平面汇交力系的合成与平衡
第三章平面力系的合成与平衡
滑轮的受力图如图3.10(c)所示。
为了避免解联立方程，选直角坐标系如图所示，使x、 y轴分别与反力NBC、NAB垂直。
∑Fx=0,-NAB+Tcos60°-TBDcos30°=0 得 NAB=Tcos60°-TBDcos30°=-7.33kN NAB为负值，表示该力的实际指向与受力图中所假设 的指向相反。即杆AB受压力作用。再由
R Rx2 Ry2 ( Fx )2 ( Fy )2
tan Ry Fy
Rx
Fx
上式表明了合力在任一轴上的投影，等于各分 力在同一轴上投影的代数和。我们称之为合力投影 定理。
【例3.3】图3.7所示的吊环上作用有3个共面的拉力，各 力的大小分别是T1=3kN、T2=1kN、T3=1.5kN，方向如图
【解】绳AB作用于桩上的拉力是由绳BD传来的。因此先 取结点D为研究对象求出绳BD的拉力。
作用在结点D上的力有已知力F、绳DE的拉力TDE和 绳BD的拉力TDB,这三个力组成一平面汇交力系。结点D 的受力图如图3.11(b)所示。
选直角坐标系如图，使y轴与TDE垂直。列平衡方程
∑Fy=0,TDBsinα-Fcosα=0 得 TDB=Fcotα=4000N 再取结点B为研究对象。作用在结点B上的力有绳BC、 BD和BA的拉力TBC、TBD、TBA，绳BD给两结点D和B的 作用力应大小相等、方向相反，即有TBD=TDB=4000N。 力TBC、TBD、TBA组成一个平面汇交力系，结点B的受力 图如图3.11（c)所示。
3.1 平面汇交力系 3.1.1 力在坐标轴上的投影
设力F作用于物体的A点，如图3.4所示。
第二章 平面汇交力系
即
F F
x y
0 0
平衡方程
平衡的解析条件： 力系中所有各力在直角坐标轴上的投影代 数和分别等于零。
9
例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反 力。 B 600 A A Q 解： 1).取研究对象 -------力系的汇交点A 2）作受力图 3).建立坐标系 X 0 300 C
X cos(F , i)
R
FR ( X ) 2 ( Y ) 2
FR
Y cos(F , j )
R
FR
15
4、平面汇交力系的平衡条件 （1）平衡的必要和充分条件：平面汇交力系的合力为零。 即 F F 0
R
（2）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。 （3）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐 标轴上投影的代数和分别等于零，即：
y
.
x
Q
4).列出对应的平衡方程 Y 0
5).解方程
TB sin 600 TC sin 300 0
TB cos60 TC cos30 Q 0
0 0
10
简易压榨机
11
求当等长连杆AB、AC与铅垂线成图示角时，托板给被 压物体的力。
12
列方程求解：
销钉A
X 0, Y 0, S AB sin S AC sin P 0 S AB cos S AC cos 0
S AB S AC
S AB S AC P 2 sin
托板
X Y
0, 0,
N S B sin 0 S B cos R 0 R S B cos P 2tg
02平面汇交力系
y
F
B
FBA
x
FBC
F
B
A
C D
解： 1）首先选取销钉B 为研究对象， 画受力图 建立坐标轴，列平衡方程
Fix 0, Fiy 0,
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0
解得
F
FBC FBA 2sin
30
x
F3
45
F4
2 F4x F4 cos 45 4 2 2.83 kN
2 F4 y F4 sin 45 4 2 2.83 kN
二、平面汇交力系合成的解析法
1. 合力投影定理 力系的合力在任一坐标轴上的投影等于其各分力在同一轴上投 影的代数和，即
FRx Fix
F1
F2
FR
O
F3
O
F2
F3
FR1 FR2
F4
F1
FR
F4
O
任一平面汇交力系均可合成为一个作用线通过汇交点的合力。 合力的大小和方向由各分力矢依次首尾相连构成的开口多边形 的封闭边矢量确定。
对应的矢量关系式为
FR F1 F2
Fn Fi
二、平面汇交力系的平衡条件 平面汇交力系平衡的充要条件为其合力为零。
FRx 129.3 N
FRy 112.3 N
2）确定合力的大小和方向
FR FR2x FR2y 129.32 112.32 N 171.3 N
cos FRx 129.3 0.755
FR 171.3
cos FRy 112.3 0.656
平面力系合成与平衡习题0
