2023学年上海高二上学期数学同步精讲练第03讲异面直线所成的角(核心考点讲与练)
2023年上海高二上学期数学同步精讲练第10章 空间直线与平面(基础、典型、压轴)(解析版)
第10章 空间直线与平面（基础、典型、新文化、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可.【详解】若直线l 与平面α没有公共点，那直线l 与平面α只能平行，故充分条件成立；若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的充分必要条件.故选：C2．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（ ） A ．充分非必要条件； B ．必要非充分条件； C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件．【答案】A【分析】空间四个点中，有三个点共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者．【详解】解：空间四个点中，有三个点共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者，∴空间四个点中，有三个点共线是这四个点共面的充分不必要条件， 故选：A ．二、填空题3．（2021·上海市徐汇中学高二阶段练习）在平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱中，既与AB 共面，又与1CC 共面的棱的条数为___________.【答案】5【分析】有两条平行直线确定一个平面，和两条相交直线确定一个平面可得答案，【详解】解：如图，满足条件的有BC ，DC ，1BB ，1AA ，11D C ，故答案为：5.4．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二期中）不共线的三点确定___________个平面.（填数字）【答案】1【分析】由空间几何的公理求解即可【详解】不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个平面故答案为：15．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是_________【答案】异面【分析】根据异面直线的定义，直接判断.【详解】不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是异面.故答案为：异面6．（2021·上海·西外高二期中）空间中两条直线的位置关系有___________.【答案】平行、相交、异面【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可作答.【详解】空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.故答案为：平行、相交、异面.7．（2021·上海市复兴高级中学高二阶段练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，异面直线1AB与1BC 所成角的大小为___________.【答案】60︒##3π 【分析】连接1,DC BD ，由正方体的结构特征知：11//DC AB 且△1BDC 为等边三角形，即可知异面直线1AB 与1BC 所成角.【详解】连接1,DC BD ，由正方体的结构特征知：11//DC AB ，∴1DC 与1BC 所成角即为异面直线1AB 与1BC 所成角，又△1BDC 为等边三角形，∴1DC 与1BC 所成角60︒，即异面直线1AB 与1BC 所成角为60︒.故答案为：60︒8．（2022·上海虹口·高二期末）在正四面体ABCD 中，直线BC 与AD 所成角的大小为________．【答案】2π 【分析】根据空间位置关系直接证明判断即可.【详解】如图所示，取BC 中点E ，连接AE ，DE ，由已知ABCD 为正四面体，则ABC ，DBC △均为正三角形，所以AE BC ⊥，DE BC ⊥，所以BC ⊥平面ADE ，故BC AD ⊥，即直线BC 与直线AD 的夹角为2π， 故答案为：2π. 9．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）过直线外一点有_________条直线与该直线垂直．【答案】无数【分析】根据点和直线、直线和直线的位置关系即可得出结果.【详解】空间中过直线外一点可以作无数条直线与该直线垂直.故答案为：无数10．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）若平面α∥平面β，,a b αβ⊂⊂，则直线a 和b 的位置关系是_____________.【答案】异面或平行【分析】利用分别在两个平行平面内的两个直线没有公共点即可判断作答.【详解】因平面α∥平面β，则平面α与平面β没有公共点，而a α⊂，b β⊂，于是得直线a 和b 没有公共点，所以直线a 和b 是异面直线或者是平行直线.故答案为：异面或平行11．（2020·上海松江·高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________.【答案】a【分析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果.【详解】1BB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a =故答案为a【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.12．（2022·上海·复旦附中高二期中）棱长为1的正方体中，异面直线1A D 与11B C 之间的距离为______．【答案】1【分析】根据题意，证得111A B A D ⊥且1111A B B C ⊥，得到11A B 为异面直线1A D 与11B C 的公垂线，即可求解.【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11A B ⊥平面11ADD D ，11A B ⊥平面11BCC B ，因为1A D ⊂平面11ADD D ，11B C ⊂平面11BCC B ，所以111A B A D ⊥且1111A B B C ⊥，所以11A B 为异面直线1A D 与11B C 的公垂线，又由正方体的棱长为1，可得111A B =，所以异面直线1A D 与11B C 的距离为1.故答案为：1.13．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则异面直线AB 与11D B 之间的距离为___________.【答案】1【分析】作出正方体图像，观察即可得到答案﹒【详解】如图：∵1BB 与AB 、11B D 均垂直，∴1BB 即为两异面直线的距离，故答案为：1三、解答题14．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱锥P ABC - 中，已知PA ⊥ 平面,ABC 3,6PA PB PC BC ==== .求二面角P BC A --的正弦值 【答案】33【分析】取BC 的中点D ，连结PD ，AD,根据线面垂直关系可知PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角,根据所给边长关系可求得PDA ∠的正弦值.【详解】取BC 的中点D ，连结PD ，AD∵PB PC = ∴PD BC ⊥∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC ⊥,且BC PAD ⊥面即BC AD ⊥∴PDA ∠即为二面角P BC A --的平面角∵6PB PC BC ===∴3PD 633==PA sin PDAPD ∠===P BC A --【点睛】本题考查了二面角的求法,关键是找到二面角的平面角,属于基础题.【典型】一、单选题1．（2021·上海·闵行中学高二阶段练习）在空间内，异面直线所成角的取值范围是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案.【详解】由异面直线所成角的定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是(0,]2π, 故选B.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角,需要学生熟知异面直线的定义以及性质,考查了转化思想,属于基础题.2．（2021·上海·高二专题练习）若a 、b 是异面直线，则下列命题中的假命题为（ ）A ．过直线a 可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行B ．过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直C ．唯一存在一个平面α与直线a 、b 等距D ．可能存在平面α与直线a 、b 都垂直【答案】D 【分析】在A 中，把直线b 平移与直线a 相交，确定一个平面内平行于b ；在B 中，反设过直线a 能作平面α、β使得b α⊥、b β⊥，推出矛盾；在C 中，过异面直线a 、b 的公垂线段的中点作与该公垂线垂直的平面可满足条件；在D 中，若存在平面α与直线a 、b 都垂直，则//a b .【详解】在A 中，由于a 、b 是异面直线，把直线b 平移与直线a 相交，可确定一个平面，这个平面与直线b 平行，A 选项正确；在B 中，若过直线a 能作平面α、β使得b α⊥、b β⊥，则//αβ，这与a αβ⋂=矛盾，所以，过直线a 最多只能作一个平面α与直线b 垂直，由a α⊂，可得b a ⊥，当直线a 与b 不垂直时，过直线a 不能作平面与直线b 垂直，B 选项正确；在C 中，由于a 、b 是异面直线，则两直线的公垂线段只有一条，过该公垂线段的中点作平面α与该公垂线垂直，这样的平面α有且只有一个，且这个平面α与直线a 、b 等距，C 选项正确；在D 中，若存在平面α与直线a 、b 都垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得//a b ，D 错误.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，着重考查与异面直线相关的性质，考查推理能力，属于中等题. 3．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）对于两个平面,αβ和两条直线,m n ，下列命题中真命题是 A ．若,m m n α⊥⊥，则//n αB ．若//,m ααβ⊥，则m β⊥C ．若//,//,m n αβαβ⊥，则m n ⊥D ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥【答案】D【分析】根据线面平行垂直的位置关系判断．【详解】A 中n 可能在α内，A 错；B 中m 也可能在β内，B 错；m 与n 可能平行，C 错；,ααβ⊥⊥m ，则m β⊂或//m β，若m β⊂，则由n β⊥得n m ⊥，若//m β，则β内有直线//c m ，而易知c n ⊥，从而m n ⊥，D 正确．故选D ．【点睛】本题考查线面平行与垂直的关系，在说明一个命题是错误时可举一反例．说明命题是正确时必须证明．二、填空题4．（2021·上海市亭林中学高二阶段练习）异面直线a 与b 成60°角，若//c a ，则c 与b 所成的角等于__________【答案】60°【分析】由已知可得c 与b 相交或异面.分两种情况，根据异面直线所成的角的概念结合平行公理即可得出结论.【详解】∵,a b 异面，//c a ，∴c 与b 相交或异面.当c 与b 相交时，根据异面直线a 与b 所成角的概念可知c 与b 所成的角为60°角；当c 与b 异面时，自空间不在,,a b c 上的一点分别作,a b 的平行线//,//m a n b ,∵//c a ，∴//m c ,根据异面直线所成角的定义，相交直线,m n 所成的不超过直角的角既是异面直线a 与b 所成的角，又是异面直线c 与b 所成的角，根据异面直线a 与b 成60°角，故异面直线c 与b 所成的角为60°角.故答案为：60°. 5．（2021·上海南汇中学高二阶段练习）二面角l αβ--为60，异面直线a 、b 分别垂直于α、β，则a 与b 所成角的大小是____【答案】60【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a 、b 分别垂直于α、β两个平面，则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角l αβ--为60，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质设异面直线a 、b 的夹角为θ∵二面角l αβ--为60，异面直线a 、b 分别垂直于α、β则两条直线的夹角和二面角相等或互补，∴60οθ=故答案为60【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.三、解答题6．（2019·上海·华师大二附中高二阶段练习）在正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，E 、F 分别是BC 、A 1D 1的中点． （1）求证：四边形B 1EDF 是菱形；（2）作出直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点（写出作图步骤）．【分析】（1）取AD 中点G ，连接FG ，BG ，可证四边形B 1BGF 为平行四边形，四边形BEDG 为平行四边形，得到四边形B 1EDF 为平行四边形，再由△B 1BE ≌△B 1A 1F ，可得B 1E ＝B 1F ，得到四边形B 1EDF 是菱形；（2）连接A 1C 和AC 1，则A 1C 与AC 1的交点O ，即为直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点．【详解】（1）证明：取AD 中点G ，连接FG ，BG ，如图1所示，则B 1B ∥FG ，B 1B ＝FG ，∴四边形B 1BGF 为平行四边形，则BG ∥B 1F ，由ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，且E ，G 分别为BC ，AD 的中点，可得BEDG 为平行四边形，∴BG ∥DE ，BG ＝DE ，则B 1F ∥DE ，且B 1F ＝DE ，∴四边形B 1EDF 为平行四边形，由△B 1BE ≌△B 1A 1F ，可得B 1E ＝B 1F ，∴四边形B 1EDF 是菱形；（2）连接A 1C 和AC 1，则A 1C 与AC 1的交点O ，即为直线A 1C 与平面B 1EFD 的交点，如图所示．【点睛】本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了空间想象与逻辑推理能力，是中档题．关键是掌握正方体的性质和熟练使用平行公理.【新文化】一、填空题1．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二阶段练习）刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形ABCD 为矩形，ADE 和BCF △都是等腰三角形，2AE ED BF CF AD ====，//EF AB ，若3AB EF =，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为______.【答案】3π 【分析】作平行四边形AGFE ，得到//AE GF ，异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠，求出GFC 的边长求角即可.【详解】设1EF =，在AB 上取点G 满足1AG EF ==，如图，故//AG EF 且AG EF =，故四边形AGFE 是平行四边形，故//AE GF异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠或其补角 ，22GF CF ==， 22222222CG GB BC =+=+=故GFC 为等边三角形 故3GFC π∠=故答案为：3π 【压轴】1．（2021·上海·西外高二期中）三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是________． 【答案】4(0,]3； 【详解】由于,,,AB AP AB AC AB AP A AB ⊥⊥⋂=∴⊥ 平面APC ，1233APC APC V S AB S ∆∆=⋅= ，在APC ∆ 中，4AP AC +=，要使APC ∆ 面积最大，只需0,90AP AC APC =∠=，APC S ∆的最大值为12222⨯⨯=，V 的最大值为142233⨯⨯=，该三棱锥的体积V 的取值范围是4(0,]3.。
2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲(沪教版2020必修第三册+选修一)(解析版)
专题01空间直线与平面（7个考点） 【知识梳理+解题方法】 一．平面的基本性质及推论 【知识点的认识】 平面的基本性质及推论： 1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．
2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． ①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． ③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
【解题方法点拨】 1．公理1是判定直线在平面内的依据． 2．公理2及推论是确定平面的依据． 3．公理3是判定两个平面相交的依据． 二．异面直线及其所成的角 【知识点的知识】 1、异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． 2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线． 3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
三．异面直线的判定 【知识点的知识】 （1）判定空间直线是异面直线方法： ①根据异面直线的定义； ②异面直线的判定定理． 四．空间中直线与直线之间的位置关系 【知识点的认识】 空间两条直线的位置关系： 位置关系 共面情况 公共点个数 图示 相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内 无 异面直线 不同时在任何一个平面内 无
五．空间中直线与平面之间的位置关系 【知识点的认识】 空间中直线与平面之间的位置关系： 位置关系 公共点个数 符号表示 图示 直线在平面内 有无数个公共点 a⊂α
直线与直线间的位置关系(第2课时)(课件)高二数学(沪教版2020必修第三册)
平移
②若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直，记作a⊥b。 相交直线
③求法：平移至相交后构造特殊△或正/余弦定理求角的大小.
