上海市控江中学高二期中数学学科考试试卷(含答案)(2019.04)
上海市控江中学高二数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)
控江中学高二期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 设直线l ：20x y +-=的倾斜角为α，则α的大小为2. 已知复数z 满足(12i)(1)716i z +⋅+=-+，则z 的共轭复数z =3. 在3男2女共5名学生中随机抽选3名学生参加某心理评测，则抽中的学生全是男生的概率为 （用最简分数作答）4. 在正方体1111ABCD A B C D -，二面角1A BD A --的大小为5. 在半径为1的球面上，若A 、B 两点的球面距离为23π，则线段AB 的长||AB = 6. 双曲线H 的渐近线为20x y +=与20x y -=，若H 经过点(2,0)P ，则双曲线H 的方程为7. 设圆221x y +=上的动点P 到直线34100x y +-=的距离为d ，则d 的最大值为8. 若一组数据123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅的总体方差为3，则另一组数据1232,2,2,,2n x x x x ⋅⋅⋅的总体方差为9. 空间直角坐标系中，两平面α与β分别以1(2,1,1)n =与2(0,2,1)n =为其法向量，若l αβ=，则直线l 的一个方向向量为 （写出一个方向向量的坐标）10. 四面体ABCD 中，2AB CD ==，4AC AD BC BD ====，则异面直线AB 与CD 的距离为11. 若复数z 满足|1||1|2z z -⋅+=，则||z 的最小值为12. 关于旋转体的体积，有如下的古尔丁（guldin ）定理：“平面上一区域D 绕区域外一直线（区域D 的每个点在直线的同侧，含直线上）旋转一周所得的旋转体的体积，等于D 的面积与D 的几何中心（也称为重心）所经过的路程的乘积”，利用这一定理，可求得半圆盘2210x y x ⎧+≤⎨≤⎩，绕直线23x π=旋转一周所形成的空间图形的体积为二. 选择题13. 若一圆柱的侧面积等于其表面积的23，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（ ） A. 1:1 B. 2:1 C. 3:1 D. 4:114. 已知12,z z C ∈，“120z z ==”是“212||0z z +=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件15. 参数方程2cos sin cos 2sin x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩()θ∈R 表示的曲线是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线16. 设12345(,,,,)x x x x x 是1，2，3，4，5的一个排列，若112()()0i i i i x x x x +++--<对一切{1,2,3}i ∈恒成立，就称该排列是“交替”的，“交替”的排列的数目是（ ）A. 8B. 16C. 24D. 32三. 解答题17. 已知m 是实数，关于x 的方程E ：2(21)0x mx m -++=.（1）若2m =，求方程E 在复数范围内的解；（2）若方程E 有两个虚数根1x 、2x ，且满足12||2x x -=，求m 的值.18. 已知椭圆E 的方程为2214x y +=，其左焦点和右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆E 上位于第一象限的一点.（1）若三角形12PF F 的面积为32，求点P 的坐标； （2）设(1,0)A ，记线段PA 的长度为d ，求d 的最小值.19. 设λ是正实数，20(1)x λ+的二项展开式为22001220a a x a x a x +++⋅⋅⋅+，其中0120,,,a a a ⋅⋅⋅均为常数.（1）若3212a a =，求λ的值；（2）若5n a a ≥对一切{0,1,,20}n ∈⋅⋅⋅均成立，求λ的取值范围.20. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，AB m =，点M 是棱CD 的中点.（1）求异面直线1B C 与1AC 所成的角的大小；（2）是否存在实数m ，使得直线1AC 与平面1BMD 垂直？说明理由；（3）设P 是线段1AC 上的一点（不含端点），满足1AP PC λ=，求λ的值，使得三棱锥 111B CD C -与三棱锥11B CD P -的体积相等.21. 设抛物线Γ的方程为24y x =，点P 的坐标为(1,1).（1）过点P ，斜率为1-的直线l 交抛物线Γ于U 、V 两点，求线段UV 的长；（2）设Q 是抛物线Γ上的动点，R 是线段PQ 上的一点，满足2PR RQ =，求动点R 的轨迹方程；（3）设AB 、CD 是抛物线Γ的两条经过点P 的动弦，满足AB CD ⊥，点M 、N 分别是弦AB 与CD 的中点，是否存在一个定点T ，使得M 、N 、T 三点总是共线？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题1. 34π 2. 46i - 3. 110 4.5. 6. 2214x y -= 7. 3 8. 12 9. 1(,1,2)2- 10. 2π11. 112. 2π二. 选择题13. B 14. A 15. A 16. D三. 解答题17.（1）12i +，12i -；（2）0或8.18.（1）；（2.19.（1）2；（2）56[,]1615.20.（1）2π；（2（3）12.21.（1）；（2）2(31)8(31)y x -=-；（3）(2,0).。
上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)
由
由于B在直线 上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图， 的 边长为 ， 分别是 中点，记 ， ，则（）
A. B.
C. D. ，但 的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 分别是 中点，所以根据平面向量的线性运算 可得 ,所以 由 可得 ,故选C.
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数t的值及 .
【答案】（1） ；（2） ， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为 ，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设 分别是直线l和圆C上的动点，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】（1） 所在的直线方程为 ，圆C的方程为 （2）
【解析】
【详解】（1）直线 设 .
的倾斜角为 ， 反射光线 所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与 垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为 ，请利用行列式求解此方程组.
上海市控江中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(教师版)
控江2023学年第二学期高二年级数学期中一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知，则________.【解析】【分析】由空间向量的模长公式可直接求得答案.【详解】因为，所以2. 抛物线的焦点到准线的距离为______.【答案】1.【解析】【分析】利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为p ，从而得到结果.【详解】抛物线的焦点到准线的距离为p ，由标准方程可得.故答案为：1【点睛】本题考查抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题.3. 椭圆离心率为________.【答案】##0.5【解析】【分析】求出椭圆参数，利用离心率的定义直接计算即可.【详解】椭圆的方程为，则故答案为：.的()0,1,2AB = AB =()0,1,2AB = AB == 22y x =1p =22y x =1p =2211612x y +=122211612x y +=4,2,a b c ====21.42c e a ∴===124. 双曲线的渐近线斜率的绝对值是________.【答案】##0.5【解析】【分析】由双曲线的标准方程即可求得双曲线的渐近线方程，则双曲线渐近线斜率的绝对值可得.【详解】由双曲线方程为，可得双曲线的渐近线方程为，则双曲线渐近线斜率的绝对值为，故答案为：.5. 已知正方形边长为1，把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为________【答案】【解析】【分析】正方形绕着它的一条边旋转一周,得到一个圆柱,根据圆柱的体积公式,即可得到答案.【详解】由题意可知: 正方形绕着它的一条边旋转一周,得到一个圆柱其底面半径 高根据柱体体积公式:故答案为.【点睛】本题考查了圆柱的体积计算,考查了计算能力,属于基础题.6. 设椭圆上一点M 到左焦点的距离为3，记N 为的中点，O 为坐标原点，则______.【答案】【解析】【分析】由题意可推出，，进而利用椭圆的定义求出即可.【详解】由已知可得，，.因为N 为的中点，是的中点，所以是的中位线，所以，，2214x y -=122214x y -=12y x =±1212π1r =1h =V Sh π==π2212516x y +=1F 1MF ON =72212ON MF =2MF 5a =13MF =1MF O 12F F ON 12F F M △212ON MF =根据椭圆的定义，可得，故答案为：.7. 已知点在椭圆上运动，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由椭圆方程进行代换得，再结合三角函数的知识即可求得答案.【详解】椭圆上的点可设为，即，所以，故答案为：.8.已知抛物线的焦点是F ，点A ，若抛物线上存在一点M 使得最小，则M 点的横坐标为______.【答案】##0.5【解析】【分析】求出抛物线的焦点及准线，利用抛物线定义结合几何图形推理作答.【详解】抛物线的焦点，准线，显然点在抛物线内，过点A 作于点N ，交抛物线于M ，连MF ，如图，12210MF MF a +==72(),P s t 22143x y +=12s t +[]22-,2cos ,s t θθ==22143x y +=(2cos )θθ2cos ,s t θθ==[]1πcos 2sin()2,226s t θθθ+=+=+∈-[]22-,28y x =(3,2)||+MA MF 1228y x =(2,0)F :2l x =-(3,2)A AN l ⊥在抛物线上取点，过作于，连接，有，则有，当且仅当点与M重合时取等号，因此，此时点M 的纵坐标为2，则其横坐标，所以M 点横坐标为.故答案为：9. 过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为________.【答案】或【解析】【分析】注意分斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理即可求得答案.【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l 截圆所得弦长为，满足题意，设直线l 的方程为，即.由垂径定理，得圆心到直线l 的距离，，化简得，解得，即直线l 的方程为.故答案为：或.的M 'M 'M N l ''⊥N ',,M F M A AN '''||||,||||MF MN M F M N '''==||||||||||||||||||||M A M F M A M N AN AN MA MN MA MF ''''''+=+≥≥=+=+M 'min(||)3(2)5MA MF +=--=22182M x ==1212()1,3A -l 224x y +=l =1x -4350x y +-==1x -=3(1)y k x -=+30kx y k -++=1d ==122691k k k ++=+43k =-4350x y +-==1x -4350x y +-=10. 已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】首先设处对称的两点，利用点差法求中点坐标，利用中点和抛物线的关系，即可列式求解.【详解】设抛物线上关于直线对称的两点为，，则，两式相减得，由条件可知，，即，所以中点的纵坐标为，横坐标为，即中点坐标为，由题意可知，中点应在抛物线内，即，得.故答案为：11. 已知实数，曲线与曲线的公共点个数为，对于不同的，所有可能的值的集合为________.【答案】【解析】【分析】首先去绝对值符号画出曲线C 的图象，再分析可得的图象是的图象分别向上和向下平移k 个单位得到的，通过数形结合的方式即可求得答案.【详解】曲线C ：，曲线，当时，曲线可作图如下：R m ∈24y x =y x m =+m (),3-∞-y x m =+()11,A x y ()22,B x y 21122244y x y x ⎧=⎨=⎩()()()1212124y y y y x x +-=-12121y y x x -=--124y y +=-AB 2-2m --()2,2m ---AB ()()2242m -<⨯--3m <-(),3-∞-0k ≥:k C y x k -=2:C y x =k a k k a {}3,4,6,8:,0k C y x k k -=≥y x =2,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩:,0k C y x k k -=≥0k =:k C y x =，此时交点个数为3，即；当时，若，则曲线，相当于将向上平移了k 个单位；若，则曲线，相当于将向下平移了k 个单位；因此曲线是的图象分别向上和向下平移k 个单位得到的，当k 在增大的过程中，图象变化如下：如下图所示：，此时；如下图所示：，3k a =0k ≠y x ≥:,0k C y x k k =+>y x =y x <:,0k C y x k k =->y x =:,0k C y x k k -=>y x =8=k a此时；如下图所示：，此时；故答案为：.12. 在一个阳光明媚周末，市射击俱乐部举办了一场盛大的射击比赛，来自各地的射击爱好者纷纷报名参加，甲乙作为一个组合报名参加了射击小组赛.该项比赛规则为：每个小组2人，每人每轮依次射击一次，共有2轮.若两人合计射中靶心次数不少于3次，则称这组为“神枪手组合”.已知甲、乙射中靶心的概率分别为和，若，那么甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号的最大可能性为________（假设所有选手每次射击都互相独立）.【答案】【解析】【分析】先表示出甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号的概率，转化为关于的二次函数，结合均值不等式和二次函数求最值得到概率的最大值.【详解】甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号有两种情况，分别为四枪全射中靶心和三枪射中靶心，四枪射中靶心的概率为，三枪射中靶心的概率为，所以甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号的概率，由知设，则，在时取得最大值，的6k a =4k a ={}3,4,6,81P 2P 1275PP +=497512x PP =2212P P ()()211212222112C 1C 1P P P P P P ⨯-+-⨯()()()()22112221222211212121212121214C 1C 122335P P P P P P P P P PP P P PP PP PP =⨯-+-⨯+=+-=-+1275P P +=()212124904100P P PP +<≤=12490,100PP x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦21435P x x =-+715x =P，故答案为：.二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第13-14题各4分，第15-16题各5分13. 直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是（ ）A. 相交 B. 平行C. 异面D. 以上都有可能【答案】D 【解析】【分析】借助长方体模型可判断直线与直线的位置关系.【详解】如下图所示：在长方体中，将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线相交；将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线平行；将直线、、分别视为棱、、所在直线，则直线与直线异面.综上所述，直线与直线相交、平行或异面.故选：D.14. 已知点的，曲线的方程，曲线的方程，则“点在曲线上“是”点在曲线上“的A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】max 77147493151551575P =-⨯⨯+⨯=4975a b c b a c a c 1111ABCD A B C D -a b c AB AD 1AA a c a b c AB 1AA 11A B a c a b c AB 1AA 11A D a c a c (),P a b 1C y =2C 221x y +=(),P a b 1C (),P a b 2C根据充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】当点在曲线上时，有，所以由点在曲线上，可以推出点在曲线上；当点在曲线上时，有在曲线上不一定能推出点在曲线上，所以“点在曲线上“是”点在曲线上“的充分非必要条件.