数,即此函数存在斜渐近线,则它必一致连续.即是如下推论.推论设函数)(x f 在),[+∞a 连续,且有斜渐近线,即有数b 与 c ,使0])([lim =--+∞→c bx x f x ,则)(x f 在),[+∞a 一致连续.5一致连续性的应用利用一致连续性定义或判断函数一致连续性的定理来判断某函数的一致连续性.例1 判断),0(,11)(2+∞∈+=x xx f 的一致连续性. 解：因为 011lim2=++∞→x x ，111lim 20=+→x x 又 )(x f 在),0(+∞ 上连续,所以 )(x f 在),0(+∞ 上一致连续.本题利用定理3.4，)(x f 在无限区间上连续且在端点极限存在，则)(x f 在此无限区间上一直连续.例2 证明)(x f =x e 在R 上非一致连续.证明1 :ln ),1ln(),11(0,21210R n x n x e n ∈=+=∀->∃>∀=∃δδε,ln )11ln(ln )1ln(21δδ=<+=-+=-e n n n x x 有021211)1()()(ε=>=-+=-n n x f x f .所以)(x f =x e 在R 上非一致连续.根据一直连续性定义证得.证明2 取R n y n x n n ∈=+=ln ),1ln( , 且0)11ln(lim ]ln )1[ln(lim )(lim =+=-+=-∞→∞→∞→n n n y x n n n n n .但01)1(lim ][lim )]()([lim ln )1ln(≠=-+=-=-∞→+∞→∞→n n e e y f x f n n n n n n n .所以)(x f =x e 在 R 上非一致连续.此题根据判定函数一直连续性的充要条件即定理3.3.例3 判断)1,0(,1cos )(∈=x x e x f x 的一致连续性.解：因为x e x x 1cos lim 0+→ 不存在,所以)(x f =x e 在)1,0( 内不一致连续.此题根据判定连续函数在有限开区间一致连续性的方法即定理3.2例4 证明： x e x f =)(在),(a -∞ 上一致连续,而在 ),(+∞a 上非一致连续.证明 0lim =-∞→x x e 且a x a x e e =-→lim .所以 x e 在 ),(a -∞上一致连续.+∞==+∞→x x x x e Lim e e ,)(' .所以)(x f =x e 在 ),(+∞a 上非一致连续.此题根据连续函数导数的有界性来判定函数的一致连续性。

一致连续

定理

定理1 Cantor 定理或性定理
2
定理2
3
定理3
4
定理4
5
定理5
若函数在上连续，则在上一致连续。
若函数为上的连续周期函数，则在上一致连续。
若在有限开区间上严格单调且连续，则其反函数在区间上一致连续。
设在上连续，若和都存在，则在上一致连续。
设对于定义在区间I上的函数，，，有成立，若在I上一致连续，则在I上也一致连续。
定义
设函数在区间I上有定义，如果，，使得对于在区间I上的任意两点，当时，恒有，则称函数在区间I上一致连续。
参数仅与有关，与所选取的任意两点无关，即。
意义
从上述定义中可以看出，当函数在区间I上一致连续时，无论在区间I上的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，总可以使相应的函数值达到预先指定的接近程度。
举例
函数在上一致连续。证明如下： ①任取，由三角函数可知在闭区间上连续，由上述的定理1可知，在上一致连续。 ②对于区间，对，取，对，当时，有即在区间上一致连续。综上，在上一致连续。
谢谢观看
性质
1）设函数在区间和上一致连续，若，则在上也一致连续； 2）若函数都在区间I上一致连续，则也在区间I上一致连续； 3）若在有限区间I上一致连续，则在I上有界； 4）若函数都在有限区间I上的有界的一致连续函数，则在区间I上也一致连续； 5）若在定义域I上一致连续，其值域为U，在U上一致连续，则在I上一致连续。
一致连续
数学物理函数定理
01 定义
03 定理 05 举例
目录
02 意义 04 性质
某一函数f在区间I上有定义，如果对于任意的ε>0，总有δ>0，使得在区间I上的任意两点x'和x"，当满足 |x'-x"|<δ时，|f(x')-f(x")|<ε恒成立，则该函数在区间I上一致连续。对于在闭区间上的连续函数，其在该区间上必一致连续。一致连续的函数必定是连续函数。

一致连续性

是整体性质.
2.函数一致连续必连续，连续却不一定一致连续，一致连续性是比连续更强的性质.
1 例2 证明 y 在 (0, 1) 内不一致连续. x 证首先我们根据一致连续的定义来叙述 f (x) 在区
间I上不一致连续的定义：
y
O
x2 x1 1
x
一致连续的几何解释
一条一致连续的曲线它. y y= x
′ x0 δ
x0 δ
x
考虑：是否存在一个在连续区间I上都适用的δ?
定义1. 设 f ( x ) 为定义在区间I上的函数,如果对于任意的正数 0 ,存在 0 , 使得对任意 x1, x2 I , 只要| x1 x2 | , 就有
| f ( x1 ) f ( x2 ) | ,
则称 f ( x ) 在区间I上一致连续.
一致连续性表示：无论在连续区间的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度(δ),就可使对应的函数值达到所指定的接近程度(ε)，这个接近程度ε不随自变量x的位置而变.
例1 证明 f (x)=
x 在区间[1,+∞) 上一致连续.
证
一致连续与连续的区别 1.函数 f(x) 在区间I上连续是局部性质，一致连续性
数学与信息科学系
讲课大赛
齐静
参赛内容：一致连续性
一致连续性是函数连续性中的一个重要概念一概念的引入例 f ( x ) = x 在I=(0,+∞) 上连续
任一x0点, 对任意给定的ε>0,存在δ
=δ(x0,ε),当 x-x0 <δ时，就有 f (x)-f (x0) <ε 0
ε
y y=1/x
1
ε
01

