湖北省2020学年高一数学下学期期中试题
湖北省华中师范大学第一附属中学2021-2022学年高一下学期数学期中复习压轴题选编
华中师大一附中2021-2022学年度高一第二学期期中检测期中复习压轴题精选题组一、单选题1．已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3450++=OA OB OC ，则ABC ∆的面积为A ．85B ．75C ．65D ．452．在ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，已知,73A a π==，则以下判断错误的是（）A ．ABC 的外接圆面积是493π；B ．cos cos 7b C c B +=；C ．b c +可能等于14；D ．作A 关于BC 的对称点A '，则AA '.3．在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．45⎡⎢⎣⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是1CC ，BC ，DC 的中点，则下列说法错误的是（）A ．1//MP AB B ．//AO 平面MNP C ．MN ⊥平面11A B CDD ．MN 与1AD 是异面直线5．已知四面体ABCDM ，N 分别为棱AD ，BC 的中点，F 为棱AB 上异于A ，B 的动点．有下列结论：①线段MN 的长度为1；②若点G 为线段MN 上的动点，则无论点F 与G 如何运动，直线FG 与直线CD 都是异面直线；③MFN ∠的余弦值的取值范围为[0,)5；④FMN 1．其中正确结论的为（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④二、多选题6．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz ）的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC △，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.若O 是锐角ABC 内的一点，A ，B ，C 是ABC 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅.则（）A ．O 为ABC 的外心B ．BOC A π∠+=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C=D ．tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 7．下列结论正确的是（）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B>B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立C ．在ABC 中，若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．在ABC 中，若360b A ==︒，，三角形面积S =8．下列说法正确的是（）A ．若非零向量0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅= ，则ABC 为等边三角形B ．已知,,,OA a OB b OC c OD d ==== ，且四边形ABCD 为平行四边形，则0a b c d +--=C ．已知正三角形ABC的边长为O 是该三角形的内切圆，P 是圆O 上的任意一点，则PA PB ⋅的最大值为1D ．已知向量()())2,0,2,2,cos sin OB OC CA αα===，则OA 与OB 夹角的范围是5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知点M 为正方体1111ABCD A B C D -内（含表面）的一点，过点M 的平面为α，以下描述正确的有（）A ．与1AA 和11BC 都平行的α有且只有一个B ．过点M 至少可以作两条直线与1AA 和11BC 所在的直线都相交C ．与正方体的所有棱所成的角都相等的α有且只有四个D ．过点M 可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等10．如图，已知在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1AD 上的动点，则下列结论正确的有（）.A ．当P 运动到1AD 中点时，直线BP 与平面ABCD 所成角的正切值为5B ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥11C A PB -的体积会随着P 点的运动而变化C ．当点P 在直线1AD 上运动到某一点时，直线1B C 与平面1BPC 所成角为π4D ．当P 在直线1AD 上运动时，111A PB △三、填空题11．在ABC 中，60BAC ∠=︒，2AC →=，2BD DC →→=，AD →=，则AB →=______；设()AE AC AB R λλ→→→=-∈，且4AD AE →→⋅=，则λ的值为______.12．如下图，ABC 中，875AB AC BC G ===,,,为ABC 重心，P 为线段BG 上一点，则PA PC ⋅的最大值为______，M N 、分别是边BC BA 、的中点，则AP MN ⋅的取值范围是______.13．已知12,|6OA OE →→==∣，对t R ∀∈，恒有||||OA OE A t E →→→-≥，且点M 满足21,33OM OE OA →→→=+N 为OA 的中点，则OA OE →→⋅的值为__________，MN →的值为__________.14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 ,AD AB AC λμ=+ 若4AD AF =，则λ-μ的值为___________15．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对ABC 而言，若其内部的点P 满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则称P 为ABC 的费马点．如图所示，在ABC 中，已知45BAC ∠=︒，设P 为ABC 的费马点，且满足452PBA PA ∠=︒=，．则ABC 的外接圆直径长为_________．16．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点O 在ABC 内部，用A B C S S S 、、分别代表OBC 、OCA 、OAB的面积，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．现在假设锐角三角形顶点,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c H 为其垂心，,,HA HB HC的单位向量分别为123,,e e e ，则123ae be ce ++= _________．17．在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________.18．某园区有一块三角形空地（如图ABC ），其中20m AB =，40m AC =，2ABC π∠=，现计划在该空地上选三块区域种上三种不同颜色的花卉，为了划分三种花卉所在的区域且浇灌方便和美观，需要在空地内建一个正三角形形状的水池，要求正三角形的三个顶点分别落在空地的三条边界上（如图DEF ），则水池面积的最小值为________2m ．19．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E ､F 分别是侧棱1AA ､1CC 上的动点，4AE CF +=，点P 在棱1AA 上，且1AP =，若//EF 平面PBD ，则CF =___________.四、解答题20．如图所示，AD 是ABC 的一条中线，点O 满足2AO OD =，过点O 的直线分别与射线AB ，射线AC 交于M ，N 两点.(1)求证：1133AO AB AC =+；(2)设AM mAB = ，AN nAC = ，0m >，0n >，求11m n+的值；(3)如果ABC 是边长为()0a a >的等边三角形，求22OM ON +的取值范围.21．已知O 是线段AB 外一点，若OA a =，OB b =．（1）设点G 是OAB 的重心，证明：()13OG a b =+；（2）设点1A 、2A 是线段AB 的三等分点，1OAA 、12OA A △及2OA B △的重心依次为1G 、2G 、3G ，试用向量a 、b表示123OG OG OG ++ ；（3）如果在线段AB 上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明)说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．22．已知[0,)θπ∈，向量(cos ,sin )a θθ=，(1,0)b = ，1P 、2P 、3P 是坐标平面上的三点，使得()1122OP OP a OP a ⎡⎤=-⋅⎣⎦ ，()3222OP OP b OP b ⎡⎤=-⋅⎣⎦．（1）若2πθ=，1P 的坐标为(20,21)，求3OP ；（2）若23πθ=，16OP = ，求3OP 的最大值；（3）若存在[0,)απ∈，使得当1(cos ,sin )OP αα=时，△123PP P 为等边三角形，求θ的所有可能值．23．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m b a c =+ ，(,)n b c c a =-- ，m n ⊥.(1)若8a =，8AB AC ⋅=，D 为边BC 的中点，求中线AD 的长度；(2)若E 为边BC 上一点，且1AE =，:2:BE EC c b =，求2b c +的最小值.24．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，22sin sin sin sin A B B C =+.（1）若D 是BC 上的点，且AD 平分角A ，AD =6c =，求C ；（2）若cos()B A -=c =ABC 的面积.25．（1）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 0a C C b c +--=，且2a =，则ABC 内切圆半径的最大值为_________（2）随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有A B C ，，三个旅游景点，在岸边BC 两地的中点处设有一个垃圾回收站点O （如图），A B ，两地相距10km ，从回收站O 观望A 地和B 地所成的视角为60︒，且224OA OB OA OB +≥⋅，设AC x =km ；（i ）用x 分别表示22OA OB + 和OA OB ⋅，并求出x 的取值范围；（ii ）若B 地到直线AC 的距离为BD ，求BD 的最大值．26．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(,)OM a b =为函数()f x 的相伴特征向量，同时称函数()f x 为向量OM的相伴函数.（1）设函数53()sin sin 62g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，试求()g x 的相伴特征向量OM ；（2）记向量ON = 的相伴函数为()f x ，求当8()5f x =且,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin x 的值；（3）已知(2,3)A -，(2,6)B ，(OT = 为()sin 6h x m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的相伴特征向量，()23x x h πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.27．杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE ，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD ，BE 为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道，2,,8km 34BCD BAE CBD CD DE ππ∠=∠=∠===．（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE 的长度；①712∠=CDE π；②3cos 5DBE ∠=（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长（即+BA AE 最大），最长值为多少？28．如图，在直角梯形OABC 中，//,,22,OA CB OA OC OA BC OC M ⊥==为AB 上靠近B 的三等分点，OM交AC 于,D P 为线段BC 上的一个动点．（1）用OA 和OC 表示OM；（2）求ODDM ；（3）设OB CA OP λμ=+，求λμ⋅的取值范围．29．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111,A B B C A B AC ⊥⊥．（1）求证：1111A C B C =；（2）若1B C 与1AC 的所成角的余弦值为13，求1BB 与平面11A B C 所成角的正弦值．30．四面体ABCD 中，（1）,,AB CD AC BD AD BC ===．求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）有4条长为2的线段和2条长为a 的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三梭锥，问a 为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？((,,0)3a b ca b c ++≤>，当且仅当a b c ==时取得等号)参考答案1．C【详解】试题分析：由3450OA OB OC ++=变形可得,即,所以,由3450OA OB OC ++=变形可得,故,所以,同理可得:,所以,选D.考点：向量的运算和余弦定理及三角形面积公式的应用．【易错点晴】本题是一道综合性较强的问题.解答时巧妙地利用题设条件外接圆半径为1及3450OA OB OC ++=,不厌其烦的运用完全平方公式进行了三次两边平方,再运用余弦定理将三边分别算出来,最后再借助三角形的面积公式求出其面积.值得提出的是本题的难点是如何探寻到解决问题的思路,很难将面积问题与一个不相干的向量等式进行联系,在这里两边平方是解决本题的突破口.2．D【分析】对A ：利用正弦定理可求得ABC 的外接圆半径，即可求解ABC 的外接圆面积；对B ：利用余弦定理角化边，即可求解；对C ：利用正弦定理边化角，再结合两角和差的正弦公式，即可求解；对D ：利用三角形面积公式和余弦定理，及均值不等式，即可求解．【详解】解：对A ：3A π=，7a =，∴由正弦定理可得2sin a R A ，即ABC的外接圆半径R =ABC ∴的外接圆面积是22493R πππ=⨯=⎝⎭，故A 选项正确；对B ：由余弦定理可得222222cos cos 722a b c c a b b C c B b c a ab ac+-+-+=⋅+⋅==，故B 选项正确；对C：由正弦定理可得2(sin sin )sin sin 14cos 33b c R B C ππααα⎤⎛⎫⎛⎫+=+-++= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，33ππα⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，(]7,14b c ∴+∈，故C 选项正确；对D ：设A 关于BC 的对称点我A '，A 到BC 的距离为h ，∴11sin 223ah bc π=，即h =，又由余弦定理可得222222cos 23a b c bc b c bc bc bc bc π=+-=+--=，当且仅当b c =时等号成立，所以27h =≤，即h 所以||AA '的最大值是D 选项错误．故选：D ．3．C【分析】延长CG 交AB 于D ，由重心性质和直角三角形特点可求得32CD c =，由cos cos BDC ADC ∠=-∠，利用余弦定理可构造等量关系得到2225a b c +=，由此确定C 为锐角，则可假设A 为钝角，得到222b c a +<，222a c b +>，a b >，由此可构造不等式组求得b a 的取值范围，在ABC 利用余弦定理可得2cos 5a b C b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用ba的范围，结合C 为锐角可求得cos C 的取值范围.【详解】延长CG 交AB 于D ，如下图所示：G 为ABC 的重心，D ∴为AB 中点且3CD DG =，AG BG ⊥ ，12DG AB ∴=，3322CD AB c ∴==；在ADC 中，2222222225522cos 3232c bAD CD AC c b ADC AD CD c c -+--∠===⋅；在BDC 中，2222222225522cos 3232c a BD CD BC c a BDC BD CD c c -+--∠===⋅；BDC ADC π∠+∠= ，cos cos BDC ADC ∴∠=-∠，即222222525233c a c b c c--=-，整理可得：22225a b c c +=>，C ∴为锐角；设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，2222222255a ba b a b b a ⎧+>+⎪⎪∴⎨+⎪<+⎪⎩，22221115511155b b a a b b a a ⎧⎛⎫⎛⎫++<⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎛⎫⎪<++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：223b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，0a b >>，03b a ∴<<，由余弦定理得：22222222cos 2555a b c a b a b C ab ab b a ⎫+-+⎛⎫==⋅=+>⨯= ⎪⎝⎭⎝又C为锐角，cos 1C <，即cos C的取值范围为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的取值范围问题的求解，解题关键是能够由两角互补得到余弦值互为相反数，由余弦定理得到2225a b c +=，确定C 为锐角，从而得到三边之间的不等关系，求得ba的范围.4．D【分析】根据所给条件和线面关系，逐项分析判断即可得解.【详解】对A ，如图所示，连接11,AB DC ，因为点,M P 为1,CC CD 中点，所以1//MP DC ，在正方体中易得11//AB DC ，所以1//MP AB ，故A 正确；对B ，如图所示，连接,BD AC 交于点E ，连接1C E ，NP 与AC 交于点F ，连接MF ，在正方体中，易得1//OC AE ，1OC AE =，所以四边形1AEC O 为平行四边形，则1//AO C E ，又,P N 为,CD CB 中点，点F 在PN 上，则易知点F 为CE 的中心点，因为点,M F 为中点，所以1,////MF C E AO MF ，又MF ⊂平面MPN ，AO ⊄平面MPN ，所以//AO 平面MPN ，故B 正确；对C ，如图所示，连接1BC ，在正方体中，易知1,CD BC CD CC ⊥⊥，所以CD ⊥平面11BCC B ，又MN ⊂平面11BCC B ，所以CD MN ⊥，又,M N 为1CC ，BC 中点，则1//MN BC ，又11BC B C ⊥，所以1MN B C ⊥，所以MN ⊥平面11A B CD ，故C 正确；对D ，如图所示，连接11,BC AD ，易知：11//,BC AD 又1//MN BC ，则1//MN AD ，所以MN 与1AD 共面，故D 错误.故选：D5．D【分析】将正四面体ABCD 放置于正方体中，由M ，N 所处位置即可判断①；取AB ，MN ，CD 中点F ，G ，E ，探讨它们的关系可判断②；计算cos MBN ∠可判断③；把正ACB △与正ADB △展开在同一平面内，计算即可判断④并作答.【详解】如图，在棱长为1的正方体上取顶点A ，B ，C ，D ，并顺次连接即可得四面体ABCD因M ，N 分别为棱AD ，BC 的中点，则M ，N 恰为正方体相对面的中心，即MN =1，①正确；取AB 的中点F ，MN 的中点G ，CD 的中点E ，由正方体的结构特征知F ，G ，E 共线，即直线FG 与直线CD 交于E ，②不正确；MBN △中，BM =,12BN MN ==，由余弦定理得：222cos 2BN BM MN MBN BN BM +-∠==>⋅，当点F 无限接近于点B 时，cos MFN ∠，③不正确；把四面体ABCD 中的正ACB △与正ADB △展开在同一平面内，连接MN ，MN 必过AB 的中点，在AB 上任取点F '，连,MF NF ''，如图，此时，MF NF MN ''+≥=F '与线段AB 中点重合时取“=”，则对AB 上任意点F ，MF NF +有最小于是得在四面体ABCD 中，FMN 周长MF NF MN ++1，④正确，所以①④为正确的结论.故选：D6．BCD【分析】由根据数量积的运算律可得0OB CA OB CA ⋅=⇔⊥,可得O 为ABC 的垂心；结合OBC C OCB B π∠++∠+=与三角形内角和等于π可证明B 选项；结合B 选项结论证明cos :cos :A B OA OB =即可证明C 选项，利用奔驰定理证明:tan :tan A B S S A B =可证明D 选项．【详解】解：因为()00OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥，同理OA CB ⊥，OC AB ⊥，故O 为ABC 的垂心，故A 错误；,22OBC C OCB B ππ∠+=∠+=，所以OBC C OCB B π∠++∠+=，又OBC OCB BOC π∠+∠+∠=，所以BOC C B ∠=+，又A B C π++=，所以BOC A π∠+=，故B 正确；故A BOC π=-∠，同理B AOC π=-∠，延长CO 交AB 与点P ，则cos :cos cos():cos()cos :cos ::OP OP A B BOC AOC BOP AOP OA OB OB OAππ=-∠-∠=∠∠==，同理可得cos :cos :A C OA OC =，所以cos :cos :cos ::A B C OA OB OC =，故C 正确；11:():():tan :tan 22A B S S OC BP OC AP BP AP OP POB OP AOP =⋅⋅⋅⋅==∠∠tan :tan tan():tan()tan :tan BOC AOC A B A B ππ=∠∠=--=，同理可得:tan :tan A C S S A C =，所以::tan :tan :tan A B C S S S A B C =，又0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= ，所以tan tan tan 0⋅+⋅+⋅= A OA B OB C OC ，故D 正确．故选：BCD ．7．ABC【分析】利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A ；利用余弦定理222cos 02b c a A bc+-=>，即可判断B ；首先利用正弦定理得到()()sin sin A B A B +=-，即可求出2A π=判断C ；对选项D ，首先利用面积公式得到4c =，利用余弦定理得到a =，再利用正弦定理2sin a R A=即可判断D.【详解】对于A ，在ABC 中，由>⇒>A B a b ，利用正弦定理得2sin 2sin sin sin R A R B A B >⇒>，故A 正确.对于B ，由锐角三角形知02A π<<，则222cos 02b c a A bc+-=>，2220b c a ∴+->，故B 正确.对于C ，由cos cos a B b A c -=，利用正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()()sin sin A B A B +=-，故A B A B π++-=，即2A π=，则ABC 是直角三角形，故C 正确.