不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)
利用基本不等式求最值的技巧
利用基本不等式求最值的技巧基本不等式是解决最值问题的一个重要工具。
它可以将一个复杂的问题简化为一个简单的不等式，从而帮助我们找到最值。
在本篇文章中，我将分享一些利用基本不等式求最值的技巧。
首先，我们回顾一下基本不等式的定义。
对于任意的正实数a和b，有以下两个基本不等式：1. 算术平均数与几何平均数不等式（AM-GM不等式）：对于任意的正实数a和b，有a+b/2≥√(ab)。
这个不等式可以表示为(a+b)/2≥√(ab)。
当且仅当a=b时，等号成立。
2.平方平均数与算术平均数不等式（QM-AM不等式）：对于任意的正实数a和b，有√(a²+b²)/2≥(a+b)/2、这个不等式可以简化为√(a²+b²)≥(a+b)/2、当且仅当a=b时，等号成立。
现在，让我们来看一些具体的例子，以说明如何利用基本不等式求最值。
例子1：求证x³+y³+z³≥3xyz，其中x、y和z是正实数。
解：根据AM-GM不等式，我们有x³/3+y³/3+z³/3≥√(x³y³z³)。
将等式两边乘以3，得到x³+y³+z³≥3√(x³y³z³)。
由于x、y和z是正实数，所以xyz>0，可以得到√(x³y³z³)≥xyz。
因此，我们有x³+y³+z³≥3xyz。
例子2：已知x+y+z=1，求证xy+yz+zx≤1/3解：根据AM-GM不等式，我们有x+y/2≥√(xy)和y+z/2≥√(yz)。
将这两个不等式相加，得到x+y/2+y+z/2≥√(xy)+√(yz)。
根据算术平均数与几何平均数不等式，有(x+y/2+y+z/2)/2≥(√(xy)+√(yz))/2根据已知条件x+y+z=1，对等式两边进行化简，可以得到(x+y/2+y+z/2)/2=(x+y+z)/2=1/2因此，我们有1/2≥(√(xy)+√(yz))/2将不等式两边乘以2，得到1≥√(xy)+√(yz)。
用基本不等式求最值的类型及方法
用基本不等式求最值的类型及方法均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。
要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。
一、几个重要的均值不等式a2+b2(a、b∈r)，①a+b≥2ab⇔ab≤当且仅当a=b时，“=”号设立；222⎛a+b⎛+②a+b≥2ab⇔ab≤当且仅当a=b时，“=”号成立；⎛(a、b∈r)，⎛2⎛2a3+b3+c3③a+b+c≥3abc⇔abc≤当且仅当a=b=c时,“=”号成立；(a、b、c∈r+)，3333⎛a+b+c⎛+④a+b+c≥3abc⇔abc≤⎛(a、b、c∈r),当且仅当a=b=c时,“=”号设立.3⎛⎛注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；②熟识一个关键的不等式链：32+aba+b≤≤≤2a2+b2。
2二、函数f(x)=ax+b(a、b>0)图象及性质x(1)函数f(x)=ax+b(a、b>0)图象例如图：xb(a、b>0)性质：(2)函数f(x)=ax+x①值域：(-∞,-2ab][2ab,+∞)；②单调递减区间：(-∞,)；单调递减区间：(0,0).，[三、用均值不等式谋arctan的常用类型类型ⅰ：求几个正数和的最小值。
基准1、未知x练习5，求函数y=4x-2+1的最大值。
44x-511x2+3x+1,x∈(0,π),x>3(3)y=2sinx+,(x>0)（2）y=2x+（1）y=sinxx-3x类型ⅱ：求几个正数积的最大值。
练2①y=x(3-2x)(0类型ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。
基准3、若x、y∈r，谋f(x)=x+类型ⅳ：条件最值问题。
基准4、未知正数x、y满足用户+4(0类型ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
基准5、未知正数x、y满足用户xy=x+y+3，试求xy、x+y的范围。
类型条件求最值ab基准6、若实数满足用户a+b=2，则3+3的最小值就是11若log4x+log4y=2，求+的最小值.并求x,y的值xy2、2：未知x>0,y>0，且四、均值不等式易错例析：基准1.求函数y=19+=1，求x+y的最小值。
基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧题型分析
基本不等式应用一、知识点：1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ 即：222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 即：ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤（当且仅当b a =时取“=” ） 注：（1）利用均值不等式求最值的条件是：“一是正数，二为定值，三要有取等号的条件”（2）利用均值不等式求最值：当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积为定值和有最小值，和为定值积有最大值”．应用基本不等式求最值的常见题型：1、直接利用基本不等式求解；2、若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件进行恒等变形，如构造“1”的代换；3、若可用基本不等式，但等号不成立，则一般利用函数的单调性求解。
二、求最值例1：设1,1,,>>∈b a R y x ，若,4==y x b a 且22=+b a ，求yx 11+的最大值。
例2、（凑项）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
例3、（凑系数）当时，求(82)y x x =-的最大值。
例4、（构造“1”）若正数y x ,满足xy y x 53=+，求y x 43+的最小值。