平面力系合成与平衡习题1、判断题：（1）无论平面汇交力系所含汇交力的数目是多小，都可用力多边形法则求其合力。
（）（2）应用力多边形法则求合力时，所得合矢量与几何相加时所取分矢量的次序有关。
（）（3）若两个力在同一轴上的投影相等，则这两个力的大小必定相等。
（）（4）两个大小相等式、作用线不重合的反向平行力之间的距离称为力臂。
（）（5）平面力偶系合成的结果为一合力偶，此合力与各分力偶的代数和相等。
（）（6）平面任意力系向作用内任一点简化的主矢，与原力系中所有各力的矢量和相等。
（）（7）一平面任意力系向作用面内任一点简化后，得到一个力和一个力偶，但这一结果还不是简化的最终结果。
（）（8）平面任意力系向作用面内任一点简化，得到的主矩大小都与简化中心位置的选择有关。
（）（9）只要平面任意力系简化的结果主矩不为零，一定可以再化为一个合力（）。
（10）在求解平面任意力系的平衡问题时，写出的力矩方程的矩心一定要取在两投影轴的交点处。
（）（11）平面任意力系平衡方程的基本形式，是基本直角坐标系而导出来的，但是在解题写投影方程时，可以任意取两个不相平行的轴作为投影轴，也就是不一定要使所取的两个投影轴互相垂直。
（）2、填空题：（1）在平面力系中，若各力的作用线全部，则称为平面汇交力系。
（2）平面汇交力系平衡的几何条件为：力系中各力组成的力多边形。
（3）若平面汇交力系的力矢所构成的力多边形自行封闭，则表示该力系的等于零。
（4）合力在任一轴上的投影，等于各分力在轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。
（5）平面任意力系向作用面内任一点简化结果，是主矢不为零，而主矩为零，说明力系与通过简化中心的一个______等效。
（6）平面任意力系向作用面内的一点简化后，得到一个力和一个力偶，若将其再进一步合成，则可得到一个_____。
（7）平面任意力系向作用面内任一点简化后，若主矢_____，主矩_____,则原力系必然是平衡力系。
（8）平面任意力系只要不平衡，则它就可以简化为一个______或者简化为一个合力。
知识点2：平面力系
知识点2：平面力系一、平面汇交力系的合成与平衡的几何法(1)平面汇交力系的合成用力多边形法则，合力的大小和方向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过各力的汇交点，即合力等于力系中各力的矢量和，即∑=+++=F F F F F n R 21(2)平面汇交力系的平衡平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形自行封闭。
即0==∑F F R二、平面汇交力系的合成与平衡的解析法1．力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-1所示，它是一标量，即θcos F F x =； θβs i n c o s F F y == （2-1）图2-1 图2-22．力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的平行四边形公理。
如图2-2所示。
力沿坐标轴分解的分力的大小为xyxyx)sin(sin βθβ+=F F x ； )s i n (s i nβθθ+=F F y（2-2）由此可见，在一般情况下，力沿坐标轴分解的分力的大小不等于力在坐标轴上投影的大小。
当2πβθ=+时，在同一坐标上分力的大小和投影相等，如图2-3所示。
（a ）（b ）图2-33．合力投影定理合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即∑=x Rx F F ； ∑=y Ry F F（2-3）当投影轴x 与y 垂直时，其合力的大小与方向为22RyRx R F F F +=，R RxR F F =),cos(i F ，RRy R F F =),cos(j F （2-4）4．平面汇交力系的合成当两坐标轴间的夹角为2π时有2222)()(∑∑+=+=y x Ry Rx R F F F F F（2-5）RxR F F∑=),cos(i F ，RyR F F∑=),cos(j F5．平面汇交力系的平衡 由几何法知0=R F代入前面的代数表达式有0)()(2222=+=+=∑∑y x Ry Rx R F F F F Fx F y即0=∑xF；0=∑yF（2-6）平面汇交力系平衡的解析条件是力系中各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和均等于零。
平面汇交力系