④格式：∵__//__,∴∠____是异面直线___与___所成角(或其补角至相交后的角的计算结果为钝角，
则异面直线所成角应取其补角。
B1
C
D
A
A
(4)若O,P分别是面AD1,面A1C1的中心，求直线PO与CD所成角;
D1
C1
P
1
B1
O
D
A
(5)O是面AD1的中心，求直线B1O与BD所成的角大小;
D1
A1
D1
C1
A1
B1
B1
O
O
D
A
C1
D
C
B
A
C
B
C
B
求异面直线所成角——正/余弦定理
法三：补形平移法
[例1]如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
第10章 空间直线与平面
10.2直线与直线间的位置关系（第2课时）
10.2.3两条异面直线所成的角
教师
xxx
目 录
01
03
异面直线所成角
C O N TA N T S
02 求异面直线所成
角的方法
01
异面直线所成的角
复习回顾
直线与直线的位置关系：
共面直线
异面直线
相交直线
在同一平面内，有且只有一个公共点．
D1
D1
C1
A1
B1
2
C1
A1
B1
B2
P
2
2
D
A
C2
2023学年上海高二上学期数学同步精讲练第09讲 空间几何体的结构与直观图(核心考点讲与练)
第09讲空间几何体的结构与直观图（核心考点讲与练）考点考向1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似相交于一点，但不一定相延长线交于一点侧棱平行且相等等侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形互相平行且相等，相交于一点延长线交于一点母线垂直于底面轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开矩形扇形扇环图2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱 体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底V ＝S 底h锥 体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13S 底h台 体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 3题型一：柱体 一、单选题1．（2021·上海·位育中学高二期中）给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，除了可以得到四面体､四棱柱等类型的多面体以外，还能得到的多面体的类型可以含有（ ） A ．五棱柱､七面体 B ．五棱柱､六棱锥 C ．六棱锥､七面体D ．以上答案都不正确2．（2021·上海市进才中学高二期中）下列命题是假命题的是（ ） A ．棱柱的所有侧面都是平行四边形B ．将矩形ABCD 绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆柱；C ．正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心；D ．将直角三角形AOB 绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆锥.3．（2021·上海市建平中学高二期中）以下关于多面体的命题种，真命题为（ ）A ．所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥B ．所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱能力拓展C ．所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体D ．所有侧面均为正方形的多面体是正方体4．（2021·上海市进才中学高二期中）下列四种说法中： ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ②相等的线段在直观图中仍然相等；③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥. 正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．（2021·上海市实验学校高二期中）如图，ABCD A B C D ''''-为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（ ）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值6．（2021·上海市第三女子中学高二期末）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A ．4B ．8C ．12D ．167．（2021·上海·曹杨二中高二期末）在如图所示的棱长为20的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为CD 的中点，点P 在侧面11ADD A 上，且到11A D 的距离为6，到1AA 的距离为5，则过点P 且与1A M 垂直的正方体截面的形状是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形8．（2021·上海青浦·高二期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，过点1D 、E 、F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为()1212,V V V V <，则12:V V =（ ）A ．23B ．35C ．2547 D ．2746二、填空题9．（2021·上海·闵行中学高二期中）①直四棱柱一定是长方体； ②正方体一定是正四棱柱； ③底面是正多边形的棱柱是正棱柱； ④有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ⑤直棱柱的侧棱长与高相等；以上说法中正确的命题有______（写出正确的命题序号）10．（2021·上海市西南位育中学高二期中）在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,12,22ACB AC BC CC ∠====，点P 是直线1BC 上一动点，则1A P PC +的最小值是_________.11．（2021·上海市延安中学高二期中）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝4，BC ＝10，13AA =，P 为1A B 上的一个动点，则AP ＋PC 的最小值为________．12．（2021·上海市控江中学高二期中）在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱AB 的中点，过1,,E D C 作正方体的截面，则该截面的面积是___________．13．（2021·上海·复旦附中高二期中）向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x ()01x <<的液体，旋转容器，若液面恰好经过正方体的某条对角线，则液面边界周长的最小值为_______________．14．（2021·上海·位育中学高二期中）已知长方体的表面积为242cm ，过同一顶点的三条棱长之和为6cm ，则它的对角线的长为___________cm .15．（2021·上海徐汇·高二期末）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，13AA =，点E 为AB 上的动点，则1D E CE +的最小值为____________.三、解答题16．（2021·上海宝山·高二期末）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，14CC =，M 为棱1BB 的中点（1）求三棱锥11M AA D -的体积；（2）求直线1D M 与平面1111D C B A 所成角的正弦值. 题型二：棱锥 一、单选题1．（2021·上海·华师大二附中高二期中）几何体Γ的表面上有三条线段AB CD EF 、、，有AB CD EF 、、所在直线两两异面，则在①棱柱；②棱锥；③圆柱；④圆锥；⑤球中，Γ有可能是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．③④⑤2．（2021·上海市延安中学高二期末）下列结论正确的是（ ） A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B ．所有几何体的表面都能展开成平面图形C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是正六棱锥D ．一个直角三角形绕一边所在直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥3．（2021·上海·闵行中学高二期中）在棱长均为23的正四面体ABCD 中，M 为AC 中点，E 为AB 中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是（ ）A ．3112+ B ．32+ C ．534D ．23 二、填空题4．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）将一段长12cm 的铁丝折成两两互相垂直的三段，使三段长分别为3cm ､4cm ､5cm ，则原铁丝的两个端点之间的距离为___________cm .5．（2021·上海·格致中学高二期中）已知在正四棱锥P ABCD -中，底面是边长为1的正方形，棱锥的高为22，则该四棱锥的侧面积等于______．6．（2021·上海市宝山中学高二期中）在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 的边长为4，侧棱BP 与底面所成角的大小为60°，则该四棱锥的高等于___________.7．（2021·上海市进才中学高二期中）如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V ABC -中，40AVB BVC CVA ∠=∠=∠=，过A 作截面AEF ，AEF 周长的最小值为________．三、解答题8．（2021·上海·高二专题练习）正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是在底面上的射影，6PO =，Q 是AC 上的一点，过Q 且与PA 、BD 都平行的截面为五边形EFGHL ．（1）在图中作出截面EFGHL ，并写出作图过程；（2）求该截面面积的最大值． 题型三：棱台 一、单选题1．（2021·上海·闵行中学高二期中）两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V ”是“12S S ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题2．（2021·上海市控江中学高二期中）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___________. 三、解答题3．（2021·上海·曹杨二中高二阶段练习）如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为32cm ，两底面对角线11EG E G ､的长分别为14cm 62cm ､，水深为12cm .(1)求正四棱台的体积；(2)将一根40cm长的玻璃棒l放在容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱1GG上，求l没入水中部分的长度.（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）题型四：圆柱一、填空题1．（2021·上海市松江二中高二期中）已知一个圆柱的底面直径为4，其表面积等于侧面积的32，则该圆柱的轴截面周长为______________.2．（2021·上海·位育中学高二阶段练习）已知圆柱的底面半径为1，母线长为4，AB为母线，则A绕圆柱侧面两周到达B点经过的最短路程为_______________3．（2021·上海市中国中学高二阶段练习）圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行一周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为______．4．（2022·上海民办南模中学高二开学考试）若一圆柱的侧面积为6 ，则经过圆柱的轴的截面积为______ 5．（2019·上海市金山中学高二阶段练习）有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线的长度是母线的长度；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点连线的长度是母线的长度；③圆柱的任意两条母线所在直线互相平行；④过球上任意两点有且只有一个大圆；其中正确命题的序号是_____题型五：圆锥一、单选题1．（2021·上海市进才中学高二期中）下列命题是假命题的是（）A．棱柱的所有侧面都是平行四边形B．将矩形ABCD绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆柱；C．正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心；D．将直角三角形AOB绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆锥.2．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为1V､2V､3V，则（）A ．123V V V =+B ．222123V V V =+C ．222123111V V V =+ D ．123111V V V =+二、填空题3．（2022·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末）圆锥的高为1，底面半径为3，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为____________4．（2021·上海市西南位育中学高二期中）若一个圆锥的底面半径为1，其侧面展开图的圆心角大小为23π，则该圆锥的高为__________.5．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二期中）已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为23π，底面周长为cm π，则这个圆锥的侧面积为___________2cm .6．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二期中）如图，一圆锥形物体的母线长为3cm ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处.若该小虫爬行的最短路程为33cm ，则圆锥底面圆的半径等于___________cm .三、解答题7．（2021·上海大学附属南翔高级中学高二期中）如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A 沿圆锥体的表面匀速爬行一周，又绕回到点A ，已知该圆锥体的底面半径为r ，母线长为3r ，试问小蚂蚁沿怎样的路径如何爬行，才能最快到达点A ?并求出该路径的长.题型六：球一、填空题1．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）已知球O 的半径为1，A 、B 是球面上两点，若线段AB 的2A 、B 两点间的球面距离为______．2．（2021·上海·格致中学高二阶段练习）若用与球心的距离为3的平面截球体所得的圆面半径为6，则球的体积为___________.3．（2020·上海市金山中学高二期末）若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______．4．（2021·上海市金山中学高二期末）已知,A B是体积为43π的球面上两点，O为球心，且,A B的球面的距离是233π，则AB=_______5．（2021·上海·华师大二附中高二期末）已知球O的半径为1，A､B是球面上两点，线段AB的长度为3，则A､B两点的球面距离为___________.6．（2021·上海市洋泾中学高二期中）某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为2m的正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中.若水晶球最高点到底座底面的距离为(2＋1)m，则水晶球的表面积为_______m2.7．（2022·上海交大附中高二开学考试）一个半径为1的小球在一个内壁棱长为36的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是________．题型七：旋转体、多面体、组合体一、填空题1．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二期中）如图，OABC是边长为1的正方形，AC是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴OC旋转一周得到的旋转体的表面积为________________.2．