例5、（ 换元）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
三、基本不等式与恒成立问题例6、已知0,0x y >>且191x y +=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
例7、已知正实数y x ,满足,3xy y x =++若对任意满足条件的y x ,，都有()()012≥++-+y x a y x 恒成立，求实数a 的范围。
四、练习：1、设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当xyz 取最小值时，z y x -+2的最大值为（ ）A 、0 B 、89 C 、2 D 、492、已知()2,0∈x ，函数()x x y 38-=的最大值为3、若01>+x ，则11++x x 的最小值为4、设0>>b a ，则()b a a ab a -++112的最小值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、45、若直线()0,002>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值为线性规划问题：由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，以下五类常见题型。
基本不等式的最值求法
基本不等式的最值求法摘要：I.引言A.基本不等式的概念B.基本不等式的应用II.基本不等式的内容A.基本不等式的形式B.基本不等式的性质III.基本不等式的证明方法A.作差法B.替换法C.柯西-施瓦茨不等式IV.基本不等式的最值求法A.求最大值的方法1.利用基本不等式性质2.利用导数求最值B.求最小值的方法1.利用基本不等式性质2.利用导数求最值V.基本不等式的应用A.求和与积分的应用B.求解不等式的应用C.求解最值问题的应用VI.结论A.总结基本不等式的求解方法B.强调基本不等式在数学中的重要性正文：【引言】基本不等式是数学中的一个重要概念，广泛应用于求解最值问题。
在解决不等式、求和、积分等问题时，基本不等式都能发挥重要作用。
本文将详细介绍基本不等式的最值求法及其应用。
【基本不等式的内容】基本不等式是指对于任意实数a和b，都有a^2 + b^2 >= 2ab。
当且仅当a = b时，等号成立。
基本不等式的形式简洁，但内涵丰富。
它具有以下几个性质：1.基本不等式对于所有实数a和b都成立。
2.基本不等式的等号在a = b时成立。
3.基本不等式可以推广到n维空间。
【基本不等式的证明方法】证明基本不等式有多种方法，这里列举三种常用的方法：作差法、替换法和柯西-施瓦茨不等式。
【基本不等式的最值求法】基本不等式在求解最值问题中具有重要作用。
当需要求解基本不等式的最大值或最小值时，可以采用以下方法：1.利用基本不等式的性质求解最大值或最小值。
2.利用导数求解最值。
【基本不等式的应用】基本不等式在数学中有广泛的应用，包括求和、积分、不等式求解和最值求解等。
例如，在求解不等式问题时，可以利用基本不等式将不等式进行转化，从而简化求解过程。
在求解最值问题时，基本不等式可以帮助我们快速找到最值点。
【结论】本文对基本不等式的最值求法及其应用进行了详细介绍。
基本不等式作为一个重要的数学概念，熟练掌握其求解方法对解决实际问题具有重要意义。
基本不等式的最值求法
基本不等式的最值求法不等式是数学中常见的一类关系式，在数学建模、优化问题以及概率论等各个领域都有广泛的应用。
为了解决不等式问题，我们需要找到基本不等式的最值。
下面我将为大家详细介绍基本不等式的最值求法。
首先，我们来回顾一下基本不等式的概念。
基本不等式是指那些不能再被简化或扩展的不等式，通常包括线性不等式、二次不等式、指数不等式和对数不等式等。
这些不等式的最值是指不等式的左边和右边可以取到的最小值和最大值。
对于线性不等式，最值求法相对简单。
我们可以通过图像法、代数法和数值法来求解。
图像法就是将不等式转化为几何问题，在坐标系中直观地看出不等式的解集；代数法则是通过变量的代数运算和推理来解决不等式问题；数值法是通过尝试不同的数值，找到满足不等式的最小值和最大值。
对于二次不等式，最值求法相对复杂一些。
一般情况下，我们需要先将不等式化为标准形式，即把不等式中的一切项都移到一个侧，并将不等号移到另一侧。
然后我们可以通过求导法、配方法、分析法和图像法来解决问题。
求导法是一种常见的方法，通过对不等式两边求导得到零点，进而判断最值点的位置；配方法则是将不等式化为完全平方的形式，从而方便求解；分析法则是通过观察不等式的特点，找到最值点的位置；图像法则是将二次不等式转化为几何问题，在坐标系中找出最值点的位置。
对于指数不等式和对数不等式，最值求法也是比较复杂的。
对于指数不等式，我们需要首先利用指数函数的性质，将指数不等式转化为对应的算术不等式，然后再使用线性不等式和二次不等式的求解方法。
对于对数不等式，我们同样需要利用对数函数的性质，将对数不等式转化为对应的算术不等式，然后再使用线性不等式和二次不等式的求解方法。
综上所述，基本不等式的最值求法可以通过图像法、代数法、数值法、求导法、配方法、分析法和图像法来解决。
在求解过程中，我们需要具备扎实的数学基础，熟悉各种求解方法，特别是对不等式的性质和转换有较深入的理解。
通过反复实践和练习，我们可以不断提高对基本不等式最值的求解能力，解决更为复杂的不等式问题，为数学建模和优化问题等领域提供更有效的解决办法。
基本不等式求最值的类型及方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法解析：y x 1 2(x 1) (x2(x 1)1)2(xL 2LJ 21(x 1)2 22(x 1)、几个重要的基本不等式:①a 2b 2 2ababa 2b 2(a 、 x 1 x 133立; b R),当且仅当a = b 时，“=”号成立;22(x 1)③a 3 成立• 注: 二、函数 b 32 ab ab2(a 、当且仅当b R )，当且仅当a = b 时，“=”号成立;2(x2(x 1)21)即x 2时，“ 5”号成立，故此函数最小值是 -23c 33abc abc — b 3c3 3-(a 、 b、R )，当且仅当a = b = c 时，“=”号成评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常 要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。
