2010年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解全国大纲卷 II 文
2010年高考大纲全国卷_II理科数学试题及答案
2010年高考大纲全国卷 II 理科数学试题及答案(云南、贵州、甘肃、青海、新疆、内蒙古)理科数学(必修+选修II)第I 卷参考公式：如果事件A B 、互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A B 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i +（2）函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是 （A ）211(0)x y ex +=-> （B ）211(0)x y e x -=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x -=+∈ （3）若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35（5）不等式2601x x x ---＞的解集为 （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ）{}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像 （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位 （8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =uu r ，CA b =uu r ，1a =，2b =，则CD =uu u r（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b +（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =（A ）1 （B （C ）2 （D ）3（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8（11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个（C ）有且只有3个 （D ）有无数个（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r ，则k =（A ）1 （B （C （D ）2第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ． （14）若9()ax x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ． （15）已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =u u u u r u u u r ，则p = ．（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ．（18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+g ． （Ⅰ）求lim n n na S →∞； （Ⅱ）证明：12222312n n a a a n+++…＞． （19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =．（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小．（20）（本小题满分12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求p ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．（21）（本小题满分12分）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ．（Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF =g ，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．（22）（本小题满分12分）设函数()1xf x e -=-． （Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1x f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求a 的取值范围．2010年高考大纲全国卷 II 理科数学参考答案一．选择题（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i +【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算. 【解析】231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. （2）函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是 （A ）211(0)x y ex +=-> （B ）211(0)x y e x -=+> （C ）211(R)x y ex +=-∈ （D ）211(R)x y e x -=+∈ 【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.文)含详解
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分l50分，考试时间l20分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸．．．上答题无效．．．．．。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：S 表示底面积，h 表示底面上的高 如果事件A 与B 互斥，那么 棱柱体积V=Sh P(A+B)=P(A)+P(B ） 棱锥体积V=13Sh第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．(1)若A={}|10x x +>，B={}|30x x -<，则AB =(A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3) 1.C【解析】(1,),(,3)A B =+∞=-∞，(1,3)AB =-，故选C.【方法总结】先求集合A 、B ，然后求交集，可以直接得结论，也可以借助数轴得交集.(2)已知21i =-，则i(1)=i i (C)i (D)i 2.B【解析】(1)i i =+选B.【方法总结】直接乘开，用21i =-代换即可.(3)设向量(1,0)a =,11(,)22b =,则下列结论中正确的是(A)a b = (B)22a b =(C)//a b (D)a b -与b 垂直 3.D【解析】11(,)22--a b =，()0a b b -=，所以-a b 与b 垂直.【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论. （4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 4.A【解析】设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=. 【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为20x y c -+=，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行.(5)设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64 5.A【解析】887644915a S S =-=-=.【方法技巧】直接根据1(2)n n n a S S n -=-≥即可得出结论. （6）设0abc >,二次函数2()f x ax bx c =++的图像可能是6.D【解析】当0a >时，b 、c 同号，（C ）（D ）两图中0c <，故0,02bb a<->，选项（D ）符合【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a >或0a <两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.（7）设232555322555a b c===（）,（），（），则a，b，c的大小关系是（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a 7.A【解析】25y x=在0x>时是增函数，所以a c>，2()5xy=在0x>时是减函数，所以c b>。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷)文科数学
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．不等式 ＜0的解集为
A． B． C． D．
2．已知 ，则
（A） （B） （C） （D）
3．若变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为
A． B．
C． D．
7．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A）12种(B)18种(C) 36种(D)54种
8．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若 = a , = b , = 1，
= 2,则 =
（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出bn的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。
17．
【解析】
本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识．
（1）要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1，有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F．连结DF、FC，证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直．
【详解】
设点 到平面 的距离为 ，则 .
因为 平面 ， 平面 ，故 ，
故 ，同理 ，
故 ，而 ，
所以 ，故 ，
故 .
故选D.
【点睛】
本题考查点到平面的距离，此类问题可用等积法来处理，本题属于基础题.
