广东省华南师大附中2014届高三5月综合测试(三模)数学文试题 扫描版含答案
2024届广州华南师范大学附属中学高三综合测试(二)数学试题含答案
华南师大附中2024届高三综合测试（二）数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B 铅笔填涂相关信息。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A ．1M ∈B ．2M ∈C ．3M ∈D ．4M ∈2．“0a b >>”是“22a b >”的4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若25815a a a ++=，则9S = A ．15B ．30C ．45D ．606．已知公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且101a <<，()()5049110a a −−<，若对任意的*n ∈N ，k n T T ≤恒成立，则k 的值为A ．49B ．50C ．99D ． 1007．已知函数()()11sin 1e e 1x x f x x x −−=−+−−+，则满足()(32)0f x f x +−<的x 的取值范围是 2,,n x ，满足(1n f x −++的最小值为A ．6 B ．7 C ．8 D ．9小题，每小题5分，共分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部分，有选错的得所在平面内一点，23OA OB OC ++=0，则下列说法正确的有()0AB AC BC +⋅=，则6AB AC +=．若CA 在CB 上的投影向量为CB ，则PQ 的最小值为10．若点P 为BC 的中点，则2OQ OP =−0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则()AP AB AC ⋅+为定值．已知数列{}n a 满足11a =，1e e 1n n a a n a +=−，则为单调递减数列B ．1n a +>第二部分 非选择题（共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省华南师范大学附中高三数学5月综合测试试题 文 新人教A版
2013年华师附中高三综合测试数学（文科）本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 是虚数单位，则复数3232i i i z ++=所对应的点落在A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 已知全集R U =，}21{<<-=x x A ，}0{≥=x xB ，则=)(B AC U YA ．}20{<≤x xB ．}0{≥x xC ．}1{-≤x xD ．}1{->x x3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且16122=a a ，则=92log a A ．4 B.5 C.6 D.74．在ABC ∆中, 已知向量)72cos ,18(cos 00=AB , )27cos 2,63cos 2(00=AC , 则BAC ∠cos 的值为 A ．0 B ．21C ．22D ．235．一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为A ．B ．C ．D ． 6．命题:p 若R b a ∈,，则1>+b a 是1>+b a 的充分而不必要条件；命题:q 函数21--=x y 的定义域是),3[]1,(+∞--∞Y ，则A ．“p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真7．若⎩⎨⎧≤+≥+1022y x y x ，则y x +2的取值范围是 A ．[22, 5 ] B ． [－22 ,22] C ． [－22, 5 ] D ． [－ 5 , 5 ]8 在圆422=+y x 上与直线01234=-+y x 距离最小的点的坐标是( )A.)56,58(B. )56,58(-C. )56,58(- D. )56,58(--9．函数x x y cos +=的大致图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．10．已知命题“x ∃∈R ，12x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 A.)1,3(- B. ]1,3[- C. ),1()3,(+∞--∞YD. ),1[]3,(+∞--∞Y第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11. 双曲线229161x y-=的焦距是___________. 12．已知53)4sin(=-x π，则 x 2sin 的值为 . 13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 则输出的结果是 .题图第15（二）选做题（请考生在以下两个小题中任选一题做答）14．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则它的圆心到直线l ：⎩⎨⎧+=--=ty t x 2322（t为参数）的距离等于 .15．如图，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点， 割线PEF 经过圆心O ，若12PF =，PD =，则⊙O 的半径长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如下图所示. (1)求函数)(x f 的解析式;(2)当]32,6[--∈x 时,求函数)2()(++=x f x f y 的最大值与最小值及相应的x 的值.17. （本小题满分12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为5． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）已知在不患心肺疾病的5位男性中，有3位又患胃病．现在从不患心肺疾病的5位男性中，任意选出3位进行其他方面的排查，求恰好有一位患胃病的概率．PDFOE（参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中n a b c d =+++）18．（本小题满分14分）已知52,a a 是方程027122=+-x x 的两根, 数列{}n a 是公差为正数的等差数列，数列{}n b 的前项和为n T ，且)(211*N n b T n n ∈-=。
2023届广东省华南师范大学附属中学高三第三次模拟考试数学试题及参考答案
2023届高三综合测试数 学2023年5月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,0,1M =−，2{|1,}N y y x x M ==−∈，则M N 等于A ．{}1,0−B ．{}0,1C ．{}1,1−D ．{}1,0,1−2. 已知复数z 满足(1)|2|z i i +=−，则复数z 对应的点在第（ ）象限 A ．一B ．二C ．三D ． 四3. 已知向量()()3,4,4,m ==a b ，且a b a b +=−，则b = A ．3B ．4C ．5D ．64. 在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数. 当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染1个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长. 当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散. 接种疫苗是预防病毒感染的有效手段.已知某病毒的基本传染数05R =，若1个感染者在每个传染期会接触到N 个新人，这N 人中有V 个人接种过疫苗（VN称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为()0R N V N−，为了有效控制病毒传染（使1个感染者传染人数不超过1），我国疫苗的接种率至少为 A ．75%B ．80%C ．85%D ．90% 5. 设n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和．若20232023S =，则4202014a a +的最小值为 A ．52B ．5C ．9D ．926. 已知π31cos1,2),a b c −+===，则 A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b7. 已知克列尔公式：对任意四面体，其体积V 和外接球半径R 满足6RV =1111(),2p aa bb cc =++ 111,,,,,a a b b c c分别为四面体的三组对棱的长.在四面体ABCD 中，若AB CD AC BD ====21AD BC ==,则该四面体的外接球的表面积为A ．52π B ．3π C ．73π D ．5π8. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2:2C y px =的准线与圆22:(1)1M x y ++=相切于点A ，直线AB 与抛物线C 切于点B ，点N 在圆M 上，则AB AN ⋅的取值范围为A ． [0,8]B ． [2−+C ． [4−+D ． 4]二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2014广东高考数学文科试卷含答案(WORD版).pptx
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解 : (1)令n 1得 : S 2 (1)S 3 2 0,即S 2 S 6 0,(S 3)(S 2) 0,
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Q S1 0,S1 2,即a1 2.