对于D ，11sin 322S bc A c ==⨯⨯=4c =，利用余弦定理知22212cos 916234132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a =2R =，3R =，故D 错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.8．AC【分析】利用单位向量以及向量数量积的定义可判断A ；利用向量的加法运算可判断B ；利用向量的加、减运算可判断C ；由题意可得点A 在以()2,2为圆心，2为半径的圆上，由向量夹角定义可判断D.【详解】A ，因为非零向量0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，所以BAC ∠的平分线与BC 垂直，ABC 为等腰三角形，又12AB AC AB AC ⋅= ，所以3BAC π∠=，所以ABC 为等边三角形，故A 正确；B ，a b c d OA OB OC OD +--=+-- ,CA DB CD DA DA AB =+=+++ ，在平行四边形ABCD 中，有AB DC = ，所以原式20DA =≠ ，故B 错误；C ，设正三角形ABC 内切圆半径r ，由面积相等可得112332323sin 223r π⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得1r =，令AB 的中点为D ，从而3DA DC ==,则2PA PB PD += ，2PA PB BA DA -== ,两式平方作差可得22444PA PB PD DA ⋅=- ,即23PA PB PD ⋅=- ，若要使PA PB ⋅ 最大，只需2PD 最大由于D 为AB 的中点，也为圆O 与AB 的切点，所以PD 的最大值为22r =，所以23431PA PB PD ⋅=-≤-= ，故C 正确；D ，设(),OA x y = ，()()2cos ,2sin 2,2CA OA OC x y αα=-=--=，所以22cos x α-=，22sin y α-=，所以()()22222x y -+-=，即A 在以()2,2为圆心，2为半径的圆上，如图：2221sin 222COA ∠==+，所以6COA π∠=，当OA 与圆在下方相切时，OA 与OB 夹角最小，此时为4612πππ-=，当OA 与圆在上方相切时，OA 与OB 夹角最大，此时为54612πππ+=，所以OA 与OB 夹角的范围是5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查了向量的数量积定义、向量的加减法以及向量的夹角，解题的关键是是将向量问题转化为平面几何问题，利用圆的性质求解，考查了转化思想、数学运算、数学建模，此题是向量的综合题目.9．CD【分析】A,B 选项都可以很明显的找到反例，证明选项是错误的；C,D 选项也有共同之处，C 选项中，要想所有棱与平面所成夹角相同，只需要共顶点的三条侧棱与平面夹角相同即可，所以想到了以正方体的一个顶点作正三棱锥；同理，D 选项中，要想所有棱与直线夹角相同，也只需要共顶点的三条侧棱与该直线夹角相同即可，所以是三棱锥的高线，从而得到答案【详解】A 选项中，如果M 点在1AA 或11B C 上的话，则不存在这样的面，所以A 选项错误B 选项中，1AA ∥平面11BBC C ，所以如果M 点在面11BB C C 上时，过M 的直线如果跟11B C 相交，则与1AA 异面，不会相交，所以B 选项错误C 选项中，以A 为顶点，1A BD 为底面，做三棱锥，则该三棱锥为正三棱锥，1,,AB AD AA 与底面的夹角相同，其他棱与这三条棱平行，所以夹角也相同；同理，以,,B C D 为顶点的三棱锥都可以满足，所以，过点M 作与这四个面平行的面即可，所以与正方体的所有棱所成的角都相等的α有且只有四个，C 选项正确D 选项中，与C 选项同理，以A 为顶点做正三棱锥，则三棱锥过上顶点的高所在的直线，与三条棱1,,AB AD AA 的夹角是相同的，则与其他棱的夹角也是相同的，同理，以,,B C D 为顶点的三棱锥的高也都可以满足，且过M 只有一条线与该条直线平行或重合，所以有四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等故选：CD【点睛】本题目难度较大，A,B 选项主要考察异面直线的特征，以及特殊情况的考虑，可以用举反例的方法排除；C,D 选项主要考察对正方体特征的把握，所有棱与面的夹角，或者与直线的夹角，等价于三条共顶点的棱与面的夹角，或者与直线的夹角，因为剩余其他棱都是与这三条棱平行的，位置关系一致，从而想到用正三棱锥解决10．AD【分析】选项A 利用线面角的定义求解；选项B 中以1A 为顶点，通过论述三棱锥11A BPC -的底面积和高不变，从而体积不变，来说明三棱锥11C A PB -的体积不变；选项C 由线面垂直来说明；选项D 中，以11A B 为底边，点P 到11A B 的距离为高，来确定111A PB △的面积存在最小值2.【详解】A 选项：当P 运动到1AD 中点时，点P 到底面的距离1PH =，且点P 在底面的投影H 为边AD 的中点，此时HB =HBP ∠为BP 与底面ABCD 所成的角，5=，A 正确；B 选项：点P 在直线1AD 上运动时，11//AD BC ，点P 到底边1BC 的距离不变，所以1PBC 的面积为定值，又1PBC 始终在平面11ABC D 上，点1A 到平面11ABC D 的距离不变，所以三棱锥11A BPC -的体积不变，即三棱锥11C A PB -的体积不变，B 错误；C 选项：当P 在直线1AD 上运动时，1B C ⊥平面11ABC D ，平面1BPC 即为平面11ABC D ，所以1B C ⊥平面1BPC ，故C 错误；D 选项：P 在直线1AD 上运动时，易得11A B AP ⊥，1PA ∴为P 到直线11A B 的距离，当P 为1AD 中点时，点P 到直线11A B 的距离最小，此时11A PB V 的面积最小为122S =⨯=，故D 正确.故选：AD.11．32711【分析】由2BD DC →→=可得1233AD AB AC →→→=+，然后两边平方处理，结合平面向量的数量积运算，解方程即可；把1233AD AB AC →→→=+和AE AC AB λ→→→=-代入4AD AE →→⋅=，化简整理后，代入已知数据，解关于λ的方程即可得解．【详解】解： 2BD DC →→=，B ∴、D 、C 三点共线，∴1233AD AB AC →→→=+，两边平方得：2221412||||||2||||cos 609933AD AB AC AB AC →→→→→=++⨯⨯︒ ，∴2371441||42||99992AB AB →→=+⨯+⨯⨯⨯，解得：37AB →=-或（舍去）． 4AD AE →→= ，12()()433AB AC AC AB λ→→→→∴+-= ，化简整理，得221224333AB AC AB AC λλ→→→→--++= ，∴1229432cos 604333λλ--⨯+⨯+⨯⨯⨯︒=，解得2711λ=．故答案为：3，2711．【点睛】本题考查平面向量的模、向量的加减法运算以及向量的数量积运算，利用到了平面向量基本定理，还采用了平方法解决模长问题，考查学生的分析能力和运算能力．12．203122,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】利用向量求得PA PC ⋅ 的表达式，由此求得PA PC ⋅ 的最大值.利用向量求得AP MN ⋅ 的表达式，由此求得AP MN ⋅ 的取值范围.【详解】2228571cos 2852ABC +-∠==⨯⨯，由于()0,ABC π∠∈，所以3ABC π∠=.设D 是AC 中点，则,,,B P G D 共线.()12BD BC BA =+ ,()2222111129582584424BD BC BA ⎛⎫=+=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.12949643944cos 12977129222ADB +--∠==⨯⨯，()()()()222494PA PC PD DA PD DC PD DA PD DA PD DA PD ⋅=++=+-=-=- .2PD 的最大值为21294BD = ，所以PA PC ⋅ 的最大值为129492044-=.()()11222AP MN AD DP CA AD DP DA ⋅=+⋅=+⋅ 249739427129AD DP DA DP ⎛⎫=-+⋅=-+⋅⋅- ⎪⎝⎭493942129DP =--⋅ ，其中13BD DP BD ≤≤ ，即12912962DP ≤≤ ，所以3939391242129DP ≤⋅≤ ，3939394122129DP -≤-⋅≤- ，49393122422129DP -≤--⋅≤- .即AP MN ⋅ 的取值范围是3122,2⎡⎤--⎢⎣⎦.故答案为：20；3122,2⎡⎤--⎢⎣⎦【点睛】要求向量数量积的最值或范围，需要利用数量积的运算将所求表达式进行化简，结合已知条件求得求得最值或范围.13．36【分析】先根据||||OA OE A t E →→→-≥得到AE OE →→⊥，进而得到OA OE →→⋅；将MN →表示为,OA OE →→，然后由模的定义求出答案.【详解】对R t ∀∈，恒有||||OA OE A t E →→→-≥，如示意图：12||,||||||AE AE AE AE →→→→≥≥可得AE OE →→⊥，所以2||36,OA OE OE →→→⋅==121233MN ON OM OA OE OA →→→→→→⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭又12,63OA OE →→=-则1263MN OA OE →→→=-==故答案为：36,14．47【分析】令AF =1，延长AD 交BC 于M ，求出AB ，BM ，DM ，再借助平面向量基本定理即可作答.【详解】因4AD AF = ，令AF =1，则有1,4BD AD ==，ABD △中，120ADB ∠=o ，由余弦定理得AB =AD 交BC 于M ，如图，由正弦定理得sin sin BD AB MAB ADB =∠∠，则有12sin 14MAB ⋅∠=，cos MAB ∠=，1sin sin(60)sin 2214AMB MAB MAB MAB ∠=∠+=∠+∠= ，BMD 中，由正弦定理得sin sin sin 5DM BM BD MBD BDM BMD ===∠∠∠，而MBD MAB ∠=∠，因此得15DM =，BM =2121520AM AD ==，15BM BC =，141555AM AB BM AB BC AB AC =+=+=+ ，20164212121AD AM AB AC ==+ ，因 AD AB AC λμ=+ ，由平面向量基本定理得164,2121λμ==，所以47λμ-=.故答案为：47【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得15PAB ∠= ，30PAC ∠= ，可得在PAC △中，30PCA ∠=o ，可得2PA PC ==，在PAB △中，由正弦定理可得PB 的值,在PBC 中，利用余弦定理求出BC ，在ABC 中，利用正弦定理即可求出外接圆的直径.【详解】由已知1801204515PAB ∠=︒-︒-︒=︒，所以451530PAC ∠=︒-︒=︒.在PAC △中，1801203030PCA ∠=︒-︒-︒=︒，故2PA PC ==.在PAB △中，由正弦定理2sin15sin15sin 45sin 45PB PA PB ︒=⇒=︒︒︒（*）而()1sin15sin 453022224︒=-⨯-⨯=︒︒，sin 452=°代入（*）式得1PB =.在PBC 中，利用余弦定理2222cos1206BC PB PC PB PC =+-⋅=o ，在ABC中，利用正弦定理2sin 45BC R ==︒则ABC的外接圆直径长为故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查三角形的内角和定理、特殊角的三角函数值、两角差的正弦函数公式、正弦定理及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查转化与化归思想、函数与方程思想，属于较难题．16．0【分析】由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= 可得112a HD HA e ⋅+ 212b HE HB e ⋅+ 3102c HF HC e ⋅= ，根据相似三角形可得HD HA HE HB = ，HF HC HE HB = ，即HD HA HE HB = HF HC = ，即可得1230ae be ce ++= 【详解】由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= 可得1231110222a HD HA e b HE HB e c HF HC e ⋅+⋅+⋅= 根据BHD AHE ∽可得HD HA HE HB = ，同理可得HF HC HE HB = ，所以HD HA HE HB = HF HC = ，所以1230ae be ce ++= 故答案为：0【点睛】本题以三角形中的结论为载体，考查了垂心的性质，涉及三角形面积公式、相似三角形的性质，属于难题.17．1,3⎛ ⎝⎭【分析】由余弦定理化简已知式，再由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换得2B A =，由锐角三角形求得,A B 的范围，待求式切化弦，通分后利用已知条件化为1sin B，由正弦函数性质可得范围．【详解】因为22b a ac -=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以22cos ac c ac B =-，2cos c a B a =+，由正弦定理得sin 2sin cos sin C A B A =+，所以sin sin()2sin cos sin cos cos sin 2sin cos cos sin sin cos A A B A B A B A B A B A B A B =+-=+-=-sin()B A =-，因为ABC 为锐角三角形，所以A B A =-，2B A =，3C A π=-，由,,0,2A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得,64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,32B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，11tan tan A B -cos cos sin cos cos sin sin()sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B B A B A B A A A B A B A B A B B--=-====，sin B ⎫∈⎪⎪⎝⎭，所以111,tan tan 3A B ⎛-∈ ⎝⎭．故答案为：⎛ ⎝⎭．【点睛】本题考查都得用正弦定理和余弦定理求三角函数的取值范围，解题关键是由正弦定理和余弦定理变形化简得出三角形中角的关系，从而再由锐角三角形得角的范围．再把待求式化为某个角的函数，从而求得取值范围．18【分析】设DE EF DF x ===，BDE θ∠=，则cos BD x θ=，在ADF 中由正弦定理得到sin AD x θ=，即可得到x =【详解】解：如图，设DE EF DF x ===，BDE θ∠=，因为20m AB =，40m AC =，2ABC π∠=所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，所以cos BD x θ=，因为3FDE ADF ADF πθθπ+∠+∠=++∠=，3AFD ADF A AFD ADF π∠+∠+∠=∠+∠+，所以AFD θ∠=，在ADF 中，由正弦定理，sin sin 3AD DFπθ=，即sin 2AD θ=所以sin 3AD x θ=，因为20m AB =，所以sin cos 203x x θθ+=，所以x =，所以x ==tan 0,,,243πππϕθϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈∈ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝，所以221sin 234DEF S x x π==，2221sin 2347sin ()DEF S x x πθϕ==+，所以DEF2．19．1【分析】先连接AC 交BD 于O ，进而通过线面平行的性质定理得出EF ∥PO ，然后在1PA 上截取PQ ，使得PQ=PA=1，进而证明QC ∥PO ，得出EF ∥QC ，进一步得到四边形EQCF 是平行四边形，得出QE CF =，结合条件的长度关系最后得到答案.【详解】由题意可知，长方体1111ABCD A B C D -的高为4，底面ABCD 是边长为1的正方形，连接AC 交BD 于O ，连接PO ，因为EF ∥平面PBD ，EF ⊂平面EACF ，平面EACF 平面PBD=PO ，所以EF ∥PO .在1PA 上截取PQ ，使得PQ=PA=1，连接QC ，易知O 为AC 的中点，所以QC ∥PO ，所以EF ∥QC ，又EQ ∥FC ，所以四边形EQCF 是平行四边形，所以QE CF =.又14,4AE CF AE A E +=+=，所以11112A E CF EQ A Q ====，所以CF =1.故答案为：1.20．(1)见详解(2)3(3)22,9a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；（2）根据题意，用AM 和AN表示AO ，结合M ，O ，N 三点共线，即可求解；（3）根据题意，结合（1）（2）用AB 和AC分别表示出OM 和ON ，进而可以表示出22OM ON +，再结合均值不等式与二次函数的最值，即可求解.(1)证明：因2AO OD =，所以23AO AD = ，又因D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+ ，所以211333AO AD AB AC ==+ .(2)因AM mAB = ，AN nAC =，0m >，0n >，所以1AB AM m = ，1AC AN n = ，又因1133AO AB AC =+ ，所以1133AO AM AN m n =+ ，又因M ，O ，N 三点共线，所以11313m n +=，即113m n+=.(3)设AM mAB = ，AN nAC =，0m >，0n >，由（1）（2）可知1133AO AB AC =+ ，113m n+=，即3m n mn +=.因31133m OM AM AO AB AC -=-=- ，31133n ON AN AO AC -=-=-，所以22223113113333m n OM ON AB AC AB --⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222196296223329m m AB n n AC m n AB AC ⎡⎤=-++-+-+-⋅⎢⎥⎣⎦ ，又因ABC 是边长为()0a a >的等边三角形，所以2222223OM ON a m n m n ⎛⎫+=+--+ ⎪⎝⎭，令t mn =，因3mn m n =+≥，即49mn ≥，当且仅当m n =时，等号成立，所以49t ≥.因此()()222222222595953333m n m n m n mn mn mn t t +--+=+-+=-+=-+，又因49t ≥，所以2229539t t -+≥，所以2222222239a OM ON am n m n ⎛⎫+=+--+≥⎪⎝⎭.21．（1）证明见解析；（2）a b +；（3）答案见解析.【分析】（1）利用平面向量基本定理以及数乘的定义进行转化，结合重心的性质即可证明；（2）利用重心的性质以及平面向量基本定理，转化求解即可；（3）利用等分点的性质结合（2）的推理过程，由向量的加法以及减法运算，写出结论即可.【详解】（1）设AB 的中点为E ，则()()22113323OG AE a b a b ==⨯+=+；（2）如图：点1A 、2A 是线段AB 的三等分点，()1113OG OA OA =+ ，()21213OG OA OA =+ ，()3213OG OA OB =+，则()()123121233OG OG OG a b OA OA ++=+++ ()()()12123333a b a b a a b a a b ⎡⎤=+++-++-=+⎢⎥⎣⎦；（3）层次一：设1A 是AB 的二等分点，则()112OA a b =+ ，()()12122233OG OG OA OA a b +=+=+ ，设1A 、2A 、3A 是线段AB 的四等分点，则()12332OA OA OA a b ++=+，或设1A 、2A 、…、1n A -是线段AB 的n 等分点，则k n k OA OA a b -+=+（1k =，2，…，1n -），层次二：设1A 、2A 、…、1n A -是线段AB 的n 等分点，()1212n k n OA OA OA a b --++⋅⋅⋅+=+，层次三：设1A 、2A 、…、1n A -是线段AB 的n 等分点，则()1213n n OG OG OG a b -+++=+．22．（1）(0,0)；（2）12；（3）6π、3π、23π、56π．【分析】利用向量线性运算的坐标表示，（1）可得3OP = 2(0,84cos 40sin 2)θθ-代入2πθ=，即可求3OP 的坐标；（2）可得3OP = 24(0,cos sin())θαθ-代入23πθ=，即可求其3OP 的最值；（3）求2OP 、3OP 的坐标，进而可得12PP u u u u r 、23P P ，结合题设有12231223||||1|cos ,|2PP P P PP P P ⎧=⎪⎨<>=⎪⎩，应用三角恒等变换及三角函数的性质，可得|sin(1|2)αθ-=、1|cos 2|2α=，由分类讨论的方式求θ的所有可能值．【详解】（1）由题意，1(20,21)OP =，∴1122[()]2[(20,21)(20cos 21sin )(cos ,sin )]OP OP a OP a θθθθ=-⋅=-+ 22(40sin 21sin 2,42cos 20sin 2)θθθθ=--，223222[()]2[(40sin 21sin 2,42cos 20sin 2)OP OP b OP b θθθθ=-⋅=---2(40sin 21sin 2)(1,0)]θθ-2(0,84cos 40sin 2)θθ=-，∴由2πθ=，则cos 0θ=、sin 20θ=，故3(0,0)OP = ；（2）由题意，16(cos ,sin )OP αα=，∴1122[()]2[cos ,sin 6cos(6()(cos ,si )n )]OP OP a OP a αααθθθ-=-⋅=-12(sin sin(),cos sin())θθαθαθ=--，3222[()]2[12(sin sin(),cos sin())OP OP b OP b θθαθαθ=-⋅=---12sin sin()(1,0)]θθα-24(0,cos sin())θαθ=-，∴由23πθ=，则1cos 2θ=-、sin θ3||6sin |12|sin()|3OP πααα=+=+ ，∴当|sin()|13πα+=时，3OP 的最大值为12；（3）112(cos ,sin 2[()]2[(cos s )cos si in )(cos ,sin )]n OP OP a OP a ααθθθααθ=-⋅=-+2(sin sin(),cos sin())θθαθαθ=--，3222[()]2[2(sin sin(),cos sin())OP OP b OP b θθαθαθ=-⋅=---2sin sin()(1,0)]θθα-4(0,cos sin())θαθ=-，∴12sin sin()cos ,2cos sin()sin (2)PP θθααθαθα---=- ，23sin()sin ,co 2()s P P αθθθ-= ，。
2021-2022学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一下学期期中数学试题(原卷版)
7.在 中，角A， ， 所对的边分别为 ， ， ，其中 ， ，若满足条件的三角形有且只有两个，则角A的取值范围为（）
A. B.
C. D.
8.如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为 ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为 ，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）