故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了点与曲线的关系，属于基础题.15. 圆上到直线的距离为1的点有（ ）A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个【答案】B 【解析】【分析】先求圆心到直线的距离，结合圆的性质分析判断.【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径可知圆心到直线的距离且，所以圆上到直线的距离为1的点有2个.故选：B.16. 已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（ ）A.B.C. D.(),P a b 1C 221b a b ⇒+==(),P a b 1C (),P a b 2C (),P a b 2C 221a b b +=⇒=(),P a b 2C (),P a b 1C (),P a b 1C (),P a b 2C 222x y +=10x y ++=222x y +=()0,0r =()0,010x y ++=d ==01<<222x y +=10x y ++=22Γ:13x y -=:1l x =,A B ΓP Γ,A B ,AP BP l ,M N ,PMN PAB 12,S S 12S S 1429316425【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可知，设直线斜率为，用表示，因为的外接圆半径之比为，，结合不等式求最小值.【详解】如图：因为为双曲线上异于的两点，，即.根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限，设直线：，()令 ，得.用代替，得直线：，令得，所以设，的外接圆半径分别为，，则，，所以，当且仅当此时两个三角形外接圆得面积比：.13PA PB k k ⋅=PA k k MN ,PMN PAB 12,r r ABMN 21122S r S r ⎛⎫= ⎪⎝⎭(),P x y 2213x y -=,A B 13=13PA PB k k ⋅=P PA (y k x =0k <<1x =)()1,1M k +13k k PB (13y x k =1x =N ⎛ ⎝)1MN k =++PMN PAB 1r 2r 12sin MN r APB=∠22sin AB r APB=∠12MN r r AB==≥=k =2112229S r S r ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：B三、简答题（本大题满分78分）本大题共有5题17. 如图，在棱长均为1的正三棱柱中，点在棱上，且.记，，.（1）用表示、；（2）求直线与直线所成角的大小.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；（2）借助空间向量夹角公式计算即可得.【小问1详解】，；【小问2详解】111ABC A B C -E 11A B 11113A E A B = 1AA a = AB b = AC c = ,,a b c BC AE BC AE BC c b =- 13AE a b =+b B Ac B C AC =-=- 1111133AE AA A E AA AB a b =+=+=+cos ,A E AE AE BC BC BC ⋅===设直线与直线所成角的大小为，则，即.18. 冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从过50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试（满分100分），所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（1）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（2）分别求出样本数据中男生成绩的平均数和方差，女生成绩的平均数和方差，并根据所得数据对比男生与女生在这次测验中的表现.（结果精确到0.1）【答案】（1）5万人 （2），；，，女生平均成绩更高，也更稳定【解析】【分析】（1）根据分层抽样中的比例关系直接计算得到答案.（2）先利用平均数和方差公式计算男生和女生的平均数和方差，然后利用统计知识判断即可.小问1详解】样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.【小问2详解】样本数据中男生成绩的平均数，方差；女生成绩的平均数.【===BC AE θcos cos ,E B A C θ== θ=x 21σy 22σ65x =21132.5σ=69.7y ≈22119.9σ≈802250520⨯=4653686360747185658x +++++++==21σ()()()()22222222119123259620132.58⎡⎤=-+-++-+-+++=⎣⎦y 47575965667173757678818883669.71212+++++++++++==≈.因为，，所以女生平均成绩更高，也更稳定.19. 已知，直线与双曲线相交于不同的点.（1）若点分别在双曲线的左、右两支上，求的取值范围；（2）若以线段为直径的圆，经过坐标原点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直线与双曲线方程联立，消元得到一个元二次方程，由题意得到不等式组，解这个不等式组即可求出实数的取值范围；（2）利用圆的性质.利用平面向量的数量积，结合（1）中的一元二次方程，可以求出实数的值.【小问1详解】直线与双曲线方程联立得：，因为直线与双曲线相交于不同的两点分别在双曲线的左、右两支上，所以有：，因此实数的取值范围为；【小问2详解】设，因为线段为直径的圆经过坐标原点，所以有，即，由（1）可知：，则，22σ=()()()()()222222222222122.712.710.7 4.7 3.7 1.3 3.3 5.3 6.38.311.318.312⎡⎤-+-+-+-+-+++++++⎣⎦119.9≈x y <2212σσ>R k ∈1y kx =+2241x y -=,A B ,A B k AB k ()2,2-k =k k 22221(4)22041y kx k x kx x y =+⎧⇒---=⎨-=⎩1y kx =+2241x y -=,A B ()222240Δ(2)4(2)4022204k k k k k ⎧⎪-≠⎪⎪=--⨯-⋅->⇒-<<⎨⎪-⎪<⎪-⎩k ()2,2k ∈-1122(,),(,)A x y B x y AB 0OA OB ⋅= 12120x x y y +=12122222,44k x x x x k k --+=-=--21212121212120(1)(1)0(1)()10x x y y x x kx kx x x k k x x +=⇒+++=⇒++++=即.20. 已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且.（1）如图1，若点在棱的中点处，求证：平面；（2）如图2，若，求三棱锥的体积；（3）如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值.【答案】（1）证明见解析（2 （3【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）首先需要结合余弦定理以及等面积法求出，则的结果可得，因此可将求问题转化为求问题，最终结果乘以即可得答案.（3）取的中点为，取的中点为，连接，在上取一点，使得，取的中点为Q ，连接，则平面，则点在以点为球心、为直径的球面上，且轨迹是以点为圆心的一段圆弧，结合几何知识即可求出答案．【小问1详解】由于E 是的中点，结合正四面体的性质可得,又因为，所以平面；【小问2详解】222222(1)()10244k k k k k k k--++-+=⇒=⇒=--A BCD -E CD F AE BF AE ⊥E CD CD ⊥ABE 2DE EC =B CEF -E CD CF EF 514EF AE =F BCE V -A BCD V -514AB O CD M AM AM N 2AN NM =AN OQ OQ ⊥ACD F O AB Q CD ,AE CD BE CD ⊥⊥AE BE E =I CD ⊥ABE因为，所以，在三角形ACE 中，由余弦定理可得，同理在三角形ABE 中，E 到AB所以由等面积法可得，代入数据得，所以因为，所以F 到底面BCD 的距离为A 到底面BCD的距离的，三角形BCE 的面积是三角形BCD 面积的，所以，如图，取CD 中点记为H ，AG 为棱锥的高，，所以，则，所以.【小问3详解】2DEEC =22DE EC ==AE ==BE==BF AE ⋅=BF =EF =514EF AE ==5141315531442F BCE A BCD V V --=⨯=AH ==BG ==AG ==°1133sin 6032A BCD V -⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭554242F BCE A BCD V V --===∵，∴点在以为直径的球面上，取的中点为，∵点在中，由于一个平面截一个球所得的是一个圆面，∴点的轨迹为一段圆弧，取的中点为，连接，在上取一点，使得，在等边中，易得点为的中心，∴在正四面体中，易得平面，取的中点为，连接，则，则平面，由于一个平面截一个球所得的是一个圆面，且球心与这个圆的圆心所在直线与该平面垂直，∴点轨迹是以点为圆心的一段圆弧，在中，，，∴，则，∴，∴，∴圆的半径而，∴的BF AE ⊥F AB AB O F ACD F CD M AM AM N 2AN NM =ACD N ACD A BCD -BN ⊥ACD AN Q OQ //OQ BN OQ ⊥ACD F Q ACD 3AC =32CM =AM =AN =BN =OQ =Q r =CQ =CF CQ r ≥-=故．21. 已知，椭圆，点是该椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同的两点.（1）当且的斜率为1时，求；（2）当时，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得对于任意的直线、都不是直角三角形.若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.【答案】（1（2） （3），理由见解析【解析】【分析】（1）由题意，利用与椭圆联立得两点坐标，再求的值，即可求解；（2）设出直线方程，与椭圆联立列韦达定理，坐标化，代入，，，得到关于的式子，即可求解.（3）设直线的方程为，联立方程组得到，结合不成立，得出方程无解，进而求得实数的取值范围.【小问1详解】解：由椭圆，可得，则，所以，当时，直线，联立方程组，解得，，则【小问2详解】解：当斜率为时，由，，可得，CF R m ∈22Γ:12x y +=F (),0M m l Γ,A B 0m =l AB 1m =-⋅ FA FB ()1m m ≠l ABF △m 71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()40,1(1,)3l ,A B AB l Γ121212()FA FB x x x x y y ⋅=-++ 12x x 12x x +12y y t AB x ky m =+1212,y y y y +0FA FB ⋅= 22340k m m -+-=m 22Γ:12x y +=222,1a b ==1c ==(1,0)F 0m =:l y x =2212y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩A B ⎛ ⎝AB =l 0()A )B 1 FA FB ⋅=-当斜率不存在时，由，可得，当斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，设，则，且，由，则，令，可得且，则，综上可得，的取值范围为.【小问3详解】解：设直线的方程为联立方程组，整理得，设，则，且，设，因为，，l ,1,A B ⎛⎛-- ⎝⎝72FA FB ⋅=l (1)y k x =+22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(21)4220k x k x k +++-=()()1122,,,A x y B x y 2222(4)4(21)(22)0k k k ∆=-+->22121222422,2121k k x x x x k k -+=-=++1122,(1,)(1,)FA F x y x y B =-=- 1212121212121()()111)()(FA FB x x x x y y x x x k x k x x ⋅=-++-+=++⋅+++ 1122222(1)((1)1)x k x k k x x =+-++++22222222222471(1)(1)1212121k k k k k k k k k --=⋅-+⋅-+=++++221t k =+212t k -=1t ≥22797179722[1,)21222t k k t t --==-∈-+⋅ FA FB 71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦AB x ky m=+2212x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(2)220k y kmy m +++-=()()1122,,,A x y B x y 222(2)4(2)(2)0km k m ∆=-+->212122222,22km m y y y y k k -+=-=++()()()11221212121,·1,1T FA FB x y x y x x y y x x =⋅=--=+-++ 1212()2x x k y y m +=++22121212()x x k y y mk y y m =+++所以，要使得都不是直角三角形，只需不成立，即方程无解，即无解，所以，解得，又因为，所以实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.221212(1)(1)()(1)T k y y k m y y m=++-++-222222222234(1)(1)(1)222m km k m mk k m mk k k--+-=+--⋅+-=+++ABF△0FA FB⋅=22340k m m-+-=2234k m m=-2340-<m m43m<<1m≠m()40,1(1,3⋃。
上海市控江中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析
上海市控江中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1.经过点()1,0，且以()2,5d =为一个方向向量的直线l 的方程为_____. 【答案】5250x y --= 【解析】 【分析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】直线l 的斜率为52k =，所以，直线l 的方程为()512y x =-，即5250x y --=. 故答案为：5250x y --=.【点睛】本题考查直线的方程，考查直线的方向向量与斜率的关系，考查计算能力，属于基础题.2.过点()4,3，且与圆2225x y +=相切的直线l 的方程为_____.【答案】43250x y +-= 【解析】 【分析】求出直线l 的斜率，可得出直线l 的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】点()4,3与圆心连线的斜率为34，由于点()4,3在圆2225x y +=上， 则直线l 的斜率为43k =-，所以，直线l 的方程为()4343y x -=--，即43250x y +-=.故答案：43250x y +-=.【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解，解题时要判断点与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题.3.焦点为()-与()的等轴双曲线的方程为_____.【答案】22144x y -=【分析】设所求双曲线的方程为()222210x y a a a-=>，根据该双曲线的焦点坐标求出a 的值，即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】由于所求等轴双曲线的焦点在x 轴上，可设所求双曲线的方程为()222210x ya a a-=>，==2a =，因此，所求等轴双曲线的方程为22144x y -=.故答案为：22144x y -=.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，解题的时要注意焦点位置，考查计算能力，属于基础题.4.平面上到两定点()4,0与()4,0-的距离之和为8的动点的轨迹方程为_____. 【答案】()044y x =-≤≤ 【解析】 【分析】记点()4,0A 、()4,0B -，设所求点为P ，由PA PB AB +=可得知点P 的轨迹，进而可得出点P 的轨迹方程.【详解】记点()4,0A 、()4,0B -，设所求点为P，则PA PB AB +=， 则点P 的轨迹为线段AB ，即所求动点的轨迹方程为()044y x =-≤≤. 故答案为：()044y x =-≤≤.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，注意区别椭圆的定义，考查计算能力，属于基础题. 5.若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为arccos 5，则实数k 的值为_____. 【答案】34【分析】设直线20x y -=的倾斜角为α，记arccos 5β=，利用两角差的正切公式可得出关于k 的方程，进而可求得实数k 的值.【详解】设直线20x y -=的倾斜角为α，记arccos5β=，则tan 2α=，cos β=，sin β=1tan 2β=，由题意可得tan 21tan 1tan 122k k k k αβα--===++，解得34k =.故答案为：34. 【点睛】本题主要考查直线夹角公式的应用，涉及两角差的正切公式的应用，考查计算能力，属于基础题.6.