(2)由S 2 n
(n2
n 3)S 3(n2 n
n)
0, 得 : (S
② z1 (z2 z3 ) (z1 z2 ) (z1 z3 ) ；
③ ( z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ); ④ z1 z2 z2 z1 ；
则真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
答案: B 提示:①(z1 z2 )*z3=(z1 z2 )z3 =(z1 z3) (z2 z3)=(z1*z3)+(z2 *z3),故①是真命题;
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学海无 涯
20. 已知椭圆C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)的一个焦点为(
5 , 0), 离心率为
5. 3
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0 , y0 )为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
A. 50 答案: C
B. 40
提示: 分段的间隔为1000 25. 40
广东省广州市华南师范大学附属中学2024届高三下学期5月月考数学试题
广东省广州市华南师范大学附属中学2024届高三下学期5月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．在ABC V 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若2cos cos cos cos b c B C B C+=，则=a （ ）A ．12B C ．1D ．23．在0,1,2,3,4中不重复地选取4个数字，共能组成（ ）个不同的四位数. A ．96B ．18C ．120D ．844．“0x 是函数()f x 的一个极值点”是“()f x 在0x 处导数为0”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知复数1z ，2z 的模长为1，且1212z z z z +=，则12z z +的值是（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -6．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m n ，n ⊂α，则//m α B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若m α⊥，n α⊥，m β⊂，γ⊂n ，则//βγD ．若//m α，//n α，则m ，n 平行、相交、异面均有可能7．已知正实数,a b 满足21a b += ）A ．(B ．()0,1C ．(D ．(8．已知在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2211221:1,0x y E a b a b -=>的右焦点为F ，点D 为双曲线右支上一点，直线OD 交双曲线于另一点G ，且,2GF DF OD DF ⊥=，直线GF 经过椭圆()2222222:10x y E a b a b +=>>的下顶点，记1E 的离心率为12,e E 的离心率为2e ，则（ ）A ．2212117e e += B ．22121115e e += C ．221212115e e += D ．22124115e e +=二、多选题9．使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量x （单位为天），以监测到的病例总数为因变量y ，选择以下两个回归模型拟合y 随x 的变化：回归模型一：11(0)y k x b x =+>；回归模型二：2(0)mxy k e x =>，通过计算得出1125.14,16.3; 2.5,0.2k b k m ==-==，则下列说法正确的是（ ）A ．使用回归模型一拟合的决定系数2R 大于使用回归模型二的决定系数2RB ．通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程C ．在首例病例出现后45天，该传染病感染人数很有可能在200人左右D ．在首例病例出现后45天，该传染病的感染人数很有可能超过10000人10．函数()f x 和()g x 的定义域为R ，若()f x 的最小正周期为(),a g x 的最小正周期为b ，则（ ）A ．()()f x g x +为周期函数B ．()()f x g x 为周期函数C ．x x f g b a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为周期函数D ．x x f g b a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为周期函数11．如图所示，在五面体EBDCA 中，,,ABE BCE DCE V V V 都是等腰直角三角形，2AB AE DE DC ====，且平面ABE ⊥平面BCE ，平面DCE ⊥平面BCE ，则下列说法正确的有（ ）A ．AD //平面BECB ．五面体EBDCA 的外接球半径为2C ．五面体EBDCA 的体积为D ．五面体EBDCA三、填空题12．直线1l 的斜率为1k ，直线2l 的斜率为2k ，直线1l 不与直线2l 垂直，且直线1l 和直线2l 夹角的角平分线的斜率为122k k +，则1k 的取值范围是 . 13．在平面直角坐标系中，若以原点为中心的双曲线经过旋转变换后为函数()f x 的图象，函数()g x 的定义域为()0,∞+且()()(0)g x f x x =>，若()g x 在定义域内存在反函数，则双曲线离心率的取值范围为 .14．已知实数,a b 满足()e cos aa b a ++=，则a 的值是 ，b 的取值集合是 .四、解答题15．已知ABC V 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且ABC V 的面积cos S B =． （1）求角B 的大小; （2）若2a =，且43A ππ≤≤，求边c 的取值范围．16．如图，已知长方形ABCD 中，2,1,AB AD M ==为DC 的中点.将ADM △沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .(1)求证：AD BM ⊥；(2)若(01)DE DB λλ=<<u u u r u u u r ，当二面角E AM D --大小为π3时，求λ的值.17．在一条只能沿单向行驶的高速公路上，共有()2n n ≥个服务区.现有一辆车从第n 个服务区向第1个服务区行驶，且当它从第(1)k k n <≤个服务区开出后，将等可能地停靠在第11k ~-个服务区，直到它抵达第1个服务区为止，记随机变量n X 为这辆车全程一共进入的服务区总数.(1)求3X 的分布列及期望；(2)证明：()()11n n E X E X +⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是等差数列.18．已知椭圆2222:1(,0)x y E a b a b +=>的焦距为(),1,,2,1A B D ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭中恰有两点在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)椭圆E 上有三点,,G S T ，直线ST 过点()2,2C ，直线GS 与y 轴交于()0,h ，点M 为GS 中点，,,M O C 三点共线，直线GT 与直线OC 的交点为Q ，求三角形QGS 的面积关于h 的表达式.19．对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数()f x ，若对在()f x 定义域内的给定常数a ，存在数列{}n a 满足1a 在()f x 的定义域内且1a a >，且对()*2,,n n y f x ∀≥∈=N 在区间()1,n a a -的图象上有且仅有在n x a =一个点处的切线平行于()(),a f a 和()()11,n n a f a --的连线，则称数列{}n a 为函数()f x 的“a 关联切线伴随数列”.(1)若函数()2f x x =，证明：(),a f x ∀∈R 都存在“a 关联切线伴随数列”；(2)若函数()()31g x x =-，数列{}n a 为函数()f x 的“1关联切线伴随数列”，且11a =，求{}n a 的通项公式；(3)若函数()36sin h x mx x =+，数列{}n b 为函数()f x 的“b 关联切线伴随数列”，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：当1,0m b ≥≥时，()112n n S b n b b +≥-+.。
广东省华南师范大学附属中学高三数学5月综合测试试题
