24.3正多边形和圆
24.3 正多边形和圆 教案1
24.3正多边形和圆【教学目标】1.了解正多边形的定义.2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系,并能应用它们进行有关的计算.3.会应用正多边形和圆的关系画正多边形.4.学习借助圆来研究正多边形这一数学方法,通过转化,用解直角三角形来研究圆内接正多边形,培养学生探索、推理、归纳、迁移等能力.5.学生经历观察、发现、探究等数学活动,感受到数学来源于生活,又服务于生活,体现了事物之间的相互联系与相互作用.【教学重难点】教学重点探索正多边形和圆的关系,弄清正多边形半径、中心角、边心距和边长之间的关系.教学难点利用圆研究正多边形,化正多边形问题为解直角三角形问题.【教学过程】一、情境导入中华人民共和国国旗上的五角星及正六边形、正三角形等许多图形都可以利用圆的有关知识画出来.早在古代,就有人用直尺和圆规作出正三角形、正方形及正五边形了,可是利用尺规却无法作出正七边形或正十一边形,许多先人的尝试都以失败告终,这种局面持续了2000多年.1796年,年仅19岁的数学家高斯解决了这个问题,成为轰动数学界的伟大成就.目前,对于正多边形的研究,我们经常借助圆来讨论,那么它们之间有怎样的联系呢?二、合作探究探究点1正多边形的有关概念及性质典例1已知正六边形的半径为R,求正六边形的边长、边心距和面积.[解析]如图,边长为AB,半径OA=R,作OM⊥AB于点M,设边心距OM=r.在Rt△AOM中,∵正六边形的中心角为60°,∴∠AOM=30°,∴OA=2AM.而AB=2AM ,∴AB=OA=R ,r=√R 2-(12R )2=√32R , ∴S=6S △AOB =6×12×AB×OM=3√32R 2.半径为2的圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边心距之比为 .[答案] 1∶√2∶√3探究点2 画正多边形典例2 (1)画一个半径为2 cm 的圆的内接正七边形;(2)画一个半径为3 cm 的圆的内接正十二边形.[解析] (1)作法:在半径为2 cm 的☉O 中,用量角器画α=360°7≈51°,这个角所对的弧就是圆的17,然后在圆上依次截取等弧来7等分圆,就得到圆的7等分点,顺次连接这7个等分点,就得到半径为2 cm 的圆的内接正七边形(如图1).图1 图2(2)作法:在半径为3 cm 的☉O 上,以半径的长在圆上依次截取弦长等于半径的弧,再作各弧的相应弦的垂直平分线,各平分线与圆相交,这些点和前面的6等分圆的点就把圆12等分,依次连接各等分点,就得到半径为3 cm 的圆内接正十二边形(如图2).如图,已知半径为R 的☉O ,用多种工具多种作法作出它的圆内接正三角形.[解析] 方法1:(1)用量角器画圆心角∠AOB=120°,∠BOC=120°;(2)连接AB ,BC ,CA ,则△ABC 为圆内接正三角形,如图1所示.图1 图2 图3方法2:(1)用量角器画圆心角∠BOC=120°;(2)在☉O 上用圆规截取RR⏜=RR ⏜; (3)连接AB ,BC ,CA ,则△ABC 为圆内接正三角形,如图2所示.方法3:(1)作直径AD ;(2)以点D 为圆心,以DO 为半径画弧,交☉O 于点B ,C ;(3)连接AB ,BC ,CA ,则△ABC 为圆内接正三角形,如图3所示.三、板书设计正多边形和圆 1.正多边形计算有关正多边形的计算,都要作出它的半径和边心距为辅助线,从而将问题转化为解直角三角形的问题.2.画正多边形方法:(1)用量角器——平分圆心角(可作任意正多边形);(2)尺规——作特殊的正多边形(正三、四、六、八、十二、二十四边形等).【教学反思】本节课一开始,通过观看图案,欣赏生活中的正多边形,让学生感受到数学来源于生活,并从中感受到数学美,同时提出本课所要研究的问题,激发了学生的好奇心和求知欲.。
人教版数学九年级上册第二十四章《24.3 正多边形和圆》课件(共19张PPT)
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图. 再如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作 出正方形.
用尺规等分圆： 用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这 种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上 讲是一种准确方法．
2.如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M. 求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M. 求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
归纳新知
正多边形 的画法
用量角器等分圆 用尺规等分圆
此方法可将圆任意n等分，所以用 该方法可作出任意正多边形，但边 数很大时，容易产生较大的误差.
