上海市控江中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题(1)
高二上学期期中考试数学试卷含答案
高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。
2020~2021学年度第一学期高二期中测试数学试题
2020~2021学年度第一学期高二级期中测试数学试题注意事项：1.本试题共4页，四大题，22小题，满分120分，考试时间120分钟，答案必须填写在答题卡上，在试题上作答无效，考试结束后，只交答题卡。
2.作答前，认真浏览试卷，请务必规范、完整填写答题卡的卷头。
3.考生作答时，请使用0.5mm黑色签字笔在答题卡对应题号的答题区域内作答。
第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=4，则此三角形的最大边长为()A. 5√2B. 5√3C. 4√2D. 4√32.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−b2−c2=−√2bc，则角A的数为()A. 30°B. 45°C. 120°D. 135°3.在△ABC中，c=√3，b=1，B=30∘，则△ABC的面积为()A. √32或√3 B. √34或√32C. √34或√3 D. √34.已知正数组成的等比数列{a n}，若a3⋅a18=100，那么a7+a14的最小值为()A. 20B. 25C. 50D. 不存在5.已知1、a1、a2、3成等差数列，1、b、4成等比数列，则a1+a2b=()A. 54B. −2C. 2D. ±26.在递增的等比数列{a n}中，a4，a6是方程x2−10x+16=0的两个根，则数列{a n}的公比q=()A. 2B. ±2C. 12D. 12或27.已知a>0，那么a−2+4a的最小值是()A. 1B. 2C. 4D. 58.设a>b，c>d则下列不等式中一定成立的是()A. a+c>b+dB. ac>bdC. a−c>b−dD. a+d>b+c9. 设p ：2x 2−3x +1≤0，q ：x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. [0,12]B. (0,12)C. (−∞,0]∪[12,+∞)D. (−∞,0)∪(12,+∞)10. 命题“∃x 0>0，x 02−4x 0+3<0”的否定是( )A. ∀x ≤0，x 2−4x +3<0B. ∃x 0≤0，x 02−4x 0+3<0 C. ∀x >0，x 2−4x +3≥0D. ∃x 0>0，x 02−4x 0+3≥011. 若平面α的一个法向量为(1,2，0)，平面β的一个法向量为(2,−1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 重合12. 在空间直角坐标系中，点P(3,4，5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( )A. (−3,4，5)B. (−3,−4,5)C. (3,−4,−5)D. (−3,4,−5)第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知空间向量m ⃗⃗⃗ =(1,−2x +1,2),n ⃗ =(y,3,x +z )，且m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则x +2y +3z =__． 14. 在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)与点B(1,−3,1)，则|AB |=________，若在z轴上有一点M 满足|MA |=|MB |，则点M 的坐标为_________． 15. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a n =2a n−1+1，则S 6= 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若sinAsinB =ba+c ，a =2c ，则cos A =________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． (1)求角C ；(2)若c =2，△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长．18.设向量a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(cosx,√3cosx)，x∈R，函数f(x)=a⃗•(a⃗+b⃗ ).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)ΔABC中边a，b，c所对的角为A，B，C，若acosB+bcosA=2ccosC，c=√3，)取最大值时，求△ABC的面积．当f(B219.已知数列{a n}满足：21⋅a1+22⋅a2+23⋅a3+⋯+2n⋅a n=(n−1)⋅2n+1+2对一切n∈N∗成立．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和S n．(2)求数列{1a n⋅a n+2(3n+S n)对一切正整数n都成立，20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n=12(1)证明：数列{a n+3}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；(a n+3)，求数列{b n}的前n项和B n．(2)设b n=n321.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱AB的中点．(1)证明：A1B//平面D1CE；(2)求平面A1BC1与平面CED1所成二面角的正弦值．22.已知四棱锥P−ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2,CD=1,AD=√2，M，N分别是PD，PB的中点．