已知t 是实数，设向量()3,4a =，向量()2,1b =，若()a a tb ⊥-，则t 的值为_____.【答案】52【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出2a 和ab ⋅的值，由()a a tb ⊥-得()0a a tb ⋅-=，由此可计算出实数t 的值. 【详解】()3,4a =，()2,1b =，则2223425a =+=，324110a b ⋅=⨯+⨯=，()a a tb ⊥-，则()225100a a tb a ta b t ⋅-=-⋅=-=，解得52t =. 故答案为：52. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查利用向量垂直求参数，考查运算求解能力，属于基础题.7.直线25y x =+被圆()()221214x y -+-=所截得的弦AB 的长度为_____. 【答案】6 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理可求出弦长AB .【详解】圆()()221214x y -+-=的圆心坐标为()1,2，圆心到直线的距离为d ==6AB ==.故答案为：6.【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.8.设动点A 的轨迹为抛物线24y x =，点()2,0B 为定点.若线段AB 的中点为点P ，则点P 的轨迹方程为_____. 【答案】222y x =- 【解析】 【分析】设点(),P x y ，可得出点()24,2A x y -，再将点A 的坐标代入抛物线的方程，化简即可得出点P 的轨迹方程.【详解】设点()00,A x y 、(),P x y ，由中点坐标公式得00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得00222x x y y =-⎧⎨=⎩，由于点A 在抛物线24y x =上，即2004y x =，所以，()24422y x =-，化简得222y x =-.因此，点P 的轨迹方程为222y x =-. 故答案为：222y x =-.【点睛】本题考查利用相关点法求轨迹方程，考查计算能力，属于中等题.9.椭圆()22210416x y b b +=<<的左焦点为F ，以F 为一端点、该椭圆上的动点为另一端点的所有线段的长度中，最大值记为M ，最小值记为m .若7=M m ，则b =_____.【解析】 【分析】由椭圆的几何性质得M a c =+，m a c =-，结合条件7=M m 可求得实数b 的值. 【详解】由题意可知，4a =，c == 由椭圆的几何性质知M a c =+，m a c =-，7M m =，即()7a c a c +=-，可得334c a ==3=，解得b =..【点睛】本题考查椭圆方程中参数的计算，考查椭圆上一点到焦点距离最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.10.设P 是双曲线2236x y -=1上的一点，1F 、2F 是该双曲线的左、右焦点.若()()121272F P F P F P F P +⋅-=，则1F P =_____.【答案】【解析】 【分析】根据双曲线的定义以及已知条件可得出关于1F P 和2F P 的方程组，即可解出1F P 的值. 【详解】()()22221212121272F P F P F P F P F P F P F P F P +⋅-=-=-=，则120F P F P ->，由双曲线的定义可得1223F P F P -= 又()()2212121272F P F P F P F PF P F P -=-+=，则1212F P F P +=，所以，12122312F P F P F P F P ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩173F P =.故答案为：73.【点睛】本题考查双曲线焦半径的求解，考查双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.11.设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点1A 、1B 、1C 满足：()1AA AB AC λ=+，()1BB BC BA λ=+，()1CC CA CB λ=+，若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为_____.【答案】23【解析】 【分析】设ABC ∆的重心为点G ，可知ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称，利用重心的向量性质可求得实数λ的值.【详解】设ABC ∆的重心为点G ，则3AB AC AG +=，()13AA AB AC AG λλ∴=+=， 由于ABC ∆和111A B C ∆的面积相等，则ABC ∆与111A B C ∆关于点G 对称， 则12AA AG =，32λ∴=，解得23λ=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了平面向量的数乘运算和线性运算，涉及三角形重心向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题.12.在平面直角坐标系中，已知点1F 、2F 、3F 的坐标分别为()0,2-、()2,2、()5,2-.该平面上的动点P 满足1232019PF PF PF ++=.已知动点P 的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为_____（只需写出满足题意的一个方程）. 【答案】210x y +-= 【解析】 【分析】推导出1323F F F F =，则123F F F ∆是等腰三角形，12F F 的中点坐标为()1,0，123F F F ∆的对称轴方程为210x y +-=，由此可得出该图形的一条对称轴方程. 【详解】点1F 、2F 、3F 的坐标分别为()0,2-、()2,2、()5,2-，135F F ∴=，235F F =，则1323F F F F =，123F F F ∴∆是等腰三角形，线段12F F 的中点坐标为()1,0，123F F F ∆的对称轴方程为210x y +-=.123F F F ∆所在平面上的动点P 满足1232019PF PF PF ++=，且动点P 的轨迹为轴对称图形，设点P 关于直线210x y +-=的对称点为点Q ，则12PF QF =，21PF QF =，33PF QF =，所以，1232132019QF QF QF PF PF PF ++=++=，则动点Q 在点P 的轨迹上，因此，该图形的一条对称轴方程为210x y +-=. 故答案为：210x y +-=.【点睛】本题考查对称轴方程的求解，考查两点间距离公式的应用、直线方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、化归与转化思想的应用，属于中等题. 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A. (),20-∞B. (),5-∞C. ()5,+∞D.()20,+∞【答案】B 【解析】 【分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <.因此，实数m 的取值范围是(),5-∞. 故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.14.设直线l 的方程为2430x y +-=，直线m 的方程为260x y +-=，则直线l 与m 的距离为（ ） A.35B.35C.95D.95【答案】C 【解析】 【分析】将直线m 的方程化为24120x y +-=，利用平行线间的距离公式可求出直线l 与m 的距离. 【详解】直线m 的方程可化为24120x y +-=，因此，直线l 与m 的距离为22312951024d -+==+. 故选：C.【点睛】本题考查平行线间距离的计算，考查计算能力，属于基础题.15.开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F 处.从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到点P 所经过的时间为T .根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T时间，行星的位置可能在（ ）A. A 点处B. B 点处C. C 点处D. D 点处【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的对称性可得，椭圆与坐标轴的交点将椭圆分为相等的4部分，所以按逆时针转动到达点B 处.【详解】由于椭圆的对称性可得转一周为一个周期T ，一周被坐标轴平均分为相等的4部分，所以，从点P 开始经过4T时间，按逆时针转时转到点B . 故选：B.【点睛】本题考查椭圆对称性的应用，属于基础题.16.设P 、Q 是椭圆2214x y +=上相异的两点.设()2,0A 、()0,1B .命题甲：若AP AQ =，则P 与Q 关于x 轴对称； 命题乙：若BP BQ =，则P 与Q 关于y 轴对称.关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ） A. 甲和乙都是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题 C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲和乙都是假命题【答案】A 【解析】 【分析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则12x x ≠或12y y ≠，利用两点间的距离公式结合命题中的等式，化简计算可判断出两个命题的真假.【详解】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则2214i i x y +=，可得2244i i x y =-，()2211,24i i x y i =-=.对于命题甲：()222221111111324414544x x AP x y x x x =-+=-++-=-+同理可得2223454x AQ x =-+AP AQ =，则22121233454544x x x x -+=-+，整理得()()12123160x x x x ⎡⎤-+-=⎣⎦，122x -≤≤，222x -≤≤，所以，1244x x -≤+≤，则()123160x x +-≠，必有12x x =，所以，则P 与Q 关于x 轴对称，命题甲正确； 同理可知命题乙也正确. 故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的对称性的应用，考查椭圆方程的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、解答题（本大题共5题，共46分）17.已知向量()11,2e =与()24,2e =是平面上的一组基向量. （1）设向量()1,4v =-，试用向量1e 与2e 表示v ；（2）设t 是实数，向量()6,b t =，设b 与1e 的夹角为α，b 与2e 的夹角为β.若αβ=，求t 的值.【答案】（1）123v e e =-；（2）6t =. 【解析】 【分析】（1）设12v e e λμ=+，根据平面向量的坐标运算建立λ和μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果；（2）由cos cos αβ=结合平面向量夹角余弦值的坐标运算可得出关于t 的等式，即可解出实数t 的值.【详解】（1）设12v e e λμ=+，则()()1,44,22λμλμ-=++，即41224λμλμ+=-⎧⎨+=⎩，解得31λμ=⎧⎨=-⎩， 因此，123v e e =-；（2）根据题意，11cos 5b e b e α⋅==⋅⋅22cos 25b e b e β⋅==⋅αβ=，=，可得2612t t +=+，解得6t =.【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查了利用平面向量的夹角相等求参数，考查运算求解能力，属于基础题.18.已知m 为实数，设直线1l 的方程为21x my +=，直线2l 的方程为82mx y m +=-. （1）若1l 与2l 平行，求m 的值；（2）当1l 与2l 相交时，用m 表示交点A 的坐标，并说明点A 一定在某一条定直线上. 【答案】（1）4m =-；（2）()21,444m A m m m +⎛⎫-≠- ⎪++⎝⎭，证明见解析.【解析】 【分析】（1）由两直线平行的等价条件可得出关于实数m 的方程，即可解出实数m 的值； （2）将两直线方程联立可求得交点A 的坐标()21,444m m m m +⎛⎫-≠-⎪++⎝⎭，然后令24m x m +=+，14y m =-+，消去参数m 得出关于x 、y 的二元一次方程，即可证得结论. 【详解】（1）1l 与2l 平行，则()216022m m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得4m =-；（2）联立2182x my mx y m +=⎧⎨+=-⎩，解得24m x m +=+，14y m =-+，所以点21,44m A m m +⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ()4222112444m m x y m m m +-+===-=++++，即()2100x y y --=≠. 因此，点A 在直线210x y --=上.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了直线交点坐标的计算，考查计算能力，属于中等题.19.设双曲线Γ的方程为2214y x -=.（1）设l 是经过点()1,1M 的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l 的方程；（2）设1l 是Γ的一条渐近线，A 、B 是1l 上相异的两点.若点P 是Γ上的一点，P 关于点A 的对称点记为Q ，Q 关于点B 的对称点记为R .试判断点R 是否可能在Γ上，并说明理由. 【答案】（1）1x =或210x y --=或230x y +-=或5230x y --=；（2）点R 不可能在双曲线Γ上，理由详见解析. 【解析】 【分析】（1）对所求直线分三种情况讨论：①l x ⊥轴，验证即可；②直线l 与双曲线相切，设出直线方程，与双曲线的方程联立，由0∆=求出直线的斜率，可得出直线l 的方程；③直线l 与双曲线的渐近线平行，可得出直线l 的方程.综合可得出所求直线l 的方程；（2）假设点R 在双曲线Γ上，设直线1l 的方程为2y x =，设点()11,A x y 、()22,B x y ，()00,P x y ，求出点Q 、R 的坐标，再将点R 的坐标代入双曲线Γ的方程验证即可得出结论.【详解】（1）①当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意，②当直线l 的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k ， 则直线l 的方程为()11y k x -=-，即1y kx k =-+，联立方程22114y kx k y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()()()222421140k x k k x k ⎡⎤-----+=⎣⎦， 直线l 和双曲线Γ有且仅有一个公共点，()()()22224144140kk k k ⎡⎤∴∆=-+--+=⎣⎦，化简得520k -=，解得52k =，此时，直线l 的方程为5322y x =-，即5230x y --=；③当直线l 与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点， 双曲线Γ的渐近线方程为2y x =±，∴直线l 的斜率为2x ±，所以，直线l 的方程为()121y x -=-或()121y x -=--，即210x y --=或230x y +-=.综上所述，直线l 的方程为1x =或5230x y --=或210x y --=或230x y +-=；（2）假设点R 在双曲线Γ上，不妨设直线1l 方程为2y x =，设点()11,2A x x 、()22,2B x x 、()00,P x y ，P 关于点A 的对称点记为Q ，∴点()10102,4Q x x x y --，Q 关于点B 的对称点记为R ，∴点()21021022,44R x x x x x y -+-+，点R 在双曲线Γ上，()()22210210442214x x y x x x -+∴-+-=，()()()()22221210022121001684414x x x x y y x x x x x x -+-⋅+∴-+-⋅+-=，∴()()22021002104214y x x x x x x y -⋅+--⋅-=，又点()00,P x y 在双曲线22:14y x Γ-=上，220014y x ∴-=， 上式化为()()210210420x x x x x y -⋅--⋅=，12x x ≠，0042x y ∴=，即002y x =，22014y x -=，则01=，此式显然不成立，故假设不成立，所以点R 不可能在双曲线Γ上.【点睛】本题考查利用直线与双曲线的公共点个数求直线方程，同时也考查了点与双曲线的位置关系的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知抛物线P 的焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.若三角形ABC 的三个顶点都在抛物线P 上，且0FA FB FC ++=，则称该三角形为“向心三角形”.（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2？说明理由； （2）设“向心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知三角形ABC 是“向心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2. 