度量法③：
用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，连接其中的 AB， BC，CA 即可．
B
O
A
C
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图. 例如，我们也可以这样来作正六边形.由于正六边形的边长等于半径，所以 在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分 点即可得到半径为R的正六边形.
课堂练习
1.画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画 出一个五角星.
2.面积相等的正三角形与正六边形的边长之比为
.
中考实题
1.已知⊙O如图所示. (1) 求作⊙O的内接正方形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2) 若⊙O的半径为4，求它的内接正方形的边长.
此方法是一种比较准确的等分圆的方 法，但有局限性，不能将圆任意等分.
再见
合作探究
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． 度量法①： 用量角器或 30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
人教版数学九年级上册24.3 正多边形和圆课件
E
新知探究
知识点2
正多边形的相关概念及计算
正多边形的中心:该正多边形的外接圆的圆心.
E
正多边形的半径:外接圆的半径.
正多边形的中心角:正多边形的每一条边
所对的圆心角.
D
半径R
F
正多边形的边心距：中心到正多边形的一
边的距离.
中心角
.
C
O
边心距r
A
B
新知探究
A
正多边形中的有关概念：
中心
半径
中心角
边心距
2
面积为4×4-(48-32 2)=(32 2-32)cm2.
2
1 4 48 32 2 cm2 .
2
新知探究
综合应用
6.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交
于点P，CF=DM.
(1)求证：△BCF≌△CDM；
(2)求∠BPM的度数.
新知探究
(1)证明：在正五边形ABCDE中，
边数是偶数的正多边形还是
是对称中心.
中心对称图形
，它的中心就
新知探究
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分
成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，
这个圆就是这个正多边形的外接圆.
A
B
E
O·
C
D
新知探究
我们以圆的接正五边形为例证明.
如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边
过点O作OP⊥BC于P.
4
在Rt△OPB中，OB＝4 m, PB＝ 2 = 2=2（m）,
利用勾股定理，可得边心距 r = 42 − 2²=2 3 ,
24.3正多边形和圆
BC 4 2， 在Rt△OPC中,OC=4, PC= 2 2
利用勾股定理,可得边心距
倍 速 课 时 学 练
F O r B P R
E
r 42 22 2 3.
亭子地基的面积
A
D
1 1 S lr 24 2 3 41.6(m 2 ). 2 2
C
4．强化练习 （5）正六边形的边长为 1，则它的半径为_____， 面积为________； （6）同圆的内接正三角形、正方形、正六边形的 边长之比为________________； （7）正三角形的高∶半径∶边心距为_________； （8）边长为 1 的正六边形的内切圆的面积是____．
倍 速 课 时 学 练
你能尺规作出正四边形、正八边形吗？
A
D
O ·
B
C
只要作出已知⊙O的互相 垂直的直径即得圆内接正 方形，再过圆心作各边的 垂线与⊙O相交，或作各 中心角的角平分线与⊙O 相交，即得圆接正八边形， 照此方法依次可作正十六 边形、正三十二边形、正 六十四边形……
你能尺规作出正六边形、正三角形、正 十二边形吗？
(3)按照一定比例,画一个停车让行的交通标 志的外缘 倍
速 课 (4)用量角器作五角星； 时 学 练
3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积. 解：作等边△ABC的边BC上的高AD,垂足为D. 连接OB，则OB=R. 在Rt△OBD中 ， ∠OBD=30°, 边心距＝OD= A
问题1，什么样的图形是正多边形？ 各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
倍 速 课 时 学 练
问题2，日常生活中,我们经常能看到正多边形的物体,利用正多边形, 我们也可以得到许多美丽的图案,你还能举出一些这样的例子吗?
24.3正多边形和圆课件公开课
思考3: 过圆的5等份点画圆的切线, 则以相邻切
线的交点为顶点的多边形是正多边形吗??
证明：连结OA、OB、OC，则：
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB
PA T
∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C 为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB
正方形ABCD的___中___心______
6、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做
正方形ABCD的___边__心__距____
A
D
.O
BEC
7、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的
弦心距OF叫正五边形ABCDE的_边__心__距___， 它是正五边形ABCDE的__内__切____圆的半径。
24.3正多边形和圆 优质课
E
A
D
B
C
三条边相等，
四条边相等，
正三 三个角相等 正方形 四个角相等角形（60度）。（900）。
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形.
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形
叫做正n边形。 思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢?