类型n ：求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：33----- abc , b c 3v abcabc ---------------- (a 、3① 注意运用均值不等式求最值时的条件:② 熟悉一个重要的不等式链: abf(x) ax b (a 、 x 0)图象及性质 (1)函数 f (x) ax a 、 0图象如图: (2)函数 f(x) ax a 、0性质:①值域: ,2 ab] [2 ab,);R ),当且仅当a = b = c 时，“=”号定 、三 等 ;2 2a b J --------------2①yx 2解析：①Q 0•- y(3 2x)(0 xx - ,• 32 当且仅当 2. 42y sin x cos x当且仅当 故此函数最大值是(3 2x)(0②单调递增区间：( );单调递减区间::],(0,］，,0).2xx 3 2x 即 x,•• sin x2sin 2x sin 2x .2sin x 2② y sin xcosx(0 x ) 23x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ]1 ,231时，“=”号成立，故此函数最大值是 1。
基本不等式最值解题技巧
基本不等式最值解题技巧
1、分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
2、
基本不等式解题技巧得深入拓展——拼凑定和，拼凑定积，拼凑常数降幂，拼凑常数升幂，约分配凑，引入参数拼凑，引入对偶式拼凑，确立主元拼凑。
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数
的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
在采用基本不等式时，必须牢记“一正”“二定”“三成正比”的七字真言。
“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”就是指应用领域基本不等式谋最值时，和或四维定值，“三成正比”就是指因且仅当两个式子成正比时，就可以挑等号。
两大技巧
“1”的妙用。
题目中如果发生了两个式子之和为常数，建议这两个式子的倒数之和
的最小值，通常用所求这个式子除以1，然后把1用前面的常数则表示出，并将两个式子
进行即可排序。
如果题目未知两个式子倒数之和为常数，谋两个式子之和的最小值，方法
同上。
调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是
很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧
高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧【理论解析】一个技巧：222a b ab+≥逆用就是222a bab+≤，2a b+≥(0,0)a b>>逆用就是2()2a bab+≤等．两个变形：(1) 2112a ba b+≤≤≤+(,)a b R+∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b=时取等号）(2)222()22a b a bab++≤≤(,)a b R∈（当且仅当a b=时取等号)．三个注意“一正、二定、三相等”的忽视．【解题方法技巧举例】1、添、减项（配常数项）例1 求函数221632y xx=++的最小值.222221620,32163(2)6266x y xxxx+>=++=++-+≥=解：当且仅当22163(2)2xx+=+，即22x=时,等号成立. 所以y的最小值是6.2、配系数（乘、除项）例2 已知0,0x y>>，且满足3212x y+=，求lg lgx y+的最大值.分析lg lg lg()x y xy+=, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y+是否定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为326x y⋅，再用均值不等式.220,032lg lg lg()lg6132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解： 当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6.3、 裂项例3已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.分析 在分子的各因式中分别凑出1x +，借助于裂项解决问题.()()141110,14(1)5519x x x y x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+>=+=+++≥+=解：当且仅当411x x +=+，即1x =时，取等号.所以min 9y =.4、 取倒数例4 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 分析 分母是x 与(12)x -的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x + (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.解 由102x <<，得10x +>，120x ->.221(12)1312(1)31131211113212x x x x y x x x x x x x --==⋅⋅+++-⎡⎤+⎢⎥++≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦当且仅当31211x xxx -=++，即15x =时，取等号. 