新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第2讲 三角变换

第2讲 三角变换与解三角形1．(2016·课标全国丙改编)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝________.答案6425解析 tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α ＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 2．(2016·天津改编)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝________. 答案 1解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．3．(2016·上海)方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间[0,2π]上的解为__________． 答案π6，5π6解析 3sin x ＝2－2sin 2x ，即2sin 2x ＋3sin x －2＝0， ∴(2sin x －1)(sin x ＋2)＝0， ∴sin x ＝12，∴x ＝π6，5π6.4．(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________． 答案 8解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )， 由已知，sin A ＝2sin B sin C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，A ，B ，C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得，tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1.∴tan A (tan B tan C －1)＝tan B ＋tan C . 则tan A tan B tan C －tan A ＝tan B ＋tan C ， ∴tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋ 2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， ∴tan A tan B tan C ≥22， ∴tan A tan B tan C ≥8.正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1) sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝________.(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β＝________. 答案 (1)12 (2)π4解析 (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°＋30°－sin 17°cos 30°c os 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)因为α，β均为锐角， 所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010， 所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. 所以β＝π4.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．跟踪演练1 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝________. (2)若f (x )＝3sin(x ＋θ)－cos(x ＋θ)(－π2≤θ≤π2)是定义在R 上的偶函数，则θ＝________.答案 (1)35 (2)－π3解析 (1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，得sin αcos π4－cos αsin π4＝7210，即sin α－cos α＝75，①又cos 2α＝725，所以cos 2α－sin 2α＝725，即(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝725，因此cos α＋sin α＝－15.②由①②得sin α＝35.(2)f (x )＝2sin(x ＋θ－π6)，由题意得θ－π6＝π2＋k π(k ∈Z )，因为－π2≤θ≤π2，所以k ＝－1，θ＝－π3.热点二 正弦定理、余弦定理 1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例2 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ， ∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .由正弦定理可得 sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (1)(2016·课标全国丙改编)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A＝________.(2)在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝________. 答案 (1)－1010(2)45° 解析 (1)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由题意得S △ABC ＝12a ·13a ＝12ac sin B ，∴c ＝23a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋29a 2－2×a ×23a ×22＝59a 2，∴b ＝53a . ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝59a 2＋29a 2－a 22×53a ·23a ＝－1010. (2)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，即43sin 60°＝42sin B ，解得sin B ＝22，∵b <a 以及大边对大角， ∴B <A ＝60°，∴B ＝45°.热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状．例3 (2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求． 跟踪演练3 已知函数f (x )＝32·sin 2x －cos 2x －12，x ∈R . (1)若x ∈[524π，34π]，求函数f (x )的最大值和最小值，并写出相应的x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足c ＝3，f (C )＝0且sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值． 解 (1)f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin(2x －π6)－1.∵x ∈[524π，34π]，∴2x －π6∈[π4，4π3]．∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )max ＝0；∴当2x －π6＝4π3，即x ＝3π4时，f (x )min ＝－32－1.(2)∵f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，∴sin(2C －π6)＝1.∵C ∈(0，π)，∴2C －π6∈(－π6，11π6)，∴2C －π6＝π2，即C ＝π3.∵sin B ＝2sin A ，∴b ＝2a . ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，a 2＋b 2－2ab cos π3＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC 的面积为________．押题依据 三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点． 答案52解析 先把条件中角B 的函数转化为角A 与C 的函数，求出sin C ，然后用正弦定理求c ，再利用S ＝12ac sin B 求面积．因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ， 结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52.2．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．押题依据 三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高． 解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1)＝sin(2ωx －π6)－12，因为函数f (x )的周期为T ＝2π2ω＝2π3， 所以ω＝32.(2)由(1)知f (x )＝sin(3x －π6)－12， 易得f (A )＝sin(3A －π6)－12.