13.已知复数z满足 ，则 _____．
14.如图 是水平放置的 的直观图，其中 ， ， ，则 的周长为____________.
15.在 中，角A， ， 所对边分别为 ， ， ，面积为S，若 ，则 ____________.
16.如图正四棱柱 中， ， ，以 为球心， 为半径的球与侧面 的交线为 ，点 为交线 上一动点，则 从 运动到 时， 所形成的曲面面积为____________.
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.复数 满足 ，且 ，则下列正确的有（）
A. B.
C. D.
10.设 是 内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（）
A. B.
C. D.
（1）证明：点 在直线 上；
（2）求多面体 的体积.
21.如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2.
（1）设 ，求 值；
（2）若点 在 边上运动（包括端点），则求 的最大值.
22.如图，某城市有一条 从正西方通过市中心 后转向东偏北60°方向 的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路 ，并在 ， 上分别设置两个出口A， ， 在A的东偏北 的方向（A， 两点之间的高速路可近似看成直线段），由于A， 之间相距较远，计划在A， 之间设置一个服务区 .
湖北省鄂东南省级示范教学改革联盟学校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷含答案
高一数学试卷考试时间：2023年4月12日下午15：00－17：00试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}0,A a =，{}2,aB b =，若{}0,1,2A B = ，则b =（）A ．0B ．1C ．0或1D ．22．若复数()1a iz a i-=∈+R 是纯虚数，则z 的共轭复数z =（）A ．－1B ．－iC ．iD ．13．“2πϕ=-”是“函数()sin y x ϕ=+为偶函数”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．下列各式中，其值为12的是（）A ．22cossin 1212ππ-B ．21tan 22.521tan 22.5︒-︒C ．sin15cos15︒︒D5．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为22719232x t ⎛⎫=⨯⎪⎝⎭，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于___℃的环境中．（附：lg 20.301≈，lg 70.845≈，答案采取四舍五入精确到0.1）（）A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.76．已知向量()1,2a = ，()4,b t =-，则下列说法错误的是（）A ．若a b ∥ ，则8t =-B ．min5a b -= C ．若a b a b +=-，则2t =D ．若a 与b 的夹角为钝角，则2t <7．将函数2cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移()0m m π<<个单位长度后得到()f x 的图象．若()f x 在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则m 的取值范围为（）A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知△ABC 满足2AB AC =，4BC =，则△ABC 面积的最大值为（）A ．3B ．163C ．3D ．83二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数1z ，2z ，则下列结论中错误的是（）A ．若120z z +=，则12z z =B ．若22120z z +=，则120z z ==C ．若2212z z =，则12z z =±D ．若12z z =，则2212z z =10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R 的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当0t =，盛水筒M 位于点(03,P -，经过t 秒后运动到点(),P x y ，点P 的纵坐标满足()()sin y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0ω>，2πϕ<，则下列叙述正确的是（）A ．筒车转动的角速度rad /s 30πω=B ．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为-C ．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点0P 的水平距离为D ．盛水筒M 第一次到达最高点需要的时间是25秒11．已知函数()()22log 22f x ax ax =-+，下列说法正确的是（）A ．若()f x 定义域为R ，则()0,2a ∈B ．若()f x 值域为R ，则2a ≥C ．若()f x 最小值为0，则1a =D ．若()f x 最大值为2，则2a =-12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()47g x f x --=．若()y g x =的图象关于直线2x =对称，()24g =，则下列结论正确的是（）A ．()36g =B ．()11f -=-C ．()11f =D ．()202312025k f k ==-∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知()22log 1,011,03x x x f x x ⎧+⎪=⎨⎛⎫+<⎪ ⎪⎝⎭⎩≥，则()()1f f -的值为．14．已知向量()1,2a = ，()1,2b =-，则a 在b 方向上的投影向量坐标是．15．在△ABC 中，12sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =．16．在△OAB 中，3OA OC =，2OB OD =，AD ，BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段OA ，OB 于E ，F 两点，若OE OA λ= ，OF OB μ=（λ，0μ>），则2λμ+的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）求值：（Ⅰ）(213103531732248---⎛⎫⎛⎫++-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）2ln 3427log 9log 8lg 4lg 25e-⋅++．18．（本小题满分12分）已知函数())sin sin f x x x x =+⋅．（Ⅰ）当22k x k πππ+≤≤，k Z ∈时，将函数解析式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式；（Ⅱ）若当22x ππ-≤≤时，()4log 0f x a +<成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知2AB =，4AC =，角A 的平分线AD 与BC 交于点D 且43AD =．（Ⅰ）求AB AC ⋅的值；（Ⅱ）若___，求cos APB ∠．①0PA PB PC ++= ，②PA PB PC == ，③PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，请从这三个条件任选一个，补充到上面问题的横线中解答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．20．（本小题满分12分）设函数()32sin cos 32f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 外接圆的半径为R ，cos cos a B b A R -=．（Ⅰ）若()1f A =，求B ；（Ⅱ）求R cb-的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A ，B 之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D 测得另一座高塔底部B 和顶部C 的视角为45°（即45BDC ∠=︒），已知两座高塔的高AD 为30m ，BC 为75m ，塔底A ，B 在同一水平面上，且AD AB ⊥，BC AB ⊥．（Ⅰ）求两座高塔底部A ，B 之间的距离；（Ⅱ）为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A ，B 之间的点P 处（点P 在线段AB 上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求∠DPC 最大，问：在距离A 点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果？22．（本小题满分12分）已知函数()1ln 1x f x x x +=--．（Ⅰ）求值：()()()111232023232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论：（Ⅲ）求证()f x 有且仅有两个零点1x ，2x ，并求12x x 的值．2023年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学参考答案一、单选题（每题5分，共40分）12345678CCADADDB二、多选题（每题5分，共20分，漏选得2分，有错选的得零分）9101112BDABDBCDABD11．【详解】对于A ，若函数()f x 定义域为R ，则2220ax ax -+>恒成立，当0a =时，20>恒成立，满足题意；当0a ≠时，则有2480a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得：02a <<，综上，实数a 的取值范围为：[)0,2，故选项A 错误；对于B ，若函数()f x 值域为R ，则222ax ax -+取尽大于零的所有实数，当0a =时，2222ax ax -+=，不满足题意；当0a ≠时，则有2480a a a >⎧⎨∆=-⎩≥，解得：a ≥2，所以若()f x 值域为R ，则a ≥2，故选项B 正确；对于C ，若函数()f x 最小值为0，则222y ax ax =-+有最小值1，由二次函数的图象和性质可得：0221a a a >⎧⎨-+=⎩，解得：a ＝1，故选项C 正确；对于D ，若函数()f x 最大值为2，则222y ax ax =-+有最大值4，由二次函数的图象和性质可得：0224a a a <⎧⎨-+=⎩，解得：2a =-，故选项D 正确；故选：BCD ．12．【详解】由题意知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，∵()y g x =的图象关于直线x ＝2对称，则()()22g x g x -=+，∵()()25f x g x +-=，∴()()25f x g x -++=，∴()()f x f x -=，故()f x 为偶函数，由()()47g x f x --=，得()()227g x f x -=--+，代入()()25f x g x +-=，得()()22f x f x +--=-，令1x =-，则()()112f f -+-=-，∴()11f -=-，则()11f =-，故B 正确，C 错误；因为()()25f x g x +-=，令1x =-，则()()135f g -+=，即()36g =，A 正确；由()()f x f x -=，故()()22f x f x --=+，故由()()22f x f x +--=-得()()22f x f x ++=-，∴()()242f x f x +++=-，故()()4f x f x +=．所以()f x 是以4为周期的周期函数，由()24g =，()()25f x g x +-=，令0x =，则()()025f g +=，得()01f =，则()()401f f ==，又()()22f x f x ++=-，令0x =得()()022f f +=-，得()23f =-，又()()()33411f f f =-=-=-，故()()()()()()()()()2023150512341235051311131k f k f f f f f f f ==++++++=---+---=⎡⎤⎣⎦∑2025-，D 正确．故选：ABD ．三、填空题（每题5分，共20分）13．514．36,55⎛⎫- ⎪⎝⎭15．3365或636516．8516．【详解】如图：由A ，M ，D 三点共线，可得存在实数t ，使得()()1112OM tOA t OD tOA t OB =+-=+- ，由B ，M ，C三点共线，可得存在实数m ，使得()()1113OM mOB m OC mOB m OA =+-=+- ，所以()()113112t m t m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2515m t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2155OM OB OA =+ ，因为E ，M ，F 三点共线，所以存在实数x ，使得()()11OM xOE x OF x OA x OB λμ=+-=+-，所以()21515x x μλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12155λμ+=，所以()1214182222455555μλλμλμλμλμ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝≥，当且仅当45μ=，25λ=时，取等号．故答案为：85四、解答题（共70分，第17题10分，其余各12分）17．解：（Ⅰ）(213103531732248--⎛⎫⎛⎫++-⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1132533353122224--=+-⨯+⨯123233122222=+-⨯+⨯12331882+=+-+12=+3=（Ⅱ）原式ln 923log 3log 2lg10091210e =-⋅+=-+=．18．解：（Ⅰ）当22k x k πππ+≤≤，k Z ∈时，sin 0x ≥．∴())2sin sin cos sin f x x x x x x x=+=+1cos 212sin 22262x x x π-⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）()()44log 0log f x a f x a +<⇔<-恒成立①当02x π≤≤时，由（Ⅰ）知()1sin 262f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭∵52666x πππ--≤≤，∴当262x ππ-=即3x π=时，()max 32f x =；②当02x π-<≤时，()113sin 216222f x x π⎛⎫=----< ⎪⎝⎭≤．综上可知，()max 32f x =．依题意得43log 2a ->，解得108a <<，即为所求．19．解：（Ⅰ）法一：由角平分线定理∵AD 平分角A ，∴2CD ACDB AB ==，∴2CD DB = ，∴2133AD AB AC =+ ，∴222414999AD AB AC AB AC =++⋅ ，∴164144169999AB AC =⋅+⋅+⋅，解得4AB AC ⋅=-；法二：由ABC ABD ACDS S S ∆∆∆=+即：111sin sin sin 22222BAC BAC AB AC BAC AB AD AC AD ∠∠⋅⋅∠=⋅⋅+⋅⋅∴1cos 12022BAC BAC ∠=⇒∠=︒∴cos 4AB AC AB AC BAC ⋅=⋅⋅∠=-（Ⅱ）由1cos 2AB AC A AB AC⋅==-及0A π<<，得23A π=．如图，建立平面直角坐标系xAy，则()0,0A，(B -，()4,0C ．选①，则重心3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,3PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，2,3PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭选②，由外心P 在直线2x =上，可设()2,P y，由PA PB ==，解得由PA PB ==，解得3y=，∴2,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,3PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,3PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以46113cos 14PA PBAPB PA PB+⋅∠=== ．选③，由垂心P 在直线1x =-上，可设()1,P y -，则()1,PA y =-，(5,BC =，由PA BC ⊥，得50PA BC ⋅=+= ，∴3y =-，∴1,3P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,3PA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，0,3PB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭所以403cos 14PA PBAPB PA PB⋅∠===．20．解：（Ⅰ）由题意()()212sin cos sin cos 12sin 2222f x x x x x x x ⎛⎫=⋅+-=⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()51sin 21233212f A A A A ππππ⎛⎫=⇒-=⇒-=⇒= ⎪⎝⎭．又根据正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，有2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，由cos cos a B b A R -=，有2sin cos 2sin cos R A B R B A R -=，得()1sin 2A B -=，因为A ，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,22A B ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴64A B B ππ-=⇒=．（Ⅱ）由（1）知，6A B π=+，所以()526C A B B ππ=-+=-，因为020202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即0620250262B B B πππππ⎧<+<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，所以,63B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则512sin 22sin 12sin 1cos 2262sin 2sin 2sin 2si n B R c R R C C B B b R B B B Bπ⎛⎫-- ⎪-----⎝⎭====22sin cos sin 2sin 2sin 3B B B B B B B π-⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，,63B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有,036B ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()2sin 1,03B π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以R c b-的取值范围为()1,0-．21．解：（Ⅰ）由题知，AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，BC ＝60，AD ＝30，如图，作DE ⊥BC ，垂足为E，则四边形ABED 为矩形，所以BE ＝30，CE ＝45．设AB x =，CDE θ∠=，45BDE θ∠=︒-，则45tan x θ=，30tan 4xπθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭24530tan tan 4tan tan 11350411tan tan 4xx BDC x πθθπθθπθθ⎛⎫+-+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭∠=+-=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--⋅- ⎪⎝⎭，解得90x =，所以两座高塔底部A ，B 之间的距离为90m ．（Ⅱ）设AP ＝t （0≤t ≤60），则90BP t =-．所以30tan DPA t ∠=，75tan 90BPC t∠=-，所以()()tan tan tan DPC DPA BPC DPA BPC π∠=-∠-∠=-∠+∠23075tan tan 60904530751tan tan 902250190DPA BPC t t t DPA BPC t t t t+∠+∠+-=-=-=-∠⋅∠-+-⋅-设60t m +=（60≤m ≤150），则60t m =-，所以()()2tan 456090602250mDPC m m ∠=---+4521152112502210m m +===+-≤，当且仅当11250m m=即m =时，等号成立．又因为在锐角范围内，tan DPC ∠越大，∠DPC 越大，所以当m =时，∠DPC 取得最大值，此时60AP =-．所以在距离A处()60-米处搭建，才能达到最佳的观赏效果．22．解：（Ⅰ）当0x >，且1x ≠时，()1111111ln ln ln ln 011111x x x x f x f x x x x x x x x x++++⎛⎫+=-+-=---= ⎪---⎝⎭-∴()()()1112320230232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （Ⅱ）函数()f x 的定义域为()()0,11,D =+∞ ，()2ln 11f x x x =---在()0,1和()1,+∞上单调递增，证明如下：设1x ∀，2x D ∈，则()()()()()121121212212222ln 1ln 1ln 1111x x x f x f x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-=-----=+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭①当1201x x <<<时，112201ln 0x x x x <<⇒<，()()()12122011x x x x -<--∴()()120f x f x -<，于是()()12f x f x <，∴()f x 在()0,1上单调递增；②当121x x <<时，同理可得()()12f x f x <，∴()f x 在()1,+∞上单调递增；（Ⅲ）由于()f x 在()0,1上单调递增，且2221301e f e e -⎛⎫=< ⎪-⎝⎭，1201f e e ⎛⎫=> ⎪-⎝⎭，∴()f x 在()0,1上有且仅有一个零点1x ；由于()f x 在()1,+∞上单调递增，且()201f e e=<-，()222301e f e e -=>-，∴()f x 在()1,+∞上有且仅有一个零点2x ．因此()f x 有且仅有两个零点1x ，2x ．由（Ⅰ）知()1110f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，又∵()10f x =，∴110f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴11x 是()f x 在()1,+∞上的零点，∴212111x x x x =⇒=．。
