第五章张量分析

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教材第五章矩阵分析

第五章矩阵分析本章将介绍矩阵微积分的一些内容．包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，首先简要介绍向量与矩阵范数的有关知识．§5.1 向量与矩阵的范数从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用．一、向量的范数定义1 设V 是数域F 上n 维(数组)向量全体的集合，x 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件1)非负性对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有x =0；2)齐次性对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有;x k kx = 3)三角不等式对任意V y x ∈,，有y x y x +≤+，则称此函数x (有时为强调函数关系而表示为⋅) 为V 上的一种向量范数．例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义222212nx x x x+++=＝H x x ，则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模]，称为2-范数．证首先，2n x C 是上的实值函数，并且满足1)非负性当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2)齐次性对任意k C ∈及n x C ∈，有2221222||||||||n kx kx kx kx k x =+++= ；3)三角不等式对任意复向量1212(,,,),(,,,)T T n n x x x x y y y y == ，有222221122||||||||n n x y x y x y x y +=++++++2221122()()()n n x y x y x y ≤++++++22111||2||||||nnni i i i i i i x x y y ====++∑∑∑ (由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ不等式)222222222||||2||||||||||||(||||||||),x x y y x y ≤++=+因此 222||||||||||||x y x y +≤+．所以2||||x 确为n C 上的一种向量范数．例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x = 定义 112||||||||||n x x x x =+++ ， 1m a x i i nxx ∞≤≤=，则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数．证仅对后者进行证明． 1)非负性当0x ≠时，max 0i ixx ∞=>，又显然有00∞=；2)齐次性对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ， m a x m a x ;i i iikxkx kx k x∞∞===3)三角不等式对任意向量1212(,,,),(,,,),T T n n x x x x y y y y ==()i i ii i iy x y x yx +≤+=+∞max maxi ii iy x m a x m a x+≤ =∞∞+y x ．综上可知∞x 确为向量范数．上两例中的∞x x x ,,21是常用的三种向量范数．一般地，对于任何不小于1的正数p ，向量()T n x x x x ,,,21 =的函数pni p i px x11⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑= 也构成向量范数，称为向量的p -范数．注：(1)当1p =时，1pxx =；(2)当2p =时，2x 为2-范数，它是酉空间范数；当i x 为实数时，12221()ni i x x ==∑为欧氏空间范数．由p -范数的存在，可知向量的范数有无穷多种，而且向量的范数并不仅限于p -范数．在验证向量的范数定义中，三角不等式的过程中常涉及到两个著名的不等式，即1、Hölder 不等式设正实数,p q 满足111,p q+=则对任意的,,n x y C ∈有 11111()()nnnp q pqi ii i i i i x yx y ===≤∑∑∑．2、Minkowski 不等式对任意实数1p ≥，及,,n x y C ∈有111111()()()nnnpp ppppi i i i i i i x y x y ===+≤+∑∑∑．例3 设()Tx 1,,1,1 =为n 维向量，则1,,21===∞xn x n x ．各种范数值差距很大．但是，各种范数之间却存在着内在的制约关系，称为范数的等价性．定理1 设βα⋅⋅,为有限维线性空间V 的任意两种向量范数(它们不限于p -范数)，则存在正的常数12,C C ，使对一切向量x ，恒有βαβx C xxC 21≤≤． (1)证如果范数x α和x β都与一固定范数，譬如2-范数2x 满足式(1)的关系，则这两种范数之间也存在式(1)的关系，这是因为若存在正常数12,C C ''和12,C C ''''，使 1222122,C x x C x C xx C x αββ''≤≤''''≤≤成立，则显然有1122||||||||||||C C x x C C x βαβ''''''≤≤．令111222,C C C C C C ''''''==，则得式(1)，因此只要对2β=证明式(1)成立即可．设V 是n 维的，它的一个基是12,,,n x x x ，于是V 中的任意向量x 可表示为1122n n x x x x ξξξ=+++ ．从而，1122n n x x x x ααξξξ=+++ 可视为n 个变量12,,,n ξξξ 的函数，记为12(,,,)n x αϕξξξ= ，易证12(,,,)n ϕξξξ 是连续函数，事实上，若令1122n n x x x x V ξξξ''''=+++∈ ，则 12(,,,)n x αϕξξξ''''= ． 1212(,,,)(,,,)n n x x x x αααϕξξξϕξξξ'''''-=-≤-11111()()nn n nn n x x x x αααξξξξξξξξ''''=-++-≤-++- ．由于ix α(1,2,,)i n = 是常数，因此i ξ'与i ξ充分接近时，12(,,,)n ϕξξξ''' 就与12(,,,)n ϕξξξ 充分接近，所以12(,,,)n ϕξξξ 是连续函数．所以在有界闭集{}2221212(,,,)1n S ξξξξξξ=+++= 上，函数12(,,,)n ϕξξξ 可达到最大值2C 及最小值1C ．因为在S 中，i ξ不能全为零，所以10C >．记向量1212222nn y x x x xxxξξξ=+++，则其坐标分量满足222122221nxxxξξξ+++= ，因此，y S ∈．从而有11122220,,n C yC x x x αξξξϕ⎛⎫<≤=≤ ⎪ ⎪⎝⎭．但2,xy x =故122x C C x α≤≤．即 1222C x x C x α≤≤．二、矩阵的范数定义2 设V 是数域F 上所有n m ⨯矩阵的集合，A 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：对V 中任意矩阵A 、B 及F 中任意常数k 总有1)非负性 0≥A ，并且仅当0=A 时，才有0=A ；2)齐次性 A k kA =；3)三角不等式 B A B A +≤+，则称()⋅A是V 上的一种矩阵范数．例4 对n m C ⨯(或n m R ⨯)上的矩阵()ij A a =定义∑∑===m i nj ij M a A111，∑∑===mi nj ijM a A1122，11max ij M i m j nAa ∞≤≤≤≤=，则∞⋅⋅⋅M M M ,,21都是n m C ⨯(或n m R ⨯)上的矩阵范数．实用中涉及较多的是方阵的范数，即m n =的情形．定义 3 设F 是数域，⋅是n n F ⨯上的方阵范数．如果对任意的,n n A B F ⨯∈，总有AB A B ≤⋅，则说方阵范数⋅具有乘法相容性．注意在某些教科书上，往往把乘法相容性直接纳入方阵范数的定义中作为第4个条件，在读书时，只要注意到各自定义的内涵就可以了．例5 对n n C ⨯上的矩阵][ij a A =，定义ij nj i a n A ≤≤⋅=,1max ，则⋅是一种矩阵范数，并且具备乘法相容性．证非负性与齐次性显然成立，另两条证明如下．三角不等式ij ij b a n B A +⋅=+max()m a x m a x i j i j n a b ≤+B A +=；乘法相容性⎪⎭⎫⎝⎛⋅≤⋅=∑∑==n k kj ik nk kj ik b a n b a n AB 11max max()()B A b n a n ij ij =⋅≤max max ，证得A 为矩阵范数且具有乘法相容性．并不是所有的方阵范数都具有乘法相容性．例如对于22⨯R 上的方阵范数.M ∞就不具备相容性条件．此时ij j i M a A2,1max ≤≤=∞．取1110,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有1==∞∞M M BA，而2M M M ABAB∞∞∞=>．定义4 如果n 阶矩阵A 的范数A 与n 维向量x 的范数x ，使对任意n 阶矩阵A 及任意n 维向量x 均有x AAx ≤，则称矩阵范数A 与向量范数x 是相容的．