广东省华南师范大学附属中学2016届高三数学5月综合测试试题 理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合(){},1x y y x P ==+，{}Q xy y e ==，则Q P =I（ ）A ．(){}0,1 B ．{}0 C ．{}1 D ．∅【答案】D考点：集合的意义 2.在复平面内与复数512iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i -+ D ．2i + 【答案】C 【解析】 试题分析：复数()()()51252121212i i iz i i i i ⋅-===+++-所对应的点为()2,1，其关于虚轴对称的点为A ()2,1-，故A 对应的复数为2i -+，选C 考点：复数的意义及其运算3.函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将函数()sin g x x ω=的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移12π个单位【答案】C考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图像和性质4.已知空间直角坐标系xyz O -中有一点()1,1,2A --，点B 是平面x y O 内的直线1x y +=上的动点，则A ，B 两点的最短距离是（ ） A 6 B 34 C ．3 D 17【答案】B 【解析】试题分析：∵点B 是平面x y O 内的直线1x y +=上的动点， ∴可设点10B m m -（，，）由空间两点之间的距离公式，得2222(1)[1()]120() 229AB m m m m =-+----+--+令22117229222t m m m =-+=-+（）当12m =时，t 的最小值为172∴当12m =时，AB 173422=，即A ，B 34 故选B考点：空间两点之间的距离公式5.已知直线a ，b ，平面α，β，且a α⊥，b β⊂，则“a b ⊥”是“//αβ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B考点：直线与平面的位置关系6.某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（）A．600 B．288 C．480 D．504【答案】D【解析】试题分析：学校安排六节课程可看做是用6个不同的元素填6个空的问题，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课的排法可分两类．一类是体育课排在第四节，则满足了体育课不在第一节，同时满足了数学课不在第四节，排法种数是55120A=种；一类是体育课不排第四节，数学课也不排在第四节，则第四节课只能从语文、英语、物理、化学课中任取1节来安排，有4种安排方法，然后安排第一节课，第一节课可从语文、英语、物理、化学课中剩下的3各科目及数学科目4个科目中任选1节，有4种安排方法，最后剩余的4各科目和4节课可全排列有4424A=种排法，由分步计数原理，第二类安排方法共有4424384⨯⨯=种．所以这天课表的不同排法种数为120384504+=种．故选D．考点：排列组合实际应用问题7.如图，在C ∆AB 中，设a AB =u u u r r ，C b A =u u u r r，AP 的中点为Q ，Q B 的中点为R ，CR 的中点为P ，若ma nb AP =+u u u r r r，则m ，n 对应的值为（ ）A ．27，47 B ．12，14 C ．16，27 D ．16，37【答案】A考点：平面向量基本定理8.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．23 B ．3 C ．433 D ．233【答案】C 【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是四棱锥，其直观图如图所示；四棱锥的一个侧面SAB 与底面ABCD 垂直，过S 作SO AB ⊥，垂足为O ，323SO ABCD SO ∴⊥=⨯=底面，，底面为边长为2的正方形， ∴几何体的体积1432233V =⨯⨯⨯=.故答案为C. 考点：三视图，几何体的体积9.已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为()a I ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如219a =，则()129a I =，()D 921a =），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则下面四个数中有可能被输出的是（ ）A ．792B ．693C ．594D ．495【答案】D 【解析】试题分析： A ，如果输出的值为792，则792a =，279972972279693I a D a b D a I a ===-=-=（），（），（）（），不满足题意．B ，如果输出的值为693，则693,a =，369963963369594I a D a b D a I a ===-=-=（），（），（）（），不满足题意．C ，如果输出的值为594，则594a =，459954954459495I a D a b D a I a ===-=-=（），（），（）（），，不满足题意． D ，如果输出的值为495，则495a =，，459954954459495I a D a b D a I a ===-=-=（），（），（）（），满足题意．故选D ．考点：程序框图 10.在C ∆AB 中，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则（ ）A ．a ，b ，c 依次成等差数列B 依次成等比数列C ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列D ．2a ，2b ，2c 依次成等比数列 【答案】C考点：正弦定理，余弦定理11.已知直线1:l 210x y --=，直线2:l 10ax by -+=，其中a ，{}1,2,3,4,5,6b ∈．则直线1l 与2l 的交点位于第一象限的概率为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．12【答案】A 【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是,a b 分别从集合中选一个元素，共有6636⨯=种结果，直线1l 与2l 联立，可得解得2212b x b aa yb a ⎧+⎪⎪-⎨+⎪⎪-⎩＝＝∵直线1l 与2l 的交点位于第一象限，2022102b x b ab a a y b a ⎧+>⎪⎪-∴∴>⎨+⎪>⎪-⎩＝＝∴满足条件的实数对(),a b （a ，b ）有131415162526（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）共六种． ∴所求概率为61366=.故答案为A 考点：古典概型12.非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a ，G b ∈，都有G a b ⊕∈；（2）存在G e ∈，使得对一切G a ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①{}G =非负整数，⊕为整数的加法；②{}G =偶数，⊕为整数的乘法；③{}G =平面向量，⊕为平面向量的加法；④{}G =二次三项式，⊕为多项式的加法；⑤{}G =虚数，⊕为复数的乘法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①⑤D ．②③④ 【答案】B考点：演绎推理【名师点睛】本题考查学生的阅读理解能力及演绎推理，属中档题.解题时正确理解题意是解题的关键第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知点(),x y P 的坐标满足条件11350x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，那么点P 到直线34130x y --=的最小值为 【答案】2考点：简单的线性规划，点到直线的距离14.在()nx y +的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于 ． 【答案】n 的值可能等于11，12，13； 【解析】试题分析：根据题意，分三种情况： ①若仅7T 系数最大，则共有13项，12n =；②若7T 与6T 系数相等且最大，则共有12项，11n =；③若7T 与8T 系数相等且最大，则共有14项，13n =；所以n 的值可能等于11，12，13；． 考点：二项式定理15.已知椭圆C:22193x y +=，直线:l 2y kx =-与椭圆C 交于A ，B 两点，点()0,1P ，且PA =PB ，则直线l 的方程为 ．【答案】20x y --=或20x y ++=考点：椭圆的简单性质16.已知C ∆AB 的三个内角A 、B 、C 满足2C A+B =，11cos cos C cos +=-A B，则Ccos2A -的值为 ．【答案】2【解析】考点：三角恒等变换三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数()21322f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S （n *∈N ）均在函数()y f x =的图象上．（I ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （II ）令11n n n n n a a c a a ++=+，证明：121222n n c c c n <++⋅⋅⋅+<+． 【答案】（I ）1n a n =+;（II ）见解析 【解析】试题分析：（I ）点(),n n S 均在函数()y f x =的图象上，则21322n S n n =+,可得11n n n a S S n -=-=+，并验证1a 即可；（II ）证明：由1112221n n n n n a a n n c a a n n ++++=+=+>++，得122n c c c n ++⋅⋅⋅+>；由121122112n n n c n n n n ++=+=+-++++，得121111112233412n c c c n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122222n n n =+-<++；即证．考点：数列与函数的综合，18.在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的． （I ）求蜜蜂落入第二实验区的概率；（II ）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率； （III ）记X 为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X 的数学期望()E X ．【答案】（I ）蜜蜂落入第二实验区的概率为78；（II ）恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率为30702；（III ）5EX =（III ）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，所以变量X 满足二项分布，即140,8⎛⎫X ⎪⎝⎭:∴随机变量X 的数学期望14058EX =⨯=考点：几何概型，离散型随机变量的分布列及其期望19.在三棱柱111C C AB -A B 中，底面C AB 为正三角形，1a AB =A A =，1C BA ⊥A ，1C A ⊥AB ．（I ）求证：1C AA ⊥B ；（II ）把四棱锥111CC A -B B 绕直线C B 旋转一个角到C C '''A -BB ，使平面C AB 与C C ''BB 重合，求该旋转角的余弦值．【答案】（I ）见解析；（II ）所求旋转过的角的余弦值为33（II ）由题知所求旋转过的角就是二面角1C 'B -B -BQ 11//AA BB ．