★定稿-九年级(上)二次根式及一元二次方程综合测试题
完整版二次根式及一元二次方程专题练习含解析
《二次根式及一元二次方程》、选择题1.估算V31-2的值（）A . 在 1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间已知方程x 2+bx+a=0有一个根是-a （ aM 0）,则下列代数式的值恒为常数的是（ ）C 有两个相等的实数根D .有两个不相等的实数根 5.武汉市2016年国内生产总值（GDP 比2015年增长了 12%,由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%,若这两年GDP 年平均增长率为X%,则X%满足 的关系是（）12%+7%=x% B ( 1+12%)( 1+7%) =2 (1+X%) 12%+7%=2?x% D.( 1+12%)( 1+7%) = (1+x%) 2D .关于x 的方程（a -5） x 2-4x - 1=0有实数根，则a 满足（ ）b 是方程x 2+x - 2016=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ）2. 要使与'恵.］有意义，贝U x 应满足（）A .B. x< 3 且 xM 寺C. y Vxv 3D.吉Vx<33. A . ab B.C. a+b D . a - b4. 已知a , b , c 分别是三角形的三边，则方程（a+b ） x 2+2cx+ （a+b ） =0的根的情况是A .没有实数根B •可能有且只有一个实数根A . C. 6. A .B.C.下列各式计算正确的是（ （1杜=寸石^在=7^ （av 1） 引2?+ 3 込+3=5 1-a 1-a7. A . a > 1B . a > 1 且 aM 5 C. a > 1 且 a ^5 D . a ^5设a ,A . 2014B . 2017 C. 2015 D . 20169.方程（x -3）（x+1） =x - 3 的解是（）A. x=0B. x=3C. x=3 或 x=- 1D. x=3或 x=010.方程X 2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A . 12 B. 12或15 C 15 D .不能确定 11.定义：如果一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （aM 0）满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为凤凰”方程.已知ax 2+bx+c=0（ aM 0）是 凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下 列结论正确的是（）A . a=c B. a=b C. b=c D . a=b=c12.如图，已知双曲线yp （kv0）经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ,且与直角边AB 相交于点C .若点A 的坐标为（-6, 4）,则^ AOC 的面积为（）二、填空题13.化简 U1-工+Vx-l = 14.计算忆歹的结果是 15 .计算：+辰16.如果方程ax 2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是 ______________ . 17 .设X 1,沁是一元二次方程x 2- 3x - 2=0的两个实数根，则X 12+3x 1X 2+x 22的值为18.已知x=1是一元二次方程x 2+mx+n=0的一个根，贝U m 2+2mn+n 2的值为 _____________ . .（答案不唯一）20.关于x 的一元二次方程x 2- mx+2m - 1=0的两个实数根分别是X 1、X 2,且X 12+X 22=7, 则（X 1 - X 2） 2的值是 .21.若把代数式x 2- 2x - 3化为（x - m ） 2+k 的形式，其中m , k 为常数，则m+k= 22 .将寸¥根号外面的因式移进根号后等于 _____________ .19.请你写出一个有一根为1的一元二次方程: 423•若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数尸上(k〉0)的图象上.若正方形OABC的面积为1,则k的值为___________;点E的坐标为 _______ .三、解答题24.计算: 护点后1)2-25.用配方法解方程：2X2+1=3X.26 .已知关于x的一元二次方程x2-( 2k+1) x+4k- 3=0.(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当RtA ABC的斜边长a逅，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时, 求^ ABC的周长.27.已知一元二次方程X2-2x+m=0.(1)若方程有两个实数根，求m的范围；(2)若方程的两个实数根为x i, X2,且x i+3x2=3,求m的值.28.已知关于x的一元二次方程x2=2 (1 - m) x- m2的两实数根为为,x?(1)求m的取值范围；(2)设y=x i+X2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值.《二次根式及一元二次方程》参考答案与试题解析、选择题1.估算IV31-2I 的值（ ）A .在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间【考点】估算无理数的大小. 【专题】应用题.【分析】首先利用平方根的定义估算 31前后的两个完全平方数25和36,从而判断顶 的范围，再估算V^-2的范围即可. 【解答】解：••• 5<顶< 6••• 3V 负-2v 4故选C .【点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算顶的 整数部分和小数部分.2. 要使|存^+云=有意义，则x 应满足（ ）A. — w x< 3 【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件.【分析】根据被开方数大于等于 0,分母不等于0列式计算即可得解. 3-A >0 ® 2x-L>0 ②，解不等式①得，x < 3， 解不等式②的，x>y . 所以，刁V x < 3. 故选：D .【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0;二次根式的被开方数是非负数.B. x< 3 且 xM 寺C. y vxv3D..寺 V x< 3【解答】解：由题意得,3.已知方程x 2+bx+a=0有一个根是-a(aM0),则下列代数式的值恒为常数的是()【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把 x=- a 代入方程，即可求解.又••• aM 0,故 a - b=- 1 . 故本题选D .【点评】本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手 推导、发现新的结论.4.已知a , b , c 分别是三角形的三边，则方程(a+b ) x 2+2cx+ (a+b ) =0的根的情况是A .没有实数根B •可能有且只有一个实数根C 有两个相等的实数根D .有两个不相等的实数根【考点】根的判别式；三角形三边关系.【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况. 能够根据三角形的三边关系，得到关于 a , b , c 的式子的符号.【解答】解：•••△ = (2c ) 2-4 (a+b ) 2=4[c 2-(a+b ) 2] =4 (a+b+c )( c -a -b ), 根据三角形三边关系，得c - a- bv 0, a+b+c >0.•该方程没有实数根. 故选A .【点评】本题是方程与几何的综合题.主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点.重点是对( -4 (a+b )( a+b )进行因式分解.A . ab B.C. a+b D . a - bb【考点】一元二次方程的解.【解答】解：•••方程 x 2+bx+a=0有一个根是-a (a ^0), •••(— a ) 2+b (- a ) +a=0,•等式的两边同除以a ,得 a - b+1=0,5.武汉市2016年国内生产总值(GDP 比2015年增长了 12%,由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%,若这两年GDP 年平均增长率为X%,则X%满足 的关系是()A . 12%+7%=x%B (1+12%)( 1+7%) =2 (1+x%)C. 12%+7%=2?x%D.( 1+12%)( 1+7%) = (1+x%) 2 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【专题】增长率问题.【分析】增长率问题，一般用增长后的量 =增长前的量X( 1+增长率)，然后用平均增 长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程，即 关系式. 【解答】解：若设2015年的国内生产总值为y .则根据实际增长率和平均增长率分别得到 2010年和今年的国内生产总值分别为: 2016年国内生产总值：y (1+X%)或y (1+12%)， 所以 1+x%=1+12%, 今年的国内生产总值：y (1+x%) 2或y (1+12%)( 1+7%), 所以(1+x%) 2= (1+12%)( 1+7%). 故选D .