第二十一章二次根式教案
九年级数学教案第二十一章“二次根式”简介
第二十一章“二次根式”简介课程教材研究所左怀玲本章内容“二次根式”是《数学课程标准》中“数与代数”领域的重要内容。
从《数学课程标准》看，关于数的内容，第三学段主要学习有理数和实数。
对于有理数和实数，本套教课书主要分三章编写，分别是7年级上册第1章“有理数”，7年级下册第10章“实数”和本章“二次根式”。
本章是在第10章的基础上继续研究有关实数的内容。
在第10章“实数”中，学生学习了一些有关实数的概念和运算，所学概念主要有平方根、算术平方根、立方根以及无理数和实数的概念；关于运算，主要是利用平方运算和立方运算求某些数的平方根和立方根，并对有理数的运算性质和运算法则在实数的运算中仍然成立这一点有所体验。
本章是在第10章的基础上，进一步研究二次根式的概念和运算。
在本章中，学生将学习二次根式的概念、性质、运算法则和化简的方法，通过对二次根式的概念和性质的学习，学生将对实数的概念有更深刻的认识，通过对二次根式的加、减、乘、除运算的学习，学生将对实数的简单四则运算有进一步的了解。
学习本章的关键是理解二次根式的概念和性质，它们是学习二次根式的化简与运算的依据，重点是二次根式的化简和运算，难点是正确理解二次根式的性质和运算法则的合理性。
本章内容与已学“实数”“整式”“勾股定理”等内容联系紧密，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。
本章教学时间约需9课时，具体分配如下（仅供参考）：21．1 二次根式约2课时21．2 二次根式的乘除约2课时21．3 二次根式的加减约3课时数学活动小结约2课时一、教科书内容与课程学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容本章内容分为三节，第一节主要学习二次根式的概念和性质，本节既是第10章相关内容的发展，同时又是后面两节内容的基础，因此本节起承上启下的作用；第二节是二次根式的乘除运算，主要研究二次根式的乘除运算法则和二次根式的化简；第三节是二次根式的加减，主要研究二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。
二次根式教案(实用7篇)
二次根式教案（实用7篇）二次根式教案第1篇一、教学目标1．理解分母有理化与除法的关系．2．掌握二次根式的分母有理化．3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想二、教学设计小结、归纳、提高三、重点、难点解决办法1．教学重点：分母有理化．2．教学难点：分母有理化的技巧．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、多媒体六、师生互动活动设计复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主七、教学过程【复习提问】二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式．例1 说出下列算式的运算步骤和顺序：（1）（先乘除，后加减）．（2）（有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．（3）辨别有理化因式：有理化因式：与，与，与…不是有理化因式：与，与…化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）．例如：等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？引入新课题．【引入新课】化简式子，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以的有理化因式，而这个式子就是，从而可将式子化简．例2 把下列各式的分母有理化：（1）；（2）；（3）解：略．注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据．式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单．二次根式教案第2篇1.教学目标(1)经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程;会进行简单的二次根式的乘法运算;(2)会用公式化简二次根式.2.目标解析(1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容;(2)学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难.运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气.，培养学生良好的运算习惯.在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：(1)如果被开方数是分数或分式(包括小数)，可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简(例见教科书例6解法1)，也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号(例见教科书例6解法2);(2)如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简.本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简.教学过程设计1.复习引入，探究新知我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.问题1 什么叫二次根式?二次根式有哪些性质?师生活动学生回答。
新人教版九年级上册第二十一章二次根式 21.1二次根式优质课教学设计完美版
通过例题分析和 练习加深对二次 根式“运算结果 和被开方数双非
1、若 x 2 m ，则 x 和 m 的取值范围是 x_____；m______. 且还要考 虑二次 根式的 负”的理解. 位置. 2、已知 x 3 y 5 0 ，求 x, y 的值各是多少？ (二)两个运算性质 活动 5、完成课本探究 1
学生独立完成后，教师订 正；并 引导 学生 观察得 出：四个式子表示的都是 非负数的算术平方根. 教师可指 出算术 平方根 即正的平方根.