【答案】（1）不存在，理由详见解析；（2）450x y --=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，点F 为ABC ∆的重心，假设存在一点使得“向心三角形”存在，求得该点的坐标，代入抛物线的方程，进行判断即可；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，利用点差法求得121y y +=，根据重心的坐标公式，求出线段AB 的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线AB 的方程；（3）由()123y y y =-+，等式两边平方，利用基本不等式可得出()1232x x x <+，结合等式2313x x x +=-可求出12x <，进而证明结论成立.【详解】（1）由题意可知，抛物线的标准方程为24y x =， 由0FA FB FC ++=，可知，F 为ABC ∆重心，设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2，另外的顶点为()00,x y ，由0001130203x y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得：0022x y =⎧⎨=-⎩，显然2004y x ≠，故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为()0,0和()1,2； （2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y ，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减，得()()()1212124y y y y x x -+=-，所以12121244y y x x y y -==-+，所以121y y +=，由题意可知，1230y y y ++=，所以31y =-，则314x =， 由1233x x x ++=，所以12114x x +=，所以，线段AB 的中点111,82⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此，直线AB 的方程为111428y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得450x y --=. 因此，直线AB 的方程450x y --=；（3）由（2）可知1233x x x ++=，则2313x x x +=-，① 由1230y y y ++=，()123y y y =-+，平方可得()22222122332322y y y y y y y =++≤+，当且仅当23y y =时取等号，显然23y y ≠，所以2223122444y y y ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，即()1232x x x <+， 将①代入可得()1123x x <-，解得12x <， 所以点A 的横坐标小于2.【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查三角形重心坐标公式的应用、点差法以及基本不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21.设椭圆E 的方程为2212x y +=，斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，AB 为直径作圆S .（1）求圆心C 的轨迹方程，并描述轨迹的图形； （2）若圆S 经过原点，求直线l 的方程； （3）证明：圆S 内含或内切于圆223x y +=.【答案】（1）圆心C 的轨迹方程为12y x x ⎛=-<< ⎝⎭，轨迹为线段；（2）y x =±；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设直线l 的方程为y x t =+，与椭圆方程联立，利用判别式大于零，以及韦达定理和中点坐标公式，可得圆心C 的轨迹方程，并确定轨迹图形；（2）利用弦长公式求得AB ，以及圆S 的方程，代入原点，可求t 的值，进而可求得直线l 的方程；（3）利用两圆内切和内含的条件，结合两点间的距离公式，计算可得出结论成立. 【详解】（1）设斜率为1的动直线l 的方程为y x t =+， 联立椭圆方程2222x y +=，可得2234220x tx t ++-=，设()11,A x y 、()22,B x y ，则()2221612222480t t t ∆=--=->，即t <由韦达定理得1243t x x +=-，212223t x x -=，则中点2,33t t C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得圆心C 的轨迹方程为12y x x ⎛=-<< ⎝⎭，即轨迹为线段；（2）由（1）可得AB ===可得圆S 的方程为2222124339t t t x y -⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若圆S 经过原点，可得()2243599t t -=，解得3t =±，因此，直线l 的方程为y x =±；（3）圆223x y +=的圆心设为()0,0O ，圆S 的圆心2,33t t S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由222225124133393933t t OS t ⎫⎛⎫--=--+=+-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()03m m =<<，则2293m t -=，可得()222294131203333m m OS m --=+-=--≤⎝⎭， 可得圆S 内含或内切于圆223x y +=.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线与椭圆的综合问题，圆与圆位置的关系的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
2022-2023学年上海市控江中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市控江中学高二上学期期中数学试题一、填空题1．某医疗机构有4名新冠疫情防控志愿者，现要从这4人中选3个人去3个不同的社区进行志愿服务、则不同的选择办法共有______种．【答案】24【分析】根据题意分两步，第一步先从4人中选出3人，第二步再安排到3个不同的社区，根据分步计数原理即可得到结果.【详解】由题意可分两步，第一步先从4名新冠疫情防控志愿者选出3人，共有种方法；34C 第二步选出的3人去3个不同的社区，共有种方法，根据分步计数原理可知，33A 不同的选择办法共有种，3343C A =46=24⨯故答案为：242．若平面截球O 所得圆的半径为，则球心O 到平面的距离为α2cm α___________.cm【分析】根据球的截面圆性质计算．【详解】．R =2r =由题意球心到截面的距离为d ===．3．在棱长为1的正四面体中，点到平面的距离为______．ABCD A BCD【分析】过点、分别作，，垂足分别为、，且，连接、B C BE CD ⊥CF BD ⊥E F BE CF O ⋂=AO 、，先证明平面，则到平面的距离为的长度，在结合勾股定理求解AE AF AO ⊥BCD A BCD AO 即可.【详解】过点、分别作，，垂足分别为、，且，B C BE CD ⊥CF BD ⊥E F BE CF O ⋂=连接、、，AO AE AF 在正四面体中，为等边三角形，ABCD BCD △所以、分别为、的中点，E F CD BD 所以，，AE CD ⊥AF BD ⊥又，面；，平面，AE BE E = AE BE ⊂、ABE AF CF F ⋂=AF CF ⊂、ACF 所以平面，平面，CD ⊥ABE BD ⊥ACF 又平面，平面，AO ⊂ABE AO ⊂ACF 所以，，CD AO ⊥BD AO ⊥又，平面，CD BD D = CD BD ⊂、BCD 所以平面，即到平面的距离为的长度，AO ⊥BCD A BCD AO由于，所以1BC CD ==BE ==AE =则，13OE BE =所以在中，.Rt AOE △AO =.4．设ABCD 是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，，则二面角的大小为______．PA AB =P BC A --【答案】45°【分析】连接，证明为二面角的平面角，根据求出即可.PB PBA ∠P BC A --PA AB =PBA ∠【详解】解：连接，因为平面，平面，所以，又在正方形PB PA ⊥ABCD BC ⊂ABCD PA BC ⊥中，，，所以平面，ABCD AB BC ⊥PA AB A ⊥=BC ⊥PAB 平面，则 ，所以为二面角的平面角.PB ⊂PAB BC ⊥PB PBA ∠P BC A --在直角三角形中，，所以.PAB PA AB =45PBA ∠=故答案为：455．若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的底面半径为______．【答案】1【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径.【详解】圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为半圆的弧长：，2πl =设底面圆半径为，则有，所以底面半径为：1.r 2π2πr =故答案为：16．已知球的表面积是，则该球的体积为________.16π【答案】323π【解析】设球的半径为r ，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.2r =【详解】设球的半径为r ，则表面积，2416S r ππ==解得，2r =所以体积，3344322333V r πππ==⨯=故答案为：323π【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.7．若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___________.【答案】100【分析】根据正四棱台的结构特征，借助其高、斜高、两底面对应边心距构成的直角梯形求出斜高即可计算得解.【详解】因正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则该正四棱台上底、下底面边心距分别为1，4，而正四棱台的高、斜高、两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高，5h '==因此，侧面积，28451002S +=⨯⨯=所以所求的侧面积为100.故答案为：1008．棱柱的底面是边长为的正方形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 11160A AD A AB ∠=∠=︒12AA =则此棱柱的体积为______．【分析】设和交于点，在中，求出；在中，求出；在中，AC BD O 1A AB △1A B 1A DB △1AO 1AAO 求出；过作底面，垂足在对角线上，在中，求出棱柱的高1A AO ∠1A 1A E ⊥ABCD E AC 1Rt A AE ，利用棱柱的体积公式求解即可．1A E 【详解】设和交于点，AC BD O 中，，，则1A AB △12,1AA AB ==160A AB ∠=︒1A B ===同理1A D =中，，，则1A DB△11A B A D ==BD=1A O ==中，，则，即1A AO12,AA AO ==1A O=2221111cos 2AA AO A O A AO AA AO +-∠==⨯⨯145A AO ∠=︒，过作底面，垂足在对角线上，11A AD A AB ∠=∠ ∴1A 1A E ⊥ABCD E AC 在中，，，则1Rt A AE 12AA =145A AO ∠=︒1AE =此棱柱的体积为21V Sh ===9．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该正四棱锥的高为边长的一个正方形面积与该正四棱锥一个侧面三角形的面积相等，则此正四棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值为______．【分析】如图在正四棱锥中，，为边上的中点，则即为侧面P ABCD -AC BD O = M BC OMP ∠与底面所成角的平面角，再设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角PBC ABCD P ABCD -d a 形底边上的高为，根据题意求出的关系，从而可得出答案.h ,a h 【详解】如图在正四棱锥中，，为边上的中点，P ABCD -AC BD O = M BC 则为正四棱锥的高，，OP P ABCD -,PM BC OM BC ⊥⊥则即为侧面与底面所成角的平面角，OMP ∠PBC ABCD 设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形底边上的高为，P ABCD -d a h 根据题意得，该四棱锥的高为边长的正方形面积，21S d =该四棱锥一个侧面三角形的面积，212S ah =又因，且，所以，即，12S S =2224a h d =+22142a h ah-=2211024h h a a -⋅-=因此，h a=112cos2aOM OMPMP h ∠====.10．对于任意正整数，定义“的双阶乘”如下：对于是偶数时，n n !!n n ；对于是奇数时，.现有如下四个()()!!24642n n n n =--⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯n ()()!!24531n n n n =--⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯命题：①；②；③的个位数是；④的个()()2021!!2022!!2022!⋅=10112022!!21011!=⋅2022!!02023!!位数是.正确的命题序号为______.5【答案】①②③④【分析】根据的双阶乘的定义可直接验证知①正确；将展开式各项提出之后，即可知②n 2022!!2正确；由展开式中含因数因数可知③正确；结合的个位数可推导得④正确.2022!!102019!!【详解】对于①，()()()(2021!!2022!!20212019201731202220202018⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅，①正确；)422022202120203212022!⨯⨯=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=对于②，，(10112022!!20222020201864221011101010093=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯)10112121011!⨯⨯=⋅②正确；对于③，的展开式中含因数，其个位数为，③正确；2022!! 10∴0对于④，，2019!!20192017201597531=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯ 的个位数与的个位数相同，个位数为；∴2019!!13579⨯⨯⨯⨯5又，的个位数与相同，个位数为，④正确.2023!!202320212019!!=⨯⨯2023!!∴315⨯⨯5故答案为：①②③④.11．在直三棱柱中，AB ⊥BC ，，点P 在棱BC 上运动，则过点P 且111ABC A B C -12AB BC CC ===与AC 垂直的平面α截该三棱柱所得的截面面积的最大值为______.【答案】【分析】根据线线垂直，证明线面垂直，找到与垂直的平面，从而平面平面AC 1MNB B //α，由此能求出过点且与垂直的平面截该三棱柱所得的截面面积的最大值．1MNB BP AC α【详解】取中点为，中点为，连接，，，AC M 11A C N BM 1B N MN 则有，且，BM AC ⊥1//BB MN 因为三棱柱是直三棱柱，故平面,111ABC A B C -1BB ⊥ABC 所以平面，即，，所以平面，MN ⊥ABC MN AC ⊥BM MN M = AC ⊥1MNB B 平面平面，∴//α1MNB B 因为点在棱上运动，当点运动到点时，此时截面最大，进而面积最大，P BC ∴P B，此时12BM AC ==2MN =N N 2BM B S MB M =⋅==故答案为：12．空间给定不共面的A ，B ，C ，D 四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A ，B ，C ，D 中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的ααα2倍，这样的平面的个数是___________个α【答案】32【分析】按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解【详解】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性：α（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有个，4832⨯=故答案为：32二、单选题13．在三棱锥中，若，，那么必有（ ）A BCD -AD BC ⊥AD BD ⊥A ．平面平面B ．平面平面ADC ⊥BCD ABC ⊥BCD C ．平面平面D ．平面平面ABD ⊥ADC ABD ⊥ABC【答案】A【解析】由已知条件推导出平面，结合面面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；利AD ⊥BCD 用面面垂直的性质定理可判断BCD 选项的正误.