【点评】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程.D .【考点】二次根式的混合运算；立方根.【分析】A 根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以; B 、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了;X%满足的6. 下列各式计算正确的是( A . B. C. ta-l) ) 2 •丄(av 1)耳 2?+ 3 乞+3=5C 先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了; 【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结 算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键.7.关于x 的方程（a -5） x 2-4x - 1=0有实数根，则a 满足（ ）A . a 》1B . a > 1 且 aM 5C. a 》1 且 a M 5 D . a M 5【考点】根的判别式. 【专题】判别式法.【分析】由于x 的方程（a -5） x 2-4x - 1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a- 5=0时，方程一定有实数根；（2）当a -5M 0时，方程成为一元二次方程，利用判别式 即可求出a 的取值范围. 【解答】解：分类讨论: ①当a - 5=0即a=5时，方程变为-4x - 1=0,此时方程一定有实数根; ②当a - 5工0即aM 5时,•••关于x 的方程（a - 5） x 2- 4x - 1=0有实数根 •••16+4 (a -5)> 0, ••• a> 1. • a 的取值范围为a > 1. 故选：A .【点评】本题考查了一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （ aM 0）的根的判别式△ =b 2- 4ac ：当^ >0,方程有两个不相等的实数根；当^ =0,方程有两个相等的实数根；当△< 0,方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.D 、先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了.=冷仃$亡「7匸;（av 1）,本答案正确;引忑尹二药芮二帧产5,本答案错误； 話亍牙”=2W+2十AZj =4M 2,本答案错误.故选B .【解答】解：A 、B 、 D 、 (a-1)8.设a，b是方程x2+x—2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为( )A. 2014B. 2017C. 2015D. 2016考点】根与系数的关系；一元二次方程的解.专题】压轴题．【分析】由于a2+2a+b= (rf+a) + (a+b)，故根据方程的解的意义，求得(a F+a)的值, 由根与系数的关系得到(a+b)的值，即可求解.【解答】解：••• a是方程x2+x —2016=0的根,• a2+a=2016；由根与系数的关系得：a+b=—1，• a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2016—1=2015.故选：C．点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．9.方程( x—3)( x+1)=x—3 的解是( )A. x=0B. x=3C. x=3 或x=- 1D. x=3或x=0【考点】解一元二次方程-因式分解法.专题】计算题；压轴题．分析】此题可以采用因式分解法，此题的公因式为( x—3)，提公因式，降次即可求得.【解答】解：•••( X- 3)( x+1) =x- 3•°.( X—3)( x+1) — ( X—3) =0•••( x—3)( x+1 —1) =0• x1=0，x2=3.故选D.点评】此题考查了学生的计算能力，注意把x—3 当作一个整体，直接提公因式较简单，选择简单正确的解题方法可以达到事半功倍的效果.10.方程x2—9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( )第 8页(共 18页)A. 12B. 12或15 C 15 D.不能确定【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系.专题】分类讨论．分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：解方程x2- 9x+18=0，得X1=6, x2=3•••当底为6,腰为3时，由于3+3=6,不符合三角形三边关系•••等腰三角形的腰为6,底为3 •••周长为6+6+3=15故选C．点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用,注意分类讨论．11.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (aM0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0( aM 0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( )A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c考点】根的判别式．专题】压轴题；新定义．【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2- 4ac=0,又a+b+c=0, 即b=- a- c,代入b2- 4ac=0得(-a - c) 2- 4ac=0,化简即可得到a与c的关系.【解答】解：•一元二次方程ax2+bx+c=0 (aM0)有两个相等的实数根,=b2- 4ac=0,又a+b+c=0, 即卩b=- a- c,代入b2- 4ac=0得(-a- c) 2- 4ac=0,即( a+c) 2- 4ac=a2+2ac+c2- 4ac=a2- 2ac+c2=( a- c) 2=0,. a=c．故选A【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系:("△> 0?方程有两个不相等的实数根;(2)A =0?方程有两个相等的实数根；（3）^< 0?方程没有实数根.12.如图，已知双曲线y 史（k <0）经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ,且与直角边AB 相交于点C .若点A 的坐标为（-6, 4）,则^ AOC 的面积为（）【考点】反比例函数系数k 的几何意义. 【专题】压轴题.【分析】△ AOC 的面积=△ AOB 的面积-△ BOC 的面积，由点A 的坐标为（-6, 4）, 根据三角形的面积公式，可知△ AOB 的面积=12，由反比例函数的比例系数 k 的几何意 义，可知△ BOC 的面积驾I k| .只需根据OA 的中点D 的坐标，求出k 值即可. 【解答】解：••• OA 的中点是D ,点A 的坐标为（-6, 4）, •-D (- 3, 2),T 双曲线yp 经过点D , …k= — 3 X 2= — 6,•••△ BOC 的面积=刁 k| =3. 又AOB 的面积令X 6X 4=12,AOC 的面积=△ AOB 的面积-△ BOC 的面积=12- 3=9.故选B .【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数 k 与其图象上的 点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系，即、填空题13.化简 x-l = 0 .4【考点】二次根式有意义的条件.【分析】由1 - x>0, X- 1> 0,得出X- 1=0,从而得出结果.【解答】解：••• 1 - x>0, X- 1 >0,X- 1=0,-.Ml-y 十V 5£-1=0 .【点评】二次根式的意义和性质.概念：式子(a>0)叫二次根式.性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.14 .计算厶护的结果是_4【考点】算术平方根.【专题】常规题型.【分析】根据算术平方根的定义解答即可.【解答】解:2 ="^=4.故答案为：4.【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理.15 .计算：迈+岳.【考点】二次根式的加减法.【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式.【解答】解：原式=MW狂刃^.【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式.二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变.16.如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是av 1且a^0【考点】根的判别式.【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件: 第11页(共18页)(1)二次项系数不为零;(2)在有不相等的实数根下必须满足△ =b2—4ac>0. 4-药>0#0 '【解答】解：根据题意列出不等式组解之得av 1且aM 0.故答案为：av 1且aM0.【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.17.