(完整版)随机过程习题答案

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随机过程试题及答案

随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。

通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。

以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。

1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。

(2) 求X(t)的平稳分布。

2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。

令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。

设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。

根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。

(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。

(2) 计算X(t)的平均到达速率。

4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。

所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。

(完整版)上海大学随机过程第六章习题及答案

第三章习题1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.（1）写出状态空间；（2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为{2,1,0,1,2}S =--（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为1000000000001q rp q r p q r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （3）因为两步转移概率矩阵为22(2)22222210000202220200001q rq r pq pr p q rq r pqpr p q qr pq r p pr ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为(2)12(1)p p pr p r =+=+2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则（1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？（2）令1nn ii X Y ==∑，问{,1,2,}iX i =L 是否为Markov 链？解（1）由于11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)()()()()()()(,,,)n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========================L L L L L因此，{,1,2,}n Y n =L 是马尔可夫链.（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++L 为1n U -的函数，记为1112(),n n n n f U X U U U --=+++L 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U L L 相互独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U L L 也相互独立，从而122111221111112211 (,,,)(,,,)(,,,)()()nn n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑L L L因此{,1,2,}n X n =L 是马尔可夫链.3 设,1,2,i X i =L 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===L ，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=-L ，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =L 是Markov 链，并求其转移概率；（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =L 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且⎩⎨⎧≤>======++i j ij a i X z X P i R z R P j k n n k k k k k ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随机变量，因为{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且}{1z X R P tn i i ===++=⎩⎨⎧≤>ij i j a j ,0,（由于i X 的独立性）故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…{}1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+,0,j j i j iα>⎧=⎨≤⎩ 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。

随机过程课后题答案

第一章习题解答1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1）求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2）其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解（1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4）若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

随机过程习题答案

1 X ( )与 X (1)的联合分布律为 2 1 X( ) 0 1 2 X (1) −1 +2 1 2 0 0 1 2
0, 0, 1 1 , ⇒ F ( x1 , x2 ; ,1) = 2 2 1 , 2 1,
x1 < 0, −∞ < x2 < +∞ x1 ≥ 0, x2 < −1 0 ≤ x1 < 1, x2 ≥ −1 x1 ≥ 1, −1 ≤ x2 < 2 x1 ≥ 1, x2 ≥ 2
假定 Z (t ) = X + Yt , t ∈ R.若已知二维随机变量例3 σ 12 ( X , Y )的协方差矩阵为 ρσ 1σ 2 的协方差函数.
ρσ 1σ 2 ,试求 Z (t ) 2 σ2
解 CZ (t1 , t2 ) = E[( X + Yt1 − ( µ X + µY t1 ))( X + Yt2 − ( µ X + µY t2 ))] = E[(( X − µ X ) + (Yt1 − µY t1 ))(( X − µ X ) + (Yt2 − µY t2 ))] = E[( X − µ X )( X − µ X )] + t2 E[( X − µ X )(Y − µY )] +t1 E[(Y − µY )( X − µ X )] + t1t2 E[(Y − µY )(Y − µY )]
(3)、令 Z (t ) = aW ( t a 2 ) ⇒ µ Z (t ) = aE[W ( t a 2 )] = 0 C Z (t1 , t 2 ) = E[ aW ( t1 a 2 ) aW ( t2 a 2 )] = a 2 E[W ( t1 a 2 )W ( t2 a 2 )] = a 2σ 2 min{ t1 a 2 , t2 a 2 } = σ 2 min{t1 , t 2 }, t1 , t 2 ≥ 0

随机过程试题及答案

随机过程试题及答案一、选择题1. 关于随机过程的描述，错误的是：A. 随机过程是一种由随机变量组成的集合B. 随机过程是一种在时间上有序排列的随机变量序列C. 随机过程可以是离散的，也可以是连续的D. 随机过程是一种确定性的数学模型答案：D2. 以下哪种过程不是随机过程？A. 白噪声过程B. 马尔可夫过程C. 布朗运动D. 正态分布答案：D3. 随机过程的一阶矩描述的是：A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：A4. 当随机过程的各个时间点上的随机变量是独立同分布时，该随机过程为：A. 马尔可夫过程B. 马尔可夫链C. 平稳随机过程D. 白噪声过程答案：B5. 下列关于马尔可夫过程的说法中，正确的是：A. 当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关B. 当前状态只与历史状态有关，与上一状态无关C. 当前状态只与上一状态和历史状态有关D. 当前状态与所有历史状态均无关答案：A二、填空题1. 随机过程中，时域函数常用的表示方法是__________。