算术平方根的意 义是得出二次根 式的性质的基 础，复习算术平 方根的意义便于 理解定义、归纳 性质. 让学生理解二次 根式是按形式定 义的，并理解二 次根式存在的条 件和运算结果的
65，简称根号 65(只有二 次可简称)，也可读作 65 ① 9 的运算结果是 3， 9 是不是二次根式？3 是不是？ 的算术平方根. ②定义中为什么要加 a ≥0？若 a<0， a 表示什么？有无意 可由学生 思考后 进行讨 义？ 论，然后教师订正，最后 ③当 a=0 时， a 表示什么？结果是什么？当 a>0 时， a 表 师生共同 归纳得 出性质 1： 示什么？可不可能为负数？ a ( a ≥0)是什么样的数呢？ a ( a ≥0) 是一个非负 例 1、当 x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二 数 次根式有意义的情况下，其运算结果是怎样的实数？ 1 ， 师生共同 分析归 纳出使 x2， x2 3 x 1 二次根式有意义的条件： 练习：1、课本思考 2：当 x 是怎样的实数时， x2 ， x3 有 不是使字母为非负数，而 是使被开方数为非负数， 意义？
过 程 目 标 方 法 情 感 态 度 教学重点 教学难点
3 . 通过探究
a 和
第二十一章第2节二次根式的乘除
（1）；（2）；（3）；（4）－．
分析：600＝6×102，1000＝10×102，27＝3×32，a3＝a·a2等，先把这些数分解，然后把能开尽方的开方后移到根号前面，最后化去根号下的分母．
解：（1）＝＝10；
（2）＝＝＝；
（3）＝＝3ab；
（4）－＝－＝－×＝－＝－．
年级
初三
学科
数学
版本
人教新课标版
内容标题
二次根式的乘除
编稿老师
安廷玲
【本讲教育信息】
一、教学内容：
二次根式的乘除
1.二次根式的乘除法则．
2.最简二次根式的定义．
二.知识要点：
1.一般地，对二次根式的乘法规定：
·＝（a≥0，b≥0）．
把·＝反过来，就得到＝·，利用它可以进行二次根式的化简．
化简时应注意：
（1）；（2）；（3）．
分析：（1）题中的带分数化成假分数；（2）题直接应用性质化简；（3）题先将分母化简，再化去分母中的根号．
解：（1）＝＝；
（2）＝＝＝＝；
（3）＝＝＝＝．
评析：（1）按课本约定，题中字母a、b、c、x、y均为正数，可以直接应用二次根式的性质＝a（a≥0）；（2）化去分母中的根号时，一般先把分子、分母中的根式化简，再约分，最后分子、分母同乘一个适当的式子（如（3）题中的）化去根号；（3）题还可以这样做＝＝＝＝ ＝．
评析：有关二次根式的运算结果都要化简为最简二次根式（或有理式），化简的主要方法有；（1）将被开方数中能开尽方的因式开方后写在根号外；（2）被开方数有分母的用性质＝（a≥0，b＞0）转化后，化去分母的根号．
例4.用简便方法计算．
（1）－6×（－4）；来自（2）；（3）；（4）3c÷．
人教版第二十一章二次根式教案新部编本
精品教学教案设计| Excellent teaching plan教师学科教案[20 -20学年度第—学期]任教学科：________________ 任教年级：________________ 任教老师：________________xx市实验学校r \・第二十一章二次根式教学时间:课题：21.1二次根式课型：新授课教学目标:1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义2、会确定二次根式有意义的条件，知道..a（a > （是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算，3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究■. a彳和..a2所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质教学重点：1. ..a有意义的条件.2.a寸< a的应用.3. ..a2•和a2的运算、化简教学难点：当a<0时,a2的化简教学过程：一、复习引入在勾股定理和四边形两章中，已经用到过简单的二次根式运算，在本章中将系统地学习二次根式的运算。
本课只学习二次根式的概念及其三个运算性质、探究新知（一）定义及非负性活动1、填空，完成课本思考1：.65 , S , 2 , h\ 5活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法活动4、思考下列问题：①9的运算结果是3, 9是不是二次根式？3是不是？②定义中为什么要加a >C?若a<0, ./a表示什么？有无意义？③当a=0时，、、a表示什么？结果是什么？当a>0时，、• a表示什么？可不可能为负数?a （a > （是什么样的数呢？例1、当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下, 其运算结果是怎样的实数？