设x i,X2是一元二次方程X2-3x-2=0的两个实数根，则x i2+3x i x2+x22的值为7 .【考点】根与系数的关系.【分析】根据根与系数的关系，可求出X1+X2以及X1X2的值，然后根据X12+3X1X2+X22=(X1+X2)2+X1x2进一步代值求解.【解答】解：由题意，得：X1+X2=3, X1X2=—2;原式=(X1+x2)2+X1x2=9 - 2=7.故答案为：7.【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键.18.已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，贝U m2+2mn+n2的值为_1【考点】一元二次方程的解；完全平方公式.【分析】首先把x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0中得到m+n+1=0,然后把m2+2mn+n2利用完全平方公式分解因式即可求出结果.【解答】解：••• x=1是一元二次方程x2+mx+ n=0的一个根,m+n+1=0,m+n= —1,m2+2mn+n2二(m+n) 2= (- 1) 2=1.故答案为：1.【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题.19.请你写出一个有一根为1的一元二次方程：x2=1 .(答案不唯一)第12页(共18页)【考点】一元二次方程的解. 【专题】开放型.【分析】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可.【解答】解：根据题意X=1得方程式X 2=1 .故本题答案不唯一，如X 2=1等. 【点评】本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握.可以用因 式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如( y - 1)( y+2)形式为y 2+y - 2=0.20 .关于X 的一元二次方程X 2- mx+2m - 1=0的两个实数根分别是 为、则(X 1 - X 2)2的值是 13.【考点】根与系数的关系；根的判别式.m (需注意m 的值应符合此方程的根的判别式)；然后再代值求解. 【解答】解：由题意，得：X 1+X 2=m ，X 1X 2=2m - 1 ； 贝U ：( X 1+X 2)2=X 12+X 22+2X 1X 2， 即 m 2=7+2 (2m - 1)， 解得 m= - 1，m=5;当 m=5 时，△ =m 2- 4 (2m - 1) =25- 4X 9v0，不合题意； 故 m= - 1，X i +X 2=- 1，X 1X 2= - 3;•••( X 1 - X 2)2= (X 1+X 2)2- 4X 1X 2=1+12=13.【点评】此题用到的知识点有：根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式等知识.本 题需注意的是在求出m 值后，一定要用根的判别式来判断所求的 m 是否符合题意，以 免造成多解、错解.21.若把代数式X 2- 2x- 3化为(X - m)2+k 的形式，其中m, k 为常数，则m+k= - 3【考点】完全平方公式. 【专题】配方法.【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求 X 2- 2X - 3=X 2- 2X +1 - 4= (X - 1) 2- 4,可知 m=1. k=- 4，贝U m+k=- 3.【解答】解：••• X 2- 2X - 3=X 2- 2X+1 - 4= (X -1) 2-4,第13页(共18页)=0,后化为一般X 2，且 X 12+X 22=7,【分析】首先根据根与系数的关系，得出 X 1+X 2和X 1X 2的值，然后根据 X 12+X 22的值求出m=1, k=— 4, ••• m+k=— 3.故答案为：-3.【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键.完全平方公 式：（a ± b ） 2=a 2± 2ab+b 2.【考点】二次根式的性质与化简. 【专题】计算题.【分析】先根据二次根式定义得到av 0,然后根据二次根式的性质把-a 转化为応, 再利用乘法公式运算即可. 【解答】解：•••-芈0,.3••• av 0,【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：（a >0）为二次根式； 肯 =| a| ；(a >0, b >0)等.23.若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在函数气（k 〉0）的图象上.若 正方形OABC的面积为1,则k 的值为1 ；点E 的坐标为 （琴4，半■-y ）.TAo【考点】反比例函数系数k 的几何意义.【分析】（1）根据正方形OABC 和正方形AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上, 且正方形OABC 的边长为1,得出B 点坐标，即可得出反比例函数的解析式；（2）由于D 点在反比例函数图象上，用 a 和正方形OABC 的边长表示出来E 点坐标,第14页（共18页）根号外面的因式移进根号后等于二原式=-（-a ）冷+=— 故答案为-M 二.22.将第15页(共18页)代入y g ( X > 0)求得a的值，即可得出D 点坐标.【解答】解：•••正方形 OABC 和正方形AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且 正方形OABC 的边长为1 •••• B 点坐标为：(1, 1)设反比例函数的解析式为a ,则 E (1+a , a )，代入反比例函数y 丄(x >0)得：1= (1+a ) a ，又a >0,収■I解得：-寺.•••点E 的坐标为：(爭+寺，乎-寺).【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用，考查了数形结合的思想, 利用xy=k 得出是解题关键.三、解答题【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幕.【分析】本题涉及分数指数幕、负整数指数幕、乘方、二次根式化简四个考点.在计算 时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果. 【解答】原式=3+4-M - 2兰矜=3.【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题 目的关键是理解分数指数幕的意义，熟练掌握负整数指数幕、零指数幕、二次根式、绝 对值等考点的运算.25.用配方法解方程：2X 2+1=3X .【考点】解一元二次方程-配方法.xy=k=1,设正方形ADEF 的边长为24.计算:【专题】计算题.【分析】首先把方程的二次项系数变成1,然后等式的两边同时加上一次项系数的一半, 则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解. 【解答】解：移项，得2x 2- 3x=- 1， 2 3 1配方$16，3 , 1T二十 4 - 4，•••为二1，七巧.【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握.本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即 ax 2+bx+c=0 (aM 0)的形式，然后再配方求解.26.已知 关于x 的一元二次方程x 2-( 2k+1) x+4k - 3=0. (1) 求证：无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2) 当RtA ABC 的斜边长a 帧，且两条直角边b 和c 恰好是这个方程的两个根时,求^ ABC 的周长.【考点】根与系数的关系；根的判别式；勾股定理. 【专题】计算题.【分析】(1)根据△> 0即可证明无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数 根;(2)根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b ，c 的方程，解出b ，c 即可得出答案.【解答】解：(1)关于x 的一元二次方程x 2-( 2k+1) x+4k - 3=0，■7 2 △ = (2k+1) 2 -4 (4k - 3) =4k 2- 12k+13=4【kH^) +4>0 恒成立，故无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)根据勾股定理得：b 2+c 2=a 2=31①二次项系数化为1,得 由此可得因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，第16页(共18页)第17页（共18页）则 b+c=2k+1 ②，bc=4k — 3③， 因为(b+c ) 2 - 2bc=b 2+c 2=31， 即(2k+1) 2-2 (4k - 3) =31，整理得：4k 2+4k+1 - 8k+6- 31=0,即卩 k 2- k -6=0, 解得：k i =3, k 2=- 2,则 b+c=2k+1=7，又因为a ^觅，则^ ABC 的周长=a+b+c M 莎+7.【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，难度较大，关键是巧妙 运用△>0恒成立证明（1），再根据勾股定理和根与系数的关系列出方程组进行解答.27.