连续函数的性质

x
n
在[ 0
, )
上亦为连续且
y x 在 R内续取连，
2
x x 0 1, x x 0 1
x0
( 2 x 0 1), 0 , 取 min(
2

2 x0 1
,1)，
得当
x x0 , 有 x
x0
2
.
指函的续数数连性
且严格增. 关于其它的反三角函数
sin( x tanx

2
) cos x 复函连性合数续 , cot x . cos x sin x , sec x
R上续 . 连 1 cosx , csc x 1 sin x
sinx cosx
在义内续定域连
由函的续知反数连性所域连内续 .
到, 具体过程请读者自行给出.
我们知道,常函数 y = c 与线性函数 y = x 都是 R 上的连续函数, 故由四则运算性质, 易知多项式函数
P ( x ) a 0 a1 x a n x
n
也是连续函数.
同理,有理函数
P(x) Q(x) a 0 a1 x a n x b 0 b1 x b m x
x 0的离于距小
.
y 1 f ( x1 ) , y 2 f ( x 2 ) ,
令
min{ y 2 y 0 , y 0 y 1 } 0 ,
x f
1
1
当 y U ( y0 ; ) 时对，应
( y )的都在值落
x1与 x 2 之，间

函数的连续性

第四章函数的连续性教学目的：1.使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念；2.熟练连续函数的性质并能加以应用；3.知道所有初等函数都是在其定义域上的连续函数，并能加以证明；4.理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与这一区间上一致连续的联系与区别。

教学重点、难点：本章重点是函数连续性的概念和闭区间上连续函数的性质；难点是一致连续性的概念与有关证明。

教学时数：14学时§ 1 函数的连续性（4学时）教学目的：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。

教学要求：1. 使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；2. 应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；3. 明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。

教学重点：函数连续性概念。

教学难点：函数连续性概念。

一、引入新课：通过生活和科学研究中的实例说明学习连续函数的必要性。

二、讲授新课：（一）函数在一点的连续性：1．连续的直观图解：由图解引出解析定义.2.函数在一点连续的定义: 设函数在点某邻域有定义.定义用例如 [1]P87例1和例2, P88 例3.定义用定义用先定义和定义连续的Heine定义.”定义.)定义( “（注：强调函数例1 用“”定义验证函数在点连续.例2 试证明: 若在点连续.则3.单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.Th ( 单、双侧连续的关系 )例3讨论函数在点的连续或单侧连续性.（二）间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况或中至少有一个不存在称为第二类间断点.即例4讨论函数的间断点类型.例5延拓函数使在点连续.例6举出定义在[0,1]上且仅在点三点间断的函数的例.讨论Dirichlet函数和Riemann函数的连续性. （三）区例7开区间上连续，闭区间上连续, 按段连续.§ 2 连续函数的性质（6学时）教学目的：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。

函数的一致连续及应用

函数的一致连续及应用
一致连续函数(Uniformly Continuous Functions)是指具有一致性连续
性的函数，它指函数在一定范围内，当输入的变量的变化量变小的时候，输出的函数值的变化量也变小，即使输入的变量的变化量趋于零，输出的函数值也会趋于零。

一、定义
一致连续函数的定义如下：若函数f(x)在一定的闭区间内连续，且当其定义域上的任意两个点之间的距离x越小，则函数f(x)的值之差越小，
也就是说，函数f(x)在定义域上越靠近，其值差越小，则称f(x)为一致
连续函数。

二、实例
1、线性函数：y=kx+b
线性函数表示的是一条直线，当x的变化量趋近于零时，y的变化量也
趋近于零，线性函数既满足连续性又满足一致性，因此线性函数是一
致连续函数。

2、幂函数：y=x^a
幂函数表示的是一条曲线，当x的变化量趋近于零时，y的变化量也趋
近于零，幂函数既满足连续性又满足一致性，因此幂函数也是一致连
续函数。

三、应用
1、函数拟合
一致连续函数可以用于函数拟合，即选定一个一致连续函数，例如线性函数或者指数函数，然后依据实验数据的观测值，进行函数参数的拟合，以最好地拟合实验数据，这是一致连续函数的广泛应用之一。

2、解析解
一致连续函数的另一个应用是解析解，即如果某一函数可以用一致连续函数拟合，由此可以用以研究某个函数定义域上的任意一点，以及函数的特征，给出函数关于某个变量的几何解析解。