湖北省名校协作体2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题(含答案解析)
湖北省名校协作体2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．全集U =R ，设集合{}213,2601x A xB x x x x ⎧⎫-=≤=+-<⎨⎬+⎩⎭，则()U A B ⋂=ð（）A ．32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(2,1]--C ．(2,1)--D ．∅2．在ABC 中，D 为AC 中点，连接BD ，若2,BE ED AE x AB y AC ==+，则x y +的值为（）A ．14B ．13C ．23D ．13．已知1211log 2,2,222aa a ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,4)2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．(1,4)2⎫⎪⎝⎭C ．(1,)⎫+∞⎪⎝⎭D ．(1,)2⎛+∞ ⎝⎭4．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．43-B ．43C ．34-D ．345．已知2364log ,log 2,log 43a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．c a b<<6．已知函数()tan()(0,0π)f x x ωϕωϕ=-><<与直线y a =交于,A B 两点，且线段AB 长度的最小值为π3，若将函数()f x 的图象向左平移π12个单位后恰好关于原点对称，则ϕ的最大值为（）A ．π8B ．π4C ．3π4D ．7π87．我们知道，函数()f x 的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()f x a b +-为奇函数．已知函数()2()2(2)f x x x mx n =+++的对称中心为(1,0)，且与函数3()2g x x k =+的图象有且仅有一个交点，则k 的值为（）A ．5-B ．2-C ．16D ．228．如图，假定两点P 、Q 以相同的初速度运动，分别同时从A 、C 出发，点Q 沿射线CD 作匀速运动，CQ x =；点P 沿线段AB （长度为710单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离()PB y =，那么定义x 为y 的纳皮尔对数，对应关系为7107110e xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底数，e 2.718≈），则P 从靠近A 的第一个四等分点移动到靠近B 的三等分点经过的时间约为（）（参考数据：ln 20.7,ln 3 1.1,ln 5 1.6≈≈≈）A ．0.7秒B ．0.8秒C ．1.1秒D ．1.2秒二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．“22ax bx <”是“a b <”的充分不必要条件B ．函数()2()5mf x m m x =+-是幂函数，且在(0,)+∞单减，则2m =C ．命题“21,1x x ∀>->”的否定是“21,1x x ∃≤-≤”D ．函数2()log (1)1(1)a f x x a =-+>过定点(2,1)和(0,1)10．已知函数()sin cos 2f x x x =+，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．π2x =为函数()f x 的一条对称轴D ．函数()f x 在[π,π]-上有且仅有3个零点11．函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，且(2)f x +为偶函数，当[0,1]x ∈时，()1f x x =-，则下列不等式成立的是（）A ．ππcos sin 66f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭>B ．(sin1)(cos1)f f <C ．2π2πcos sin 33f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(cos2)(sin 2)f f <12．已知正数x ，y 满足3ln 226x x y y-=+-，则方程3y x m x y xy =++有解的m 的取值可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．6三、填空题13．已知||3,||4,a b a ==r r r 与b的夹角为π3，若()ka b a -⊥ ，则k 的值为________．14．已知函数()e e x x f x -=-，关于θ的不等式(cos27)(42cos )0f f m m θθ-+-≥对任意的ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围为________．15．函数1()f x x a a x=+-+在区间[1,2]上的最大值为5，则=a ________．16．已知函数π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π5π,46x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程221()2()022m f x m f x m ⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭恰有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是________．四、解答题17．已知π11πsin(2π)cos(π)cos cos 22()9πcos(π)sin(3π)sin(π)sin 2f ααααααααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭．(1)化简()f α；(2)已知()2f α=，求sin 2α的值．18．已知函数()()()211R f x m x mx m =+--∈(1)若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数m 的取值范围；(2)若1m <-，解关于x 的不等式()0f x ≥．19．如图，有一块矩形空地ABCD ，要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH 为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知2(3),6AB a a BC =>=，且22AE AH CF CG ===，设CF x =，绿地EFGH 面积为()S x．(1)写出()S x 关于x 的函数解析式，并求出()S x 的定义域；(2)当CF 为何值时，绿地面积()S x 最大？并求出最大值．20．已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=->的图象相邻对称中心之间的距离为π2．(1)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；(2)若函数()()g x f x b =-，且()g x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求b 的取值范围及12x x +的值．21．已知函数2()log (2)21x f x a x ⎡⎤=-+-⎣⎦，函数()22x xg x t -=-⋅为偶函数．(1)求实数t 的值并写出()g x 的单调递增区间；(2)若对于1[0,)x ∀∈+∞，2x ∀∈R ，都有()()1222log 2f x g x a +≤+成立，求实数a 的取值范围．22．已知函数2()2(4)1f x x a x ax b =+--++和2()8ln |2|g x ax x x =---．(1)若1,32a b ==，画出()f x 的简图并解不等式()8f x ≥；(2)若()f x 的最小值为1b -，求a 的值；并求出满足不等式(1)(21)g k g k +<-的k 的范围．参考答案：1．B【分析】解分式不等式与一元二次不等式求得集合A 与集合B ，运用集合的补集、交集计算即可.【详解】因为(24)(1)011243300210 111x x x x x x x x x x --+≤⎧----≤⇒-≤⇒≤⇒≤-⎨+≠+++⎩或1x >-，所以{|2A x x =≤-或1}x >-，所以U {|21}A x x =-<≤-ð，又因为2326022x x x +-<⇒-<<，所以3{|2}2B x x =-<<，所以()U {|21}A B x x =-<≤- ð.故选：B.2．C【分析】以,AB AC为一组基底，利用平面向量的线性运算得到,AD ED 的表达式，进而得到1133AE AB AC =+，由此得解.【详解】因为D 为BC 边的中点，所以12AD AC = ，12BD AD AB AC AB =-=-，因为2BE ED =，所以1111133263ED BD AC AB AC AB ⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭ ，所以1111126333AE AD ED AC AC AB AB AC =-=-+=+ ，又AE x AB y AC =+ ，因此有13x y ==，则23x y +=.故选：C 3．A【分析】利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解相关不等式，即可求得a 的取值范围.【详解】对于1log 22a<，有21log log 2a a a <，当01a <<时，对数函数log a y x =在()0,∞+上为减函数，所以212a >，可得02a <<，当1a >时，对数函数log a y x =在()0,∞+上为增函数，所以212a <，可得1a >；所以对于1log 22a<，有02a <<或1a >；对于122a⎛⎫< ⎪⎝⎭，有11122a-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，所以1a >-；对于122a <，有11224a <，因为12y x =在[)0,∞+上为增函数，所以04a ≤<；综上：02a <<或14a <<，即(1,4)a ⎛∈ ⎝⎭.故选：A.4．B【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式即可求出πtan 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】因为πππ442θθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ3sin cos 445θθ⎛⎫⎛⎫+=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又π2π2π(Z)2k k k θ-<<∈，∴πππ2π2π(Z)444k k k θ-<+<+∈π4cos 45θ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，π4sin 45θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πsin π44tan π43cos 4θθθ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭∴-==- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，ππ4tan tan 443θθ⎛⎫⎛⎫∴-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.5．A【分析】根据对数函数单调性借助中间值12即可得出a b <，再利用中间值23可得b c <，综合即可得出结论.【详解】由对数函数单调性可知2241log log 32a ==<，331log 2log 2b =>=，可得a b <；又因为89<，即1233293=<，所以33233log 2log 23b ==<，即23b <；而32644636==>，即2346>，所以23662log 4log 63c ==>，即23c >，可得b c <；所以a b c <<.故选：A 6．C【分析】确定函数的最小正周期，可求得3ω=，根据图像的平移变换可得平移后函数的解析式，结合函数的对称性可求出ππ,Z 42k k ϕ=-∈，依据0πϕ<<，即可求得答案.【详解】由题意知，函数()f x 的最小正周期π3T =,则ππ3ω=,得3ω=,所以()()tan 3f x x ϕ=-，将函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到ππtan 3()tan(3)124y x x ϕϕ⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦的图象，因为该图象关于原点对称，则ππ,Z 42k k ϕ-=∈，所以ππ,Z42k k ϕ=-∈当0k >时，Z k ∈，0ϕ<，不合题意，当0k =时，π4ϕ=，又0πϕ<<，所以当1k =-时，ϕ取3π4，当2,3,k ≤-- 时，5π4ϕ≥，不合题意，故ϕ最大值为3π4，故选：C 7．D【分析】根据题意可得(1)y f x =+是奇函数，利用奇函数的定义计算出54m n =-⎧⎨=⎩，然后由函数3()2g x x k =+的图象与()f x 有且仅有一个交点可得2612160x x k +-+=有且仅有一个解，计算判别式即可【详解】由题意可得()2()2(2)f x x x mx n =+++的对称中心为(1,0)等价于(1)f x +是奇函数，因为2(1)2(3)(1)(1)y f x x x m x n ⎡⎤=+=+++++⎣⎦2(26)(2)1x x m x m n ⎡⎤=++++++⎣⎦()()()()322226216261x m x m n m x m n ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++⎣⎦⎣⎦所以6(1)02(2)60m n m ++=⎧⎨++=⎩，解得54m n =-⎧⎨=⎩，所以()()()2322254261216f x x x x x x x =+-+=--+，因为函数3()2g x x k =+的图象与()f x 有且仅有一个交点，所以3322261216x k x x x +=--+，即2612160x x k +-+=有且仅有一个解，()Δ14424160k ∴=--=，解得22=k .故选：D 8．B【分析】设点P 运动到靠近点A 的第一个四等分点时，1CQ x =，设点P 运动到靠近点B 的三等分点时，2CQ x =，计算出1x 、2x ，可求得21710x x -的值，即为所求.【详解】由题意可知，P 、Q 两点的初速度为710单位/秒，设点P 运动到靠近点A 的第一个四等分点时，1CQ x =，则1710773110104e x ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，可得71410ln3x =，设点P 运动到靠近点B 的三等分点时，2CQ x =，则2710771110103e x ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，可得7210ln 3x =，故所求时间为21749ln 3ln ln 2ln 32ln 20.81034x x -=-==-≈（秒），故选：B.9．AD【分析】根据充分条件和必要条件的定义知A 正确，验证得到B 错误，根据全称命题的否定得到C 错误，计算定点得到D 正确.【详解】对选项A ：22ax bx <，则a b <；若a b <，当0x =时，22ax bx <不成立，所以“22ax bx <”是“a b <”的充分不必要条件，故A 正确；对选项B ：2m =时，2()f x x =在(0,)+∞单增，故B 错误；对选项C ：命题“21,1x x ∀>->”的否定是“21,1x x >-≤∃”，故C 错误；对选项D ：取()211x -=，得到2x =或0x =，则函数2()log (1)1(1)a f x x a =-+>过定点(2,1)和(0,1)，故D 正确.故选：AD.10．BCD【分析】根据函数周期性的定义可判断A ；根据复合函数单调性的判断方法可判断B ；根据函数对称轴的性质可判断C ；求出函数()f x 在[π,π]-上的零点可判断D.【详解】因为x ∈R 时，(π)sin(π)cos 2(π)sin cos 2()f x x x x x f x +=+++=-+≠，即π不是函数()f x 的周期，则函数()f x 的最小正周期不是π，A 错误；函数2219()sin cos 22sin sin 12(sin 48f x x x x x x =+=-++=--+，当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，设sin ,[1,0]t x t =∈-，此时函数sin t x =为增函数，而219()2()48g t t =--+在1(,]4-∞上单调递增，而()sin cos 2f x x x =+可看作由219()2()48g t t =--+和sin ,[1,0]t x t =∈-复合而成，故函数()f x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，B 正确；因为()sin(cos 2()sin cos 2()ππ)πf x x x x f x x =+=+=---，即ππ)()2(2f x f x +=-，所以π2x =为函数()f x 的一条对称轴，C 正确；由于2()2sin sin 1f x x x =-++，令()0f x =，即22sin sin 10x x -++=，即22sin sin 10x x --=，即()()2sin 1sin 10x x +-=，可得1sin 2x =-或sin 1x =，当[π,π]x ∈-时，由1sin 2x =-可得π6x =-或5π6x =-，由sin 1x =，可得π2x =，故函数()f x 在[π,π]x ∈-上有且仅有3个零点，D 正确，故选：BCD 11．BC【分析】由所给条件推出函数()f x 的周期和对称轴，根据()f x 在[0,1]的单调性，将选项中数据转化到区间[0,1]中，根据单调性判断选项.【详解】(1)f x + 为奇函数，(1)(1)f x f x ∴-=-+，所以函数()f x 关于()1,0对称，(2)f x +为偶函数，则(2)(2)f x f x -+=+，所以()f x 关于2x =对称，又函数()f x 关于()1,0对称，所以()())2(2f x f x f x ==+--，即有()4()f x f x +=，所以()f x 周期为4，()()()()()()(4)2222f x f x f x f x f x +=++-==+=-，所以()f x 为偶函数，当[0,1]x ∈时，()1f x x =-，在[0,1]上单调递减，A 选项：ππ1cossin 066>>>，所以ππcos sin 66f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；B 选项：1sin1cos10>>>，所以(sin1)(cos1)f f <，故B 正确；C 选项：12πcos 3122f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2πsin 32f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，10122<<<，所以12f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭⎝⎭，即2π2πcos sin 33f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；D 选项：()()π(cos 2)(cos 2)cos π2sin 22f f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()(sin 2)sin π2f f =-，ππ02<π222<--<，则()π0sin 2sin π212⎛⎫<-<-< ⎪⎝⎭，所以πsin 22f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()sin π2f -，即(cos 2)(sin 2)f f >，故D 错误；故选：BC 12．BCD【分析】根据换元法和均值不等式即可求解.【详解】由对数函数定义域知30x ->且0x >，令3xt y-=，所以3x ty -=，所以3ln226xx y y-=+-可转化为ln 2(1)t y t =-，作出函数()ln n f t t ==与函数()()21n g t y t ==-，两个函数图像的公共交点是(1,0)，所以1t =，所以3x y +=，所以222332333*********y x y x xy x y xy xy xy xy x y +++++=≥=+≥+=+=+⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当32x y ==时等号成立，所以3y x x y xy ++的最小值为103，方程3y x m x y xy =++有解的m 的范围是10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：BCD.13．23【分析】由()ka b a -⊥ ，得到()960ka b a k -⋅=-=，再求出k 的值.【详解】()ka b a -⊥，则2π()934cos 9603ka b a ka a b k k -⋅=-⋅=-⨯⨯=-= ，则23k =.故答案为：23.14．[3,)+∞【分析】根据()f x 的奇偶性以及单调性，将问题转化成对任意的ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，cos 2742cos m θθ-≤-+恒成立，结合二倍角公式以及三角函数的值域即可最值进行求解.【详解】由于()()e e x xx f f x --=-=-，所以()f x 为奇函数，且由e x y =，e x y -=-单调递增，故()e e x x f x -=-在定义域内单调递增，故(cos 27)(42cos )0(cos 27)(42cos )f f m m f f m m θθθθ-+-≥⇒-≥-+，因此()cos 2742cos m θθ-≥-+，由于ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以[]cos 0,1θ∈，因此2cos 40θ-<，故对任意的ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，cos 2742cos m θθ-≤-+恒成立，由余弦的二倍角公式可得2cos 272cos 8cos 242cos 42cos θθθθθ--==+-+-+，所以cos 2m θ≥+恒成立即可，故()max cos 23m m θ≥+⇒≥，故答案为：[3,)+∞15．72#3.5【分析】设()1g x x a x=+-，根据对勾函数的性质，求得()g x 最小值为2a -，最大值为52a -，结合绝对值的定义和题设条件，分三种情况讨论，求得函数()g x 的最大值，列出方程，即可求解.