已知一元二次方程x 2- 2x+m=0. （1）若方程有两个实数根，求 m 的范围;（2）若方程的两个实数根为X 1, X 2,且X 1+3X 2=3,求m 的值.【考点】根与系数的关系；根的判别式. 【专题】压轴题.【分析】（1） 一元二次方程X 2- 2x+m=0有两个实数根，0,把系数代入可求m 的 范围;（2）利用两根关系，已知X 1+X 2=2结合X 1 +3X 2=3，先求X 1、X 2,再求m .【解答】解：（1）v 方程X 2-2x+m=0有两个实数根，•••△ = (- 2) 2 - 4m > 0,解得m < 1；(2)由两根关系可知，X 1+X 2=2, X 1?X 2=m ,K ］斗 3 耳 3'V b+c=2k+1 >0 即 k>-右 ■2••• k 2=- 2 (舍去)， .bc =4k - 3>0即 k4,解方程组3 第18页(共18页)丄 七-2C 3 ••• m=X1?X 2p.【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握.28.已知关于X 的一元二次方程X 2=2 (1 — m ) X — m 2的两实数根为X 1，X 2 (1)求m 的取值范围;(2)设y=X 1+x 2，当y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值.【考点】根与系数的关系；根的判别式；一次函数的性质. 【专题】综合题.【分析】(1)若一元二次方程有两不等根，则根的判别式^ =b 2 — 4ac > 0，建立关于m的不等式，可求出m 的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出X 1+X 2的表达式, 据函数的性质及(1)题得出的自变量的取值范围，【解答】解：(1)将原方程整理为X 2+2 (m — 1) •••原方程有两个实数根,•••△ =[2 (m - 1) ]2 - 4m 2= — 8m+4> 0,得 m ;(2)V X 1，X 2为一元二次方程 X 2=2 (1 — m ) X — m 2，即卩 X 2+2 (m — 1) x+m 2=0 的两根, •- y=X 1+x 2= — 2m+2，且 m ^y ； 因而y 随m 的增大而减小，故当 m p 时，取得最小值1.【点评】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题.牢记一次函数的性 质是解答(2)题的关键.进而可得出y 、m 的函数关系式，根即可求出y 的最小值及对应的m 值. x+m 2=0；。
九年级上册一元二次方程单元测试题及答案3948520210129114110
一元二次方程测试题(时间90分钟总分值120分)一、填空题：〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕1、两个数的差等于4，积等于45，那么这两个数为和。
2、当m时，方程m21x2mx50不是一元二次方程，当m时，上述方程是一元二次方程。
3、用配方法解方程x24x60，那么x24x___6___，因此x1___,x2____。
4、假如x22m1x4是一个完整平方公式，那么m。
5、当≥0时，一元二次方程ax2bx c0的求根公式为。
6、假如x1、x2是方程2x23x60的两个根，那么x1x2=，x1x2=。
7、假定方程x23xm0有两个相等的实数根，那么m=，两个根分别为。
8、假定方程kx29x80的一个根为1，那么k=，另一个根为。
9、以－3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是。
10、对于x的一元二次方程mx2x m23m0有一个根为零，那m的值等于。
二、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕1、以下方程中，一元二次方程是〔〕〔A〕x21〔B〕ax2bx〔C〕x1x21〔D〕3x22xy5y20x22、方程2x3x11的解的状况是〔〕〔A〕有两个不相等的实数根〔B〕没有实数根〔C〕有两个相等的实数根〔D〕有一个实数根3、假如一元二次方程x2m1x m0的两个根是互为相反数，那么有〔〕〔A〕m=0〔B〕m=－1〔C〕m=1〔D〕以上结论都不对4、x1、x2是方程x22x1的两个根，那么11的值为〔〕x1x2〔A〕1〔B〕2〔C〕1〔D〕-2225、不解方程，2x23x 1 0的两个根的符号为〔〕〔A〕同号〔B〕异号〔C〕两根都为正〔D〕不可以确立6、一元二次方程mx2n 0m 0，假定方程有解，那么一定〔〕A、n 0B、mn同号C、n是m的整数倍D、mn异号7、假定a为方程x2x 5 0的解，那么a2 a 1的值为〔〕A、12B、6C、9D、168、某商场一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，假如每个月比上月增长的百分数同样，那么均匀每个月的增加率为〔〕A、10%B、15%C、20%D、25%三、解以下方程〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕1、x25x 1 0〔用配方法〕2、3x 22xx 23、2x2 2 2x 5 04、y 223y 12四、〔8分〕当m为什么值时，一元二次方程x22m 3x m2 3 0有两个不相等的实数根?五、〔10分〕不解方程，求作一个新的一元二次方程，使它的两个根分别是方程x27x 2的两根的2倍。
数学九年级上册《一元二次方程》单元综合检测含答案
人教版数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试【考试时间：90分钟 分数：100分】一、选择题（本大题共8道小题）1. 某学校准备建一个底面为矩形的游泳池，若矩形的面积为400 m 2，且它的宽比长短10 m ，设游泳池的宽为x m ，则下面所列方程正确的是( )A ．x (x －10)＝400B ．x (x ＋10)＝400C ．2x (2x －10)＝400D ．2x (2x ＋10)＝400 2. 已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋ax －2b ＝0的两实数根，且x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1，则b a 的值是( )A. 14B. －14C. 4D. －13. 用配方法解方程x 2－6x －8＝0时，配方结果正确的是( )A ．(x －3)2＝17B ．(x －3)2＝14C ．(x －6)2＝44D ．(x －3)2＝14. 一元二次方程(x ＋1)(x －1)＝2x ＋3的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根5. 方程3x (2x ＋1)＝2(2x ＋1)的两个根为( )A ．x 1＝23，x 2＝0B ．x 1＝23，x 2＝12C ．x 1＝32，x 2＝－12D ．x 1＝23，x 2＝－126. 对于二次三项式－x 2＋4x －5的值，下列叙述正确的是 ( )A ．一定为正数B ．一定为负数C ．正、负都有可能D ．一定小于－17. 若方程(x ＋3)2＝m 的解是有理数，则实数m 不能．．取下列四个数中的( ) A ．1B ．4 C.14 D.12 8. 若M ＝2x 2－12x ＋15，N ＝x 2－8x ＋11，则M 与N 的大小关系为( )A ．M≥NB ．M ＞NC ．M≤ND ．M ＜N 二、填空题（本大题共5道小题）9. 方程(3x －4)2－(3x －4)＝0的根是____________．10. 设a ，b 是方程x 2＋x －2020＝0的两个实数根，则(a －1)(b －1)的值为________． 11. 若一元二次方程x 2－2x －3599＝0的两根分别为a ，b ，且a ＞b ，则2a －b 的值为________．12. 在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝2 3，AC ＝b ，且关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，则AC 边上的中线长为________．13. 已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝2，则方程a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝0的两根之和为________．三、解答题（本大题共5道小题）14. 已知m 是方程x 2＋x －1＝0的一个根，求代数式(m ＋1)2＋(m ＋1)(m －1)的值．15. 关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．16. 用因式分解法解下列方程：(1)x ()x －2－x ＋2＝0； (2)(x －3)2－4x 2＝0；(3)(x －3)(x －1)＝3; (4)2x 2－4x －30＝0.17. 某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．(1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．(2)按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元．如果按(1)中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．(参考数据： 1.21＝1.1， 1.44＝1.2， 1.69＝1.3， 1.96＝1.4)18. 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.