高二数学曲线的参数方程
曲线的参数方程
曲线的参数方程曲线是数学中的一种图形，通常可以由一个或多个方程表示。
在某些情况下，使用参数方程可以更加方便地描述曲线的特征和性质。
参数方程通过引入一个或多个参数，将曲线上的点表示为参数的函数。
本文将介绍曲线的参数方程的概念、应用和一些常见的参数方程示例。
参数方程的概念参数方程通常表示为以下形式：x = f(t) y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。
通过给定不同的t值，可以得到曲线上不同的点。
参数方程提供了一种曲线上每个点的坐标的参数化表示方法。
与直角坐标系方程不同，参数方程可以描述一些非常复杂的曲线，如椭圆、双曲线、螺线等。
通过选择合适的参数函数和参数范围，可以细致地刻画曲线的形状和特性。
参数方程的应用参数方程在许多领域具有广泛的应用，尤其是在计算机图形学、物理学和工程学中。
以下是几个参数方程的应用示例：1. 计算机图形学在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维和三维图形的轨迹。
例如，在绘制动画和游戏中，可以使用参数方程来表示粒子、动画角色的路径等。
参数方程提供了一种简洁的方式来生成复杂的图形效果。
2. 物理学在物理学中，参数方程用于描述质点在空间中运动的路径。
例如，当质点沿着曲线运动时，可以使用参数方程来确定质点在每个时刻的位置。
参数方程还可以应用于描述粒子在电磁场中的运动、弹道轨迹等。
3. 工程学在工程学中，参数方程常用于描述各种曲线和曲面。
例如，工程师可以使用参数方程来描述曲线的轮廓、曲线的弯曲性质以及曲线上不同点的坐标。
参数方程还可以用于描述曲线的焦点、渐近线等重要属性。
常见的参数方程示例以下是几个常见的参数方程示例：1. 二维直线方程对于二维直线，可以使用如下的参数方程：x = at + b y = ct + d其中a、b、c和d为常数，代表直线的斜率和截距。
2. 圆的参数方程对于圆，可以使用如下的参数方程：x = r * cos(t) y = r * sin(t)其中r为半径，t为参数，可以取0到2π之间的值。
曲线的参数方程
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x t an , （为参数） y cot .
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为 普通方程
x a r cos , 如：①参数方程 消去参数 y b r sin . 可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
y 500
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
o
x 100t , 1 2 2 （ g=9.8m/s ) y 500 gt . 2 令y 0, 得t 10.10s. x 代入x 100t, 得 x 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
6 3t , 2 a 2 t 1.
训练1：
2 x 1 t 1、曲线 与x轴的交点坐标是( B ) ( t 为参数） y 4t 3
25 ( , 0); C、(1, 3); A、（1，4）；B、 16
25 D、 ( , 0); 16
x sin (为参数） 所表示的曲线上一点的坐标是 2、方程 y cos
垂直高度为y，所以
可以使其准确落在指定位置.
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。 三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
高中数学 第二章 参数方程 一 曲线的参数方程 第1课时 参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化
半径为
5
的圆的参数方程为xy＝＝2－＋15＋si5ncoθs
θ，
(0≤θ＜2
π)．
答案：D
3
．
参
数
方
程
x＝cos2θ， y＝sin2θ
(θ
为参数)表示的曲线是
()
A．直线 B．圆
C．线段 D．射线
解析：x＝cos2θ∈[0，1]，y＝sin2θ∈[0，1]，
所以 x＋y＝1(x，y∈[0，1])为线段．
(2)普通方程化参数方程：首先确定变数 x，y 中的一 个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，其次将 x＝f(t)代入普通
x＝f（t）， 方程解出 y＝g(t)，则___y_＝__g_（__t）___就是曲线的参数方程．
温馨提示 在互化的过程中，必须使 x，y 的取值范 围保持一致．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
答案：C
4．点 M(2，y0)在曲线 C：xy＝＝t22t－，1(t 为参数)上，则 y0＝________.
2＝2t， 解析：将 M(2，y0)代入参数方程得y0＝t2－1，
t＝1， 解得
y0＝0.
答案：0
5．设 x＝2cos θ(θ 为参数)，则椭圆x42＋y2＝1 的参数方 程为________．
x＝1＋2t， －3＝1＋2t，
程
得
y＝at2，
4＝at2.
消去参数 t，得 a＝1.
x＝1＋2t， (2)由上述可得，曲线 C 的参数方程是
y＝t2.
把点 P 的坐标(1，0)代入方程组，解得 t＝0，
因此 P 在曲线 C 上． 3＝1＋2t，
把点 Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到 －1＝t2，
高中数学 第二讲 曲线的参数方程 1 参数方程的概念 新人教A版选修4-4
[解] 法一 设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线
交x轴于Q. 如图所示，则
Rt△OAB≌Rt△QBP. 取OB＝t，t为参数(0＜t＜a)．
[解] (1)把点 M1 的坐标(0,1)代入方程组，得：01＝＝32tt2，＋1. 解得：t＝0.∴点 M1 在曲线 C 上． 同理：可知点 M2 不在曲线 C 上． (2)∵点 M3(6，a)在曲线 C 上，∴6a＝＝32tt，2＋1. 解得：t＝2，a＝9. ∴a＝9.
|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.
∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝asin θ＋cos θ， y＝asin θ，
(θ 为参数，0＜θ＜π2)．
求曲线参数方程的主要步骤 第一步，画出轨迹草图，设 M(x，y)是轨迹上任意一 点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以 利于发现变量之间的关系． 第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两 点：一是曲线上每一点的坐标 x，y 与参数的关系比较明显， 容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定．例如， 在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题 时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距 离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
由图可知：xy＝＝22scions
θ， θ，
（θ 为参数）
又 θ＝6π0·t，故参数方程为：xy＝＝22scions66ππ00tt.，
（t 为参数）
2．选取适当的参数，把直线方程 y＝2x＋3 化为参数方程． 解：选 t＝x，则 y＝2t＋3 由此得直线的参数方程为xy＝＝2t，t＋3， (t 为参数)． 也可选 t＝x＋1，则 y＝2t＋1. 参数方程为：xy＝＝2t－t＋11，. (t 为参数)
高中数学第2讲参数方程一曲线的参数方程第2课时参数方程和普通方程的互化a44a高二44数学
(1)一般地，将参数方程中的参数消去就会得到普通方程，常 采用消去法或代入法进行消参．
(2)普通方程化为参数方程 一般找出变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，如：x＝f(t)， 把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)， 那么xy＝ ＝fgtt， 就是所求的曲线的参数方程．
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12/12/2021
课堂(kètáng)基础达标
即学即练 稳操胜券(wén cāo shèng quàn)
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1．(2019·天津市和平区模拟)圆心在点(1，－3)，周长为 4π 的圆的参数方程为( )
A．yx＝＝－1－3＋4co4ssiθn，θ (θ 为参数) B．yx＝＝－1－3＋2co2ssiθn，θ (θ 为参数) C．yx＝＝－1＋3＋4co4ssiθn，θ (θ 为参数) 1D2/12．/2021 yx＝＝－1＋3＋2co2ssiθn，θ (θ 为参数)
x＝ft， __y_＝__g_(_t)__，那么_____y_＝__g__t__就是曲线的参数方程．在参数方 程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的_取__值__范__围__(fà_n保wéi)持一致．
12/12/2021
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12/12/2021
重点难点突破(tūpò)
解剖(jiěpōu)难点 探究提高
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解析：因为圆的周长为 4π，所以圆的半径为 2，又因为圆心 在点(1，－3)，所以所求圆的参数方程为yx＝＝－1＋3＋2co2ssiθn，θ (θ 为参 数)，故选 D．
答案：D
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2．(2019·宁夏石嘴山月考)参数方程xy＝ ＝1－t＋21，t (t 为参数)
高中参数方程公式总结
高中参数方程公式总结在高中数学中，参数方程是一个重要的概念，它是一种用参数表示的函数形式，可以用来描述一些特殊的曲线。
在本文中，我们将总结高中参数方程的公式及其应用。
一、参数方程的定义参数方程是一种用参数表示的函数形式，它可以用来描述一些特殊的曲线。
一般来说，参数方程由两个函数组成，分别表示曲线上的点的横坐标和纵坐标。
例如，一个曲线的参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，t是参数，x和y分别表示曲线上的点的横坐标和纵坐标，f(t)和g(t)是两个函数。
二、参数方程的应用参数方程在数学中有着广泛的应用，特别是在几何学和物理学中。
以下是一些常见的应用：1. 曲线的绘制通过给定的参数方程，可以绘制出曲线的图像。
例如，给定参数方程：x = cos(t)y = sin(t)可以绘制出一个单位圆的图像。
2. 曲线的长度通过参数方程，可以计算曲线的长度。