, __ 1 ;_________________E x 2 , ------- , x 3v'x 1练习：1、课本思考2 :当x是怎样的实数时，.X2, , X3有意义？1、若J x 2 m，则x和m的取值范围是x ______________ ；m _____ .2、已知x 3 ... y 5 0，求x,y的值各是多少？（二）两个运算性质活动5、完成课本探究1—2活动6、对,a中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变•练习：课本例2活动7、完成课本探究2活动8对,a2中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数练习：课本例3补充练习：1、化简：、、（4）2，. （2 ,3）2；2、直角三角形的三边分别为a，b，c,其中c为斜边，则式子.a - c与式子.（a c）2有什么关系？三、课堂训练完成课本中两个练习.1、dm 1 m成立的条件是_____________ .2、& m 1 m成立的条件是 ___________ .四、小结归纳1、二次根式的概念及被开方数非负”的条件和运算结果非负”的性质.2、二次根式的两个运算性质，平方为父对象”开方为子对象”.3、简单介绍代数式的概念.4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录.五、作业设计必做：P5：1、2、3、4、5、6选做：P6：7、8教学反思教学时间：教学课题：21.2二次根式的乘除（第1课时）教学课型: 新授课教学目标：1•会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算2•会利用积的算术平方根性质化简二次根式经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公式的双向性得到积的算术平方根性质•3•通过例题分析和学生练习，达成目标1, 2,认识到乘法法则只是进行乘法运算的第一步，之后如果需要化简，进行化简，并逐步领悟被开方数的最优分解因数或因式的方法教学重点：双向运用品T ab （a >0, b>0进行二次根式乘法运算教学难点：被开方数的最优分解因数或因式的方法教学过程一、复习引入：上节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节课开始学习二次根式的运算，先来学习乘法运算二、探究新知（一）二次根式乘法法则活动1、1填空，完成课本探究12•用1中所发现的规律比较大小36X 4 _____ , 36 4 ；- 2 X- 3 _______ . 6活动2、给出二次根式的乘法法则活动3、思考下列问题：①公式中为什么要加 a >0, b >0②两个二次根式相乘其实就是___________ 不变， ____________ 相乘③<b 丘（a > 0, b >0c>0 = __________________练习：课本例1,在（1）（2）之后补充（3）• a、4a归纳：运算的第一步是应用二次根式乘法法则，最终结果尽量简化（二）积的算术平方根性质活动4•将二次根式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质完成课本例2,在（1）（2）之间补充..48归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式分解，然后再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根号外例3•计算:(1) .14 . 7 (2) 3、、5 2 .、10 ； ( 3) , 3x3xy分析：（1）第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而是先观察因式或因数的特点，再确定是否需要利用乘法交换律和结合律以及乘方知识将被开方数的积变形为最大平方数或式与剩余部分的积，最后将最大平方数或式开方后移到根号外（2）运用乘法交换律和结合律将不含根号的数或式与含根号的数或式分别相乘，再把这两个积相乘•，之后同（1）三、课堂训练完成课本练习•补充：1. x 1 x 1 x2 1成立，求x的取值范围•2•化简：x3y x 0四、小结归纳1•二次根式乘法公式的双向运用；2•进行二次根式乘法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法五、作业设计必做：P12：1、3（1）（2）、4补充作业：1 •计算:3•等边三角形的边长是3,求这个等边三角形的面积教学时间：教学课题：21.2二次根式的乘除（第2课时）教学课型：新授教学目标：1•会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算2•会利用商的算术平方根性质化简二次根式3•理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式•4通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法教学重点: 