命题与证明学案
第12课时 命题、定理 (教学案)
『教案』命题、定理（新授课）【理论支持】义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体。
《数学课程标准》指出：对学生数学学习的评价，既要关注学生学习的结果，更要关注学生在学习过程中的变化和发展；既要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学实践活动中所表现出来的情感和态度。
心理学认为：认知从感知开始，感知是认知的门户，是一切知识的来源。
在课堂教学中，让学生人人参与、积极动手动脑、合作交流的探究活动，能激发学生学习数学的兴趣，对提高学生的数学素养和数学意识也是十分有意义的。
“相交线与平行线”这一章对七年级学生来说是新的知识，但并不陌生。
这一部分知识是学生以后学习平面几何与立体几何的基础，在生活中也是处处可见的，所以很重要。
有了这些知识，我们才能更好的理解几何中的一些位置关系与性质，这也是图形变换的基础。
本节课研究的内容“命题、定理”不是本章的重点内容，但也是非常重要的知识，是以后学习推理证明的基础，更是培养学生有条理的思考和表达的一个重要环节。
因此，让学生正确而深刻地理解命题和定理也很重要。
教学对象分析：1．初一学生性格开朗活泼，对新鲜事物特别敏感，且较易接受，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，直观形象，且贴近学生的生活，从而引起学生的有意注意。
2.初一学生的概括能力较弱，推理能力还有待发展，所以在教学时，可让学生充分探讨、分析，帮助他们直观形象地感知。
3.初一学生已经具备了一定的学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究。
总之，通过本节课的研究，旨在培养学生的逻辑推理能力。
教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，体验推理论证的作用。
【教学目标】【教学重难点】1. 重点：命题的概念和区分命题的题设和结论。
1.1.2-3 四种命题、四种命题间的相互关系 学案(人教A版选修2-1).DOC
1．1.2四种命题1．1.3四种命题间的相互关系【课标要求】1．了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．2．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系．3．会利用命题的等价性解决问题．【核心扫描】1．结合命题真假的判定，考查四种命题的结构．(重点)2．掌握四种命题之间的相互关系．(重点)3．等价命题的应用．(难点)自学导引1．四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”．(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．也就是说，若原命题为“若p，则q”则否命题为“若綈p，则綈q”．(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为“若綈q，则綈p”．想一想：任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题吗？提示任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.逆命题否命题逆否命题真真真假假真真真假(2)①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．想一想：在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0,2,4.名师点睛1．四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p与q的否定，则四种命题的形式可表示为：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若綈p，则綈q；逆否命题：若綈q，则綈p.(1)关于四种命题也可叙述为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；③交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．(2)已知原命题，写出它的其他三种命题，首先将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动．如“已知a，b为正数，若a>b，则|a|>|b|”中，“已知a，b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都把它作为大前提．2．四种命题的真假关系原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真；原命题的逆命题为真，它的否命题一定为真．3．四种命题的等价关系的应用判断某个命题的真假，如果直接判断不易，可转化为判断它的逆否命题的真假，如带有否定词的命题真假的判断．因此，证明某一问题时，若直接证明不容易入手，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.题型一四种命题之间的转换【例1】写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.[思路探索]可先分清命题的条件和结论，写成“若p，则q”的形式，再写出逆命题、否命题和逆否命题．解(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.规律方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．【变式1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)垂直于同一平面的两直线平行；(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．解(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0.否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0.题型二四种命题真假的判断【例2】有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．[思路探索]可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关知识判断真假．解析①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题．②“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝0，b＝－1，a2≤b2，但a>b，故是假命题．③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．④“相等的角是同位角”是假命题．答案 1规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．【变式2】下列命题中是真命题的是()．A．命题“若0<log a b<1，则0<a<1<b”的逆命题B．命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题C．命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题D．命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题解析对于A，逆命题为“若0<a<1<b，则0<log a b<1”，由对数函数图象得，当0<a<1<b 时，log a b<0，∴A为假；B项，逆命题是“若b2＝9，则b＝3”，它未必成立，因为b可能等于－3，所以B为假；C项，否命题是“当x≠2时，x2－3x＋2≠0”，因为x＝1时也可以使x2－3x＋2＝0成立，所以为假；D项，逆否命题是“两个三角形对应角不相等，则这两个三角形不相似”，因为原命题与逆命题同真假，且原命题为真，所以逆否命题为真，故选D.