湖北省荆州市沙市第五中学高中数学第三章导数及其应用单元测试(无答案)文新人教版选修1_1

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湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 3.1函数与方程检测题(含解析)新人教版必修1 (2)

3.1函数与方程一、填空题1．已知方程2x＝10－x 的根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.解析设f (x )＝2x＋x －10，则由f (2)＝－4＜0，f (3)＝1＞0，所以f (x )的零点在(2,3)内．答案 22．已知a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f (x 0)的值满足________(与零的关系)．解析因为f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且f (a )＝0，于是由0＜x 0＜a ，得f (x 0)＜f (a )＝0，即f (x 0)＜0. 答案 f (x 0)＜03．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．解析由f (x )＝ax ＋b 有零点2，得2a ＋b ＝0(a ≠0)，代入g (x )，得g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，它有零点x ＝0和x ＝－12.答案 0，－124．设函数y (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则函数f (x )在区间(0,1)，(1，＋∞)内的零点个数分别为________．解析设y ＝13x 与y ＝ln x ，作图象可知f (x )在区间(0,1)内无零点，在(1，＋∞)内仅有两个零点．答案 0,25．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是________．解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )＞0，即－(4x 2＋2x －6)＞0⇔2x 2＋x －3＜0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32＜x ＜1.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜16.已知函数()421xxf x m =+⋅+有且只有一个零点,则实数m 的值为 .解析由题知:方程4210x xm +⋅+=只有一个零点.令2(0)xt t =>,∴方程210t m t +⋅+=只有一个正根.∴由图象(图略)可知20240m m ⎧->,⎪⎨⎪∆=-=.⎩∴m=-2.答案 -27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析画出图象，令g (x )＝f (x )－m ＝0，即f (x )与y ＝m 的图象的交点有3个， ∴0＜m ＜1.答案 (0,1)8．偶函数f (x )在区间为[0，a ](a ＞0)上是单调，函数，且f (0)·f (a )＜0，则方程f (x )＝0在区间[－a ，a ]内根的个数是________．解析由f (0)·f (a )＜0，且f (x )在[0，a ](a ＞0)上单调，知f (x )＝0在[0，a ]上有一根，又函数f (x )为偶函数，f (x )＝0在[－a,0]上也有一根．所以f (x )＝0在区间[－a ，a ]内有两个根．答案 29．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a .若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＜0与g (x 0)＜0同时成立，则实数a 的取值范围是________．解析 g (x )＝ax －2a ＝a (x －2)，当a ＜0时，x ＞2，由f (2)＜0，得4－2a ＋a ＋3＜0，a ＞7，舍去；当a ＞0时，x ＜2，由f (2)＜0，得4－2a ＋a ＋3＜0，a ＞7.综上，a ∈(7，＋∞)．答案 (7，＋∞)10.若二次函数2y ax bx c =++中ac<0,则函数的零点个数是______个．解析令20ax bx c ++=,因0a ≠,判别式240b ac ∆=->,故函数必有两个零点. 答案 211．已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 2 0112 011，设F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)，且函数F (x )的零点均在区间[a ，b ] (a ＜b ，a ，b ∈Z )内，则b －a 的最小值为________．解析由f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x2 010＝1＋x2 0111＋x，则f ′(x )＞0，f (x )为增函数，又f (0)＝1＞0，f (－1)＜0，从而f (x )的零点在(－1,0)上；同理g (x )为减函数，零点在(1,2)上，∴F (x )的零点在(－4，－3)和(4,5)上，要区间[a ，b ]包含上述区间(b －a )min ＝9. 答案 912．若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件： ①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋4x ＋1，x ＜0，2ex ，x ≥0，则f (x )的“友好点对”有________个．解析根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y ＝2x 2＋4x ＋1(x ＜0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y ＝2e x (x ≥0)交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2. 即f (x )的“友好点对”有：2个．答案 213．已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．解析因为Δ＝(1－k )2＋4k ＝(1＋k )2≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，f (x )的零点x ＝－1∉(2,3)，故要使函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则必有f (2)·f (3)＜0，即2＜k ＜3. 答案 (2,3) 二、解答题14．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．(2)当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．15．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．解析令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，f4＜0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，f4＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，26m ＋38＜0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，26m ＋38＞0.解得－1913＜m ＜0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1913，0. 16已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．思路分析由题意可知，方程4x ＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解．解析 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x ＝t (t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x＝1，x ＝0符合题意．当Δ＞0时，即m ＞2或m ＜－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根，即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.【点评】方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题． 17．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间 [－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解析当a ＝0时，函数f (x )＝2x －3的零点x ＝32∉[－1,1]．当a ≠0时，函数f (x )在[－1,1]上的零点可能有一个与两个这两种情况． ①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a －3－a ＞0，f －1f1＝a －5a －1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8a －3－a ＝0，－1≤－12a ≤1，解得1≤a ≤5或a ＝－3－72.②函数在区间[－1,1]上有两个零点，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0Δ＝4－8a －3－a ＞0，－1＜－12a ＜1，f 1≥0，f －1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4－8a －3－a ＞0，－1＜－12a＜1，f 1≤0，f －1≤0，解得a ＜－3－72或a ≥5.综上，得a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－3－72∪[5，＋∞)．18．(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. ①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．解析 (1)①f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点⇔方程f (x )＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1. ②法一设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－43m ＋4＞0，x 1＋1x 2＋1＞0，x 1＋1＋x 2＋1＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＞0，3m ＋4－2m ＋1＞0，－2m ＋2＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＞4或m ＜－1，m ＞－5，m ＜1，∴－5＜m ＜－1.故m 的取值范围为(－5，－1)．法二由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，－m ＞－1，f －1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＞0，m ＜1，1－2m ＋3m ＋4＞0.∴－5＜m ＜－1.∴m 的取值范围为(－5，－1)．(2)令f (x )＝0，得|4x －x 2|＋a ＝0，则|4x －x 2|＝－a . 令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a .作出g (x )，h (x )的图象．由图象可知，当0＜－a ＜4，即－4＜a ＜0时，g (x )与h (x )的图象有4个交点，。

湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学课件选修2-21-2-1几个常用函数的导数

公式1: C 0 (C为常数) .
请同学们求下列函数的导数:
2) y f (x) x,
y' 1
表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1
3) y f (x) x2, y ' 2x
4) y f (x) 1 , x
y' 1 x2
这又说明什么?
公式2: ( xn ) nxn1 (n Q) .
例2.已知y x，1)求y; 2)求曲线在点（1，1）处的切线方程.
解：1）y x x x
x x0 x x
x
x x x 1.
x 2x
2）切线方程
:
y
1
1 2
(x
1).即：y=
1 2
x
1 2
四、小结与作业
1.会求常用函数 y c, y x, y x2, y 1 , x
的导数.其中: 公式1: C 0 (C为常数) .
2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题.
五、练习、作业:
·求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x轴、直线 x=2所围城的三角形的面积。
1.2.1几种常见函数的导数
作者：沙市五中郑国岐
一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.
3.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x)在x= x0处的函数值,即f ( x0 ) f ( x) |xx0 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。

湖北省宜昌市高中数学第三章导数及其应用教材习题本

第三章导数及其应用 P85 4、求下列函数的导数：

（1）xxy23log （2）xnexy （3）xxysincos

5、已知函数22813)(xxxf，且4)('0xf，求0x. P98-99 1、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

（1）12)(xxf （2）xxxfcos)(

（3）42)(xxf （4）xxxf42)(3 5、求下列函数的极值：（1）26)(2xxxf （2）xxxf12)(3

（3）3126)(xxxf (4)348)(xxxf 6、求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：（1）26)(2xxxf，]1,1[x （2）xxxf12)(3，]3,3[x

（3）3126)(xxxf，]1,31[x （4）348)(xxxf，]5,3[x B组利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证：

（1）),0(,sinxxx；（2）)1,0(,02xxx；

（3）0,1xxex；（4）0,lnxexxx. P110 1、已知点P和点Q是曲线322xxy上的两点，且点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4，求：（1）割线PQ的斜率；（2）点P处的切线方程. 2、求下列函数的导数：

（1）xxytan2; (2)xxeyln

5、求函数32)(xxf的单调区间. 6、已知函数qpxxxf2)(，试确定p,q的值，使当1x时，)(xf有最小值4. 7、已知函数2)()(cxxxf在2x处有极大值，求c的值.

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学2.4.1抛物线及其标准方程练习题新人教版选修21

1 2.4.1抛物线的标准方程
1. 抛物线2
12y x =的准线与双曲线等22
193x y -=的两条渐近线所围成的三角形面积等于
(A)
2. 已知A 、B 是抛物线2x 4y =上的两点，线段AB 的中点为M （2,2），则|AB|等于
3. 已知P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是（） A . 8 B .219 C .10 D .2
21 4. 已知抛物线()022>=p px y 的准线与圆07622=--+x y x 相切，则p 的值为 ()2
1A ()1B ()2C ()4D 5. 设抛物线y 2
=8x 的焦点为F ，准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足．如果直线AF 的
斜率为那么
|PF|= (A)
6. 设抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （0，2）. 若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________.
7. 已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M
l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则p = ．
8. 已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为____________．
9. 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=
A ．45
B ．35
C ．35-
D ．45-。

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 1.6微积分基本定理导学案(无答案)新人教版选修2-2

