固体电子
第五章 晶体中电子能带理论
第五章固体电子论基础在前面几章中，我们介绍了晶体的结构、晶体的结合、晶格振动及热学性质以及晶体中缺陷与扩散，其内容涉及固体中原子（或离子）的状态及运动规律，属于固体的原子理论。
但要全面深入地认识固体，还必须研究固体中电子的状态及运动规律，建立与发展固体的电子理论。
固体电子理论的发展是从金属电子理论开始的。
金属具有良好的导热和导电能力，很早就为人们所应用的研究。
大约 1900年左右，特鲁德首先提出：金属中的价电子可以在金属体内自由运动，如同理想气体中的粒子，电子与电子、电子与离子之间的相互作用都可以忽略不计。
后来洛仑兹又假设：平衡时电子速度服从麦克斯韦——玻耳曼兹分布律。
这就是经典的自由电子气模型。
自由电子的经典理论遇到根据性的困难——金属中电子比热容等问题。
量子力学创立以后，大约在 1928年，索末菲提出金属自由电子论的量子理论，认为金属内的势场是恒定的，金属中的价电子在这个平均势场中彼此独立运动，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的；每个电子的运动由薛定谔方程描述，电子满足泡利不相容原理，故电子不服从经典的统计分布而是服从费米——狄拉克统计律。
这就是现代的金属电子理论——通常称为金属的自由电子模型。
这个理论得到电子气对晶体热容的贡献是很小的，解决了经典理论的困难。
但晶体为什么会分为导体、绝缘体和半导体呢？上世纪30年代初布洛赫和布里渊等人研究了周期场中运动的电子性质，为固体电子的能带理论奠定了基础。
能带论是以单电子在周期性场中运动的特征来表述晶体中电子的特征，是一个近似理论，但对固体中电子的状态作出了较为正确的物理描述，因此，能带论是固体电子论中极其重要的部分。
本章首先讲述了金属的自由电子模型；然后介绍单电子在周期场中的运动；并用两种近似方法——近自由电子近似和紧束缚近似，讨论周期场中单电子的本征值和本征态，得出能带论的基本结果；在讲述晶体中电子的准经典运动后，介绍了金属、绝缘体和半导体的能带模型等。
固体物理学中的电子态密度
固体物理学中的电子态密度固体物理学是研究固体材料性质的学科，而电子态密度是固体物理学中一个重要的概念。
本文将从基本概念入手，探讨电子态密度的意义、计算方法以及与材料性质的关系。
一、电子态密度的基本概念电子态密度是指单位能量范围内的电子态数目。
在固体中，电子态是指电子在能量-动量空间中的可能状态。
电子态密度的概念源于量子力学，通过计算电子在能量-动量空间中的分布，可以了解固体材料的电子性质。
二、电子态密度的计算方法计算电子态密度需要考虑固体的能带结构。
能带结构描述了固体中电子的能量分布情况。
常用的计算方法有密度泛函理论和紧束缚模型。
1. 密度泛函理论密度泛函理论是一种基于电子密度的计算方法。
该理论通过求解电子的波函数来计算电子态密度。
具体计算方法包括局域密度近似（LDA）和广义梯度近似（GGA）等。
2. 紧束缚模型紧束缚模型是一种基于晶格结构的计算方法。
该模型通过考虑固体中原子之间的相互作用，计算电子在晶格中的能级分布。
常用的紧束缚模型有紧束缚近似（Tight-Binding Approximation）和扩展Hückel方法等。
三、电子态密度与材料性质的关系电子态密度与固体材料的性质密切相关，下面将从导电性、磁性和光学性质三个方面进行论述。
1. 导电性电子态密度与固体的导电性密切相关。
在导体中，电子态密度高，电子能级分布宽，电子容易在能带中自由移动，从而导致固体具有良好的导电性。
相反，在绝缘体中，电子态密度低，电子能级分布窄，电子很难在能带中移动，导致固体无法导电。
2. 磁性电子态密度与固体的磁性也有关系。
在具有磁性的材料中，电子态密度在费米能级附近出现峰值，这意味着在费米能级上存在未配对的电子，从而导致材料呈现磁性行为。
根据电子态密度的分布，可以进一步研究材料的磁性类型，如顺磁性、反磁性和铁磁性等。
3. 光学性质电子态密度还与固体的光学性质相关。
光学性质主要包括吸收、反射和透射等。
通过计算电子态密度，可以确定固体对不同能量的光的吸收和反射情况。
布洛赫定理
这个单电子方程是整个能带论研究的出发点。 求解这个运动方程，讨论其解的物理意义， 确定晶体中电子的运动规律是本章的主题。
从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的：
(1) Born-Oppenheimer 绝热近似： (2) Hatree-Fock 平均场近似（单电子近似） (3) 周期场近似 (Periodic potential approximation)： 每个电子都在完全相同的严格周期性势场中运动，因此每个电子的运动
3 2 3 2
布洛赫和布里渊阐明了在周期场中运动的电子的基本特征,为能带理论的建立
奠定了基础. 近自由电子模型: 自由电子 + 微扰→ 能带 , 根据禁带宽度的大小 (金属, 绝缘体, 半导体)
What determines if the crystal will be a metal, an insulator, or a semiconductor ?