答案 D题型三等价命题的应用【例3】(12分)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．审题指导本题的命题意图是考查逆否命题的应用．由于原命题与它的逆否命题同真同假，所以可写出原命题的逆否命题，再判断其真假，或者由判断原命题的真假得出逆否命题的真假．[规范解答] 法一 原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下： 3分∵抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7， 6分 若a <1，则4a －7<0.即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点. 9分 所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真. 12分 法二 先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0， 4分 即4a －7≥0，解得a ≥74. 8分 因为a ≥74，所以a ≥1，所以原命题为真． 又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．12分【题后反思】 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．【变式3】 判断命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题的真假． 解 ∵m >0，∴12m >0，∴12m ＋4>0.∴方程x 2＋2x －3m ＝0的判别式Δ＝12m ＋4>0.∴原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题也为真．方法技巧 反证法的应用1．反证法的理论基础：反证法就是证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立．由于互为逆否命题的两个命题具有等价性，从逻辑角度看，原命题为真，则它的逆否命题也为真．在直接证明原命题有困难时，就可转化为证明它的逆否命题成立．2．反证法的思想方法：命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若非q ，则非p ”，假设q 不成立，即非q 成立，由此进行推理，则非p 一定成立，这与p 成立矛盾，那么就说明“假设q 不成立”为假，从而可以导出“若p ，则q ”为真，达到论证的目的，这就是反证法的思想方法．3．反证法证明命题的步骤：(1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的否定成立；(2)归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)说明：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．否定结论是反证法的第一步，它的正确与否，对于反证法有直接影响．【示例】 若a 2＋b 2＝c 2，求证：a ，b ，c 不可能都是奇数．[思路分析]可以证明原命题的逆否命题为真命题，也可以运用反证法．证明 法一 依题意，就是证明命题“若a 2＋b 2＝c 2，则a ，b ，c 不可能都是奇数”为真命题．为此，只需证明其逆否命题“若a ，b ，c 都是奇数，则a 2＋b 2≠c 2.”为真命题即可．∵a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数．于是a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，即a2＋b 2≠c 2.∴原命题的逆否命题为真命题，所以原命题成立．法二 假设a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数．得a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，即a 2＋b 2≠c 2，与a 2＋b 2＝c 2矛盾．所以假设不成立，从而原命题成立．方法点评上述两种证明方法的本质是一致的，只是叙述的格式不同罢了，而以什么方式表达某一数学事实，这仅是阐述理由的外在表现形式，绝不影响数学事实的本质特点．两种方法相比较，反证法更具有“程式化”特点．注意含有否定词的命题常用反证法证明.。
学案2：13.3 数学归纳法
13.3 数学归纳法考纲解读1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．数学归纳法多用于证明与正整数n 有关的不等式及数列问题，一般出现在解答题中，但不排除在客观题中考查数学归纳法的原理和证明步骤．高考常见的题型有：证明等式问题，证明不等式问题，证明整除问题和解决数列中的探究性问题等．考点梳理1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设____________(k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当____________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有__________都成立．2．数学归纳法主要用于解决与________有关的数学命题，证明时，它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可．基础自测使不等式2n ＞n 2＋1对任意n ≥k 的自然数都成立的最小k 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a (a ≠1，n ∈N *)”，在验证n ＝1时，左端计算所得的结果是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3 f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k ＋1成立时，总可推出f (k ＋1)≥k ＋2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<2成立，则f (10)<11成立B ．若f (3)≥4成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k ＋1C ．若f (2)<3成立，则f (1)≥2成立D ．若f (4)≥5成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立用数学归纳法证明：设f (n )＝1＋12＋13＋ (1)，则n ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝nf (n )(n ∈N ＋，n ≥2)，第一步要证的式子是________________．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)”时，从n ＝k到n ＝k ＋1，等式的左边需要增乘的代数式是____________．典例解析类型一 证明等式证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．对于n ∈N *，用数学归纳法证明：1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)(n ＋2)．类型二 证明不等式用数学归纳法证明：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324(n ≥2 ，n ∈N )．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1(n ∈N *)．名师点津1．数学归纳法的两个步骤缺一不可，另外，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法．2．