故y 的最小值是12.5、 平方例5 已知0,0x y >>且22283y x +=求.分析 条件式中的x 与y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.222222222((62)32(1)32(1)9333()22y x y x y x =+=⋅+⎡⎤++⎢⎥≤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：当且仅当222(1)3y x =+，即32x =，2y =时， 等号成立.故的最大值是评注 本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为.6、 换元（整体思想）例6求函数y =的最大值.分析t =，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.22,0,2,(0)2100;1014212=.23,2t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=≤=+==-则当时，当时，当且仅当，即所以时7、 逆用条件例7 已知191(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） .分析 直接利用均值不等式，只能求xy 的最小值，而无法求x y +的最小值.这时可逆用条件，即由191x y =+，得19()()x y x y x y +=++，然后展开即可解决问题.190,0,1199()()1010169,4,12.16.x y x y y xx y x y x y x yy x x y x yx y >>+=+=++=++≥====+解：由，得当且仅当即时，等号成立故的最小值是 评注 若已知0,0,x y >>1x y += (或其他定值)，要求19x y +的最大值，则同样可运用此法. 8、 巧组合 例8 若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 .分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a b +≥来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值4-，于是就可以利用均值不等式了.,,0,2()()2,,1.2 2.a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为9、 消元例9、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz 的最小值.分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得32x zy +=，则可对2y xz 进行消元，用,x z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为【例题解析】 例1 求函数()()yx x x=++49的最值.解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=xx x x y ， 当且仅当xx=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->->xx0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴xx y .当且仅当-=-x x 36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.例2已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时，上式等号成立，又191x y+=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 例3 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.解析：此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222x x y x x x x +-=-=-≤=当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.例4 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.例5已知x，y为正实数，且2212yx+=，求的最大值.解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式222a bab+≤.12，==下面将x=2212222yx++≤4=当且仅当x=2212yx+=，即2x=，2y=时，等号成立.所以的最大值为4.评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.【基本不等式课堂练习】一、选择题1.已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是（ ）A ．2 B ．22 C ．4 D ．5 2.当0<x <2π时，函数f (x )=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为（ ）A.2B.23C.4D.433.设y=x 2+2x+5+2125x x ++，则此函数的最小值为（）A ．174B ．2C ．265D ．以上均不对 4，若，下列不等式恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5，若且，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a6. 