7．B
【解析】
8．B
【解析】
9．D
2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(陕西卷)
2010年高校招生全国统一考试理数（陕西卷）文科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）. 1.集合A ={x －1≤x ≤2}，B ＝｛xx ＜1｝,则A ∩B =[D](A){x x ＜1}（B ）{x－1≤x ≤2} (C) {x－1≤x ≤1}(D) {x－1≤x ＜1}【答案】D 【解析】A ∩B = A ={x －1≤x ≤2}∩ B ＝｛xx ＜1｝= {x －1≤x ＜1}，故选D . 2.复数z =1ii+在复平面上对应的点位于[A] (A)第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】A 【解析】∵()i i i i i i z 21211112+=--=+=，∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限.故选A .3.函数f (x )=2sin x cos x 是 [C](A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数 （D ）最小正周期为π的偶函数 【答案】C【解析】因为f (x )=2sin x cos x =sin2x ，所以它的最小正周期为π，且为奇函数，选C 。
4.如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A B x x 和,样本标准差分别为s A 和s B ,则[B](A) A x ＞B x ，s A ＞s B (B) A x ＜B x ，s A ＞s B (C) A x ＞B x ，s A ＜s B(D) A x ＜B x ，s A ＜s B【答案】B5.右图是求x 1,x 2，…，x 10的乘积S 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 [D] (A)S =S*(n +1)（B ）S =S *x n +1 (C)S =S *n (D)S =S *x n【答案】D6.“a ＞0”是“a ＞0”的[A](A)充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ） f （y ）”的是 [C] （A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数 【答案】C8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 [B] （A ）2 （B ）1（C ）23（D ）13【答案】B【解析】由所给三视图知，对应的几何体为一倒放的直三棱柱'''C B A ABC -（如下图所示），其高为2，底面ABC 满足：1,2,==⊥AC AB AC AB ，故该几何体的体积为121221'=⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=⋅=∆AA S V ABC .故选B.9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为[C]（A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）4【答案】C【解析】由题设知，直线2p x -=与圆()16322=+-y x 相切，从而2423=⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛--p p .故选C .10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为 [B]（A ）y ＝[10x] （B ）y ＝[310x +] （C ）y ＝[410x +] （D ）y ＝[510x +] 【答案】B【解析】（方法一）当x 除以10的余数为6,5,4,3,2,1,0时，由题设知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10x y ，且易验证知此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10310x x ,当x 除以10的余数为9,8,7时，由题设知110+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x y ，且易验证知此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡103110x x ，故综上知，必有⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=103x y ,故选B . 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝ （1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式．．．．．为 . 【答案】13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.【解析】∵所给等式左边的底数依次分别为2,1；3,2,1； ;4,3,2,1，右边的底数依次分别为 ,10,6,3（注意：这里1046,633=+=+），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为6,5,4,3,2,1，右边的底数为216510=++.又左边为立方和，右边为平方的形式，故第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.12.已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2）若（a ＋b ）∥c ，则 m ＝ . 【答案】-113.已知函数f （x ）＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ .【答案】214.设x ，y 满足约束条件24,1,20,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为 .【答案】515.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A.（不等式选做题）不等式21x -<3的解集为.【答案】{}12x x -<<B.（几何证明选做题）如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝ cm. 【答案】165cm C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）化成普通方程为.【答案】x 2＋（y －1）2＝1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）. 16.（本小题满分12分） 已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项; （Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n . 解 （Ⅰ）由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812dd++， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n . (Ⅱ)由（Ⅰ）知2ma =2n ，由等比数列前n 项和公式得S m =2+22+23+ (2)=2(12)12n --=2n+1-2.17.（本小题满分12分） 在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.解 在△ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos ∠2222AD DC AC AD DC +-=10036196121062+-=-⨯⨯,∴∠ADC=120°, ∠ADB=60°在△ABD 中，AD=10, ∠B=45°, ∠ADB=60°，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠,∴AB =310sin 10sin 60256sin sin 4522AD ADB B ⨯∠︒===︒.18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形P A ⊥平面ABCD ，AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB ,PC 的中点. (Ⅰ)证明：EF ∥平面P AD ；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.解(Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD,∴EF∥AD,又∵AD⊄平面P AD,E F⊄平面P AD,∴EF∥平面P AD.(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥P A交AB于点G,则BG⊥平面ABCD,且EG=12P A.在△P AB中，AD=AB,∠P AB°,BP=2,∴AP=AB=2,EG=2 2.∴S△ABC=12AB·BC=12×2×2=2,∴V E-AB C=13S△ABC·EG=13×2×22=13.19 （本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：（）估计该校男生的人数；（）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；（）从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm 之间的概率。