Omar： 固体物理学基础 5章 方俊鑫、陆栋《固体物理学》5.6-10节和6章 Blakemor Solid State Physics 3章 Kittel 7章各节， 9.3节 李正中《固体理论》7章 冯端、金国钧《凝聚态物理学》12章
Ashcroft: Solid State Physics 8-11章
Nuclei disappear – empty background
Real crystal – potential variation with the periodicity of the crystal
Attractive potential around each nucleus.
假定在体积 V=L3 中有 N 个带正电荷 Ze 的离子实，相应地有 NZ 个价电子，
固体物理学和电子学的新进展和应用
固体物理学和电子学的新进展和应用固体物理学和电子学是现代科学的两大支柱之一，在过去几十年里不断迭代升级。
从传统的晶体材料到刚果钻石，再到二维材料和新型半导体等，材料科学一直在不断创新。
同时，也出现了大量先进的器件，如二极管、场效应管、集成电路等，这些器件的发展推动了现代电子技术的不断进步。
本篇文章将着眼于当前固体物理学和电子学的新进展及其应用。
1. 新型材料1.1 二维材料二维材料是指材料在平面上只有一层或几层原子厚度的材料，包括石墨烯、二硫化钼、氧化硼等。
这些材料具有超薄、高传导性、柔性和强度等特点，对电子学、光学、生物学等领域具有广泛应用，如场效应晶体管、光电器件、传感器、生物成像等。
石墨烯作为最先发现的二维材料，其高导电性和高机械强度为其应用打开了大门。
例如，可以将石墨烯作为薄膜电极用于显示器件中，或作为热界面材料用于高效率的热转换器件中。
除此之外，石墨烯还可以用于制备光电器件，如晶体管和太阳能电池等。
而二硫化钼则被广泛用于光电器件中。
因为它的光电响应谱形式类似于太阳辐射的光谱分布，所以可以充分利用太阳光谱的能量来生成电能。
另外，二硫化钼具有非常窄的带隙，这使得它具有非常好的光谱选择性质，可以被用于光谱选择过滤器中。
氧化硼也是近年来备受瞩目的二维材料之一，它的宽带隙和硬度使其非常适合用作热障涂层、保护材料等。
1.2 新型半导体新型半导体，指的是那些不同于Si、Ge、GaAs和InP等传统半导体材料的材料，包括石墨烯、氮化镓、碳化硅等。
这些材料不但具有高传导性，还具有一些较传统材料优异的特性，如热传导性能、耐高温性、高频性能等。
氮化镓被广泛用于制造高功率和高频率的电子器件，如蓝色LED、LD、HBT、HEMT等。
与传统半导体材料相比，氮化镓的耐高温性更好，因此它在高温环境下仍可以维持较好的电子性能。
碳化硅作为一种新型的半导体材料，具有较高的电子迁移率和慢的漏电流。
碳化硅因此适用于制造功率器件，例如功率管和电动汽车中的电机驱动器等。
能带和能隙
能带和能隙
能带和能隙是固体物理学中的概念，用来描述固体中电子的能量
状态。
在固体中，电子的能量是量子化的，即只能取某些特定的能量，而不能取任何值。
固体中电子的能量可以分为两个部分，一个是平动能，即电子在空间中的运动能量，另一个是势能，即电子与原子核的
相互作用能量。
电子总能量等于平动能加上势能。
能带指的是固体中能量范围相近的电子所占据的能态，即处于同
一能量范围内的电子状态的集合。
能隙是指能带间的能量差距，即能
带下面没有电子填充的能量范围。
在固体中，电子的行为取决于能带
的结构和能隙的大小。
能隙越小，电子越容易被激发到导电状态，因
此这样的固体称为导体；能隙越大，电子就越难被激发到导电状态，
因此这样的固体称为绝缘体。
中间大小的能隙的固体称为半导体，因
为它既可以表现出导体的特性，也可以表现出绝缘体的特性。
18、第五章晶体中电子能带理论-布洛赫波函数
晶体电子能带理论