定理2 设x 是某种向量范数，对n 阶矩阵A 定义Ax xAx A x x 1max max=≠== (2)则A 为方阵范数，称为由向量范数x 导出的矩阵范数，而且它具有乘法相容性并且与向量范数x 相容．证首先可证，由(2)式定义的函数关系||||A 满足与向量范数||||x 的相容性．对于任意n 阶矩阵A 及n 维向量x ，当0x ≠时，有0||||||||max ||||||||||||y Ax Ay A x y ≠≤=，即 ||||||||||||;Ax A x ≤ (3) 而当0x =时，||||0||||||||Ax A x ==，于是总有(3)式成立．容易验证||||A 满足范数定义中的非负性、齐次性及三角不等式三个条件，因而A 是一种方阵范数．并且，对任意n 阶矩阵,A B ，利用(2)式和(3)式可得00maxmax max x x x A Bx ABx Bx AB A A B x x x≠≠≠=≤==．即说矩阵范数A 具备乘法相容性．一般地，把由向量p -范数p x 导出的矩阵范数记作p A ．下面看常用的三种矩阵范数例6 证明对n 阶复矩阵[]i j A a =，有 1)111max nij j ni A a ≤≤==∑，称为A 的列和范数．2)11max nij i nj A a ∞≤≤==∑，称为A 的行和范数．证 1)设111max n nij ik j ni i w a a ≤≤====∑∑．若A 按列分块为12(,,,)n A ααα=则111max k j j nw αα≤≤==．对任意n 维向量12(,,)T n x x x x = ，有112211221111112111()max .n n n nn jj nAx x x x x x x x x x x w ααααααα≤≤+++≤+++≤+++≤于是，对任意非零向量x 有11Ax w x ≤．以下证明存在非零向量k e 使11k kAe w e =．事实上，设k e 是第k 个分量为1而其余分量全为0的向量，则1k e =1，且n=11k ik i Ae a w ==∑，即11k kAe w e =．2)的证明与1)相仿，留给读者去完成．例7 证明对n 阶复矩阵A ，有21max i i nA σ≤≤=，这里()n i i ,,2,1 =σ是A 的奇异值，称此范数为A 的谱范数．证设H A A 的全部特征根为12,,n λλλ ．不妨设11max i i nλλ≤≤=．于是111max i i nσλσ≤≤==．因为H A A 为H -矩阵，故有酉矩阵U ，使得12n (,),,H H U A AU diag λλλ=Λ= ．如设12(,,,)n U u u u = 则i u 是H A A 相应于特征根i λ的单位特征向量，即有,H i i i A A u u λ= 21iu =．对任意满足2||||1x =的复向量12(,,,)T n x x x x = ，有22||||()()H HAx Ax Ax x ==H U U x Λ．令H y U x =，则222222||||||||||||1H y U x x ===，说明y 亦为单位向量．若设12(,,,)T n y y y y = ，则2221||||||1nii y y ===∑，于是22211||||||n Hi i i Ax y y y λλ==Λ=≤∑．即有12Ax σ≤．由x 的任意性，便得21221max x A Ax σ==≤ ．特别取1x u =，则有211111112H H H Au u A Au u u λλ==＝，即112Au σ=．这说明2Ax 在单位球面{}21,n x x x C =∈上可取到最大值1σ，从而证明了21221max x A Ax σ===．各种矩阵范数之间也具有范数的等价性定理3 设,a A A β是任意两种矩阵范数，则有正实数12,,C C 使对一切矩阵A 恒有12a C AA C A ββ≤≤．§5.2 向量与矩阵序列的收敛性在这一节里，我们将把数列极限的概念，扩展到向量序列与矩阵序列上去．可数多个向量(矩阵)按顺序成一列，就成为一个向量(矩阵)序列．例如()()(12(,,,)k k k T k n x x x x = ，1,2,3,k = 是一个n 维向量序列，记为{}k x ，诸k x 的相应分量则形成数列{}k i x ．定义5 设有向量序列()()()12{}:(,,,)k k k Tk k n x x x x x = ．如果对1,2,,i n = ，数列(){}k i x 均收敛且有()lim k i i k x x →∞=，则说向量序列{}k x 收敛．如记12(,,,)T n x x x x = ，则称x 为向量序列{}k x 的极限，记为lim k k x x →∞=，或简记为k x x →．如果向量序列{}k x 不收敛，则称为发散．类似于数列的收敛性质，读者不难证明向量序列的收敛具有如下性质．设{},{}k k x y 是n C 中两个向量序列，,a b 是复常数，n ,m A C ⨯∈如果l i m ,l i m k k k k x x y y →∞→∞==，则1lim();2lim .k k k k k ax by ax by Ax Ax →∞→∞>+=+>=定理4 对向量序列{}k x ，x x k =∞→k lim 的充分必要条件是0lim =-∞→x x k k ，其中⋅是任意一种向量范数．证 1)先对向量范数i ni x x≤≤∞=1max 证明定理成立．i k i k k k x x x x =⇔=∞→∞→)(lim lim ，n i ,...,2,1=；,0lim )(=-⇔∞→i k i k x x n i ,...,2,1=；0max lim )(1=-⇔≤≤∞→i k i ni k x x ；0lim =-⇔∞∞→xx k k ．2)由向量范数等价性，对任一种向量范数⋅，有正实数21,b b ，使∞∞-≤-≤-x x b x x x x b k k k 21．令∞→k 取极限即知lim 0lim 0k k k k x x x x∞→∞→∞-=⇔-=．于是定理对任一种向量范数都成立．根据上述定义，向量序列有极限的根本之处在于各分量形成的数列都有极限．由于m n C ⨯中矩阵可以看作一个mn 维向量，其收敛性可以和mn C 中的向量一样考虑．因此，我们可以用矩阵各个元素序列的同时收敛来规定矩阵序列的收敛性．定义6 设有矩阵序列{}n m k ij k k a A A ⨯=][:)(，如果对任何,(1,i j i m ≤≤1j ≤)n ≤均有ij k ij k a a =∞→)(lim ，则说矩阵序列{}k A 收敛，如令n m ij a A ⨯=][，又称A 为{}k A 的极限．记为,lim A A k k =∞→或A A k →．矩阵序列不收敛时称为发散．讨论矩阵序列极限的性质，以下设所涉及的矩阵为n 阶矩阵． 1) 若A A k k =∞→lim ，{}k a 为数列且a a k k =∞→lim ，则()aA A a k k k =∞→lim ．特别，当a 为常数时，()k k k k A a aA ∞→∞→=lim lim ．2) 若A A k k =∞→lim ，B B k k =∞→lim ，则()B A B A k k k ±=±∞→lim ．3) 若A A k k =∞→lim ，B B k k =∞→lim ，则()AB B A k k k =∞→lim ．4) 若A A k k =∞→lim 且诸k A 及A 均可逆，则{}1-k A 收敛，并且11lim --∞→=A A k k ．容易证明性质1)-3)成立，对性质4)注意到行列式k A 值定义的和式无非是k A 中元素()(,1,2,,)k ij a i j n = 的乘法与加法之组合，再由lim k →∞(),k ij ij a a =即可知lim k k A A →∞=．用()k ij A 表示k A 中(,)i j 元素的代数余子式，用ij A 表示A 中(,i j )元素的代数余子式，便有()lim k ij ij k A A →∞=．进而 **lim k k A A →∞=．这里*k A 是k A 的伴随矩阵，*A 是A 的伴随矩阵．又*1kkk A A A -=，所以*11lim kk A A A A--→∞==．定理 5 对于矩阵序列{}k A ，lim k k A A →∞=的充分必要条件是对任何一种矩阵范数⋅，有lim 0k k A A →∞-=．定理5的证明与定理4类似，由于矩阵范数的等价性，只需证明对矩阵范数,max ij i jA a =定理成立，其方法也与定理4的证明一致，这里从略．以下主要介绍范数在特征值估计方面的应用．定义7 设n n A C ⨯∈，1,,,,j n λλλ 为A 的n 个特征值，称()max j jA ρλ=为A 的谱半径．有了谱半径的概念，可以对矩阵范数作如下的初步估计．定理6 设n n A C ⨯∈，则对n n C ⨯上的任一矩阵范数⋅，皆有()A A ρ≤．证设λ是A 的特征值，x 为A 的属于特征值λ的特征向量，故0x ≠，所以0x ≠．另设v ⋅是n C 上与矩阵范数⋅相容的向量范数，由Ax x λ=，应有v v Ax x λ=，而v v Ax A x ≤，于是有v v x A x λ≤，同除0v x ≠，有A λ≤．故max jA λ≤，于是()A A ρ≤．定理7 设n n A C ⨯∈，lim 0k k A →∞=的充分必要条件是()1A ρ<．证对n n A C ⨯∈，由第三章定理15知，存在n 阶的逆矩阵P 使得112(,,,)s P AP J diag J J J -== ，其中10110i ii ii i i n n J λλλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，则112(,,)k k k k k s P A P J diag J J J -== ．因此lim 0lim 0lim 0(1,2,,)k k k i k k k A J J i s →∞→∞→∞=⇔=⇔== ．