答案与解析一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】B2. 【答案】A 【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－a ＝－2，x 1·x 2＝－2b ＝1，则a ＝2，b ＝－12，∴b a ＝(－12)2＝14，故选A.3. 【答案】A4. 【答案】A [解析] 整理，得x 2－2x －4＝0，Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2＋16＝20>0.故选A.5. 【答案】D [解析] 3x(2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0，(3x －2)(2x ＋1)＝0，3x －2＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝23，x 2＝－12.6. 【答案】B [解析] ∵－x 2＋4x －5＝－(x 2－4x ＋4)－1＝－(x －2)2－1＜0，∴原式的值一定为负数．7. 【答案】D8. 【答案】A [解析] M －N ＝(2x 2－12x ＋15)－(x 2－8x ＋11)＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2.∵(x －2)2≥0，∴M≥N.二、填空题（本大题共5道小题）9. 【答案】x 1＝43，x 2＝53[解析] 原方程左边分解因式得(3x －4)[(3x －4)－1]＝0，即(3x －4)(3x －5)＝0.于是3x －4＝0或3x －5＝0.所以x 1＝43，x 2＝53.10. 【答案】－2018 [解析] 根据题意，得a ＋b ＝－1，ab ＝－2020，∴(a －1)(b －1)＝ab －(a ＋b)＋1＝－2020＋1＋1＝－2018.故答案为：－2018.11. 【答案】181 [解析] x 2－2x －3599＝0，x 2－2x ＝3599，x 2－2x ＋1＝3599＋1，(x －1)2＝3600，所以x －1＝60或x －1＝－60，所以x ＝61或x ＝－59.又因为a ＞b ，所以a ＝61，b ＝－59，所以2a －b ＝2×61－(－59)＝181.12. 【答案】2 [解析] 因为关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝(－4)2－4b ＝16－4b ＝0，得AC ＝b ＝4.因为BC＝2，AB＝2 3，所以BC2＋AB2＝AC2，所以△ABC为直角三角形，AC为斜边，则AC边上的中线长为斜边的一半，为2.13. 【答案】1[解析] 设方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根为x3，x4，则x3＋1＝x1，x4＋1＝x2，∴x3＝0，x4＝1，∴x3＋x4＝1.三、解答题（本大题共5道小题）14. 【答案】解：由题意可知m2＋m－1＝0，即m2＋m＝1，∴原式＝(m＋1)(m＋1＋m－1)＝2m(m＋1)＝2(m2＋m)＝2×1＝2.15. 【答案】解：∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(2m－1)＝4－8m＋4＝8－8m≥0，∴m≤1.又∵m为正整数，∴m＝1，此时方程为x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1.16. 【答案】解：(1)x(x－2)－(x－2)＝0，(x－2)(x－1)＝0，∴x1＝2，x2＝1.(2)(x－3＋2x)(x－3－2x)＝0，(3x－3)(－x－3)＝0，∴x1＝－3，x2＝1.(3)方程化为x2－4x＝0，∴x(x－4)＝0，∴x1＝0，x2＝4.(4)将原方程两边都除以2，得x2－2x－15＝0.左边分解因式，得(x－5)(x＋3)＝0.∴x1＝5，x2＝－3.17. 【答案】解：(1)设2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，(1分)由题意得：2900(1＋x)2＝3509，(3分)解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不符合题意舍去)．(4分)答：2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.(5分)(2)按10%的增长率，到2018年投入教育经费为3509(1＋10%)2＝4245.89(万元)．(7分)因为4245.89＜4250，(8分)所以教育经费不能达到4250万元．答：按此增长率到2018年该地区投入的教育经费不能达到4250万元．(9分)18. 【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(2m＋1)2－4×1×(m2－1)＝4m＋5＞0，解得m＞－5 4.(2)答案不唯一，如取m＝1，此时原方程为x2＋3x＝0，解得x1＝0，x2＝－3.。
九年级上册数学《一元二次方程》单元综合测试卷带答案
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷 时间：100分钟 满分：100分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．关于x的方程（m﹣3）x﹣mx+6＝0是一元二次方程，则它的一次项系数是（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．3 D ．3或﹣1 2．方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（ ） A ．x＝5 B ．x＝0 C ．x1＝5，x2＝0 D ．x1＝5，x2＝1 3．已知一元二次方程A x2+B x+C ＝0（A ≠0）中．下列说法：①若A +B +C ＝0，则B 2﹣4A C ≥0；②若方程两根为﹣1和2，则2A +C ＝0；③若方程A x2+C ＝0有两个不相等的实根，则方程A x2+B x+C ＝0必有两个不相等的实根；④若B ＝2A +3C ，则方程有两个不相等的实根．其中结论正确的有（ ）个． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（5m﹣6）x+m2＝0的两个不相等的实根，且满足x1+x2＝m2，则m的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．2或3 D ．﹣2或﹣3 5．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上一个月增长的百分数相同，则每月的平均增长率为（ ） A ．10% B ．15% C ．20% D ．25% 6．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（ ） A ．3 B ．﹣3 C ． D ．﹣ 7．某中学有一块长30C m，宽20C m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A ．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30 B ．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 C ．30x+2×20x＝×20×30 D ．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 8．某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则每天销售量会减少2kg．该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少?设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（ ） A ．（20+x）（100﹣2x）＝1800 B ． C ． D ．x[100﹣2（x﹣20）]＝1800 9．已知关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x1＝3，x2＝5，则方程m（2x+5）2﹣n（2x+5）﹣p＝0的根为（ ）
九年级上册数学《一元二次方程》单元综合测试卷(附答案)
（1）当方程有两个相等的正根时,△=0,此时a=±2,
若a=2,此时方程x2-2x+1=0的根x=1符合条件,
若a=-2,此时方程x2+2x+1=0的根x=-1不符舍去,
（2）当方程有两个根时,△＞0可得-2＜a＜2,
①若方程的两个根中只有一个正根,一个负根或零根,则有a2-3≤0,解可得- ≤a≤ ,而a=- 时不合题意,舍去．
6.某种衬衫的价格经过连续两次的降价后,由每件150元降到96元,则平均每次降价的百分率是（ ）
A.10%
B.15%
C.20%
D.30%
【答案】C
【解析】
【分析】
如果价格每次降价的百分率为x,降一次后就是降到价格的（1-x）倍,连降两次就是降到原来的（1-x）2倍．则两次降价后的价格是150×（1-x）2,即可列方程求解．
5.方程x2-2x=0的根是（ ）
A.x1=x2=0
B.x1=x2=2
C.x1=0,x2=2
D.x1=0,x2=-2
【答案】C
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的方法,提取公因式x可得x（x-2）=0,然后按照ab=0的形式的方程解法,可得x=0或x-2=0,解得x1＝0,x2＝2.