设x>0,则的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．Ｃ．Ｄ．－1 7，设的最小值是( ) A. 10 B.C.D.8. 若x, y 是正数，且，则xy 有（ ）Ａ最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值9. a,b 是正数，则三个数的大小顺序是（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．10.下列函数中最小值为4的是( )Ａ Ｂ Ｃ Ｄ11、已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)12、已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．913．设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y)的最小值为 ( )A.6 B.9 C.12 D.1514． 已知定义域为R 的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．15．若，则的最小值为（ ）A ．8 B ．C ．2D ．417.若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A. 245 B. 285C.5D.6 18．下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4xx x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈D ．211()1x R x >∈+ 19若点(,)A x y 在第一象限且在236x y +=上移动，则3322log log x y + （ ）A 、最大值为1B 、最小值为1C 、最大值为2D 、没有最大、小值 20、 已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值.21、已知0,0a b >>，328a b +=，求函数的最大值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
常考题型题型精析题型一 直接法求最值【例1】已知x ＞0．则9x ＋x 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】A【解析】∵x ＞0，则9x ＋x ≥29x •x ＝6，当且仅当9x ＝x 即x ＝3时取得最小值6．选：A ．【变式1－1】已知正数x ，y 满足x ＋y ＝4，则xy 的最大值（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B【解析】因为正数x ，y 满足x ＋y ＝4，所以有4＝x ＋y ≥2xy ⇒xy ≤2⇒xy ≤4，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，故选：B【变式1－2】已知正数x ，y 满足4x ＋y ＝1，则(4x ＋1)(y ＋1)的最大值为（ ）．A ．94B ．14C ．34 D ．1 【答案】A【解析】(4x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4x ＋1)＋(y ＋1)22 ＝94， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋1＝y ＋1，4x ＋y ＝1. ，即x ＝18，y ＝12时，等号成立．故选：A ．【变式1－3】已知x ＞2，y ＞1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是（ ）A ．1B ．4C ．7D ．3＋17【答案】C【解析】∵x ＞2，y ＞1，(x －2)(y －1)＝4，∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3≥2(x －2)(y －1)＋3＝7当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3. 时等号成立.故选：C【变式1－4】已知x ，y ＞0，且满足x ＋y ＝2，则xy ＋x ＋y 的最大值为__________. 【答案】3【解析】因为x ，y ＞0，且满足x ＋y ＝2，则xy ＋x ＋y ＝xy ＋2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋2＝3当且仅当x ＝y ＝1时取等号， 所以xy ＋x ＋y 的最大值为3.【变式1－5】已知实数m ，n 满足mn ＞0，则m m ＋n －mm ＋3n的最大值为（ ）A ．3＋2 3B ．3－2 3C ．2＋ 3D ．2－ 3【答案】D【解析】因为mn ＞0，则m m ＋n －m m ＋3n ＝2mn m 2＋4mn ＋3n 2＝2m n ＋3n m ＋4≤223＋4＝2－3，当且仅当m n ＝3nm 时取等号，此时m m ＋n －m m ＋3n的最大值为2－ 3.故选：D.【变式1－6】若a ＞0，b ＞0，m ＝2(a 2＋b 2)＋4a ＋b，则m 的最小值为（ ）A ．8B ．10C ．4D ．6【答案】C【解析】∵2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，当且仅当a ＝b 时取等号，∴m ＝2(a 2＋b 2)＋4a ＋b ≥(a ＋b )2＋4a ＋b ＝a ＋b ＋4a ＋b ≥2(a ＋b )×4a ＋b＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号.故选：C.【变式1－7】若a ，b ，c 均为正实数，则ab ＋bca 2＋2b 2＋c 2的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．22D ．