而(1)11()()()()2(1)()()1()2()()i n k i k i k i k i i k i k i ki k i k i k i f f f f n f f J f f f λλλλλλλλλ-⎛⎫''' ⎪- ⎪' ⎪ ⎪⎪= ⎪'' ⎪ ⎪' ⎪⎪⎝⎭！！！，其中()k k f λλ=，因为对任一多项式(),g λ当k →∞时，()01k i i g λλ→⇔<．而1(1,2,,)()1i i s A λρ<=⇔< ．由定理6和定理7即得如下结果．定理8 设n n A C ⨯∈，如果存在n n C ⨯上的一种相容矩阵范数.使1A <，则lim k →∞0k A =．定理9 设λ是n 阶矩阵A 的任一特征根，那么对任一种矩阵范数⋅，都有A λ≤．证设,A a =则0a ≥，对任意给定的0ε>，令AB a ε=+．于是，若设A 的全部特征根为12,,,,n λλλ 则B 的全部特征根恰是12,,,na a a λλλεεε+++ ．又11aB A a a εε==<++．由定理8知0k B →，再由定理６知1,1,2,,,ii n a λε<=+ 即,1,2,,.i a i n λε<+= 由ε的任意性，令0ε→取极限，便有,1,2,,.i a i n λ≤= 即知对任一特征根λ，有a λ≤．§5.3 矩阵的导数本节讨论三种导数：矩阵对变量的导数、函数对矩阵的导数、矩阵对矩阵的导数．一、函数矩阵对变量的导数如果矩阵中诸元素都是某实变量x 的函数，则称这种矩阵为函数矩阵．它的一般形式是()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x A mn m m n n ，其中()()1,2,,;1,2,,ij a x i m j n == 都是实变量x 的函数．定义8 设函数矩阵()[()]ij m n A x a x ⨯=，如果对一切正整数,i j ，1i m ≤≤1j n ≤≤，均有()0lim ij ij x x a x b →=，则说当0x x →时函数矩阵()A x 有极限，n m ij b B ⨯=][叫做()A x 的极限，记为()0lim x x A x B →=．该定义的实质是如果()A x 的所有各元素()ij a x 在0x 处都有极限，则说()A x 在0x 处有极限．如果()A x 的所有各元素()ij a x 在0x 处连续，即00lim ()()ij ij x x a x a x →=，(1,2,,;1,i m jn == ，则称()A x 在0x x =处连续，且记0lim ()()x x A x A x →=．如果()A x 在某区间[,]a b 上处处连续，则说()A x 在[,]a b 上连续．容易验证下列等式是成立的：设()()0lim ,lim x x x x A x A B x B →→==，则(1)0lim(()())x x A x B x A B →±=±；(2)()0lim ()x x kA x kA →=；(3)()0lim ()()x x A x B x AB →=．定义9 对于函数矩阵()n m ij x a x A ⨯=)]([，如果所有元素ij a ()x (1,2,i =,;1,2,,)m j n = 在某点x 处[或在某区间上]均可导，则称()x A 在x 处[或在某区间上]可导．导数[或导函数]记为()dA x dx ，简记为()x A '．并规定 ()()()()()()()()()()()111212122212n n m m mn a x a x a x a x a x a x d A x A x dxa x a x a x '''⎛⎫ ⎪''' ⎪'== ⎪ ⎪ ⎪'''⎝⎭，其中()ija x '表示()x a ij 对x 的一阶导数．矩阵对变量的导数运算具有如下一些性质1°若函数矩阵()()x B x A ,都可导，则它们的和亦可导，并且()()[]()()x B dxd x A dx d x B x A dx d+=+． 2°若()x A 可导，()f x 是x 的可导函数，则()x f ()x A 可导，且()()[]()()()()x A dx d x f x A x f dx d x A x f dx d +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=，特别地，当()x f 为常数k 时，有()[]()x A dxd k x kA dx d=． 3°若()x A 可导，则()x A T 可导，并且()()TT dx x dA x A dx d ⎪⎭⎫ ⎝⎛=． 4°若()x A ，()x B 可导且二者可乘，则()x A ()x B 亦可导，且()()[]()()()()x B dx d x A x B x A dx d x B x A dx d +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅．推论若()x A 可导，Q P ,为数字矩阵，则()[]()x A dxd P x PA dx d=， ()[]()Q x A dx d Q x A dx d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=． 5° 若()x A 为可逆的可导函数矩阵，则()x A 1-亦可导，且()[]()()()x A dxx dA x A x A dx d 111----=．证因为1()(),A x A x E -=所以111()()[()()]()()0d dA x dA x A x A x A x A x dx dx dx---=+=．于是111()()()()dA x dA x A x A x dx dx---=-．函数矩阵的导数本身也是一个函数矩阵，它可以再进行求导运算，下面我们给出函数矩阵对变量的高阶导数22()()()d A x d dA x dx dx dx =， 3232()()()d A x d d A x dx dx dx =，1()()()k k kd A x d d A x dx dx dx-=．例1 设)(x A 为n 阶可导函数矩阵，求()x A 2的一、二阶导数．解()()()[]()()()()x A x A x A x A x A x A dxdx A dx d '+'==2 [注意一般 2()2()()d A x A x A x dx'≠]()()()()()[]x A x A x A x A dx dx A dxd '+'=222()()()[]()()x A x A x A x A x A ''+'+''=22．例2 设()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t x t x t x x n21，其中()t x i 均为t 的可导函数，n n ij a A ⨯=][为n 阶实对称矩阵，求二次型Ax x T 对t 的导数．解 []()x A x x A x Ax x Ax x dtd T T T T'+'+'=．又A 为数字矩阵，故0='A ，又x A x T '为t 的函数．而有()()()Ax x x A x x A x x A x T T TT T T '='='='．所以()x A x Ax x dxd T T'=2．二、函数对矩阵的导数定义10 设n m ij x X ⨯=][为多元实变量矩阵，()()1111,,,,,,n m mn f X f x x x x =是以X 中诸元素为变量的多元函数，并且偏导数ijx f∂∂()1,2,,;1,2,,i m j n == 都存在，则定义函数)(X f 对矩阵X 的导数为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=mn m m nn x f x f x f x f x f x f x f x f x f dX df212222111211．特别，当X 为向量()Tn x x x x ,,,21 =时，函数()n x x x f ,,,21 对x 之导数为()x f x f x f x f dx df Tn ∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂=,,,21 ．例3 设[]()∑∑==⨯==m i nj ij nm ijx X f x X 112,，求dXdf ．解2,1,2,,;1,2,,ij ijfx i m j n x ∂===∂ ．X x x x x x x x x x dX df mn m m n n 2222222222212222111211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=．例4 设1122,n n a x a x a x a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1122()T n n f x a x a x a x a x ==+++ ，则12n a a df a dx a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭．三、矩阵对矩阵的导数定义11 设矩阵n m kl a A ⨯=][中每一个元素kl a 都是矩阵q p ij b B ⨯=][中各元素(1,2,...,;1,2,...,)ij b i p j q ==的函数，当A 对B 中各元素都可导时，则称矩阵A 对矩阵B 可导，且规定A 对B 的导数为111212122212q q p p pq A A A b b b A A A dA b b b dB A A A b b b ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂= ⎪⎪⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭，其中111122212212n ij ij ij n ijij ij ij m m mn ijijij a a a b b b a a a A b b b b a a a b b b ∂∂∂⎛⎫⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂∂= ⎪∂⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭，dBdA是一个nq mp ⨯矩阵．