【详解】设()1g x x a x=+-，根据对勾函数的性质，可得函数()g x 在区间[1,2]为单调递增函数，当1x =时，函数()g x 取得最小值，最小值为2a -，当2x =时，函数()g x 取得最大值，最大值为52a -，因为1()f x x a a x=+-+在区间[1,2]上的最大值为5，所以当20a ->，即2a <时，可得函数()max 5()252f x f a a ==-+=，即5()52a a -+=，此时方程无解；当20a -≤且502a -≥，即522a ≤≤时，函数max ()5f x a ==，不符合题意，舍去；当502a -<，即52a >时，可得函数()max ()125f x f a a ==-+=，即25a a -+=，解得72a =，综上可得，实数a 的值为72.故答案为：72#3.5.16．1,122⎡⎫⎛⎫-⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭ 【分析】将原方程可化为1[()][()()]02f x m f x m --+=，得到1()f x m =，21()2f x m =+，求得函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值域，作出其图象，利用数形结合法求解.【详解】由221()2()022m f x m f x m ⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭可化为1[()][()()]02f x m f x m --+=，解得1()f x m =，21()2f x m =+，因为π5π,46x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ4π2,363x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又ππ1sin 462f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，5π4πsin 632f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象如图所示：方程221()2()022m f x m f x m ⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭恰有两个不同的实根，等价于1()2f x m +=和()f x m =各有一个实数解（且不相同）或1()2f x m +=有两个不同的实数解且()f x m =无实数解或者()f x m =有两个不同的实数解且1()2f x m +=无实数解；①当m 1≥时，则13m 22+≥，1()2f x m +=无实数解，()f x m =最多一个实数解，不符合题意；②当112m <<时，则13122m <+<，()f x m =有两个不同的实数解且1()2f x m +=无实数解，符合题意；③当12m =时，则112m +=，()f x m =有两个不同的实数解且1()2f x m +=有一个实数解，故此时共三个不同的实数解，不符合题意；④当102m ≤<时，则11122m ≤+<，()12f x m =+有两个不同的实数解且()f x m =有一个实数解，故此时共三个不同的实数解，不符合题意；⑤当02m -≤<时，则1112222m -+<+<，1()2f x m +=和()f x m =各有一个实数解（且不相同），符合题意；⑥当2m <-时，则11222m +<-，1()2f x m +=最多一个实数解，()f x m =无实数解，不符合题意；综上，m 的取值范围为1,0,122⎡⎫⎛⎫⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭ .故答案为：1,122⎡⎫⎛⎫-⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭【点睛】关键点睛：这道题的关键之处在于将方程转化成1()2f x m +=和()f x m =的实数解的个数情况，通过数形结合对m 进行讨论，情况较多，要做到不重不漏17．(1)()tan f αα=-；(2)45-.【分析】（1）利用诱导公式化简()f α即可；（2）由题可得tan 2α=-，然后利用二倍角正弦结合弦化切的思想即得.【详解】（1）π11πsin(2π)cos(π)cos cos 22()9πcos(π)sin(3π)sin(π)sin 2f ααααααααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭()()()()()2sin cos sin sin tan cos sin cos αααααααα----==--；（2）()tan 2f αα=-= ，tan 2α∴=-.所以2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos .sin cos tan 15ααααααααα====-++18．(1)10m -≤≤(2)答案见解析【分析】（1）1m =-时结合一次函数的单调性可得结果；1m ≠-由二次函数的开口方向、对称轴和单调性列出不等式组，可求出m 的取值范围；（2）因式分解后，分2m =-，21m -<<-和2m <-三种情况讨论，求出不等式组的解集即可.【详解】（1）()f x 在(0,)+∞单增，若10m +=，则1,()1m f x x =-=-，在(0,)+∞单增，所以1m =-；若1,()m f x ≠-在(0,)+∞单增，则1002(1)m m m +>⎧⎪-⎨≤⎪-+⎩，解得到，10m -<≤，综上所述：10m -≤≤；（2）若1,()0m f x <-≥，则2(1)10m x mx +--≥，即((1)1)(1)0m x x ++-≥，所以1(1)01x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭，若11+=-m 即2m =-，不等式的解集为{1}；若11m +>-即21m -<<-，此时111m ->+，不等式的解集为11,1m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦；若11m +<-即2m <-，此时111m -<+，不等式的解集为1,11m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦；综上，当2m =-时，不等式的解集是{1}；当21m -<<-时，不等式的解集是11,1m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦；当2m <-时，不等式的解集是1,11m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．19．(1)()S x 29(39)2x a x =-++，定义域为(0,3]；(2)答案见解析.【分析】（1）求得22AEH S x = ，212CGF S x =，()(6)BEF S a x x =--△，(2)(3)DGH S a x x =--△，利用()CGH AEH DGH BEF ABCD S x S S S S S =---- 矩形化简求解即可；（2）根据二次函数的性质分类讨论，结合函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为22AE AH CF CG ===，CF x =，所以22AEH S x = ，212CGF S x =，1(22)(6)()(6)2BEF S a x x a x x =--=--△，1(2)(62)(2)(3)2DGH S a x x a x x =--=--△，所以()CGF AEH DGH BEF ABCD S x S S S S S =---- 矩形22122(3)(2)()(6)2x a x x a x a x x =--------29(39)2x a x =-++，由题意060206260222x x a x a x a<≤⎧⎪<≤⎪⎨≤-≤⎪⎪≤-≤⎩，解得03x <≤，所以()S x 的定义域为(0,3]；（2）因为()S x 的对称轴为323a x +=>，若3233a +<≤，则36,()a S x <≤在30,3a +⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在3,33a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以2max 3(3)()32a a S x S ++⎛⎫==⎪⎝⎭；若333a +>，则6,()a S x >在(0,3]单调递增，所以max 27()(3)92S x S a ==-；综上，当36a <≤时，33a CF +=，2max 3(3)()32a a S x S ++⎛⎫==⎪⎝⎭；当6a >时，3CF =，max 27()(3)92S x S a ==-.20．(1)π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)31,00,22b ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122π3x x +=或π3-【分析】(1)利用三角恒等变化得π1()sin 262f x x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由，图象相邻对称中心之间的距离为π2，可求得1ω=，即可得π1()sin 2,62f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭再根据正弦函数的单调性求解即可；(2)由题意可得π1sin 262x b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭在ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上有两个零点，设π26t x =-，则7π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,根据正弦函数的图象及对称性即可求得答案.【详解】（1）解：因为1cos 2π1()2sin 22262x f x x x ωωω+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，由题意可以得()f x 的最小正周期为π2π2T =⨯=，即2ππ2ω=，所以1ω=，π1()sin 2,62f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2666x -≤-≤，由πππ2662x -≤-≤，得到π03x ≤≤，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单增区间为π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）解：由()0g x =，可得()f x b =，即π1sin 262x b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，设π26t x =-，因为ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以7π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎣⎦,结合sin y t =的图象，又因为7π5π1sin()sin 662-==上所以1111,,1222b ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故31,00,22b ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦函数的对称性可得12πt t +=或12πt t +=-，当12πt t +=时，则有12ππ22π66x x -+-=，所以122π3x x +=；当12πt t +=-时，则有12ππ22π66x x -+-=-，12π3x x +=-；综上所述：31,00,22b ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；122π3x x +=或π3-.21．(1)1t =-，[0,)+∞(2)[1,2]【分析】（1）已知函数()22x x g x t -=-⋅为偶函数，利用()()g x g x =-求出参数t ，并根据指数函数的单调性即可分析出()g x 单调区间；（2）已知1[0,)x ∀∈+∞，2x ∀∈R ，()()1222log 2f x g x a +≤+成立，则()()122min 2log 2f x g x a +≤+⎡⎤⎣⎦，求出()22min ()log 22log 2g x a a +=+，可得[0,)x ∀∈+∞，22log (2)2122log 2xa x a ⎡⎤-+-+≤+⎣⎦恒成立，根据对数函数的单调性得21332xa ≥+⨯恒成立，求出max211332x ⎛⎫+= ⎪⨯⎝⎭，再根据对数函数的定义域，综合可求实数a 的取值范围.【详解】（1）∵()g x 为偶函数，∴()()g x g x =-恒成立，∴2222x x x x t t ---⋅=-⋅恒成立，即()(1)220x xt -+-=，∴1t =-∴()22x x g x -=+．()g x 的单调递增区间为[0,)+∞（2）2222()log 222log 2log 22log 2x x g x a a a a -+=++≥+=+，当且仅当122xx=即0x =时等号成立，∴()22min ()log 22log 2g x a a +=+由题意可得：2[0,),()22log 2x f x a ∀∈+∞+≤+恒成立，即22[0,),log (2)2122log 2xx a x a ⎡⎤∀∈+∞-+-+≤+⎣⎦恒成立，由2log 20a >有意义，得0a >，由()2log (2)21xa -+有意义，得(2)210x a -+>在[0,)+∞恒成立，即122x a <+在[0,)+∞上恒成立，设1()22xh x =+，易知()h x 在[0,)+∞上的值域为(2,3]，故2a ≤，所以02a <≤．又22[0,),log (2)2122log 2xx a x a ⎡⎤∀∈+∞-+-+≤+⎣⎦恒成立，即()22[0,)log (2)21log 22x xx a a ⎡⎤∀∈+∞-+≤⋅⎣⎦，恒成立，即(2)2122x x a a -+≤⋅恒成立，即21332xa ≥+⨯恒成立，0max 21211332332x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭，∴1a ≥．综上，实数a 的取值范围为[1,2]22．(1)图象见解析；{3x x ≤-或}1x ≥(2)12a =，423k k ⎧<<⎨⎩且32k ⎫≠⎬⎭【分析】（1）根据题意画出函数()f x 的图像，结合图像即可得到不等式的解集；（2）根据题意，结合韦达定理即可得到两根范围，得到函数()f x 最小值之后，根据函数单调性列出不等式，即可得到结果.【详解】（1）当1,32a b ==时，()2221242,(,2][,)74213122234,(2,)4x x x x f x x x x x x ∞∞⎧++∈--⋃+⎪⎪=+-++=⎨⎪--+∈-⎪⎩341848f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，由图知，()8f x ≥的解集为:{3x x ≤-或}1x ≥.（2）2()2(4)1h x x a x =+--的0∆>，设22(4)10x a x +--=两根为1x ，2x ，且12x x <，由12102x x =-<，故120x x <<．当1x x ≤或2x x ≥时2()241f x x x b =++-，此时有2(0)1()f b f x =-<，故()min 1()1f x f x b ==-代入得2112411x x b b ++-=-，即10x =（舍）或12x =-；当12x x x <<时2()2(24)1f x x a x b =-+-++，若12x <-时()f x 最小值大于1b -；若12x >-时()f x 最小值小于1b -；综上，由2112(4)10x a x +--=得12a =，又2()4ln |2|g x x x x =---关于2x =对称，且在(2,)+∞上单调递减，∴12212123k k k k ⎧+≠⎪-≠⎨⎪->-⎩解得:423k k ⎧<<⎨⎩且32k ⎫≠⎬⎭。
湖北省仙桃市高一数学下学期期中试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
word 1 / 13 2016-2017学年某某省仙桃市汉江中学高一（下）期中数学试卷 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．412°角的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是（ ） A．1 B．4 C．1或4 D．π 3．已知α∈（0，π），且，则tanα=（ ） A． B． C． D． 4．α是第四象限角，cosα=，则sinα=（ ） A． B． C． D． 5．tan60°=（ ） A． B． C． D． 6．要得到函数y=cos2x的图象，只需将函数的图象（ ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 7．设函数f（x）=sin（2x﹣）的图象为C，下面结论中正确的是（ ） A．函数f（x）的最小正周期是2π B．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数 C．图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到 D．图象C关于点（，0）对称 8．已知A为△ABC的一个内角，且，则△ABC的形状是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 9．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量的方向相反的单位向量是（ ） A．（﹣，） B．（﹣，） C．（，﹣） D．（，﹣） word 2 / 13 10．下列各式不能化简为的是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数y=2cosx的定义域为[，]，值域为[a，b]，则b﹣a的值是（ ） A．2 B．3 C． +2 D． 12．函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（ ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于． 14．函数的单调递增区间为． 15．将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为． 16．函数y=3cos（2x+）的最小正周期为．
2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期5月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．设复数满足，则（ ）z ()1i 2z +=z =A B ．1C D ．2【答案】C【分析】由复数相等及除法运算求复数，根据共轭复数概念及模的求法求结果即可.【详解】由题设，则.22(1i)1i1i (1i)(1i)z -===-++-1i z =+故选：C2．最接近（ ）sin2023A ．B ．C D 【答案】B【分析】先利用诱导公式得到，从而利用特殊角的三角函数值，判断出答案.()sin 137sin2023=-︒︒【详解】，()()0s sin 216137si in2023n 137=︒-︒=-︒︒其中为第三象限角，且当为第三象限角时，，137-︒αsin 0α<其中，又()sin 135sin 45-︒=-︒=()sin 120sin 60-︒=-︒=而较，离更近，135-︒120-︒137-︒综上，最接近sin2023故选：B3．下列说法正确的是（ ）A ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B ．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段C ．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台【答案】B【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断.【详解】对于A ：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A 错误；对于B ：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B 正确；对于C ：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C 错误；对于D ：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D 错误；故选：B.4．已知都是锐角，且，则（ ）a β、cos a =cos β=a β+=A ．B ．4π34πC ．或D ．或4π34π3π23π【答案】B【分析】先求，，然后求的值，根据为锐角求出的值．sin a sin βcos()a β+,a βa β+【详解】因为都是锐角，且a β、cos a =cos β=所以sin sin a βcos()cos cos sin sin a a a βββ∴+=-==又()0,a βπ+∈34a β∴+=π故选B.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物MN ，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部AB m C B C N A 的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）M A MA ．64B ．74C ．52D ．91m m m m【答案】B【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从AC 30AMC ∠=︒45MAC ∠=︒ACM △MC =而得到的长度.MN 【详解】因为中，⊥，m ，，Rt ABC △AB BC 37AB =30ACB ∠=︒所以m ，274AC AB ==因为中，⊥，，Rt MNC △NC MN 45MCN ∠=︒所以，sin 45MN MC =⋅︒=由题意得：，45,1804530105MAC MCA ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒故，1801054530AMC ∠=︒-︒-︒=︒在中，由正弦定理得：，ACM △sin sin MC ACMAC AMC =∠∠即，74sin 45sin 30MC =︒︒故，74sin 45sin 30MC ︒==︒故m74MN ==故选：B6．已知锐角，，则边上的高的取值范围为（ ）ABC AB =π3C =AB A ．B ．C ．D ．(]0,3()0,3(]2,3()2,3【答案】C【分析】设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求AB h ππ62A <<π2sin 216h A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭值域即可.【详解】因为为锐角三角形，，设边上的高为，ABC π3C =AB h所以，解得π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62A <<由正弦定理可得，，4sin sin sin a b c A B C ====所以，，因为，4sin a A =4sin b B =11πsin223S ch ab ==所以2π14sin sin 4sin sin 32h A A A AA ⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭2πcos 2sin 21cos 22sin 216A A A A A A ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭因为，所以，所以，ππ62A <<ππ5π2666A <-<1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭所以，所以边上的高的取值范围为.π22sin 2136A ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭AB (2,3]故选：C.7．