菱形, 矩形都 不是正多边形
• 3．圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边 心距是________
• 4．已知圆内接正方形的边长为，则该圆 的 内接正六边形边长为__________．
• 5． 圆内接正六边形的边长是8 cm那么该正 六边形的半径为________；边心距为 ________．
• 6、已知正多边形的边心距与边长的比是，则此 正多边形是( )
A
2. OB叫正△ABC的_半__径__, 它是正△ABC的_外__接___圆
24.3 正多边形与圆(解析版)
24.3 正多边形与圆建议用时：45分钟 总分50分一 选择题（每小题3分，共18分）1．（2020•集美区模拟）若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【解析】由题意，360°n =72°， ∴n ＝5，故选：D ．2．（2020•和平区一模）在圆内接正方形ABC D 中，正方形的边长AB 是8，则这个正方形的中心角和边心距是（ ）A ．90°，4B ．90°，1C ．45°，4D ．45°，1 【答案】A【解析】∵正方形的边长为8，由中心角只有四个可得出360°4=90°，∴中心角是90°，正方形的外接圆半径是：sin ∠AOC =AC OA ， ∵AC =82=4，∠AOC ＝45°，∴OC ＝AC ＝4，∴边心距为：4．故选：A ．3．（2020•和平区模拟）正六边形的边长与边心距之比为 （ ）A ．1：2B ．2：√2C ．2：√3D ．√3：2【答案】C【解析】如右图所示，边长AB ＝2；又该多边形为正六边形，故∠OBA＝60°，在Rt△BOG中，BG＝1，OG=√3，所以AB＝2，即边长与边心距之比2：√3，故选：C．4．（2020•双柏县二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接B D．则∠CDB的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】D【解析】∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD=(6−2)×180°6=120°，BC＝CD，∴∠CBD=12（180°﹣120°）＝30°，故选：D．5．（2020 •沈河区月考）如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）A．√3B．3√3C．6√3D．12√3【答案】C【解析】如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，∵⊙O 的周长等于4πcm ，∴⊙O 的半径为：4π2π=2，∵ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，∴OA ＝OB ＝AB ＝2，∵OG ⊥AB ，∴AG ＝BG =12AB ＝1，∴OG =√3，∴S △AOB =12AB •OG=12×2×√3 =√3．∴它的内接正六边形ABCDEF 的面积是6S △AOB ＝6√3（cm 2）．故选：C ．6．（2020•和平区模拟）如图，ABCDEF 是中心为原点O ，顶点A ，D 在x 轴上，半径为4的正六边形，则顶点F 的坐标为（ ）A ．（2，2√3）B ．（﹣2，2）C ．（﹣2，2√3）D ．（﹣1，√3）【答案】C二、填空题（每小题3分，共15分）7．（2020•沈河区二模）圆内接正方形的边长为3，则该圆的直径长为 ．【答案】3√2【解析】如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴∠C＝90°，BC＝DC，∴BD是圆的直径，∵BC＝3，∴BD=√BC2+CD2=√32+32=3√2，故答案为：3√2．8．（2020•鼓楼区一模）如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接BD、OD，则∠BDO ＝°．【答案】18【解析】连接OB，OC，∵点O是正五边形ABCDE的中心，∴∠BOC＝∠COD=3605=72°，∴∠BOD＝2×72°＝144°，∵OB＝OC，∴∠BDO＝∠OBD=180°−144°2=18°，故答案为：18．9．（2020•东阳市期末）如图，要拧开一个边长为a＝8mm的正六边形螺料，扳手张开的开口b至少为mm．【答案】8√3【解析】设正六边形的中心是O，其一边是AB，连接OA、OB、OC、AC，OB交AC于M，如图所示：∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，∴四边形ABCO是菱形，∴AC⊥OB，AM＝CM，∵AB＝8mm，∠AOB＝60°，∴sin∠AOB=AMOA=AMAB，∴AM＝8×√32=4√3（mm），∴AC＝2AM＝8√3mm，故答案为：8√3．三、解答题（7+8+8=23分）10．（2019•黄山期末）如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．解：（1）证明：连接CD，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∵∠E＝∠ACD，∠E＝∠B．∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）如图，连接OD、CE，若∠E＝45°，则∠AOD＝90°，∵AC＝4，∴OA＝OD＝2，∴AD＝2√2．∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为2√2．11．（2020•东台市期中）如图，⊙O的周长等于8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．（1）求圆心O到AF的距离；（2）求正六边形ABCDEF的面积．解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，∵⊙O的周长等于8πcm，∴半径OC＝4cm，∵六边形ABCDE是正六边形，∴∠COD＝60°，∴∠COH＝30°，∴圆心O到CD的距离＝4×cos30°＝2√3，∴圆心O到AF的距离为2√3cm；（2）正六边形ABCDEF的面积=12×4×2√3×6＝24√3cm2．12.如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH 于点P．（1）求证：△ABG ≌△BCH ；（2）求∠APH 的度数．解：（1）证明：∵在正六边形ABCDEF 中， AB =BC ，∠ABC =∠C =120°，在△ABG 与△BCH 中120AB BC ABC C BG CH ∠∠︒⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△ABG ≌△BCH ；（2）解：由（1）知：△ABG ≌△BCH ， ∴∠BAG =∠HBC ，∴∠BPG =∠ABG =120°，∴∠APH =∠BPG =120°．。
24.3 正多边形和圆(共2课时)
24．3 正多边形和圆（共2课时）第一课时：正多边形和圆教学目标1、了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．重点：探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算．难点：探索正多边形与圆的关系．教学过程一、问题与情境，引入新课观看下列美丽的图案．问题1这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？问题2你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？引入新课。