由（I ）知1C BB ⊥B ，从而C 'BB ⊥B∴1'∠B BB 为二面角1C 'B -B -B 的平面角又//'BB AH （在底面内AH 、'BB 同垂直于C B ）∴11'∠B BB =∠A AH （1'∠B BB 与1∠A AH 的两边分别平行，且方向相同）．Q 1a AB =AA =，又H 为C ∆AB 的垂心，C ∆AB 为正三角形，∴H 为C ∆AB 的中心在1Rt ∆A AH中，1123cos 3a ⎫⨯⎪AH ⎝⎭∠A AH ===AA ，∴1cos '∠B BB =即所求旋转过的角的余弦值为3考点：线面垂直的判定定理，二面角的求法20.已知C ∆AB 的边AB 在直角坐标平面的x 轴上，AB 的中点为坐标原点，若C 12AB⋅A =ABu u u r u u u r u u u r ，C 32BA ⋅B =BAu u u r u u u ru u u r ，又E 点在C B 边上，且满足32C BE =E u u u r u u u r ，以A 、B 为焦点的双曲线经过C 、E 两点． （I ）求AB u u u r及此双曲线的方程；（II ）若圆心为()0,0x T 的圆与双曲线右支在第一象限交于不同两点M ，N ，求T 点横坐标0x 取值范围．【答案】（I ）2AB =u u u r ，双曲线方程为2211677x y -=；（II ）0x取值范围为)+∞、（II ）设()11,x y M ，()22,x y N ，由条件知TM =TN ，=∴()()()()222222122010210122y y x x x x x x x x x -=---=-+- ①又M 、N 在双曲线上，满足22117716x y -=，22227716x y -=，∴()222212126y y x x -=- ② 将②代入①，()()221201272x x x x x -=-，由条件知12x x ≠，∴()12072x x x +=又1x >，2x >12x x ≠，∴()01272x x x =+>∴0x取值范围为)+∞考点：平面向量数量积的定，双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系 21.设函数()xf x e ax b =++（a ，R b ∈），()212g x x =． （I ）当0a b ==时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程()y h x =，并证明()()f x h x ≥（0x ≥）恒成立；（II ）当1b =-时，若()()f x g x ≥对于任意[)0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（III ）求证：()11211222ln 1nn kk eg n n k +=⎡⎤⎛⎫->++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑（n *∈N ）． 【答案】（I ）曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+．证明见解析；（II ）1a ≥-；（III ）见解析试题解析：（I ）当0a =，0b =时，()x f x e =，()xf x e '=，所以()()001f f '==，求得曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+．（III ）要证：()1ln 211222ln 1nk k e g n n k +=⎛⎫⎛⎫->++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，即证()111222ln 1nk k e g n n k =⎛⎫⎛⎫->++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，也就是()1211ln 12nkk e n n k =⎛⎫->++ ⎪⎝⎭∑，由（II ）可知1a =-；212xx e x ≥++，令1x k=，121112ke k k ≥++，则121112k e k k -≥+ ∴1211112nnk k k e n k k ==⎛⎫->+ ⎪⎝⎭∑∑．又由（I ）可知：1xe x >+（0x >），所以()ln 1x x >+，令1x k=，k *∈N ， 所以11ln 1k k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，有()()11111ln 1ln 1ln ln 1nn nk k k k k n k k ===⎛⎫⎛⎫>+=+-=+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 即()1211ln 12nk k e n n k =⎛⎫->++ ⎪⎝⎭∑，故()1ln 211222ln 1n k k e g n n k +=⎛⎫⎛⎫->++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑（n *∈N ）．考点：利用导数研究函数的性质请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.如图，半圆O 的直径AB 的长为4，点C 平分»AE ，过C 作AB 的垂线交AB 于D ，交AE于F ．（I ）求证：2C F E =AE⋅A ；（II ）若AE 平分C ∠AB ，求CD 的长．【答案】（I ）见解析；（II ）CD 3=考点：相似三角形的判定和性质 23. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，曲线1C的参数方程为1x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（其中θ为参数），点M 是曲线1C 上的动点，点P 在曲线2C 上，且满足2OP =OM u u u r u u u u r．（I ）求曲线2C 的普通方程；（II ）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线3πθ=与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求AB ．【答案】（I ）2C 的普通方程为()22212x y -+=；（II ）2AB =（II ）曲线1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，将3πθ=代入，可得2ρ=，因此A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭；曲线2C 的极坐标方程为24cos 80ρρθ--=，将3πθ=代入，可得4ρ=，因此B 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭． 所以422AB =-=．考点：极坐标方程与参数方程、普通方程的互化 24. 选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x a x =-+-，R a ∈． （I ）当3a =时，解不等式()4f x ≤；（II ）当()2,1x ∈-时，()21f x x a >--恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（I ）{}04x x ≤≤；（II ）a 的取值范围为(],2-∞-（II ）()()()1121f x x a x x a x x a =-+-≥-+-=--，当()()10x a x --≥时，()21f x x a =--；当()()10x a x --<时，()21f x x a >--． 记不等式()()10x a x --<的解集为A ，则()2,1-⊆A ，故2a ≤-，所以a 的取值范围为(],2-∞-． 考点：绝对值不等式。
湖北省华中师大一附中2014届高三五月高考压轴卷数学(文)试题扫描版含答案
文科数学答案三.18.解：(1)f (x )＝sin(2x －32π)＋[1＋cos(2x －32π)]－＝sin(2x －32π)＋cos(2x －32π)＝2sin(2x －3π)，----------------------------------------------3∴函数f (x )的最大值为2，此时2x －3π＝2π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝125π＋k π，k ∈Z.-------------------------------------------------------------------------------6(2)f (2x )＝2sin(4x －3π)，令t ＝4x －3π，∵x ∈[0，4π]，∴t ∈[－3π，32π]，设t 1，t 2是函数y ＝2sin t －a 的两个相应零点(即t 1＝4x 1－3π，t 2＝4x 2－3π)，由函数y ＝2sin t 的图象性质知t 1＋t 2＝π，即4x 1－3π＋4x 2－3π＝π，∴x 1＋x 2＝4π＋6π，tan(x 1＋x 2)＝tan(4π＋6π)＝6π＝33＝2＋.--------------1220. (1)过点M作,垂足为D，连接ND平面平面ABC平面ABC，∴是直线MN与平面A BC所成角。
在△MND中，，，则(2)由体积法解得，点A1到平面AB1C1的距离(2)①当时, 取得极值,所以解得(经检验符合题意)↗所以函数在,()递增,在递减当时,在单调递减=当时,在单调递减,在单调递增,当时, 在单调递增,综上在上的最小值为②令得(舍)因为所以所以对任意,都有（2）依题意，联立，则是方程的两个根，∴，∴线段AC中点为，同理线段BD的中点为，因为四边形ABCD为菱形，所以中点重合，所以，因为，所以解得，即菱形ABCD的对角线AC和BD相交于原点O。
……………8分联立消得方程，解得，故，同理，又因为，所以，所以，所以菱形ABCD 的面积S为。
广东省华南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期综合测试(二)数学试题及答案