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 1.6微积分基本定理导学案（无答案）新人教版选修2导学案学习目标：1. 通过实例直观了解微积分基本定理的含义;2. 熟练地用微积分积分定理计算微积分.学习重点：微积分基本定理的含义; 学习难点：用微积分积分定理计算微积分. 学法指导：知识链接1.基本初等函数地求导公式:2.导数运算法则:3.连续函数)(x f 在[]b a ,上的定积分定义:4.定积分的性质:自主学习看课本57—59得出微积分基本定理:如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数并且)()(/x f x F =,那么=⎰ba dx x f )(__________合作探究例1.计算下列定积分:(1)⎰211dx x (2)dx xx ⎰-312)12(例2.计算下列定积分:⎰π0sin xdx ,⎰ππ2sin xdx ,⎰π20sin xdx . 由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.例3.计算下列定积分:(1)⎰--202)4)(24(dx x x (2)dx xx x ⎰--21232 (3)dx x x 232)1(⎰+ (4)dx x x )1(41⎰- (5)⎰+20)sin 3(πdx x x (6)⎰-21)2(dx xe x (7)⎰102dx e x (8)⎰462cos ππxdx(9)⎰312dx x (10)⎰+1021dx x x (11)dx x ⎰202)2(sin π(12)⎰-a dx x a 022 (13)dx x x ⎰+1011.下列各式中,正确的是 A.)()()(///a f b f dx x f ba -=⎰ B. )()()(///b f a f dx x f b a-=⎰ C. )()()(/a f b f dx x f ba -=⎰ D. )()()(/b f a f dx x f ba -=⎰ 2.已知自由落体的运动速度g gt v (=为常数),则当[]2,1∈t 时,物体下落的距离是 A.g 21 B.g C.g 23 D.g 2 3.若,2ln 3)12(1+=+⎰a dx x x 则a 的值是 A.6 B.4 C.3 D.24.dx x ⎰--1121等于 A.4π B.2π C.π D.π2 5.)(x f 是一次函数,且⎰⎰==1010617)(,5)(dx x xf dx x f ,那么)(x f 的解析式是 A.34+x B.43+xC.24+-xD.43+-x6.已知⎰--=-aa dx x 8)12(,则a =( )7.设)(x f 是奇函数,求⎰-aa dx x f )(=( )8.设[][]⎩⎨⎧∈-∈=2,1,21,0,)(2x x x x x f ,求⎰20)(dx x f 9.求dx x x )1(11+⎰-。

(名师导学)2020版高考数学总复习第三章导数及其应用同步测试卷5文(含解析)新人教A版(最新整理)

第三章导数及其应用（五)同步测试卷(导数及其应用）时间：60分钟总分:100分一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．4米/秒【解析】∵物体的运动方程为s＝1－t＋t2，∴s′＝－1＋2t，s′｜t＝3＝5。

【答案】C2．设f′(x）是函数f（x)＝错误!的导函数,则f′(0)的值为( )A．1 B．0 C．－1 D.错误!【解析】f′（x）＝错误!＝错误!,则f′(0）＝错误!＝－1.故选C。

【答案】C3．如图是函数y＝f错误!的导函数y＝f′错误!的图象，给出下列命题：①x＝－2是函数y＝f错误!的极值点；②x＝1是函数y＝f错误!的极值点；③y＝f（)x的图象在x＝0处切线的斜率小于零；④函数y＝f错误!在区间错误!上单调递增．则正确命题的序号是( )A．①③B．②④C．②③D．①④【解析】根据导函数图象可知，x＝－2是导函数f′(x)的零点且x＝－2的左右两侧导函数值符号异号，故x＝－2是极值点；x＝1不是极值点，因为x＝1的左右两侧导函数符号一致；x＝0处的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值；导函数在错误!上恒大于等于零，故为函数的增区间，所以选D。

【答案】D4．已知曲线f错误!＝x3－ax2＋2在点错误!处切线的倾斜角为错误!，则a等于( )A．2 B．－2 C．3 D．－1【解析】因为f′错误!＝3x2－2ax，所以f′错误!＝3－2a，由已知得3－2a＝－1，解得a ＝2，故选A。