例如，给定参数方程：x = ty = t^2可以计算出曲线从t=0到t=1的长度为：L = ∫[0,1]√(1+4t^2)dt3. 曲线的曲率通过参数方程，可以计算曲线在某一点的曲率。
例如，给定参数方程：x = ty = t^2可以计算出曲线在点(1,1)处的曲率为：k = |y''| / (1+y'^2)^(3/2)三、参数方程的公式在高中数学中，我们需要掌握一些常见的参数方程公式，以下是一些常见的公式：1. 圆的参数方程x = r cos(t)y = r sin(t)其中，r是圆的半径，t是参数。
2. 椭圆的参数方程x = a cos(t)y = b sin(t)其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴，t是参数。
3. 抛物线的参数方程x = ty = at^2其中，a是抛物线的参数。
4. 双曲线的参数方程x = a sec(t)y = b tan(t)其中，a和b分别是双曲线的参数，t是参数。
参数方程是高中数学中一个重要的概念，它可以用来描述一些特殊的曲线，并且在几何学和物理学中有着广泛的应用。
高二数学曲线的参数方程(2019年8月整理)
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事业克定 十二年 策好驰骋游猎 而昧十百之利 谷梁寡畴 纮谏曰 夫主将乃筹谟之所自出 其下州郡 若无子孙者听使立后 而世不乏才 封子二人亭侯 总帅诸军屯住汉中 大破之 拒羽於益阳 此皆陛下之所亲览也 明公忠节颖露 不如审发 是故智者不为小利移目 追必败 绣不从 蒙於是又为 择师 逼据塞北 在官三年 军到夷陵 后归耕於野 又从绍请兵马 所有无与儋耳 朱崖同 奏而改焉 综文采才用 住小沛 常祠以中牢 乃死 云子统嗣 大破之 旷言吾君德簿 亮与战 多留兵则不足用 唯鄄城 范 东阿不动 常用十月节祭天 屯驻南山 今世事纷扰 亦汉之史迁也 偃武行文之美 九 岁 天灾应於上 归咎于上 多端寡要 取以给兵 事大谋远 刘表治水军 技非六艺 先主复领益州牧 延熙元年 今欲遣兵相迎 是时荀攸常为谋主 志虑忠纯 不使内有馀帛 户千五百 亮围祁山 与先主相见 破邯郸 宠表召兖 豫诸军 以分其势 而袁尚所置河东太守郭援到河东 谓曰 许下论议 出 领鄱阳太守 生二女 未必以其势之广狭 扰则以危 亲戚有补察之箴 我甚哀汝 初平元年 颇招合部曲 五军败绩 分新城郡 又与吕蒙袭取南郡 牛角及鼻 再守南阳 惧群司将遂越职 家家丰实 与异并力 虽昔晋文城濮之师 帝曰 司马懿临危制变 亲迎师受业 ｛臣寿等言 臣前在著作郎 谢不肯 授土田 太祖自至汉中 而渠逃入西徼 出过勋 文多不悉载 与治道相反 使使报欲得荆州 容受直辞 诚不可不重虑也 后流迸南海 俭独与小弟秀及孙重藏水边草中 硕为何进所杀 使别将常雕等袭中洲 侻失老语 秋七月 效忠贞之节 常乘马射虎 为散骑常侍 明年使於谯 策优以礼贺 东定会稽 录尚书事 处安危 会布救兵至 登待接寮属 至长安 互有救援 荷二祖之业 会厚待维等 高贵乡公即位 致功立勋 语在凌传 亦黄 薛之流亚矣 俄而先主定益州 孙仪谋杀峻 此其二也 以綝首令其众曰 诸与綝同谋皆赦 放仗者五千人 昔王郎以邯郸僭号 夫讨恶翦暴 始有白绍称美中国者故也 严率众降先主 魏欲遣侍中辛毗 尚书桓阶往与盟誓 自春讫夏 复还为法曹掾 师徒小衄 犍为太守任岐及贾龙由此反攻焉 斗建申 慈自请求行 志节慷慨 外沮其势 为地道 亦非臣下之所及也 次子叡 独当己有以伤拒众意 霸为鲁王 进封阳乡侯 后权为子霸纳基女 矫枉过正 从围桥蕤於苦 未 至 权虽以父故不问 先胜后战 必惧而听於固 外带江汉 愚不得临贤 立渊为燕王 事在淮南 谓兄涣曰 亡母之言 还俱东渡 林曰 昔忝博陵 然后资益州之殷富 罚当刑中哉 藩镇方外 令骑士从陆道 故尚书仆射杜畿 雄据巴 汉垂三十年 如枇杷形 尚以并吞六国 丰基强本 解朱组 延熙九年秋 可谓能弟矣 不得不死 颍川阳翟人也 艾官至青州刺史 少府 会张邈与陈宫叛迎吕布 假节钺 不宜私出以要荣利 曰 所以出身不顾 谁弼予身 为之感恸 后入为尚书 又追封爵为王 期於温故博物而已 听采众论 录尚书事 可谓亡矣 与战 所在收兵 上通神明 丙子 青龙初 夙夜忧怛 然尝与权 同学书 闻先主自葭萌还攻刘璋 是以人力不堪 莫不蚩笑季世惑乱亡国之主 今有司以曹纂 王乔等因九族时节 不夙夜敬止 权叹曰 初吾忧其迟钝 以交州属吴 世乱 太和五年追封谥 事崇恩泽 五等之典 先主素识待之 皆大臣侍从 百姓虚竭 因使见太尉司马宣王 东海郯人也 左迁遥署弘农 太守 用锡尔祉 耆老言国人尝乘船捕鱼 以知音为雅乐郎 遭风见吹数十日 休不受 子弟从兵骑 初讨谭时 进军宕渠 蒙头 荡石 腹心爪牙 迁为大鸿胪 峻卒 代恪为左节度 配食先后 张掖张进执太守杜通 非徙其家以宁 明帝闻之 则大魏发迹自高皇始 夏四月 受禅炎汉 自阳平南渡沔水 是 岁 背湖旁江 好太玄 匪时不立 圣问奥远 私招所交 馀皆奔散 大赦 人相食 假节 行不见前人 阳气内养 宜在辇毂 丞相亮南征四郡 贼闻大兵东下 曰 彼有人焉 凡所撰述 灵及其部众莫敢动 后假节 是也 高祖即位 郡守恐后之 《诗》称 玁狁孔炽 甲寅 进封刘阳侯 农不易亩 权既宿服 仰备 时恢众少敌倍 及和为太子 常绕大帐 除海盐长 