3、逼近
一致连续函数还被广泛应用于逼近计算，这是一项综合计算机科学中十分重要的概念，在大数据处理中也常常用到这一技术，比如，根据大量的数据，使用一致连续函数，可以更精准地拟合这些数据，使得这些数据的变化的趋势更加明显。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

证明取￡０：寺，对任意＞０，由于ｌｉｍ厂（）：＋。。，所以存在Ａ＞０，使得当＞Ａ时，有．厂（）＞１，
取１＞Ａ，戈２＝ｌ＋ — ＿，ｕ贝０Ｉ１一２Ｉ＜，且
Ｉ厂（＂ｇ１）一厂（Ｘ２）ｌ：Ｉ厂（）（ｌ一２）Ｉ＝号Ｉ厂（）Ｉ＞号专＝＝ｅ。．
的一致连续性．目前很多数学工作者对函数的一致连续性进行研究，并得到重要结论．数，初等函数的分析性质是数学分析的重要研究内容，而初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算与有限次复合所得到的函数［］（ｎ。，所以研究基本初等函数的分析性质尤为重要，下面探讨基本初等函
第３３卷第２期２０１７年６月
沧州师范学院学报
ＪｏｕｎａｒｌｏｆＣａｎｇｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏ１．３３，Ｎｏ．２
Ｊｕｎ．２０１７
基本初等函数的一致连续性
王金花，樊永艳，李志晓
（沧州师范学院数学与统计学院，河北沧州０６１００１）
摘要：基本初等函数：常值函数Ｙ＝ｃ，幂函数Ｙ＝，对数函数Ｙ＝ｌｏｇ（Ｏ＜０≠１），指数函数Ｙ＝０
（０＜Ⅱ ≠１），三角函数Ｙ＝ｓｉｎｘ、ＹＣＯＳ：ｇ、Ｙｔａｎｘ、Ｙｃｏｔｘ，反三角函数Ｙａｒｃｓｉｎｘ、Ｙ＝ａｒｃｃｏｓｘ、Ｙａｒｃ．ｔａｎｘ、Ｙ＝ａｒｃｃｏｔｘ具有一致连续性．
关键词：连续；一致连续；基本初等函数；函数可导
中图分类号：０１７Ｉ文献标识码：Ａ文章编号：２０９５．２９１０（２０１７）０２．０００１．０３
函数的一致连续性是数学分析课程的重要理论，数学分析课程中的很多重要结论的证明都要用到函数
数的一致连续性．
１预备知识
定义１设函数厂（）在区间，上有定义，若任意ｅ＞０，存在＝（￡）＞０，使得对任意的。，： ∈，，只要
ｌｌ — ２Ｉ＜时，就有ｌ厂（１）一厂（２）ｌ＜￡，则称函数，（）在区间，上一致连续… （．定理１设（）在区间，上可导，且厂（）有界，则ｆ（）在，上一致连续［２３１３］．
定理２若厂（）在有限闭区间［ｏ，ｂ］上连续，则ｆ（）在［ Ⅱ，ｂ］上一致连续［］（嘞）．定理３函数ｆ（）在（０，＋。。）上可导，若ｌｉｍ（）＝＋∞ ，则ｆ（）在（口，＋∞）上不一致连续．
・・
定理６若，（）在（ａ，ｂ）上连续，则，（）在（口，ｂ）上一致连续的充分必要条件是ｌｉａｆｒ（）与ｌｉａｆｒ（）都
ｒ’ 一６一
存在ｌ．推论在无穷区间（ｎ，＋∞）（或（一。。，ｂ））上的连续函数ｆ（），若ｌｉａ（ｒ或ｌｉａｆｒ（））不存在，则ｆ（）在
所以ｆ（）在（ｏ，＋∞）上不一致连续．类似可证下面的定理４：定理４／（）在（一ａ。，ｏ）上可导，若ｌｉａ厂（ｒ）＝一∞，则ｆ（）在（一。。，ｏ）上不一致连续．证明从略．利用函数一致连续的定义，容易推得下面的定理５成立．定理５若／（）在区间，上一致连续，ＮＪ＇￣－３ＩＣ，，则，（）在，。上一致连续．
￡一一＾一
（ｏ，＋。。）（或（一∞，ｂ））上不一致连续．
事实上，若ｆ（）在（ｏ，＋。。）（或（一∞，ｂ））上一致连续，由定理５知道，ｆ（）在（ｏ，ａ＋１）（或（ｂ一１，６））上一致连续，由定理６知道，极限ｌｉａ厂ｒ（）（或ｌｉａｆｒ（））存在，与已知条件矛盾．
证明从略．
收稿日期：２０１６一ｌ１．２８
作者简介：王金花（１９６３一），女，河北河间人，沧州师范学院数学与统计学院副教授，研究方向：非线性泛函分析；樊永艳（１９８２一），女，河北孟村人，沧州师范学院数学与统计学院讲师，研究方向：微分方程及边值问题：李志晓（１９９０一），女，山东乐ＹＺＺ－，沧州师范学院数学与统计学院助教，研究方向：统计分析．