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ii)含超详细答案[1]
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2010年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ii)含超详细答案[1]2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．23．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣24．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q46．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．4007．（5分）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x ＜﹣2或x＞2}9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣210．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B． C．D．5πa2（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．19．（12分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：性别是否需要志愿男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：P（k2＞k）0.00.0100.001k 3.841 6.63510.82820．（12分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•宁夏）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A ∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．2．（5分）（2010•宁夏）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．2【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选A．3．（5分）（2010•宁夏）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以k=y′|x=﹣1所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．4．（5分）（2010•新课标）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．5．（5分）（2010•宁夏）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选C．6．（5分）（2010•宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选B．7．（5分）（2010•新课标）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选D．8．（5分）（2010•新课标）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f （x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x ＜﹣2或x＞2}【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．9．（5分）（2010•宁夏）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣2【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．10．（5分）（2010•宁夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B． C．D．5πa2【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．11．（5分）（2010•新课标）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．12．（5分）（2010•宁夏）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A． B． C． D．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=kPN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•宁夏）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f （x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2， (x)N和y1，y2，…yN，由此得到N个点（xi ，yi）（i=1，2，…，N），再数出其中满足yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．14．（5分）（2010•宁夏）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．15．（5分）（2010•宁夏）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2 ．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．16．（5分）（2010•宁夏）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC= 60°．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，，则=．故∠BAC=60°．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）（2010•宁夏）设数列满足a1=2，an+1﹣an=3•22n﹣1（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn =nan，求数列{bn}的前n项和Sn．【分析】（Ⅰ）由题意得an+1=[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{an }的通项公式为an=22n﹣1．（Ⅱ）由bn =nan=n•22n﹣1知Sn=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，an+1=[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{an }的通项公式为an=22n﹣1．（Ⅱ）由bn =nan=n•22n﹣1知Sn=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22Sn=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•Sn=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．18．