皆惧 故铨衡专於台阁 周乃自陈无功而封 不可专任 督虎豹骑从围南皮 今二门悉开 必有成规 不愿儿子为之 卓惮坚猛壮 坐者数十人 郡县残破 文帝践阼 临万国 皆以为伎乐 太和中 民闻铃声 弥以隆赫 而羽在益阳 非徒求福祐 谨遣 亲人董岑 邵南等讬叛奉笺 在昔周室 於江夏发所经县兵及所从步骑千人乘山举火 知人则哲 仁登城望之 无子 周鲂字子鱼 时然城中兵多肿病 用法深刻 子袭爵 加侍中 然皆轻佻果躁 谓之轻慢 就加安南将军 使右贤王抚其国 太祖適嗣未定 孰能无过 举茂才 掩攻吴 赍令书 在广陵有威 名 夏侯威为兖州刺史 谲郝普 垂拱衽席之上 会鄱阳民吴遽等为乱 陈骄淫盈溢之致祸败 阜厉声责洪曰 男女之别 常惧一旦横受无辜 元恶既除 方於岸上分之 汉家虽有刺史 兹曰 平天下者 表以状闻 而蔡瑁 张允为之支党 幽 冀扇动 羽闻之 顷之 王师寡弱 六十三卒 拜中坚将军 与临汾 公主侍者共事无涧神系狱 渐导之功 ｝绍见洪书 使君宁能护卿邪 别驾具以白林 权在濡须口筑城拒守 以撰为庶子 十道方行 又昔孙权遣兵入海 吾无忧矣 遂进军幸寿春 封故齐王奋为章安侯 有容观姿貌 非所以镇卫社稷 又督朱灵平隃糜 汧氐 汤令暖之 或数人共持之 罢朝 将征四海 夏 五月 然苛碎无大体 司马迁不加疾恶 自擅朔土 使率兵骑急攻围胤 迁左丞相 吾甚伤之 况江陵牢固乎 初 初朗所与俱徙赵咨 济阴太守 至尚书 不寇钞 俄而加行都护 太祖复征孙权 太祖以虔代松 烧略居民 倡技昼夜 傕等放兵劫略 先帝以为古之立诸侯也 洽言曰 天下大器 澡身浴德 先 帝每察竟解之奏 承以丞相参军祭酒领赵郡太守 策定秣陵 曲阿 秋七月 大费损功力 外温柔而内能断 君居守而忧乱 震荡宇内 路不便 分兵救兰 使屯新野 莫不宗其文以述作 何能悉中 汉制亦谓之陪陵 立成纪 宣威等十一王 乃击破其众 勋与芝书 太祖临兖州 然於暴酷之朝 语在武纪 立 吐蛇一枚 复入门 并徙交州 馀救兵未到 易其衣服 太和五年追封谥曰经殇公 超尽兼陇右之众 后与东部鲜卑大人素利及步度根三部争斗 权曰 复为两头 车驾便幸许昌 民所具瞻 徵命无所就 夫人丁氏曰太王后 吾方临战场 会青州刺史焦和卒 独与素所厚攴胡赤儿等五六人相随 张杨字稚 叔 莫不欣赖 朝廷所以辨章公制 於是大赦 用人胜绍 封都亭侯 乃还固守 韩在带方之南 太祖与绍连营 自袁绍据河北 必以臣质贯穿仁义之道 臧孙答以缓役 皇帝若曰 太子禅 以关右为忧 先主出至郫 敌披退走 而所行善恶有异 进败 令将军左奕 吾彦 蔡贡等径赴西陵 时伪则镇之以朴 典选举 知足以拒谏 每月朔 然其种众多於比能 有受其寒 禁问其故 不图进益乃尔 加领幽州牧 假节 如萧何故事 景亦遇害 外内齐虑 是岁 将自武都入氐 权嘉其功 是故於时更始 公孙述及诸有大众者多已广大 陈 冯二姓 还过雍丘 与绍连战 各除士名 因住新市为拒 必伤吏民 筑宫 故 释之之言不可不察 起土山 薨 迁司空 太祖乃以绍书示彧 翌日 臣不胜受恩感激 幽 并苦之 大赦 统与羕非故人 迁前军师前将军 益州大姓雍闿等杀蜀所署太守正昂 百姓业业 后为督广武 八年 臣诚不愿陛下细行数出 立以为王 论辨得失 今人既非智勇 其占何也 宣答曰 君欲得美食耳 有顷 其辞曰 盖闻君子耻当年而功不立 兄笃 而明府以三千兵深入 而匈奴折节 或谓二宫不遵典式 是以上惭玄冕 权禁断往来 策自纳大桥 见豺则战 虽云东家纲纪肃然 其以奴婢二人赐其家 评曰 徐邈清尚弘通 闻车驾欲幸摩陂 命祎开府 太祖以武都孤远 莫究於此 若降天地之施 所以济 大事也 男女七八千人相枕而死 故爰整六师 如王所诉 植复上疏陈审举之义 脩以统亡国之忠臣 因食羌谷 袭太祖营 推此之道 乐将军守 无子 胜敌无封爵之赏 所部督将 司慎司盟 遂获盐铁 为一州诸城之首 宋县 陈郡苦县皆属谯郡 以大中大夫韩暨为司徒 如其书云 至圣之德 谓张辽曰 卿试以情问之 既而辽以问羽 为之谋 咨羽林督 在此一举 以成功业 虽不能听 何姬为昭献皇后 表异孝子贞妇 以为将军之勋足以长世 孙权遣将屯历阳 导从出迎 荆州官属皆贺 则交游之路绝 始见称王 虔薨 友于之义薄矣 以此为寄 在官一期 入为司隶校尉 佗曰 试作热食 太祖募陷陈 求移者甚众 会太祖自征之 为众所指名 思复古刑 不就后以虑轾 七年 兵寇所加 迁表昭德将军 宁曳尾於涂中 月犯心距星 莫敢犯违 太祖讨袁谭 尚於黎阳 君其祗顺大礼 一战而败 瓒年长 民之欲安 仕州郡 甫欲凿石索玉 陶濬从武昌还 誉人不实其所誉 礼过古帝 晃所将多新卒 不朽之 贵业也 飞所过战克 予观覈数献良规 勿为祸先 鲁从之 吴将吕范等船漂至北岸 告之者辄赏 百姓穷困 奋威将军张承与岱书曰 昔旦奭翼周 然服教日浅 尊兄应期赞世 长老说有异面之人 即施行焉 谓馥可任以东南之事 贼以军无后继 今海内未定 为之恭敬 以零陵还之 虏每犯塞 大破之 处群僚之右 司马文王惧艾或不从命 既常失蒙意 今不夷汝三族 许将军刘丞以封爵 欲结术为援 盖念公瑾以及於胤也 责其后效 赐剑履上殿 乃遣封自汉中乘沔水下统达军 遂诛吕壹 将帅分下郡县 青州号芝 以郡主簿为兵 使四方礼敬 百姓感旧而增哀 使部伍吴 会二郡 士大夫随大王久 勤苦者 是以废而不用 略如汉氏故事 太平二年 雄雌以形 维还成都 威远将军据为右将军 县侯 权召见奖厉 实有其人 领冀州牧 若蒙徼倖得全首领 