答案：概率分布函数或概率密度函数2. 马尔可夫过程的状态转移概率只与__________相关。

答案：当前状态和下一状态3. 随机过程的时间参数称为__________。

答案：时刻或时间点4. 白噪声过程的自相关函数是一个__________函数。

答案：冲激函数5. 平稳随机过程的自相关函数只与__________相关。

答案：时间差三、解答题1. 请简要解释随机过程的概念。

随机过程是一种由随机变量组成的集合，表示一个在时间上有序排列的随机变量序列。

它可以是离散的，也可以是连续的。

随机过程的描述通常包括概率分布函数或概率密度函数，以及相关的统计特征，如均值、方差等。

随机过程可以用于对随机现象进行建模和分析。

2. 请简要说明马尔可夫过程的特点及应用。

马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程，即当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关。

其状态转移概率只与当前状态和下一状态相关。

(完整版)随机过程习题

随机过程复习一、回答： 1、什么是宽平稳随机过程？2、平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？3、窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？4、什么是白噪声？性质？二、计算：1、随机过程t A t X ωcos )(=+t B ωsin ，其中ω是常数，A 、B 是相互独立统计的高斯变量，并且E[A]=E[B]=0，E[2A ]=E[2B ]=2σ。

求：)(t X 的数学期望和自相关函数？2、判断随机过程)cos()(φω+=t A t X 是否平稳？其中ω是常数，A 、φ分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。

πϕφ21)(=f πϕ20 ； 222)(σσa A eaa f -=0 a3、求随机相位正弦函数)cos()(0φω+=t A t X 的功率谱密度，其中A 、0ω是常数，φ为[0,2π]内均匀分布的随机变量。

4、求用)(t X 自相关函数及功率谱表示的)cos()()(0φω+=t t X t Y 的自相关函数及谱密度。

其中，φ为[0,2π]内均匀分布的随机变量，)(t X 是与φ相互独立的随机过程。

5、设随机过程}),cos()({0+∞<<-∞+=t Y t A t X ω，其中0ω是常数，A 与Y 是相互独立的随机变量，Y 服从区间)2,0(π上的均匀分布，A 服从瑞利分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-000)(2222x x ex x f x A σσ试证明)(t X 为宽平稳过程。

解：（1）)}{cos()()}cos({)(00Y t E A E Y t A E t m X +=+=ωω⎰⎰=+=∞+-πσωσ20002220)cos(22dy y t dx exx 与t 无关（2） )()}({cos )()}cos({)}({)(20222022A E Y t E A E Y t A E t X E t X≤+=+==ωωψ dt e tdx e xA E t x ⎰⎰∞+-∞+-==0222223222221)(σσσσσ，20222022|2|222σσσσσ=-=+-=∞+-∞+-∞+-⎰t t tedt ete所以+∞<=)}({)(22t X E t Xψ （3）)]}cos()][cos({[),(201021Y t A Y t A E t t R X ++=ωω )}cos(){cos(][20102Y t Y t E A E ++=ωω dy t t y t t πωωωσπ21)](cos )[cos(2121202010202--++=⎰)(cos 1202t t -=ωσ 只与时间间隔有关，所以)(t X 为宽平稳过程。

随机过程习题及部分解答(共享).docx

随机过程习题及部分解答习题一1.若随机过程X(/)为X(0 = A?,-oo<r<+oo,式中4为(0, 1)上均匀分布的随机变量，求X(/)的一维概率密度Px(x；t)。

2.设随机过程X(/) = 4cos(初+ 其中振幅A及角频率①均为常数,相位&是在[-兀,刃上服从均匀分布的随机变量，求X(/)的一维分布。

习题二1.若随机过程X(/)为X(t)=At -00 < r < +00 ,式中4为(0,1)上均匀分布的随机变量，求E[xa)],7?xa』2)2.给定一随机过程X(/)和常数Q,试以X(/)的相关函数表示随机过程y(0 = X(/ + a) —X(/)的自相关函数。

4.设X(t) = A cos at + B sin at,其中A, B是相互独立且服从同一高斯(正态)分布N(0Q2)的随机变量，a为常数，试求X(/)的值与相关函数。

习题三1.试证3.1节均方收敛的性质。

2.证明:若X(t),twT;Y(t),twT均方可微，a0为任意常数,则aX(t) + bY(t) 也是均方可微，且有[aX (?) + b Y(/)]' = aX'(/) + b Y'(/)3.证明：若X⑴,twT均方可微，/X/)是普通的可微函数，则f(Z)X(Z)均方可微且[f(ox(or-/w(o+/(ox,(o4.证明:设X⑴在[a,b]上均方可微，且X0)在[a,切上均方连续，则有X'⑴ dt = X(b) — X(a)J a5•证明，设X(t\t eT =[a,b];Y{t\t eT = [a,b]为两个随机过程，且在T上均方可积，a和0为常数，则有(*b (*b (*bf [aX(/) + 0Y(/)M = a [ Xit)dt + /3\ Y⑴ dtJ a J a J aeb rc rbaX (t)dt = X (t)dt + XQ) dt,aWcWbJ a J a Jc6.求随机微分方程X'(/) + aX ⑴二丫⑴ze[0,+oo]'X(0) = 0的X(t)数学期望E [X(0]。