二、探究新知探究一：将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论．关注（1）学生能否看出：将圆分成五等份，可以得到5段相等的弧，这些弧所对的弦也是相等的，这些弦就是五边形的各边，进而证明五边形的各边相等；（2）学生能否观察发现圆内接五边形的各内角都是圆周角；（3）学生能否发现每一个圆周角所对弧都是三等份的弧；（4）学生能否利用这些圆周角所对的弧都相等，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形．探究二如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形．探究三各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么？如果不是，举出反例．[活动3]学生观看课件，理解概念．例题1 有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1 m2）．解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于3606=60°，•△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径． 因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt △OAM 中，OA=a ，AM=12AB=12a 利用勾股定理，可得边心距∴所求正六边形的面积=6×12×AB ×OM=6×12×a ×a=32三、 课堂练习完成教材第105练习页习题24．3第1题． 四、课堂小结1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距．2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系． 五、布置作业1．教科书第107页习题24．3第3、5、6题．2．思考题1、正n 边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？2、正n 边形的半径，边心距，边长又有什么关系？第二课时： 正多边形和圆教学内容1、在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系． 3．正多边形的画法．重点：并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．难点：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系． 教学过程一、 复习回顾：1、 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．2、外接圆的半径叫做正多边形的半径．3、正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．4、中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．二、探究新知:现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形． 例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm 的正五边形．分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径．解：正五边形的中心角∠AOB=3605︒=72°， 如图，∠AOC=30°，OA=12AB ÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm ）画法（1）以O 为圆心，OA=2.55cm 为半径画圆；（2）在⊙O 上顺次截取边长为3cm 的AB 、BC 、CD 、DE 、EA ． （3）分别连结AB 、BC 、CD 、DE 、EA ．则正五边形ABCDE 就是所要画的正五边形，如图所示． 三、巩固练习教材P107 练习 四、应用拓展例3．在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN ，其中D 、E 在AB 上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC 的边AB 上的高h ．（2）设DN=x ，且h DN NFh AB-=，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？ （3）实际施工时，发现在AB 上距B 点1．85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．hF DEC AN分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，•应用圆的对称性就能圆满解决此题． 解：（1）由AB 〃CG=AC 〃BC 得h=8610AC BC AB ⨯= =4.8 （2）∵h=h DN NF h AB -=且DN=x ∴NF=10(4.8)4.8x - 则S 四边形DEFN =x 〃104.8（4.8-x ）=-2512x 2+10x =-2512（x 2-12025x ）=-2512 [（x-6025）2-3600625]=-25x （x-2.4）2+12∵-25x （x-2.4）2≤0 ∴-25x（x-2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号 ∴当x=2.4时，S DEFN 最大．（3）当S DEFN 最大时，x=2.4，此时，F 为BC 中点，在Rt △FEB 中，EF=2.4，BF=3．= ∵BM=1.85，∴BM>EB ，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案．∵当x=2.4时，DE=5∴AD=3.2，由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:.cFD C B AG此时，•AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．五、归纳小结（学生小结，老师点评） 1．画正多边形的方法．2．运用以上的知识解决实际问题．六、布置作业一、选择题1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．A．60° B．45° C．30° D．22．5°(1) (2) (3) 2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．A．36° B．60° C．72° D．108°3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（）A．18° B．36° C．72° D．144°二、填空题1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．三、综合提高题1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．2．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6 cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．（1）求证：四边形CDEM是菱形；（2）设MF2=BE〃BM，若AB=4，求BE的长．。