【详解】，，且，平面.AD BC ⊥ AD BD ⊥BC BD B = AD ∴⊥BCD 对于A 选项，平面，所以，平面平面，A 选项正确；AD ⊂ ADC ADC ⊥BCD 对于B 选项，若平面平面，过点在平面内作，如下图所示：ABC ⊥BCD A ABC AE BC ⊥由于平面平面，平面平面，，平面，ABC ⊥BCD ABC ⋂BCD BC =AE BC ⊥AE ⊂ABC 平面，AE ∴⊥BCD 又平面，过点作平面的直线有且只有一条，假设不成立，B 选项错误；AD ⊥ BCD A BCD 对于C 选项，若平面平面，平面平面，，平面，ABD ⊥ADC ABD ⋂ADC AD =AD BD ⊥BD ⊂ABD 平面，BD ∴⊥ADC 平面，则，而与是否垂直未知，C 选项错误；CD ⊂ ADC BD CD ⊥BD CD 对于D 选项，过点在平面内作，垂足为点，D ABD DF AB ⊥F若平面平面，平面平面，，平面，ABD ⊥ABC ABD ⋂ABC AB =DF AB ⊥DF ⊂ABD 所以，平面，DF ⊥ABC 平面，，BC ⊂ ABC BC DF ∴⊥，，平面，BC AD ⊥ DF AD D ⋂=BC ∴⊥ABD 平面，，但与是否垂直未知，D 选项错误.BD ⊂ ABD BC BD ∴⊥BC BD 故选：A.【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.14．下列命题中，正确的是（ ）A ．一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交B ．一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面C ．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线D ．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行【答案】C【分析】由空间中直线与直线的位置关系，结合异面直线的定义逐一分析四个选项得答案．【详解】一条直线和两条平行直线中的一条相交，则和另一条相交或异面，A 错误；一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，设a ∥b ，l 与a 确定一个平面，则l 与a 平行或相交，如下图l 与a 相交的情况，l 与b 异面，B 错误；一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条如果不是异面直线，即与另一条平行，由平行公理知：三条直线互相平行，与题设有矛盾，C 正确；一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行或直线与两平行直线都异面， D 错误．故选：C 15．正方体的棱长为1，点P 在正方体内部及表面上运动，下列结论错误的是1111ABCD A B C D -（ ）A ．若点P 在线段上运动，则AP 与所成角的范围为1D C 1AB ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．若点P 在矩形内部及边界上运动，则AP 与平面所成角的取值范围是11BDD B 11BDD B ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若点P 在内部及边界上运动，则AP 11D B C △D ．若点P 满足，则点P 轨迹的面积为1AP =π2【答案】B【分析】根据线线角的定义可知：当点与重合时最小，点在的中点时最大即可确定P 1,C D P 1D C T 范围.当垂直时，线面角最大，当与重合时,线面角最小；当平面时，此时最P 11,D B AP ⊥11D B C AP 小;根据点的运动轨迹为球面的一部分即可求解.P 【详解】连接,则为等边三角形，当点与重合时，AP 与所成角最小11,,AD AC D C 1ACD △P 1,C D 1A B 为，当点在的中点时，AP 与所成角最大为，故A 对.π3P 1D C T 1A B π2连接交于,故,则平面,故当与重合时，AC BD O 11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=AO ⊥11BDD B P O AP 与平面所成角最大为，当与重合时,此时长度最大，此时AP 与平面11BDD B π2P 11,D BAP 所成角最小，最小角为,故 AP 与平面所成角的取值范围是，故11BDD B 1π6AD O ∠=11BDD B ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦B 错误.四面体，等边11111AC AD AC B D B C CD ======∴ 11A CB D -，当平面11D B C △AP ⊥时，此时故C 对.点P 满足时，此时在以为球心，半径为1的11D B C AP 1AP =P A 球面上，又因为点P 在正方体内部及表面上运动，故点在的球面上运动，故面积为P 18，故D 对.21π4π1=82⨯⨯故选:B16．空间中到正方体棱，，所在的直线距离相等的点有（ ）1111ABCD A B C D -11A D AB 1CC A ．0个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，连接，并在上任取一点，设1B D 1B D P ，其中，作平面，垂足为，再作，垂足为，即可得到点(,,)P a a a 01a ≤≤PE ⊥1A D E 11EF A D ⊥F 到直线的距离，同理得到点到直线的距离，即可判断.P 11A D P 1AB CC 、【详解】在正方体上建立如图所示空间直角坐标系，1111ABCD A B C D -并设该正方体的棱长为1，连接，并在上任取一点，1B D 1B D P 因为，所以设，其中.1(1,1,1)DB = (,,)P a a a 01a ≤≤作平面，垂足为，再作，垂足为，PE ⊥1A D E 11EF A D ⊥F则是点到直线的距离，所以PF P 11A D PF =同理点到直线P 1AB CC 、所以上任一点与正方体的三条棱、所在直线的距离都相等，1B D 1111ABCD A B C D -1AB CC 、11A D 所以与正方体的三条棱所在直线的距离相等的点有无数个.1111ABCD A B C D -111AB CC A D 、、故选：D.三、解答题17．如图，梯形ABCD 满足AB//CD ，，现将梯形ABCD90,1,30ABC AB BC BAD ∠===∠= 绕AB 所在直线旋转一周，所得几何体记叙Ω(1)求的体积VΩ(2)求的表面积S Ω【答案】 (2)3π+【详解】试题分析：（1）旋转体为一个圆锥与一个圆柱，根据圆柱与圆锥体积公式求体积，最后求和得的体积V （2）表面积为圆锥侧面积与圆柱侧面积以及一个底面圆的面积之和，代入对应Ω公式可得结果试题解析：18．已知是底面边长为1的正四棱柱，高．求：1111ABCD A B C D -12AA =⑴异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；BD 1AB ⑵四面体的体积．11AB D C 【答案】（1）（2）23【详解】解：⑴连，∵ ，1111,,,BD AB B D AD 1111//,BD B D AB AD =∴异面直线与所成角为，记，BD 1AB 11AB D ∠11AB D θ∠=2221111111cos 2AB B D AD AB B D θ+-==⨯∴ 异面直线与所成角为BD 1AB ⑵连，则所求四面体的体积11,,AC CB CD ．11111111242433ABCD A B C D C B C D V V V --=-⨯=-⨯=19．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，AB ＝AD ＝2，E 、F 分别是AB 、BC 的中点．(1)证明：A 1、C 1、F 、E 四点共面；(2)求直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）连接AC ，利用三角形中位线和直线平行传递性可证；（2）建立空间直角坐标系，由向量法直接计算可得．【详解】（1）连接AC ，∵E ，F 分别为AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，又∵AA 1∥CC 1，∴四边形ACC 1A 1为平行四边形，∴A 1C 1∥AC ，∴A 1C 1∥EF ，所以A 1，C 1，F 、E 四点共面；（2）如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A 1（2，0，1），E （2，1，0），F （1，2，0），C （0，2，0），D 1（0，0，1），则，()()()111,1,0,0,1,1,0,2,1EF A E CD =-=-=- 设平面A 1C 1FE 的法向量为，(),,n x y z = 故，取x ＝1，得，100n EF x y n A E y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ()1,1,1n = 记直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角为θ，则11sin n CD n CD θ⋅===⋅ 直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角为．20．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1，(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ；(2)求三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值；(3)若BC ，点E 在线段PB 上，求CE +OE 的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)13【分析】（1）由题意可证AC ⊥DO ，又PO ⊥AC ，即可证明AC ⊥平面PDO .（2）当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大且最大值为1，又AB ＝2，即可求△ABC 面积的最大值，又三棱锥P ﹣ABC 的高PO ＝1，即可求得三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值.（3）可求，即有PB ＝PC ＝BC ，由OP ＝OB ， ，可证E 为PBPB PC ===C P C B ''=中点，从而可求，从而得解.OC OE EC ='+'【详解】（1）在△AOC 中，因为OA ＝OC ，D 为AC 的中点，所以AC ⊥DO ，又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC ，因为DO ∩PO ＝O ，平面，所以AC ⊥平面PDO .,DO PO ⊂PDO （2）因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1，又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为，又因为三棱锥P ﹣ABC 的高PO ＝1，12112⨯⨯=故三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为：.111133⨯⨯=（3）在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以PB =同理PC PB ＝PC ＝BC ，在三棱锥P ﹣ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面，BC P '使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，共线时，CE +OE 取得最小值，C '又因为OP ＝OB ，，所以垂直平分PB ，即E 为PB 中点.C P C B ''=OC '从而＝OE +亦即CE +OE OC 'EC '21．如图在四面体ABCD 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，△DBC 为直角三角形，其中D 为直角顶点，．E 、F 、G 、H 分别是线段AB 、AC 、CD 、DB 上的动点，且四边形EFGH 60DCB ∠=︒为平行四边形．(1)求证：BC ∥平面EFGH(2)试探究当二面角从0°增加到90°的过程中，线段DA 在平面BCD 上的投影所扫过的A BC D --平面区域的面积；(3)设（），且△ACD 是以CD 为底的等腰三角形，当为何值时，多面体ADEFGHAEAB λ=()0,1λ∈λ的体积恰好为?14【答案】(1)证明见解析(3)12【分析】（1）利用线面平行的性质和判定定理可证明；（2）找到在平面BCD 上的投影轨迹，即A 可求出面积；（3），用分别表示四棱锥、四面体A EFGH ADEFGH V V -=多面体A DGH V -+λA EFGH -与四面体的体积比，求解可得结果.A DGH -A BCD -λ【详解】（1）证明:四边形EFGH 为平行四边形，.//EF GH ∴而面面BCD ，面BCD .GH Ì,BCD EF ⊂///EF ∴而面ABC ，面面，.EF ⊂ABC ⋂BCD BC =//EF BC ∴而面面EFGHEF ⊂,EFGH BC ⊂面EFGH .//BC ∴（2）,AB AC =在平面BCD 上的投影满足，即在平面BCD 上的投影在线段BC 的中垂线上.A ∴AB AC =A 如图所示，将补成边长为2的正三角形，Rt BCD BCM当二面角为角时，即点在平面BCD 上，此时为，A BC D --0︒A A M 当二面角为角时，此时为BC 中点，A BC D --90︒A N 故DA 在平面BCD 上的投影所扫过的平面区域为，DMN而14DMN MBC S S ==故线段DA 在平面BCD （3），且为等腰三角形，.2,1AC CD == ACD 2AD ∴=取BC 中点，由题意得:，O ,OA BC OA ⊥=12BC OD ==满足，根据勾股定理可知222OA OD AD +=OA OD⊥平面OA ∴⊥1111.3322A BCD BCD BCD V S OA CD BD OA -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯= 而多面体ADEFGH 的体积恰好为，即多面体ADEFGH 的体积恰为四面体ABCD 体积的一半.14连接AH 、AG ，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，F ABD F h C ABD C h A-EFH A-EFH 22A EFGH A BCD A BCD C ABDV V V V V V ----==12313F AEH ABD C h S h S ⨯⨯=⨯⨯⨯ 22=2(1)S AEH AF S ABD ACλλ⋅=-⋅ 22(1)A EFGH A BCD V V λλ--∴=-⋅⋅设点到平面的距离为，A BCD A h A DGHA BCD V V --1313A A DGH BCD h h S S ⋅=⋅⋅⋅ 2DGH DBC S S λ== .2A DGH A BCD V V λ--∴=⋅A EFGH ADEFGH V V -∴=多面体2(32)A DGH A BCDV V λλ--+=-⋅12A BCD V -=，整理得21(32)2λλ∴-=，()2122102λλλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭解得舍去).12λλ⎛== ⎝。
2019年上海市高二第二学期期中数学试卷含详细答案
2019上海市高二第二学期期中数学试题一、单选题1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.【考点】圆锥的性质与圆锥的体积公式2．“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】两直线没有公共点则平行或异面；根据异面直线定义可知异面直线无公共点，从而得到结果.【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面，充分条件不成立；若两条直线为异面直线，则两条直线不共面，则必然没有公共点，必要条件成立“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的必要非充分条件故选：B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到异面直线定义的应用，属于基础题. 3．集合{M =正四棱柱}，{P =直四棱柱}，{N =长方体}，{Q =正方体}，则这四个集合之间的关系是（ ） A.P n N n M n Q B.P n M n N n Q C.Q n M n N n P D.Q n N n M n P【答案】C【解析】根据直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的定义可得到结果. 【详解】直四棱柱是底面为四边形，侧棱和底面垂直的四棱柱； 长方体是底面为矩形的直四棱柱； 正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱； 正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱；∴Q n M n N n P故选：C 【点睛】本题考查空间几何体的结构特征，需熟练掌握直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的结构特征，属于基础题.4．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值（ ）正视图 侧视图 俯视图 A.15B.16C.12D.18【答案】A【解析】由三视图可确定截面为平面11AB D ，可知截掉部分为三棱锥111A AB D -，由三棱锥体积公式求得111A A B D V -，即为截去部分体积，从而得到剩余部分体积为3316a a -，作比得到结果. 