已知向量，，满足，，，则的取值范围是（ ）a b c 1a = 2a b += ||3a c -= b c ⋅ A ．B ．C ．D ．[]12,6-[]12,4-[]10,6-[]10,4-【答案】A【分析】利用向量三角形不等式，求出的范围，进而求出的范围，再利用数量积的性||,||b c||||b c 质求解作答.【详解】，，而，即，解得，1a = 2a b += ||||||||||||b a a b b a -≤+≤+ |||1|2||1b b -≤≤+ 1||3b ≤≤ ，而，即，解得||3a c -=||||||||||||c a a c c a -≤-≤+ |||1|3||1c c -≤≤+ 2||4c ≤≤ 在直角坐标平面内，作，令，则，1,OA a OC a==- ,OB b OC c ==1||||2C B a b =+= ，||||3AC c a =-=于是点在以为圆心，2为半径的圆上，点在以为圆心，3为半径的圆上，如图，B 1C C A观察图形知，，当且仅当点都在直线上，且方向相反，||||||12b c b c ⋅≤≤ ,B C OA ,b c即点B 与D 重合，点C 与E 重合时取等号，即，解得，||||12b c b c -⋅≤≤ 12b c ⋅≥- 当且仅当点都在直线上，且方向相同，,B C OA ,b c若点B 与A 重合，点C 与E 重合时，，若点B 与D 重合，点C 与F 重合时，，因4b c ⋅= 6b c ⋅=此，6b c ⋅≤所以的取值范围是.b c ⋅126b c -≤⋅≤ 故选：A8．在中，有，则的最大值是（ ）ABC ()()2AC AB BC CB CA AB⋅-=⋅- tan CA B C D 【答案】D【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出a b c 的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，cos C C tan C cos C sin C 即可求出的最大值．tan C 【详解】因为，()()2AC AB BC CB CA AB⋅-=⋅- 所以，22AC AB AC BC CB CA CB AB ⋅-⋅=⋅-⋅ 又，，AC BC CA CB ⋅=⋅ CB AB BC BA ⋅=⋅ 所以23AC AB BC BA CB CA ⋅+⋅=⋅ 又，，，222cos 2b c a AB AC bc A +-⋅== 222cos 2a c b BA BC ab B +-⋅== 222cos 2a b c CA CB ab C +-⋅==所以，2222222223()()22b c a a b c a c b +-+-++-=即，22223a b c +=，22222221(2)3cos 2236a b a b a b c a b C ab ab b a +-++-∴===+≥当且仅当即时取等号，36a b b a=b 显然为锐角，要使取最大值，则，此时C tan C cos C sinC =所以，即．sin tan cos C C C===tan C 故选：D ．二、多选题9．若复数（i 为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）20231i z =+A B ．z 的虚部为-1C ．为纯虚数D ．2z 1iz =-【答案】ABC【分析】由的幂运算的周期性可求得；根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定i 1i z =-义依次判断各个选项即可.【详解】，()5052023431i 1i i 1iz =+=+⋅=-对于A ，A 正确；对于B ，由虚部定义知：的虚部为，B 正确；z 1-对于C ，为纯虚数，C 正确；()221i 2iz =-=-对于D ，由共轭复数定义知：，D 错误.1i z =+故选：ABC.10．在正方体中，M 为AB 中点，N 为BC 中点，P 为线段上一动点（不含C ）过1AC 1CC M ，N ，P 的正方体的截面记为，则下列判断正确的是（ ）αA ．当P 为中点时，截面为六边形1CC αB ．当时，截面为五边形112CP CC <αC ．当截面为四边形时，它一定是等腰梯形αD ．设中点为Q ，三棱锥的体积为定值1DD Q PMN -【答案】AC【分析】延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交MN AD M 'CD N 'N P '11C D T 11A D S M S '于，连接，结合图形即可判断A ；延长交于，交于，连接1AA P '11,AC A C MN AD M 'CD N '交于，连接交于，此时截面为五边形，求出即可判断B ；当截面为1N D '1CC P 1M D '1AA P 'α1CPCC α四边形时，点与点重合，判断四边形的形状即可判断C.设为到平面的距离，P 1C 11A MNC h P QMN 三棱锥的体积：，不为定值，可判断D.Q PMN -13Q PMN P QMN QMN V V S h--==⋅ h 【详解】对A ，如下图所示，延长交于，交于，延长交于，取MN AD M 'CD N 'N P '11C DT 的中点，连接交于，连接，11A D S M S '1AA P '11,AC A C 因为M 为AB 中点，N 为BC 中点，所以，//MN AC 同理，又因为，所以，11//ST A C 11//AC A C //ST MN 同理，所以共面，//,//SP PN MP PT '',,,,,S T P N M P '此时六边形为截面，STPNMP 'α所以截面为六边形，故A 正确；α对B ，如下图所示，延长交于，交于，连接交于，MN AD M 'CD N '1N D '1CC P 连接交于，此时截面为五边形，1M D '1AA P 'α因为，所以，11CD C D ∕∕11CPN C PD ' ∽所以，即，11112CP CN C P C D '==113CP CC =所以当时，截面为五边形，故B错误；113CP CC ≤α对C ，当截面为四边形时，点与点重合，如图，αP 1C 由A 得，，所以四边形即为截面，11//MN A C 11A MNC α设正方体的棱长为1，则，1NC =1MA 11NC MA =所以四边形是等腰梯形，故C 正确.11A MNC 对D ，设为到平面的距离，h P QMN 延长，交于一点，连接与交于一点，MN DC E QE 1CC F 所以直线与平面相交，所以直线与平面不平行，1CC QMN 1CC QMN 三棱锥的体积：，Q PMN -13Q PMN P QMN QMN V V S h--==⋅ 因为为定值，P 为线段上一动点，所以到平面的距离不为定值，QMNS 1CC P QMN 所以三棱锥的体积为不为定值，故D 不正确.Q PMN -故选：AC.11．设、、是平面上任意三点，定义向量的运算：，其中由向量O A B ()det ,OA OB OA OB'=⋅ OA ' 以点为旋转中心逆时针旋转直角得到（若为零向量，规定也是零向量）.对平面向量、OA O OA OA 'a 、，下列说法正确的是（ ）b cA ．()()det ,det ,a b b a= B ．对任意，R λ∈()()det ,det ,a b b a bλ+=C ．若、为不共线向量，满足，则，a b(),yb c x a y x +=∈R ()()det ,det ,a c x a b=()()det ,det ,by c b a =D ．()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=【答案】BD【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A 选项；利用A 选项中的结论结合题中定义可判断B 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C 选项；对、是否共线进行分类讨论，结合a b题中定义可判断D 选项.【详解】设向量、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，a b()12,a a a = ()12,b b b = 设，则，()cos ,sin a r r θθ=()()21ππcos ,sin sin ,cos ,22a r r r r a a θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 同理可得，()21,b b b '=-所以，，()()()21122112det ,,,a b a b a a b b a b a b '=⋅=-⋅=-+，则，A 错；()()()21121221det ,,,b a b a b b a a a b a b '=⋅=-⋅=-+()()det ,det ,a b b a≠ 对任意的，由A 选项可知，，R λ∈0b b '⋅= 当、不共线时，，a b ()1221det ,0a b a b a b =-≠，B 对；()()()()()det ,det ,det ,det ,a b b b a b b a b b a b a a bλλλ''+=-+=-⋅+=-⋅=-=因为，所以，，xa yb c +=c b xa b yb b xa b ''''⋅=⋅+⋅=⋅ 所以，，同理可得，C 错；()()()()det ,det ,det,det ,b c c b c b x a b b a a b '⋅==='⋅()()()()det ,det ,det ,det ,c a a c y b a a b==当、不共线时，由C 选项可知，，a b ()()()()det ,det ,det ,det ,c b a c c a b a b a b =+所以，，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c c b a a c b b c a c a b=+=-- 所以，.()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=任取两个向量、，对任意的实数，，m n p ()()()det ,det ,m pn m pn p m n p m n''=⋅=⋅= 当、共线时，设存在使得，且，a b k ∈R b ka = ()det ,0a b = 所以，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c b c a c a b b c ka c kb b++=⋅+，()()()()det ,det ,det ,det ,0k b c a k c b a k b c a k b c a =+=-=综上所述，，D 对.()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义，结合平面向量的线性运算与数量积运算逐项判断即可.12．假设，且．当时，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射(0,π)α∈π2α≠xoy α∠=xoy α-α-坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：分别为x 轴，y 轴正方向上的单位向量，若21,e e ，则记为，那么下列说法中正确的是（ ）12OP xe ye =+ (,)OP x y = A．设，则(,)a m n = ||a = B ．设，若//，则(,),(,)a m n b s t == a bmt ns -=C ．设，若，则(,),(,)a m n b s t == a b ⊥ ()sin 0ms nt mt ns α+++=D ．设，若与的夹角为，则(1,2),(2,1)a b =-=- ab π3π3α=【答案】ABD【分析】根据题意结合平面向量的相关运算逐项分析判断.【详解】由题意可得：，21211,11cos cos e e e e αα==⋅=⨯⨯=对于A ：若，则，(,)a m n =12a me ne =+ 可得，()2222222212112222cos a me ne m e mne e n e m n mn α=+=+⋅+=++所以，故A 正确；||a = 对于B ：∵，则，(,),(,)a m n b s t ==1212,a me ne b se te =+=+ 若//，则有：a b 当或时，则或，可得成立；0a = 0b =0m n ==0s t ==0mt ns -=当且时，则存在唯一实数，使得，0a ≠ 0b ≠λa b λ= 则，可得，整理得；()121212me ne se te se te λλλ+=+=+ m s n t λλ=⎧⎨=⎩0mt ns -=综上所述：若//，则，故B 正确；a b 0mt ns -=对于C ：∵，则，(,),(,)a m n b s t ==1212,a me ne b se te =+=+ 可得，()()()()2212121122cos me ne se te mse m a b t ns e e nte ms nt mt ns α+⋅+=++⋅+=+++⋅= 若，则，故C 错误；a b ⊥ ()cos 0ms nt ns a b mt α+++==⋅对于D ：∵，(1,2),(2,1)a b =-=-由选项A 可得：，|||a b ====由选项C 可得：，()()()()12211122cos 45cos a b αα-⨯-+⨯+-⨯+⨯-=-⎡⎤⎣⎦⋅=若与的夹角为，则，a bπ3πcos 3a b a b⋅=⋅即，解得，145cos 254cos αα-=-1cos 2α=∵，则，故D 正确；(0,π)α∈π3α=故选：ABD.三、填空题13．已知，则________.5π2tan 43θ⎛⎫+=-⎪⎝⎭tan θ=【答案】5-【分析】根据两角和的正切公式可求出结果.【详解】因为，5πtan tan5π4tan()5π41tan tan 4θθθ++=-⋅tan 121tan 3θθ+==--所以.tan 5θ=-故答案为：.5-14．已知，为非零不共线向量，向量与共线，则______.a b4a kb - ka b -+ k =【答案】2±【分析】依题意，可以作为平面内的一组基，则，根据平面向量基本定理a b ()4a a bkb k λ=-+-得到方程组，解得即可.【详解】因为，为非零不共线向量,所以，可以作为平面内的一组基底,a b a b又向量与共线，所以，即，4a kb - ka b -+ ()4a a b kb k λ=-+- 4k b a kb a λλ-=+- 所以，解得.4k k λλ=-⎧⎨-=⎩2k =±故答案为：2±15．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好116AA =11AA B B过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________．1111,,,AC BC A C B C ABC 【答案】12【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.【详解】设的面积为a ，底面ABC 水平放置时，液面高为h ，ABC 侧面水平放置时，水的体积为11AA B B133161244ABC V S AA a a =⋅=⋅=当底面ABC 水平放置时，水的体积为，于是，解得，ABC V S h ah == 12ah a =12h =所以当底面水平放置时，液面高为12.ABC 故答案为：1216．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，ABC 2b =，点P 是的重心，且，则___________.(()cos 24sin 1A B C ++=ABCAP ==a 【答案】【分析】根据三角恒等变换可得或，利用重心的性质、模的性质及数量积得运算，可3A π=23A π=建立关于的方程，求解后利用余弦定理求a 即可.c 【详解】，(()cos 24sin 1A B C +++=(212sin 4sin 1A A ∴-+=整理得，(22sin 4sin 0A A -++=解得（舍去），sin A =sin 2A =0A π<< 或.3A π∴=23A π=又∵点P 是的重心，ABC 1,3AP AB AC →→→⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭22212||||cos 9AP AB AC AB AC A →→→⎛⎫∴=++⋅ ⎪⎝⎭，||2AP b == 整理得.24cos 240c c A +-=当时，，得，3A π=22240c c +-=4c =此时，214162242a =+-⨯⨯⨯解得；a =当时，，得，23A π=22240c c --=6c =此时，214362262a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得.a =故答案为：【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，向量的数量积运算法则、性质，余弦定理，属于难题.四、解答题17．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：(1)求下部四棱台的侧面积；(2)求奖杯的体积．（尺寸如图，单位：，取3）cm π【答案】(1)2120cm(2)31344cm【分析】（1）根据题意直接运算求解即可；（2）根据相关体积公式分析运算.【详解】（1．5cm ==故．()2(816)522120cm 2S +⨯=+⨯=侧（2）V V V V=++球直四棱柱四棱台3441π8420[12816243323⎛⎫=+⨯⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭.3326406721344cm ≈++=18．已知棱长为1的正方体中．1111ABCD A B C D -（1）证明：平面；1//D A 1C BD （2）求三棱锥的体积．111B A B C -【答案】（1）证明见解析；（2）．16【分析】（1）证明，再由线面平行的判定定理证明；11//AD BC （2）根据三棱锥体积公式计算即可.【详解】证明：（1）在棱长为1的正方体中，，且 1111ABCD A B C D -11//B C A D ∴11AB C D =所以四边形为平行四边形11ABC D 11//D A BC ∴又平面，平面，1BC ⊂1C BD 1AD ⊄1C BD 平面；1//D A ∴1C BD （2）由正方体易知，三棱锥的高为，111B A B C -1BB 所以111111111111113326A B C B A B C V S BB -==⨯⨯⨯⨯=⨯=．19．已知的内角，A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且．ABC 3()3sin 2sin sin sin a b C Bc A B --=+(1)求；cos A(2)若的面积为为内角A 的角平分线，交边于点D ，求线段长的最大值．ABC AD BC AD【答案】(1)13(2)2【分析】（1）利用正弦定理角化边以及余弦定理求解；（2）根据面积公式求得，再根据等面积得6bc =11sin sin 22ABC S b AD CAD c AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△AD =解.【详解】（1）由正弦定理，得，即，3()32a b c ba b c --=+22223c b a bc +-=故.2221cos 23232bc c b a A bc bc +-===（2）由（1）知，sin A =因为的面积为，ABC 1sin 2bc A =6bc =又因为，1,cos 23A BAD CAD A ∠=∠==所以221cos1sin sin ,sin sin 23A BAD CAD BAD CAD -∠=∠==∠=∠=于是11sin sin 22ABC S b AD CADc AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△那么．1122AD b c⎛⋅⋅+⋅= ⎝所以（当且仅当时等号成立）2AD =≤=b c ==故的最大值为2．AD 20．设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）.ABC 1P 2P 3P BC(1)求的值；112AB AP AP AP ⋅+⋅ (2)为线段上一点，若，求实数的值；Q 1AP 19AQ mAB AC=+m (3)在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值.P BC PA PC ⋅【答案】(1)26(2)13m =(3)在处时，取得最小值.P 3P PA PC ⋅1-【分析】（1）根据向量的线性运算和向量数量积的定义；（2）根据平面向量基本定理即可求解；（3）根据向量的数量积的定义和向量的加法即可求解.【详解】（1）∵是边长为4的正三角形，点、、四等分线段，ABC 1P 2P 3P BC ∴()()()112112AB AP AP AP AB AB BP AB BP AB BP ⋅+⋅=⋅+++⋅+ ；2211112264428AB AB BC AB BC AB BC AB AB BC BC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++⋅+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）设，13134444AQ AP AB AC AB AC λλλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ 又，19AQ mAB AC=+根据平面向量基本定理解得；3111,4943m m λλ==⇒=（3）设，，PC tBC =[]0,1t ∈∴，()()2222168PA PC PC CA PC PC CA PC t BC CA tBC t t⋅=+⋅=+⋅=+⋅=-又，[]0,1t ∈∴当时，即在处时，取得最小值.（本题也可以建系来解题）14t =P 3P PA PC ⋅1-21．如图，某小区有一块空地，其中AB =50，AC =50，∠BAC =90°，小区物业拟在中间挖一ABC 个小池塘，E ，F 在边BC 上（E ，F 不与B ，C 重合，且E 在B ，F 之间），且.AEF △π4EAF ∠=(1)若EF 的值；BE =(2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得AEF △EAB θ∠=θ的面积取得最小值，并求出面积的最小值.AEF △AEF △【答案】(2))12501【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得中，利用正弦定理EAB sin θ=ACF △结合三角恒等变换可求，即可得结果；CF （2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到θ,AE AF AEF S△函数的性质求最值即可.【详解】（1）由题意可得BC ==设，则，π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭ππ,42FAC AFC θθ∠=-∠=+在中，由余弦定理，EAB 2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠则，即，(222502501700AE=+-⨯⨯=AE =由正弦定理，可得sin sin BE AE EAB ABE =∠∠sin sin BE ABE EAB AE ⋅∠∠==即，可得πsin 0,4θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭cosθ==在中，ACF △πππsin sin sin cos cos sin 444FAC θθθ⎛⎫∠=-=-= ⎪⎝⎭，πsin sin cos 2AFC θθ⎛⎫∠=+==⎪⎝⎭由正弦定理，可得，sin sin CF ACFAC AFC =∠∠sin sin AC FACCF AFC⋅∠===∠故MN BC BE CF =--==故EF（2）设，则，π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭3ππ,42AEB AFC θθ∠=-∠=+由正弦定理，可得，sin sin AB AE AEB ABE =∠∠sin sin AB ABEAE AEB⋅∠===∠在中，由正弦定理，可得，ACF △sin sin AF ACACF AFC =∠∠sin sin AC ACFAF AFC⋅∠===∠故的面积AEF△11sin 22AEF S AE AF EAF =⋅⋅∠=，26251250sin cos cos sin 2cos 21θθθθθ====+++∵，∴，，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π2,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 214θ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭∴，当且仅当，即时，等号成)12501AEF S =≥=△πsin 214θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π8θ=立，故面积的最小值.AEF △)1250122．