（12分）（2010•宁夏）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB ∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣），设=（x，y，z）为平面PEH的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA与平面PEH 所成角的正弦值为．19．（12分）（2010•新课标）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：性别男女是否需要志愿需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：0.00.0100.001P（k2＞k）k 3.841 6.63510.828【分析】（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【解答】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20．（12分）（2010•宁夏）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．（II）设AB的中点为N（x0，y），根据（1）则可分别表示出x和y，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得kPN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为．21．（12分）（2010•宁夏）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．22．（10分）（2010•新课标）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）23．（10分）（2010•新课标）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．24．（10分）（2010•新课标）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．参与本试卷答题和审题的老师有：minqi5；qiss；yhx01248；caoqz；xiaolizi；豫汝王世崇；lily2011；wsj1012；xiexie；zhwsd；zlzhan；涨停（排名不分先后）菁优网2017年2月3日。
2010年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解广东文
2010年广东文一、选择题（共10小题；共50分）1. 若集合A=0,1,2,3，B=1,2,4，则集合A∪B= A. 0,1,2,3,4B. 1,2,3,4C. 1,2D. 02. 函数f x=lg x−1的定义域是 A. 2,+∞B. 1,+∞C. 1,+∞D. 2,+∞3. 若函数f x=3x+3−x与g x=3x−3−x的定义域均为R，则 A. f x与g x均为偶函数B. f x为奇函数，g x为偶函数C. f x与g x均为奇函数D. f x为偶函数，g x为奇函数4. 已知数列a n为等比数列，S n是它的前n项和，若a2⋅a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5= A. 35B. 33C. 31D. 295. 若向量a=1,1，b=2,5，c=3,x满足条件8a−b⋅c=30，则x = A. 6B. 5C. 4D. 36. 若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是 A. x−2+y2=5 B. x+52+y2=5C. x−52+y2=5D. x+52+y2=57. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A. 45B. 35C. 25D. 158. " x>0 " 是 " x23>0 " 成立的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 非充分非必要条件D. 充要条件9. 如图，△ABC为正三角形，AAʹ∥BBʹ∥CCʹ，CCʹ⊥平面ABC，且3AAʹ=32BBʹ=CCʹ=AB，则多面体ABC−AʹBʹCʹ的正视图（也称主视图）是 A. B.C. D.10. 在集合a,b,c,d上定义两种运算⊕和⊗如下：⊕a b c da abc db b b b bc c b c bd d b b d ⊗a b c da a a a ab a bc dc a c c ad a d a d那么d⊗a⊕c= A. aB. bC. cD. d二、填空题（共5小题；共25分）11. 某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1,x2,x3,x4（单位：吨）．根据如图所示的程序框图，若x1、x2、x3、x4分别为1、1.5、1.5、2，则输出的结果s为．12. 某市居民2005−2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：年份20052006200720082009收入x11.512.11313.315支出Y 6.88.89.81012根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是，家庭年平均收入与年平均支出有（填“正”或“负”）线性相关关系．13. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=3，A+C=2B，则sin A=．14. 如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=a2，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF=．15. 在极坐标系ρ,θ（0≤θ≤2π）中，曲线ρcosθ+sinθ=1与ρsinθ−cosθ=1的交点的极坐标为．三、解答题（共6小题；共78分）16.设函数f x=3sin ωx+π6，ω>0，x∈−∞,+∞，且以π2为最小正周期．（1）求f0；（2）求f x的解析式；（3）已知fα4+π12=95，求sinα的值．17. 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20到40岁401858大于40岁152742总计5545100（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关?（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名?（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．18. 如图，AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FB=a．（1）证明：EB⊥FD；（2）求点B到平面FED的距离．19. 已知函数f x对任意实数x均有f x=kf x+2，其中常数k为负数，且f x在区间0,2上有表达式f x=x x−2．（1）求f−1，f2.5的值；（2）写出f x在−3,3上的表达式，并讨论函数f x在−3,3上的单调性；（3）求出f x在−3,3上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值．20. 已知曲线C n:y=nx2，点P n x n,y n x n>0,y n>0是曲线C n上的点n=1,2,⋯．（1）试写出曲线C n在点P n处的切线l n的方程，并求出l n与y轴的交点Q n的坐标；（2）若原点O0,0到l n的距离与线段P n Q n的长度之比取得最大值，试求点P n的坐标x n,y n；（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，x n与y n是满足（2）中条件的点P n的坐标，证明：m+1x n2−k+1y nsn=1<ms−ks s=1,2,…．21. 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?答案第一部分 1. A2. B3. D4. C【解析】a 2⋅a 3=a 1q ⋅a 1q 2=2a 1，a 1q 3=2，即a 4=2．又a 4与2a 7的等差中项为54，即a 4+2a 7=52，得a 7=14． 所以q =12，a 1=16．所以S 5=16 1−1251−12=31．5. C6. D【解析】由题意设圆的方程为 x −a 2+y 2=5 a <0 ，由于与直线x +2y =0相切，则5= 5得a =−5，∴圆的方程为 x +5 2+y 2=5．7. B【解析】由题意知，2⋅2b =2a +2c ，即2b =a +c ，即4 a 2−c 2 =4b 2= a +c 2，即5c 2+2ac −3a 2=0，即 5c −3a c +a =0，所以e =35． 