例5 设n m ij a A ⨯=][，求dAdA 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=mn m m n n mn m m n n E E E E E E E E E a A a A a A a A a A a A a A a A a A dA dA212222111211212222111211．这里),(j i E ij 是元素都是1，其余元素都是0的n m ⨯矩阵．例6 设()n x x x x ,,,21 =，()Tn y y y y ,,,21 =，其中()n i i x x x f y ,,,21 =，()m i ,,2,1 =．如果()1,2,,;1,2,i jy i m j n x ∂==∂ 都存在，则y 对x 可导且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=n mm m n n n x y x y x y x y x y x yx y x y x y x y x y x y dx dy21222121211121,,．例7 设12(,,,)n x x x x = ，求Tdx dx．解 111122221212n T n nn n n x x x x x x x x x dx x x x E dxx x x x x x ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂== ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭．以下我们考虑向量对向量的导数．设12(,,),n x x x x = 12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中12(,)(1,2,,).i i n y f x x x i m == 如果(1,2,,;1,2)ijy i m j n x ∂==∂ 都存在，则y 对x 可导，且 11112222121212(,,,)n n nm m m n y y y x x x y y y dy y y yx x x dx x x x y y y x x x ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂==⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦(1) 在一些书上，往往对行向量和列向量不加区别，而规定任何一个m 维向量y 对另一个n 维向量x 的导数都以上面(1)式最后的矩阵形式来表达，这主要是为了应用的方便．例8 设数量函数()n x x x f y ,,,21 =的所有二阶偏导数都存在，记()Tn x x x x ,,,21 =，求梯度()dy f x dx ∇=，及海森[Hessian]矩阵22()d yH x dx=．解 12(),,,Tn dy y y y f x dx x x x ⎛⎫∂∂∂∇== ⎪∂∂∂⎝⎭． 222211212222221222222212()n n n n n yy y x x x x x yy y d y d dy H x x x x x x dx dx dx y y y x x x x x ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂⎪ ⎪∂∂∂⎪⎛⎫===∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪ ⎪∂∂∂⎪∂∂∂∂∂⎝⎭．当y 的所有二阶偏导数都连续时，Hessian 矩阵为n 阶对称矩阵．§5.4 矩阵的微分与积分定义12 当函数矩阵()[()]ij m n A x a x ⨯=可导时，其微分111212122212[]n n ij m nm m mn da da da da da da dA da da da da ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中()ij ij da a x dx '=． (1) 矩阵的微分实质上就是各个元素分别微分，因此，相应于每一个导数运算性质都可以得到一个关于微分的相应性质，例如();d A B dA dB +=+ ()();d AB dA B AdB =+();d kA kdA =(k 为常数)；()()()d fA df A f dA =+ (()f f x =为可微函数) 都是正确的．如果矩阵A 中每个元素都是以矩阵B 中诸元素为变量的多元函数，则称矩阵A 是矩阵B 的函数，记为()A B ．此时矩阵A 作为一个多元函数矩阵，它的全微分仍可按(1)式定义，只不过其中元素ij da 应该换成全微分，即11p qij ij kl k l kla da db b ==∂=∂∑∑，这里,p q 分别是矩阵B 的行数和列数．定义13 若函数矩阵()(())ij m n A x a x ⨯=的所有各元素()(1,2,,;ij a x i m = 1,2,,)j n = 都在[,]a b 上可积，则称()A x 在[,]a b 上可积，且111212122212()()()()()()()()()()nn m m mn bbb a x dx a x dx a x dx a a a bbba x dx a x dx a x dxb A x dx aa a ab b b a x dx a x dx a x dx a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．函数矩阵的定积分有如下简单性质(1)()()b bkA x dx k A x dx a a=⎰⎰， k R ∈(2)[]()()()()bb b A x B x dx A x dx B x dx a a a+=+⎰⎰⎰，函数矩阵的不定积分也有类似的情况．例1 设sin cos ()cos sin x x A x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，求()0x A x dx ⎰及2()0x d A x dx dx ⎰．解 s i n(c o s )001c o s s i n ()0sin 1cos cos sin 00xx xdx x dx x x x A x dx x x x x xdx xdx ⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰．因为若以()ij a x 表示()A x 中各元素(,1,2)i j =，则有22()2()0ij ij x d a x dx xa x dx =⎰．所以有222222sin cos ()2()20cos sin x x x d A x dx xA x x dx xx ⎛⎫-== ⎪⎝⎭⎰．习题五1、设nn n n ij Ca A ⨯⨯∈=)(，令12211()n nij Fi j Aa ===∑∑，则F A 为方阵范数，证明：F A 是一种与向量的2-范数2x 相容的方阵范数．称它为方阵A 的Frobenius 范数，简称F-范数．2、设V 是n 维(复的或实的)线性空间，n e e e ,,,21 是V 的一组基，则对任意的V x ∈，x 有唯一表示式n n e x e x e x x +++= 2211，规定 2112)(∑==ni i Ex x．证明：E x 是V 中元素的一种范数．3、对下列矩阵A ，求21,A A 及∞A ．1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0123A 2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+i i i i 114、证明：对n 阶矩阵][ij a A =，有∑=≤≤∞=nj ij ni a A 11max ．5、考察下列向量序列}{k x 的敛散性： 1)Tk k x )21,1(=； 2)Tki ki i k ix )1,0,21(11∑∑===．6、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=)1(2121)(2x x x x A 计算)(),(1x A dxd x A dx d -． 7、计算矩阵对矩阵的导数dAdx． 1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=32121x x x e A x x ，),,(321x x x x =；2)22212123334242,sin(3)x x x x e x x A x x x x x ⎛⎫+⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 8、设==⨯)(,][A f a A n n ij 迹A ．试求dAdf ． 9、设∑∑==+==ni ni i iTn x x ix x f x x x x 121221)(,),,,( ．试求梯度dxdfx f =∇)(及海森矩阵22)(dx fd x H =．10、已知函数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00302)(222x e ex xe e x A x xx x ，试求⎰10)(dx x A 和⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰20)(x dt t A dx d ．。