(1)求证：MQ//平面PCB；(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；(3)求点A到平面MCN的距离．答案和解析1. 解：∵B =135°，∴b 为最大边，A =180°−135°−15°=30°， 由正弦定理得b =asinB sinA=4×√2212=4√2．故选：C ．2.解：因为a 2−b 2−c 2=−√2bc ，由余弦定理可得，cosA =b2+c 2−a 22bc=√22， 因为A 为三角形的内角，故A =45°．故选：B ．3.解：中，B =30∘，b =1，c =√3，，∴sinC =√32，∴C =60∘或120∘，∴A =90∘或30∘，∴△ABC 的面积为12bcsinA =√32或√34．故选B ．4.解：∵正数组成的等比数列{a n }，a 3⋅a 18=100，∴a 14⋅a 7=a 3⋅a 18=100，a 7>0，a 14>0，∴a 7+a 14≥2√a 14⋅a 7=2√100=20， 当且仅当a 7=a 14时取等号，∴a 7+a 14的最小值为20．故选：A ．5.解：由1、a 1、a 2、3成等差数列，可得a 1+a 2=1+3=4，又1、b 、4成等比数列，可得b 2=4，解得b =±2，则a 1+a 2b=42=2或a 1+a 2b=4−2=−2，故选：D ．6.解：根据题意，a 4，a 6是方程x 2−10x +16=0的两个根，则有{a 4+a 6=10a 4a 6=16，解可得：{a 4=8a 6=2或{a 4=2a 6=8，又由等比数列{a n }是递增的，必有{a 4=2a 6=8，则有q 2=a6a 4=4，即q =2；故选：A ．7.解：根据题意，a −2+4a =a +4a −2，又由a >0，则a −2+4a =a +4a −2≥2√a ×4a −2=2，当且仅当a =2时等号成立，即a −2+4a 的最小值是2；故选：B ．8.解：∵b <a ，d <c ，∴设b =−1，a =−2，d =2，c =3选项B ，(−2)×3>(−1)×2，不成立选项C ，−2−3>−1−2，不成立 选项D ，−2+2>−1+3，不成立故选：A ．9.解：p ：2x 2−3x +1≤0，解得：12≤x ≤1，q ：x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，解得：a ≤x ≤a +1．若q 是p 的必要不充分条件，则{a ≤121≤a +1，解得：0≤a ≤12．故选：A ．10.解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x 0>0，x 02−4x 0+3<0”的否定是∀x >0，x 2−4x +3≥0．故选：C ．11.解：由题意可得(1,2，0)⋅(2，−1，0)=1×2−2×1+0×0=0，故两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直，故选C ．12.解：在空间直角坐标系中，关于yOz 平面对称，y ，z 不变．点P(3,4，5)关于yOz 平面对称的点的坐标为(−3,4，5)， 故选A ． 13.解：因为空间向量m⃗⃗⃗ =(1,−2x +1,2),n ⃗ =(y,3,x +z )，且m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ， 所以{1=y−2x +1=32=x +z ，所以x =−1，y =1，z =3，所以x +2y +3z =−1+2+9=10;故答案为10．14.解：∵点A(1,0，2)与点B(1,−3,1)，∴|AB|=√(1−1)2+(−3−0)2+(1−2)2=√10， ∵在z 轴上有一点M 满足|MA|=|MB|，∴设M(0,0，c)，则√(1−0)2+(0−0)2+(2−c)2=√(1−0)2+(−3−0)2+(1−c)2， 解得c =−3，∴点M 坐标为(0,0，−3)．故答案为：(0,0，−3)．15.解：∵a n =2a n−1+1， ∴a n +1=2(a n−1+1)，故数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n +1=2n ， 则a n =2n −1，∴S n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2，则S 6=27−8=120．16.解：由题意，sin Asin B =ba+c ，由正弦定理可得ab =ba+c ，因为a =2c ，所以a b =ba+a 2，即b 2=3a 22，所以b =√32a ，所以在△ABC 中由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=32a 2+14a 2−a 22×√2a×2=√64．故答案为√64．17.解：(1)由m⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． 所以2ccosA =2b −a ．由正弦定理得：2sinCcosA =2sinB −sinA ． 2sinCcosA =2sin(A +C)−sinA =2sinAcosC +2cosAsinC −sinA ，整理得2sinAcosC =sinA ，由sinA >0，可得cosC =12，由于0<C <π，所以C =π3． (2)由于，△ABC 的面积为√3，所以12absinC =√3，整理得ab =4，由余弦定理，c 2=a 2+b 2−2abcosC =4，整理得(a +b)2−4=3ab ，解得a +b =4． 所以三角形的周长为a +b +c =4+2=6．18.解：(1)由已知f(x)=a →⋅(a →+b →)=sinx(sinx +cosx)+cosx(cosx +√3cosx)=12sin2x +√32cos2x +1+√32=sin(2x +π3)+1+√32，所以的最小正周期是T =2π2=π;(2)由正弦定理得sinAcosB +sinBbcosA =2sinCcosC ， 即sin(A +B)=sinC =2sinCcosC ， 因为sinC ≠0，所以cosC =12，又0<C <π，所以C =π3，又f(B 2)=sin(B +π3)+1+√32，因为B ∈(0,2π3)，所以 B =π6时f(B2)取到最大值， 此时A =π2，又c =√3,所以b =1，得S ΔABC =12bcsinA =√32．