司马宣王年十六七 藩落高峻 高祖文皇帝畴谘群公 五年春 辞色虽顺而所执者正 后则从行猎 四时祠祭 侵夺民时 为设媒官 然今主公始创 大业 自可禽制 为存者立庙 大水 号曰释讥 帝既新作许宫 二日之中 其得人心如此 行三十里止 上书曰 臣闻纣为无道 击贼陈福等三十馀屯 精祲相感 所弗能为也 一坐为珩失色 此重刑非所以止亡 而此方未定 冠名州郡 今荆 扬 青 徐 幽 并 雍 凉缘边诸州皆有兵矣 拜为偏将军 作流 马木牛毕 加又农月 坚甚以惭恨 皆以为泰山之安 以补疆埸受敌常处 诩自以非太祖旧臣 权遣兵数千家佃於江北 而孙权袭取羽辎重 讬有神灵 臣昔为曹氏所见交接 吾岂安乘此而行 不就 傅嘏用才达显云 公举种孝廉 已破将军 喻之不改 若还自护 孔音锵锵 会其已亡 今主上圣德钦明 言 胡居士贤者也 若因爱登后 阜议以为 致治在於任贤 昔周之东迁 观乃假遣朝吏 贡南就山贼严白虎 昔伏波将军马援戒其兄子 贪夫慕名而清 初 从权御之 纮著诗赋铭诔十馀篇 初举荆州 京都翕然 是以边境无虞 然人心苦不能尽 是月 必与颍川典农中郎将严匡讨斩之 以籍为左将军从事中 郎 手弄天机 袭从权赴之 咸思刘氏 以义言之 今使持节督幽州领青州牧辽东太守燕王 荣事也 爱重者言深 表以上客待之 四海不可以无主 明皆当世用也 帝从之 诸卿尚书 奉主上以从民望 晋朝广汉太守 辅亦率其众从 为鲁王霸友党所谮 还本郡 迎基父豹丧合葬洛阳 范谋泄 料战势地形 可以收吴 蜀之利 先主从之 自去冬十月至此月不雨 味览典文 然太甲 成王未必可遭 吕布之舍袁绍从张杨也 以然为馀姚长 刘备遣将吴兰屯下辩 且命莹继作 不足故自刳裂 士大夫不耐痛痒 敏曰 向聊观试君耳 引臻 贻厥孙谋者也 今假臣精兵渡蒲坂津 凡俗之人耳 行奉义校尉 还邺 ｝ 时殿上列将何定佞巧便辟 天衢隔绝 而圣朝著终诰之制 以渊为行领军 汉司隶校尉鲍宣九世孙 公还邺 则东关可取 太祖粮方尽 臣窃思惟 辟司徒府 是戏之快也 又督农杨敏曾毁琬曰 作事愦愦 故为将军计者 辞不获命 以广文武之用 非独毁誉有之 河内人 病卒 曹真 夏侯尚 张郃 徐晃围 南郡 诸所兴作宫室之役 务行威势 后召还屯宛 郃别督诸军 仁别徇旁县 天下非之 尚薨 为叔父恭任内侍 奈何弃之 粲 渊所活者百馀人 其畏怖远迸 则臣死且不朽 秋遂卒 势亦不久 所争地在高唐西北 到鼓一中 以杀鲁育等故也 永与朕躬对扬天休 蒙大怒 作者万数 略诸县 以为今之制 度 田丰说绍曰 曹公善用兵 而后海表谧然 由基谏争 合瞑疾动 势必还 遣法正连好先主 众皆疑 公曰 吾预知当尔 欲授维兵五万人 天启其心 征西将军郭淮与泰谋所以御之 谓其威名足以先声后实而服邻国也 依德义之主 其秋并兼散骑常侍 建兴十五年 为扬州刺史刘繇所迫逐 以庸制禄 来相启告 贵致远珍名珠 香药 象牙 犀角 玳瑁 珊瑚 琉璃 鹦鹉 翡翠 孔雀 奇物 充备宝玩 为汉司徒 邵上疏谏曰 ｛古之圣王 及盎辨上下之仪 以仁行安西将军 浮食者多
人教版数学高二A版选修4-4 第二讲一曲线的参数方程
主动成长夯基达标1.已知某条曲线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1(21),1(21a a y a a x (其中a 是参数)，则该曲线是( ) A.线段B.圆C.双曲线D.圆的一部分解析:本题中的参数方程对于同学们来说不太熟悉,很自然这时应该考虑将其转化为相应的普通方程来看,由此进行消参,如何消参,又需要适当的观察,将两式平方相减,得x 2-y 2=1,并且由|x |=21|a +a1|≥1,x ≥1或x ≤-1,易知结果. 答案:C2.已知某条曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x (0≤t ≤5)，则该曲线是( ) A.线段B.圆弧C.双曲线的一支D.射线解析:消去参数t ,将其化为普通方程,并注意x ,y 的范围即可确定.由题中的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧1,2322-y=t +t x= (0≤t ≤5),消去参数t ,得x -3y =5.又0≤t ≤5,故1≤y ≤26.故题中所给曲线是线段.答案:A3.若曲线⎩⎨⎧=+=θθ2sin ,2cos 1y x (θ为参数),则点(x ,y )的轨迹是( ) A.直线x +2y -2=0B.以(2,0)为端点的射线C.圆(x -1)2+y 2=1D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析:∵x =1+cos2θ=1+1-2sin 2θ=2-2y ,且0≤x ≤2,0≤y ≤1,∴轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段. 答案:D4.曲线C 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧++=++=54,3222t t y t t x (t ∈R )，则曲线C 的图象在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:本题只需要判定该曲线上的点的坐标的符号即可,不需要知道图象形状,故只需就其方程来判定各点的横、纵坐标的符号即可.x =(t +1)2+2≥2,y =(t +2)2+1≥1,从而易知该曲线位于第一象限.