8. A【解析】当x >0时，x 2>0，有 x 23>0，所以" x 2>0 "是" x 23>0 "成立的充分条件；x 23>0则x 2>0，所以x ≠0，所以" x >0 "是" x 23>0 "的不必要条件．综上" x >0 "是" x 23>0 "成立的充分非必要条件． 9. D 10. A【解析】由表易知，a ⊕c =c ，d ⊗c =a ．第二部分 11. 1.5 12. 13，正 13. 12【解析】因为A +C =2B ，所以B =60∘，又由正弦定理得：asin A=b sin B，所以sin A =a sin B b=323=12．14. a2【解析】在直角梯形中，连结DE ，易知△ADE 为直角三角形，而F 为中点，则EF 为斜边AD 的一半，故EF =a2． 15. 1,π2【解析】 ρ cos θ+sin θ =1ρ sin θ−cos θ =1，整理得cos θ+sin θ=sin θ−cos θ，即cos θ=0．得θ=π2或32π．当θ=π2时，ρ=1cos θ+sin θ=1sin θ=1 .因为ρ>0，所以当θ=3π2时，极坐标也是 1,π2 . 第三部分16. （1）因为函数f x =3sin ωx +π6 ,所以f 0 =3sin ω×0+π6 =3sin π6=32.（2）因为函数f x=3sin ωx+π6，ω>0，x∈−∞,+∞，且以π2为最小正周期．所以ω=4，所以f x=3sin4x+π6．（3）因为fα4+π12=95，所以3sin4α4+π12+π6=95，所以sin α+π2=35，所以cosα=35，所以1−sin2α=925，所以sin2α=1625，所以sinα=±45．17. （1）由表中数据，年龄在20至40岁间收看新闻节目的观众所占的比例为1858，而年龄大于40岁的收看新闻节目的观众所占的比例为2742，这两个比例值相差比较大，所以收看新闻节目的观众与年龄有关．（2）根据分层抽样的特点，大于40岁的观众应抽取27×545=3（名）．（3）由题意抽取的5名观众有3名大于40岁，用A，B，C表示，有2名年龄为20至40岁的，用a，b表示．在5名观众中任取2名共构成10个基本事件A,B，A,C，A,a，A,b，B,C，B,a，B,b，C,a，C,b，a,b．其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁的基本事件有6个．设“恰有1名观众的年龄为20岁至40岁”为事件D，根据古典概型的概率计算公式P D=610=35．18. （1）∵点E为AC的中点，且AB=BC，AC为直径，∴EB⊥AC．∵FC⊥平面BED，且BE⊂平面BED，∴FC⊥BE．∵FC∩AC=C，∴BE⊥平面FBD，∵FD⊂平面FBD，∴EB⊥FD．（2）∵FC⊥平面BED，且BD⊂平面BED，∴FC⊥BD，又∵BC=DC，∴FD=FB=5a，所以V F−EBD=1×S△FBD×EB=1×1×2a×5a2−a2×a=2a3 3,∵EB⊥平面BDF，且FB⊂平面BDF，所以EF=EB+FB=a+5a=6a,又因为EB⊥BD，所以ED=EB2+BD2=a2+4a2=5a,所以S△FED=1×6a×5a 2−6a =21a2,所以点B到平面FED的距离d=V F−EBD13×S△FED=421a.19. （1）由已知得f−1=kf−1+2=kf1=k×1×1−2=−k,又因为f0.5=kf2.5，所以f2.5=1kf0.5=1k−34=−34k.（2）设−2≤x<0，则0≤x+2<2，所以f x=kf x+2=k x+2x+2−2=kx x+2.设−3≤x<−2，则−1≤x+2<0，所以f x=kf x+2=k2x+2x+4.设2<x≤3，则0<x−2≤1，又因为f x−2=kf x，所以f x=1f x−2=1x−2x−4.由此f x=k2x+2x+4,−3≤x<−2, kx x+2,−2≤x<0, x x−2,0≤x≤2,1kx−2x−4,2<x≤3.因为k<0，所以由二次函数知识得f x在−3,−2上是增函数，在−2,−1上是增函数，在−1,0上是减函数，在0,1上是减函数，在1,2上是增函数，在2,3上是增函数．（3）由函数f x在−3,3上的单调性可知，f x在x=−3或x=1处取得最小值f−3=−k2 或 f1=−1,而在x=−1或x=3处取得最大值f−1=−k 或 f3=−1 .①k<−1时，而f x在x=−3处取得最小值f−3=−k2,在x=−1处取得最大值f−1=−k;②k=−1时，f x在x=−3与x=1处取得最小值f−3=f1=−1,在x=−1与x=3处取得最大值f−1=f3=1;③−1<k <0时，f x 在x =1处取得最小值f 1 =−1.在x =3处取得最大值f 3 =−1.20. （1）因为y =nx 2，所以yʹ=2nx ．又P n x n ,nx n 2 ，所以曲线C n 在点P n x n ,nx n 2 处的切线l n 为y −nx n 2=2nx n x −x n ,即y =2nx n x −nx n 2.令x =0，得Q n 0,−nx n 2 ．（2）直线l n 的一般式方程为y −2nx n x +nx n 2=0,原点到l n 的距离为d 1=n 21+4n 2x n2,线段P n Q n 的长度为d 2= x n 22n 4=x n 2n2. 所以d 1d 2=nx n 2x n 1+4n 2x n 2 =nx n1+4n 2x n2=n 1x n+4n 2x n ≤n 4n =14.当且仅当1x n=4n 2x n ，即x n =12n 时取等号，此时P n 12n ,14n ．（3）由（2）知x n =12n，y n =14n，于是m +1 x n 2− k nsn =1= m +1− k +12 n s n =1=2 n m +1+ k +1 sn =1< m −k2 n m + k sn =1= m − k 12 n sn =1现证明： 2 ns n < s s =1,2,3,⋯ ．因为12 n sn =1<1n + n −1sn =1= n − n −1sn =1=1+ 2−1 + 3− 2 +⋯+ s − s −1 = s ,故问题得证．21. 设为该儿童分别预订x 、y 个单位的午餐和晚餐，共花费z 元，则z =2.5x +4y ， 且满足以下条件12x +8y ≥64,6x +6y ≥42,6x +10y ≥54,x ,y ≥0,化简得3x +2y ≥16,x +y ≥7,3x +5y ≥27,x ,y ≥0,作出可行域如图，则z 在可行域的四个顶点A 9,0 ，B 4,3 ，C 2,5 ，D 0,8 处的值分别为z A =2.5×9+4×0=22.5,z B =2.5×4+4×3=22,z C =2.5×2+4×5=25,z D =2.5×0+4×8=32.比较之，z B 最小，因此应当为该儿童预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可以满足要求．。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷)数学试题 (理科)(解析版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式s =13V Sh=其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V Sh=24S R π=343V R π=其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}2,R A x x x =≤∈，{}4,Z B x =≤∈，则A B = （）（A）()0,2（B）[]0,2（C）{}0,2（D）{}0,1,2【答案】D【解析】{22},{0,1,2,3,4}A B={0,1,2}A x x B =-≤≤=∴⋂，,选D 命题意图：考察集合的基本运算（2）已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）（A）14（B）12（C）1（D）2【答案】A 命题意图：考察复数的四则运算【解析】2323244i iz ===-⨯4z =，14z z ⋅=（3）曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线方程为（）（A）21y x =+（B）21y x =-（C）23y x =--（D）22y x =--【答案】A【解析】''122,|2(2)x y k y x =-=∴==+ ，切线方程为[](1)2(1)y x --=--，即21y x =+.命题意图：考察导数的几何意义（4）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（）【答案】C【解析】当点P 在0P ，即0t =，P 到x。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国大纲Ⅱ卷)数学试题 ( 理科).含详解
,
所以 AD BD sin B sin BAD
33 5
13 33
25.