19.解：(1)由题意，当n =1时，21⋅a 1=2，解得a 1=1，当n ≥2时，由21⋅a 1+22⋅a 2+23⋅a 3+⋯+2n ⋅a n =(n −1)⋅2n+1+2，可得 21⋅a 1+22⋅a 2+23⋅a 3+⋯+2n−1⋅a n−1=(n −2)⋅2n +2， 两式相减，可得2n ⋅a n =(n −1)⋅2n+1+2−(n −2)⋅2n −2=[2(n −1)−(n −2)]⋅2n =n ⋅2n ， ∴a n =n ，当n =1时，a 1=1也符合上式，∴a n =n ，n ∈N ∗． (2)由(1)知，1a n ⋅a n+2=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴S n =1a 1⋅a 2+1a 2⋅a 3+1a 3⋅a 4+1a 4⋅a 5+⋯+1a n−1⋅a n+1+1a n ⋅a n+2=12(1−13)+12(12−14)+12(13−15)+12(14−16)+⋯+12(1n −1−1n +1)+12(1n −1n +2) =12(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1n −1−1n +1+1n −1n +2) =12(1+12−1n+1−1n+2)=n(3n+5)4(n+1)(n+2)．20.解：(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =12(3n +S n )，由已知得S n =2a n −3n ①，所以S n+1=2a n+1−3(n +1)② 由②−①得：a n+1=2a n +3，即a n+1+3=2(a n +3)，所以a n+1+3a n +3=2(常数)，又a 1=2a 1−3，解得 a 1=3．所以数列{a n +3}是以6为首项，2为公比的等比数列． 故a n +3=6⋅2n−1，即a n =3(2n −1)．(2)由于b n =n3(a n +3)，所以b n =n3⋅(3×2n −3+3)=n ⋅2n ．设B n =1⋅2+2⋅22+⋯+n ⋅2n ③2B n =1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n+1 ④ ④−③得：B n =−(2+22+23+⋯+2n )+n ⋅2n+1=−2n+1−22−1+n ⋅2n+1．整理得B n =2+(n −1)⋅2n+1．21.(1)证明：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1= //BC ，∴四边形ABCD 为平行四边边形，∴A 1B//CD 1，∵CD 1⊂平面D 1CE ，A 1B ⊄平面D 1CE ，∴A 1B 平行平面D 1CE ， (2)解：如图：以点D 为坐标原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D −xyz ：设AB =2，则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,2，0)，E(2,1，0)，C 1(0,2，2)，A 1(2,0，2)，D 1(0,0，2)，C(0,2，0)，设平面A 1BC 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 由A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，则{A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =2y −2z =0,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =−2x +2y =0,取x =1，y =1，z =1，则n ⃗ =(1,1，1) 设平面CED 1的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，由D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，0)， 则{D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =2b −2c =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =−2a +b =0,取a =1，b =2，z =2，则m⃗⃗⃗ =(1,2，2)， 可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =3，|m ⃗⃗⃗ |=3，|n ⃗ |=√3，cos <m⃗⃗⃗ ·n ⃗ >=53√3=5√39， ∴平面A 1BC 1与平面CED 1所成二面角的正弦值为√1−(5√39)2=√69．22.