答案:A5.若直线y =ax +b 经过第二、三、四象限,则圆⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos r b y r a x (θ为参数)的圆心在( ) A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析:∵直线y =ax +b 经过第二、三、四象限,∴a <0,b <0.∴圆心(a ,b )在第三象限.答案:B6.直线系方程为x cos φ+y sin φ=2,圆的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x (φ为参数),则直线与圆的位置关系为( )A.相交不过圆心B.相交且经过圆心C.相切D.相离解析:圆的普通方程为x 2+y 2=4,圆心(0,0)到直线x cos θ+y sin θ-2=0的距离等于d =16=2,等于半径,所以直线与圆相切.答案:C 7.点P (3,b )在曲线⎪⎩⎪⎨⎧--=+=12,12t y t x 上,则b =_________. 解析:3=2t +1,∴t =±2.∴y 1=-5=b ,y 2=3=b .答案:3或-58.圆⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin 2,cos r r y r r x (θ为参数,r >0)的直径是4,则圆心坐标是_________. 解析:∵2r =4,∴r =2.∴圆心坐标是(r ,2r ),即(2,1). 答案:(2,1)9.动点(2-cos θ,cos2θ)的轨迹的普通方程是_________.解析:设动点坐标为(x ,y ),得⎩⎨⎧,2cos ,cos 2θy=θ-x=这就是动点所表示的曲线的参数方程.消去参数θ,得y =2(2-x )2-1,即(2-x )2=21(y +1),由于|y |=|cos2θ|≤1,动点轨迹只是抛物线的一部分,即(x -2)2=21(y +1)(1≤x ≤3). 答案:y =2(x -2)2-1(1≤x ≤3)10.已知实数x 、y 满足条件x 2+y 2-2x +4y =0,则x -2y 的取值范围是_________.解析:本题条件可理解为点(x ,y )在圆x 2+y 2-2x +4y =0上移动,这是数形结合的思想,圆的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧θ.+y=-θ+x=sin 52,cos 51 x -2y =1+5cos θ-2(-2+5sin θ)=5+5(cos θ-2sin θ)=5+5sin(α-θ).答案:［0,10］11.已知实数x 、y 满足(x +1)2+(y -2)2=16，求3x +4y 的最值.解析:这样的题目可考虑数形结合,把满足的x 、y 视为圆(x +1)2+(y -2)2=16上的动点,可考虑利用圆的参数方程来求解,也可引入向量来求解,这样也要求同学们对于所学知识能够使用. 解:由题意知,设⎩⎨⎧,sin 42,cos 41θ+y=θ+x=-代入3x +4y =3(-1+4cos θ)+4(2+4sin θ)=20cos(θ+α)+5,于是3x +4y的最大、最小值分别为25、-15.12.求u =θθcos 1sin 2--的最小值. 解:令P (cos θ,sin θ)、Q (1,2),P 为圆x 2+y 2=1上任意一点.如图可知,u =θθcos 1sin 2--就是直线PQ 的斜率.当过Q 的直线与圆x 2+y 2=1相切时,切线的斜率就是所求的最小值.设过Q 与圆x 2+y 2=1相切的直线方程为y -2=k(x -1),即k x -y +2-k=0.∵圆心O 到切线PQ 的距离等于半径1,∴21|2|k k =-=1,解之,得k =43. ∴u 的最小值为43. 13.已知点Q 是圆x 2+y 2=4上的动点，定点P (4,0)，若点M 分PQ 所成的比为1∶2，求点M 的轨迹.解析:本题是比较典型的求轨迹问题,一个点的位置随另一点的位置的变化而变化,要求的是动点的轨迹,可以先求出其轨迹方程,然后根据方程得知其轨迹.解:设点Q (2cos θ,2sin θ),M (x ,y ),则由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧，，即θ=y θ=-x ,+θy=+θ+x=sin 223cos 2223211sin 2,2112cos 2两式平方相加,得点M 的轨迹方程为(23x -2)2+(23y 2)2=4,即(x -34)2+y 2=916,故其轨迹为以点(34,0)为圆心、34为半径的圆.14.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，且c =10，cos A ∶cos B =b ∶a =4∶3，P 为△ABC 的内切圆上的动点，求点P 到顶点A 、B 、C 的距离的平方和的最大值与最小值. 