【答案】A5．函数f(x）＝错误!x2－ln x的最小值为( )A.错误!B．1 C．0 D．不存在【解析】∵f′(x)＝x－1x＝错误!，且x>0。

令f′(x)〉0，得x〉1；令f′(x)<0，得0〈x〈1.∴f（x）在x＝1处取得最小值，且f(1)＝错误!。

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学第一章导数及其应用章末检测新人教版选修2_2

导数及其应用章末单元检测题(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )在x ＝1处的导数为1，则f 1－x －f 1＋x3x的值为( )A ．3B ．－32C.13 D ．－232．对任意的x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数解析式可以为( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4＋1C ．f (x )＝x 4－2D ．f (x )＝－x 43．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－124．曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形面积为( ) A.13 B.12 C.23D ．1 5．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( )A ．y ＝2－3x 2B ．y ＝ln xC ．y ＝1x －2D ．y ＝si n x6．如图，抛物线的方程是y ＝x 2－1，则阴影部分的面积是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x －⎠⎛12(x 2－1)d x7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，则f (x )的极值情况为( )A ．极大值427，极小值0B ．极大值0，极小值427C ．极大值0，极小值－427D ．极大值－427，极小值08．已知曲线方程f (x )＝sin 2x ＋2ax (a ∈R )，若对任意实数m ，直线l ：x ＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,0)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．a ∈R 且a ≠0，a ≠－19．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，g (x )恒不为0，当x ＜0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＞0，且f (3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)10. 函数f (x )＝ax m (1－x )n在区间[0,1]上的图象如图所示，则m ，n 的值可能是( )A ．m ＝1，n ＝1B ．m ＝1，n ＝2C ．m ＝2，n ＝1D ．m ＝3，n ＝1∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34上单调递增，不符合题意．二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为________．12.⎠⎛121x x ＋1 d x ＝________.13．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)＞0，对于任意实数x都有f (x )≥0，则f 1f ′ 0的最小值为________．14. 如图所示，A 1，A 2，…，A m －1(m ≥2)将区间[0,1]m 等分，直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝e x所围成的区域为Ω1，图中m 个矩形构成的阴影区域为Ω2.在Ω1中任取一点，则该点取自Ω2的概率等于________．15．若以曲线y ＝f (x )任意一点M (x ，y )为切点作切线l ，曲线上总存在异于M 的点N (x 1，y 1)，以点N 为切点作切线l 1，且l ∥l 1，则称曲线y ＝f (x )具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为________．(写出所有满足条件的函数的编号)①y ＝x 3－x ②y ＝x ＋1x③y ＝si n x ④y ＝(x －2)2＋ln x三、解答题(本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．17．已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．18．设曲线f (x )＝x 2＋1和g (x )＝x 3＋x 在其交点处两切线的夹角为θ，求c os θ.19．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．20．设函数f (x )＝a e x＋1a ex ＋b (a ＞0)．(1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．参考答案1、解析：选D.由题意知f ′(1)＝ f 1＋x －f 1x＝1，∴f 1－x －f 1＋x3x＝13f 1－x －f 1 －[f 1＋x －f 1 ]x＝13[－f ′(1)－f ′(1)]＝－23. 2、解析：选C.由f ′(x )＝4x 3，可设f (x )＝x 4＋c (c 为常数)，由f (1)＝－1得－1＝1＋c ，∴c ＝－2.3、解析：选A .由已知g ′(1)＝2，而f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，所以f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝4，故选A .4、解析：选A.y ′＝－2e －2x，y ′|x ＝0＝－2，点(0,2)处的切线方程为y －2＝－2x . 令y ＝0得x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝－2x y ＝x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝23，∴S＝12×23×1＝13.5、解析：选C.对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1x －22＜0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求．6、解析：选C.由图形可知阴影部分的面积为：⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x .而⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x .故选C.7、解析：选 A.f ′(x )＝3x 2－2px －q .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f 1 ＝0，f ′ 1 ＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧1－p －q ＝0，3－2p －q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1.通过分析得，当x ＝13时，y 取极大值427；当x ＝1时，y 取极小值0.8、解析：选B.