2025届高三综合测试（二）数学满分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0.13a =，30.1b =，3log 0.1c =，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c b a>>2．设x ∈R ，向量(),1a x = ，()4,b x = ，则2x =是a b ∥的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题“x ∀∈R ，使()212102x a x +-+>”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．13a -<<B ．13a -≤≤C ．1a <-或3a >D ．1a ≤-或3a ≥4．函数()3cos 1x f x x+=的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．若()()()22log 21x f x x a =+-+是偶函数，则a 的值为（）A ．14B ．12C ．0D ．16．已知某简谐振动的振动方程是()()()sin 0,0f x A x B A ωϕω=++>>，该方程的部分图象如图．经测．图中的最高点D 与最低点E ，F 为等腰三角形的顶点，则振动的频率是（）A ．0.125HzB ．0.25HzC ．0.4HzD ．0.5Hz7．已知直线y ax b =+与曲线1y x x =+相切，则2a b +的最大值为（）A ．12B ．2C ．52D ．58．已知函数()1ln f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足132a =，()1n n a f a +=，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（）A ．76a a >B ．91a <C ．1012S <D ．1316S >二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设1z ，2z 为复数，且120z z ≠，则下列结论正确的是（）A ．1212z z z z =B ．1212z z z z +=+C ．若12z z =，则2212z z =D ．1212z z z z ⋅=⋅10．已知函数()tan tan f x x x =+，则下列结论中正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心C ．()f x 的值域为[)0,+∞D ．不等式()2f x >的解集为()πππ,π42k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 11．已知函数()sin cos e e x x f x =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（）A ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数B ．()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 在()0,π上有两个极值点D ．若0x 为()f x 的一个极小值点，且()0cos 0e tan x a f x x -<+恒成立，则1a <-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2014年广州市高三年级调研测试数学答案(文科)
广州市2014届高三年级调研测试 数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．1112．3 13．8π14．1 15．⎡⎢⎣⎦三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，A B C ++=π．………………………………………………………………1分所以coscos 22A C Bπ+-= …………………………………………………………………………2分sin23B ==．………………………………………………………………………3分 所以2cos 12sin2BB =- ……………………………………………………………………………5分 13=．………………………………………………………………………………………7分 （2）因为3a =，b =1cos 3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，………………………………………………………………9分 得2210c c -+=．……………………………………………………………………………………11分 解得1c =．……………………………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =人．………………………………………………………………………………………1分且0.08251000.02b =⨯=人．……………………………………………………………………………2分 总人数252500.025N ==⨯人．………………………………………………………………………3分 （2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………4分 第2组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………5分 第3组的人数为10064150⨯=，………………………………………………………………………6分所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………………………………………7分 （3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中抽取2人的所有可能结果为： (,)A B ，1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，12(,)C C ，13(,)C C ，14(,)C C ，23(,)C C ，24(,)C C ，34(,)C C ，共有15种．……………………………9分其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，共有8种．………………………………………………………11分所以恰有1人年龄在第3组的概率为815．…………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明：在正AMB ∆中，D 是AB 的中点，所以MD AB ⊥．……………………………………1分因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故PA AB ⊥．……………………2分 又PA AC ⊥，AB AC A = ，,AB AC ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………4分 因为⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………5分 又,,,PC BC PA PC P PA PC ⊥=⊂ 平面PAC ， 所以⊥BC 平面PAC ．………………………………7分 （2）解法1：设点B 到平面DCM 的距离为h ，………8分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =．因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……………………………………………………9分 因为4,BC BC AC =⊥，所以3AC =．所以1111143322222BCD ABC S S BC AC ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．…………………………………10分 因为23525522=⎪⎭⎫⎝⎛-=MD ，由（1）知//MD PA ，所以DC MD ⊥． 在ABC ∆中，1522CD AB ==， 所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD ．…………………………………………11分 因为MCD B BCD M V V --=，……………………………………………………………………………12分 所以h S MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131，即11333h ⨯=．……………………………………………………………………13分 所以512=h ． 故点B 到平面DCM 的距离为512．………………………………………………………………14分 解法2：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，…………………………………………8分由（1）知，PA ⊥平面ABC ，//MD PA ， 所以MD ⊥平面ABC ．因为BH ⊂平面ABC ，所以MD BH ⊥．因为CD MD D = ，所以BH ⊥平面DCM ．所以BH 为点B 到平面DCM 的距离．………………9分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……10分因为D 为AB 的中点，所以52CD BD ==．以下给出两种求BH 的方法：方法1：在△BCD 中，过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ，则1322DE AC ==．…………………………………………………………………………………11分 因为1122CD BH BC DE ⨯⨯=⨯⨯，………………………………………………………………12分所以34122552BC DE BH CD ⨯⨯===方法2：在Rt △BHD 中，222254BH DH BD +==． ①…………………………11分 在Rt △BHC 中，因为4BC =， 所以222BH CH BC +=，即225162BH DH ⎛⎫++= ⎪⎝⎭． ②…………………………………12分由①，②解得125BH =．故点B 到平面DCM 的距离为512．………………………………………………………………14分19．（本小题满分14分） 解：（1）因为321212222n n a a a a n -++++= ，*n ∈N ， ① 所以当1=n 时，12a =．……………………………………………………………………………1分 当2≥n 时，()31212221222n n a a a a n --++++=- ， ② …………………………………2分 ①－②得，122nn a -=．…………………………………………………………………………………4分 所以2nn a =．…………………………………………………………………………………………5分 因为12a =，适合上式， 所以2nn a =()*n ∈N ．………………………………………………………………………………6分（2）由（1）得2nn a =．