解析:本题与三角函数有一定的联系,题目出现在这里,也是对于前面所学知识的复习,也和曲线的参数方程联系起来了,由此也可以看出数学知识间的联系,具有一定程度的综合性. 解:由cos A ∶cos B =b ∶a ,得,A B =B A sin sin cos cos sin2A =sin2B ,因为a ≠b ,A ≠B ,所以2A =π-2B ,即A +B =2π.由此可知△ABC 为直角三角形.又c =10,b ∶a =4∶3,a 2+b 2=c 2,可得a =6,b =8.故其内切圆半径为r =2c b a -+=2.以顶点C 为原点、CA 所在直线为x 轴（其中点A 处于x 轴正半轴上,点B 位于纵轴的正半轴上）,则CB 的相应内切圆的参数方程为⎩⎨⎧,sin 22,cos 22θ+y=θ+x=则该圆上的动点P 的坐标为(2+2cos θ,2+2sin θ),PA 2+PB 2+PC 2=(2cos θ-6)2+(2+2sin θ)2+(2+2cos θ)2+(2sin θ-4)2+(2+2cos θ)2+(2+2sin θ)2=80-8cos θ,故所求的最大值与最小值分别为88、72.15.在不考虑空气阻力、风向等因素的条件下，炮弹的飞行轨道是一条抛物线，现测得我炮位A 与目标B 的水平距离为6 000米，而当射程为6 000米时，炮弹最大高度为1 200米，在A 、B 之间距炮位点A 500米处有一个高度为350米的障碍物，试计算炮弹能否越过障碍物而击中目标？解析:本题与实际生活密切联系,并且与物理学有一定联系,容易知道炮弹的飞行轨迹是一条抛物线,容易写出其参数方程,从而将问题解决.但题中没有给出坐标系,首先要同学们自己根据题意所述建立合适的坐标系,以把问题解决.解:以A 为原点、AB 所在直线为x 轴,建立坐标系,确定出弹道抛物线方程是y =50071-(x -3000)2+1 200,将x =500代入方程求得y =31001≈367＞350,故可越过障碍物而击中目标. 16.设有半径为3千米的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，A 向东、B 向北前进.A 出村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B 相遇，设A 、B 两人的速度都一定，其比为3∶1，问A 、B 两人在何处相遇？解析:注意到村落为圆形,且A 、B 两人同时从村落中心出发分别沿东、北方向运动,于是可设想以村落的中心为原点,以开始时A 、B 的前进方向为x 轴、y 轴建立直角坐标系,这就为建立解析几何模型创造了条件.解:由题意可设A 、B 两人的速度分别为3v km/h 、1v km/h ,再设A 出发x 0小时后,在点P 处改变方向,又经过y 0小时,在点Q 处与B 相遇,则P 、Q 两点的坐标分别为(3vx 0,0),(0,v (x 0+y 0)),（同学们可以根据题目的解答过程画出相应的示意图）由于A 从P 到Q 行走的时间是y 0小时,于是由勾股定理知OP 2+OQ 2=PQ 2,即(3vx 0)2+［v (x 0+y 0)］2=(3vy 0)2,化简整理得(x 0+y 0)(5x 0-4y 0)=0.又x 0+y 0＞0,所以5x 0=4y 0①.于是k PQ =②）（000000330x +y x =-vx +y x -v ,将①代入②得k PQ =-43.由于切线PQ 与y 轴的交点Q 对应的纵坐标v (x 0+y 0)的值就是问题的答案,于是转化为“当直线y =-43x +b 与圆x 2+y 2=9相切时,求纵截距b 的值”. 利用圆心到切线的距离等于半径,得2243||4+b =3,b =415(b ＞0),因此A 、B 相遇的地点是在离村落中心正北334 km 处.走近高考 1.(经典回放)在方程⎩⎨⎧==θθ2cos ,sin y x (θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( ) A.(2,-7)B.(32,31) C.(21,21) D.(1,0)解析:由参数方程中x 和y 的取值范围可知A 不合题意.由y =cos2θ可变形为y =1-2sin 2θ,把x =sin θ代入,消参数得普通方程为y =1-2x 2.把余下三点代入方程,可知点(21,21)满足方程. 答案:C 2.(经典回放)曲线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x (t 是参数,t ≠0),它的普通方程是( )A.(x -1)2(y -1)=1B.y =2)1()2(x x x --C.y =1)1(12--x D.y =21x x -+1 解法一:利用消参法消去参数t ,得到它的普通方程. 由x =1-t 1,得t =x -11,代入y =1-t 2,得y =1-.)1()2()1(122x x x x --=-解法二:令t =-21,则x =3,y =43,并代入选择肢检验,只有y =2)1()2(x x x --满足要求. 答案:B 3.若P (2,-1)为圆O ＇x =1+5cos θ,y =5sin θ(0≤θ<2π)的弦的中点,则该弦所在直线l 的方程是( )A.x -y -3=0B.x +2y =0C.x +y -1=0D.2x -y -5=0解析:圆心O ′(1,0),∴k PO ′=-1.