若存在实数m ，使直线l 是曲线y ＝f (x )的切线，∵f ′(x )＝2sin xc os x ＋2a ＝sin 2x ＋2a ，∴方程sin 2x ＋2a ＝－1有解，∴－1≤a ≤0，故所求a 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，选B.9、解析：选D.令F (x )＝f xg x，则F (x )为奇函数，F ′(x )＝f ′ x g x －f x g ′ xg 2 x.∵当x ＜0时，F ′(x )＞0.∴F (x )在区间(－∞，0)上为增函数．又F (3)＝f 3g 3＝0，∴F (－3)＝0.∴当x ＜－3时，F (x )＜0；当－3＜x ＜0时，F (x )＞0. 又F (x )为奇函数，∴当0＜x ＜3时，F (x )＜0；当x ＞3时，F (x )＞0.而不等式f (x )g (x )＜0和f xg x＜0为同解不等式(g (x )恒不为0)，∴不等式f (x )g (x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．10、解析：选 B.观察图象易知，a >0，f (x )在[0,1]上先增后减，但在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上有增有减且不对称．对于选项A ，m ＝1，n ＝1时，f (x )＝ax (1－x )是二次函数，图象应关于直线x ＝12对称，不符合题意．对于选项B ，m ＝1，n ＝2时，f (x )＝ax (1－x )2＝a (x 3－2x 2＋x )，f ′(x )＝a (3x 2－4x ＋1)＝a (x －1)(3x －1)，令f ′(x )≥0，得x ≥1或x ≤13，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13上单调递增，符合题意，选B. 对于选项C ，m ＝2，n ＝1时，f (x )＝ax 2(1－x )＝a (x 2－x 3)，f ′(x )＝a (2x －3x 2)＝ax (2－3x )，令f ′(x )≥0，得0≤x ≤23，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递增，不符合题意．对于选项D ，m ＝3，n ＝1时，f (x )＝ax 3(1－x )＝a (x 3－x 4)，f ′(x )＝a (3x 2－4x 3)＝ax 2(3－4x )，令f ′(x )≥0，得0≤x ≤34，11、解析：f (x )＝f (－x )⇒f ′(x )＝－f ′(－x )⇒y ＝f ′(x )为奇函数，故f ′(0)＝0.又f (x )＝f (x ＋5)⇒f ′(x )＝f ′(x ＋5)⇒y ＝f ′(x )为周期函数，周期为5.由于f ′(0)＝0，从而f ′(5)＝0. 答案：012、解析：f (x )＝1x x ＋1 ＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln xx ＋1，则F ′(x )＝1x －1x ＋1，所以⎠⎛121x x ＋1 d x＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1d x ＝＝ln 43.答案：ln 4313、解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，有f ′(0)＞0⇒b ＞0.由于对于任意实数x 都有f (x )≥0，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ≤0，得c ＞0，从而f 1 f ′ 0 ＝a ＋b ＋c b ＝1＋a ＋c b ≥1＋a ＋c 2ac ≥1＋2ac2ac＝2，当且仅当a ＝c 时取等号．答案：214、解析：依题意，阴影区域Ω2的面积为S Ω2＝1m(1＋e 1m ＋e 2m ＋…＋em －1m)＝1m·；区域Ω1的面积为：S Ω1＝⎠⎛01e xd x ＝e －1，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率答案： 15、解析：由题意可知，对于函数定义域内的任意一个x 值，总存在x 1(x 1≠x )使得f ′(x 1)＝f ′(x )．对于①，由f ′(x 1)＝f ′(x )可得x 21＝x 2，但当x ＝0时不符合题意，故不具有可平行性；对于②，由f ′(x 1)＝f ′(x )可得1x 21＝1x2，此时对于定义域内的任意一个x 值，总存在x 1＝－x ，使得f ′(x 1)＝f ′(x )；对于③，由f ′(x 1)＝f ′(x )可得c os x 1＝c os x ，∃x 1＝x ＋2k π(k ∈Z )，使得f ′(x 1)＝f ′(x )；对于④，由f ′(x 1)＝f ′(x )可得2(x 1－2)＋1x 1＝2(x －2)＋1x ，整理得x 1x ＝12，但当x ＝22时不符合题意，综上，答案为②③.答案：②③ 三、解答题：16、解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13y ＝3，故A (13，3)；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1y ＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1(舍去)，故B(1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝3，故C(3,3)．17、解：∵f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′ －1 ＝0，f －1 ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，∴f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)，当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数； ∴f (x )在x ＝－1时取得极小值． ∴a ＝2，b ＝9.18、解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y ＝x 3＋x ，得x 3－x 2＋x －1＝0，即(x －1)(x 2＋1)＝0，∴x ＝1，∴交点为(1,2)．又f ′(x )＝2x ， ∴f ′(1)＝2，∴曲线y ＝f (x )在交点处的切线l 1的方程为 y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，又g ′(x )＝3x 2＋1. ∴g ′(1)＝4.∴曲线y ＝g (x )在交点处的切线l 2的方程为 y －2＝4(x －1)，即y ＝4x －2.取切线l 1的方向向量为a ＝(1,2)，切线l 2的方向向量为b ＝(1,4)，则c os θ＝a·b |a|·|b|＝95×17＝98585.19.、解：(1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x－2x ＋a ＝－ x －a 2x ＋ax.由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈(1，e)恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧f 1 ＝a －1≥e－1，f e ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.解：(1)f ′(x )＝a e x－1a e x，当f ′(x )>0，即x >－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增；当f ′(x )<0，即x <－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)，所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12，故a ＝2e 2，b ＝12.。