在n ＝k 到n ＝k ＋1的证明过程中寻找由n ＝k 到n ＝k ＋1的变化规律是难点，突破的关键是分析清楚p (k )与p (k ＋1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，从p (k ＋1)中分离出p (k )．3．证明不等式的方法多种多样，故在用数学归纳法证明不等式的过程中，比较法、放缩法、分析法等要灵活运用．答案考点梳理1．(2)n ＝k n ＝k ＋1 正整数n2．正整数基础自测解：21＝12＋1，22＜22＋1，23＜32＋1，24＜42＋1，25＞52＋1，…，则使不等式成立的最小k 值为5，故选D.解：当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2.故选C.解：根据题意，若f (4)≥5成立，则f (n 0＋1)≥n 0＋2(n 0≥4)，即f (k )≥k ＋1(k ≥5)．综合f (4)≥5，所以当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立．故选D.解：∵n ≥2，∴n 0＝2.观察等式左边最后一项，将n 0＝2代入即可得2＋f (1)＝2f (2)．故填2＋f (1)＝2f (2)．解：当n ＝k 时，等式左边＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，等式左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋1＋k ＋1) ＝1)2)(1)(()3)(2)(1(++++++•⋯•+++k k k k k k k k k k ＝2(2k ＋1)(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )．观察、比较可知，从n ＝k 到n ＝k ＋1，等式的左边需要增乘的代数式是2(2k ＋1)．故填2(2k ＋1)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 那么，当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2. 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．【评析】用数学归纳法证明与正整数n 有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1时等式两边的构成规律，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝16×1×2×3＝1，等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)， 那么，当n ＝k ＋1时，1·(k ＋1)＋2·k ＋3·(k －1)＋…＋k ·2＋(k ＋1)·1＝1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＋1＋2＋…＋(k ＋1)＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋（k ＋1）（k ＋2）2＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．证明：(1)当n ＝2时，左边＝12＋1＋12＋2＝712＞1324成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N )时不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＞1324成立， 则当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋…＋1k ＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＞1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1， 而12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－12k ＋2 ＝1（2k ＋1）（2k ＋2）＞0. 综合(1)(2)知，原不等式成立．【评析】从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加的项为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1，证明时应注意左边代数式的变化规律，弄清增加的项后再恰当使用放缩法证明．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，命题成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1. 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2≥3k 2k ＋1＋1（k ＋1）2. 令f (k )＝3k 2k ＋1＋1（k ＋1）2－3（k ＋1）2（k ＋1）＋1，则f (k )＝1（k ＋1）2－3（2k ＋1）（2k ＋3）＝（2k ＋1）（2k ＋3）－3（k ＋1）2（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3） ＝k （k ＋2）（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）. ∵k ≥1，∴f (k )>0，即3k 2k ＋1＋1（k ＋1）2>3（k ＋1）2（k ＋1）＋1. 由(1)(2)知，不等式对任何n ∈N *都成立．。
2.2.1 定义、命题、证明(2)
学案设计主备课人：执教者：执教时间201 年月日（第周星期）累计节课题：2.2.1 定义、命题、证明（2）节教完，本节为第节教学目标：教学目标1、知识与技能：了解真命题和假命题；知道判断一个命题是假命题的方法。
2、过程与方法：结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。
课型：新课教学重点：互逆命题和互逆定理的区别。
教学难点：互逆命题和互逆定理的区别。
教学用具与教学方法：教学准备：个人调整与补充内容一、复习引入：什么叫命题？命题由哪两部分构成？什么叫互逆命题？二、探究新知（一）命题、真命题与假命题学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子正确的，还是错误的。
像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题。
正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题（二）假命题的证明教师讲解：要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例”。
例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只要举出一个反例：60度角是锐角，100度角是钝角，但它们的和不是180度即可。
三、练习 P55 练习1、2、3四、总结1、什么叫命题？什么叫真命题？什么叫假命题？2、命题都可以写成“如果.....，那么.......”的形式。
3、要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了。
五、布置作业P59 习题A组3作业布置：教后梳理或反思：。
湘教版 学案 1.1.2 命题的四种形式