（2016·上海·华东师范大学第三附属中学高二期中（理））如图，在矩形ABCD中，E 为边AD的中点，1AB=，2BC=，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧EB、EC（E在线段AD上）．由两圆弧EB、EC及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为__．3．（2021·上海市进才中学高二期中）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为__________．4．（2021·上海·华师大二附中高二期中）有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________.二、解答题5．（2021·上海·复旦附中高二期中）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．（1）求此几何体的表面积；（2）如果点,P Q在直观图中所示位置，P为所在母线中点，Q为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径长．题型八：直观图一、单选题1．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二期中）水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观'''，则△ABC是图是正三角形A B CA．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形二、填空题2．（2021·上海·复旦附中高二期中）已知水平放置的ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中31,2B O C O A O ''''''===，则原ABC 中ABC ∠的大小是_________． 3．（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）如图∶矩形A 'B 'C 'D '的长为4cm ，宽为2cm ，O '是A 'B '的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD 的直观图，则四边形ABCD 的周长为∶__________cm ；4．（2021·上海市徐汇中学高二期中）一个腰长为5，底边长为8的等腰三角形的直观图的面积为______三、解答题5．（2021·上海浦东新·高二期中）在水平放置的平面上有一个边长为6cm 的等边ABC ，请在平面α上画出其直观图，并写出简要作法.6．（2021·上海·高二专题练习）设一正方形纸片ABCD 边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中AH PQ ⊥，O 为正四棱锥底面中心．，（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；（2）设等腰三角形APQ 的底角为x ，试把正四棱锥的侧面积表示为x 的函数，并求S 范围．一、单选题1．（2021·上海市延安中学高二期中）在斜棱柱的侧面中，矩形最多有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个2．（2021·上海·华师大二附中高二期中）如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥的轴截面的顶角的余弦值是（ ）A ．34B ．45C ．35D ．353．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）如图、用斜二测画法作△ABC 的直观图得△111A B C ，其中1111A B B C =，11A D 是11B C 边上的中线，由图形可知，在△ABC （D 是BC 的中点）中，下列结论中正确的是（ ）A ．AB BC AC ==B ．AD BC ⊥ C ．AC AD AB BC >>>D ．AC AD AB BC >>=二、填空题 4．（2021·上海·格致中学高二期中）棱长为6的正方体内有一个棱长为x 的正四面体，正四面体的中心（正四面体的中心就是该四面体外接球的球心）与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则x 的最大值为______．5．（2021·上海市松江二中高二期中）已知正四棱柱中11A C 、11B D 的交点为1O ，AC 、BD 的交点为2O ，连接12O O ，点O 为12O O 的中点.过点O 且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和10，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为______________.6．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二期中）一平面截一球得到面积为12π的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的一半，则该球的体积是________.7．（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）在三棱锥P ABC -中，已知巩固提升25,13,5PA BC PB AC PC AB ======，则该三棱锥的体积为___________.8．（2021·上海·华东师大附属枫泾中学高二期中）若平面α截球O 所得圆的半径为2cm ，球的半径为6cm ，则球心O 到平面α的距离为___________cm .9．（2021·上海市宝山中学高二期中）一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形，则该圆柱的体积是___________.10．（2021·上海市宝山中学高二期中）如图，圆锥的母线长为4，点M 为母线AB 的中点，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，这条绳子的长度最短值为25，则此圆锥的表面积为__________11．（2021·上海市西南位育中学高二期中）在北纬60°圈上有A B 、两地，A B 、之间的球面距离为3R π（R 为地球半径），则AB 、两地在此纬度圈上的弧长等于__________. 12．（2021·上海市西南位育中学高二期中）已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为4，则其侧面积为__________.13．（2021·上海市建平中学高二期中）从四棱锥P ABCD -的5个顶点中任选4个不同的点，则这四点能够构成不同三棱锥的个数是________（结果用数字作答）14．（2021·上海市建平中学高二期中）A 、B 是半径为R 的球面上两点，设O 是球心，且△AOB 是等腰直角三角形，则A 、B 的球面距离为________15．（2021·上海·位育中学高二期中）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则它的表面积是_________． 16．（2021·上海市进才中学高二期中）有一个圆锥侧面展开图是半径为2圆心角为270︒的扇形，则该圆锥的高是___________.17．（2021·上海市七宝中学高二期中）北纬30线贯穿四大文明古国：是一条神秘而又奇特的纬线．在这条纬线附近有神秘的百慕大三角、著名的埃及金字塔、世界最高峰珠穆朗玛峰、长江等，沿地球北纬30线前行，会发现许多奇妙且神秘的自然是观，在地球北纬30圈上有,A B 两地，它们的经度相差180，,A B 两地沿纬线圈的弧长与,A B 两地的球面距离之比为__________18．（2021·上海市杨浦高级中学高二期末）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.19．（2022·上海市嘉定区第二中学高二期末）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =，若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN =___________．20．（2020·上海市七宝中学高二期末）有一多边形ABCD 水平放置的斜二测直观图A B C D ''''是直角梯形（如图所示），其中45A B C '''=︒，B C C D ⊥''''，1A D D C ''''==，则原四边形ABCD 的面积为__________．21．（2020·上海市金山中学高二期末）如图， O A B '''△是水平放置的OAB 的斜二测直观图，若3,4O A OB '''==，则OAB 的面积为______．22．（2021·上海市七宝中学高二期中）如图，三角形A B C '''为水平放置的三角形ABC 的直观图，其中1O A A B ''''==，三角形A B C '''的面积为2.则原平面图形三角形ABC 的周长为________. 23．（2021·上海市延安中学高二期中）如图，若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是________．三、解答题24．（2021·上海市实验学校高二期中）空间中有四个球，它们的半径分别是2､2､3､3，每个球都与其余三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，求这个小球的半径.。
高二数学空间两条直线人教版知识精讲
高二数学空间两条直线人教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 空间两条直线目标：空间两条直线的位置关系；平行公理；等角定理，异面直线。
重点：平行公理、等角定理、异面直线。
难点：异面直线的判断及所成角。
知识点：⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫内的两条直线。
—不同在任何一个平面—异面共面平行相交系空间两条直线的位置关.1为空间三直线。
、、，其中，则平行公理：若c b a c a bc ba //////.2⎩⎨⎧ 3. 等角定理：若一个角的两边分别与另一角的两边平行，且方向相同，则这两个角的大小相等。
4. 异面直线的判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线。
5. 异面直线所成角：过空间任意一点O ，分别作异面直线a 与b 的平行线a’、b’，则a’与b’所成的锐角或直角叫做a 与b 的（夹角）所成角。
6. 异面直线所成角求法：（1）作角：平移a 或b ，使a 与b 相交，得到所求角。
（2）以该角为一可解三角形一内角，解三角形、求角的大小。
注意：若cos α<0，则所求角为π-α。
【典型例题】例1. 在空间四边形ABCD 的对角线BD 上取两点M 、N ，分别过点M 、N 在两个平面内各作一条异于对角线BD 的直线ME 、NF 。
求证ME 和NF 是异面直线。
证法一：用判定定理证BCD M BCD NF 平面，平面∈⊂Θ BCD F FN M 平面，且∉∉ 是异面直线与FN ME ∴证法二：反证法：假设ME 与NF 不是异面直线，即N 、F 、M 、E 四点共面 ，平面，且平面则BD E BCD E BCD E ∈⇒∈∈ 这与E 不在BD 上矛盾。
∴ME 与NF 是异面直线。
例2. 在正方体AC 1中，M 、N 分别是A 1B 1、B 1B 的中点，求 （1）AM 和CN 所成角的大小； （2）AM 和BD 所成角的大小； （3）AM 和BD 1所成角的大小。
D 1 C 1CA Q P B解：AB BP P AB 411=，使上取点）在（ 设AB=4，则∠CNP 为AM 与CN 所成角 17525===∆CP CN PN CNP ，，中，在52208525217205NC PN 2PC NC PN CNP cos 222==-+=⋅-+=∠∴·52arccos =∠∴CNP（2）将BD 平移至B 1D 1，再平移至MG （G 为A 1D 1中点） 则∠AMG 为AM 与BD 所成角。
2023学年上海高二上学期数学同步精讲练第05讲线线、线面、面面垂直的判定与性质(解析版)
第05讲线线、线面、面面垂直的判定与性质（核心考点讲与练）1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a⊂αb⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面⎭⎪⎬⎪⎫a∥ba⊥α⇒b⊥α推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a考点考向⇒l ⊥α1.证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．2.利用判定定理证明平面与平面垂直的一般方法先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明 3.证明面面垂直常用的方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可题型一：线面垂直的判定 一、填空题1．（2021·上海浦东新·高二期中）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的___________直线都垂直，那么此直线与该平面垂直. 【答案】两条相交【分析】根据直线与平面垂直的判定定理得解；【详解】解：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直. 故答案为：两条相交2．（2021·上海·高二专题练习）若E ，F 分别为四棱柱1111ABCD A B C D -的棱AB ，AD 的中点，则加上条件________，就可得结论：EF ⊥平面11DA C .（写出你认为正确的一个条件） 【答案】底面是菱形且1DC ⊥底面【分析】根据题意，先得到一个满足题意的条件，再由线面垂直的判定定理证明即可.能力拓展方法技巧【详解】只需加上条件：底面是菱形且1DC ⊥底面， 证明如下：因为底面是菱形，连接AC ，BD ，则BD AC ⊥，在四棱柱中，11//AC AC ，则11BD A C ⊥，又E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，所以11EF AC ⊥； 因为1DC ⊥底面，所以1DC EF ⊥，因为1DC ⊂平面11DA C ，11A C ⊂平面11DA C ，111DC AC C ⋂=， 所以EF ⊥平面11DA C .故答案为：底面是菱形且1DC ⊥底面.【点睛】本题主要考查补全线面垂直的条件，熟记线面垂直的判定定理即可，属于常考题型. 二、解答题3．（2021·上海市甘泉外国语中学高二期中）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1.(1)求证：1//AD 平面C 1BD ；(2)求证：1AD ⊥平面A 1D C .【分析】（1）推导出四边形11C D AB 是平行四边形，从而11//AD C B ，由此能证明1//AD 平面1C BD ； （2）推导出11A D AD ⊥，CD ⊥平面11A ADD ，1CD AD ⊥，由此能证明1AD ⊥平面1A DC ． (1)正方体1111ABCD A B C D -．1111//C D A B ∴，1111C D A B =， 又11//AB A B ，11AB A B =，11//C D AB ∴，11C D AB =，∴四边形11C D AB 是平行四边形，11//AD C B ∴，1C B ⊂平面1C BD ，1AD ⊄平面1C BD ， 1//AD ∴平面1C BD ．(2)正方体1111ABCD A B C D -． 11A D AD ∴⊥，CD ⊥平面11A ADD ， 1AD ⊂平面11A ADD ，1CD AD ∴⊥，又1A D CD D =，1AD ∴⊥平面1A DC ．4．（2021·上海市七宝中学高二期中）如图，在三棱锥P ABC -中，M 为AC 的中点，PA PC ⊥，AB BC ⊥，AB BC =，2PB =，2AC =，30PAC ∠=︒.(1)证明：BM ⊥平面PAC ；(2)求三棱锥P ABC -的体积. 【答案】(1)证明见详解3【分析】（1）由等腰三角形、直角三角形的性质，根据线面垂直的判定证明BM ⊥平面P AC ； （2）由于BM ⊥平面PAC ，故13P ABC PACV BM S-=⋅，计算即得解(1)证明：∵AB ⊥BC ，AB ＝BC ，∴ ABC 为等腰直角三角形，又M 为AC 的中点，AC ＝2， ∴MB ＝12AC ＝1，且BM ⊥AC ， 又∵P A ⊥PC ，∠P AC ＝30°，∴MP ＝12AC ＝1，1,3PC PA ==MB ＝MP ＝1，又PB 2MP 2＋MB 2＝BP 2，∴MP ⊥MB ，又AC ∩MP ＝M ，AC ，MP ⊂平面P AC∴BM ⊥平面P AC .(2)由（1）BM ⊥平面PAC 故1111311333266P ABC PACV BM SBM PA PC -=⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯=故三棱锥P ABC -的体积365．（2021·上海·高二专题练习）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是棱AB 、BC 和1DD 所在直线上的动点：（1）求1EB F ∠的取值范围：（2）若N 为面1EB F 内的一点，且45EBN ∠=︒，60FBN ∠=︒，求1B BN ∠的余弦值：（3）若E 、F 分别是所在正方形棱的中点，试问在棱1DD 上能否找到一点M ，使BM ⊥平面1EFB ?若能，试确定点M 的位置，若不能，请说明理由.