高中数学第3章导数及其应用 3.3.3 习题(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题

选修1-1第三章3.3一、选择题1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是导学号 92600712 ( )A．12；－8 B．1；－8C．12；－15 D．5；－16[答案] A[解析]y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.∴y max＝12，y min＝－8.故选A．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)导学号 92600713( )A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值[答案] D[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1,1)，∴f′(x)<0，即函数在(－1,1)上是减少的，∴既无最大值，也无最小值．3．函数f(x)＝3x－x3(－3≤x≤3)的最大值为导学号 92600714( )A．18 B．2C．0 D．－18[答案] B[解析]f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，－3≤x<－1时，f′(x)<0，－1<x<1时，f′(x)>0,1<x≤3时，f′(x)<0，故函数在x＝－1处取极小值，在x＝1处取极大值．∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－3)＝0，f(3)＝－18，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为导学号 92600715( )A ．2B ．4C ．18D ．20[答案] D[解析]f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.f (0)＝－a, f (1)＝－2－a, f (3)＝18－a ，∴f (x )max ＝18－a ，f (x )min ＝－2－a ， ∴18－a －(－2－a )＝20.5．下列说法正确的是导学号 92600716( ) A ．函数的极大值就是函数的最大值 B ．函数的极小值就是函数的最小值 C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 [答案] D[解析] 根据最大值、最小值的概念可知选项D 正确．6．函数f (x )＝ln x －x 在区间[0，e]上的最大值为导学号 92600717( ) A ．－1 B ．1－e C ．－e D ．0[答案] A[解析]f ′(x )＝1x －1＝1－xx，令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得1<x <e ，∴f (x )在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴当x ＝1时，f (x )取极大值，这个极大值也是最大值．∴f (x )max ＝f (1)＝－1.二、填空题7．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2e x 的值域是________.导学号 92600718[答案] [0，e][解析]f ′(x )＝2x ·e x －x 2·e x e x 2＝2x －x2e x ，令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2.f (－1)＝e, f (0)＝0, f (1)＝1e，∴f (x )max ＝e, f (x )min ＝0，故函数f (x )的值域为[0，e]． 8．若函数f (x )＝3x －x 3＋a ，－3≤x ≤3的最小值为8，则a 的值是________.导学号 92600719[答案] 26[解析]f ′(x )＝3－3x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.f (1)＝2＋a ，f (－1)＝－2＋a .又f (－3)＝a ，f (3)＝－18＋a .∴f (x )min ＝－18＋a .由－18＋a ＝8.得a ＝26. 三、解答题9．(2016·某某某某市高二检测)已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋3ax 在x ＝1时取得极值.导学号 92600720(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式f (x )－k ≤0在区间[0,4]上恒成立，某某数k 的取值X 围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－4ax ＋3a ，由题意得f ′(1)＝3－4a ＋3a ＝0，∴a ＝3. 经检验可知，当a ＝3时f (x )在x ＝1时取得极值． (2)由(1)知， f (x )＝x 3－6x 2＋9x ， ∵f (x )－k ≤0在区间[0,4]上恒成立， ∴k ≥f (x )max 即可．f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)＝3(x －1)(x －3)，令f ′(x )>0，得3<x <4或0<x <1，令f ′(x )<0，得1<x <3.∴f (x )在(0,1)上递增，(1,3)上递减，(3,4)上递增，∴当x ＝1时， f (x )取极大值f (1)＝4，当x ＝3时， f (x )取极小值f (3)＝0. 又f (0)＝0，f (4)＝4， ∴f (x )max ＝4，∴k ≥4.一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为导学号 92600721( ) A ．239B ．229C ．329D ．38[答案] A[解析]f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0,1]， ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫33＝239，f (0)＝f (1)＝0. ∴f (x )max ＝239.2．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上图象连续不断且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为导学号 92600722( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )[答案] A[解析] 令u (x )＝f (x )－g (x )，则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴u (x )在[a ，b ]上为单调减少的， ∴u (x )的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )．3．设在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a ，b ]上存在导数，有下列三个命题：①若f (x )在[a ，b ]上有最大值，则这个最大值必是[a ，b ]上的极大值； ②若f (x )在[a ，b ]上有最小值，则这个最小值必是[a ，b ]上的极小值； ③若f (x )在[a ，b ]上有最值，则最值必在x ＝a 或x ＝b 处取得．其中正确的命题个数是导学号 92600723( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] 由于函数的最值可能在区间[a ，b ]的端点处取得，也可能在区间[a ，b ]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．4．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为导学号 92600724( ) A ．[f (0)，f (5)] B ．[f (0)，f (23)]C ．[f (23)，f (5)]D ．[c ，f (5)][答案] C[解析]f ′(x )＝6x －4，令f ′(x )＝0，则x ＝23，0<x <23时，f ′(x )<0，x >23时，f ′(x )>0，得f (23)为极小值，再比较f (0)和f (5)与f (23)的大小即可．二、填空题5．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是________.导学号 92600725[答案] －10[解析]f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝2.但x ∈[0,3]，∴x ＝－1舍去，∴x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表，知f (x )max ＝5，f (x )min ＝－15，所以f (x )max ＋f (x )min ＝－10.6．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)，x ∈[1,4]，f (x )的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.导学号 92600726[答案]103[解析]f ′(x )＝4ax 3－12ax 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，或x ＝3.1<x <3时，f ′(x )<0,3<x <4时，f ′(x )>0，故x ＝3为极小值点． ∵f (3)＝b －27a ，f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ，∴f (x )的最小值为f (3)＝b －27a ，最大值为f (4)＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.导学号 92600727(1)求a 、b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．[解析] (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线方程y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－22a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4.∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )、 f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.8．设f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5.导学号 92600728(1)求函数f (x )的单调递增、递减区间；(2)当x ∈[－1,2]时， f (x )<m 恒成立，某某数m 的取值X 围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0⇒x ＝1或x ＝－23.所以当x ∈(－∞，－23)时f ′(x )>0, f (x )为增函数；当x ∈(－23，1)时， f ′(x )<0, f (x )为减函数．当x ∈(1，＋∞)时， f ′(x )>0, f (x )为增函数．所以f (x )的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，f (x )的递减区间为(－23，1)．(2)当x ∈[－1,2]时， f ′(x )<m 恒成立，只需使f (x )在[－1,2]上的最大值小于m 即可．由(1)知f (x )极大值＝f (－23)＝5＋2227，f (x )极小值＝f (1)＝72.又f (－1)＝112， f (2)＝7，所以f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 所以m >7.。

第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)