…………………………………………………………………………………7分所以()()111n n n n a b a a +=--()()122121nnn +=--…………………………………………………8分 1112121n n +=---．…………………………………………………………………………10分 所以12n n S b b b =+++1111111113377152121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………12分 11121n +=--．………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解法1：由2=知点M 为线段PD 的中点．……………………………………………1分设点M 的坐标是(,)x y ，则点P 的坐标是(),2x y ．……………………………………………2分 因为点P 在圆422=+y x 上，所以()2224x y +=．…………………………………………………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分解法2：设点M 的坐标是(,)x y ，点P 的坐标是()00,y x ，由2=得，x x =0，y y 20=．……………………………………………………………1分 因为点P ()00,y x 在圆422=+y x 上，所以42020=+y x ． ①………………………………………………………………………2分 把x x =0，y y 20=代入方程①，得4422=+y x ．……………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分 （2）解：因为EB EA ⊥，所以0=⋅EB EA ．…………………………………………………………5分所以()2=-⋅=⋅．……………………………………………………………7分设点()11,A x y ，则221114x y +=，即221114x y =-．………………………………………………8分 所以()222221111112114x EA BA EA x y x x ⋅==-+=-++-221113342224433x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+=-+．……………………………………………………………10分 因为点()11,A x y 在曲线C 上，所以122x -≤≤．………………………………………………11分所以21234293433x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………13分所以⋅的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡932，．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．………………………………………………………………1分且1()2(2)f x ax a x'=-+-．………………………………………………………………………2分 因为()f x 在1x =处取得极值， 所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-．…………………………………………………………………………………………3分当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=， 当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以1x =是函数()y f x =的极小值点．故1a =-．……………………………………………………………………………………………4分 （2）因为2a a <，所以01a <<．…………………………………………………………………………………………5分由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-．因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>．当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<．所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………7分①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增，所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-．………………………………………………………9分②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即122a <<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以[]max 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭．……………………………………11分 ③当212a ≤，即12a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上单调递减， 所以[]2532max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-．…………………………………………………13分综上所述：当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-；当122a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；1a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．…………………14分。
2014年广东省高考数学试卷(文科)(含解析版)
2014年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（）A．{0，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{3，5} 2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i3．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，0）D．（4，3）4．（5分）若变量x，y满足约束条件A．7B．8，则z=2x+y的最大值等于（）C．10D．115．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．2x﹣B．x3sinx C．2cosx+1D．x2+2x6．（5分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．50B．40C．25D．207．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA ≤sinB”的（）A．充分必要条件C．必要非充分条件8．（5分）若实数k满足0＜k＜5，则曲线A．实半轴长相等B．虚半轴长相等B．充分非必要条件D．非充分非必要条件﹣=1与﹣=1的（）C．离心率相等D．焦距相等9．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4C．l1与l4既不垂直也不平行B．l1∥l4D．l1与l4的位置关系不确定10．（5分）对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2=ω1对任意复数z1，z2，z3有如下命题：①（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）②z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）③（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；④z1*z2=z2*z1则真命题的个数是（）A．1B．2C．3其中2，2是ω2的共轭复数，D．4二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（1113题）11．（5分）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为．12．（5分）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为．13．（5分）等比数列{an }的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=．（二）（1415题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为．【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=．四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．17．（13分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）191283293305314323401合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．18．（13分）如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF ．（1）证明：CF ⊥平面MDF ；（2）求三棱锥M ﹣CDE 的体积．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n 满足S n 2﹣（n 2+n ﹣3）S n ﹣3（n 2+n ）=0，n ∈N *．（1）求a 1的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有++…+＜．20．（14分）已知椭圆C：为．+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．21．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＜0时，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x）=f（）．