因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列， 所以sin 2A ＝sinB sinC ， 所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc2bc＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)， 因为0<A <π， 所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6，所以－12<sin(3A －π6)≤1，所以－1<sin(3A －π6)－12≤12，所以函数f (A )的值域为(－1，12]．A 组 专题通关1．已知α为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为________．答案 3解析 由α为锐角，cos α＝35，得sin α＝45，∴tan α＝43，∵tan(α－β)＝－13，∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan α－β1＋tan α·tan α－β＝3.2．若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.答案 5解析 由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13可知sin αcos β＋sin βcos α＝12，sin αcosβ－sin βcos α＝13，两式联立可得sin αcos β＝512，sin βcos α＝112，∴tan αtan β＝5.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，则△ABC 的形状为________三角形． 答案 等边解析 由已知可得，b ＝c2cos A ＝2c cos A ，∴cos 2A ＝14，易知cos A >0，∴co s A ＝12.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°，由b ＝2c ·b 2＋c 2－a 22bc得a 2－c 2＝0，∴a ＝c .因此，△ABC 为等边三角形．4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2b cos A ，B ＝π3，c ＝1，则△ABC 的面积等于________． 答案34解析 ∵a ＝2b cos A ，∴由正弦定理可得sin A ＝2sin B ·cos A .∵B ＝π3，∴sin A ＝3cos A ．∴tan A ＝ 3. 又∵A 为三角形的内角，∴A ＝π3，又B ＝π3， ∴C ＝π－A －B ＝π3，∴△ABC 为等边三角形， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×1×32＝34. 5．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin 3π2＋θ＋2cos π－θsin π2－θ－sin π－θ＝________. 答案 32解析 ∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，∴tan θ＝3.∴sin3π2＋θ＋2cos π－θsin π2－θ－sin π－θ＝－3cos θcos θ－sin θ ＝－31－tan θ＝32. 6．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α的值为________． 答案 334解析 1＋cos 2α＋4sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋4sin 2α2sin αcos α＝1＋2tan 2αtan α＝1＋2×164＝334. 7．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________． 答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π， ∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64， ∴a ＝8.8．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________ m.答案 150解析 根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m. 在△AMN 中，MN AM ＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)． 9．如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD ＝1，BD ＝210，∠CAD ＝π4，tan∠ADC ＝－2.求：(1)CD 的长；(2)△BCD 的面积．解 (1)因为tan∠ADC ＝－2，所以sin∠ADC ＝255，cos∠ADC ＝－55. 所以sin∠ACD ＝sin(π－∠ADC －π4) ＝sin(∠ADC ＋π4) ＝sin∠ADC ·cos π4＋cos∠ADC ·sin π4＝1010， 在△ADC 中，由正弦定理得CD ＝AD ·sin∠CAD sin∠ACD＝ 5. (2)因为AD ∥BC,所以cos∠BCD ＝－cos∠ADC ＝55. 在△BDC 中，由余弦定理 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos∠BCD ，得BC 2－2BC －35＝0，解得BC ＝7，所以S △BCD ＝12×7×5×sin∠BCD ＝12×7×5×255＝7. 10．已知函数f (x )＝2sin x cos2φ2＋cos x sin φ－sin x (0<φ<π)在x ＝π处取最小值． (1)求φ的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C .解 (1)f (x )＝2sin x ·1＋cos φ2＋cos x sin φ－sin x ＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x＝sin(x ＋φ)．因为函数f (x )在x ＝π处取最小值，所以sin(π＋φ)＝－1，所以sin φ＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π2.所以f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x . (2)因为f (A )＝32，所以cos A ＝32. 因为0<A <π，所以A ＝π6. 又因为a ＝1，b ＝2，所以sin B ＝b sin A a ＝2×12＝22. 因为b >a ，所以B ＝π4或B ＝3π4. 当B ＝π4时，C ＝π－π6－π4＝7π12； 当B ＝3π4时，C ＝π－π6－3π4＝π12. 所以角C 的值为7π12或π12.B 组 能力提高11．若α∈(0，π2)，则 sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________． 答案 12解析 ∵α∈(0，π2)， ∴sin 2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan αtan 2α＋4， 且tan α>0，∴2tan αtan 2α＋4＝2tan α＋4tan α≤224＝12(当且仅当tan α＝2时等号成立)， 故sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为12.12．(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.答案 100 6解析 在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BCsin∠BAC ＝ABsin∠ACB ，即BC sin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝300 2.在Rt△BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6.13．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．答案 3解析 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，a ＝2， 又(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°. ∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)，∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3. 14．已知函数f (x )＝2cos(2ωx ＋π3)－2cos 2ωx ＋1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求f (x )图象的对称中心；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形且f (A )＝0，求bc的取值范围．解 (1)由条件得f (x )＝2cos(2x ＋π3)－2cos 2x ＋1 ＝－3sin 2x －cos 2x ＋1＝－2sin(2x ＋π6)＋1. 由2x ＋π6＝k π(k ∈Z )， 解得x ＝－π12＋k π2(k ∈Z )， 故所求对称中心为(－π12＋k π2，1)(k ∈Z )． (2)由f (A )＝－2sin(2A ＋π6)＋1＝0， 得sin(2A ＋π6)＝12，因为A ∈(0，π2)， 所以2A ＋π6∈(π6，76π)，所以2A ＋π6＝56π， 所以A ＝π3，则B ＋C ＝2π3， 所以b c ＝sin B sin C ＝sin 2π3－C sin C ＝32tan C ＋12. 又△ABC 为锐角三角形，故π6<C <π2， 所以12<b c ＝32tan C ＋12<2， 即b c 的取值范围是(12，2)．。