张量分析绪论

x3
x3
A
•
x2 O
•
A
O
•
1 2 3
•
x2
x1
x1
C1 x + C2 x + C3 x
K 1 x1 + K 2 x 2 + K 3 x 3
张量用于描述物理定律：
x3
x3
A
•
x2
1 2
•
A
O
•
等效
O
•
3 等效
x2
rOຫໍສະໝຸດ A••2 3
x1
x1
1
r ← → C1 x + C2 x + C3 x ← → k1 x + k 2 x + k3 x
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + f x = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + f y = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + fz = 0 ∂x ∂y ∂z
弹性力学平衡方程张量方程
令：2,3 代替 x, y, z 1, 表示三个方向 σ 11 → σ 1
为学习连续介质力学等作必要的准备。
r = pi x i , (i = 1,2,3)
r为客观量，可通过某种参考系来表达，其表达式分量随参考系的不同有相应变化，这种变化可通过坐标转换关系互导。并且一旦给定任一组分量，则r 可确定，其他坐标系中的分量亦可确定。
张量定义：某物理量或力学量可由若干有序数组成的数组集张量定义：
合来表达，当参考系变化时，这些有序数按相应的坐标转换关系变化，但物理量本身不变，则这组有序数的集合就是张量。

张量分析总结[范文]

张量分析总结[范文]第一篇：张量分析总结[范文]中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第 1 页一、知识总结张量概念1.1 指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。

性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。

哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。

性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。

例：A11x1+A12x2+A13x3=B1A21x1+A22x2+A23x3=B2 A31x1+A32x2+A33x3=B3式(1.1)可简单的表示为下式：(1.1)Aijxj=Bi(1.2)其中：i为自由指标，j为哑标。

特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j则在同项中可出现两次，表示遍历求和。

在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。

1.2 Kronecker符号定义δij为：δij=⎨⎧1,i=j0,i≠j⎩(1.3)δij的矩阵形式为：⎡100⎤⎥δij=⎢010⎢⎥⎢⎣001⎥⎦(1.4)可知δijδij=δii=δjj=3。

δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。

如：δijδjk=δikδijδjkδkl=δil(1.5)中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第 2 页δij的作用：更换指标、选择求和。