固体电子理论－－－研究固体电子运动规律 固体电子理论－－－研究固体电子运动规律 －－－ 世纪末到现在， 从19世纪末到现在，金属研究一直处在固体研究的中心。 世纪末到现在 金属研究一直处在固体研究的中心。 1897年：英国物理学家汤姆逊 年 (J.J.Thomson,1856—1940)在实验中发现电子。 在实验中发现电子。 在实验中发现电子 1906年，因测出电子的荷质比获诺贝尔物理学奖。 年 获诺贝尔物理学奖。 1900年：英国物理学家德鲁德（P．K．L 年 英国物理学家德鲁德（ ． ． 德鲁德
第五章
晶体电子能带理论
1928年 1928年：在量子力学和量子统计的概念建立以 后，德国物理学家索末菲（Arnold Sommerfeld 德国物理学家索末菲（
1868-1951）建立了基于费密－ 1868-1951）建立了基于费密－狄喇克统计的量子
自由电子气体的模型， 自由电子气体的模型，给出了电子能量和动量分 布的基本图像。 布的基本图像。 计算了量子的电子气体的热容量， 计算了量子的电子气体的热容量，解决了经 典理论的困难。 典理论的困难。 德鲁德模型和索末菲模型都是把金属中导电的电子看成自由电子。 德鲁德模型和索末菲模型都是把金属中导电的电子看成自由电子。 量子自由电子理论可以作为一种零级近似而归入能带理论。 量子自由电子理论可以作为一种零级近似而归入能带理论。
NZ 1 NZ 1 e2 Vee ( ri , r j ) = ∑ ∑ = ∑ v e ( ri ) 2 i =1 j ≠ i 4πε 0 ri − r j i =1
( 4)
v e ( ri )
代表电子i与所有其它电子的相互作用势能， 代表电子i与所有其它电子的相互作用势能，它不仅考虑了
固体物理第4章 固体电子论 2011 参考答案
第四章 固体电子论 参考答案1. 导出二维自由电子气的能态密度。
解：二维情形，自由电子的能量是：22222()()22x y k E k k mm==+k2πLx xk n =，2πLy yk n =在/k =到d k k +区间：22222d 2d 2π(2π)2ππS Lm L Z kdk dE=⋅=⋅=k那么：2d ()d Z Sg E E=其中：22()πm g E =2. 若二维电子气的面密度为n s ，证明它的化学势为：2π()ln exp 1s B B n T k T m k T μ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦解：由前一题已经求得能态密度：22()πm g E =电子气体的化学势μ由下式决定：()()222E-/E-/01d ()d πe1e1B B k Tk TL mE N g E LE μμ∞∞==++⎰⎰令()/B E k Txμ-≡，并注意到：2s Nn L =()12/1d πB xB s k Tk T mn exμ-∞-=+⎰()2/d π1B x B xxk Tk Tm e ee μ∞-=+⎰2/lnπ1BxB xk Tk T m ee μ∞-=+()/2ln 1πB k TB k T m eμ=+那么可以求出μ：2π()ln exp 1s B B n T k T m k T μ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦证毕。
3. He 3是费米子，液体He 3在绝对零度附近的密度为0.081 g ／cm 3。
计算它的费米能E F 和费米温度T F 。
解：He 3的数密度：N N M N n V M VMmρρ==⋅=⋅=其中m 是单个He 3粒子的质量。