第二章平面汇交力系第一节平面汇交力系合成平面汇交力系的合成方法可以分为几何法与解析法，其中几何法是应用力的平行四边形法则（或力的三角形法则），用几何作图的方法，研究力系中各分力与合力的关系，从而求力系的合力；而解析法则是用列方程的方法，研究力系中各分力与合力的关系，然后求力系的合力。
下面分别介绍。
一、几何法首先回顾用几何法合成两个汇交力。
如图2—1a，设在物体上作用有汇交于O点的两个力F1和F2，根据力的平行四边形法则，可知合力R的大小和方向是以两力F1和F2为邻边的平行四边形的对角线来表示，合力R的作用点就是这两个力的汇交点O。
也可以取平行四边形的一半即利用力的三角形法则求合力如图2—1b所示。
图2—1对于由多个力组成的平面汇交力系，可以连续应用力的三角形法则进行力的合成。
设作用于物体上O点的力F1、F2、F3、F4组成平面汇交力系，现求其合力，如图2—2a所示。
应用力的三角形法则，首先将F1与F2合成得R1，然后把R1与F3合成得R2，最后将R2与F4合成得R，力R就是原汇交力系F1、F2、F3、F4的合力，图2—2b所示即是此汇交力系合成的几何示意，矢量关系的数学表达式为R=F1+F2+F3+F4 （2—1）实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力R1和R2，只要按照一定的比例尺将表达各力矢的有向线段首尾相接，形成一个不封闭的多边形，如图2—2c所示。
然后再画一条从起点指向终点的矢量R，即为原汇交力系的合力，如图2—2d所示。
把由各分力和合力构成的多边形abcde称为力多边形，合力矢是力多边形的封闭边。
按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小，合力的方位与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点至终点，合力的作用线通过汇交点。
这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法则。
从图2—2e还可以看出，改变各分力矢相连的先后顺序，只会影响力多边形的形状，但不会影响合成的最后结果。
图2—2将这一作法推广到由n 个力组成的平面汇交力系，可得结论：平面汇交力系合成的最终结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和，可由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过力系的汇交点。
平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系的平衡条件是指当物体受到多个力的作用时，在平面上保持平衡的条件。
在考虑平面汇交力系的平衡条件之前，我们先来了解一些相关的概念和原理。
1. 力的合成：力的合成是指将多个力按照一定的规则合并为一个力的过程。
根据力的合成原理，对于平面汇交力系，可以将所有的力分解为两个分力的合力，分别沿两个相互垂直的方向。
这样，问题就可以简化为在这两个方向上的力的合成问题。
2. 力的分解：力的分解是指将一个力拆解为两个分力的过程。
在平面汇交力系中，我们可以将作用在物体上的任意一力分解为两个分力，分别沿两个相互垂直的方向。
这样，我们可以将问题转化为分别考虑这两个方向上的力的平衡。
3. 力的平衡条件：平面汇交力系的平衡条件是指在平面上使得物体保持静止或以匀速直线运动时，所有作用在物体上的力满足的条件。
根据力的平衡条件，我们得到以下两个条件：- 力的合力为零：所有作用在物体上的力的合力必须为零，即$$\sum F_x=0$$和$$\sum F_y=0$$，其中$$\sum F_x$$表示所有作用在物体上且沿x方向的力的矢量和，$$\sum F_y$$表示所有作用在物体上且沿y方向的力的矢量和。
这个条件保证物体在平面上保持平衡，不发生水平或竖直方向的运动。
- 力的力矩为零：所有作用在物体上的力的力矩（也称为力的转矩）必须为零，即$$\sum M=0$$。
力矩是指力对物体的转动作用，其大小等于力的大小与力臂（即力作用点到物体某个轴线的垂直距离）的乘积。
这个条件保证物体在平面上不发生旋转。
4. 条件的应用：在应用平面汇交力系的平衡条件时，我们通常需要将合力和力矩分别分解为沿x和y方向的分力和分力矩，然后根据平衡条件求解未知力或者受力点的位置。
在分解力时，可以根据已知力的方向和大小使用三角函数进行计算。
在解决实际问题时，可以通过绘制力的图解，将已知的力按照规定的比例绘制在一个平面上，并通过力的合成和力的分解求解未知的力或者受力点的位置。
理论力学课件 4.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