1．1.2命题的四种形式1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．2．会判断四种命题的真假．下列四个命题：(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．观察命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？答：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件．对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．1．命题“若p则q”的四种形式原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若¬p则¬q；逆否命题若¬q则¬p.2．四种命题间的关系3．四种命题的真假判断(1)原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假．(2)原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假．(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真．(4)互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假．要点一四种命题的概念例1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)实数的平方是非负数；(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．解(1)原命题是真命题逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)原命题是真命题逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题．否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题．逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题．规律方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．跟踪演练1写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.解(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么该直线垂直于平面内的两条相交直线．否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于这个平面．逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x>0，那么x>10.否命题：如果x≤10，那么x≤0.逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2.否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0.逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.要点二四种命题的关系例2下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．其中是真命题的是________．答案①②③解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．跟踪演练2有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；③“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．答案 1解析①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题．②“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．③“相等的角是同位角”是假命题．要点三等价命题的应用例3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．解法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，若a<1，则4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．法二先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，所以a≥1.所以原命题成立．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．规律方法由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．跟踪演练3判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉B C．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A 答案 B解析命题“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是()A．若A∪B＝B，则A∩B＝AB．若A∩B≠A，则A∪B≠BC．若A∪B≠B，则A∩B≠AD．若A∪B≠B，则A∩B＝A答案 C解析注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”．3．命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是______________________________，它是________命题(填“真”或“假”)．答案若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线假4．给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________．答案①③解析①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”．真命题．②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题．③∵Δ＝1＋4m，若m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真．∴逆否命题为真．1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定¬p和结论q的否定¬q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．每一个命题都有条件和结论组成，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．。
第五章相交线与平行线5.3.2命题、定理、证明
第五章相交线与平行线5. 3.2 命题、定理、证明（1）教学设计教学目标：【知识与技能】1、了解什么是命题，并且会把一些简单命题改写成如果……那么……”的形式。
2、了解命题的题设和结论，并能够分析出命题的题设和结论。
3、了解什么是真命题和假命题，并能够判断哪些是真命题，哪些是假命题。
【过程与方法】通过对若干个命题的分析，了解什么叫命题及命题的组成，知道什么是真命题，什么是假命题；【情感态度】通过本节课的学习让同学们知道命题在数学上的重要作用，不仅如此，命题在其他许多学科上都有重要作用。
教学重点：命题的定义和命题的组成；教学难点：1、命题的判断；2、命题的题设和结论的区分；3、真假命题的判断；学情分析：七年级的学生自主学习能力和独立思考能力不强，但大部分学生对数学感兴趣，有些学生学习方法不对路。
虽然说时间花费很多，但效果不是最佳的，学习方法很重要，要养成良好的学习方法，才能有所上升。
教学过程：一、回顾旧知，导入新课：平行线的判定和性质设计目的：回顾旧知的同时给学生呈现命题的例句，让学生对命题有个初步的体会和认识，并导入新课。
二、学习目标1、了解什么是命题，并且会把一些简单命题改写成“如果…… 那么……”的形式。
2、了解命题的题设和结论，并能够分析出命题的题设和结论。
3、了解什么是真命题和假命题，并能够判断哪些是真命题，哪些是假命题。
设计目的：让学生有目的的学习。
三、预习板块通过预习，我学到了什么？在预习中，我存在的疑惑是什么？需要解决哪些问题？1什么是命题？命题由几部分组成？2、命题可以被改写成什么形式？并试着改写命题对顶角相等”。