32【答案】A【解析】因为a ，b 均为正实数，则ab ＋bc a 2＋2b 2＋c 2＝a ＋c a 2＋c 2b ＋2b ≤a ＋c 2a 2＋c 2b ×2b ＝a ＋c 22(a 2＋c 2)＝12a 2＋2ac ＋c 22(a 2＋c 2) ＝1212＋ac a 2＋c 2≤1212＋ac 2a 2×c 2＝12，当且仅当a 2＋c 2b ＝2b ，且a ＝c ，即a ＝b ＝c 时取等号，则ab ＋bc a 2＋2b 2＋c 2的最大值为12．故选：A ．题型二 配凑法求最值【例2－1】若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝（ ） A ． 1＋ 2 B ．1＋ 3 C ． 3 D ．4【答案】C【解析】∵x ＞2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4等号当且仅当x －2＝1x －2时，即x ＝3时取到等号.【例2－2】设0＜x ＜32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值.【答案】92【解析】∵0＜x ＜32∴3－2x ＞0∴y ＝4x (3－2x )＝2•2x (3－2x )≤2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22 ＝92当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时等号成立【变式2－1】已知x ＜54，则y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则y ＝4x －2＋14x －5＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(5－4x )＋15－4x ＋3≤－2(5－4x )×15－4x ＋3＝1,当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号．故y ＝4x －2＋14x －5的最大值为1.【变式2－2】已知实数x ＞3，则4x ＋9x －3的最小值是（ ）A ．24B ．12C ．6D ．3【答案】A【解析】因为x ＞3，则x －3＞0，则4x ＋9x －3＝4(x －3)＋9x －3＋12≥24(x －3)×9x －3＋12＝24，当且仅当x ＝92时，等号成立，因此，4x ＋9x －3的最小值是24.故选：A.【变式2－3】设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝(a 2－ab )＋1a 2－ab ＋1ab ＋ab ≥2(a 2－ab )×1(a 2－ab )＋21ab ×ab ＝4,当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 和1ab ＝ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝22.时取等号，故选：D.【变式2－4】设x ＞y ＞0，则x ＋4x ＋y ＋1x －y的最小值为（ ） A ．3 2 B ．2 3 C ．4 D ．3102【答案】A【解析】∵x ＞y ＞0，∴x －y ＞0，∴则x ＋4x ＋y ＋1x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋y )＋4x ＋y ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x －y )＋1x －y ≥212(x ＋y )×4x ＋y ＋212(x －y )×1x －y＝22＋2＝32，当且仅当12(x ＋y )＝4x ＋y ，12(x －y )＝1x －y，即x ＝322，y ＝22时取等号故选：A题型三 消元法求最值【例3】已知正实数a ，b 满足1a ＋b ＝1，则2ba 的最大值为______. 【答案】12【解析】依题意正实数a ，b 满足1a ＋b ＝1，1a ＝1－b ，0＜b ＜1，2b a＝1a•2b＝(1－b)•2b＝2•b•(1－b)≤2⎝⎛⎭⎪⎫b＋1－b22＝12，当且仅当b＝1－b，b＝12，a＝2时等号成立.【变式3－1】已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是（）A．1 B．3 C．6 D．12【答案】B【解析】∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝3－x2 2x，∴2x＋y＝2x＋3－x22x＝3x2＋32x≥23x2•32x＝3，当且仅当3x2＝32x，即x＝1时取等号，故选：B.【变式3－2】设正实数x、y、z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则xyz的最大值为（）A．0 B．2 C．1 D．3【答案】C【解析】因为正实数x、y、z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则z＝4x2－3xy＋y2，则xyz＝xy4x2－3xy＋y2＝14xy＋yx－3≤124xy•yx－3＝1，当且仅当y＝2x＞0时取等号.故xyz的最大值为1.故选：C.【变式3－3】设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当zxy取得最小值时，x＋2y－z的最大值为（）A．0 B．98C．2 D．94【答案】C【解析】zxy＝x2－3xy＋4y2xy＝xy＋4yx－3≥2xy×4yx－3＝1当且仅当x＝2y时成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2，当y＝1时等号成立．故选：C．【变式3－4】已知x＞1，y＞1，(x－1)(y－1)＝2，则2x＋4y的最小值是（）A．14 B．62＋6 C．8 D．