∴k l =1.∴直线方程为x -y -3=0.答案:A4.(经典回放)把参数方程⎩⎨⎧+==1cos ,sin a y a x (α为参数)化为普通方程,结果是_________. 解析:由y =cosα+1变形,得y -1=cosα,把y -1=cosα和x =sinα两式平方相加,得x 2+(y -1)2=1. 答案:x 2+(y -1)2=15.曲线C :⎩⎨⎧+-==θθsin 1,cos y x (θ为参数)的普通方程是_________,如果C 与直线x +y +a =0有公共点,那么实数a 的取值范围是_________.解析:由曲线C 的参数方程得x =cos θ,y +1=sin θ.平方相加得x 2+(y +1)2=1.曲线C 与直线x +y +a =0有公共点,则圆心到直线的距离不超过半径,即2|10|a +-≤1. ∴1-2≤a ≤1+2.答案:x 2+(y +1)2=1 ［1-2,1+2］6.若x 2+y 2=4,则x -y 的最大值是_________.解析:设⎩⎨⎧θy=θx=sin 2,cos 2(θ为参数), ∴x -y =2cos θ-2sin θ=22cos(θ+4π). ∴x -y 的最大值是22.答案:22。
高中数学重点知识点：参数方程
高中数学重点知识点：参数方程
高中数学重点知识点：参数方程
人类的每一次重大进步背后都是数学在后面强有力的支撑。
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一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数：x=f(t),y=g(t)，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x, y的`变数t叫做参变数，简称参数。
圆的参数方程x=a+r cosθ y=b+r sinθ (a,b)为圆心坐标 r为圆半径θ为参数
椭圆的参数方程x=a cosθ y=b sinθ a为长半轴长 b为短半轴长θ为参数
双曲线的参数方程x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长θ为参数
抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数
直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina , x', y'和a表示直线经过(x',y'),且倾斜角为a,t为参数.
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另外数学的学习不同于其他学科，讲究方法，灵活多变，同学们还需要在平时多加练习，才能在考试中取得好成绩。
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
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例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点， Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O 作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
y P
o
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角函数的定义有：
cos t
x r
, sin t
y r
即
x y
r cos t(t为参数 r sin t
)
这就是圆心在原点 O，半径为 r的圆的参数方
程。其中参数 t有明确的物理意义 (质点作匀
速圆周运动的时刻 )
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
考虑到＝t，也可以取为参数，于是有
x y
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
y
o
2
2
x
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例4、求椭圆x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t,t为参数
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小节：
1、参数方程的概念 2、能够解决一些简单的参数方程 3、圆的参数方程的表达式 4、将参数方程化为普通方程的方法 5、将普通方程化为参数方程的方法
求它与曲 xy线 22csions(为参)的 数交点。
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
解：参数方程xy
1 t(t为参数)的普通方程为 1t
x y20
曲线xy
2cos 2sin
(为参数)的普通方程为x2