故选：C.
点睛：本题考查了因式分解法解一元二次方程,当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时,一般情况下是把左边的式子因式分解,再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法,要会灵活运用.
A.7m
B.8m
C.9m
D.10m
10.关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2n＝0有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程y2＋2ny＋2m＝0同样也有两个整数根且乘积为正,给出三个结论：①这两个方程的根都为负根；②(m－1)2＋(n－1)2≥2；③－1≤2m－2n≤1.其中正确结论的个数是( )
数学九年级上学期《一元二次方程》单元综合检测题(附答案)
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷（满分120分，考试用时120分钟）一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）1.下列方程中，不是一元二次方程的是（）A .B .C .D .2.下列配方正确的是（）；；；．A . (1)(3)B . (2)(4)C . (1)(4)D . (2)(3)3.若一元二次方程的常数项为，则的值为（）A . 2B . -2C . ±2D . ±44.用配方法解方程时，原方程应变形为（）A .B .C .D .5.有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（）个人．A . 12B . 11C . 10D . 96.下列说法正确的是（）A . 方程中，、、B . 一元二次方程，当时，它的根是C . 方程的一般形式为D . 方程的解是，7.方程的解是（）A . x=±1或x=±3B . x=1和x=3C . x=-1或x=-3D . 无实数根8.若关于的方程的一个根是，则的值为（）A . 6B . 3C . 2D . 19.用配方法解方程．下列配方结果正确的是（）A .B .C .D .10.已知，则的值为（）A . -5或1B . 5或-1C . 5D . 1二、填空题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）11.一元二次方程的根为________．12.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．13.已知一元二次方程的两根分别是和，则这个一元二次方程可以是________．14.用换元法解方程．若设________．则原方程可化为关于的整式方程为________．15.若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________．16.“圣诞节”到了，某校九班每一位同学都将自己购买的贺卡向全班其他同学各送一张表示祝贺，全班送了张贺卡．如果全班有名同学，根据题意，列出方程为________．17.方程中的两根分别为、，则代数式的值为________．18.如图，在中，，，，现有动点从点出发，沿射线方向运动，动点从点出发，沿射线方向运动，已知点的速度是，点的速度是，它们同时出发，经过________秒，的面积是面积的一半？19.某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要________．20.对于实数，，定义一种运算“*”为：．若关于的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数的取值范围是________．三、解答题（共6 小题，每小题10 分，共60 分）21.解方程：.解方程：22.按要求解下列方程：（用公式法）（用因式分解法）23.关于的一元二次方程求出方程有解时的取值范围；若是该方程的一个根，求出此时方程的另一根及的值．24.已知关于的一元二次方程．若，方程的两个根为，，则________；对于任意的实数，判断方程的根的情况，并说明理由．25.已知关于的一元二次方程．求的取值范围；已知是该方程的一个根，求的值，并将原方程化为一般形式，写出其二次项系数、一次项系数和常数项．26.某人在一家银行存款万元，两年后连本带利共得万元，问这家银行的年利率为多少？小明是这样列式的：；小颖是这样列式的：．你认为谁的想法是正确的？为什么？参考答案一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）1.下列方程中，不是一元二次方程的是（）A .B .C .D .[答案]D[解析][分析]本题根据一元二次方程的定义解答．[详解]A .是一元二次方程,B .是一元二次方程.C .是一元二次方程.D .整理得：是一元一次方程.故选：D .[点睛]一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．2.下列配方正确的是（）；；；．A . (1)(3) B . (2)(4) C . (1)(4) D . (2)(3)[答案]B[解析][分析]根据完全平方公式进行配方，然后整理即可.[详解]；故错误.；正确.；故错误.．正确.故选：B .[点睛]考查配方法，在配方时要注意常数项的确定方法，若二次项的系数为1，则加上一次项系数的一半的平方，若二次项的系数不为1，提取二次项系数，把系数化为1.3.若一元二次方程的常数项为，则的值为（）A . 2B . -2C . ±2D . ±4[答案]B[解析][分析]常数项为0，即m2-4=0，再根据方程是一元二次方程，须满足m-2≠0，问题可求．[详解]由题意,得：m2−4=0，解得m=±2.又m−2≠0，即m≠2，故m=−2.故选：B .[点睛]考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程（是常数且A ≠0）的分别是二次项系数、一次项系数、常数项．4.用配方法解方程时，原方程应变形为（）A .B .C .D .[答案]B[解析]，，.故选B .5.有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（）个人．A . 12B . 11C . 10D . 9[答案]C[解析][分析]患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）=121，解方程即可求解．[详解]设每轮传染中平均一个人传染了x个人,依题意得1+x+x(1+x)=121,即(1+x)2=121解方程得(舍去)故选C .[点睛]考查一元二次方程的应用解题的关键是读懂题目，，从实际问题中抽象出方程模型，设出未知数，找出等量关系，列方程求解.6.下列说法正确的是（）A . 方程中，、、B . 一元二次方程，当时，它的根是C . 方程的一般形式为D . 方程的解是，[答案]C[解析][分析]根据一元二次方程的一般式对A 、C 进行判断；根据一元二次方程的求根公式对B 进行判断；根据因式分解法解一元二次方程对D 进行判断.[详解]A .方程化为一般式得3x2-5x+1=0，则A =3、B =-5、C =1，所以A 选项错误；B .一元二次方程A x2+B x+C =0（A ≠0），当B 2-4A C ≥0时，它的根是所以B 选项错误；C .方程x2=9的一般形式为x2-9=0，所以C 选项正确；D .方程(x+2)(x-4)=0的解是x1=-2，x2=4，所以D 选项错误.故选C .[点睛]考查一元二次方程的一般形式，公式法以及因式分解法解方程，比较基础，难度不大.7.方程的解是（）A . x=±1或x=±3B . x=1和x=3C . x=-1或x=-3D . 无实数根[答案]A[解析][分析]本题应对方程去绝对值，然后将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．[详解]①x>0，原方程可变形为：x2−4x+3=0即(x−3)(x−1)=0∴x=3或1；②x<0，原方程变形为：x2+4x+3=0即(x+3)(x+1)=0∴x=−3或−1.因此本题的解为x=±1或x=±3.故选:A .[点睛]考查一元二次方程的解法，在解方程时，注意去绝对值时要分类讨论.8.若关于的方程的一个根是，则的值为（）A . 