解：以A 为原点，以AD ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 建立空间直角坐标系O −xyz ，由AB =2,CD =1,AD =√2，PA =4PQ =4，M ，N 分别是PD ，PB 的中点， 可得：A(0,0,0),B(0,2,0),C(√2,1,0),D(√2,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(√22,0,2),N(0,1,2)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−4)，MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,1) 设平面的PBC 的法向量为n 0⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有：{n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(√2,−1,0)=0⇒√2x −y =0n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(0,2,−4)=0⇒2y −4z =0令z =1，则x =√2,y =2⇒n 0⃗⃗⃗⃗ =(√2,2,1)，(3分) ∴MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 0⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,1)⋅(√2,2,1)=0，又MQ ⊄平面PCB ，∴MQ//平面PCB ；(2)设平面的MCN 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，又CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,−1,2),CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,2) 则有：{n ⃗ ⊥CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−√22,−1,2)=0⇒−√22x −y +2z =0n ⃗ ⊥CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−√2,0,2)=0⇒−√2x +2z =0令z =1，则x =√2,y =1⇒n ⃗ =(√2,1,1)， 又AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4)为平面ABCD 的法向量， ∴cos〈n ⃗ ,AP⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=42×4=12，又截面MCN 与底面ABCD 所成二面角为锐二面角，∴截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小为π3，(3)∵CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−1,0)，∴所求的距离d =|n ⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗ |=|−√2×√2−1×1+1×0|2=32；。
2020-2021学年上海市重点高中高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海市重点高中高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 直线∣∣∣x1y2∣∣∣=0的一个法向量是( ) A. n⃗ =(2,1) B. n⃗ =(1,2) C. n⃗ =(2,−1) D. n⃗ =(1,−2) 2. 已知a 1、a 2、b 1、b 2、c 1、c 2∈R ，直线l 1：a 1x +b 1y +c 1=0，l 2：a 2x +b 2y +c 2=0，则“a 1a 2+b 1b 2=0”是“直线l 1与l 2垂直”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3. 已知△ABC ，点D 为边BC 上一点，且满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 如图所示，在平面内，点P 为圆O 的直径AB 的延长线上一点，AB =BP =2，过动点Q 作圆的切线QR ，满足PQ =2QR ，则△QAP 的面积的最大值为( )A. 83B. 8√33C. 163D. 16√33二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 关于x 、y 的方程组{3x +y =12x +4y =−3的增广矩阵为______．6. 直线x −y +1=0的倾斜角大小为______．7. 已知圆C 的半径为2，直线l 与圆相交于A 、B 两点，且圆心C 到直线l 的距离为1，则线段AB 的长度为______．8. 已知矩阵A =(0210)，B =(12)，则AB =______．9. 直线l 的一个方向向量为d⃗ =(1,2)，则l 与直线x−12=y−21的夹角的大小为______.(结果用反三角表示)10. 在平面直角坐标系中，已知点P 1(−1,1)，P 2(1,3)，点P 满足P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P的坐标为______．11. 过点M(1,2)且与圆x 2+y 2=5相切的直线的一般式方程为______．12. 直线l 1：y =k(x −1)−1与l 2：y =12x +1相交于第二象限，则l 1的斜率k 的取值范围是______．13. 在平面直角坐标系内，已知直线l 的一个方向向量为e ⃗ =(45,35)，点O(0,0)和M(−1,−2)在l 上的投影分别是点O 1和M 1，若O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λe ⃗ ，则实数λ的值为______． 14. 正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）15. 已知m ∈R ，利用行列式求关于x 、y 的方程组{mx +2y =m +42x +my =m有唯一解的充要条件，并在此条件下写出该方程组的解．16. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =2，点M为边BC 的中点，点N 在边CD 上．(1)若点N 为线段CD 上靠近D 的三等分点，求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值；(2)若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =8，求此时点N 的位置．