单元综合测试三(第三章)时间：90分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(12)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )．又f ′(12)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos xD ．y ′＝cos 2x ＋cos x解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .答案：C3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．答案：C4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )A ．14B ．4C ．10D ．6解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.答案：A5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π2)＝1， ∴k ＝－a2＝－1，a ＝2. 答案：D6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎨⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎨⎧y 1＝8，y 2＝2，∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立⎩⎨⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A的纵坐标为－4. 答案：C7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a的取值范围是()A．a>0 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1解析：依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)，故a>0.答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．0 B．10C．18 D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：D10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f(－33)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.答案：D11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则()A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在R上是增函数，又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．答案：B12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意知f ′(x )＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g (x )＝e x－2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g (x )x 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．解析：∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4. 答案：414．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解，∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈(0，12)．答案：{b |0<b <12}15．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23.又f (－1)＝1, f (－23)＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1.答案：(－∞，1]16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，若∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值是________．解析：二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(0)>0，得b >0，又对∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则a >0，且Δ＝b 2－4ac ≤0，故c >0，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a b ＋c b ＋1≥2acb 2＋1≥2ac4ac ＋1＝2，所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，且f ′(0)＝23.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线f (x )在x ＝－1处的切线方程．解：(1)∵f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，∴f ′(x )＝12x ＋a ·(2x ＋a )′＋2x ＝22x ＋a ＋2x .又∵f ′(0)＝23，∴2a ＝23，解得a ＝3. 故f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.(2)由(1)知f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3，且f (－1)＝ln(－2＋3)＋(－1)2＝1， f ′(－1)＝4×(－1)2＋6×(－1)＋22(－1)＋3＝0，因此曲线f (x )在(－1,1)处的切线方程是y －1＝0(x ＋1)，即y ＝1.18．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的增区间；(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f (2)＝－43，f ′(2)＝0，又f ′(x )＝x 2＋a ，所以83＋2a ＋b ＝－43，4＋a ＝0，所以a ＝－4，b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0，得x <－2或x >2，所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，则当x ∈[－4,3]时，f (x )的最大值为283，故要使f (x )≤m 2＋m ＋103对∈[－4,3]恒成立，只要283≤m 2＋m ＋103，所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤－3.19．(12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b －4＝4，所以a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x－12)．令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．20．(12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0可知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品日供应量p 万千克，日需量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(t >0)，q ＝24＋8ln 20x .当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由p ＝q 得2(x ＋4t －14) ＝24＋8ln 20x (16≤x ≤24，t >0)，即t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)． ∵t ′＝－14－1x <0，∴t 是x 的减函数． ∴t min ＝132－14×24＋ln 2024＝12＋ln 2024＝12＋ln 56； t max ＝132－14×16＋ln 2016＝52＋ln 54， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ln 56，52＋ln 54.(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而当x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，∴欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)．要使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为1.5元/千克．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值． (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围． (3)当a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)，因为x ＝2时，函数f (x )取得极值，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，依题意，f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在x >0时恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1min (x >0)，当x ＝1时，⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)当a ＝－12时，f (x )＝－12x ＋b ，即14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)，则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )极大极小所以g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2， g (x )极大值＝g (1)＝－b －54，又g (4)＝2ln2－b －2，因为方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0，解得ln2－2<b ≤－54，所以实数b 的取值范围是(ln2－2，－54)．。