6B . 3C . 2D . 1[答案]B[解析]试题分析：把x=0代入已知方程，可以得到关于m的一元一次方程，通过解一元一次方程来求m的值．考点：一元二次方程的解9.用配方法解方程．下列配方结果正确的是（）A .B .C .D .[答案]C[解析]试题解析：由原方程，得x2-4x=3，在等式的两边同时加上一次项系数-4的一半的平方，得x2-4x+4=3+4，即x2-4x+4=7，配方，得（x-2）2=7；故选D ．点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．10.已知，则的值为（）A . -5或1B . 5或-1C . 5D . 1[答案]D[解析][分析]设，将已知方程转化为的形式，然后求值即可[详解]设，由原方程，得整理得解得：或（舍去）即故选：D .[点睛]考查换元法解一元二次方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换.二、填空题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）11.一元二次方程的根为________．[答案][解析][分析]观察方程，用公式法解方程即可.[详解]A =1，B =−3，C =1，∵△=9−4=5，∴故答案为：[点睛]考查一元二次方程的解法，掌握公式法的公式是解题的关键.12.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．[答案][解析][分析]由方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，建立关于A 的不等式，解不等式求出A 的取值范围即可.[详解]∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=16+4A ＞0，解得，.故答案为：A >-4.[点睛]本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．13.已知一元二次方程的两根分别是和，则这个一元二次方程可以是________．[答案][解析]试题分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，观察各式即可得出结论．解：∵一元二次方程的两个根是﹣1和2，∴x1+x2=1x1x2=﹣2．∴这个方程为：x2﹣x﹣2=0．故答案为：x2﹣x﹣2=0．考点：根与系数的关系．14.用换元法解方程．若设________．则原方程可化为关于的整式方程为________．[答案] (1). (2).[解析][分析]先把原方程转化为的形式，然后设，则，由此将原方程转化为关于y的方程即可．[详解]由，得,设则原方程转化为：故答案为：(1). (2).[点睛]考查换元法解一元二次方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换.15.若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________．[答案][解析][分析]根据一元二次方程没有实数根可以得到有关m的不等式，解得即可.[详解]∵，而方程没有实数根，∴，即，.故答案为：.[点睛]考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.16.“圣诞节”到了，某校九班每一位同学都将自己购买的贺卡向全班其他同学各送一张表示祝贺，全班送了张贺卡．如果全班有名同学，根据题意，列出方程为________．[答案][解析][详解]∵全班有名同学，∴每名同学要送出张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是，故答案为：.[点睛]考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，设出未知数，找出等量关系，列方程.17.方程中的两根分别为、，则代数式的值为________．[答案][解析][分析]根据已知方程x2-3x+1=0中的两根分别为A 、B ，得出A +B =3，A B =1，A 2-3A +1=0，求出A 2-3A =-1，代入A 2-4A -B =A 2-3A -A -B 求出即可．[详解]∵方程x2−3x+1=0中的两根分别为A 、B ，∴A +B =3，A B =1，A 2−3A +1=0，∴A 2−3A =−1，∴A 2−4A −B =A 2−3A −A −B =−1−(A +B )=−1−3=−4，故答案为:−4.[点睛]本题主要考查一元二次方程解的概念以及一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解决本题的关键.18.如图，在中，，，，现有动点从点出发，沿射线方向运动，动点从点出发，沿射线方向运动，已知点的速度是，点的速度是，它们同时出发，经过________秒，的面积是面积的一半？[答案]或[解析][分析]设经过x秒△A PQ的面积是△A B C 面积的一半，由点P的速度是4C m/s，点Q的速度是2C m/s表示出B P=4xC m，C Q=2xC m，进而表示出A P=（24-4x）C m，A Q=（16-2x）C m，利用面积列出方程求解即可．[详解]设经过x秒△A PQ的面积是△A B C 面积的一半，∵点P的速度是4C m/s，点Q的速度是2C m/s，∴B P=4xC m，C Q=2xC m，（1）当A P=（24-4x）C m，A Q=（16-2x）C m，根据题意得：（24-4x）（16-2x）=××24×16，整理得x2-14x+24=0，解得：x=2或x=12（舍去）．（2）当A P=（4x-24）C m，A Q=（2x-16）C m，根据题意得：（4x-24）（2x-16）=××24×16，整理得x2-14x+24=0，解得：x=2（舍去）或x=12．故答案是：2或12．[点睛]考查了一元二次方程的应用，解题关键是用x的式子表示出A P=（24-4x）C m，A Q=（16-2x）C m，利用面积列出方程.19.某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要________．[答案][解析][分析]汽车行驶的路程s（m）与时间t（s）之间的函数关系是：s=10t+3t2，可以根据这个关系式，把已定要行使s=200m路程代入关系式求得时间t．[详解]依题意：10t+3t2=200，整理得3t2+10t−200=0，解得t1=−10(不合题意舍去),t2=.即行驶200m需要s.故答案为：[点睛]考查一元二次方程的应用，读懂题目，根据题目列出方程是解题的关键.20.对于实数，，定义一种运算“*”为：．若关于的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数的取值范围是________．[答案]或[解析][分析]由于定义一种运算“*”为：，所以关于x的方程变为而此方程有两个不同的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于A 的不等式组，解不等式组即可解决问题．[详解]由得依题意有且解得，A >0或A <−1.故答案为：A >0或A <−1.[点睛]考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.三、解答题（共6 小题，每小题10 分，共60 分）21.解方程：.解方程：[答案](1)，；(2)，．[解析][分析]方程整理后，用因式分解法解方程即可.移项，提取公因式，用因式分解法解方程即可.[详解]解：由原方程，得，，解得，；原方程化简为：，解得，．[点睛]考查一元二次方程的解法，观察题目，选择合适的方法是解题的关键.22.按要求解下列方程：（用公式法）（用因式分解法）[答案](1)，；(2)，．[解析][分析]根据题目要求的方法解方程即可.[详解]解：方程整理得：，这里，，，∵，∴，解得：，；方程整理得：，分解因式得：，解得：，．[点睛]考查解一元二次方程，熟练掌握直接开方法，配方法，公式法，因式分解法是解题的关键.23.关于的一元二次方程求出方程有解时的取值范围；若是该方程的一个根，求出此时方程的另一根及的值．[答案](1)且；(2) 方程的另一根为，的值为．