人教版八年级数学下册《十七章 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理 原(逆)命题、原(逆)定理》教案_11

17.2 勾股定理的逆定理教案
教学目标
1．知识与技能
探索勾股定理的逆定理的证明过程并掌握直角三角形的判别思想，会应用勾股定理解决实际问题．
2．过程与方法
经历直角三角形判别条件的探究过程，体会命题、定理的互逆性．
3．情感、态度与价值观
培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值．
重难点
1．重点：理解并掌握勾股定理的逆定理，并会应用逆定理解决问题．
2．难点：掌握勾股定理的逆定理的推导．
教学准备
学生准备：（1）复习勾股定理，预习“勾股逆定理”；
（2）四组小木棍；
第一组：3cm 4cm 5cm （一、五小组学生准备）
第二组：6cm 8cm 10cm （二、六小组学生准备）
第三组：5cm 12cm 13cm （三、七小组学生准备）
第四组：9cm 12cm 15cm （四、八小组学生准备）（3）量角器．
教学过程
一、创设情境，导入课题
【埃及人得直角】
古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，
二、观察探讨，研究新知
教师提问：按照这样的方法真的能得到直角吗？
（目的：让学生对问题产生探索的兴趣，激发学生的探索欲望）
教师提问：观察古埃及人得到的三角形三边长度有什么关系？（学生先思考，再提问）
（目的：引导学生观察三边长度，并在勾股定理的基础上得处三边的平方关系）
学生1：三边长分别是3，4，5.
学生2：三边长满足222543=+.
【活动方略】
教师叙述：这是古埃及人曾经用过这种方法来得到直角，是不是只有三边长为3，4，•5的三角形才能构成直角三角形呢？下面请同学们拿出各组课前准备的小木棍、量角器，然后把每组小木棍依次首尾相连，请用量角器量一量每个角的度数判断它是什么三角形，并探究三边长有什么关系.
学生活动：动手连接、量取、小组交流、体验发现、得到猜想．
（两分钟时间学生动手实践，讨论交流，并小组推荐同学起立分享小组意见） 学生1：是直角三角形，并且两直角边的平方和等于斜边的平方.
猜想：由上面的活动你得到了什么？你能以命题的形式说出来吗？
(学生尝试以命题的形式归纳)
教师板书：
命题2：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.
教师活动：请一位学生回顾勾股定理
命题2：【问题探究1】
教师提问：命题1、命题2的题设、结论分别是什么？
学生回答：（略）
教师分析：同学们观察可以看出，这两个命题的题设和结论正好是相反的，像这样的两个命题称为互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题．
(教师板书) 互逆命题
原命题 逆命题
教师活动：通过课件引导学生，如果把勾股定理的叫做原命题，那么它的逆命题叫做什么？
学生回答：勾股定理的逆命题
设计意图：通过对命题1、命题2题设和结论的对比总结，引导学生得出本节课的第一个概念——勾股定理的逆命题，为后面证明逆命题成立是定理做铺垫.
【练习】
（白板展示）：说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
（1）原命题：两条直线平行，内错角相等．
逆命题：内错角相等，两条直线平行. （成立）
（2）原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等
逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（成立）
（3）原命题：如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.（不成立）
（4）原命题：全等三角形的对应角相等．
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. （不成立）
如果直角三角形两直角边分别为a ，b ， 斜边为c ，那么有222c b a =+
（学生小组讨论交流，并回答问题）
教师活动：在学生充分的举例、交流的基础上，提供上面的素材让学生认识，并明确，（1）任何一个命题都有逆命题．（2）原命题正确，逆命题不一定正确，原命题不正确，逆命题可能正确．（3）原命题与逆命题的关系就是，•命题中题设与结论相互转换的关系．
【设计意图】
采用从学生讨论交流中感知勾股定理的逆定理；比较勾股定理命题1•与命题2的题设与结论，认知命题的互逆性．
教师归纳提问：原命题成立，逆命题不一定成立.从而引出本节课的重点知
识——勾股定理的逆定理的证明.
教师提问：1.勾股定理的逆命题是真命题吗？
学生回答：略.
教师提问：2.如何知道一个命题是不是真命题？
学生回答：证明.
教师提问：3.若要证明那么勾股定理的逆命题的已知什么，求证什么？ 学生回答：
已知：在△ABC 中，AB=c ，BC=a ，CA=b ，且222c b a =+.
求证：△ABC 是直角三角形.
（教师引导学生证明命题2）
证明:画一'''C B A ∆， b ,,90'''''===∠A C a C B C 使
∵ 90C ∠ ∵
'= 222b +a =B'A' ∴
B b B ′
A ′ ′ b
22c =b +a ∵2
22c = B'A' ∴ ∵ 边长取正值 c = B 'A' ∴
中C'B'A' 和△ABC 在△
B'
A'=c =AB A'C'=b =CA C'
B'=a =BC ）SSS （ C B'A' ≌△ ABC △ ∴'
°90C' ∠ =C ∠ ∴
则 △ ABC 是直角三角形（直角三角形的定义）
教师归纳：由上面的探究过程可以说，用三角形全等可以证明勾股定理的逆命题是正确的．而如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理，所以勾股定理的逆命题就是勾股定理的逆定理，它与勾股定理互为互逆定理.
（教师板书）
勾股定理
勾股定理逆定理
三、例题解析，提高认知
【例题解析】
例1： 判断由a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形
a ＝15 ,
b ＝8 ,
c ＝17
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方.
解： ∵152＋82
＝225＋64＝289 172＝289
∴ 152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
设计意图：学生在理解勾股定理的逆定理概念的基础上，会利用勾股定理的逆定理去解题.
互逆定理
【变式应用】
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1)a=3 b=4 c=6 不是
(2)a=12 b=13 c=5 是
B=
∠
90
(3)a=5 b=6 c=7 不是
(4)a=1 b=1 c=2是
∠C
=
90勾股数：像12,13,5,这样能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
教师提问：变式中有几组勾股数？
学生回答：一组.
设计意图：学生在学会利用勾股定理的逆定理的基础上，认识勾股数的概念，并会找勾股数.
你知道了吗？
据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你知道为什么吗？
设计意图：通过学习勾股定理的逆定理，让学生明白古埃及人的做法是正确的，并且在本节课的授课过程中，引入问题、提出问题、最终解决问题。

【例题解析】
例2：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号
每小时航行12海里。

它们离开港口一个半小时
后相距30海里。

如果知道“远航”号沿东北方
向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
解：根据题意，得
PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30
B A
C
D ∵242+182=302，即PQ 2+PR 2=QR 2，∴∠QPR=90°．
由“远航号”沿东北方向航行可知∠QPS=45°则∠SPR=45°，
即“海天”号沿西北方向航行．
教师活动：先小组合作甲流，然后提问任意两位同学，一位同学读题，另一位同学找出题目中的关键词，并讲解自己的做题思路。

学生练习本完成解题过程。

四、随堂练习，巩固深化
【中考链接】
如图，四边形ABCD 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，
CD ＝12，AD ＝13.
求四边形ABCD 的面积.
学生活动：小组合作交流，完成解题过程，同时请两位学生上黑板做题。

做完之后请学生对黑板做题过程进行评价.
五、课堂总结，发展潜能
1．勾股定理的逆定性：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2=c 2，•那么这个三角形是直角三角形．（问：勾股定理是什么呢？）
2．该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
3．•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．
六、布置作业，专题突破
1．课本课本34页 第 1、2、3 题
2．作业设计
七、课后反思
八、板书设计。