2014年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（）A．{0，2}B．{2，3}C．{3，4}D．{3，5}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，∴M∩N={2，3}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：∵满足（3﹣4i）z=25，则z===3+4i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，0）D．（4，3）【考点】99：向量的减法；9J：平面向量的坐标运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（3，1），∴﹣=（2，﹣1）故选：B．【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．4．（5分）若变量x，y满足约束条件A．7，则z=2x+y的最大值等于（）C．10D．11B．8【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B（4，2）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时z=2×4+2=10，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．5．（5分）下列函数为奇函数的是（）A ．2x ﹣B ．x 3sinxC ．2cosx +1D ．x 2+2x【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的定，对各个选项中的函数进行判断，从而得出结论．【解答】解：对于函数f （x ）=2x ﹣故此函数为奇函数．对于函数f （x ）=x 3sinx ，由于f （﹣x ）=﹣x 3（﹣sinx ）=x 3sinx=f （x ），故此函数为偶函数．对于函数f （x ）=2cosx +1，由于f （﹣x ）=2cos （﹣x ）+1=2cosx +1=f （x ），故此函数为偶函数．对于函数f （x ）=x 2+2x ，由于f （﹣x ）=（﹣x ）2+2﹣x =x 2+2﹣x ≠﹣f （x ），且f （﹣x ）≠f （x ），故此函数为非奇非偶函数．故选：A ．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．6．（5分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（），由于f （﹣x ）=2x ﹣﹣=﹣2x =﹣f （x ），A ．50B ．40C ．25D ．20【考点】B4：系统抽样方法．【专题】5I ：概率与统计．【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40=25．故选：C ．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础．7．（5分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b”是“sinA ≤sinB”的（）A ．充分必要条件C ．必要非充分条件B ．充分非必要条件D ．非充分非必要条件【考点】HP ：正弦定理．【专题】5L ：简易逻辑．【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可．【解答】解：由正弦定理可知⇒=，∵△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 均小于180°，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，∴a ，b ，sinA ，sinB 都是正数，∴“a ≤b”⇔“sinA ≤sinB”．∴“a ≤b”是“sinA ≤sinB”的充分必要条件．故选：A ．【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．8．（5分）若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等﹣=1与﹣=1的（）C ．离心率相等D ．焦距相等【考点】KC ：双曲线的性质．【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据k 的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a ，b ，c 的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k ＜5，则0＜5﹣k ＜5，11＜16﹣k ＜16，即曲线﹣=1表示焦点在x 轴上的双曲线，其中a 2=16，b 2=5﹣k ，c 2=21﹣k ，曲线﹣=1表示焦点在x 轴上的双曲线，其中a 2=16﹣k ，b 2=5，c 2=21﹣k ，即两个双曲线的焦距相等，故选：D ．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a ，b ，c 是解决本题的关键．9．（5分）若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是（）A ．l 1⊥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行B ．l 1∥l 4D ．l 1与l 4的位置关系不确定【考点】LO ：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论．【解答】解：在正方体中，若AB 所在的直线为l 2，CD 所在的直线为l 3，AE 所在的直线为l 1，若GD 所在的直线为l 4，此时l 1∥l 4，若BD 所在的直线为l 4，此时l 1⊥l 4，故l 1与l 4的位置关系不确定，故选：D．【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．10．（5分）对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2=ω1对任意复数z 1，z 2，z 3有如下命题：①（z 1+z 2）*z 3=（z 1*z 3）+（z 2*z 3）②z 1*（z 2+z 3）=（z 1*z 2）+（z 1*z 3）③（z 1*z 2）*z 3=z 1*（z 2*z 3）；④z 1*z 2=z 2*z 1则真命题的个数是（）A．1其中2，2是ω2的共轭复数，B．2C．3D ．4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．【专题】5L：简易逻辑；5N ：数系的扩充和复数．【分析】根据已知中ω1*ω2=ω12，其中2是ω2的共轭复数，结合复数的运算性质逐一判断四个结论的真假，可得答案．【解答】解：①（z 1+z 2）*z 3=（z 1+z 2）确；=（z 1+z 2=（z 1*z 3）+（z 2*z 3），正②z 1*（z 2+z 3）=z 1（③（z 1*z 2）*z 3=z 1成立，故错误；④z 1*z 2=z 1，z 2*z 1=z 2）=z 1（+）=z 1+z 1=（z 1*z 2）+（z 1*z 3），正确；）=z 1z 3，等式不，z 1*（z 2*z 3）=z 1*（z 2）=z 1（，等式不成立，故错误；综上所述，真命题的个数是2个，故选：B ．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了复数的运算性质，细心运算即可，属于基础题．二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（1113题）11．（5分）曲线y=﹣5e x +3在点（0，﹣2）处的切线方程为5x +y +2=0．．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可．【解答】解：y′=﹣5e x ，∴y′|x=0=﹣5．因此所求的切线方程为：y +2=﹣5x ，即5x +y +2=0．故答案为：5x +y +2=0．【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题．12．（5分）从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】5I ：概率与统计．【分析】求得从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母、取到字母a 的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，共有取到字母a ，共有∴所求概率为故答案为：．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．13．（5分）等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5=4，则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=5．=10种情况，=4种情况，=．【考点】4H ：对数的运算性质；87：等比数列的性质；89：等比数列的前n 项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】可先由等比数列的性质求出a 3=2，再根据性质化简log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=5log 2a 3，代入即可求出答案．【解答】解：log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=log 2a 1a 2a 3a 4a 5=log 2a 35=5log 2a 3．又等比数列{a n }中，a 1a 5=4，即a 3=2．故5log 2a 3=5log 22=5．故选为：5．【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易．（二）（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为（1，2）．【考点】Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程，然后联立方程组求得答案．【解答】解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，即y=2x2．