【答案】（1）0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）12；（3）点M 为1D D 的中点，理由见解析【分析】（1）设,BE x BF y ==，求出11,,E B B F EF ，利用余弦定理求解1cos F EB ∠，然后求出1EB F ∠的取值范围．（2）设N 在1,,BE BF BB ，三边上的投影分别是11,,E F 1G ，转化求出1B BN ∠，即可得到它的余弦值． （3）设EF 与BD 的交点为G ，连接1B G ，说明EF ⊥平面11BB D D ，过B 作1BK G B ⊥于K ，延长后交1D D 所在的直线于点M ，则BM ⊥平面1B EF ．通过1BG B BDM ∆∆，求解即可．【详解】解：（1）设,BE x BF y ==，则22222211,,x B a y EF B E a F x y ++=+所以22211111cos 2B E B F EF EB B E B F F +-∠==⋅22222222122x a y a a a<=+⋅+⋅，1EB F ∠的取值范围为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）解：设N 在1,,BE BF BB ，三边上的投影分别是1E ，1F ，1G ，则由于45,60EBN FBN ︒︒∠=∠=，1121cos 45,cos 6022BE BN BN B BN N F B ︒︒∴====． 2222111BE BF BG BN ++=，112BG BN ∴=， 即160BN B ︒∠=，它的余弦值为12（3）解：设EF 与BD 的交点为G ．连接1B G ， 则由EF BF ⊥以及1EF B B ⊥，知EF ⊥平面11BB D D ，于是面1B EF ⊥面11BB D D ，在面11BB D D 内过B 作1BK G B ⊥于K ，延长后交1D D 所在的直线于点M ，则BM ⊥平面1B EF ，在平面11BB D D 内，由1BGB BDM ∆∆，知1B B BD BG DM =，又12,,2a BG B B B D a ===， ∴2aDM =．这说明点M 为1D D 的中点．【点睛】本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．题型二：线面垂直证明线线平行3．（2018·上海市宝山中学高二期中）,,a b c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是 A ．若//a b ，//a α，则//b α B ．若a ⊥b ， b ⊥α，则a ⊥α C ．若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a b D ．若a ⊥α，b ⊥α，则//a b【答案】D【分析】根据空间中线线、线面之间的位置关系依次判断各个选项即可. 【详解】//a b ，//a α，此时//b α或b α⊂，A 错误；b α⊥，a b ⊥，此时//a α或a α⊂，B 错误；a c ⊥，bc ⊥，此时,a b 可能平行、异面或相交，C 错误； 垂直于同一平面的两直线平行，D 正确. 本题正确结果：D【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的相关定理的应用，属于基础题. 二、填空题4．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为11B C ，1D D 和AB 的中点，则下列关系：①BM AB ⊥；②BM ∥平面11A PC ；③1BM C P ⊥； ④1B N ⊥平面11A PC ，正确的编号为___________________. 【答案】①②④【分析】①，由AB ⊥面11BCC B ，BM ⊂面11BCC B ，得AB BM ⊥，； ②，取11A C 的中点O ，可得PO BM ，BM ∥面11A PC ；③，若1BM C P ⊥，可得BM ⊥面1C PB ，从而得到1BM BC ⊥，与已知矛盾；④，取1AA 中点，可得1A P ⊥面1B HN ，得到11B N A P ⊥，即可得1B N ⊥平面11A PC . 【详解】对于①，正方体1111ABCD A B C D -中AB ⊥面11BCC B ，BM ⊂面11BCC B ，AB BM ∴⊥，故正确；对于②，如图，取11A C 的中点O ，M 为11B C 中点，所以11MO A B ，1112MO A B =， 正方体1111ABCD A B C D -中，P 为AB 中点， 所以可得11PB A B ，12PB AB =， 所以MO PB =，MO PB ∥， 所以MOPB 为平行四边形， 所以PO BM ，而BM ⊄面11A PC ，PO ⊂面11A PC 所以BM ∥面11A PC ，故正确；对于③，若1BM C P ⊥，正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面11BB C C ，BM ⊂面11BB C C ， 所以AB BM ⊥，而1BM C P ⊥，1,C P AB ⊂面1C PB ，1C P AB P =，所以BM ⊥面1C PB而1BC ⊂面1C PB ，所以1BM BC ⊥与已知矛盾，故错误； 对于④，如图，取1AA 中点H ，根据平面几何关系，得到11A P B H ⊥，1AA HN ⊥ 1,B H HN ⊂面1B HN ，1B HHN H =，所以1A P ⊥面1B HN ，而1B N ⊂面1B HN ，所以11A P B N ⊥正方体1111ABCD A B C D -中，易得11A C ⊥面11DBB D ， 而1B N ⊂面11DBB D ，所以111AC B N ⊥. 111,A P A C ⊂面11A PC ，1111A PA C A =，所以1B N ⊥面11A PC ， 故正确．故答案为：①②④【点睛】本题考查线面平行的判定，线面垂直的性质和判定，属于中档题. 题型三：线面垂直证明线线垂直 一、单选题1．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ 和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A 、B ，AB 与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ 与直线AB 垂直的次数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】作出与PQ 垂直的平面后判断几何关系 【详解】作出平面CDEF ，使得PQ ⊥平面CDEF ， 当PQ AB ⊥时，//AB 平面CDEF 或AB平面CDEF ，结合旋转分析可知有两次使得PQ AB ⊥． 故选：A2．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）已知点P 是△ABC 所在平面外一点，且P 到△ABC 三个顶点的距离相等，则P 点在平面ABC 上的射影是△ABC 的（ ） A ．重心 B ．垂心C ．内心D ．外心【答案】D【分析】如图P 是ABC 所在平面外一点，O 是P 点在平面a 上的射影．若P 到ABC 三个顶点的距离相等，由三角形全等可以得到三线段OA OB OC ==，则O 是ABC 的外心． 【详解】解：如图P 是ABC 所在平面外一点，O 是P 点在平面a 上的射影．若P 到ABC 三个顶点的距离相等，即PA PB PC ==，又PO ⊥平面ABC ，,,OA OB OC ⊂平面ABC ，所以PO OA ⊥、PO OB ⊥、PO OC ⊥，所以Rt POC Rt POB Rt POA ≅≅，即OA OB OC ==，由三角形外心的定义知此时点O 是ABC 的外心， 故选：D ；三、解答题5．（2021·上海市市西中学高二期中）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60° (1)证明：C 1C ⊥BD ；(2)当1CD CC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ?请给出证明． 【答案】(1)证明见解析(2)1CD CC ＝1，证明见解析 【分析】(1)连结AC 和BD 交于O ，根据题意可得C 1O ⊥BD ，利用线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面AA1C 1C ，结合线面垂直的性质即可得出结果；(2) 当1CD CC ＝1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ．利用线面垂直的判定定理证明即可.(1)连结AC 和BD 交于O ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BC ＝CD ．又∵∠BCC 1＝∠DCC 1，C 1C ＝C 1C ，∴△C 1BC ≌△C 1DC ，∴C 1B ＝C 1D ，∵DO ＝OB ，∴C 1O ⊥BD ．又1C O AC O =，1C O AC ⊂、平面AA1C 1C ，∴BD ⊥平面AA1C 1C ，1C C ⊂平面AA1C 1C ，∴C 1C ⊥BD ．(2)当1CD CC ＝1时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ． 证明：由（1）知，BD ⊥平面AA1C 1C ，∵A 1C ⊂平面AA1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ， 当1CD CC ＝1时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同理可得BC 1⊥A 1C ，又BD ∩BC 1＝B ，∴A 1C ⊥平面C 1BD ．题型四：面面垂直的判定一、单选题1．（2021·上海·复旦附中高二期中）在三棱锥A BCD -中，若AD BC ⊥，AD BD ⊥，那么必有（ ） A ．平面ADC ⊥平面BCD B ．平面ABC ⊥平面BCDC ．平面ABD ⊥平面ADCD ．平面ABD ⊥平面ABC【答案】A 【解析】由已知条件推导出AD ⊥平面BCD ，结合面面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；利用面面垂直的性质定理可判断BCD 选项的正误.【详解】AD BC ⊥，AD BD ⊥，且BC BD B =，AD ∴⊥平面BCD .对于A 选项，AD ⊂平面ADC ，所以，平面ADC ⊥平面BCD ，A 选项正确； 对于B 选项，若平面ABC ⊥平面BCD ，过点A 在平面ABC 内作AE BC ⊥，如下图所示：由于平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，AE BC ⊥，AE ⊂平面ABC ，AE ∴⊥平面BCD ，又AD ⊥平面BCD ，过点A 作平面BCD 的直线有且只有一条，假设不成立，B 选项错误；对于C 选项，若平面ABD ⊥平面ADC ，平面ABD ⋂平面ADC AD =，AD BD ⊥，BD ⊂平面ABD ，BD ∴⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC ，则BD CD ⊥，而BD 与CD 是否垂直未知，C 选项错误；对于D 选项，过点D 在平面ABD 内作DF AB ⊥，垂足为点F ，若平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD ⋂平面ABC AB =，DF AB ⊥，DF ⊂平面ABD ，所以，DF ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC DF ∴⊥，BC AD ⊥，DF AD D ⋂=，BC ∴⊥平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，BC BD ∴⊥，但BC 与BD 是否垂直未知，D 选项错误.故选：A.【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.二、填空题2．（2021·上海·华师大二附中高二阶段练习）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱PA a =，2PB PD a ==，则它的5个面中，互相垂直的面有__________对.【答案】5【详解】由勾股定理逆定理得P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，∴P A ⊥面ABCD ，P A ⊥CD ，P A ⊥CB .由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面P AB ⊥平面P AD ，平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ⊥平面PCD .答案：5.3．（2021·上海市七宝中学高二阶段练习）已知ABCD 是边长为a 的正方形，点P 在平面ABCD 外，侧棱PA a =，2PB PD a ==，则该几何体P ABCD -的5个面中，互相垂直的面有______对【答案】5【分析】先找出直线平面的垂线，然后一一列出互相垂直的平面即可【详解】因为ABCD 是边长为a 的正方形，PA a =，2PB PD a ==，所以222222,PA AD PD PA AB PB +=+=，所以90PAD PAB ∠=∠=︒，所以,PA AD PA AB ⊥⊥，因为AB AD A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，因为PA ⊂平面PAB ,PA ⊂平面PAD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，因为AB AD ⊥，AB 平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以AB ⊥平面PAD ，因为AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ，同理可得BC ⊥平面PAB ，则平面PAB ⊥平面PBC ，CD ⊥平面PAD ，则平面PAD ⊥平面PCD ，所以互相垂直的面有5对，故答案为：5三、解答题4．（2022·上海市杨浦高级中学高二期末）如图，三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，PA PB PC ==，且,M N 分别为线段,AB PC 的中点.(1)若点K 是线段PM 的中点，求证：直线//NK 平面ABC ；(2)求证：平面PCM ⊥平面ABC .【分析】（1）由题意可得//NK CM ，从而可证.(2) 由题意可得PC ⊥平面PAB ，从而可得PC AB ⊥，由根据条件可得AB PM ⊥，从而可得AB ⊥平面PCM ，从而可得证.(1)由,M N 分别为线段,AB PC 的中点.由中位线定理知//NK CM ，又CM ⊂平面ABC ，且NK ⊄平面ABC ，所以直线//NK 平面ABC(2),,PA PB PC 两两垂直，即,PC AP PC BP ⊥⊥,且BP AP P ⋂=所以PC ⊥平面PAB ，又AB平面PAB ，所以PC AB ⊥由PA PB =，且M 分别为线段AB 的中点，所以AB PM ⊥， PM PC P ⋂=因此根据线面垂直判定定理得AB ⊥平面PCM ，且AB 平面ABC所以平面PCM ⊥平面ABC .5．（2021·上海·复旦附中高二期中）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥面,1ABCD PD =．(1)求证：面PAB ⊥面PAD ；(2)求四棱锥P ABCD -的侧面积．【答案】(1)证明见解析(2)25+【分析】（1）由底面ABCD 为正方形，得到AB AD ⊥，再由PD ⊥平面ABCD ，得到AB PD ⊥，证得AB ⊥平面PAD ，进而证得平面PAB ⊥平面PAD .（2）由PD ⊥面ABCD ，得到,PD AD PD DC ⊥⊥，求得1PAD PDC SS ==，再由AB ⊥平面PAD 和BC ⊥平面PCD ，求得5PAB PBC S S ==P ABCD -的侧面积.(1)证明：由四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥， 又由PD ⊥平面ABCD ，且AB 平面ABCD ，所以AB PD ⊥，因为AD PD D =且,AD PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，又因为AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)由四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且1PD =，因为PD ⊥面ABCD ，可得,PD AD PD DC ⊥⊥，所以12112PAD PDC S S ==⨯⨯=，又由AB ⊥平面PAD ，可得AB PA ⊥，且PA 同理可得：BC ⊥平面PCD ，可得BC PC ⊥，且PC ==所以122PAB PBC S S ==⨯=所以四棱锥P ABCD -的侧面积为2PAD PDC PAB PBC S SS S S =+++=+题型五：面面垂直证线面垂直一、单选题 1．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）已知点P 是正四棱锥V ABCD -的侧棱VA 上异于点V 的一动点，则点P 在面VBC 上的射影落在（ ）A ．VBC △的外部B ．VBC △的内部 C ．VBC △的一边上D ．以上皆有可能【答案】A【分析】把正四棱锥放在正四棱柱中，通过作出垂线，找出射影，即可判断选项.【详解】解：把正四棱锥放在正四棱柱中，V 是上底面的中心，如图，连接11A B 与11C D 的中点EF ，由图可知，过A 作'AA EB ⊥，连接'A V ，因为平面EFCB ⊥平面 11A ABB ，所以'AA ⊥平面EFCB ，因为'AA ⊂平面'VAA ，所以平面'VAA ⊥平面EFCB所以点P 在面VBC 上的射影落在'A V 上，即在VBC △外部，故选：A .2．