双向运用(a 0 b 0) 进行二次根式除法运算教学难点：能使用分母有理化方法进行二次根式的除法运算教学过程：一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的乘法，这节课学习二次根式的除法运算二、探究新知（一）二次根式除法法则活动1、1填空，完成课本探究12•用1中所发现的规律比较大小2 2 ； 2 ___________ 28 .8 .5 5活动2、给出二次根式的除法法则活动3、思考下列问题：①公式中为什么要加 a >0, b>0②两个二次根式相除其实就是 ___________ 不变，____________ 相除练习：课本例4，在（1）（2）之后补充（3）..4a3 ,a归纳：运算的第一步是应用二次根式除法法则，最终结果尽量简化（二）商的算术平方根性质活动4•将二次根式除法公式逆用得到商的算术平方根性质完成课本例5归纳：化简被开方式含有分数线的二次根式，就是将分子的算术平方根做分子，分母的算术平方根做分母，再利用积的算术平方根分别化简例6•计算： (1)- 3 (2) 3 - 2 ; ( 3) - 8诙J27 v'2a分析：第一步可以把被开方数相除，然后告诉学生被开方数中不能含有分母，数必须是整数,利用分数的基本性质将分母变成完全平方数，开方后移到根号外；也可以直接模仿分数 的基本性质和公式(、.a)2 a , a v b ... ab(a 0,b 0)，以去掉分母中的根号(三) 最简二次根式概念活动5、让学生观察所做习题结果，总结归纳结果的特点，得到最简二次根式的概念 .分析概念：1•被开方数不含分母的含义指-----因数是整数，因式是整式；2•被开方数中不能含开得尽方的因数是指----被开方数不能分解出完全平方数； 被开方数中不含开得尽方的因式是指----被开方数的每一个因式的指数都小于根指数 2，因此，每一个因式的指数都是1. 完成课本例7 补充：化简x 2y 4 x 4y 2注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和 三、课堂训练 完成课本练习• 补充：2.找出下列根式中的最简二次根式3•判断下列等式是否成立.16 94 33 3'■.2 、2四、小结归纳1.二次根式除法公式的双向运用;2.进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法3. 最简二次根式概念五、作业设计X 1成立，求X 的取值范围 X 11. .X 1必做：P12：2、3（3）（4）、5、6、7选做：P12：8、9、10教学时间：教学课题：21.2二次根式的加减(第1课时) 教学课型：新授课教学目标：1. 知道在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立2. 能熟练将二次根式化简成最简二次根式3•会运用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算教学重点：二次根式加减法运算方法教学难点：二次根式的化简，合并被开方数相同的最简二次根式教学过程一、复习引入上节课学习了二次根式的乘除法，这节课学习二次根式的加减法运算二、探究新知(一)二次根式加减法法则活动1、类比计算，说明理由① 2 a +3 a ； 2 2 3.、2.②2a -3 a ； 2 2 3、2.③、.3 . 12 ；.. 12 , 18思考：(1)在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？(2)二次根式的加减运算与整式的加减运算相同之处是什么？(3)什么样的二次根式能够合并？(4)模仿整式的加减运算怎样进行二次根式的加减运算？活动2、给出二次根式的加减法法则分析法则：二次根式加减时，先将非最简二次根式化为最简二次根式，再逆用乘法分配律将被开方数相同的二次根式进行合并.被开方数不同的最简二次根式不能合并，作为最后结果中的部分.练习：①课本例1，补充(3) 2 ,18 (4) ” 1.8\ 2②课本例2，补充..24 1、1.. 6\2 \8分析说明：①中补充（3）结果为负，（4）含分数线，作为例1,例2的过渡。
二次根式教案【必备7篇】
二次根式教案【必备7篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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人教版-数学-八年级下册-第二十一章二次根式教案设计
“二次根式”教材分析和教案设计一、教材分析新教材打破了旧教材从定义出发，由理论到理论，按部就班的旧格局，创造出从实践到理论再回到实践，由浅入深，符合认知结构的新模式。
其主要的特点和优点有：（一）以四则运算贯穿全章的始末，使教学有明确的主攻方向。