随机过程考试题及答案

随机过程考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 随机过程的数学定义中，通常不包括以下哪一项？A. 样本空间B. 事件集合C. 概率测度D. 随机变量答案：D2. 以下哪个不是随机过程的分类？A. 离散时间随机过程B. 连续时间随机过程C. 确定性过程D. 马尔可夫过程答案：C3. 在随机过程中，以下哪个是描述过程统计特性的参数？A. 均值B. 方差C. 协方差D. 所有以上选项答案：D4. 以下哪个不是随机过程的数学期望的性质？A. 线性B. 非负性C. 可加性D. 乘法性答案：D5. 随机过程的协方差函数描述了什么？A. 过程的均值B. 过程的方差C. 过程的自相关性D. 过程的非线性答案：C二、填空题（每题2分，共10分）1. 随机过程的样本函数是定义在时间轴上的______函数。

答案：随机2. 随机过程的平稳性包括______平稳性和宽平稳性。

答案：严3. 随机过程的遍历性是指过程的统计特性可以通过______观测得到。

答案：足够长时间4. 马尔可夫过程的特点是无后效性，即过程的未来状态只依赖于当前状态，而不依赖于______。

答案：过去状态5. 随机过程的谱密度函数是自相关函数的______。

答案：傅里叶变换三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个随机过程X(t)，其自相关函数为R_X(τ)=e^(-|τ|)，求该过程的功率谱密度S_X(f)。

答案：S_X(f)=\frac{1}{1+π^2f^2}2. 已知一个离散时间随机过程Y(n)，其均值为μ_Y=0，方差为σ_Y^2=1，且满足Y(n)=Y(n-1)+W(n)，其中W(n)为均值为0，方差为1的白噪声过程。

求Y(n)的自相关函数R_Y(k)。

答案：R_Y(k)=\begin{cases} 1, & k=0 \\ \frac{1}{2^{|k|}}, & k\neq 0 \end{cases}四、简答题（每题5分，共20分）1. 简述随机过程与随机变量的区别。

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(完整版)随机过程习题答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1随机过程部分习题答案习题2 2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。

解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t均值函数 ⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程 ⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X Xt σσ。

解（1）21=t 时，)1(X 的分布列为一维分布函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,210,0),21(x x x x F 1=t 时，)1(X 的分布列为一维分布函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=2,121,211,0),1(x x x x F （2）由于)1()21(X X 与相互独立，所以))1(),1((X X 的分布列为二维分布函数 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤-≥≥<≤<≤-<≤-<<=2,1,121,12,10,2121,10,4110,0),;1,21(212121212121x x x x x x x x x x x x F 或或（3）t t t t t m X +=⋅+=)cos(21221)cos(21)(ππ 21)1(=X m 222222])cos(21[)2(21)(cos 21)]([)]([)(t t t t t EX t X E t X+-+=-=ππσ )cos()(cos 412)(cos 212222t t t t t t πππ---+=)cos()(cos 4122t t t t ππ-+=2])cos(21[t t -=π49)1(2=X σ2.4 设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ωω+=，其中ω为常数，B A ,是相互独立且服从正态分布),0(2σN 的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。

解因B A ,独立，),0(~2σN A ，),0(~2σN B所以，2][][,0][][σ====B D A D B E A E均值 )]sin()cos([)]([)(t B t A E t X E t m Xωω+==0][)sin(][)cos(=+=B E t A E t ωω 相关函数[]))sin()cos())(sin()cos(()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++== []1221212212sin cos sin cos sin sin cos cos t t AB t t AB t t B t t A E ωωωωωωωω+++=][sin sin ][cos cos 221221B E t t A E t t ωωωω+= )sin sin cos (cos 21212t t t t ωωωωσ+= )(cos 212t t -=ωσ2.5 已知随机过程)(t X 的均值函数)(t m X 和协方差函数)(),,(21t t t B X ϕ为普通函数，令)()()(t t X t Y ϕ+=，求随机过程)(t Y 均值和协方差函数。