平面汇交力系和平面力偶系
各力的作用线都汇交于一点的力系。可分为空间汇交 力系和平面汇交力系。
合力
多个力汇交于一点，如果能用一个力来等效替换， 此力称为合力。简言之：如果一个力与某一力系等 效，则称此力为该力系的合力。
平面汇交力系和平面力偶系
（1）两个共点力的合成
力三角形规则
尾 首
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
注意：力三角形规则求出的是合力的大小与方向， 作用点仍在交汇点。
力多边形规则 力多边形 不唯一
注意：力多边形规则求出的是合力的大小与方向， 作用点仍在交汇点。
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
平面汇交力系和平面力偶系
（3）汇交力系平衡的几何条件
å 平衡条件 FR = Fi = 0
汇交力系平衡的必要和充分条件是：
该力系的力多边形自行封闭 平衡的几何条件
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系
本讲主要内容
1、平面汇交力系合成与平衡的几何法 2、平面汇交力系合成与平衡的解析法 3、平面力对点的矩和平面力偶 4、平面力偶系的合成和平衡条件
平面汇交力系和平面力偶系
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
平面汇交力系和平面力偶系
汇交力系
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
解：CD为二力杆，取AB杆为研究对象，画受力图
E
1、平面汇交力系合成与平衡 的几何法
FA θ
FC 45°
F
A
C
B
汇交力系，利用平衡的几何条件，画封闭的力三角形.
c
b
FA
a
θ
FC
F 45°bF源自FCaFA c
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单元02 平面力系
平面汇交力系的合成与平衡
一、平面汇交力系合成的几何法
1.两个共点力合成的几何法
可以由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理求合力的大小；由正弦定理确定合力方向
2.任意个共点力合成的几何法
结论：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。
二、平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力等于零。
特点：最后一个力矢的终点与第一个力矢的起点相重合，即封闭边为零。
合力为零意味着力多边形自行封闭。
例：
解：
三、力在坐标轴上的投影
四、合力投影定理
1）平面汇交力系的合力
F R= F1+ F2+…+ F n = ∑F
2）合力在坐标轴的投影等于各分力在同轴上投影的代数和
合力投影定理:力系的合力在某轴上的投影,等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。
五、平面汇交力系的平衡方程
平面汇交力系的平衡条件
平衡方程:
例题1：求如图所示平面共点力系的合力。
其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。
解：根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：
合力的大小：171.3N
合力与轴x的夹角的正切为：8.343
所以，合力与轴x的夹角为41°
例题2：如图所示是汽车制动机构的一部分。
司机踩到制动蹬上的力F=212 N，方向与水平面成 = 45°角。
当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。
已知EA=24cm，DE=6 cm(点E在铅直线DA上) ，又B ，C ，D都是光滑铰链，机构的自重不计。
例题3：利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一货物重G = 20 kN，滑轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B 。
不计铰车的自重，试求杆AB和BC 所受的力。
解析法的符号法则：当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。
对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力
力矩与平面力偶系
一、力对点之矩