（2021·上海市延安中学高二期中）如图所示，在斜三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=，且1BC AC ，过1C 作1C H ⊥平面ABC ，垂足为H ，则点H 在（ ）A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．ABC 内部【答案】B【分析】先通过线线垂直证明AC ⊥面1ABC ，进而可得面ABC ⊥面1ABC ，由面面垂直的性质定理可得要过1C 作1C H ⊥平面ABC ，只需过1C 作1C H AB ⊥即可，则答案可求.【详解】连接1AC ，1BC AC ，BA AC ⊥，且1BC BA B ，AC ∴⊥面1ABC ，又AC ⊂面ABC∴面ABC ⊥面1ABC ，面ABC 面1ABC AB =，要过1C 作1C H ⊥平面ABC ，则只需过1C 作1C H AB ⊥即可，故点H 在直线AB 上故选：B.3．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）已知α，β是两个不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】由面面垂直的判定定理及面面垂直的性质，结合充分必要条件的定义即可判断.【详解】根据面面垂直的判定定理，可知若l α⊂，则“l β⊥”则αβ⊥成立，满足充分性；反之，若,l αβα⊥⊂，则l 与β的位置关系不确定，即不满足必要性；所以“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：A.二、填空题4．（2021·上海市松江二中高二期中）如图，在棱长均为23的正四面体ABCD 中，M 为AC 中点，E 为AB 中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是______.311+【分析】根据面面垂直的判定定理得出平面ABC ⊥平面CDE ，过M 作MG CE ⊥，再由面面垂直的性质得出MG ⊥平面CDE ，进而找出DM 在平面CDE 上的射影，再把平面ADM 展开，得到平面A DM '，从而将AP PQ +的最小值转化为A '到DG 的距离，进而利用两角和与差的正弦公式和直角三角形的性质，求解三角形的边和角，即可求出A Q '，从而求得AP PQ +的最小值.【详解】解：由题可知，棱长均为3ABCD 中，则ABC 和ABD △是边长为23的等边三角形， M 为AC 中点，E 为AB 中点， 则,CE AB DE AB ⊥⊥，且CEDE E =，,CE DE ⊂平面CDE ， 故AB ⊥平面CDE ，而AB平面ABC ，故平面ABC ⊥平面CDE ， 而平面ABC 平面CDE CE =，过M 作MG CE ⊥，则MG ⊥平面CDE ，连接DG ，则DG 为DM 在平面CDE 上的射影，要使AP PQ +最小，则PQ DG ⊥，沿DM 把平面ADM 展开，得到平面A DM '，使得平面A DM '与平面DMG 重合，此时,,A P Q '三点共线，且A Q DG '⊥，则AP PQ +的最小值为A '到DG 的距离，即为A Q '，由于1322MG AE ==，()()222333DM =-=，则332sin 36MG MDG MD ∠===，33cos 6MDG ∴∠=， 又因为30A DM ︒'∠=，则()sin sin 30A DG MDG ︒'∠=∠+sin cos30cos sin 30MDG MDG ︒︒=∠⋅+∠⋅33331333626212+=⨯+⨯=， 又23A D '=，则在Rt A QG '△中，()333311sin 23122A Q A D ADG ++''=⋅∠=⨯=， 所以AP PQ +的最小值是3112+. 故答案为：3112+. 【点睛】本题考查空间线段之和的最值，涉及空间中的点、线、面间位置关系和线面、面面垂直的判定和性质，以及空间点到线的距离、直角三角形边角的计算、两角和与差的正弦公式的应用，考查空间推理和计算能力，体现数形结合的思想.三、解答题5．（2021·上海·曹杨二中高二阶段练习）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面,60,4ABC PAC BAC AC ∠∠===，3,2AB AP ==.(1)求PB 的长；(2)求点C 到平面PAB 的距离.【答案】10415【分析】（1）构造以PB 为斜边的直角三角形，利用勾股定理计算出PB .（2）利用等体积法求得点C 到平面PAB 的距离.(1)过P 作PD AC ⊥，垂足为D ，连接BD .由于平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，所以PD ⊥平面ABC ，所以PD BD ⊥.在三角形PAC 中，由余弦定理得416224cos 6023PC =+-⨯⨯⨯︒=222PA PC AC +=，所以三角形PAC 是直角三角形.sin 603,cos 601,413PD PA AD PA CD =⋅︒==⋅︒==-=,在三角形ABD 中，由余弦定理得19213cos 607BD =+-⨯⨯⨯︒=所以在直角三角形PBD 中，3710PB =+(2)11134sin 6033332P ABC ABC V S PD -=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅， 在三角形PAB 中，2,3,10PA AB PB ===49101cos 2234PAB +-∠==⨯⨯，PAB ∠是三角形的内角，115sin 116PAB ∠=- 所以115315232PAB S =⨯⨯=设C 到平面PAB 的距离为h ， 则13154153,3h h ==题型六：空间垂直的转化一、单选题1．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）已知m 、n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．平面α与β外的直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，则（ ）A ．//αβ，且//l αB ．αβ⊥且l β⊥C ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l【答案】D【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，判断选项.【详解】A.,αβ不可能平行，若平行，直线//m n ，与两直线是异面直线矛盾，故A 错误；B. ,αβ可能垂直，但//l β或l β⊂，故B 错误；C. ,αβ不可能平行，所以一定相交，//m m '，m n A '=，所以,l m l n '⊥⊥，即l 垂直于m '与n 确定的平面，设a αβ⋂=，由条件可知m a ⊥，n a ⊥，即m a '⊥，所以a 垂直于m '与n 确定的平面，那么//l a ，故D 正确.故选：D二、填空题2．（2021·上海市七宝中学高二阶段练习）已知A ，B ，C ，D ，E 为空间不共面的五个点，顺次用线段连接这五个点构成空间五边形，则在此五边形中互相垂直的边最多有多少______对【答案】7【分析】说明不可能有4条边同时垂直于同一条边，再说明同一条边垂直的边最多3条，结合图形说明即可，如图所示，平面α⊥平面β，,,l AB AE BC l αβ⋂=⊥⊥，,DE l CD l ⊥∕∕，即可得解.【详解】解：首先五边形中，不可能有4条边同时垂直于同一条边，否则，,,,AB AE CD DE 同时垂直于BC ，则BC ⊥平面ABE ，BC ⊥平面CDE ，于是若平面ABE ∕∕平面CDE ，则与两平面有公共点E 相矛盾，则平面ABE 与平面CDE 重合，这又与A ，B ，C ，D ，E 为空间不共面的五个点相矛盾，因此与同一条边垂直的边最多3条，所以互相垂直的直线至多有1153522⨯⨯=对，即最多7对， 下面说明7对可以达到的，如图所示，平面α⊥平面β，,,l AB AE BC l αβ⋂=⊥⊥，,DE l CD l ⊥∕∕，则这个五边形有7对互相垂直的边：,,BC BA BC AE DE EA ⊥⊥⊥，,,,DE BA BA AE CD BC CD DE ⊥⊥⊥⊥. 故答案为：7.一、单选题1．（2021·上海·复旦附中高二期中）设m ､n 为两条直线，α､β为两个平面，则下列命题中假命题是（ ） A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B ．若//m n ，m α⊥，//n β，则αβ⊥C ．若m n ⊥，//m α，//n β，则//αβD ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ【答案】C【分析】本题要进行两平面平行与垂直的判断，只要利用两平面平行与垂直的性质定理以及平面的法向量之间的关系判断两平面平行与垂直即可得出答案.【详解】A.若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，相当于两平面的法向量垂直，两个平面垂直，A 正确；B.若//m n ，m α⊥，则n α⊥，又//n β，则平面β内存在直线//c n ，所以c α⊥，所以αβ⊥，B 正确；C.若m n ⊥，//m α，//n β，则αβ，可能相交，可能平行，C 错误；D.若//m n ，m α⊥，n β⊥，则αβ，的法向量平行，所以//αβ，D 正确.故选：C. 2．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）如图，点E 为正方形ABCD 边BC 上异于点B C 、的动点，将ABE△沿AE 翻折，得到如图所示的四棱锥B AECD -，且平面BAE ⊥平面AECD ，点F 为线段BD 上异于点B D 、的动点，则在四棱锥B AECD -中，下列说法：①直线BE 与直线CF 必不在同一平面上；②存在点E 使得直线BE ⊥平面DCE ；③存在点F 使得直线CF 与平面BAE 平行；巩固提升④存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直.以上叙述正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④【答案】B 【分析】对于①，利用反证法推理，对于②，利用反证法推理，对于③，当E 是BC 中点，且F 为BD 中点时，直线CF 与平面BAE 平行，对于④，由于DC 与平面BCE 不垂直，从而不存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直【详解】对于①，若直线BE 与直线CF 共面，则点,,,,B E C F D 五点共面，由已知得B 在平面DCE 外，所以直线BE 与直线CF 必不在同一平面上，所以①正确，对于②，若存在点E 使得直线BE ⊥平面DCE ，则BE CE ⊥，BE CD ⊥，因为平面BAE ⊥平面AECD ，平面BAE 平面AECD AE =，所以当BE CE ⊥时，BE 必同时垂直AE ，但AE 与BE 不垂直，所以不存在点E 使得直线BE ⊥平面DCE ，所以②错误，对于③，当E 是BC 中点，且F 为BD 中点时，取AD 的中点G ，连接,CG FG ，则FG ∥AB ，AG EC =，AG ∥EC ，所以四边形AECG 为平行四边形，所以AE ∥CG ，因为FG ⊄平面BAE ，CG ⊄平面BAE ，AB 平面BAE ，AE ⊂平面BAE ，FG CG G =，所以平面CFG ∥平面BAE ，因为CF ⊂平面CFG ，所以直线CF 与平面BAE 平行，所以③正确，对于④，因为AEB ∠为锐角，90DCE ∠=︒，所以DC 与平面BCE 不垂直，所以不存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直，所以④错误，故选：B3．（2021·上海市金山中学高二期中）若a ，b 是异面直线，则下列命题中的假命题为（ ）A ．过直线a 有且仅有一个平面α与直线b 平行B ．可能存在平面α与直线a ，b 都垂直C ．唯一存在一个平面α与直线a ，b 等距D ．过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直【答案】B【分析】对于A ，把直线b 平移与直线a 相交，确定一个平面平行于直线b ，对于B ，若存在平面α与直线a ，b 都垂直，则a ∥b ，对于C ，由唯一性定理得唯一存在一个平面α与直线a ，b 等距，对于D ，只有a ，b 垂直时才能作出一个平面α与直线a 垂直【详解】对于A ，因为a ，b 是异面直线，所以把直线b 平移与直线a 相交，确定一个平面平行于直线b ，所以过直线a 有且仅有一个平面α与直线b 平行，所以A 正确，对于B ，若存在平面α与直线a ，b 都垂直，则a ∥b ，这与已知矛盾，所以B 错误，对于C ，因为a ，b 是异面直线，所以由唯一性定理得唯一存在一个平面α与直线a ，b 等距，所以C 正确，对于D ，只有a ，b 垂直时才能作出一个平面α与直线a 垂直，否则过直线a 不可能作一个平面α与直线b 垂直，所以D 正确，故选：B4．（2021·上海市宝山中学高二期中）已知直线,a b 和平面,M N ，且a M ⊥，那么（ ）A ．//b a b M ⊥⇒B ．//N M a N ⊥⇒C ．//b M b a ⇒⊥D ．//a N M N ⊂⇒【答案】C【分析】对于A 选项，还可以为b M ⊂；对于B 选项，还可以为a N ⊂；对于C 选项根据线面垂直的性质判断；对于D 选项，应该为M N ⊥.【详解】解：对于A 选项，,//a M b a b M ⊥⊥⇒或b M ⊂，故错误；对于B 选项，,//a M N M a N ⊥⊥⇒或a N ⊂，故错误；对于C 选项，//,M b a b M a ⊥⇒⊥，故正确；对于D 选项，,N M N a a M ⊥⊂⇒⊥，故错误.故选：C5．（2021·上海市甘泉外国语中学高二期中）在三棱锥P ﹣ABC 中，顶点P 到AB 、AC 和BC 的距离都相等，P 在底面的投影为O 且在△ABC 内，则点O 是△ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心 【答案】A【分析】由题意可设|PO |＝m ，P 到△ABC 的三边距离为d ，据此分析可得O ，据此即可得解．【详解】根据题意，设点P 在△ABC 上的射影O 在△ABC 内，且点P 到△ABC 的三边距离相等，设|PO |＝m ，P 到△ABC 的三边距离为d ，则O 到三边的距离相等，大小为22d m -，故P 点在平面ABC 上的射影是△ABC 的内心，故选：A ．6．（2021·上海·高二专题练习）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝1，AD ⊥AB ，∠BCD ＝45°，将△ABD 沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为A ′，使二面角A ′—BD —C 为直二面角，给出下面四个命题：①A ′D ⊥BC ；②三棱锥A ′—BCD 的体积为26；③CD ⊥平面A ′BD ；④平面A ′BC ⊥平面A ′D C ．其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】根据//AD BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ︒∠=， 易得 CD BD ⊥，再根据，平面A BD '⊥平面BCD ，得CD ⊥平面A BD '，可判断③的正误；由二面角A BD C '--为直二面角，可得A H '⊥平面BCD ，则可求出A BDC V '-，进而可判断②的正误；根据CD ⊥平面A BD '，有CD A B '⊥，,A B A D ''⊥ 得A B '⊥平面CDA '，④利用面面垂直的判定定理判断④的正误；根据CD ⊥平面A BD '，有CD A D '⊥，若A D BC '⊥，则可证A D '⊥平面BCD ，则得到A D BD '⊥，与已知矛盾，进而可判断①的正误.【详解】由题意，取BD 中点H ，连接A H '，则折叠后的图形如图所示：由二面角A BD C '--为直二面角，可得A H '⊥平面BCD ，则A H CD '⊥，∴A BDC V '-＝12213⨯=②正确，∵CD BD ⊥，A H CD '⊥，且A HBD H '=，∴CD ⊥平面A BD '，故③正确， ∵1A B '=，由几何关系可得3A C '=，2BC =，∴2222132A B A C BC ''+=+==，∴A B A C ''⊥，由CD ⊥平面A BD '，得CD A B '⊥，又A C CD C '=∴A B '⊥平面A DC '，∵A B '⊂平面A BC '，∴ 平面A BC '⊥平面A DC '，④正确，CD ⊥平面A BD '，CD A D '∴⊥，若A D BC '⊥，则可证A D '⊥平面BCD ，则得到A D BD '⊥，与已知矛盾，所以①错误.故选C .【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，解题关键是利用好直线与平面，平面与平面垂直关系的转化关系，属于中档题.7．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）如图1，已知P ABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB ⊥BC ，D 在线段PC 上，AD ⊥PC ．将△P AD 沿AD 折起，使平面P AD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A ．平面P AB ⊥平面PBC B ．BC ⊥平面PDCC ．PD ⊥ACD ．PB ＝2AN【答案】A 【分析】由已知利用平面与平面垂直的性质得到PD ⊥平面ABCD ，判定C 正确；进一步得到平面PCD ⊥平面ABCD ，结合BC ⊥CD 判定B 正确；再证明AB ⊥平面P AD ，得到△P AB 为直角三角形，判定D 正确；可证明平面PBC ⊥平面PDC ，若平面P AB ⊥平面PBC ，则平面P AB 与平面PDC 的交线⊥平面PBC ，矛盾，可判断A【详解】图1中AD ⊥PC ，则图2中PD ⊥AD ，又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PD ⊥平面ABCD ，则PD ⊥AC ，故选项C 正确；。