【详解】由三视图可知，剩余部分为正方体1111ABCD A B C D -沿平面11AB D 截掉三棱锥111A AB D -后得到的图形设正方体棱长为a 11113ABCD A B C D V a -∴=，111111111311136A AB D A A B D A B D V V S AA a --∆==⋅=∴截去部分体积与剩余部分体积之比为：333111:665a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查正方体截面的问题，关键是能够通过三视图确定截面，从而得到确定截掉的部分的体积.5．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =L 是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r的不同值的个数为（ ）A.8B.4C.2D.1【答案】D【解析】根据平面向量运算法则可知2i i AB AP AB AB BP ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=u u u r u u u r，从而得到21i AB AP AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，进而得到结果. 【详解】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAB ⊥Q 平面286BP P P i AB BP ∴⊥u u u r u u u r 0i AB BP ∴⋅=u u u r u u u r21i AB AP AB ∴⋅==u u u r u u u r u u u r则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r 的不同值的个数为1个故选：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想.二、填空题6．空间不共面的四个点可以确定__________个平面. 【答案】4【解析】由三点确定一个平面可知共有4种情况，由此得到结果. 【详解】不共面的四个点中任意三个点可构成一个平面，则共可确定4个平面 故答案为：4 【点睛】本题考查空间中平面的确定，属于基础题.7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________. 【答案】a【解析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果. 【详解】1BB ⊥Q 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a = 故答案为：a 【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C AB D --的大小为__________. 【答案】4π 【解析】由线面垂直性质得1BC AB ⊥，又BC AB ⊥，可得二面角平面角为1C BC ∠，由14C BC π∠=得到结果.【详解】AB ⊥Q 平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B 1BC AB ∴⊥又BC AB ⊥，BC ⊂平面ABD 1C BC ∴∠即为二面角1C AB D --的平面角14C BC π∠=Q ∴二面角1C AB D --的大小为4π 故答案为：4π 【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义找到二面角的平面角.9．如图，在棱长为3cm 的正四面体A BCD -中，若以ABC ∆为视角正面，则其主视图的面积是__________2cm .【答案】36 2【解析】确定正视图为三角形，且底边长为底面三角形边长，高为四面体的高；求得正四面体的高后，即可求得结果.【详解】由题意可得，正视图是以底面三角形边长为底边长，正四面体A BCD-的高为高的三角形Q正四面体棱长为3∴933 942 -=∴正四面体的高22339632AO⎛⎫=-⨯=⎪⎪⎝⎭∴正视图的面积为：1363622⨯=36【点睛】本题考查几何体三视图的求解问题，关键是能够根据给定视角确定正视图的图形构成，属于基础题.10．若正六棱柱的所有棱长均为m，且其体积为123m=__________.【答案】2【解析】根据底面为边长为m的正六边形可求得底面面积，进而利用棱柱体积公式构造方程求得结果.【详解】Q正六棱柱底面为边长为m的正六边形∴底面面积为：()2222m m +⨯=∴正六棱柱体积2V m =⋅=2m =故答案为：2 【点睛】本题考查棱柱体积的相关计算，关键是能够熟悉正棱柱的定义，并准确求解出底面面积. 11．给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；③空间向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④【解析】根据起点和终点3点共面，可知①正确；由相等向量定义可知②错误；根据向量加法运算律和线性运算法则可知③④正确. 【详解】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点，则3点共面，可知两向量共面，①正确；②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查向量部分相关命题的判定，涉及到相等向量的概念、向量加法的运算律和三角形法则的运用等知识，属于基础题.12．已知球的半径为5cm ，有两个平行平面截球所的截面面积分别等于29cm π与216cm π，则这两个平行平面的距离为__________cm .【答案】1或7【解析】利用截面面积求得截面圆半径，利用勾股定理可求得球心到两截面的距离；由两截面与球心的相对位置可确定两平行平面间距离.【详解】由截面面积可知截面圆半径分别为：3cm 和4cm∴球心到两截面的距离分别为：12594d =-=，225163d =-=∴当两截面在球心同侧时，两平行平面间距离为：431-=当两截面在球心两侧时，两平行平面间距离为：437+= 故答案为：1或7 【点睛】本题考查球的平行截面间距离的问题，易错点是忽略两平行平面可位于球心的同侧或两侧，求解时丢失其中一种情况.13．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，四面体C OAB -的主视图AOC 是面积为43的直角三角形，且23CO =，OAB ∆是正三角形，且点B 在平面xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于__________.【答案】6【解析】作//BD AO ，根据AO ⊥平面yOz 可知BD ⊥平面yOz ，得到左视图为COD ∆；根据AOC S ∆可求得底面正三角形边长，进而求得OD ，从而得到左视图面积.【详解】作//BD AO ，交y 轴于D ，连接CDAO ⊥Q 平面yOz ，//BD AO BD ∴⊥平面yOz∴此四面体的左视图为COD ∆12AOC S AO CO ∆=⋅==Q 4AO ∴= 122BD AO ∴==OD ∴=== 11622COD S CO OD ∆∴=⋅=⨯=故答案为：6 【点睛】本题考查空间几何体的三视图问题的求解，关键是能够根据垂直关系确定左视图的图形，从而利用长度关系来进行求解.14．已知()cos ,1,sin a θθ=r ，()sin ,1,cos b θθ=r ，则向量a b +rr 与a b -r r 的夹角是__________. 【答案】2π 【解析】利用向量坐标运算表示出a b +rr 与a b -r r ，根据数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=r rr r ，即两向量垂直，得到夹角.【详解】()sin cos ,2,sin cos a b θθθθ+=++r r ，()cos sin ,0,sin cos a b θθθθ-=--rr()()2222cos sin sin cos 0a b a b θθθθ∴+⋅-=-+-=r rr r()()a b a b ∴+⊥-r r r r ，即a b +r r 与a b -r r 的夹角为2π故答案为：2π 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过向量的坐标运算求得两向量的数量积，属于基础题.15．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.16．已知函数22,01(){23,13x x f x x x x ≤≤=-++<≤，将f （x ）的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________． 【答案】203π【解析】试题分析：将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为23114202123233πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 【考点】旋转体体积17．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒榫卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）【答案】30π【解析】由榫卯结构可确定球形容器半径的最小值，进而利用球的表面积公式求得结果. 【详解】22213052122++=∴该球形容器表面积的最小值为：230430ππ⨯=⎝⎭故答案为：30π本题考查球的表面积的求解问题，关键是能够根据位置关系确定球的半径的最小值，进而应用球的表面积公式求得结果.三、解答题18．已知向量b r 与向量()2,1,2a =-r 共线，且18a b ⋅=r r ，()()ka b ka b +⊥-r r r r ，求实数k 的值.【答案】2k =±【解析】根据向量共线可设b a λ=r r ，由18a b ⋅=r r 可构造方程求得λ，得到b r；由向量垂直可得()()0ka b ka b +⋅-=r r r r ，由数量积运算律可构造方程求得k . 【详解】,a b r r Q 共线 ∴可设()2,,2b a λλλλ==-r r44918a b λλλλ∴⋅=++==r r ，解得：2λ= ()4,2,4b ∴=-r()()ka b ka b +⊥-r r r r Q ()()2220ka b ka b k a b ∴+⋅-=-=r r r r r r 即()()2414164160k ++-++=，解得：2k =± 【点睛】本题考查根据向量的平行、垂直关系求解参数值的问题，关键是能够明确向量共线的条件、向量垂直的坐标表示，属于基础题.19．已知地球的半径为R ，在北纬30°圈上有A 、B 两点.若点A 的经度为东经65︒，点B 的经度为西经25︒，求A 、B 两点的球面距离.【答案】1arccos 4R ⋅ 【解析】根据纬度的定义可知30OBO '∠=o ，从而得到纬线圈所在圆的半径，根据经度差可知90AO B '∠=o ，由勾股定理求得AB ；在AOB ∆中，由余弦定理求得cos AOB ∠，从而得到AOB ∠，由扇形弧长公式可求得球面距离.设北纬30o 的纬线圈的圆心为O '由题意可知：90AO B '∠=o ，30OBO '∠=o 122R OO OB '∴==，33O B OB R '== 3O A O B R ''∴== 226AB O A O B R ''∴=+= 在AOB ∆中，由余弦定理得：2222312cos 24R R R AOB R +-∠== 1arccos 4AOB ∴∠= ,A B ∴两点的球面距离为：1arccos 4R ⋅ 【点睛】本题考查球面距离的求解问题，关键是能够熟练掌握经度和纬度的定义，从而得到图形中的角度关系.20．底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是正三角形123PP P ，如图所示.求：（1）123PP P ∆的各边长；（2）三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）各边均为4；（2）23【解析】（1）由123PP P ∆为正三角形，可知三边长均为2AB ，根据2AB =可得结果； （2）根据正三棱锥的特点可求得三棱锥的高，求得底面面积后，根据三棱锥体积公式可求得结果.（1）123PP P ∆Q 为正三角形12231324PP P P PP AB ∴====（2）23234ABC S ∆=⨯=立体图形中求三棱锥的高：()22323633h ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 11222363333P ABC ABC V S h -∆∴=⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】本题考查正三棱锥的结构特征、三棱锥体积的求解问题，属于基础题.21．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求直线1A B 与平面1ADD 所成的角的大小；（2）求点1D 到平面11A BC 的距离.【答案】（1）2arctan 3；（2）32211【解析】设长方体高为h ，由长方体体积减去截掉的三棱锥体积可得几何体111ABCD AC D -体积，由此建立方程求得3h =；（1）根据直线与平面所成角定义可知1BA A ∠即为所求角，由112tan 3AB BA A AA ∠==可（2）设所求距离为d ，由等体积法可知111111D A BC B A D C V V --=，由此构造关于d 的方程，解方程求得结果.【详解】设长方体的高1AA h =则几何体111ABCD AC D -体积：142103V h h =-⨯⨯=，解得：3h =（1）AB ⊥Q 平面11ADD A ∴直线1A B 与平面1ADD 所成角即为1BA A ∠ 112tan 3AB BA A AA ∠==Q ∴所求线面夹角为：2arctan 3（2）设点1D 到平面11A BC 的距离为d则由111111D A BC B A D C V V --=得：1111111133A BC A D C S d S BB ∆∆⋅⋅=⋅⋅ 11A BC ∆Q 为等腰三角形，114913A B BC ==+=，114422AC =+=∴13211-= 1112211222A BC S ∆∴=⨯=又11112222A D C S ∆=⨯⨯= 11222333d ∴=⨯⨯，解得：322d =即点1D 到面11A BC 的距离为32211 【点睛】本题考查立体几何中直线与平面所成角、点到面的距离的求解问题；立体几何中求解点到面的距离常采用等体积法，将问题转化为三棱锥高的求解，从而利用等体积转化构造方程求得结果，属于常考题型.22．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，23PO =OA 、OB 是底面半径，且：0OA OB ⋅=u u u r u u u r，M 为线段AB 的中点，N 为线段PB 的中点，如图所示：（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 和OB 所成的角的大小，并求A 、N 两点在圆锥侧面上的最短距离.【答案】（1）12π；（2）PM 、OB 夹角为arctan 13，最短距离为2522-【解析】（1）由22r l PO =-求得底面圆半径，根据圆锥表面积公式可求得结果； （2）作//MH BO ，根据异面直线所成角定义可知所成角为PMH ∠；根据向量数量积为零可知OA OB ⊥，进而得到MH AO ⊥，根据线面垂直性质知MH PO ⊥，得到线面垂直关系MH ⊥平面AOP ，由线面垂直性质得MH PH ⊥，根据长度关系可求得tan PMH ∠，进而求得异面直线所成角；求得圆锥侧面展开图圆心角后，根据弧长关系可求得APB ∠，由余弦定理可求得结果.【详解】（1）由题意得：底面圆半径()22224232r l PO =-=-=∴圆锥表面积28412S rl r πππππ=+=+=（2）作//MH BO ，交OA 于H ，连接PH∴异面直线PM 与OB 所成角即为PM 与MH 所成角，即PMH ∠0OA OB ⋅=u u u r u u u r Q OA OB ∴⊥，又//MH BO MH AO ∴⊥PO ⊥Q 平面OAB ，MH ⊂平面OAB MH PO ∴⊥,AO PO ⊂Q 平面AOP ，AO PO O ⊥= MH ∴⊥平面AOP又PH ⊂平面AOP MH PH ∴⊥M Q 为AB 中点，//MH BO H ∴为AO 中点 112MH OB ∴==，221121132PH PO OA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭tan 13PH PMH MH∴∠== arctan 13PMH ∴∠= 即异面直线PM 与OB 所成角大小为arctan 13由44πα=得：απ=，即圆锥侧面展开图扇形圆心角为π圆锥侧面展开图如下图所示：124AB r ππ=⋅=Q 4APB BP ππ∴∠== N Q 为BP 中点 2PN ∴=在APN ∆中，由余弦定理可得：2222cos 2082AN AP PN AP PN APN =+-⋅∠=-2522AN ∴=-,A N 两点在圆锥侧面上的最短距离为2522-【点睛】本题考查圆锥表面积的求解、异面直线所成角的求解、利用侧面展开图求解两点间的最短距离问题；求解最短距离的方法为利用侧面展开图，通过两点之间线段最短，从而确定所求的线段，利用余弦定理求得结果.。
2019学年上海市高二上学期期中数学试卷【含答案及解析】
第 13 题【答案】 第 14 题【答案】
第 15 题【答案】 第 16 题【答案】 第 17 题【答案】
第 18 题【答案】 第 19 题【答案】
第 20 题【答案】 第 21 题【答案】
C ． 充要条件
D ． 既不充分也不必要
与直线
平行 ” 的 （ ）
14. 如果命题“坐标满足方程
的点都在曲线
上”是不正确的，那么下
列命题正确的是 （ ）
A ． 坐标满足方程
的点都不在曲线
上；
B ． 曲线
上的点的坐标不都满足方程
=0 ；
C ． 坐标满足方程
的点，有些在曲线
上，有些不在曲线
上；
D ． 至少有一个不在曲线
2019 学年上海市高二上学期期中数学试卷【含答案及
解析】
姓名 ___________ 班级 ____________ 分数 __________
题号
一
二
三
总分
得分
一、填空题
1. 已知向量
若
， 则实数
________ ．
2. 行列式
中， 6 的代数余子式的值是 _______ ．
3.