力F对某点O的矩等于力的大小与点O到力的作用线的距离h的乘积。
Mo(F)=±Fh
使物体逆时针方向转动的力矩为正,反之为负。
力F的作用点沿其作用线移动，不改变这力对O点的矩。
力矩为零的条件：
力为零；
力臂为零，即力的作用线过矩心。
二、合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面上任一点之矩，等于所有各分力对同一点力矩的代数和。
Mo（FR）=±∑Mo（F）
例题1：如图所示圆柱直齿轮的齿面受一啮合角α=20°的法向压力Fn=1 kN的作用，齿面分度圆直径d=60 mm。
试计算力对轴心O的力矩。
例题2：一轮在轮轴B处受一切向力F的作用，如图2-10a所示。
已知F、R、r 和α，试求此力对轮与地面接触点A的力矩。
MA（F）=MA（Fx）+ MA（Fy）
MA（Fx）= -Fx CA = -Fx (OA - OC) = -Fcosα (R - rcos α )
MA（Fy） =Fy rsinα =Frsinαsinα =Frsin2α
MA（F）= -Fcosα (R - rcos α ) + Frsin2α=F ( r - Rcos α ) α
三、力偶的概念
一对等值、反向、不共线的平行力组成的力系称为力偶。
力偶矩
力偶在其作用面内对物体转动效应的物理量，记作M（F，F'）
M（F，F'）= M = ±Fd
M = ±2△OAB
四、力偶的三要素
（1）力偶矩的大小；
（2）力偶的转向；
（3）力偶作用面的方位。
五、力偶的等效条件
凡是三要素相同的力偶则彼此等效。
六、力偶的性质
性质1：力偶对其作用面内任意点的力矩恒等于此力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关。
性质2：力偶在任意坐标轴上的投影之和为零，故力偶无合力，力偶不能与一个
力等效，也不能用一个力来平衡。
结论1：力与力偶是力系的两个基本元素。
结论2：力偶在它的作用面内，可以任意移动和转动。
力偶在不改变力偶矩大小和转向的条件下，可同时改变两平行力的大小、方向、及力偶臂的大小。
七、平面力偶系的合成
平面力偶系合成的结果为一合力偶，合力偶矩为各分力偶矩的代数和。
M=M1+ M2 + …+ Mn =∑ M
2.5.2 平衡条件：∑ M =0
例题3：如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。
已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计杆重，试求M1和M2间的关系
例题4：横梁AB长l，A端用铰链杆支撑，B端为铰支座。
梁上受到一力偶的作用，其力偶矩为M，AD与水平夹角为45度,如图所示。
不计梁和支杆的自重，求A和B端的约束
平面一般力系
一、力的平移定理
作用在刚体上A点处的力F，可以平移到刚体内任意点O，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点O矩。
F‘=F“=F M=Fd
二、平面一般力系的简化
F'R=∑F ' =∑F
M O = M1 + M2 +… M n =∑M O(F)
结论：平面一般力系向平面内任一点简化可以得到一个力和一个力偶，这个力等于力系中各力的矢量和，作用于简化中心，称为原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，称为原力系的主矩。
三、平面一般力系的平衡方程及其应用平面一般力系的平衡的充要条件
平面一般力系的平衡方程
解题步骤
（1）确定研究对象；
（2）画受力图；
（3）列平衡方程求解。
例题1：在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及
该力系的最后合成结果。
例题2：支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接，并各以铰链A，D连接于铅直墙上。
如图所示。
已知杆AC=CB；杆DC与水平线成45o角；载荷F=10 kN，作用于B处。
设梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。
例题3：如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度为q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。
例题4：某飞机的单支机翼重G = 7.8 kN。
飞机水平匀速直线飞行时，作用在机翼上的升力F = 27 kN，力的作用线位置如图示，其中尺寸单位是mm。
试求机翼与机身连接处的约束力。