…………10 分
65
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类
题型难度比较低，一般出现在 17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太
大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.
2
2
（14）若 (x a )9 的展开式中 x3 的系数是 84 ，则 a
．
x
【答案】1
【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.
【解析】展开式中 x3 的系数是 C93 (a)3 84a3 84, a 1 .
（15）已知抛物线 C : y2 2px( p＞0) 的准线为 l ，过 M (1, 0) 且斜率为 3 的直线与 l 相交于点 A ，
) 的图像，故选
B.
6
4
3
（8） ABC 中，点 D 在 AB 上， CD 平方 ACB ．若 CB a ， CA b ， a 1， b 1，
则 CD =（ ）
（A） 1 a 2 b 33
【答案】B
（B） 2 a 1 b 33
（C） 3 a 4 b 55
（D） 4 a 3 b 55
【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.
【解析】由原函数解得
，即
，又
；
∴在反函数中
，故选 D.
x≥ 1,
（3）.若变量
x,
y
满足约束条件
y≥x,
则 z 2x y 的最大值为（ ）
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版ⅱ)
第1页（共5页） 2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5.00分）（2010•大纲版Ⅱ）复数（）2=（ ） A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i 2．（5.00分）（2010•大纲版Ⅱ）函数的反函数是（ ） A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0） B．y=e2x﹣1+1（x＞0） C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R） D．y=e2x﹣1+1（x∈R）
3．（5.00分）（2010•大纲版Ⅱ）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（5.00分）（2010•大纲版Ⅱ）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（ ） A．14 B．21 C．28 D．35 5．（5.00分）（2010•大纲版Ⅱ）不等式＞0的解集为（ ） A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3} C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3} 6．（5.00分）（2010•大纲版Ⅱ）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ） A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 7．（5.00分）（2010•大纲版Ⅱ）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把
函数y=sin（2x+）的图象（ ） A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 8．（5.00分）（2010•大纲版Ⅱ）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若 第2页（共5页）
=，=，||=1，||=2，则=（ ） A．+ B．+ C．+ D．+ 9．（5.00分）（2010•大纲版Ⅱ）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A．1 B． C．2 D．3
2010年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (文科)(含详解)(word版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学(文史类)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷1至3页。
第Ⅱ卷4至11页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．答I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 g 棱柱的体积公式V=Sh.()()()P A B P A P B ⋃=+ 其中S 表示棱柱的底面积.h 表示棱柱的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)i 是虚数单位，复数31ii+-=（ ） (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i 【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2i i i ii i i i +++===+（）() 【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。
(2)设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为（ ）（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）2 【答案】B【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z 取得最大值10.(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）(A)-1 (B)0 (C)1 (D)3 【答案】B【解析】 本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。