1.3 Ricci符号为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：⎧1,i,j,k为偶排列⎪lijk=⎨-1,i,j,k为奇排列⎪0,其余情况⎩(1.6)图1.1 i,j,k排列图lijk的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。

Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。

1.4 坐标转换图1.2 坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为ei，新坐标系的基矢为ei'。

学习张量必看一个文档学会张量张量分析

➢ 分量记法： ui
Appendix A.1
张量基本概念
➢ 指标符号使用方法
1. 三维空间中任意点 P 旳坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 旳分量旳点积(或称数量积)为：
3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi i 1
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：假如符号旳两个指标中，有一种和同项中其他
因子旳指标相重，则能够把该因子旳那个重指标换成
旳另一种指标，而自动消失。
30
符号ij 与erst
类似地有
ij a jk aik ; ij aik a jk ij akj aki ; ij aki akj ij jk ik ; ij jkkl il
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
➢ 特征
1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称旳，即
ij ji
29
符号ij 与erst
2. ij 旳分量集合相应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
27
目录
引言张量旳基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换张量旳分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量张量函数及其微积分
Appendix A
28
符号ij 与erst
➢ ij 符号 (Kronecker delta)

张量分析课件-2.7 正交相似张量

i 1 3
~e ~ , M Q N QT 则 M i e i i
i 1
3
两个非对称二阶张量A，B 正交相似的必要条件是：它们的主不变量相等。（证明方法与上述定理的必要性证明相同）若两个非对称二阶张量A，B的主不变量相等，且 A 与B 可以在各自的基 gi 与 gi′中化为同一种标准形，即
张量分析及连续介质力学
2.7 正交相似张量
定义若有两个二阶张量A，B 之间满足
B Q A QT ,
即
A QT B Q
式中Q 为正交张量，则称 A 与 B 互为正交相似张量。定理对称二阶张量N 与M 互为正交相似的充分且必要条件是它们的3个主不变量相等。
J
N i
J
M ii 1,2 3证明（1）必要性： N M 即已知 M=Q· N· QT，求证 J i J i 只需证明M 与N 的特征行列式相同。
i 1,
2, 3 。
det Q G N Q detQ det G N detQ det G N det N
gi S gi , g g i S 1
则A 与B 是互为相似张量。
i
若A 与B 不能化为同一种标准形，则A 与B 非互为相似
张量。
N M J J 即已知 i i
i 1,
（ii）M 与N 的特征矢量 eiM 与eiN 都是正交标准化基，满足
N N eiM e M e e j ij i j
因为保内积的变换必定是正交变换，所以必定存在一个正交张量Q，使
~N eiM Q eiN e i
若记 N i ei ei ,

流体力学-第一讲场论与张量分析初步ppt精选课件

•
标量场（scalar
field）：f
(r,t)
• 向量场（vector field）：g (r,t) g=f(r,t)
• 均匀场（homogeneous field）：f c
• •
非定均常匀流场场（（nstoen-adhyomfoigeelndou）s：ffi(erl)d）： field)：f(r,t)
a x b x a yb y a zb z 标量
18.06.2021
ppt精选版
9
1
如a、b正交，则
abab0
2
如a、b平行，则
aba b
3 4
如分a在配b正律交 ab投 c影 aba表用 b示 ac
m a b a m b m a b
a
ax2ay 2az2
散度是标量，而不是向量。
diav l
im sa dsaxayaz a
v 0 v x y z
于是Gauss定理可以写作：
sa n d s sa d s v( a x x a y y a z z)d v v( a )dv
18.06.2021
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28
div A 0 的场称为无源场。其性质：
运动学动力学
以实际流体为主
18.06.2021
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2
主要内容：
第一章场论与张量分析初步
第二章流体运动学
第三章流体力学基本方程组
第四章粘性流动基础
第五章 Navier-Stokes 方程的解
第六章边界层理论
第七章流体的旋涡运动
第八章湍流理论
18.06.2021
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3

张量分析论文

1 知识总结1.1 指标符号例如, 三维空间任意一点p 在笛卡儿坐标系（321,,x x x ），若是再推广到比三维更高的空间时不好描述了。

因此，发展了另一种记法指标记法。

在三维空间力里，矢量有三个分量，采用一般的指标将它们用一个简单的分量进行缩写。

因此在指标记法里边用指标符号表示为（i x ，i=1,2,3）。

一个 n 维空间的矢量（n x x x x ,,,,321⋅⋅⋅）也可用分量表示为（n i x i ,,2,1,⋅⋅⋅=）。

其中i —指标（取值范围为小于或等于n 的所有正整数）n —维数1.1.1 求和约定和哑指标求和约定是指标记法的补充。

若在一项中，只要一个下标在同一式子中重复出现，则表示要对这个指标从1,2,3......n 求和。

要表示求和n n x a x a x a S ⋅⋅⋅++=2211，可表示为∑∑====nj j j ni i i x a x a S 11，约定：j j i i x a x a S ==，（用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维）。

其中求和指标与所用的字母无关指标重复只能一次。

对于双重求和，∑∑==3131i j j i ij y x A ，其中，333323321331322322221221311321121111y x A y x A y x A y x A y x A y x A y x A y x A y x A y x A j i ij ++++++++=可表示为k j i ijk z y x A ，代表27项的和式。

1.1.2 自由指标333323213123232221211313212111b x A x A x A b x A x A x A b x A x A x A =++=++=++ 可以简写为i j ij b x A =，其中 j ——哑指标i ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同 1.1.3 Kronecker-δ符号和置换符号(Ricci 符号) （1）Kronecker-δ符号定义首先是标积，从物理学知道，一个力矢量 f 与一个位移矢量 s ,可以确定一个标量，即功W ，cos W f s f s θ== 其中记作 f s ⋅ ．所以又称点积。