2022-2023学年上海高二上学期数学同步精讲练第10章 空间直线与平面(单元提升卷)(解析版)
第10章 空间直线与平面（单元提升卷）（满分150分，完卷时间120分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤． 一、填空题1．已知直线,a b 和平面α，若,a b αα⊥⊥，则a 与b 的位置关系是________ 【答案】//a b 【详解】两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线互相平行，可以用反证法进行证明：设a α⊥于A 点，b α⊥于B 点，假设b 与a 不平行，则过B 作直线'b ，使'b a ，在平面α 内取相交直线,,,,,,,'m n a m n a m a n b a αα⊥⊂∴⊥⊥ ，'b ∴ 与,m n 所成角等于a 与,m n 所成角，即'b m ⊥且'b n ⊥ ，,m n 是平面α内的相交直线，'b α∴⊥ ，这样经过点B 有两条直线b 与'b 与平面α垂直，这是不可能的，所以假设不成立，可得a b ∥，故答案为a b ∥.2．三条不同的直线a 、b 、c ，若//a b ，c 与a 、b 都相交，则a 、b 、c 三条直线能确定的平面的个数是______个． 【答案】1【分析】根据平面的基本性质，即可得到a 、b 、c 三条直线能确定唯一的平面，即可得到答案. 【详解】由直线//a b ，可得直线,a b 可以唯一确定一个平面，设该平面为α， 设,a c A b c B ⋂=⋂=，可得,A B αα∈∈，因为,A c B c ∈∈，所以c α⊂，所以a 、b 、c 三条直线能确定的平面的个数是1个. 故答案为：1.3．已知角α的大小为150°,且异面直线a b 、分别与角α的两边平行,则异面直线a b 、所成角的大小为_________.【答案】30°【分析】根据异面直线所成角的定义可知.【详解】因为异面直线a b 、分别与角α的两边平行， 所以角α（或其补角）为异面直线所成的角， 由α的大小为150°知，异面直线a b 、所成角的大小为30° 故答案为30°【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，所成角的范围，属于容易题.4．线段AB 在平面α的同侧，A ，B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________． 【答案】4【分析】设AB 的中点为M ，分别过A ，M ，B 向α作垂线，利用梯形中位线可得.【详解】如图，设AB 的中点为M ，分别过A ，M ，B 向α作垂线，垂足分别为A 1，M 1，B 1，则由线面垂直的性质可知，AA 1∥MM 1∥BB 1，且A ，M ，B 共线，所以四边形AA 1B 1B 为直角梯形，AA 1＝3，BB 1＝5，MM 1为其中位线，∴MM 1＝4．故答案为：45．如图，平面ABC ⊥平面ABD ，90ACB ︒∠=，CA CB =，ABD △是正三角形，O 为AB 的中点，则图中直角三角形的个数为______.【答案】6【解析】由面面垂直的性质定理可得：CO ⊥平面ABD ，再逐一判断即可得解. 【详解】解：CA CB =，O 为AB 的中点，CO AB ∴⊥.又平面ABC ⊥平面ABD ，且交线为AB ，CO ∴⊥平面ABD .OD ⊂平面ABD ，CO OD ∴⊥， COD ∴为直角三角形.∴图中的直角三角形有AOC △，COB △，ABC ，AOD △，BOD ，COD △，共6个. 故答案为：6.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，重点考查了空间想象能力，属基础题.6．如果直线l 与平面α所成的角为3π，那么直线l 与平面α内的直线所成的角的取值范围是______；【答案】,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知中一条直线与平面α成3π角，根据“最小角定理”，可得这条直线与平面内的直线所成角中最小值为3π，再根据线线夹角的定义，求出条直线与平面内的直线所成角中最大值，即可求出这条直线与平面内的直线所成角的取值范围． 【详解】一条直线与平面α成3π角， 则这条直线与平面内的直线所成角中，最小的角为3π， 当两直线垂直时，最大值为2π 故这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中确定直线与平面所成的角，是这条直线与平面内的直线所成角的最小值，是解答本题的关键．7．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是______．①αβ⊥，且m α⊂；②m n ∥，且n β⊥；③αβ⊥，且m α∥；④m n ⊥，且n β∥． 【答案】②【分析】根据空间中线面、面面垂直的性质定理与判定定理一一判断即可； 【详解】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，知： 在①中，αβ⊥且m α⊂，则m 与β相交、平行或m β⊂，故①错误；在②中，//m n 且n β⊥，由直线与平面垂直的判定定理得m β⊥，故②正确．在③中，αβ⊥且//m α，则m 与β相交、平行或m β⊂，故③错误；在④中，m n ⊥且βn//，则m 与β相交、平行或m β⊂，故④错误； 故答案为：②．8．如图，矩形ABCD 的长AB =2，宽AD =x ，若PA ⊥平面ABCD ，矩形的边CD 上至少有一个点Q ,使得PQ ⊥BQ ，则x 的范围是____________．【答案】0<x≤1试题分析：由PA⊥平面ABCD，PQ⊥BQ，可得BQ⊥AQ，从而问题可转化为以AB为直径的圆与与线段CD有公共点．解：如图所示：连接AQ，因为PA⊥平面ABCD，BQ⊥PQ，BQ⊂平面ABCD，所以BQ⊥AQ，矩形的边CD上至少有一个点Q，可转化为以AB为直径的圆与与线段CD有公共点，所以圆心到CD的距离小于等于半径，即0＜x≤1．故答案0<x≤1考点：空间直线与直线的垂直关系点评：本题考查空间直线与直线的垂直关系，考查推理论证能力．9．如图，水平放置的ABC的斜二测直观图是图中的A B CB C''=，则边AB'''，若3AC''=，2的实际长度为___________【答案】5【分析】由斜二测画法的原理作出A B C'''的原图ABC，即可求解.【详解】由斜二测画法的原理可得：==，且BC ACAC A C''⊥，24==，3BC B C''所以AB5，故答案为：5.10．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的___________条件.【答案】充分非必要【分析】准确把握异面直线的定义“不同在任一平面内的两条直线”，即可得出结果.【详解】若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”⇒“这两条直线没有公共点”；反之“这两条直线没有公共点”不能推出“这两条直线为异面直线”，因为“这两条直线可能平行，可能为异面直线”；所以“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件， 故答案为：充分非必要.11．如图，已知PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AB =，BC PB ，则二面角P BC A --的大小为________【答案】45°【分析】由PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，可得BC PC ⊥，因此PCA ∠是二面角P BC A --的平面角，利用线面垂直的性质与勾股定理可得PA ，AC ，即可得出二面角P BC A --的大小． 【详解】解：PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则PA BC ⊥ 又AC BC ⊥，且,PA AC ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ， BC PC ∴⊥，PCA ∴∠是二面角P BC A --的平面角，AC BC ⊥，2AB =，BC =AC ∴PA AB ⊥，PB ，∴PA又PA AC ⊥，45PCA ∴∠=︒，∴二面角P BC A --为45︒.故答案为：45︒.12．如图，平面α⊥平面β，A α∈，B β∈，AB 与两平面α、β所成的角分别为45°和30°，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A '、B '，若AB ＝12，则A B ''=______． 【答案】6【分析】要求A B ''，需要把它放入三角形中,连接AB ',A B '，则A B ''在Rt A AB ''中，分别利用Rt AB B '和Rt ABA '求得AB ',AA '，进而利用勾股定理求解即可.【详解】在Rt AB B '中,45B AB '∠=︒,则sin 45122AB AB '=︒=⨯=在Rt ABA '中,30ABA '∠=︒,则1sin 301262AA AB '=︒=⨯=，所以在Rt A AB ''中,6A B ''==，故答案为：6.二、单选题13．设m ､n 是两条不同的直线，α､β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，则//m βC ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥【答案】C【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，//m α，//n α，则,m n 可能异面，A 选项错误. B 选项，//m α，则m 与β不一定平行，B 选项错误.C 选项，根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面，则另一条也垂直该面，C 选项正确.D 选项，//m α，αβ⊥，可能m β⊂，D 选项错误. 故选：C14．在正方形123SG G G 中，E 、F 分别是12G G 及23G G 的中点，D 是EF 的中点．现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个空间四边形，使1G 、2G 、3G 三点重合，重合后的点记为G ，那么，在空间四边形S EFG -中必有（ ）A ．SG EFG △⊥所在平面B ．SD EFG ⊥所在平面C ．GF SEF ⊥所在平面D ．GD SEF ⊥所在平面【答案】A【分析】注意翻折前后的角度的变与不变，根据线面垂直的判定定理、性质定理以及反证的数学思想方法逐一判断即可.【详解】对于A ，在正方形123SG G G 中，11SG G E ⊥，33SG G F ⊥， 所以在四面体S EFG -中，SG GE ，SG GF ，又,GE GF 平面GEF ，GE GF G =，所以SG ⊥平面GEF ，故选项A 正确； 对于B ，若SD ⊥平面EFG ，结合选项A ，则//SD SG ，显然矛盾，故选项B 错误；对于C ，因为SG ⊥面EFG ，GF ⊂面EFG ，所以SG GF ，又GF GE ⊥，,GE GS 平面GES ，GE GS G =，所以GF ⊥平面GES ，假设GF ⊥平面SEF ，则平面//GES 平面SEF ，显然矛盾，故选项C 错误；对于D ，因为SG ⊥面EFG ，GD ⊂面EFG ，所以SG GD ⊥，若GD ⊥平面SEF ，SD ⊂平面SEF ，则GD SD ⊥，,,SG GD SD ⊂平面SDG ，故//SD SG ，显然矛盾，故D 错误； 故选：A.15．在矩形ABCD 中，1AB =，()0BC a a =>，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =.若边BC 上存在两个不同的点1Q ､2Q ，使得11PQ DQ ⊥，22PQ DQ ⊥.则a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．[)1,2C ．()2,+∞D ．[]2,4【答案】C 【分析】由已知PA ⊥平面ABCD ，通过线面垂直的性质得到PA DQ ⊥，结合PQ DQ ⊥，再根据线面垂直的判定定理得到DQ ⊥平面PAQ ，所以AQ DQ ⊥，从而将问题转化为求以AD 为直径的圆与边BC 有两个交点，从而求得a 的范围． 【详解】如图所示，若PQ DQ ⊥，又有PA ⊥平面ABCD ，得到PA DQ ⊥，则有DQ ⊥平面PAQ ，所以AQ DQ ⊥，则“BC 边上存在两个点12Q Q 、使得1122,PQ DQ PQ DQ ⊥⊥” 就转化为“BC 边上存在两个点12Q Q 、使得11AQ DQ ⊥，22AQ DQ ⊥”， 即以AD 为直径的圆与边BC 有两个交点， 则圆的圆心到边BC 的距离小于半径，即2ADAB <， 其中1AB =，(0)AD BC a a ==>，所以12a<，即2a >，所以a 的取值范围是{}2a a >. 故选：C16．下列说法正确的个数（ ）（1）三点确定一个平面；（2）一条直线和一个点确定一个平面；（3） 两条直线确定一个平面；（4）三角形和梯形一定为平面图形. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】根据点直线与平面的位置关系,即可判断四个选项.【详解】对于(1),当三个点在同一直线上时,三个点不能确定一个平面,所以(1)错误; 对于(2),当点在直线上时,不能确定一个平面,所以(2)不正确; 对于(3),当两条直线异面时,不能确定一个平面,所以(3)不正确; 对于(4),三角形和梯形一定是平面图形,所以(4)正确. 综上可知,正确的为(4) 故选:B【点睛】本题考查了空间中点、直线与平面的位置关系,属于基础题.三、解答题17．已知,,αβγ是三个平面，且,,a b c αβαγβγ===.（1）若a b O ⋂=，求证：a ，b ，c 三线共点.（2）若//a b ，则a 与c ，b 与c 有什么关系？为什么？ 【答案】（1）见解析；（2）//a c ，//b c ，见解析【解析】（1）根据平面的基本性质，即可证得,,a b c 三线共点，得到答案； （2）根据平面的基本性质和平行线的性质，即可证得////a b c ，得到答案.【详解】（1）由题意，知a b O ⋂=，可得O a ∈，O b ∈，因为a αβ⋂=，可得O β∈， 又由b αγ=，可得O γ∈，所以O 为β与γ的公共点. 又c βγ=，所以O c ∈，所以,,a b c 三线共点. （2）由题意，因为//,,a b b βαβ⊄⊂，所以b β//， 因为,,c c b βγβγ⊂⋂=⊂，所以//b c ，同理可证//a c . 所以////a b c .【点睛】本题主要考查了平面的基本性质和平行线的性质的应用，其中解答中熟记平面的基本性质，合理推理与论证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中.(1)求异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值；(2)求证：直线1//A B 平面11DCC D .【答案】(2)证明见解析 【分析】（1）根据已知11//CC BB ，可将异面直线1A B 和1CC 所成的角转化为直线1A B 和1BB 所成的角，再根据题目的边长关系，即可完成求解；（2）可通过连接1D C ，证明四边形11A BCD 为平行四边形，从而得到11//A B D C ，再利用线面平行的判定定理即可完成证明.(1)因为11//CC BB ，所以11A BB ∠就是异面直线1A B 和1CC 所成的角.又因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以异面直线1A B 和1CC 所成的角为45o ，所以异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值(2)连接1D C ，因为11//A D BC 且11A D BC =，所以四边形11A BCD 为平行四边形，所以11//A B D C ；1A B ⊄平面11DCC D ，1D C ⊂平面11DCC D ；所以直线1//A B 平面11DCC D .即得证.19．如图，长方体中1111ABCD A B C D -中，2DA =，DC =，1DD =,M N 分别为棱,AB BC 的中点.（1）证明：平面1D MN ⊥平面1D DM ；（2）求点D 到平面1D MN 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）先证明MN ⊥平面1D DM ，再利用面面垂直的判定定理，即可得答案； （2）设点D 到平面1D MN 的距离为d ，利用等积法，即11N D DM D D MN V V --=，即可得答案；【详解】（1）在DAM △和MBN △中，2,1AD AM MB BN ====， 故AD AMMB BN=，又90DAM MBN ︒∠=∠=，故DAM MBN故DMA MNB ∠=∠，故90DMA NMB MNB NMB ︒∠+∠=∠+∠=， 即MN DM ⊥，因为1D D ⊥平面,ABCD MN ⊂平面ABCD ，所以1D D MN ⊥， 又MN DM ⊥，DN MN M ⋂=，所以MN ⊥平面1D DM又MN ⊂平面1D MN ，所以平面1D MN ⊥平面1D DM（2）设点D 到平面1D MN 的距离为d ， 由（1）得MN ⊥平面1D DM ，故1MN D M ⊥，在Rt DAM △中，DM在1Rt D DM 中，13D M ==，11N D DM D D MN V V --=即1111113232D M MN d D D DM MN ⨯⨯⋅⋅=⨯⨯⋅⋅故11D D DMd D M⋅==即点D 到平面1D MN ．