若向量
且
4. 直线 经过点
三、解答题
17. 已知
，向量
（1）向量 在向量 上的投影；
（ 2 ） 向量 的坐标 ．
满足：
，求：
18. 已知圆
在 轴上的截距为
和 ，在
轴上的一个截距为
．
（1）求圆
的标准方程；
（ 2 ） 求过原点且被圆
截得的弦长最短时的直线
的方程 ．
19. 设 阶方矩阵
，则矩阵
上海控江初级中学数学高二下期中测试卷(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13602]在ABC ∆中，若()()sin 12cos sin()A B B C A C -=+++，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形2．(0分)[ID ：13558]已知tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin2cos απα+-的值为( )A ．61010- B ．61010+ C ．51010- D ．51010+ 3．(0分)[ID ：13557]已知向量()1,2a =，()//a b b +，则b 可以为（ ） A ．1,2B ．()1,2-C ．()2,1D ．()2,1-4．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34πα+=，则sin 2α=（ ）A ．12B ．32C ．12-D ．32-5．(0分)[ID ：13626]如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A ．3B 3C 3D 36．(0分)[ID ：13620]已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A ．322B 315C ．322-D ．3157．(0分)[ID ：13619]在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a bcosC <，则ABC 为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形8．(0分)[ID ：13614]已知函数()()2cos 23042x f x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ）. A ．1B ．65C ．43D ．329．(0分)[ID ：13613]已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ）A ．14-B ．14C ．23-D ．2310．(0分)[ID ：13593]O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心11．(0分)[ID ：13587]角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=35，则θtan = A ．43-B ．43C ．34-D ．3412．(0分)[ID ：13547]若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，则,ωϕ的值（ ）A ．2,3πωϕ==B ．22,3πωϕ== C ．1,23πωϕ== D ．12,23πωϕ==- 13．(0分)[ID ：13542]以下命题①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底； ③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅． 其中正确的命题有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个14．(0分)[ID ：13534]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =，则向量EM =（）A ．1123AC AB + B ．1162AC AB + C ．1126AC AB + D ．1263AC AB + 15．(0分)[ID ：13533]下列命题中，真命题是（ ） A ．若a 与b 互为相反向量，则0a b += B ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = C ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ⋅=D ．若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =二、填空题16．(0分)[ID ：13725]如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．17．(0分)[ID ：13707]已知P 是ABC ∆内任一点，且满足AP x AB y AC =+，x 、y ∈R ，则2y x +的取值范围是______.18．(0分)[ID ：13696]已知点12(1,1),(7,4)P P ，点P 分向量12PP 的比是12，则向量1PP 在向量(1,1)a =-方向上的投影是______________19．(0分)[ID ：13695]在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足2PA PB PC AB ++=，则APC ∆与ABC ∆的面积比为___________20．(0分)[ID ：13690]已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若实数220x OA xOB OC -+=，则x =_____.21．(0分)[ID ：13688]若(2,2)A -，(cos ,sin )()B R θθθ∈，则AB 的最大值是________.22．(0分)[ID ：13684]设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数都有()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组的组数为 .23．(0分)[ID ：13664]已知向量a 、b ，满足1a =，()(2)0a b a b +⋅-=，则b 的最小值为_________．24．(0分)[ID ：13649]已知(1,2)a =，(8,6)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为________25．(0分)[ID ：13637]已知(,)2πθπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4πθ+=_________________.三、解答题26．(0分)[ID ：13813]某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+π2π3π22π xπ35π6sin()A x ωϕ+0 55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 27．(0分)[ID ：13767]已知O 为坐标原点，()()()34,63,5,3OA OB OC m m =-=-=---，，（1）若ABC ∠为锐角，求实数m 的取值范围；（2）若ABC ∆是以B 为直角的直角三角形，求实数m 的值并求ABC ∆的面积. 28．(0分)[ID ：13757]设()2cos 22cos 16f x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调增区间；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值．29．(0分)[ID ：13809]已知函数()Asin()f x x ωϕ=+（A ＞0，ω＞0，ϕ＜π）的一段图象如图所示．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若3[8x π∈-，]4π，求函数()f x 的值域． 30．(0分)[ID ：13808]已知向量(,)u x y =与向量(,)v x y x y =-+的对应关系用()v f u =表示.(1) 证明：对于任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+； (2) 证明：对于任意向量a ，()2f a a =；(3) 证明：对于任意向量a 、b ，若a b ⊥，则()()f a f b ⊥.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．A 3．A4．A5．D6．A7．A8．C9．A10．A11．C12．A13．B14．B15．D二、填空题16．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际17．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别18．【解析】【分析】根据定比分点公式求出点的坐标利用投影公式求出投影即可【详解】由题：点分向量的比是即设即即解得：所以向量在向量方向上的投影是故答案为：【点睛】此题考查求定比分点坐标求向量投影熟练掌握公19．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP和AC夹角为θ那么BC和AC的夹角也是θ所以20．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力21．【解析】【分析】计算得到答案【详解】当时等号成立即故答案为：【点睛】本题考查了两点间距离公式三角恒等变换意在考查学生的综合应用能力22．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确23．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义24．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况25．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】C ，进而求出角C是直角，即结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到sin1可选出答案．【详解】由题意知，()sin sin cos sin cos A B A B B A -=-，()()cos sin cos sin B C A C A B ++=-， 所以题中等式可转化为：sin cos sin cos 12cos sin A B B A A B -=-， 即sin cos sin cos 1A B B A +=， 则()sin 1A B +=， 故sin 1C =， 所以角C 为直角，即ABC ∆的形状一定是直角三角形． 故答案为C. 【点睛】本题考查了三角形的性质，及三角恒等变换，属于基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得10310cos ,sin 1010αα==， 而()3101010610sin2cos 2sin cos cos 210101010απαααα-+-=-=⨯⨯-=. 故选A. 【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.3．A解析：A 【解析】 试题分析：设，则，因()//a b b +，所以，，只有A 满足考点：向量共线的条件4．A解析：A 【解析】 【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.5．D解析：D 【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅， 又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．6．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CD CD⋅==，故选A ． 7．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理，将a bcosC <，转化为sin sin A BcosC <，再利用两角和与差的三角函数得到cos sin 0B C <判断. 【详解】 因为a bcosC <， 所以sin sin A BcosC <， 所以()sin sin B C BcosC +<，所以sin cos cos sin sin B C B C BcosC +<， 所以cos sin 0B C <， 所以,2B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以ABC 为钝角三角形. 故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以求3x πω+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.【详解】()cos 1cos 2f x x x πωω⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭cos x x ωω=2cos 3x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，22T π∴≥ ,即2ππω≥ 02ω∴<≤ ，当[0,]2x π∈时，[,]3323x ππωπωπ+∈+，∴ [,][0,]323πωπππ+⊆∴ 23ωπππ+≤， 403ω∴<≤， 综上可知403ω<≤. 故选C 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.9．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A.10．A解析：A 【解析】 【分析】 先根据||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，确定||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+，可得答案． 【详解】||AB AB 、||ACAC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致 又()||||AB ACOP OA AB AC λ=++， ∴()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致 ∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．11．C解析：C 【解析】 【分析】由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得3y =-，再根据正切函数的定义即可求得结果． 【详解】∵角θ的终边经过点()4,P y ，且35sin θ=-=， ∴3y =-，则3tan 44y θ==-，故选C ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角α的终边经过点(),x y （异与原点），则sin α=cos α=，()tan 0yx xα=≠. 12．A解析：A 【解析】 【分析】根据周期求ω，根据最值点坐标求ϕ因为2=(),2263T T Tππππω--∴===, 因为63212x πππ-==-时1y =-，所以22()2()1223k k Z k k Z πππϕπϕπ-⨯-=-+∈∴=-∈因为||ϕπ<，所以3πϕ=，选A.【点睛】本题考查由图像求三角函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．B解析：B 【解析】 【分析】①||||||a b a b -=+共线，反之不成立，即可判断出结论； ②利用基底的定义即可判断出真假；③|()||||||||cos ,|a b c a b c a b =<>，即可判断出真假． 【详解】①||||||a b a b a -=+⇒，b 共线，反之不成立，||||||a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a ，b ，}c 是空间的一组基底，假设,,a b b c c a +++共面， 则存在唯一一组实数,x y ，使=()()a b x b c y c a ++++成立， 即()a b xb x y c ya +=+++， 所以1,1,0x y x y ==+=，显然无解， 假设不成立，即,,a b b c c a +++不共面，则{a b +，b c +，}c a +是空间的另一组基底，正确； ③|()|||||||cos ,a b c a b c a b =<>，而cos ,a b <>不一定等于1， 因此不正确．其中正确的命题有一个． 故选：B ． 【点睛】本题考查了向量共线、共面定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．B解析：B由题意结合向量的加法法则可得：213221()3221132211.62EM EC CM AC CB AC CA AB AC AC AB AC AB =+=+=++=-+=+ 本题选择B 选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15． D解析：D 【解析】 【分析】根据两个向量和仍然是一个向量，可以判断A 的真假；根据向量数量积为0，两个向量可能垂直，可以判断B 的真假；根据向量数量积公式，我们可以判断C 的真假；根据数乘向量及其几何意义，可以判断D 的真假；进而得到答案． 【详解】对A ，若a 与b 互为相反向量，则0a b +=，故A 为假命题； 对B ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故B 为假命题； 对C ，若a ，b 都是单位向量，则11a b -⋅，故C 为假命题； 对D ，若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =，故D 为真命题； 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的加法及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义、面向量的数量积的运算，其中熟练掌握平面向量的基本定义，基本概念，是解答本题的关键．二、填空题16．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际解析：14【解析】 【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值． 【详解】在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=， 由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=，所以BC =,由正弦定理可得sin sin 7AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=，因为120BAC ∠=，可知ACB ∠为锐角，所以cos ACB ∠=所以21cos cos(30)cos cos30sin sin 3014ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=． 【点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．17．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别 解析：()0,2【解析】 【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案，可讨论当P 点在BC 上时，1x y +=，特别地，当点P 与点B 重合时有1x =，0y =；当点P 与点C 重合时有0x =，1y =；又利用点P 在三角形内部可得答案．【详解】三角形ABC 内一点，且向量AP xAB y AC =+， 当P 点在BC 上时，1x y +=，特别地，当点P 与点B 重合时有1x =，0y =； 当点P 与点C 重合时有0x =，1y =．但是因为P 在三角形ABC 内，01x y ∴<+<，01x <<，01y <<, 02x x y ∴<++<,即2y x +的取值范围是(0,2). 