42＋6【答案】A【解析】因为x＞1，y＞1，(x－1)(y－1)＝2，则y＝2x－1＋1，于是得2x ＋4y ＝2x ＋8x －1＋4＝2(x －1)＋8x －1≥22(x －1)•8x －1＋6＝14， 当且仅当2(x －1)＝8x －1，即x ＝3，y ＝2时取“＝”，所以当x ＝3，y ＝2时，2x ＋4y 取最小值14. 故选A题型四 乘“1”法求最值【例4】已知x ＞0，y ＞0，1x ＋1y ＝2，求x ＋y 的最小值. 【答案】2【解析】∵x ＞0，y ＞0，1x ＋1y＝2∴x ＋y ＝12(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝12⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥12⎝⎛⎭⎫2＋2y x ×x y ＝2 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立 ∴当x ＝y ＝1时，x ＋y 的最小值为2.【变式4－1】已知a ＞0，b ＞0，且a ＋4b ＝4，则1a ＋1b 最小值为（ ） A ．2 B ．94 C ．8 D ．9【答案】B【解析】由题知，1a ＋1b ＝14(a ＋4b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4b a ＋a b ＋5≥14×⎝ ⎛⎭⎪⎫24b a •a b ＋5＝94， 当且仅当a ＝2b ，即a ＝43，b ＝23时，等号成立，故选：B【变式4－2】若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值为( )A ．245B ．275 C ．5 D ．6【答案】C【解析】由x ＋3y ＝5xy 得x ＋3y 5xy ＝15y ＋35x ＝1，∴4x ＋3y ＝(4x ＋3y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x ＝125＋35＋4x 5y ＋9y 5x ≥155＋24x 5y •9y 5x ＝155＋125＝275， 当且仅当4x 5y ＝9y5x 时取等号．故4x ＋3y 的最小值是275.【变式4－3】已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则3aba ＋4b的最大值为（ ）A ．310B ．38C ．928D ．13【答案】D【解析】由a ＞0，b ＞0，可得3ab a ＋4b ＝3a ＋4bab＝34a ＋1b ， 又由a ＋b ＝1，可得4a ＋1b ＝(a ＋b )•⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋4b a ＋a b ≥5＋24b a ×ab ＝9，当且仅当4b a ＝a b 时，即a ＝23，b ＝13时，等号成立，所以34a ＋1b≤39＝13，即3ab a ＋4b的最大值为13.故选：D.【变式4－4】已知正数a ，b 满足(a －1)(b －1)＝1，则a ＋4b 的最小值等于（ ）A ．4B ．4 2C ．8D ．9【答案】D【解析】因为(a －1)(b －1)＝1，所以ab －a －b ＝0，所以1a ＋1b ＝1，所以a ＋4b ＝(a ＋4b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝1＋4＋4b a ＋a b ≥5＋24＝9，当且仅当4b a ＝ab ，即a ＝2b ＝3时等式成立，故选：D ．题型五【例5】已知x ＞1，y ＞0，且1x －1＋2y＝1，则x ＋2y －1的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．2＋2 6【答案】A【解析】∵x ＞1，∴x －1＞0，又y ＞0，且1x －1＋2y ＝1，∴x ＋2y －1＝[(x －1)＋2y ]•⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋2y ＝5＋2y x －1＋2(x －1)y ≥5＋22y x －1•2(x －1)y ＝9， 当且仅当2y x －1＝2(x －1)y ，解得x ＝4，y ＝3时等号成立，故x ＋2y －1的最小值为9，故选：A ．【变式5－1】设m ，n 为正数，且m ＋n ＝2，则1m ＋1＋n ＋3n ＋2的最小值为（ ） A ．95 B ．74 C ．53 D ．32【答案】A【解析】由m ＋n ＝2可得m ＋1＋n ＋2＝5，1m ＋1＋n ＋3n ＋2＝1m ＋1＋1n ＋2＋1＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1＋1n ＋2(m ＋1＋n ＋2)＋1＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋m ＋1n ＋2＋n ＋2m ＋1＋1≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2m ＋1n ＋2•n ＋2m ＋1＋1＝95 当且仅当m ＋1＝n ＋2时成立，故选：A【变式5－2】已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则a 2＋1a ＋2b 2b ＋1的最小值是（ ）A ．94B ．73C ．174D ．133【答案】A【解析】 a 2＋1a ＋2b 2b ＋1＝a ＋1a ＋2b (b ＋1)－2(b ＋1)＋2b ＋1＝a ＋1a ＋2b ＋2b ＋1－2，因为a ＋2b ＝2，所以a 2＋1a ＋2b 2b ＋1＝1a ＋2b ＋1＝1a ＋42(b ＋1)，因为a ，b 是正实数且a ＋2b ＝2，所以a ＋2(b ＋1)＝4，因此14×4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ＋42(b ＋1)＝14[a ＋2(b ＋1)]•⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ＋42(b ＋1)＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2(b ＋1)a ＋4a 2(b ＋1)≥14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋22(b ＋1)a •4a 2(b ＋1)＝94，当且仅当2(b ＋1)a ＝4a2(b ＋1)时取等号，即a ＝b ＋1时取等号，即a ＝43，b ＝13时取等号，故选：A【变式5－3】设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则x ＋y 的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．