新教材一改旧教材中概念性质与运算脱节的陈规，以运算为主线进行编排。
对于概念性质则根据它们在运算中所起的作用，穿插介绍，有机地与运算结合。
这样，在教学过程中学生能清楚地认识到，为了解决实际问题必须学习根式运算；为了探求根式运算法则就必须研究根式的概念和性质。
由于学生的学习目的性明确，一开始就带着问题以极大的热情投入学习。
从上章算术平方根的概念出发，很快地掌握了二次根式的意义和基本性质。
紧接着把这些基本性质用到二次根式乘除中去，并且解决了实际问题。
接着教师又提出新的问题，引导学生研究二次根式的化简和加减运算。
这样，一环扣一环，研究一个个运算，解决一个个实际问题，突破一个个难点，最后成功地完成全章的教学任务。
（二）先乘除后加减，由易到难，由简到繁编排教材，符合学生的认识心理。
旧教材先讲二次根式的加减法，后讲二次根式的乘除法。
因为要掌握加减法，就得先研究根式的化简，而根式的化简实际上可以通过根式的乘除来实现，可是乘除法未学，不能超前使用这个工具，只好一个个地从定义出发来化简，这样增加了运算的难度。
新教材克服了旧教材的弊端，先介绍乘除法后介绍加减法，而乘除法比加减法容易学，这样由浅入深，循序渐进地学习，困难不大。
在化简根式时，除了从定义出发外，还可以运用除法。
知识是一种越用越多的财富。
运用乘除法来化简根式，不仅可以复习巩固乘除法则，而且增加了化简根式的工具。
乘除的基础打好了，又增添了化简根式的工具，因而根式加减的困难也就迎刃而解了。
二、教学方法如果把教材比做一张蓝图，那么编者就是这幅蓝图的总设计师，而教师便是忠实的施工员。
首先，施工员要领会设计师的匠心和设计意图，忠实地按图施工。
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21.1 二 次 根 式
杨 师 红
教学目标：1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义
2、会确定二次根式有意义的条件，知道a (a ≥0)是非负数，并会运用会进行二 次根式的平方运算，
3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究
()2a 和2a 所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质
教学重点：1. a 有意义的条件；2. a ≥0时 a ≥0的应用；3.
()2a 和2a 的运算、化简； 教学难点：当a <0时2a 的化简；
教学过程：
一、复习旧知，引入新课
在勾股定理和四边形两章中，已经用到过简单的二次根式运算，在本章中将系统地学习二次根式的运算。
本课只学习二次根式的概念及其三个运算性质.
二、探究新知
（一）定义及非负性
活动1、填空，完成课本思考1：
65，S ，2，5h
活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法.
活动4、思考下列问题： ①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3是不是？
②定义中为什么要加a ≥0？若a<0，a 表示什么？有无意义？
③当 a=0时，a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？
例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其
运算结果是怎样的实数？
2-x ， 11
+x ， 32+x
练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时，2x ，3x 有意义？
1、若m x -=-2，则x 和m 的取值范围是x_____；m______.
2、已知053=-++y x ，求y x ,的值各是多少？
（二）两个运算性质
活动5、完成课本探究1
活动6、对
()2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变.
练习：课本例2
活动7、完成课本探究2
活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果
不变；一个负数先平方再开方结果为相反数.
练习：课本例3
三、课堂训练
完成课本中两个练习.
1、m m =-1-1 成立的条件是_______.
2、m m =+1+1成立的条件是_______.
四、小结归纳
1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质.
2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”.
3、简单介绍代数式的概念.
4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录.
五、布置作业
必做：教材P5：1、2、3、4、5、6
选做：教材P6：7、8。