张量分析及其应用

或
Ux Uy Uz 0 x y z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：
( U tiU j U xji)b i x p ix U jx i j
写出其普通记法
{a 1 ,a2,a3 },{a 1,a2,a3}
即
a a ie i, a a ie i
aiaeiaieiei a i a e i a ie ie i a ie ie i
a a i
ii i（对 i’ 求和）
a a i
ii i（对 i 求和）
x 1 a 1x 1 1 a 1x 2 2 a 1x 3 3 x 2 a 2x 1 1 a 2x 2 2 a 2x 3 3 x 3 a 3x 1 a 3x 2 2 a 3x 3 3
ei Aijej i 为自由指标，j 为哑标
表示
e 1 A 1e 1 A 1e 2 2 A 1e 3 3 e 2 A 2e 1 A 2e 2 2 A 2e 3 3 e 3A 3e 1 A 3e 2 2 A 3e 3 3
ee121211
12 22
1233ee12
e3 31 31 33e3
ei iiei （对 i 求和，i’为自由指标）
从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量
1.5.2 标量（纯量 Scalar）
可见：
e ijk e jk i e k ij e jik e ik j e k ji
e i j k 也称为三维空间的排列符号。
若 e1, e2, e3 是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量
则
ei ej eijkek
常见的恒等式

流体力学-第一讲场论与张量分析初步ppt课件

11.04.2020
.
7
对于笛卡儿坐标，X的3个分量为x1，x2，x3。而三个坐标方向的单位分别用e1，e2，e3表示。有时也常用i，,j，k表示。因此位置向量和速度向量可以写为：
x=x1e1+ x2e2+ x3e3
uuxiuyjuzk
向量的加减：
a ＋ b c
a cb
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第一节第二节第三节
场论简述张量初步雅可比行列式
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4
第一节场论简述
• 基本概念 • 场的几何表示 • 标量场的梯度 • 向量的散度 • 向量的旋度 • 哈密顿算子▽和场论的基本运算公式
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5
一基本概念
• 1.场（field）：
• 设在空间中的某一区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。
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6
(1)标量:是一维的量，它只须1个数量及单位来表
示，它独立于坐标系的选择。
流体的温度，密度等均是标量。
(2)向量(矢量):不仅有数量的大小而且有指定的
方向，它必须由某一空间坐标系的3个坐标轴方向的分量来表示,因此向量是三维的量。
速度,加速度是向量.
常用黑体字母x、u 表示空间坐标位置向量和流速向量。也用 u、x类似表示。
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14
向量三重积：
a b c
a b c a c b a b c a b c a c b b c a
括号不能交换或移动
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15
二、场的几何表示
变化快

张量分析课件-2.2 正则与退化的二阶张量

T
1 1
T
T T
T 1
满射性对于正则的二阶张量T 对于任意矢量u 所做的线性变换T· u=w，必存在唯一的逆变换，使T -1· u=w。
i 1 i 1
I
I
定理三维空间中任意二阶张量T 将任意矢量组u，v，w 映射为另一矢量组，满足
T u
T v T w detT u v w
证明（式1.8.25）、(1.8.22)

detT
lmn
u v w detT u v w
l m n

Hale Waihona Puke T uT v T w
ijk
T uT v T w
i l
l
j m m
k n
n
2.2.2 正则与退化
定义 detT≠0的二阶张量T 称为正则的二阶张量；否则称为退化的二阶张量。若T 是正则的，则T T 也是正则的。正则二阶张量的性质：（1）定理二阶张量是正则的必要且充分条件是将每一组线性无关的矢量组u(i)(i=1，2，3)映射为另一组线性无关的矢量组T· u(i)(i=1，2，3)。等价表述：二阶张量是正则的必要且充分条件是 T· u=0，当且仅当u=0；或者，二阶张量是退化的必要且充分条件是存在u≠0 使得T· u=0。（2）正则的二阶张量T 映射的单射性对于任意2 个不等的矢量u≠v，被T 映射以后仍不相等：T· u≠T· v。
（3）正则的二阶张量T 映射的满射性定义对于正则的二阶张量T，必存在唯一的正则二阶张量T -1，使
T T 1 T 1 T G
T -1 称为正则的二阶张量的逆，正则的二阶张量也称为可逆的二阶张量。可证

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第五章张量分析§5.1 克里斯托夫（Christoffel ）符号及其性质短程线一、克里斯托夫符号1、直角坐标系（笛卡儿直角和斜角坐标系）中向量的微分。

对矢量u i iu g u = 直线坐标系中i g 是常量，故i j j i j x u i g dx u dx gdu ji ,==∂∂ (5-1)*直线坐标系里，矢量的微分仅取决于它的分量微分，与基矢量无关。

2、曲线坐标系中矢量的导数，克里斯托夫符号j i ii i j j i i j g v g v g v v ,,,,)(+== (5-2)或 ij iij i j ii j g v g v g v v ,,,,)(+== (5-3) 矢量的导数仍为矢量，将矢量导数再同基矢量表示k kij kijk j i g g g Γ=Γ=, (5-4)ijk Γ,k ij Γ——克里斯托夫符号。

（第一类和第二类克里斯托夫符号）ijk l k ijl k l ijl k j i g g g g Γ=Γ=⋅Γ=⋅δ, (5-5) k ij k l l ij k l l ij k j i g g g g Γ=Γ=⋅Γ=⋅δ, (5-6)二、克里斯托夫符号的性质1、克里斯托夫符号第三个指标的上升和下降与矢量相同。

由（5－4）l k kij l kijk g g g g ⋅Γ=⋅Γkl kij ijl g Γ=Γ⇒ (5-7) l ij klijk g Γ=Γ (5-8)但前两个指标不能这样升降，它不是三阶张量。

2、克里斯托夫符号关于头两个指标是对称的。

i i i r xrg ,=∂∂=i j ji ij j i g r r g ,,,,=== (5-9)因此 ljil l ijl g g Γ=Γ l lji l l ij g g Γ=Γ分别点乘k g 和k g ，得jik ijk Γ=Γ (5-10)kjik ij Γ=Γ (5-11) 3、克里斯托夫符号不是张量k j i ijk xrx x r ∂∂⋅∂∂∂=Γ2''2''''2'''''''''2''')()(j i j k k k j k kj ji ik j i k kk j j j i k j i k j i k j i x x x x x x r x r x xx x x x x r x x r x x x r x x x r x xr x r x x r x x r ∂∂∂⋅∂∂⋅∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅∂∂⋅∂∂⋅∂∂∂=∂∂⋅∂∂⋅∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂⋅∂∂∂=Γ''2'''''''j i jk k jk k k j j i i ijk k j i x x x g ∂∂∂+Γ=Γββββ (5-12)克里斯托夫符号不是张量。

