韦达定理常见经典题型

一元二次方程知识网络结构图

1、方程中只含有 个未知数,并且整理后未知数的最高次数就是 ,这样的

方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、ｃ、为常数,a )。

2、 一元二次方程的解法:

(1)直接开平方法:当一元二次方程的一边就是一个含有未知数的 的平

方,而另一边就是一个 时,可以根据 的意义,通过开平方法求出这个方程的解。 (2)配方法:用配方法解一元二次方程()02

≠=++a o c bx ax 的一般步骤就是:

①化二次项系数为 ,即方程两边同时除以二次项系数;

②移项,使方程左边为 项与 项,右边为 项; ③配方,即方程两边都加上 的平方; ④化原方程为2

()x m n +=的形式,

如果ｎ就是非负数,即0n ≥,就可以用 法求出方程的解。 如果n ＜0,则原方程 。

(3)公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠,当24b ac -＿____＿_ 0时,x = ＿＿＿_____ (4)因式分解法:用因式分解法解一元二次方程的一般步骤就是:

①将方程的右边化为 ;

②将方程的左边化成两个 的乘积;

③令每个因式都等于 ,得到两个 方程; ④解这两个方程,它们的解就就是原方程的解。

3、韦达定理

一元二次 方程

定义:等号两边都就是整式,只含有一个未知数(一元),未知数

的最高次数就是2(二次)的方程为一元二次方程 解法(降次) 直接开平方法

因式分解法 配方法

公式法22

240404b ac b ac b ac ⎧-⇔⎪-⇔⎨⎪-⇔⎩

＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根

应用一元二次方程解决实际问题⎧⎨⎩

步骤

实际问题的答案

一、 一元二次方程的基本概念及解法

１、已知关于x 的方程ｘ 2+bx ＋a ＝0有一个根就是－a(a≠０),则a-ｂ的

值为

Ａ.-1 Ｂ、０ C 、１ D.2 2、

程时。

、当方程为一元二次方程时；、当方程为一元一次方的取值范围。

满足下列条件时，当方程21m 05)3()3(1

=+-++-x m x

m m

3、一元二次方程x(x －2)=２-x 的根就是( )

A ．－1 B.2 ﻩＣ、１与2 D.－1与２

二 一元二次方程根的判别式

4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的就是( )、 Ａ、k 为任何实数、方程都没有实数根

B,k 为任何实数、方程都有两个不相等的实数根 C.ｋ为任何实数、方程都有两个相等的实数根

Ｄ.根据k 的取值不同.方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根与有两个相等的实数根三种

5、已知关于x 的一元二次方程(a ﹣l)x 2﹣2x ＋ｌ=0有两个不相等的实数

根,则a 的取值范围就是( ) A 、a<2 B 、ａ>2 Ｃ、a ＜２且a≠ｌ ﻩD 、a<﹣2

6、已知关于的方程(1)有两个不相等的实数根,且关于的方程(2)没有实数根,问取什么整数时,方程(1)有整数解？

三一元二次方程根与系数的关系

一)韦达定理

７、不解方程,判别方程两根的符号。

８、关于的一元二次方程x2＋2x＋k+1=０的实数解就是x1与x２。(１)求k的取值范围;

(２)如果x１+ｘ２-x１x２＜-1且k为整数,求k的值。

二)、已知一元二次方程的一个根,求出另一个根以及字母系数的值。

９、已知方程的一个根为2,求另一个根及m 的值。

10已知方程04)2(22

2=++-+m x m x 有两个实数根,且两个根的平方与比两根的积大２1,求m 的值。

三)、运用判别式及根与系数的关系解题。

１1已知1x 、2x 就是关于ｘ的一元二次方程0)1(442

2

=+-+m x m x 的两个非零实数根,问1x 与2x 能否同号？若能同号,请求出相应的的取值范围;若不能同号,请说明理由,

四)、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。 １２已知、

就是方程

的两个实数根,求ααβα22

++的值。

13、已知两方程与至少有一个相同的实数根,

求这两个方程的四个实数根的乘积。

作业

一、填空题:

1、如果关于的方程

的两根之差为2,那么

。

2、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(2

2

=++--x a x a 两根互为倒数,则a ＿_＿＿___＿＿。 ３、已知关于ｘ的方程0)1(232

=-+-m mx x 的两根为1x ,2x 且4

31121-=+x x ,则m=___＿_＿＿___。 4、已知

就是方程04722

=--x x 的两个根,那么:=+2

21

2x x __＿＿＿__＿＿_____;

5、已知关于x 的一元二次方程

的两根为1x ,2x ,且1x +2x ＝-2,则

21)(21x x x x -+____＿____＿_＿;

６、如果关于的一元二次方程的一个根就是

,那么另一个根就是_＿_

＿_,的值为___＿＿_____。 7、已知

就是

的一根,则另一根为,的值为___＿____＿＿_。

8、一个一元二次方程的两个根就是

与

,那么这个一元二次方程为_＿___＿＿_＿。

二、计算题: １、已知就是方程

的两个根,利用根与系数的关系,求的值。

2、已知就是方程04332=--x x 的两个根,利用根与系数的关系,求

的值。