3、什么是真命题？什么是假命题？设计目的：要求学生课前预习，养成良好的学习习惯。
四、合作探究一(设计目的：让同学们通过合作探究的方式将句子改写成“如果…..那么……”的形式来体会什么是命题)1、观察下列两组语句有什么区别？A组：(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；(3)对顶角相等；(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式•B组：⑴画线段AB=CD(2)点P在直线AB外.(3)对顶角相等吗？总结：1、_____________________________ 的语句，叫做命题。
5.1定义与命题学案
单县实验中学初二数学学案课题：5.1定义与命题主备高祥鲁审核初二数学组一学习目标：1了解定义、命题的含义，会区分命题的条件和结论。
2会辨别真命题和假命题。
3能通过具体例子理解反例的作用，会利用反例证明一个命题是假命题。
4通过学习命题的条件和结论，养成言必有据的好习惯。
二．导学探究：探究一定义：观察与思考(1)有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。
（2）同一平面内两条不相交的直线叫做平行线。
（3）有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。
总结：用来说明一个的语句叫做定义。
请再举出几例学过的几个定义：探究二命题：（1）定义：表示的语句叫做命题。
（2）组成：命题通常由和两部分组成，（3）一般叙述形式：“”（4）其中“”所引出的部分是条件，“”所引出的部分是结论。
（5）分类：命题分为和，正确的命题角做，错误的命题叫做。
（5）反例：要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的，而不符合命题的就可以了，这种例子成为反例。
想一想：命题一定是正确的吗？说明：判断一个语句是否为命题应抓住两点：①命题必须是一个完整的语句且是陈述句；②命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断。
题例分析例1 下列语句中不是命题的是（）①两点之间线段最短。
②禁止吸烟。
③连接A、B两点。
④如果两个角都是300，那么这两个角是对顶角。
⑤直角三角形中两个锐角互余。
⑥无论n为怎样的自然数，n2－n＋11的值都是质数吗？A 2个B 3个C 4个D 5个例2指出下列命题的条件和结论。
（欣赏p155例1）（1）若a＞b＞c，则a＞c；（2）全等的两个三角形的面积相等；（3)对顶角相等。
达标练习1、下列属于定义的是（）A.两点确定一条直线B．两直线平行，同位角相等C．等角的的补角相等 D.线段是直线上两点和两点间的部分2、下列语句中不是命题的是（）A.若a+b=b+c，则a=bB.两条直线平行没有公共点C．延长直线AB D.我爱八年级一班3、下列语句不是命题的是A. 两点之间线段最短B．对顶角相等C．鸵鸟不能飞 D.连接A、B两点4、下列命题中正确的是（）A．若a·b＞0,则a＞0,b＞0 B.a·b＜0,则a＜0,b＜0C．a·b=0,则a=0,b=0 D a·b=0,则a=0或b=05、把命题“同角的余角相等”用“如果…，那么…”的形式写出来，下列写法正确的是（）A.如果几个角是同一个角的余角，那么这几个角相等B．如果一个角是两个角的余角，那么这两个角相等C．如果两个角是同角，那么同角的余角相等D．如果两个角的和为900，那么这两个角可能相等6、下列命题中，错误的是（）A.三角形两边之差小于第三边B．三角形的外角和是3600C．三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形7、下列各数中，可以用来证明“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是（）A.32B.16C.8D.48、举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，错误的是（）A.设这个角是450，它的余角是450，但450=450B．设这个角是600，它的余角是300但300＜600C．设这个角是300，它的余角是600但300＜600D．设这个角是500，它的余角是400但400＜5009、若a＞c则a+b＞b+c”是定义还是命题？10、填空，使之成为一个完整的真命题。
定义与命题+证明 9-7
龙文教育学科老师个性化教案教师王健学生姓名上课日期2013-8- 学科数学年级年级教材版本浙教版类型知识讲解□：√考题讲解□:本人课时统计第（）课时共（）课时学案主题新课讲解课时数量（全程或具体时间）第（）课时授课时段教学目标教学内容个性化学习问题解决教学重点、难点教学重点：教学难点：考点分析教学过程学生活动教师活动定义与命题三个内容：⎧⎪⎨⎪⎩定义的含义：规定某一名称或术语的意义的句子命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子命题的的结构：通常命题是由条件和结论两部分组成一、说一说：你还学过哪些定义？一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。
二、练一练：下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）对顶角相等；（2）画一个角等于已知角；（3）两直线平行，同位角相等；（4）a、b两条直线平行吗？（5）高个的李明明。
（6）玫瑰花是动物。
（7）若a2＝4，求a的值。
（8）若a2＝b2，则a＝b。
例题解析例1 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：（1）三条边对应相等的两个三角形全等；条件是：两个三角形的三条边对应相等；结论是：这两个三角形全等改写成：如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等。
（2）在同一个三角形中，等角对等边；条件是：同一个三角形中的两个角相等；结论是：这两个角所对的两条边相等 改写成：如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（3）对顶角相等。
条件是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等。
改写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
(4)同角的余角相等；条件是：两个角是同一个角的余角；结论是：这两个角相等。
改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。
(5)三角形的内角和等于180°； 条件是：三个角是一个三角形的三个内角；结论是：这三个角的和等于180°。
改写成：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°。
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命题与证明
教学目标
1.理解真命题、假命题、公理和定义的概念
2.会判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题。
3.了解证明的含义，体验、理解证明的必要性。
4．了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题
教学重点、难点
1.判断一个命题的真假公理、命题和定义的区别
2.本节教学的重点是证明的含义和表述格式。
3.按规定格式表述证明的过程。
教学过程
一知识回顾
1、能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做定义
例：
2、定理：用推理的方法判断为正确的命题；
例：1）三角形三个内角的和等于180度
2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于和它不相邻的两个内角
3）在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交.
