一次函数难点与突破

一次函数难点与突破

《一次函数》这一章是初中生首次接触函数内容，也是初步了解变量世界中的数学规律，更是在“数轴”的基础上进一步形成数形结合的思想方法。毫不夸张地说，本章是整个初中数学一次巨大的飞跃。所以数学教师在教学前应有足够的思想准备，要充分估计大部分学生的入门困难，教学设计时想办法降低学习门坎，让学生尽量在最近思维发展区学好函数。函数及其导数又是高中数学的重点内容，故函数在中学阶段有承上启下的作用，学好初中的函数就为高中数学铺平了道路。

本章内容有函数的概念、函数的三种表示法、一次函数和正比例函数的概念、图象、性质和建模应用以及利用一次函数的图象解二元一次方程组和一元一次不等式。根据笔者的教学实践体会，将本章的学习难点与突破办法归纳如下，期望与各位同仁商榷。

一、难于理解“函数”。

函数是指两个变量之间的变化依从关系，与学生在此之前认识的“数学”有很大的不同，许多学生认为数学就是计算，就是解应用题，怎么还有“变量关系”？觉得这种变量关系有点似曾相识，却又那么生疏生奥、晦涩难懂。

难点突破办法：

1、举实例，降坡度。实例引入，举例内化，降低学习坡度。

一天24小时的气温随时间而变化，每个时刻都对应一个温度，我们说时间

是自变量，气温是因变量，气温是时间的函数；在正方形的面积公式S=a2中，

对于边长a的每一个值，都能算出一个对应的面积S，所以正方形面积是边长的函数。

然后让每个学生自己根据对函数的理解，举出一个函数例子。不管对错，举出来后全班讨论一下就明白了。

如同学甲说：苹果每斤3元，买苹果的钱是苹果斤数的函数。获得了大家的掌声。

同学乙说：长方形面积是一条边长的函数。对此，有人认为对，有人认为错，全班争论开来。认为错的同学说，当长方形的一边是2cm时，它的面积是多少呢？能确定吗？是唯一的一个面积吗？其他同学就会想到，是啊，当长方形的一

边是2cm时，另一边可能是3cm，或4cm等等，则它的面积是6cm2或8cm2等

等，对应的面积不唯一呀，所以长方形面积不是一条边长的函数。

老师这时提问：能否把同学乙的例子修改一下就变成函数了呢？沉默一会后同学丙说出来了：先固定另一边的长度就行了，可以这样说，当长方形的另一边不变时，长方形面积是一条边长的函数。最后大家修正语法错误后，就得到了一个完美的函数例子：当长方形的一边不变时，长方形面积是另一条边长的函数。这时同学丁提出了新问题：要是把长方形的周长固定，那它的面积是一条边长的函数吗？于是又激起了新一轮讨论浪潮。

2、抓关键，巧判断。抓住函数定义的两个条件：①变量y随变量x而变化；

②对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应。尤其是后一个条件是判断

函数的关键。可强调，函数就是在x 与y 的对应中，可以是一个值对应一个值，或多个值对应同一个值，即“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”。

比如，可以说一个人的身高是其年龄的函数，但年龄是不是身高的函数呢？由于成年人可以在许多年保持同一个身高，即一个身高会对应多个不同的年龄(一对多)，故年龄不是身高的函数。

再补充练习：

如图1，在x 与y 的对应中，y 是不是x 的函数？

图 1

3()

2()1()

y y y

学生在小组讨论中容易得出答案：(1)是函数(一对一或二对一)；(2)不是函数(对于x 的值6，y 没有值与它对应)；(3)不是函数(有一对二的现象)。

二、难于理解“一次函数”。

如果函数的解析式是自变量的一次式：y=kx+b 或y=kx (k 、b 是常数，k ≠0)，则称y 是x 的一次函数，其中后者又叫正比例函数。

一次函数的定义本身不难理解，难的是用定义判别一次函数和求出函数中的未知常数。如下面的三个例题：

例1 下列y 关于x 的函数中，哪些是一次函数？

(1) y=4x ；(2) y=x 4；(3) y=52x-4；(4) y=x ；(5) y=3x 2+2；(6) y=7

56x +；

(7) y=3x ；(8) y=3x 2-21(6x 2+4x)；(9) x+2y=6；(10) y=2；(11) y=3

21

+x 。

例2 若函数 y=(3-m)x 8

2

-m

+5是一次函数，则常数m 的值是 。

例3 若函数y=(m+2)x+(m-1)是正比例函数，则常数m 的值是 。

难点突破办法：

1、让学生弄清：一个函数解析式不管原来形式如何，只要通过化简后能变成y=kx+b (k 、b 是常数，k ≠0)，则这个函数就是一次函数；只要能变成y=kx(k

是常数，k ≠0)，则不但是一次函数，还是正比例函数。可指出y=4x 即y=4

1

x ，

这样学生容易认可y=4

x

属于正比例函数。

2、一次函数和正比例函数都是整式函数，解析式是一次二项式或一次单项

式，化简后的解析式分母中或根号内都不含自变量。还可补充说明：y=x 4

即

y=4x 1

-，y=x 即y=x 2

1，于是学生就不会把y=

x

4

与y=x 当一次函数了。

3、一个整式函数是一次函数有两个条件：一是x的指数是1，二是x的系数不为0，二者缺一不可；若是正比例函数则还要加上第三个条件：常数项为0，三者缺一不可。这样学生才会对例2、例3知道从何处入手，并周全地考虑条件。

4、一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是均匀的。反过来，在实际问题中，凡是因变量随自变量均匀变化的，都可以用一次函数表示。

三、难于准确地画一次函数的图象。

画图象的难点是不能准确地描出合适的点，以及根据自变量的取值范围对图象作出取舍。

如：把点(2，3)画在(3，2)的位置，把点(0，3)画在(3，0)的位置，横纵坐标弄反；直线y=2x-3经过点(2，1)，就把直线画成图2；把函数l=3a(a>0)画成图3的整条直线；过两点(1,-1)、(2，1)画直线y=2x-3，但这两点描出的位置有偏离(图4)。

难点突破办法：

1、描点时，横坐标的数要在x轴上找，纵坐标要在y轴上找，画两条垂线

要用三角板规范操作，画完后须观察检验。可用口诀提醒：“x

轴是横坐标，y

轴上是纵坐标，画垂线用三角板，点的位置准找到。”

2、画正比例函数的图象一定要选择原点，画一般的一次函数图象要尽量选x轴上的点和y轴上的点，这样画图象更准确，哪怕有时坐标不是整数。如画直线y=2x-3

3l=3a(a>0)的图象不是一条直线，而是不含端点的一条射线(图5)。

四、难于归纳和运用一次函数的性质。

一次函数的性质主要从图象上观察得出，包括图象所在象限、函数值的增减性、直线的平行性。学生之所以感觉难学，是因为这一小节内容繁多和读图识图能力不强，以及运用函数性质解题欠熟练。