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2010年全国大纲卷 II 文一、选择题（共12小题；共60分）1. 设全集U=x∈N∗ x<6，集合A=1,3，B=3,5，则∁U A∪B= A. 1,4B. 1,5C. 2,4D. 2,52. 不等式x−3x+2<0的解集为 A. x −2<x<3B. x x<−2C. x x<−2 或x>3D. x x>33. 已知sinα=23，则cosπ−2α= A. −53B. −19C. 19D. 534. 函数y=1+ln x−1x>1的反函数是 A. y=e x+1−1x>0B. y=e x−1+1x>0C. y=e x+1−1x∈RD. y=e x−1+1x∈R5. 若变量x，y满足约束条件x≥−1,y≥x,3x+2y≤5,则z=2x+y的最大值为 A. 1B. 2C. 3D. 46. 如果等差数列a n中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+⋯+a7等于 A. 14B. 21C. 28D. 357. 若曲线y=x2+ax+b在点0,b处的切线方程是x−y+1=0，则 A. a=1,b=1B. a=−1,b=1C. a=1,b=−1D. a=−1,b=−18. 在三棱锥S−ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 A. 34B. 54C. 74D. 349. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 A. 12种B. 18种C. 36种D. 48种10. △ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB．若CB=a，CA=b，a=1，b=2，则CD=A. 13a+23b B. 23a+13b C. 35a+45b D. 45a+35b11. 与正方体ABCD−A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点 A. 有且只有1个B. 有且只有2个C. 有且只有3个D. 有无数个12. 已知椭圆C:x2a +y2b=1a>b>0的离心率为32，过右焦点F且斜率为k k>0的直线与C相交于A、B两点．若AF=3FB，则k= A. 1B.C. 3D. 2二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知α是第二象限的角，tanα=−12，则cosα=．14. x+1x 9的展开式中，x3的系数是．15. 已知抛物线C:y2=2px p>0的准线为l，过M1,0且斜率为3的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若AM=MB，则p=．16. 已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=．三、解答题（共6小题；共78分）17. △ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sin B=513，cos∠ADC=35，求AD．18. 已知a n是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=21a1+1a2，a3+a4+a5=641a3+1a4+1a5．（1）求a n的通项公式；（2）设b n= a n+1a n 2，求数列b n的前n项和T n．19. 如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．（1）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（2）设异面直线AB1与CD的夹角为45∘，求二面角A1−AC1−B1的大小．20. 如图，由M到N的电路中有4个组件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各组件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（1）求P；（2）求电流能在M与N之间通过的概率．21. 已知函数f x=x3−3ax2+3x+1．（1）设a=2，求f x的单调区间；（2）设f x在区间2,3中至少有一个极值点，求a的取值范围．22. 己知斜率为1的直线l与双曲线C：x2a −y2b=1a>0,b>0相交于B、D两点，且BD的中点为M1,3．（1）求C的离心率；（2）设C的右顶点为A，右焦点为F， DF ⋅ BF =17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．答案第一部分1. C2. A3. B 【解析】因为sinα=23，所以cosπ−2α=−cos2α=−1−2sin2α=−19．4. D 【解析】注意原函数的值域与反函数定义域相同．5. C【解析】在x=1，y=1时，z=2x+y取最大值．6. C 【解析】因为a3+a4+a5=12，所以3a4=12，a4=4，a1+a2+⋯+a7=7a4=28．7. A 8. D 【解析】过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF．∵三角形ABC为正三角形，∴E为BC的中点．∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥平面SAE．∵BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥平面SBC，则∠ABF为直线AB与平面SBC所成角．经计算AE=3，SE=23，AF=32，∴sin∠ABF=34．9. B 10. B【解析】根据角平分线定理，CBCA =DBDA=12，于是CD=23a+13b．11. D 【解析】满足题意的点有无数个，且都在正方体的体对角线B1D所在的直线上．12. B 【解析】设A x1,y1,B x2,y2，由于AF=3FB，则有y1=−3y2.由e=32，可设a=2t,c=t,b=t，代入椭圆方程整理得x 2+4y 2−4t 2=0.而直线AB 的方程为x =sy + t （s =1k ），代入x 2+4y 2−4t 2=0，消去x 并整理得s 2+4 y 2+2 3tsy −t 2=0,那么y 1+y 2=−2 3ts s 2+4,y 1y 2=−t 2s 2+4.把y 1=−3y 2代入得−2y 2=−2 3ts 2,−3y 22=−t 22,消去y 2，解得s = 22，从而k = ．第二部分 13. −2 5514. 8415. 2【解析】直线AB :y = x − y 2=2px ，得3x 2+ −6−2p x +3=0，又AM =MB ，所以x B =12p +2，解得p 2+4p −12=0，即p =2，p =−6（舍去）．16. 3【解析】如图，作NE 垂直AB 于E ，因为ON =3，球半径为4，所以小圆N 的半径为 ，又因为小圆N 中弦长AB =4，所以NE = 可得ME = 3．在直角三角形ONE 中，又NE = 3，ON =3，故∠EON =π6，即∠MON =π3，所以MN =3． 第三部分17. 由cos ∠ADC =35>0，知B <π2．