【点睛】本题考查空间几何点线面位置关系、线面垂直的性质和判定、面面垂直的判定、三棱锥体积的求法等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化的思想；考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养．20．如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：EF PAD 平面；(2)若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)45°【分析】（1）取PD 中点G ，连接AG 、FG ，证明四边形AEFG 是平行四边形，可得AG EF ，即可证明EF PAD 平面；（2）过G 作GH AD ⊥，垂足为H ，则GH PA ∥，可得GH ABCD ⊥平面，根据AG EF ，可得AG 与平面ABCD 所成的角等于EF 与平面ABCD 所成的角，从而可得∠GAH 即为所求，从而可得出答案.(1)证明：如图，取PD 中点G ，连接AG 、FG ，∵E 、F 分别为AB 、PC 的中点， ∴12AE AB =，GF DC ∥且12GF DC =，又在矩形ABCD 中，AB CD 且AB ＝CD ，∴AE GF ∥且AE ＝GF ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG EF ，又AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴EF PAD 平面；(2)解：∵AG EF ，∴AG 与平面ABCD 所成的角等于EF 与平面ABCD 所成的角，过G 作GH AD ⊥，垂足为H ，则GH PA ∥，∵PA ⊥平面ABCD ，∴GH ⊥平面ABCD ，∴∠GAH 为AG 与平面ABCD 所成的角，∵∠PDA ＝45°，G 为PD 的中点，∴∠GAH ＝45°，即EF 与平面ABCD 所成的角为45°．21．如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，点E 为AD 的中点，将△ABE沿直线BE 折起至平面PBE ⊥平面BCDE （如图2），点M 在线段PD 上，//PB 平面CEM ．(1)求证：MP ＝2DM ；(2)求二面角B －PE －C 的大小；(3)若在棱PB 、PE 上分别取中点F 、G ，试判断点M 与平面CFG 的关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)90°(3)M ∈平面CFG ，理由见解析【分析】（1）设BD EC O ⋂=，连接MO ，由线面平行的性质可得//PB MO ，可得MD OD MP OB=，由//ED BC 可得12OD ED OB BC ==，即可证明； （2）取BE 中点Q ，连接PQ ，通过面面垂直的性质可得PQ ⊥平面BCDE ，进而可得PQ EC ⊥，再由EC BE ⊥可得EC ⊥平面PBE ，即平面PBE ⊥平面PEC ，即得出结果；（3）延长ED 到N ，使ED DN =，连接,,CN PN GN ，证明//FG CN ，可得,,,F C N G 确定平面FCNG ，判断M 是PEN △的重心，可得M ∈平面CFG .(1)解：设BD EC O ⋂=，连接MO ，//PB 平面CEM ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面CEM MO =，//PB MO ∴，MD OD MP OB ∴=， //ED BC ，12OD ED OB BC ∴==， 12MD MP ∴=，即2MP DM =； (2)解：取BE 中点Q ，连接PQ ，PB PE =，PQ BE ∴⊥，又PQ ⊂平面PBE ，平面PBE ⊥平面BCDE ，平面PBE ⋂平面BCDE BE =，PQ ∴⊥平面BCDE ， EC ⊂平面BCDE ，PQ EC ∴⊥，BE EC ==2BC =，满足222BE EC BC +=，EC BE ∴⊥， PQ BE Q ⋂=，,PQ BE ⊂平面PBE ，EC ∴⊥平面PBE ， EC ⊂平面PEC ，∴平面PBE ⊥平面PEC ，∴二面角B PE C --的大小为90；(3)解：延长ED 到N ，使ED DN =，连接,,CN PN GN ， ,F G 分别是,PB PE 的中点，//FG BE ∴，2BC ED =，BC EN ∴=，//BC EN ，∴四边形BCNE 是平行四边形，//BE CN ∴，//FG CN ∴，则,,,F C N G 确定平面FCNG ， PEN 中，PD 是EN 边中线，且:2:1PM MD =， M ∴是PEN △的重心，又GN 为PE 边的中线，则M 在GN 上，∴M ∈平面CFG .。
2022-2023学年人教版高二上学期数学精讲精练2-3 直线的交点与距离公式(精讲)(解析版)
2.3 直线的交点与距离公式（精讲）考点一 直线的交点【例1-1】（2022·贵州·高二学业考试）直线2x =与直线1y x =+的交点坐标为（ ） A ．()2,3 B ．()2,3--C ．()0,1D ．()0,0【答案】A【解析】由21x y x =⎧⎨=+⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，则直线2x =与直线1y x =+的交点坐标为()2,3.故选：A.【例1-2】（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知直线1:10l x y -+=，2:20l x -=，则过1l 和2l 的交点且与直线3450x y +-=垂直的直线方程为（ ） A ．3410x y --= B ．3410x y -+= C ．4310x y --= D ．4310x y -+=【答案】D【解析】由于所求出直线与直线3450x y +-=垂直，所以设所求直线为430x y m -+=，由1020x y x -+=⎧⎨-=⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，即1l 和2l 的交点为(2,3)，因为直线430x y m -+=过点(2,3)，所以890m -+=，得1m =，所以所求直线方程为4310x y -+=， 故选：D【例1-3】（2022·江苏·高二）直线x +ky =0和2x +3y +8=0的交点为A ，且A 在直线x -y -1=0上，则k 的值是（ ）A ．-12 B ．12C ．2D ．-2【答案】A【解析】由2380--10x y x y ++=⎧⎨=⎩，解得 -1-2x y =⎧⎨=⎩，即两直线2x +3y +8=0和x -y -1=0的交点坐标为A (-1，-2)．∵直线x +ky =0，2x +3y +8=0 和x -y -1=0交于一点A ，∵-1-2k =0，∵k =-12，故选；A ．【例1-4】（2022·全国·高二专题练习）已知直线10kx y -+=和0x ky -=相交，且交点在第二象限，则实数k 的取值范围为____．【答案】()10，- 【解析】当1k =±，直线10kx y -+=和0x ky -=平行，不满足题意， 故1k ≠±，此时联立方程100kx y x ky -+=⎧⎨-=⎩，解得22111k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，因为交点在第二象限，所以2201101kk k ⎧<⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得10k <<－，故实数k 的取值范围为()10，-．故答案为：()10，- 【一隅三反】1．（2022·江苏·高二专题练习）直线y x =与直线20x y +-=的交点坐标是（ ） A ．()1,1 B ．11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,1【答案】A【解析】由20x y y x +-=⎧⎨=⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，则两直线交点坐标为()1,1故选：A2．（2022·江苏·高二）经过两条直线2310x y ++=和2330x y -+=的交点，并且平行于直线y x =的直线的一般式方程为______． 【答案】3340x y -+=【解析】由23102330x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得113x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故交点坐标为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，由平行于直线y x =可得斜率为1，故方程为113y x -=+，化为一般方程为3340x y -+=.故答案为：3340x y -+=.3．（2022·江苏·高二）经过两条直线1:40l x y ++=和22:0x y l --=的交点，且与直线210x y --=垂直的直线方程为_______． 【答案】270x y ++=【解析】由4020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得13x y =-⎧⎨=-⎩，即直线1:40l x y ++=和22:0x y l --=的交点坐标为()1,3--，设与直线210x y --=垂直的直线方程为20x y n ++=，则()1230n -+⨯-+=，解得7n =， 所以直线方程为270x y ++=；故答案为：270x y ++=考点二 直线的三种距离【例2-1】（1）（2021·福建三明·高二期中）已知直线1l ：220x y --=与直线2l ：380x y +-=的交点为A ，则点A 与点()23B ，间的距离为（ ）A B ．C D ．1（2）（2022·江苏宿迁·高二期末）直线1:20l x my --=与直线2:20l mx y ++=交于点Q ，m 是实数，O 为坐标原点，则OQ 的最大值是（ ）A ．2B ．C ．D ．4【答案】（1）D （2）B【解析】（1）联立方程220380x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得2,2x y ==，所以()2,2A ，所以1AB =故选：D（2）因为1:20l x my --=与2:20l mx y ++=的交点坐标为222222,11m m Q mm ---⎛⎫⎪++⎝⎭所以OQ ==，当0m =时， max OQ =OQ 的最大值是 B.【例2-2】（1）（2022·海南·海口市琼山华侨中学高二阶段练习）直线10x y +-=与直线240x y --=交于点P ，则点P 到直线210x y +-=的距离为（ ）A B C D （2）（2022·湖南·周南中学高二期末）已知点()P x y ，在直线10x y --=上的运动，则()()2222x y -+-的最小值是（ ） A ．12B2C ．14D【答案】（1）B （2）A【解析】（1）联立10240x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得12y x =-⎧⎨=⎩，故()2,1P -,所以点P 到直线210x y +-==B. （2）()()2222x y -+-表示点()P x y ，与()2,2距离的平方， 因为点()2,2到直线10x y --=的距离d =()2,2的最小值为212d =．故选：A【例2-3】（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）已知直线330x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ．4 BCD 【答案】D【解析】由直线平行可得360m -=，解得2m =，则直线方程为6210x y ++=，即1302x y ++=，则距离是=故选：D. 【一隅三反】1．（2021·全国·高二课时练习）已知A （﹣2，﹣1），B （2，5），则|AB |等于（ ）A ．4 BC ．6D ．【答案】D【解析】因为A （﹣2，﹣1），B （2，5），所以|AB |=故选：D. 2．（2022·四川巴中）点（-1，1）到直线4230x y +-=的距离为（ ） ABC D ．4【答案】A【解析】点()1,1-到直线4230x y +-=的距离为d ===，故选：A. 3．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）若点()3,1P 到直线l ：()3400x y a a ++=>的距离为3，则=a （ ）A ．3B ．2C ．32D ．1【答案】B【解析】由题设可得3d ==，结合0a >可得2a =，故选：B.4．（2022·西藏昌都）两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=之间的距离为（ ） A ．235B ．2310 C ．72D ．27【答案】C【解析】因为直线34120x y +-=与直线8110ax y ++=平行,所以8113412a =≠-,解得6a =, 将68110x y ++=化为113402x y ++=, 所以两平行直线34120x y +-=与113402x y ++=11|12|72--=.故选：C5．（2022·江苏·高二专题练习）已知x ，y ∵R ，S =S 的最小值是（ ）A ．0B ．2C ．4D【答案】B 【解析】S =P (x ，y )到点A (－1，0)与点B (1，0)的距离之和，如图所示：由图象知：PA PB AB +≥，当点P 在线段AB 上时，等号成立，所以S 取得最小值为2．故选：B6．（2022·四川巴中）当实数k 变化时，直线1:20l kx y k -++=到直线2:30l kx y --=的距离的最大值是______.【解析】由(1)20k x y +-+=可得1l 过定点(1,2)A -，由30kx y --=可得2l 过定点(0,3)B -. 又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于AB 时，距离最大，最大值即为AB两点间的距离d =.考点三 对称问题【例3-1】（2021·全国·高二专题练习）点A （5，8），B （4，1），则A 点关于B 点的对称点C 的坐标为__． 【答案】()3,6-【解析】设C （x ，y ），由A （5，8），B （4，1）且B 点是A ，C 的中点，所以542812x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得36x y =⎧⎨=-⎩．所以C 的坐标为()3,6-．故答案为：()3,6-【例3-2】（2022·安徽宿州）已知点()1,3A 与点B 关于直线:10l x y -+=对称，则点B 的坐标为（ ） A ．()3,3 B ．()2,2 C ．53,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．()3,2【答案】B【解析】设点()00,B x y ，因为点()1,3A 与点B 关于直线:10l x y -+=对称，所以0000131022311x y y x ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，解得002x y ==，所以()2,2B 故选：B【例3-3】（2022·江苏·高二）直线2360x y +-=关于点(1,1)对称的直线方程为（ ） A ．3220x y -+= B ．2370x y ++= C ．32120x y --= D ．2340x y +-=【答案】D【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --，以(2,2)x y --代换原直线方程中的(,)x y 得()()223260x y -+--=，即2340x y +-=.故选：D.【例3-4】5（2021·全国·高二课时练习）直线:210l x y -+=，则直线l 关于直线1x =对称的直线方程是______. 【答案】250x y +-=【解析】设关于直线1x =对称的直线上的点为(,)x y ，它的对称点为：00(,)x y ，因此有0000212x xx x y y y y +⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，则(2,)-x y 在直线210x y -+=上，所以2(2)10x y --+=，即250x y +-=．故答案为：250x y +-= 【一隅三反】1．（2022·江西）已知点(,5)A x 关于点(1,)y 的对称点为(2,3)--，则点(,)P x y 到原点的距离是______.【解析】根据中点坐标公式，得212x -=，且532y -=．解得4x =，1y =，所以点P 的坐标为(4,1)， 则点(,)P x y到原点的距离d2．（2022·全国·高二专题练习）原点关于210x y -+=的对称点的坐标为_____． 【答案】2455⎛⎫⎪⎝⎭－，【解析】设原点关于210x y +=－的对称点的坐标为()x y ，，则11221022y x x y ⎧⨯=-⎪⎪⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得2545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴要求的点(2455－，)．故答案为：24(,)55-．3．