已知函数，其中a 为参数.()()sin cos 3sin 27f x a x x x =+--(1)证明：，；()()π3ππ22f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R(2)设，求所有的数对，使得方程在区间内恰有2023个根.*N n ∈(),a n ()0f x =()0,πn 【答案】(1)证明见解析；(2).2023)【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式计算推理作答.（2）确定函数的周期，讨论在方程在区间上的根的情况，再结合给定2023()f x π()0f x =(0,π)个根推理计算作答.【详解】（1）依题意，(π)[|sin(π)||cos(π)|]3sin(22π)7f x a x x x +=+++-+-，(|sin ||cos |)3sin 27()a x x x f x =-+---=，πππ()[|sin()||cos()|]3sin(π2)7222f x a x x x -=-+----(|cos ||sin |)3sin 27()a x x x f x =+--=3π3π3π()[|sin()||cos()|]3sin(3π2)7222f x a x x x -=-+----，(|cos ||sin |)3sin 27()a x x x f x =-+----所以.π3π()()(π)()22f x f x f x f x =-=+=-（2）由（1）知，函数是周期函数，周期为，()f x π对于每个正整数,都有，k ππ3π(7,()10,()4244k f a f f =-=-=-若1）得在区间内若有根，则各有偶数个根，7,a a a ≠≠≠()0f x =ππ(0,),(,π)22于是方程在区间内有偶数个根，不符合题意，()0f x =(0,π)n 如果，则，且，7a =()7(|sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--π()02f =当时,，π(0,2x ∈()7(sin cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =23740y y -+=于是，当时，方程在内有两个根，1241,3y y ==2y =43()0f x =π(0,)2当时，，π(,π)2x ∈()7(sin cos )3sin 27f x x x x =---设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23y +7100y -=于是，方程在内无解，因此方程在内有三个解，12101,3y y ==-()0f x =π(,π)2()0f x =(0,π)从而方程在区间内有个解，由，得；()0f x =(0,π)n 3141n n n +-=-412023n -=506n =若，a =()sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--当时，，π(0,2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =2340y -+=于是，即只有一个解，121y y ==<π4x =当时，，π(,π)2x ∈()f x x =-cos )3sin 27x x --设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23100y +-=显然函数在上单调递增，，方程没有属于2()310g y y =+-(1)70g =>()0g y =的根，因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是；()0f x =(0,π)()0f x =(0,π)n n 2023n =若，a =()sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--当时，，π(0,2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =2340y -+=此方程无解，当时，，π(,π)2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =---设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23100y +-=于是，即只有一个解，121y y ==<3π4x =因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是；()0f x =(0,π)()0f x =(0,π)n n 2023n =综上所述满足条件的为.(,)a n 2023)【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.。
湖北省枣阳市鹿头中学高一数学下学期期中试题
C．92 013D．272 013
10．已知函数 ，函数 ，
若存在 、 使得 成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
11．在ΔABC中，6sinA+4cosB=1，且4sinB+6cosA=5 ，则cosC=（）
A. B.± C. D.―
12．式子 满足 ，则称 为轮换对称式．给出如下三个式子：① ；② ；③ 是 的内角）．其中，为轮换对称式的个数是( )
考点：1、向量共线的计算；2、三角函数；3、双钩函数的单调性与值域；4、数形结合.
9．D
【解析】由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴ an＝3n，bn＝3n，又cn＝ban＝33n，∴c2 013 ＝33×2 013＝272 013.
10．A
考点：等差数列
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题，是一道基础题．
2．D
【解析】
试题分析：将函数 的图象向右平移 单位得到函数 的图象，故选D
考点：本题考查了三角函数的图象变换
点评：三角函数平移变换中，将x变换为x＋ ，这时才用“正向左， ， 的终边在第二象限．故B正确．
湖北省枣阳市鹿头中学高一年级2015-2016学年度下学期期中考试数学试题
★祝考试顺利★
时间：120分钟分值150分_
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1．等差数列{ }中， ＝2， ＝7，则 ＝
A．10 B．20 C．16 D．12
2．要得到函数 的图象，只要将函数 的图象( )
考点：1.三角函数的最值.2.二倍角公式.3.化一公式.4.三角函数的对称轴.
湖北省十堰市第一中学2019-2020学年高一下学期4月月考数学试题
湖北省十堰市第一中学2019-2020学年高一下学期4月月考数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 的值为（）A．B．C．D．2. 已知在等比数列中，，，则（）A．B．C．D．3. 已知，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．．4. 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面；④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形．其中正确命题的序号是（）A．①②④B．①②③C．②③D．③5. 已知向量，，，若，则（）A．B．C．D．6. 已知中，，则等于（）A．60°B．120°C．30°或150°D．60°或120°7. 在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，，，则（）A．B．3 C．D．18. 若，且，那么是( ) A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9. 在等差数列{a n}中，S15>0，S16<0，则使a n>0成立的n的最大值为 ( )A．6 B．7 C．8 D．910. 已知等比数列的前项和为，且，，则（）A．B．C．D．11. 设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．C．D．12. 中，角、、的对边分别为、、，且，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题13. 数列中，，，则___________.14. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为___________．15. 已知平面向量与的夹角为，，，则________.16. 已知为锐角，，则_________三、解答题17. （1）解不等式；（2）已知，其中，求的最小值．18. 已知函数.求函数的最小正周期；若对恒成立，求实数的取值范围.19. 已知等比数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和20. 已知数列满足，且.（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项和.21. 如图，在中，，点在边上，且.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的值.22. 在数列中，，当时，其前项和满足．（1）求；（2）设，求数列的前项和．（3）求.。
湖北省武汉市2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷含答案
武汉2023级高一4月月考数学试卷（答案在最后）出题人：一、单选题1.与垂直的单位向量是（）A.(,55±B.(55±C.,55±D.,55±【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出与垂直的一个向量，再求出其单位向量即可.【详解】设与垂直的向量(,)a x y =，0=，令x =y =，即a =，与a共线的单位向量为5)||,55a a ±===±±，所以与垂直的单位向量是,55±.故选：D2.在ABC 中，D 为AB 的中点，E 为CD 的中点，设AB a =，AC b =，则AE = （）A.1124a b + B.1124a b -C.1142a b +D.1142a b -【答案】C 【解析】【分析】根据图形特征进行向量运算即可.【详解】因为D 为AB 的中点，E 为CD 的中点，所以1111122242A C E C B ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭，又因为AB a =，AC b =，所以1142AE a b =+ .故选：C3.已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A.12B.33C.23D.22【答案】B 【解析】【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：1sin sin cos 122θθθ++=，则：3sin 122θθ+=，1sin cos 223θθ+=，从而有：sin coscos sin 663ππθθ+=，即3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.4.已知0a >，()sin sin3f x x a x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭x ＝m 是()f x 的一条对称轴，则m 的最小值为（）A.6π B.3πC.23π D.56π【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的性质可得221322a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而可得,Z 3m k k ππ+=∈，即得.【详解】∵()1sin sin sin cos 322f x x a x a x x π⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2213322a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0a >，∴2a =，∴()12sin cos 223f x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又x ＝m 是()f x 的一条对称轴，∴,Z 3m k k ππ+=∈，即,Z 3m k k ππ=-∈，∴m 的最小值为3π.故选：B.5.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5a b ==，8c =，I 是ABC 内切圆的圆心，若AI xAB y AC =+，则x y +的值为（）A.203B.103 C.32D.1318【答案】D 【解析】【分析】计算出ABC 的内切圆半径，以AB 直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算可求得x 、y 的值，即可得解.【详解】5a b == ，8c =，所以，ABC 内切圆的圆心I 在AB 边高线OC 上（也是AB 边上的中线），4OA OB ∴==，3OC ===，以AB 直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()4,0A -、()4,0B 、()0,3C，设ABC 的内切圆的半径为r ，根据等面积法可得：()1122a OC abc r ⋅=++，解得3848553r ⨯==++，即点40,3I ⎛⎫⎪⎝⎭，则()8,0AB = ，()4,3AC = ，44,3AI ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为AI xAB y AC =+ ，则844433x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得51849x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1318x y +=.故选：D.6.在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若1cos 2cos cos C A B -=，那么ABC 一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】B 【解析】【分析】利用三角形内角和定理及三角恒等变换求得三角形角的关系，再判断三角形的形状作答.【详解】在ABC 中，()C A B π=-+，则cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，而1cos 2cos cos C A B -=，则有cos cos sin sin 1A B A B +=，即cos()1A B -=，因0,0A B ππ<<<<，即A B ππ-<-<，因此，0A B -=，即A B =，所以ABC 是等腰三角形.故选：B7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3sin cos()62A A π++=，4b c +=，则ABC ∆周长的取值范围是A.[6,8) B.[6,8]C.[4,6)D.(4,6]【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得32sin A π+=（，结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求得2163a bc =-，再由基本不等式，求得bc 的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围．【详解】∵ sin 62A cos A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1222sinA cosA sinA ∴+-=，可得：32sin A π+=（），40333A A ππππ∈+∈ （，），（，），2 33A ππ∴+=，解得3A π=，∵4b c +=，∴由余弦定理可得222222163a b c bccosA b c bc bc bc =+-=+--=-（），∵由4b c +=，b c +≥，得04bc ≤＜，∴2416a ≤＜，即24a ≤＜．∴ABC 周长4[68L a b c a =++=+∈，）．故选A．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理及运用，同时考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．8.向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量1e ，2e是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点．对于α内任意一点P ，若()12,OP xe ye x y =+∈R，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标．若点A ，B 的广义坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，关于下列命题正确的（）A.点()1,2M 关于点O 的对称点不一定为()1,2M '--B.A ，BC.若向量OA平行于向量OB，则1221x y x y -的值不一定为0D.若线段AB 的中点为C ，则点C 的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据广义坐标的定义，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量共线性质逐一判断即可.【详解】对于A ，122OM e e =+，设()1,2M 关于点O 的对称点为(),M x y '，则12122OM OM e e xe ye '=-=--=+，因为1e ，2e 不共线，所以12x y =-⎧⎨=-⎩，A 错误；对于B ，因为()()21221112211212AB OB OA x e y e x e y e x x e y y e =-=+--=-+-，所以AB =，当向量1e ，2e 是相互垂直的单位向量时，A ，BB 错误；对于C ，当OA 与OB 中至少一个是0时，结论成立；当OA 与OB 都不为0 时，设OA OB λ=（0λ≠），有11122122x e y e x e y e λλ+=+ ，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，所以1221x y x y =，C 错误；对于D ，()()12121112212212112222x x y y OC OA OB x e y e x e y e e e ++=+=+++=+，所以线段AB 中点C 的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，D 正确故选：D二、多选题9.函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A.()f x 的最小正周期为2πB.)3π(2y f x =+是奇函数C.π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D.若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,66t ∈【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(26f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<，解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确；π(22sin(2)2co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ()cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin(cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[(2sin(cos ()626233g x x x x x x x g x -=--=-+=+=，π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,66t ∈，D 正确.故选：ACD10.设点M 是ABC 所在平面内一点，下列说法正确的是（）A.若AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为等边三角形B.若1122AM AB AC =+，则点M 是边BC 的中点C.过M 任作一条直线，再分别过顶点A ，B ，C 作l 的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC 的垂心D.若2AM AB AC =-，则点M 在边BC 的延长线上【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，以及数量积运算，一一判断即可.【详解】对于选线A ，如图作BC 的中点D ，连接AD ，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v，得()()20BC AB CA BC AB AC BC AD ⋅-=⋅+=⋅= ，即BC AD ⊥，结合三角形性质易知，AB AC =，同理AB BC =，BC AC =，故ABC 的形状为等边三角形，故A 正确；对于选项B ，由1122AM AB AC =+ ，得11112222-=-AM AB AC AM ，即BM MC = ，因此点M 是边BC 的中点，故B 正确；对于选项C ，如图当l 过点A 时，0AD =，由0AD BE CF ++= ，得0BE CF +=，则直线AM 经过BC 的中点，同理直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点，因此点M 是ABC 的重心，故C 错误；对于选项D ，由2AN AB AC =- ，得AN AB AB AC -=- ，即BN CB =，因此点M 在边CB 的延长线上，故D 错.故选：AB.11.ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且2a =，AB AC ⋅=，下列选项正确的是（）A.3A π=B.若3b =，则ABC 有两解C.若ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是D.若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2【答案】BCD 【解析】【分析】由数量积的定义及面积公式求得A 角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC 选项，利用1()2AD AB AC =+，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D ．