17. 已知k ∈R ，向量a ⃗ =(1,1+k)，b ⃗ =(k,2)．(1)若向量2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 平行，求k 的值；(2)若向量2a⃗−b⃗ 与b⃗ 的夹角为钝角，求k的取值范围．18.已知正方形的一条边AB所在直线为x−3y−1=0，正方形的中心为R(0,1).求：(1)该正方形的面积；(2)该正方形的两条对角线所在直线的一般式方程．19.我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，记作λ.已知圆C1：x2+y2=1，直线l：3x−4y+m=0．(1)若直线l关于圆C1的距离比λ=2，求实数m的值；(2)当m=0时，若圆C2与y轴相切于点A(0,3)，且直线l关于圆C2的距离比λ=6，5试判断圆C1与圆C2的位置关系，并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：直线∣∣∣x1y 2∣∣∣=0，即2x −y =0，它的一个法向量是(2,−1)， 故选：C ．由题意利用行列式的运算法则求出直线的方程，再根据直线的法向量的定义，求出直线的一个法向量．本题主要考查行列式的运算法则，直线的法向量的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由“a 1a 2+b 1b 2=0”一定能推出“直线l 1与l 2垂直”，满足充分性， 由“直线l 1与l 2垂直”一定能推出“a 1a 2+b 1b 2=0”，满足必要性， 故“a 1a 2+b 1b 2=0”是“直线l 1与l 2垂直”的充要条件． 故选：C ．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：B ．根据BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，然后进行向量的数乘运算求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，∵AB =BP =2，∴P(3,0)， 设Q(x,y)，∵过动点Q 作圆的切线QR ，满足PQ =2QR ， ∴PQ 2=4QR 2，即(x −3)2+y 2=4(x 2+y 2−1)， 整理得，(x +1)2+y 2=163，∴点Q 的轨迹方程是以(−1,0)为圆心，以r =4√33为半径的圆， ∴当点Q 在直线x =−1上时，△QAP 的面积的最大， ∴(S △PAQ )max =12×4×4√33=8√33． 故选：B ．以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点Q 的轨迹方程，可得Q 到AB 距离的最大值，由此能求出△QAP 的面积的最大值．本题考查三角形面积的最大值的求法，注意两点间距离公式的合理运用，是中档题．5.【答案】(31124−3)【解析】解：由增广矩阵的定义可知，关于x ，y 的方程组{3x +y =12x +4y =−3的增广矩阵为(31124−3)， 故答案为：(31124−3)．由增广矩阵的定义可求解； 考查增广矩阵的概念，属于基础题；6.【答案】45°【解析】解：由直线x −y +1=0变形得：y =x +1 所以该直线的斜率k =1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1， ∵α∈[0,180°)， ∴α=45°．故答案为：45°．把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围．7.【答案】2√3【解析】解：如图，过O 作OD ⊥AB 于点D ，连结AO ，则D 为AB 的中点．Rt △AOD 中，AD =√AO 2−OD 2=√22−12=√3． 则AB =2AD =2√3． 故答案是：2√3．利用垂径定理和勾股定理解答．考查了直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．8.【答案】(41)【解析】解：∵矩阵A =(0210)，B =(12)，∴AB =(0210)(12)=(41)．故答案为：(41)．利用矩阵的乘法法则能求出AB ．本题考查矩阵乘积的求法，考查矩阵乘法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.【答案】arctan 34【解析】解：由于直线l 的一个方向向量为d ⃗ =(1,2)， 故直线l 的斜率为2，直线x−12=y−21，即y =12x +32，它的斜率为12．设两直线的夹角为θ，则tanθ=|2−121+2×12|=34，∴θ=arctan 34， 故答案为：arctan 34．先求出两条直线的斜率，再求出两直线的夹角的正切值tanθ，可得两直线的夹角θ的值． 本题主要考查两条直线的夹角公式、反三角函数的应用，属于中档题．10.【答案】(2,4)【解析】解：设点P 的坐标为(x,y)，由点P 1(−1,1)，P 2(1,3)， 所以P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +1,y −1)，PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x,3−y)， 又P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以{x +1=−3(1−x)y −1=−3(3−y)，解得{x =2y =4，所以点P 的坐标为(2,4)． 故答案为：(2,4)．设点P 的坐标为(x,y)，由平面向量的坐标表示，列方程组求出x 、y 的值即可． 本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了解方程组的问题，是基础题．11.【答案】x +2y −5=0【解析】解：圆x 2+y 2=5的圆心为O(0,0)，半径r =√5．