()1123233π3πF k n m ρ⎛⎫== ⎪⎝⎭可得：2222322/33π(3)22F E n mm m ρπ⎛⎫== ⎪⎝⎭代入数据，可以算得： E F ＝6.8x 10-16erg = 4.3x 10-4eV .则：FF E T k =＝4.97 K.4.已知银的密度为310.5/g cm ，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时，银金属中电子的费米能变化多少？解：银的原子量为108，密度为310.5/g cm ，如果1个银原子贡献一个自由电子，1摩尔物质包含有6.022x 1023个原子，则单位体积内银的自由电子数为2232310.55.910()108/6.02210n cmmρ-===⨯⨯在T=0K 时，费米能量为202/3328FhnEm π=（）代如相关数据得2/3272227302812(6.6310)()3 5.910()29.110()8 3.148.8710() 5.54()Ferg s cmEg erg eV -----⎛⎫⨯⋅⨯⨯=⎪⨯⨯⨯⎝⎭≈⨯≈在≠T0K时，费米能量2020]12B F FFK TE E E π=[1-（）所以，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时, 费米能变化为202012B F FFk TE E E π-=-（）代如相关数据得4F FE E -⨯⨯-⨯≈⨯≈2-162-12-163.14(1.3810300)=-128.8710-1.610(erg)-10（eV ）可见，温度改变时，费米能量的改变是微不足道的。
固体物理学中的电子结构和能带理论
固体物理学中的电子结构和能带理论固体物理学是研究物质的电子结构、自旋、磁性、导电、热学等性质的分支学科。
而电子结构与能带理论是固体物理学中最基础、最基本的概念之一。
电子结构指的是物质中电子的分布状态。
在经典物理学中，物质中的电子被视为点电荷，可以精确地计算出电子在各个位置上的势能的大小。
但是，在量子力学中，电子被视为一种波动性粒子，其能量和动量在各个方向上都是有限制的。
因此，在固体中，每个电子存在着特殊的运动方式，也即是所谓的“波函数”。
能带理论是电子结构理论中的一种，用于解释在固体物质中电子结构与导电性等现象。
能带即不同电子能量的总体能量段。
在能带理论中，一个电子在周期性势场作用下发生运动，其波函数可以写成布洛赫函数的形式。
由于电子的波函数受局限于介质的周期性势场，存在独特的运动方式，所以电子的能量只能分布在特定能量范围内，而不是一种连续的分布。
电子的能量态分布在空间中的不同区域、形成电子能带结构或禁带结构。
由于禁带存在，在晶体中当电子没有激发到更高的能量带时，这些电子是不能参与导电的，因此，晶体的导电性与禁带的大小有着密切的联系。
除此之外，电子的运动、能量和动量在车里士空间中是有限制的，车里士空间即为由倒易格子所构成的空间。
倒易空间的概念，在固体物理学中也是非常重要的概念之一。
由倒易空间的性质可以分析出生长晶体过程中的晶格常数大小对于晶体中能带结构的影响。
总之，电子结构与能带理论在固体物理学、材料学、电子学等领域的应用不可谓不广泛。
对于制造半导体材料与计算机芯片来说，这些概念至关重要。
同时，电子结构理论的另一大作用，是使得物理学者们在研究电子结构时，更进一步理解微观世界的本质。
固体物理电子教案黄昆
固体物理电子教案黄昆第一章：引言1.1 固体物理的基本概念介绍固体的定义和特点讨论固体的分类和结构1.2 固体物理的发展历程回顾固体物理的发展简史介绍固体物理的重要科学家和贡献1.3 固体物理的研究方法介绍固体物理的研究方法和手段讨论实验技术和理论模型第二章：晶体结构2.1 晶体的基本概念介绍晶体的定义和特点讨论晶体的分类和空间群2.2 晶体的点阵结构介绍点阵的定义和类型讨论晶体的点阵参数和坐标描述2.3 晶体的空间结构介绍晶体的空间结构类型讨论晶体的空间群和空间点阵的对应关系第三章：固体物理的电子结构3.1 电子的基本概念介绍电子的定义和性质讨论电子的亚层和轨道3.2 电子的能级和态密度介绍电子能级的概念和计算方法讨论态密度和能带结构3.3 电子的输运性质介绍电子输运的基本概念讨论电子输运的微观机制和宏观表现第四章：固体物理的能带理论4.1 能带理论的基本概念介绍能带理论的定义和意义讨论能带结构的类型和特征4.2 紧束缚近似和自由电子近似介绍紧束缚近似和自由电子近似的方法和应用讨论紧束缚近似和自由电子近似的结果和限制4.3 