9D ．6【答案】A【解析】因为x ，y 均为正实数32＋x ＋32＋y＝1，所以x ＋y ＝2＋x ＋2＋y －4＝[(2＋x )＋(2＋y )]•⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＋32＋y －4＝3⎝⎛⎭⎪⎫2＋y ＋2x ＋2＋x ＋2y ＋2－4≥3⎝⎛⎭⎪⎫2＋2y ＋2x ＋2•x ＋2y ＋2－4＝12－4＝8， 当且仅当y ＋2x ＋2＝x ＋2y ＋2，即x ＝y ＝4时取等号.因此x ＋y 的最小值为8.故选：A.【变式5－4】实数a ，b 满足a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，则a 2a ＋1＋b 2b ＋1的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．32D ．83【答案】D【解析】令a ＋1＝m ，b ＋1＝n ，则m ＞1，n ＞1，且a ＝m －1，b ＝n －1，m ＋n ＝6，所以a 2a ＋1＋b 2b ＋1＝(m －1)2m ＋(n －1)2n ＝m ＋n ＋1m ＋1n －4＝2＋6mn ≥2＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝83，当且仅当m ＝n ＝3时取等号.故选：D.【变式5－5】已知m ＞1，n ＞0，且m 2＋2n ＝3m ，则2m －1＋m4n 的最小值为（ ）A ．94B ．92C ．32 D ．2【答案】A【解析】因为m 2＋2n ＝3m ，所以2n ＝3m －m 2，因为m ＞1，n ＞0，所以2n ＝3m －m 2＞0，得1＜m ＜3，所以2m －1＋m 4n ＝2m －1＋m 2(3m －m 2)＝2m －1＋12(3－m )，记a ＝m －1，b ＝3－m ，所以a ＋b ＝m －1＋3－m ＝2，所以a ＋b2＝1，且a ＞0，b ＞0，所以2m －1＋m 4n ＝2a ＋12b ＝a ＋b a ＋a ＋b 4b ＝54＋b a ＋a 4b ≥54＋2a 4b •b a ＝94，当且仅当b a ＝a 4b 且a ＋b ＝2，即a ＝43，b ＝23等号成立，此时m ＝73，n ＝7－4992＝79.故选：A.题型六 构造不等式法求最值【例6】若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是（ ）A ．⎣⎡⎦⎤－233，233 B ．⎝⎛⎭⎫－233，233 C ．⎣⎡⎦⎤－223，223 D ．⎝⎛⎭⎫－223，223 【答案】A【解析】∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22 ，∴(x ＋y )2－1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22 ，令x ＋y ＝t ，则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233，即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号，∴x ＋y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，233，故选：A ．【变式6－1】已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋9y ＋6xy ＝9，则2x ＋9y 的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．9D ．12【答案】B【解析】由2x ＋9y ＋6xy ＝9，得6xy ＝9－(2x ＋9y )，又因为6xy ＝13•2x •9y ≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋9y 22 ，所以9－(2x ＋9y )≤112(2x ＋9y )2， 即(2x ＋9y )2＋12(2x ＋9y )－108≥0，解得2x ＋9y ≥6或2x ＋9y ≤－18，又2x ＋9y ＞0，所以2x ＋9y ≥6，当且仅当2x ＝9y ，即x ＝32，y ＝13时取等号．故选：B ．【变式6－2】若a ＞0，b ＞0，且ab ＝3a ＋3b ＋27，则ab 的最小值为（ ）A ．9B ．16C ．49D ．81【答案】D【解析】由题意得ab ＝3a ＋3b ＋27≥6ab ＋27，得ab －6ab －27＝(ab －9)( ab ＋3)≥0，解得ab ≥9，即ab ≥81，当且仅当a ＝b ＝9时，等号成立．故选：D【变式6－3】若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x 2＋y 2的取值范围为______．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 【解析】由于x 2＋y 2≥2|xy |，(当且仅当|x |＝|y |时取等号)，∴－x 2＋y 22≤xy ≤2＋y 22，又xy ＝1－(x 2＋y 2)，所以－x 2＋y 22≤1－(x 2＋y 2)≤x 2＋y 22，故23≤x 2＋y 2≤2，即x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2。