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学3.2.3空间向量与空间角检测题新人教版选修21

第3课时空间向量与空间角单元过关试卷一、基础过关1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．以上均错2．直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1，v 2，若v 1与v 2所成的角为θ，直线l 1，l 2所成的角为α，则( ) A ．α＝θ B ．α＝π－θC ．cos θ＝|cos α|D ．cos α＝|cos θ| 3．已知A ∈α，P ∉α，PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，2，平面α的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－2，则直线PA 与平面α所成的角为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．150°4．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°5.在正四面体ABCD 中，点E 为BC 中点，点F 为AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为( )A.13B.12C.23D.63 6．若两个平面α，β的法向量分别是n ＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．高中数学选修2-1：空间向量与立体几何（共2页）第1页7．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为________．8．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．二、能力提升9.如图，在三棱锥V —ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A 、B 、V 分别在x 、y 、z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝θ.当θ＝π3时，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值．10.如图，已知点P 在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．11.如图，四棱锥F —ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ＝2，BD ＝ 2.CF 与平面ABCD 垂直，CF ＝2.求二面角B —AF —D 的大小．三、探究与拓展12.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，AB ＝2EF ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ；(2)求证：AC ⊥平面EDB ；(3)求二面角B －DE －C 的大小．高中数学选修2-1：空间向量与立体几何（共2页）第2页答案1．B 2.D 3.C 4.B 5.C6．60° 7.60°8．09．解由于AC ＝BC ＝2，D 是AB 的中点，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)， D (1,1,0)．当θ＝π3时，在Rt△VCD 中，CD ＝2，故V (0,0，6)．所以AC →＝(－2,0,0)，VD →＝(1,1，－6)．所以cos 〈AC →，VD →〉＝AC →·VD →|AC →||VD →|＝－22·22＝－24. 所以异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24. 10.解如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系Dxyz .则DA →＝(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)．连接BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H .设DH →＝(m ，m,1) (m >0)，由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1. 解得m ＝22，所以DH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1. (1)因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)．因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°.可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.11.解过点A 作AE ⊥平面ABCD .以A 为坐标原点，BD →、AC →、AE →方向分别为x 轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．于是B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，1，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，0， F (0,2,2)．设平面ABF 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －22x ＋y ＝0，2y ＋2z ＝0. 令z ＝1，得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝－1.所以n 1＝(－2，－1,1)．同理，可求得平面ADF 的法向量n 2＝(2，－1,1)．由n 1·n 2＝0知，平面ABF 与平面ADF 垂直，所以二面角B —AF —D 的大小等于π2. 12．(1)证明 ∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥BC .又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC .又EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC .∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH .又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABC .以H 为坐标原点，HB →为x 轴正方向，HF →为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设BH ＝1，则A (1，－2,0)，B (1,0,0)，C (－1,0,0)，D (－1，－2,0)，E (0，－1,1)，F (0,0,1)．设AC 与BD 的交点为G ，连接GE ，GH ，则G (0，－1,0)，∴GE →＝(0,0,1)．又HF →＝(0,0,1)，∴HF →∥GE →.又GE ⊂平面EDB ，HF ⊄平面EDB ，∴FH ∥平面EBD .(2)证明 AC →＝(－2,2,0)，GE →＝(0,0,1)，AC →·GE →＝0，∴AC ⊥GE .又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB .(3)解 BE →＝(－1，－1,1)，BD →＝(－2，－2,0)．设平面BDE 的法向量为n 1＝(1，y 1，z 1)，则BE →·n 1＝－1－y 1＋z 1＝0，BD →·n 1＝－2－2y 1＝0，∴y 1＝－1，z 1＝0，即n 1＝(1，－1,0)．CD →＝(0，－2,0)，CE →＝(1，－1,1)．设平面CDE 的法向量为n 2＝(1，y 2，z 2)，则n 2·CD →＝0，y 2＝0，n 2·CE →＝0，1－y 2＋z 2＝0，z 2＝－1，故n 2＝(1,0，－1)．cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2| ＝12×2＝12， ∴〈n 1，n 2〉＝60°，即二面角B －DE －C 的大小为60°.。

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《导数及其应用》单元测试题
高二文科数学
（满分：150分时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）

1．函数22)(xxf的导数是（）

(A) xxf4)( (B) xxf24)( (C) xxf28)((D) xxf16)(
2．函数xexxf)(的一个单调递增区间是（）
(A)0,1 (B) 8,2 (C) 2,1 (D) 2,0
3．已知对任意实数x，有()()()(fxfxgxgx，，且0x时，
()0()fxgx，
，则0x时（）

A．()0()0fxgx， B．()0()0fxgx，
C．()0()0fxgx， D．()0()0fxgx，
4．若函数bbxxxf33)(3在1,0内有极小值，则（）

（A） 10b （B） 1b （C） 0b （D） 21b
5．若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为（）
A．430xy B．450xy C．430xy D．430xy

6．曲线xye在点2(2)e，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

Ａ．294e Ｂ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e
7．设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系
中，不可能正确的是（）
2

8．已知二次函数2()fxaxbxc的导数为'()fx，'(0)0f，对于任意实数x都有
()0fx
，则(1)'(0)ff的最小值为（）

A．3 B．52 C．2 D．32
9．设2:()eln21xpfxxxmx在(0)，内单调递增，:5qm≥，则p是q的
（）
Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件
10．函数)(xf的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）

（A）)2()3()3()2(0//ffff y
（B） )2()2()3()3(0//ffff
（C）)2()3()2()3(0//ffff
（D）)3()2()2()3(0//ffff O 1 2 3 4
二．填空题（本大题共4小题，共20分）
11．函数()ln(0)fxxxx的单调递增区间是＿＿＿＿．

12．已知函数3()128fxxx在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为,Mm，则
Mm
＿＿．

13．点P在曲线323xxy上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值
范围是
14．已知函数53123axxxy(1)若函数在,总是单调函数，则a的取值范围

是 . (2)若函数在),1[上总是单调函数，则a的取值范围 .
3

（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a的取值范围是 .
三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）
15．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，

问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

16．设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围．

17．设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围．

18. 已知函数32()233.fxxx
（1）求曲线()yfx在点2x处的切线方程；
（2）若关于x的方程0fxm有三个不同的实根，求实数m的取值范围.

19．已知Raxxaaxxf14)1(3)(23
（1）当1a时，求函数的单调区间。
（2）当Ra时，讨论函数的单调增区间。

（3）是否存在负实数a，使0,1x，函数有最小值－3？
4

20．已知函数2afxxx，lngxxx，其中0a．
（1）若1x是函数hxfxgx的极值点，求实数a的值；
（2）若对任意的12,1xxe，（e为自然对数的底数）都有1fx≥2gx成立，求
实数a的取值范围．