【详解】因为AB AC ⋅= ，所以1cos sin 2bc A bc A ==，tan 3A =，又(0,)A π∈，所以6A π=，A 错；若3b =，则sin b A a b <<，三角形有两解，B 正确；若ABC 为锐角三角形，则02B π<<，62A B B ππ+=+>，所以32B ππ<<，sin 12B <<，sin sin b aB A =，sin 4sin 4)sin a B b B A==∈，C 正确；若D 为BC 边上的中点，则1()2AD AB AC =+，222222111()(2cos )()444AD AB AC c bc A b b c =+=++=++ ，又222222cos 4a b c bc A b c =+-=+-=，224b c +=+，由基本不等式得2242(2b c bc bc =+-≥-=-，4(2bc ≤=+，当且仅当b c =时等号成立，所以21(4)1742AD bc ⎡⎤=+=+≤+⎣⎦ 所以2AD ≤+ ，当且仅当b c =时等号成立，D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得sin B ，然后根据,a b 的大小关系判断B 角是否有两种情况即可．三、填空题12.如图，ABC 是等边三角形，边长为2,P 是平面上任意一点．则()PA PB PC ⋅+的最小值为__________．【答案】32-【解析】【分析】取BC 的中点D ，AD 的中点O ，利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】在边长为2的在ABC 中，取BC 的中点D ，连接AD 并取其中点O ，连接PO ，则1322OD AD ==，于是)22()()(PA PB PC PA PD PO OA PO OD ⋅+=⋅=+⋅+ 222332()()222()22PO OD PO OD PO OD =-⋅+=-≥-⨯=- ，当且仅当点P 与点O 重合时取等号，所以()PA PB PC ⋅+ 的最小值为32-.故答案为：32-13.已知向量31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2b = ，26a b -= ，a b ⋅=__________；b 在a 上的投影向量的坐标为__________．【答案】①.12##0.5；②.31,44⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】【分析】由条件结合向量的模的坐标表示求a r ，根据向量的模与数量积的关系由条件26a b -= a b ⋅ ，再由投影向量的定义求b 在a上的投影向量的坐标.【详解】因为31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1a =，由26a b -= 226a b -= ，所以()()22446aa b b-⋅+=，即4446a b -⋅+=所以12a b ⋅= ，所以b 在a上的投影向量为131,244a a b a aa ⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎭⋅⎝．故b 在a上的投影向量的坐标为31,44⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：12；31,44⎛⎫⎪⎝⎭.14.已知正ABC 的边长为1，中心为O ，过O 的动直线l 与边AB ，AC 分别相交于点M 、N ，AM AB λ=，AN AC μ= ，BD DC =．（1）若2AN NC = ，则AD BN ⋅=________.（2）AMN 与ABC 的面积之比的最小值为__________.【答案】①.14-##0.25-②.49【解析】【分析】根据12()()23AB AC A C A D BN A B ⋅=+⋅-，利用数量积的定义及运算律即可计算；由题意可得1133AO AM AN λμ=+ ，根据三点共线可得113λμ+=，利用三角形的面积公式可得AMN ABCS S λμ= ，再结合基本不等式即可求解.【详解】（1）112()()()()223AB AC AN AB AB A AC AC AB D BN ⋅=+⋅-=+⋅-2211211121()(1)23323234AB AC AC AB =-⋅+-=⨯-⨯+-=- ；（2）因为2111()3233AO AB AC AB AC =⨯+=+ ，所以1133AO AM AN λμ=+，因为M ，O ，N 三点共线，故11133λμ+=，即113λμ+=，又因为1||||sin 21||||sin 2AMN ABC AM AN AS S AB AC A λμ⋅⋅==⋅⋅ ，而(],0,1λμ∈，113λμ+=，则113λμ+=≥，即49λμ≥，当且仅当23λμ==时取等号，所以AMN 与ABC 的面积之比的最小值为49.故答案为：14-；49.四、解答题15.已知向量()cos ,2sin a x x =，()2cos b x x = ，函数()f x a b =⋅.（1）若()0115f x =，且0ππ,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求0cos2x 的值；（2）将()f x 图象上所有的点向右平移π6个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，解不等式()12g x ≥.【答案】（1）310-（2）ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简()f x ，依题意可得0π3sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求出0πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后由00ππcos2cos 266x x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦利用两角差的余弦公式计算可得；（2）根据三角函数的变换规则求出()g x 解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】因为()cos ,2sin a x x =，()2cos b x x = ，函数()f x a b =⋅，所以()22cos cos cos 212f x x x x x x=+=++12cos 2sin 2122x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()0115f x =，所以0π112sin 2165x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以0π3sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0ππ,63x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以0ππ5π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以0π4cos 265x ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，所以0000ππππππcos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4313525210-=-⨯+⨯=.【小问2详解】将()f x 图象上所有的点向右平移π6个单位得到πππ2sin 212sin 21666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将π2sin 216y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭向下平移1个单位得到π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后将π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的所有点的纵坐标变为原来的12得到πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()πsin 26g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()12g x ≥，即π1sin 262x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2π22π666k x k +≤-≤+，Z k ∈，解得ππππ62k x k +≤≤+，Z k ∈，令0k =可得ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令1k =-可得5ππ,62x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即在ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时不等式()1g 2x ≥的解集为ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若()2253a b bc -=，5sin 8sin C B =，∠BAC 的平分线交BC 于D ．（1）求∠BAC ；（2）若5AC =，求AD ．【答案】（1）π3（2）13【解析】【分析】（1）利用所给等式及正弦定理用b 表示a 、c ，再利用余弦定理求出cos BAC ∠即可得解；（2）求出各边长度进而利用余弦定理求出cos C ，再由πsin sin π6ADC C ⎛⎫∠=--⎪⎝⎭求出sin ADC ∠，在ADC △中利用正弦定理即可求得AD .【小问1详解】∵5sin 8sin C B =，由正弦定理得58c b =，即85c b =，代入已知()2253a bbc -=，整理可得75a b =，∴22222287155cos 82225b b b bc a BAC bc b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⨯，结合0πBAC <∠<，可得π3BAC ∠=．【小问2详解】因为5AC b ==，于是由（1）得7a =，8c =．根据余弦定理得2225781cos 2577C +-==⨯⨯，进而可得sin 7C ==，又∴ππ1113sin sin πsin 66272714ADC C C ⎛⎫⎛⎫∠=--=+=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在ADC △中，由正弦定理得sin sin AC AD ADC C =∠，即513147=，解得13AD =．17.如图，在平行四边形ABCD中，13AM AD=，令AB a=，AC b=.（1）用,a b表示AM，BM，CM；（2）若2AB AM==，且10AC BM⋅=，求cos,a b.【答案】（1）()13AM b a=-，1433B b aM=-，1233CM a b=--（2）68【解析】【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可；（2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可.【小问1详解】因为AB a=，AC b=，且ABCD是平行四边形，所以BC AC AB b a=-=-，所以()1133AM BC b a==-，所以()114333BM AM AB b a a b a=-=--=-，所以()14123333CM BM BC b a b a a b=-=---=--.【小问2详解】方法一：由（1）知()114,333A BM b a M b a=-=-，又,10,2AC b AC BM AB AM=⋅===，所以()14110,2,2333b b a b aa⎛⎫⋅-=-==⎪⎝⎭，即222430,236b a b b a a b-⋅=+-⋅=，解得1,a b b ⋅==，所以cos ,68a b a b a b⋅==.方法二：因为1,23AM AD AM ==，所以6AD BC ==，因为()22121333AC BM BC BA BA BC BA BA BC BC ⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，且10AC BM ⋅= ，所以2221262cos 61033ABC ∠-+⨯⨯⨯+⨯=，解得1cos 4ABC ∠=，所以()()22126214a b BA BC BA BA BC BA ⋅=-⋅-=-⋅+=-⨯⨯+= ，又2,a b ====，所以34cos ,68a b a b a b⋅== .18.如图，扇形ABC 是一块半径2r =（单位：千米），圆心角π3BAC ∠=的风景区，点P 在弧BC 上（不与B ，C 重合）．现欲在风景区规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直于点Q ，街道PR 与AC 垂直于点R ，线段RQ 表示第三条街道．记PAB θ∠=．（1）若点P 是弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）通过计算说明街道RQ 的长度是否会随θ的变化而变化；（3）由于环境的原因，三条街道PQ PR RQ ,,每年能产生的经济效益分别为每千米300，200，400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值．【答案】（1）2+（2）RQ =θ的变化而变化.（3）最大值为2W =（万元)【解析】【分析】（1）易知PA 平分BAC ∠，可得30θ= ，即可得求得各街道长；（2）写出PQ ，PR 的表达式，利用余弦定理可得RQ =（3）结合各街道单位效益可得经济总效益为00sin 2044W θθ=++出最大值.【小问1详解】根据题意可得若点P 是弧BC 的中点，可得30PAB θ∠== ，此时sin sin 301PQ r r θ=== ，πsin sin 3013PR r r θ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，而π2ππ33RPQ ∠=-=，由余弦定理可得2222π2cos 3RQ PR PQ PR PQ =+-⋅，即可得RQ =；所以三条街道的总长度为2PQ PR RQ ++=；【小问2详解】在Rt PAQ 中可得2sin PQ θ=，同理π2sin 3PR θ⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用余弦定理可得2222π2cos3RQ PR PQ PR PQ =+-⋅22ππ2π4sin 4sin 22sin 2sin cos333θθθθ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππ1ππ4sin cos cos sin 4sin 22sin 2sin cos cos sin 33233θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-++⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222cos sin cos 4sin cos 2sin 3θθθθθθθθ+-++-=22cos 3sin 33θθ+==；可得RQ =因此街道RQ 的长度为定值θ的变化而变化.【小问3详解】依题意可得这三条街道每年能产生的经济总效益为：π300200400600sin 400sin 4003W PQ PR RQ θθ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭ππ600sin 400sin cos cos sin33θθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭200sin 4600sin 00sin 200θθθθθ=+=++-+θθ⎫=+⎪⎪⎭()θϕ=++，其中cosϕϕ==当()sin 1θϕ+=时，W 的取值最大，最大值为2W =(万元).19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=（1）求A ；（2）若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅ ；（3）设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．【答案】（1）π2A =（2）233-（3）2+【解析】【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.【小问2详解】由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z ===，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222222xy yz xz ⋅+⋅+=⨯，整理得3xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC⋅+⋅+⋅1111222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=--⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==+时，等号成立，又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-，故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。
湖北省名校高一下学期3月联考数学试题 Word版含解析
A. 函数 f (x) 的最小正周期为 π
C. x π 为函数 f (x) 的一条对称轴 2
【答案】BCD
B.
函数
f
(x)
在
π 2
,
0
上单调递增
D. 函数 f (x) 在[π, π] 上有且仅有 3 个零点
【解析】
【分析】根据函数周期性的定义可判断 A；根据复合函数单调性的判断方法可判断 B；根据函数对称轴的 性质可判断 C；求出函数 f (x) 在[π, π] 上的零点可判断 D.
数．已知函数 f (x) 2(x 2) x2 mx n 的对称中心为 (1, 0) ，且与函数 g(x) 2x3 k 的图象有且仅
有一个交点，则 k 的值为（）
A. 5
B. 2
C. 16
D. 22
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得
y
f
(x 1) 是 奇 函 数 ， 利 用 奇 函 数 的 定 义 计 算 出
x2
，则
1 107 3
107
1 107 e
，
可得 x2 107 ln 3 ，
故所求时间为
x2 x1 107
ln 3 ln
4 3
ln
9 4
2 ln 3
2 ln
2
0.8 （秒），
故选：B.
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中有
多项符合题目要求的，全部选对的得 5 分，有错选的得 0 分，部分选对的得 2 分．
m 5 n 4 ， 然 后 由 函 数
g( x) 2x3 k 的图象与 f (x) 有且仅有一个交点可得 6x2 12x 16 k 0 有且仅有一个解，计算判别式
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高一数学下学期期中试题
（全卷满分：150 分 考试用时：120 分钟）
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 设abcdR、、、,且abcd，，则下列结论中正确的是（ ）
A.acbd B.acbd C.acbd D.abdc
2. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，
3. 则原来的图形是（ ）
A. B. C. D.
4. 若平面向量ba,的夹角为30，且22ba，则b在a方向上的投影为（ ）
A. 3 B. 21 C. 23 D. 1
4. 在ABC中，已知,45,1,2Bcb则此三角形有几个解 ( )
A．0 B．1 C．2 D．不确定
5. 设a，b是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.bba,∥ ，则∥a B.∥，,ba ，则ba∥
C.∥，bba, ，则∥a D.a，∥ ，则∥a
6. 在ABC中，角CBA、、所对的边分别为cba、、，若BacCabcos,sin,
则ABC一定是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
7. 下列各函数中，最小值为2的是（ ）
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A. 2232xyx B.1sin(0)sin2yxxx，，
C. 1yxx D. 1yxx
8. 设有四个命题，其中真命题的个数是（ ）
①有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；
②以直角三角形的一边为轴旋转一周所得到的旋转体是圆锥；
③用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；
④侧面都是长方形的棱柱叫长方体．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
9. 若(cos,sin),arb(cos,sin)r，则（ ）
A. abrr B. abrr C.(a)(a)bbrrrr D. (a)(a)bbrrrr
10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的
“赵爽弦图”
是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直
角边长为，
较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A.3 B. 4
C.5 D.6
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11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3,sin3sin32coscosBCAcCbB，
则ca的取值范围是（ ）
A.323， B. 323， C. 323， D. 323，
12. 在ABC中，若22)3ABABCBABCA（，则BAtan1tan的最小值为（ ）
A. 5 B. 52 C. 6 D. 26
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 棱长为1的正方体的内切球与其外接球的表面积之比为___________．
14. 已知00xy，，且2xy，若13xy≥m恒成立，则m的取值范围为____________．
15.
____________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本小题10分）若关于x的不等式2310axx的解集是1|12xx，
（1）求a的值；
（2）求不等式22310axxa的解集．
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18. （本小题12分）在ABC中，角CBA、、所对的边分别为cba、、，60A，
ac73
。
（1）求sinC的值； （2）若7a，求△ABC的面积.
19.（本小题12分）如图，正方体的棱长为a，连接，，，BD，，
，得到一个三棱锥求：
（1）三棱锥的表面积；
（2）O为侧面的中心，求异面直线BD与所成的角．
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20. （本小题12分）如图，在ABC 中，点p在BC边上，
60PAC
,,4,2ACAPPC
（1）求ACP；
（2）若APB的面积是233，求BAPsin.
21.（本小题12分）已知圆柱1OO的底面半径为2，高为4．
（1）求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长；
（2）若平行于轴1OO的截面ABCD将底面圆周截去四分之一，求截面面积；
（3）在（2）的条件下，设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ，较大部分为Ⅱ，
求体积之比ⅡⅠ:VV．
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