故答案为：(0,2)【点睛】本题考查向量的加法运算以及三角形法则，平面向量基本定理的应用，有限与无限的数学思想，考查向量与不等式等知识的综合处理能力．18．【解析】【分析】根据定比分点公式求出点的坐标利用投影公式求出投影即可【详解】由题：点分向量的比是即设即即解得：所以向量在向量方向上的投影是故答案为：【点睛】此题考查求定比分点坐标求向量投影熟练掌握公 解析：22-【解析】 【分析】根据定比分点公式求出点P 的坐标，利用投影公式求出投影即可. 【详解】由题：点P 分向量12PP 的比是12，即1212PP PP =， 设()1212,,PP P y P P x =，即()()11,17,42x y x y --=--， 即7122122x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：32x y ==⎧⎨⎩，所以()()13,2,2,1P P P =， 向量1PP 在向量(1,1)a =-方向上的投影是1122PP a a⋅-==.故答案为：22- 【点睛】此题考查求定比分点坐标，求向量投影，熟练掌握公式对解题有事半功倍的作用.19．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP 和AC 夹角为θ那么BC 和AC 的夹角也是θ所以解析：13【解析】∴2PA PB PC AB ++=即()()0PA AB PB AB PC -+-+=2()PA PB PC PB PA ++=-，即30PA BC +=， 即3PA CB =，∴//PA CB 并且方向一样，|BC |=3|AP |，如果AP 和AC 夹角为θ，那么BC 和AC 的夹角也是θ，12APCS AP AC sin θ=⋅， 12ABCSBC AC sin θ=⋅， 所以1.3APCABCSS =20．【解析】【分析】变换得到根据三点共线得到计算得到答案【详解】为直线上不同的三点则故答案为：【点睛】本题考查了向量三点共线问题意在考查学生的计算能力 解析：1【解析】 【分析】变换得到22OC xOB x OA =-，根据三点共线得到221x x -=，计算得到答案. 【详解】22202x xOB OC OC xOB OA OA x -+=∴=-，A 、B 、C 为直线l 上不同的三点则2211x x x -=∴= 故答案为：1 【点睛】本题考查了向量三点共线问题，意在考查学生的计算能力.21．【解析】【分析】计算得到答案【详解】当时等号成立即故答案为：【点睛】本题考查了两点间距离公式三角恒等变换意在考查学生的综合应用能力 解析：3【解析】 【分析】计算24sin 594AB πθ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭，得到答案.【详解】(2,2)A -，(cos ,sin )()B R θθθ∈()()2222cos 2sin 522sin 22cos 4sin 594AB πθθθθθ⎛⎫=-++=+-=-+≤ ⎪⎝⎭当()324k k Z θππ=+∈时等号成立，即3AB ≤ 故答案为：3 【点睛】本题考查了两点间距离公式，三角恒等变换，意在考查学生的综合应用能力.22．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确解析：4 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析： 当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，5(,)(3,)3b c π=，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3b c π=-，注意到[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,)3π，,4(23,)3π-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的也有2组：(23,)3π--，,2(23,)3π-，，故共有4组. 【考点】 三角函数 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到a 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,b c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.23．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义 解析：【解析】试题分析：由()(2)0a b a b +⋅-=得，2222()(2)2cos ,2a b a b a a b b a a b a b b +⋅-=-⋅-=-⋅〈〉-21cos ,20b a b b =-〈〉-=，所以212cos ,b a b b-〈〉=，0,180a b ≤〈〉≤，21211b b-∴-≤≤，解得112b ≤≤，所以b 的最小值为． 考点：向量的数量积运算及其性质．【方法点晴】要求b 的最小值，可以考虑建立关于b 的不等式或不等式组．已知1a =，由()(2)0a b a b +⋅-=结合向量数量积的运算律可得关于b 及a b ⋅的关系式, 根据向量数量积的定义，把向量a b ，的夹角转化为关于b 的表达式,再由向量夹角的有界性最终得到关于b 的不等式，解不等式即得b 的最小值．24．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况解析：25-【解析】 【分析】直接利用投影公式得到答案. 【详解】(1,2)a =，(8,6)b =-，a 在b 方向上的投影为：8122105a b b⋅-==- 故答案为：25- 【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影概念的理解情况.25．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件解析：34-【解析】试题分析：因为(,)2πθπ∈，所以3(,)424πππθ-∈，所以4sin()45πθ-=，所以4tan()43πθ-=，即tan tan4431tan tan 4πθπθ-=+，解得tan 7θ=-，所以tan()4πθ+＝tan tan71341741tan tan 4πθπθ+-+==-+-． 考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和与差的正切公式．【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解．三、解答题 26．（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6． 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈． 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．27．（1）34m >-且12m ≠（2）34m =-，ABC ∆的面积为54．【解析】 【分析】（1）求出向量,BA BC ，根据ABC ∠为锐角，可知0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即可解出；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，解出实数m 的值并可以得到直角边,BA BC 的长，即可求出ABC ∆的面积． 【详解】（1）()()()3,46,33,1BA OA OB =-=---=--，()()()5,36,31,BC OC OB m m m m =-=-----=---，由ABC ∠为锐角可得，0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即()()310310m m m m ⎧++>⎪⎨-+≠⎪⎩ ⇒ 3412m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩即34m >-且12m ≠；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，即()310m m ++=， 解得34m =-．所以(BA =-=13,44BC ⎛⎫=-⎪⎝⎭，104BC =， 故ABC ∆的面积为15244=． 【点睛】本题主要考查向量的运算和向量数量积的运用，易错点是向量夹角大小与数量积之间的等价关系．28．（1）()f x 的单调递增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）4【解析】 【分析】利用二倍角公式、两角和差余弦公式和辅助角公式可化简函数为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；（1）令()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解出x 的范围即为所求的单调递增区间；（2）利用A 为锐角和12A f ⎛⎫=⎪⎝⎭可求得A ；利用余弦定理和基本不等式可求得1bc ≤，代入三角形面积公式即可求得面积的最大值. 【详解】()1cos 2cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2233322f x x x x x x x xπππ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）令()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得：()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x ∴的单调递增区间为：(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）sin 126A f A π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2,663A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭62A ππ∴+=，即3A π= 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2212b c bc bc bc bc +-=≥-=（当且仅当b c=时取等号）1sin 244ABC S bc A bc ∆∴==≤（当且仅当b c =时取等号）即ABC ∆【点睛】本题考查三角函数与解三角形知识的综合应用，涉及到利用三角恒等变换公式对三角函数进行化简、正弦型函数单调区间的求解、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求解三角形面积的最值等知识，属于常考题型.29．（1）函数()f x 的单调增区间为5[8k ππ-+，]8k ππ-+，k Z ∈；（2）函数()f x 的值域为[2]. 【解析】 【分析】（1）由函数的图象，可求得函数的解析式为3()2sin(2)4f x x π=+，进而利用三角函数的图象与性质，即可求解函数的单调递增区间；（2）由3[8x π∈-，]4π，则32[04x π+∈，5]4π，利用三角函数的性质，即可求解函数的最大值与最小值，得到函数的值域. 【详解】（1）求得()32sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭3222242k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈ 588k x k ππππ-+≤≤-+，k Z ∈ ∴函数()f x 的单调增区间为5[8k ππ-+，]8k ππ-+，k Z ∈ （2）∵3[8x π∈-，]4π∴32[04x π+∈，5]4π∴当4x π=时，()min f x =8x π=-时，()max 2f x =∴函数()f x 的值域为[2] 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用问题，其中解答中根据函数的图象得出函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重靠考查了推理与运算能力，属于基础题.30．(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析 【解析】 【分析】 (1)设向量11(,)a x y ，22(,)b x y ，然后利用题中关系式即可推导出所证恒等式；(2)设向量11(,)a x y ，则利用题中关系以及向量模的求解即可证明等式；(3)设向量11(,)ax y ，22(,)b x y ，由a b ⊥可得出12120x x y y +=,然后利用题中关系式可推导出()()0f a f b ⋅=，即可证明()()f a f b ⊥成立. 【详解】 证：(1)设向量11(,)ax y ，22(,)b x y ，则11221212(,)(,)(,)ma nb m x y n x y mx nx my ny +=+=++由题中关系式可得：12121212()(,)f ma nb mx nx my ny mx nx my ny +=+--+++，11112222()()(,)(,)mf a nf b m x y x y n x y x y +=-++-+1122112212121212(,)(,)mx my nx ny mx my nx ny mx nx my ny mx nx my ny =-+-+++=+--+++∴()()()f ma nb mf a nf b +=+，对于任意向量a 、b 及常数,m n 恒成立；(2)设向量11(,)ax y ，则由题中关系可得1111()(,)f a x y x y =-+，则2222221111111111()|(,)|()()2()f a x y x y x y x y x y =-+=-++=+， 即得()2f a x =，因为21a x y =+∴()2f a a =成立，命题得证；(3)设向量11(,)ax y ，22(,)b x y ， 由a b ⊥，可得0a b ⋅=，即得12120x x y y +=由题中关系式可得：1111()(,)f a x y x y =-+，2222()(,)f b x y x y =-+ 则由()()()()1111111222222212()()(,)(,)f a f b x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=-+⋅-+=--+++()121220x x y y =+=，即()()0f a f b ⋅=，所以()()f a f b ⊥成立.【点睛】本题着重考查了对题意的理解，利用题中关系式结合向量的坐标运算、向量模的表达式以及向量垂直的性质来推导所证命题结果，属于一般难度的题.。
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控江中学高二期中数学试卷
2019.04
一. 填空题
1. 复数1i -的虚部是
2. 两条异面直线所成角的取值范围是
3. 若直线a 、b 与平面α所成的角相等，则直线a 、b 的位置关系是 （填“平行、相交、异面”中的一个或几个）
4.
计算：2021
=
5. 已知复数134i z =+，2i z t =+，且12z z ⋅是实数，则实数t =
6. 如果实数x 、y 满足102010x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪+≥⎩
，则目标函数4z x y =+的最大值为
7. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，则点1A 到平面
ADE 的距离为
8. 正方形ABCD 在平面M 的同一侧，若A 、B 、C 三点到平面M 的距离分别是2、3、4，则直线BD 与平面M 的位置关系是
9. 如图，Rt △ABC 的直角顶点A 在平面α内，BC ∥α
，BC =，AB 、AC 与α分别成30°、45°角，则BC 与平面α的距离是 10. 已知12,z z C ∈，下列命题：
（1）若22
12
0z z +=，则120z z ==；（2）若||1z <，则11z -<<； （3）若12z z >，则120z z ->；（4）若0z z +=，则z 是纯虚数； 其中真命题的序号是
11. 下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）
12. 已知复数1z 、2z 满足1||1z ≤，21Re 1z -≤≤，1Im 1-≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积是
二. 选择题
13. 已知空间三条直线l 、m 、n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（ ） A. m 与n 异面 B. m 与n 相交
C. m 与n 平行
D. m 与n 异面、相交、平行均有可能
14. 若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ） A. 若m ∥α，n α⊄，则m ∥n B. 若m ∥n ，m α⊥，则n α⊥ C. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n D. 若m α
β=，m n ⊥，则n α⊥
15. 已知集合{||5i ||5i |8,}A z z z z C =+--=∈与{|||4,}B z z z C ==∈，则集合A B 中
的元素个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
16. 四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边 三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方 形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方 形ABCD 内的轨迹是（ ）
A. B. C. D.
三. 解答题
17. 已知关于x 的一元二次方程220x x m -+=. （1）若2m =，求此方程的解；
（2）若方程的一个根α满足||2α=，求实数m 的值.
18. 已知三种食品P 、Q 、R 的维生素含量与成本如下表所示，现将x 公斤的食品P 、y 公斤的食品Q 、z 公斤的食品R 混合，制成10公斤的混合物，如果这10公斤的混合物中至少含320单位的维生素A 与640单位的维生素B .
（1）当1x =，2y =时，求10公斤混合物中维生素A 的总含量； （2）当x 、y 、z 为何值时，混合物的成本最小？
19. 如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，2PA AB ==，2AD AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是BC 、PC 的中点.
（1）求直线FB 与平面ABCD 所成的角的余弦值； （2）求二面角F AE D --的大小（用反三角函数表示）.
20. 已知虚数z 使得4
m z z
=+是实数. （1）求||z 的值； （2）求m 的取值范围；
（3）若(2)(1i)z ++是纯虚数，求z 的值.
21. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱AB 、AD 的中点. （1）求异面直线1BC 与EF 所成角的大小；
（2）连接AC ，与EF 交于点M ，点N 在线段1A C 上移动，求证：MN 与EF 保持垂直； （3）已知点G 是直线1A E 上一点，过直线11B D 和点G 的平面交平面1A EF 于直线GH ，试根据点G 的不同位置，判断直线11B D 与直线DH 的位置关系，并证明你的结论.
参考答案
一. 填空题
1. 1-
2. (0,]2
π
3. 平行、相交、异面
4.
1i 2
5.
34 6. 7
2
7. 8. 平行
9. 2 10. （3） 11. ①④⑤ 12. 12π+
二. 选择题
13. D 14. B 15. A 16. B
三. 解答题
17.（1）1i x =±；（2）{0,8,4}m =-. 18.（1）310；（2）2x =，5y =，3z =.
19.（1（2）20.（1）||2z =；（2）(4,4)-；（3）2i z =. 21.（1）
3
π
；（2）证明略；（3）异面、相交.。