将上式两边乘以ml l l k m l k g g''''ββ=，得到''2'''''''''''''j i j l lk mk k mljk l lk mk k j j i i mlijk l k k j i x x x g g g g∂∂∂+Γ=Γββββββββ''2''''j i jl lk mmljk l l k mj j i i mlijk xx x g g g ∂∂∂+Γ=βδβδββ ''2''''j i jl lkljk l l j j i i klijk x x x g g g ∂∂∂+Γ=ββββ由（5－8）式lj kl jk g g δ=及得''2'''''''j i jl jl l j j i i l ijl j i xx x ∂∂∂+Γ=Γββββ 第二类克里斯托夫符号也不是张量。

三、克里斯托夫符号的计算j i ij g g g ⋅=k j i j k i k ij g g g g g ,,,⋅+⋅=ijkjki j ki ijk kij i jk jki ikj k ij g g g Γ+Γ=Γ+Γ=Γ+Γ=⇒,,,klijk l ij k ijj ki i jk ijk g x g x g x g Γ=Γ∂∂-∂∂+∂∂=Γ⇒)(21对正交坐标系，0=ij g ，(i 不等于j), 则i ii iii ijk x g ∂∂=Γ=Γ21 kiiiik ijk x g ∂∂-=Γ=Γ21 jiiiji ijk xg ∂∂=Γ=Γ21 0=Γijk (i,j,k 各不相同时) )(ln 21ii i ii iii iii lij g xg ∂∂=Γ=Γ=Γ l j i == liill lii l ij x g g ∂∂-=Γ=Γ21 l j i ≠=)(ln 21ii iiij lij g x ∂∂=Γ=Γ j l i ≠= 0=Γl ij (i,j,l 各不相同时) （不求和）【例】求极坐标系中的克里斯托夫符号极坐标中度量张量111==g g rr 222r g g ==θθ 012==g g r θ 021==g g r θ这样就有： 0)(21111111111111=∂∂-∂∂+∂∂=Γ=Γx g x g x g rrr 0)(21211112121112=∂∂-∂∂+∂∂=Γ=Γx g x g x g rr θ0)(21121211112211121=∂∂-∂∂+∂∂=Γ=Γ=Γ=Γx g x g x g rr rr θθr x g x g x g r r =∂∂-∂∂+∂∂=Γ=Γ=Γ=Γ)(21221212122212122θθθθ r xg x g x g r-=∂∂-∂∂+∂∂=Γ=Γ)(21122221212221θθ 0222=Γ=Γθθθ 而：r g r -=Γ=Γ=Γ11221122θθrg r r 122122212221=Γ=Γ=Γ=Γ=Γθθθθ 其余为零。

四、短程线曲面上连接两点的最短路程是什么呢？设曲面上有任意曲线αL ，参数方程为)(11t x x = )(22t x x = (a) 在曲线αL 上取两点M 0和M 1，对应参数为t 0和t 1，现计算M 0和M 1两点间的一段曲线长度l ji ij dx dx g ds =2 (b)dt x dt dt dx dx •==111dt x dt dtdx dx •==222(c) (d) dt x x g ds j iij ••= (e)dt x x g ds l t t j iij t t ⎰⎰••==11(5-18)令 ••=j i ij x x g dtdx dt dx x x F ),,,(2121(f) ⎰=1),,,(2121t t dt dtdx dt dx x x F l (5-18’)若有一曲线，其上任意足够接近两点间线段的长度比连接此两点的任何邻近曲线都短，则称为短程线。

为方便计，把参数取为曲线上由M 0点算起的弧长S ，设L 0是短程线，其上坐标)(1010s x x =, )(2020s x x = (g)是使式（5－18‘）取极小值问题的解，令极小值为0l ，在L 0上参数S 在M 0和M 1点分1M 0M αL 0L别为s =0和s =0l 。

现取两个s 的任意函数)()(21s s ηη和，并使之满足0)()0(011==l ηη (h) 0)()0(022==l ηη这样，凡是通过点M 0, M 1，与短程线邻近的曲线，用αL 表示，其上的坐标X 1, X 2可表示为：)()()()(2221101s s x x s s x x αηαη+=+= (i)则αL 上M 0与M 1之间的曲线长度)(αl 可表示为：ds dsd ds dx ds d ds dx x x F l l 2102201102201100)],,,([)(⎰++++=ηαηααηαηα (j) 0=α时，得L 0的弧长0l ，则0=α时，)(αl 存在极小值。

0)(0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=αααd dl (k) 即ds ds d ds dx F s x F ds dx ds dx x x F d dl i i i i l ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰=ηηααα002010201000)(),,,(121)(0 (l) 参数由s 代替t 后，(f)式为：dsdx ds dx g ds dx ds dx x x F ji ij =),,,(2121(m)在L 0(0=α)上，由(b)式有1),,,(002010201==dsdx ds dx g ds dx ds dx x x F ji ij (n) 由(l),(k)式，有0)(00000=∂∂+∂∂⎰⎰ds dsd dsdx F ds s x F l ii l i i ηη (o) 对上式第二项用分部积分，并注意(h)，有：ds dsdx F ds d ds ds dx F ds d ds dx F ds ds d dsdx F i l ii l i l s s i i l i i )()(0000000000∂∂-=∂∂-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=∂∂⎰⎰⎰==ηηηη 则(o)式变为：0)(0000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂⎰ds ds dx F ds d x F l i i i η (p) 由iη任意性有：0)(=∂∂-∂∂dsdx F ds d x F ii (q) 凡满足方程式(q)的线称为短程线。

将(m)式两边对ds dx i求导，得;ds dx g dsdx F jij i 2=∂∂ 于是：dsdx ds dg ds x d g ds dx F ds d j ij jij i 22)(22+=∂∂ (r) ds dx ds dx x g ds dx ds dg ds dx ds dg kl l ik k ik j ij ∂∂==dsdx ds dx x g ds dx ds dg ds dx ds dg lk k il l il j ij ∂∂==上二式相加代入(r)式，有：dsdx ds dx x g x g ds x d g dsdx F ds d l k k il l ik j ij i ⋅∂∂+∂∂+=∂∂)(2)(22 (s)最后，将(m)式写为：dsdx ds dx g F lk kl =容易求得dsdx ds dx x g x F lk i kl i ∂∂=∂∂ (t) 将(s), (t)代入(q)，得02122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂+dsdx ds dx x g x g x g ds x d g lk i kl k il l ik j ij(5-19) 利用克里斯托夫符号，又有：022=Γ+dsdx ds dx ds x d g lk kli j ij(5-19’) 此即短程线微分方程。