能带结构的计算和分析介绍能带结构的计算方法和技术讨论能带结构的结果和分析方法第五章：固体物理的实验技术5.1 实验技术的基本概念介绍固体物理实验技术的方法和手段讨论实验技术的原理和应用5.2 X射线衍射技术介绍X射线衍射技术的原理和应用讨论X射线衍射技术的实验操作和数据处理5.3 电子显微技术介绍电子显微技术的原理和应用讨论电子显微技术的实验操作和图像分析第六章：固体物理的电子光谱6.1 电子光谱的基本概念介绍电子光谱的定义和分类讨论电子光谱的实验测量和理论分析6.2 光电子能谱（PES）介绍光电子能谱的原理和应用讨论光电子能谱的实验操作和数据解析6.3 吸收光谱和发射光谱介绍吸收光谱和发射光谱的原理和特点讨论吸收光谱和发射光谱的应用和分析方法第七章：固体物理的电子性质7.1 电子迁移性和导电性介绍电子迁移性和导电性的定义和测量讨论电子迁移性和导电性的影响因素和机制7.2 电子的散射和碰撞介绍电子散射和碰撞的概念和类型讨论电子散射和碰撞对电子输运性质的影响7.3 电子的关联和相互作用介绍电子关联和相互作用的的概念和机制讨论电子关联和相互作用对固体物理性质的影响第八章：固体物理的半导体材料8.1 半导体的基本概念介绍半导体的定义和特点讨论半导体的分类和制备方法8.2 半导体的能带结构介绍半导体能带结构的类型和特征讨论半导体的导电性质和应用8.3 半导体器件和集成电路介绍半导体器件和集成电路的基本原理和结构讨论半导体器件和集成电路的应用和发展趋势第九章：固体物理的超导材料9.1 超导体的基本概念介绍超导体的定义和特点讨论超导体的分类和制备方法9.2 超导体的能带结构和电子配对介绍超导体的能带结构和电子配对机制讨论超导体的临界温度和临界磁场9.3 超导体的应用和前景介绍超导体的应用领域和实例讨论超导体的前景和挑战第十章：固体物理的新材料探索10.1 新材料的基本概念介绍新材料的定义和特点讨论新材料的研究方法和手段10.2 新材料的制备和表征介绍新材料的制备方法和表征技术讨论新材料的性能和应用10.3 新材料的研究趋势和挑战介绍新材料研究的发展趋势和挑战讨论固体物理在新材料研究中的作用和意义重点解析本文教案主要介绍了固体物理的基本概念、晶体结构、电子结构、能带理论、实验技术、电子光谱、电子性质、半导体材料、超导材料以及新材料探索等内容。
第四章 能带理论.ppt
可以用分离变量法对单个电子独立求解（单电子近似）。
1 单电子所受的势场为： U (r ) u (r ) e
Rn
Ze 2 4 0 r Rm
无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受 到的势场具有平移对称性（周期场近似）： U (r Rn ) U (r ) 通过上述近似，复杂多体问题变为周期势场下的单电子 问题，单电子薛定谔方程为：
假定在体积 V=L3 中有 N 个带正电荷的离子实，相应地有 NZ 个价电子， 那么该系统的哈密顿量为:
2 2 N 1 1 e ˆ H ' 2 n 2 m 2 4 2 M r r i 1 i, j n 1 0 i j NZ 2 i NZ N 1 1 ( Ze) 2 1 Ze 2 ' 2 m ,n 4 0 Rn Rm i 1 n 1 4 0 ri Rn 2
H ' V ( x) V V
0 (1) ( 2) E E E E 根据微扰理论，电子的能量本征值 k k k k .
一级能量修正
Ek(1) k | H ' | k k | V ( x) V | k
Ek(1)
0 L
1 ikx 1 e [V ( x ) V ] eikx dx L L 1 ikx 1 e V ( x ) eikx dx ] V L L
k r e
ikr
uk r
—— Bloch函数
这里，uk(r) = uk(r +Rl) 是以格矢 Rl 为周期的周期函数。
它确定了波动方程解的基本特点。
4.1
布洛赫定理
二. Bloch 定理的物理证明（定性说明）：