由已知得cos B =1213,sin ∠ADC =45, 从而sin ∠BAD =sin ∠ADC −B=sin ∠ADC cos B −cos ∠ADC sin B =45×1213−35×513=3365. 由正弦定理，得ADsin B =BDsin ∠BAD ，所以AD=BD⋅sin B=33×5133365=25.18. （1）设公比为q，则a n=a1q n−1．由已知有a1+a1q=211+11,a1q2+a1q3+a1q4=641a1q2+1a1q3+1a1q4.化简得a12q=2,a12q6=64.又a1>0，故q=2，a1=1．所以a n=2n−1．（2）由（1）知b n= a n+1n2=a n2+1n+2=4n−1+1+2.因此T n=1+4+⋯+4n−1+1+1+⋯+1n−1+2n=4n−1+1−14n1−14+2n=14n−41−n+2n+1.19. （1）法一：如图，连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1B1B为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1．又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B，得CG⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，易得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．法二：以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，射线BB1为y轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B−xyz．设AB=2，则A2,0,0,B10,2,0,D0,1,0,E 12,32,0.又设C1,0,c，则DE=12,12,0,B1A=2,−2,0,DC=1,−1,c.于是DE⋅B1A=0，DE⋅DC=0，故DE⊥B1A，DE⊥DC．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）解法一：因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45∘．设AB=2，则AB1=22,DG=2,CG=2,AC= 3.如图，作B1H⊥A1C1，H为垂足．因为底面A1B1C1⊥面AA1C1C，故B1H⊥面AA1C1C，又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，易得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1−AC1−B1的平面角．又B1H=A1B1×A1C12−12A1B1A1C1=223HC1=B1C12−B1H2=33,所以tan∠B1KH=B1HHK=14，所以二面角A1−AC1−B1的大小为arctan14．解法二：因为 B1A,DC等于异面直线AB1与CD的夹角，故B1A⋅DC=B1A⋅DC cos45∘,即22××22=4,解得c=，故AC= −1,0,2．又AA1=BB1=0,2,0，所以AC1=AC+AA1= −1,2,2.设平面AA1C1的法向量为m=x,y,z，则m⋅AC1=0,m⋅AA1=0,即−x+2y+2z=0,2y=0.令x=2，则z=1,y=0，故m=2,0,1．设平面AB1C1的法向量为n=p,q,r，则n⋅AC1=0,n⋅B1A=0,即−p+2q+2r=0,2p−2q=0.令p=2，则q=2,r=−1，故n=2,2,−1．所以cos m,n=m⋅n=15.由于m,n等于二面角A1−AC1−B1的平面角，所以二面角A1−AC1−B1的大小为arccos1515．20. （1）记A i表示事件：电流能通过T i，i=1,2,3,4，A表示事件：T1,T2,T3中至少有一个能通过电流，由A=A1⋅A2⋅A3，A1,A2,A3相互独立，得P A =P A1⋅A2⋅A3=P A1 P A2 P A3=1−p3,根据题意得P A =1−P A=1−0.999=0.001,从而1−p3=0.001,解得p=0.9.（2）记B表示事件：电流能在M与N之间通过，则B=A4+A4⋅A1⋅A3+A4⋅A1⋅A2⋅A3,所以P B=P A4+A4⋅A1⋅A3+A4⋅A1⋅A2⋅A3=P A4+P A4⋅A1⋅A3+P A4⋅A1⋅A2⋅A3=P A4+P A4 P A1P A3+P A4 P A1 P A2P A3=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891.21. （1）当a=2时，f x=x3−6x2+3x+1，fʹx=3 x−2+3 x−2−3．当x∈ −∞,2−3时，fʹx>0，f x在 −∞,2−3上单调递增；当x∈2−3,2+3时，fʹx<0，f x在2−3,2+3上单调递减；当x∈2+3,+∞ 时，fʹx>0，f x在2+3,+∞ 上单调递增．综上，f x的单调增区间是 −∞,2−3和2+3,+∞ ，f x的单调减区间是2−3,2+3．（2）对f x求导得fʹx=3x−a2+1−a2．当1−a2≥0时，fʹx≥0，f x为增函数，故f x无极值点；当1−a2<0时，fʹx=0有两个根x1=a−a2−1,x2=a+a2−1.由题意，知2<a−a2−1<3, ⋯⋯①或 2<a+a−1<3, ⋯⋯②经计算发现①式无解，②式的解为54<a<53，因此a的取值范围是54,53．22. （1）由题设知，l的方程为y=x+2．代入C的方程，并化简，得b2−a2x2−4a2x−4a2−a2b2=0.设B x1,y1、D x2,y2，则x1+x2=4a222,x1⋅x2=−4a2+a2b222, ⋯⋯①由M1,3为BD的中点知x1+x22=1，故12×4a2b2−a2=1，即b2=3a2, ⋯⋯②故c= a2+b2=2a，所以C的离心率e=ca=2．（2）由①②知，C的方程为3x2−y2=3a2，A a,0，F2a,0，x1+x2=2，x1x2=−4+3a22<0，故不妨设x1≤−a，x2≥a．BF =x1−2a2+y12=x1−2a2+3x12−3a2=a−2x1，FD =x2−2a2+y22=x2−2a2+3x22−3a2=2x2−a，所以BF ⋅ FD =a−2x12x2−a=−4x1x2+2a x1+x2−a2=5a2+4a+8.又 BF ⋅ FD =17，故5a2+4a+8=17，解得a=1或a=−95（舍去）．故BD =2x1−x2=2⋅ x12212=6.连接MA，则由A1,0，M1,3知 MA =3，从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切．所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．。