4）在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3、公理：经过人类长期实践后公认为正确的命题；
4、定义，定理，公理都可以判断其他命题真假的依据；用推理得到的那些用黑体字表述的图形性质都可以做为推论；推论不需要再证明4.对某一件事作出正确或不正确的判断的句子叫做命题；
正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题。
判断下列语句是否为命题如果是命题,把它改写成“如果……那么……”形式。
说明一个命题是假命题，只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。
反例必须是具备命题的条件,却不具备命题的结。
例：
1）连接AB
2)两直线被第三直线所截,内错角相等
3)同角的余角相等
4)三角形的内角和为180°
5)等腰三角形两底角的平分线相等
5.证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证)
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证
(4)分析题意,探索证明思路
(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;
例1：
一、下列语句哪些是命题,哪些不是命题?
正数大于零，零大于一切负数;（是）
两点确定一条直线;（是）
画∠AOB的平分线;（不是）
相等的角是全等三角形的对应角;（是）
若c＞a+b,则c＞a,c＞b正确吗？（不是）
例2：二、判断下列命题的真假.
1.有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形.（真）
2.素数不可能是偶数.（假）
3.黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人.（假）
4.有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形.（假）
5.若y(1-y)=0，则y=0.（假）
6.正数不小于它的倒数.（假）
7.如果两个角不是对顶角，那么它们不相等.（假
8.若x＜3，则x2＜9.（假）
9.异号两数相加和为负数.（假）
10.若c＞a+b,则c＞a,c＞b.（假）
例：证明命题：“等腰三角形两底角的平分线相等.”
已知：如图，在△ABC中，AB=AC， BD，CE是△ABC的角平分线. 证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(在一个三角形中，等边对等角).
∵ BD ，CE 是△ABC 的角平分线
∴∠1= ∠ABC ，∠2= ∠ACB ， ∴∠1=∠2.
在△BDC 和△CEB 中，
∵∠ACB=∠ABC ，BC=CB ，∠1=∠2，
∴△BDC ≌△CEB （ASA ）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
例2.等腰三角形的底角为15°,腰长为2a ，求腰上的高。
如图，在△ABC 中，已知AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高，
解：∵ ∠ABC=∠ACB=15°，
∴∠DAC= ∠ABC +∠ACB=15°+15°=30°.
∴CD= AC= ×2a=a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么他所对的直角边等与斜边的一半).
例3、 如图，已知AD 是△ABD 和△ACD 的公共边.求证：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C 证法一：
∵在△ABD 中, ∠1＝180°－∠B －∠3
（三角形内角和定理） 在△ADC 中, ∠2＝180°－∠C －∠4 （三角形内角和定理）
又∵∠BDC ＝360°－∠1－∠2（周角定义）
∴∠ BDC ＝360°－（ 180°－∠B －∠3 ）－（ 180°－∠C －∠4 ）
＝∠B+∠C+∠3+∠4.
又 ∵ ∠BAC ＝ ∠3+∠4,
∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换
证法二 A
B C
D 1 2 3 4
..).
(18021),
(18021).
(18021,
18021.
0000C B BAC BDC ACD ABD BAC BDC BDC ACD ABD BAC BDC BDC ACD ABD BAC ABC BC ∠+∠+∠=∠∠+∠+∠=∠∴∠-=∠+∠∠+∠+∠-=∠+∠∴=∠+∠+∠∆=∠+∠+∠+∠+∠∆即（等量代换）等式性质三角形内角和定理中，在中，在连接 6.反证法
在证明命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即可证明命题是正确的，这种证明方法叫做反证法。
反证法的一般步骤:
例：证明命题:三角形中至多有一个角是钝角
已知：∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的内角.
求证：∠A ，∠B ，∠C 中至多有一个是钝角
证明：假设△ABC 中有两个角是钝角，那么
∠A ，∠B ，∠C 之和必大于180°，
这与“三角形三个内角和等于180°”
A B
C D 1 2
假设命题不成立
假设 从假设出发 归谬
引出矛盾 假设不成立 得出结论 结论 求证的命题正确
相矛盾. 因此△ABC中至多有一个角是钝角.。