（2022·江苏无锡·高二期末）在平面直角坐标系xOy 中，点（0,4）关于直线x －y +1＝0的对称点为（ ） A ．(－1,2) B ．(2,－1) C ．(1,3) D ．(3,1)【答案】D【解析】设点(0,4)关于直线x －y +1＝0的对称点是(a ,b ),则4102241a b b a +⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得：31a b =⎧⎨=⎩，故选：D ．4．（2022·全国·高二课时练习）直线2530x y +-=关于点2()1,M -对称的直线方程是______．【答案】25130x y +-=【解析】设对称直线为0:250++='l x y C =，解这个方程得03C =-（舍）或013=-C .所以对称直线l '的方程中25130x y +-=故答案为：25130x y +-=考点四 综合运用【例4-1】（2022·全国·高二）过定点A 的直线()0x my m R -=∈与过定点B 的直线()30mx y m m R +-+=∈交于点(),P x y ，则22||PA PB +的值为（ ）A B ．10 C ．D ．20【答案】B【解析】直线0x my -=过定点(0,0)A ，直线30mx y m +-+=可化为(1)30m x y -++=，由1030x y -=⎧⎨+=⎩可得13x y =⎧⎨=-⎩，所以定点(1,3)B -，当0m =时，直线方程为0x =，30y +=，此时两直线垂直， 当0m ≠时，由两直线的斜率之积为121()1k k m m=⨯-=-可知两直线垂直， 所以PA PB ⊥，所以()()22222||||010310PA PB AB ⎡⎤+==-+--=⎣⎦， 故选：B.【例4-2】（2021·全国·高二课时练习）以点A (－3，0)，B (3，－2)，C (－1，2)为顶点的三角形是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不是【答案】C【解析】AB ==BC ==AC ==222AC BC AB +=，所以三角形ABC 是直角三角形.故选：C 【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）已知点(1,3)A ､(5,2)B ，点P 在x 轴上，则AP PB +的最小值为___________.【解析】因为()52B ，关于x 轴的对称点()52B '，-，则AB '= ,所以AP PB +的最小值为AB '2．（2022·全国·高二课时练习）已知(1,0)A 、(4,4)B -，若A 与B 到直线l 的距离都为2，则满足条件的直线l 有（ ） A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】(1,0)A ，(4,4)B -，所以()044143AB k --==--，且AB 的中点为5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，若直线l 过AB 的中点，显然直线l 的斜率存在，设直线l 为522y k x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即5202kx y k ---=，则A 到直线l 的距离12d ==，即()()2234161k k +=+，解得0k =或247k =； 所以直线l 为20y +=或247740x y --=；若直线l 与AB 平行，设直线l 为430x y m ++=，则A 到直线l的距离22d ==，解得6m =或14m =-，所以直线l 为4360x y ++=或43140x y +-=； 综上可得满足条件的直线l 有4条；故选：D3．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二阶段练习）已知点M ，N 分别在直线1l ：0x y +=与直线2l ：30x y +-=，且1MN l ⊥，点()1,3P --，71,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PM QN +|的最小值为（ ）ABCD ．【答案】C【解析】设(),M t t -，则直线MN 的方程为,2y t x t y x t +=-=-，由23232,3022y x t t t N x y =-⎧+-⎛⎫⇒⎨ ⎪+-=⎝⎭⎩，所以PM QN + 设()()(),,1,3,2,1A t t B C -，y x =上的点A 与,B C 连线的距离之和，BC ==故选：C。
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第03讲异面直线所成的角（核心考点讲与练） 求异面直线所成的角的三步曲 异面直线所成角的概念及辨析一、单选题1．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期中）已知异面直线a 、b 所成角为80︒，P 为空间一定点，则过P 点且与a 、b 所成角都是50︒的直线有且仅有（ ）条．A ．2B ．3C ．4D ．62．（2021·上海市延安中学高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -，P 为1CC 中点，对于下列两个命题：（1）过点P 有且只有一条直线与直线AB ，11A D 都相交；（2）过点P 有且只有一条直线与直线AB ，11A D 都成45°角．则以下判断正确的是（ ）A ．（1）为真命题；（2）为真命题B ．（1）为真命题；（2）为假命题C ．（1）为假命题；（2）为真命题D ．（1）为假命题；（2）为假命题二、填空题 3．（2021·上海·位育中学高二阶段练习）空间中三条直线a b c 、、两两垂直，若直线d 与直线a b c 、、所成角都为θ，则cos θ=_______4．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）已知直线a ．如果直线b 同时满足条件：①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 的距离为定值．那么这样的直线b 有__________条．考点考向方法技巧5．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）若两异面直线a、b所成的角为60，过空间内一点P作与直线a、b所成角均是60的直线l，则所作直线l的条数为_________．证明异面直线垂直一、单选题1．（2017·上海交大附中高二期中）如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（）①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；④存在点E使得SE⊥BA．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题2．（2022·上海长宁·高二期末）如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是___________.①直线AF与直线CN垂直；②直线BM与直线CN相交；③直线ME与直线CN平行；④直线AB与直线CN异面；求异面直线所成的角1．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，在三棱锥D ABC -中，2==AC BD ，E 、F 分别为AD 与BC 的中点，2EF =，则异面直线AC 与BD 所成角的大小是______．2．（2021·上海市徐汇中学高二期中）如图，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，,M N 分别是,AB PC 的中点，若2,23MN BC PA ===，则异面直线PA 与MN 所成角的大小为________.3．（2021·上海市进才中学高二阶段练习）在正方体上，a ，b 是两条异面直线的面对角线，则它们所成的角大小可能为___________4．（2021·上海市南洋模范中学高二阶段练习）正方体1111ABCD A B C D -的面对角线中，与1AD 所成角为60︒的有__________条.5．（2021·上海·华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，与1AD 成60角的面对角线的条数是________6．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）空间内有三条直线，其中任意两条都不相交但相互垂直，若直线l 与这三条直线所成的角的大小都是θ，则tan θ=______．7．（2021·上海市建平中学高二期中）已知圆锥的轴截面PAB 是等边三角形，C 为底面弧AB 的中点，D 为母线PB 的中点，则异面直线PA 和CD 所成角的大小为________三、解答题8．（2021·上海浦东新·高二期中）在三棱锥P ABC -中，M ，N 分别是PA ，BC 的中点，已知2AC PB ==，3MN AC ，PB 所成角的大小.由异面直线所成的角求其他量一、填空题1．（2021·上海市控江中学高二期中）异面直线a 、b 所成角为3π，直线c 与a 、b 垂直且分别交于A 、B ，点C 、D 分别在直线a 、b 上，若1AC =，2AB =，3BD =，则CD =________．2．（2021·上海市洋泾中学高二期中）已知异面直线,a b 所成角为3π，过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，则θ的取值范围是___________.3．（2021·上海市建平中学高二阶段练习）在空间四边形ABCD 中，8AB CD ==，M ､N 分别是对角线AC ､BD 的中点，若异面直线AB ､CD 所成角的大小为30，则MN 的长为___________. 4．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）已知四面体ABCD 中，4AB CD ==，E 、F分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =___________. 5．（2019·上海市嘉定区第二中学高二期中）空间四边形ABCD ，AB =CD =8，M ､N ､P 分别为BD ､AC ､BC 的中点，若异面直线AB 和CD 所成的角为60°，则线段MN 的长为___________.6．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）如图，空间四边形ABCD 的对角线AC=BD=8，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，且AC BD ⊥，则MN 等于_____________7．（2021·上海市徐汇中学高二期中）空间四边形两对角线的长分别为6和8﹐所成的角为60°，连接各边中点所得四边形的面积是_______________.8．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）若两条异面直线所成的角为60︒，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对.二、解答题9．（2021·上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD .(1)若PC =5，求四棱锥P - ABCD 的体积；(2)若直线AD 与BP 的夹角为60°，求PD 的长.10．（2020·上海交大附中高二期中）如图，圆锥的顶点是S ，底面中心为O ，OC 是与底面直径AB 垂直的一条半径，D 是母线SC 的中点.（1）求证：BC 与SA 不可能垂直；（2）设圆锥的高为4，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为26，求圆锥的体积. 一、单选题1．（2021·上海市延安中学高二期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，F 为线段1BC 的中点，E 为线段11A C 上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）A ．存在点E ，使EF ∥BDB ．存在点E ，使EF ⊥平面11ABC DC ．EF 与1AD 所成的角不可能等于60°巩固提升D ．三棱锥1B ACE -的体积随动点E 变化而变化2．（2021··高二阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，给出以下命题：①H 是1A BD 的垂心；②AH 垂直于平面11CB D ；③AH 的延长线过点1C ；④直线AH 和1BB 所成角的大小为45︒，其中正确的命题个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2021·上海市松江二中高二期中）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF 的中点，设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，则AG 与BP 所成角的大小为（ ）A ．45︒B ．15︒C ．30D ．0︒4．（2021·上海市市西中学高二期中）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④二、填空题5．（2021·上海交大附中闵行分校高二阶段练习）如图甲，将三棱锥P ﹣ABC 沿三条侧棱剪开后，展开成如图乙所示的形状，其中点P 1，A ，P 3共线，点P 1，B ，P 2共线，点P 2，C ，P 3共线，且P 1P 2=P 2P 3，则在如图甲所示的三棱锥P ﹣ABC 中，P A 与BC 所成角的大小为___________.6．（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）如图已知A 是BCD △所在平面外一点，AD BC =，E ､F 分别是AB CD 、的中点，若异面直线AD 与BC 所成角的大小为3π，则AD 与EF 所成角的大小为___________. 7．（2021·上海交大附中高二期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，则直线AC 与1A D 所成的角的余弦值等于______．8．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期中）在四面体ABCD 中，8AB =，6CD =，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，且5MN =，则AB 与CD 所成角的大小是________.三、解答题9．（2022·上海·复旦附中高二期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝1，AD ＝2，14AA =，E 、F 分别为线段BC 、1CC 上的点，且CE ＝1，CF ＝1．(1)求证：EF ∥平面11ADD A ；(2)求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值．10．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）已知边长为1的正方形ABCD 绕BC 边旋转一周得到圆柱体．(1)求该圆柱体的表面积；(2)正方形ABCD 绕BC 边逆时针旋转2π至11A BCD ，求证：1A D AC ⊥． 11．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A ､1C ､B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10. (1)求棱1AA 的长；(2)若11A C 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值.12．（2021·上海大学附属南翔高级中学高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11A D 和1CC 的中点.（1）画出由A ，E ，F 确定的平面β截正方体所得的截面，（保留作图痕迹，使用铅笔作图）；（2）求异面直线EF 和AC 所成角的大小. 13．（2021·上海浦东新·高二期中）在长方体1111ABCD A B C D -中（如图），2AB =，11AD AA ==，点E 是棱AB 的中点.(1)求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；(2)《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由.14．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A BCB -是底面边长为2的正三棱锥．（1）求证：1AC CC ⊥；（2）若异面直线1AB 与1CC 所成的角为3π，求三棱锥1B ACC -的体积． 15．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，15CC =，M 为棱1CC 上一点．（1）若132C M =，求异面直线1A M 和11CD 所成角的正切值；（2）若11C M =．试证明：BM ⊥平面11A B M ．16．（2021·上海市进才中学高二期中）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，BC AC ⊥．（1）求证：11//B C 平面1A BC ；（2）求证：平面1A BC ⊥平面11ACC A ．（3）若12A B BC =，求异面直线1A B 与11B C 所成角的大小．。