由ρcosθ=1，得x=1．联立，解得：．∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=3．【考点】%H：三角形的面积公式．【专题】58：解三角形．【分析】证明△CDF∽△AEF，可求．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EB=2AE，∴AB∥CD，CD=3AE，∴△CDF∽△AEF，∴==3．故答案为：3．【点评】本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知函数f （x ）=Asin （x +（1）求A 的值；（2）若f （θ）﹣f （﹣θ）=），x ∈R ，且f （）=．，θ∈（0，），求f （﹣θ）．【考点】GP ：两角和与差的三角函数．【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）通过函数f （x ）=Asin （x +A 的值；（2）利用函数的解析式，通过f （θ）﹣f （﹣θ）=利用两角差的正弦函数求f （﹣θ）．），x ∈R ，且f （，）=，，θ∈（0，），求出cosθ，），x ∈R ，且f （）=，直接求【解答】解：（1）∵函数f （x ）=Asin （x +∴f （∴）=Asin （．+）=Asin=（2）由（1）可知：函数f （x ）=3sin （x +∴f （θ）﹣f （﹣θ）=3sin （θ+=3[（=3•2sinθcos ∴sinθ=∴cosθ=，，=3sinθ=，），））]）﹣3sin （﹣θ+）﹣（∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）=3cosθ=．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．17．（13分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）19282930313240合计工人数（人）133543120（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数；BC：极差、方差与标准差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据众数和极差的定义，即可得出；（2）根据画茎叶图的步骤，画图即可；（3）利用方差的计算公式，代入数据，计算即可．【解答】解：（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21；（2）茎叶图如下：（3）年龄的平均数为：这20名工人年龄的方差为S 2=2=30．[（19﹣30）2+3×（28﹣30）2+3×（29﹣30）+5×（30﹣30）2+4×（31﹣30）2+3×（32﹣30）2+（40﹣30）2]=12.6．【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题．18．（13分）如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF ．（1）证明：CF ⊥平面MDF ；（2）求三棱锥M ﹣CDE 的体积．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW ：直线与平面垂直．【专题】5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角；5Q ：立体几何．【分析】（1）要证CF ⊥平面MDF ，只需证CF ⊥MD ，且CF ⊥MF 即可；由PD ⊥平面ABCD ，得出平面PCD ⊥平面ABCD ，即证MD ⊥平面PCD ，得CF ⊥MD ；（2）求出△CDE 的面积S△CDE，对应三棱锥的高MD ，计算它的体积V M﹣CDE．【解答】解：（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ；又平面PCD ∩平面ABCD=CD ，MD ⊂平面ABCD ，MD ⊥CD ，∴MD ⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，∴CF ⊥MD ；又CF ⊥MF ，MD 、MF ⊂平面MDF ，MD ∩MF=M ，∴CF ⊥平面MDF ；（2）∵CF ⊥平面MDF ，∴CF ⊥DF ，又∵Rt △PCD 中，DC=1，PC=2，∴∠P=30°，∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，CF=CD=；∵EF ∥DC ，∴∴DE==，即，；=，，∴PE=∴S△CDE=CD•DE=MD===×=，．∴V M﹣CDE =S△CDE•MD=×【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n 满足S n 2﹣（n 2+n ﹣3）S n ﹣3（n 2+n ）=0，n ∈N *．（1）求a 1的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有++…+＜．【考点】8H ：数列递推式；8K ：数列与不等式的综合．【专题】54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）本题可以用n=1代入题中条件，利用S 1=a 1求出a 1的值；（2）利用a n 与S n 的关系，将条件转化为a n 的方程，从而求出a n ；（3）利用放缩法，将所求的每一个因式进行裂项求和，即可得到本题结论．【解答】解：（1）令n=1得：∴（S 1+3）（S 1﹣2）=0．∵S 1＞0，∴S 1=2，即a 1=2．（2）由．∵a n ＞0（n ∈N *），∴S n ＞0．∴．，得：，即．∴当n ≥2时，又∵a 1=2=2×1，∴．==＜=＜；（3）由（2）可知n ∈N *，当n=1时，显然有当n ≥2时，＜+，=（），=﹣＜．所以，对一切正整数n ，有【点评】本题考查了数列的通项与前n 项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．20．（14分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P （x 0，y 0）为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；K3：椭圆的标准方程．【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a 和b ，则椭圆的方可得．（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k 的一元二次方程，利用韦达定理表示出k 1•k 2，进而取得x 0和y 0的关系式，即P 点的轨迹方程．【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1．（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A 、B 两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P 的坐标为（±3，±2），符合题意，②当两条切线斜率均存在时，设过点P （x 0，y 0）的切线为y=k （x ﹣x 0）+y 0，+=+=1，4x 2+9[k 2x 2+﹣2kx 0x ++2ky 0x ﹣2ky 0x 0]=36整理得（9k 2+4）x 2+18k （y 0﹣kx 0）x +9[（y 0﹣kx 0）2﹣4]=0，∴△=[18k （y 0﹣kx 0）]2﹣4（9k 2+4）×9[（y 0﹣kx 0）2﹣4]=0，整理得（x 02﹣9）k 2﹣2x 0×y 0×k +（y 02﹣4）=0，∴﹣1=k 1•k 2=∴x 02+y 02=13．=﹣1，把点（±3，±2）代入亦成立，∴点P 的轨迹方程为：x 2+y 2=13．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x 和y 关系．21．（14分）已知函数f （x ）=x 3+x 2+ax +1（a ∈R ）．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）当a ＜0时，试讨论是否存在x 0∈（0，）∪（，1），使得f （x 0）=f （）．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数研究函数的最值．【专题】51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】对第（1）问，先求导，再通过一元二次方程的实根讨论单调性；对第（2）问，可将f （x 0）=f （）转化为f （x 0）﹣f （）=0，即将“函数问题”化为“方程是否有实根问题”处理．【解答】解：（1）由f （x ）得f′（x ）=x 2+2x +a ，令f′（x ）=0，即x 2+2x +a=0，判别式△=4﹣4a ，①当△≤0即a ≥1时，f′（x ）≥0，则f （x ）在（﹣∞，+∞）上为增函数．②当△＞0即a ＜1时，方程f′（x ）=0的两根为当x ∈（﹣∞，﹣1﹣当当，即，）时，f′（x ）＞0，则f （x ）为增函数；时，f′（x ）＜0，则f （x ）为减函数；，+∞）时，f′（x ）＞0，则f （x ）为增函数．综合①、②知，a ≥1时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），a ＜1时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，f （x ）的单调递减区间为和．，+∞），（2）∵==21===∴若存在∪．，使得∪，即内必有实数解．，则关于x 的方程4x 2+14x +7+12a=0在∵a ＜0，∴△=142﹣16（7+12a ）=4（21﹣48a ）＞0，方程4x 2+14x +7+12a=0的两根为∵x 0＞0，∴依题意有即得∴当得当得，且，且∪成立；∪成立．∪{}时，不存在∪，使．时，存在唯一的∪，使，，且，，∴49＜21﹣48a ＜121，且21﹣48a ≠81，，即，【点评】1．求含参数的函数的单调区间时，导函数的符号往往难以确定，如果受到参数的影响，应对参数进行讨论，讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定．如本题中导函数为一元二次函数，就有必要考虑对应方程中的判别式△．2．对于存在性问题，一般先假设所判断的问题成立，再由假设去推导，若求得符合题意的结果，则存在；若得出矛盾，则不存在．22。