[解析][分析]（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到得且，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）根据一元二次方程的解，把x=0代入方程即可得到m的值，再把m的值代入方程得到，然后利用因式分解法可求出另一个根．[详解]解：根据题意得且，解得且；把代入原方程得，解得，则原方程变形为，解得，，所以此时方程的另一根为，的值为．[点睛]考查一元二次方程的解以及一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.24.已知关于的一元二次方程．若，方程的两个根为，，则________；对于任意的实数，判断方程的根的情况，并说明理由．[答案](1)3;(2)证明见解析.[解析][分析]（1）把m=1代入得出方程，再根据根与系数的关系得出x1+x2，x1x2，代入计算即可；（2）根据根的判别式△进行判断即可．[详解](1)∵m=1，∴x2−x−2=0，∴∴故答案为：3；∵，，，∴，∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根．[点睛]考查一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.25.已知关于的一元二次方程．求的取值范围；已知是该方程的一个根，求的值，并将原方程化为一般形式，写出其二次项系数、一次项系数和常数项．[答案]（1）；（2）二次项系数是，一次项系数是，常数项是．[解析][分析]（1）根据一元二次方程的定义得出k+3≠0，求出即可；（2）把x=-2代入方程，即可求出k，再把k的值代入即可．[详解]解：∵方程是一元二次方程，∴，即；把代入方程得：，解得：，代入方程得：，即，故二次项系数是，一次项系数是，常数项是．[点睛]考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解以及一元二次方程的一般形式，一元二次方程（是常数且A ≠0）的分别是二次项系数、一次项系数、常数项．26.某人在一家银行存款万元，两年后连本带利共得万元，问这家银行的年利率为多少？小明是这样列式的：；小颖是这样列式的：．你认为谁的想法是正确的？为什么？[答案]小颖的列式正确．[解析][分析]根据“本金+本金×利率×时间=本息”列方程解答即可．[详解]小颖的列式正确．理由如下：设这家银行的年利率为x，则存款5万元，一年后，连本带利为5（1+x），两年后，连本带利为5（1+x）（1+x）=6.05，即5（1+x）2=6.05，故小颖的列式正确．[点睛]本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．在解决实际问题时，要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．。
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二次根式及一元二次方程综合测试题
一、 选择题（每小题3分，共33分）
1．如果1x有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．1x B．1x≥ C．1x≤ D．1x
2．若bb3)3(2，则（ ）
A．b>3 B．b<3 C．b≥3 D．b≤3
3．二次根式2(2)的值等于（ ）
A．-2 B．±2 C．2 D．4
4．一元二次方程的2650xx左边配成完全平方式后所得的方程为 ( )
A．2(3)14x B．2(3)14x C．21(6)2x D．以上答案都不对
5．下列计算错误．．的是 ( )
A.14772 B.60523 C. 9258aaa D.3223
6．若0)1(2cbxxa是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a=1 B．a≠1 C．a≠－1 D．a≠0且b≠0
7．24n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．4； B．5； C．6； D．7
8．下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A.21a B.12 C.8 D.27
9．下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①3x2+x=20， ②2x2-3xy+4=0， ③412xx， ④ x2=4， ⑤ 0432xx
A．①② B．①②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
10．（2008湖北）下列方程中，有两个不等实数根的是（ ）
A．238xx B．2510xx
C．271470xx D．2753xxx
11．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点
沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( ) A．9 B．10 C．24 D．172 二、填空题（每小题3分，共27分）请把每小题正确的答案填在下面表格中. 1．方程xx3122的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是______． 2．若x<2，化简xx3)2(2的正确结果是 ___. 3．如果2180a，那么a的算术平方根是 ． 4．若0)1(32nm，则m－n的值为 ． 5．22____)(_____3xxx 6．计算：825= ． 7．比较大小：32_______23 （填“＞”或“＜”＝） 8．如果最简二次根式a1与24a是同类根式，那么a ＝ . 9.观察下列各式：①、312311，②、413412 ③、514513，…请写出第⑦个式子： ，用含n (n≥1)的式子写出你猜想的规律： 。 三、解下列方程（每小题3分，共18分） ⑴24xx ⑵2(2)9x ⑶2320xx ⑷221035xx (5)2210xx (6) 23(1)2(1)xxx
四．计算或化简（每小题3分，共12分）
⑴ )65)(65( ⑵ 13327
A
B
- 2 -
⑶ 3122112 ⑷ 248+3276（）
五、解答题（第1、2、3题每小题5分，第4题6分，第5题9分，共34分）
1．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
(1) 用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
(2) 当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
2．小明在微机上设计了一长方形图片，已知长方形的长是140cm，宽是35cm，他又想
设计一个面积与其相等的圆，小明的想法能够实现吗?如果能,请你为小明提出设计方案.(要求写
出有关计算过程)
3．百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎
接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经
市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这
种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
4.已知a、b、c满足0235)8(2cba
求：（1）a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；
若不能构成三角形，请说明理由.
5.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，AB＝12，BC＝21，AD=16.动点P
从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线
段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之
停止运动.设运动的时间为t（秒）.
（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）分别求出出当t为何值时，① PD＝PQ，② DQ＝PQ ？