解均值 )()()()]([)]()([)]([)(t t m t t X E t t X E t Y E t m X Y ϕϕϕ+=+=+== 协方差 )()(),(),(212121t m t m t t R t t C Y Y Y Y -=)()()]()([2121t m t m t Y t Y E Y Y -=[])]()()][()([)()()(()((22112211t t m t t m t t X t t X E X X ϕϕϕϕ++-++= )()()]()([2121t m t m t X t X E X X -= 其它项都约掉了 )()(),(2121t m t m t t R X X X -= ),(21t t C X =2.6 设随机过程)sin()(Θ+=t A t X ω，其中ω,A 是常数，Θ在),(ππ+-上服从均匀分布，令)()(2t X t Y =，求),(τ+t t R Y 和),(τ+t t R XY 。

解 )]()([)]()([),(22τττ+=+=+t X t X E t Y t Y E tt R Y[])(sin )(sin 2222Θ++Θ+=ωτωωt A t A E []))222cos(1))(22cos(1(42Θ++-Θ+-=ωτωωt t E A [])222cos()22cos()222cos()22cos(142Θ++-Θ+-Θ++Θ++=ωτωωωτωωt t t t E A 而 0)22sin(41)22cos(21)]22[cos(=+=+=Θ+--⎰ππππθωπθθωπωt d t t E 同理 []0)222cos(=Θ++ωτωt E利用三角积化和差公式[])222cos()22cos(Θ++Θ+ωτωωt t E[])424cos()2cos(21Θ+++=ωτωτωt E ωτ2cos 21=所以，]2cos 211[4),(2ωττ+=+A t t R Y )]()([)]()([),(2τττ+=+=+t X t X E t Y t X E t t R XY )](sin )sin([22Θ++Θ+=ωτωωt A t A E))]222cos(1)([sin(23Θ++-Θ+=ωτωωt t E A)]222cos()sin()[sin(23Θ++Θ+-Θ+=ωτωωωt t t E A)]323sin()2sin()sin(2[43Θ++-Θ++-Θ+=ωτωωτωωt t t E A而 0)sin(1)]sin(2[=+=Θ+⎰-θθωπωππd t t E 同理 0)]323[sin(,0)]2[sin(=Θ++=Θ++ωτωωτωt E t E 所以，0),(=+τtt R XY2.7 设随机过程2)(Zt Yt X t X ++=，其中Z Y X ,,是相互独立的随机变量，且具有均值为零，方差为1，求随机过程)(t X 的协方差函数。

解根据题意，1,0222=========EZ DZ EY DY EX DX EZ EY EX0][)]([)(22=++=++==EZ t tEY EX Zt Yt X E t X E t m X)]()()][()([),(221121t m t X t m t X E t t C X X X --=)])([()]()([22221121Zt Yt X Zt Yt X E t X t X E ++++==因Z Y X ,,相互独立，均值为零，所以上面交叉乘积项数学期望为零2221212222122121t t t t EZ t t EY t t EX ++=++=2.8 设)(t X 为实随机过程，x 为任意实数，令⎩⎨⎧>≤=xt X xt X t Y )(,0)(,1)( 证明随机过程)(t Y 的均值函数和相关函数分别为)(t X 的一维和二维分布函数。

证明 })({0})({1)]([)(x t X P x t X P t Y E t m Y >⨯+≤⨯==);(})({t x F x t X P X =≤=))(),((21t Y t Y 的取值为)0,0(),1,0(),0,1(),1,1( })(,)({11)]()([),(22112121x t X x t X P t Y t Y E t t R Y ≤≤⨯⨯==})(,)({012211x t X x t X P >≤⨯⨯+ })(,)({102211x t X x t X P ≤>⨯⨯+ })(,)({002211x t X x t X P >>⨯⨯+),;,(})(,)({21212211t t x x F x t X x t X P X =≤≤=2.9 设)(t f 是一个周期为T 的周期函数，随机变量Y 在（0，T ）上均匀分布，令)()(Y t f t X -=，求证随机过程)(t X 满足⎰+=+Tdt t f t f T t X t X E 0)()(1)]()([ττ证明 Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),0(,1)(T y Ty f Y)]()([)]()([Y t f Y t f E t X t X E -+-=+ττ⎰∞+∞--+-=dy y f y t f y t f Y )()()(τ⎰-+-=Tdy y t f y t f T0)()(1τ ⎰-+-=-Tt tdu u f u f T u y t )()(1τ⎰-+=tTt du u f u f T )()(1τ⎰+=Tdu u f u f T 0)()(1τ 2.13 设}0),({≥tt X 是正交增量过程，V X ,0)0(=是标准正态随机变量，若对任意的0≥t ，Vt X 与)(相互独立，令V t X t Y +=)()(，求随机过程}0),({≥t t Y 的协方差函数。