根据题意，可得过P(1,2)的切线斜率存在，设其方程为y −2=k(x −1)，即kx −y +2−k =0．∵直线与圆x 2+y 2=5相切，∴圆心O 到直线的距离等于半径r ，即d =√k 2+1=√5，化简整理得：4k 2+4k −1=0，解之得k =−12， ∴直线方程为y −2=−12(x −1)，化简得x +2y −5=0． 故答案为：x +2y −5=0．求出圆的圆心为O(0,0)，半径r =√5.设过P 点的切线方程为y −2=k(x −1)，利用点到直线的距离建立关于k 的等式，解之得k =−12，即可得到所求圆的切线方程． 本题给出圆的方程，求圆经过定点的切线方程．着重考查了直线的方程、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．12.【答案】−2<k <−13【解析】解：∵直线l 1：y =k(x −1)−1与l 2：y =12x +1相交于第二象限， 由{y =k(x −1)−1y =12x +1，可得{x =2k+42k−1y =3k+12k−1，∴{2k+42k−1<03k+12k−1>0，求得−2<k <−13， 故答案为：−2<k <−13．联立方程组，求出交点坐标，再根据交点在第二象限，求出k 的范围． 本题主要考查求直线的交点，属于基础题．13.【答案】−2【解析】解：由题意，画图如下：∵OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2)， ∴cos <OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，e ⃗ >=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅e ⃗|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|e ⃗ |=−1×45−2×35√(−1)2+(−2)2⋅√(45)2+(35)2=−2√55，∴|O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|cos <OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，e ⃗ >|=√(−1)2+(−2)2⋅2√55=2，∵|e ⃗ |=1，∴|O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||e ⃗ |=2，∵O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与e ⃗ 方向相反， ∴λ=−2． 故答案为：−2．本题根据题意画出大致图象，然后根据向量内积公式计算出cos <OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，e ⃗ >的值，再根据投影的内积计算方法计算出|O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，即可得到|O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||e ⃗ |=2，最后根据O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与e⃗ 方向相反可推导出λ的取值．本题主要考查向量的内积运用．考查了转化思想，数形结合法，定义法，向量的运算能力，直观想象能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．14.【答案】−7【解析】解：如图，以O 为坐标原点，以过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以过O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立坐标系， 则B(2,−2)，C(2,2)，∴2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(2,−2)+(1−λ)(2,2)=(2,2−4λ)，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1−2λ) 即P 点坐标为(1,1−2λ)，设M(a,−2)，则N(−a,2)，−2≤a ≤2， ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −1,2λ−3)，PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a −1,2λ+1) ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −1)(−a −1)+(2λ−3)(2λ+1)=1−a 2+4λ2−4λ−3， 当a =±2且λ=−−42×4=12时，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−7． 故答案为：−7．建立坐标系，根据2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出P 点坐标，设出M ，N 坐标分别为(a,−2)，(−a,2)，将PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为关于a ，λ的函数，即可得到其最小值． 本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题．15.【答案】解：由方程组{mx +2y =m +42x +my =m， 所以方程组的系数行列式为∣∣∣m 22m∣∣∣=m 2−4=(m +2)(m −2)， D x =∣∣∣m +42m m∣∣∣=m 2+4m −2m =m 2+2m =m(m +2)， D y =∣∣∣m m +42m∣∣∣=m 2−2m −8=(m −4)(m +2)； 当m 2−4≠0，即m ≠2且m ≠−2时，方程组有唯一的解；且该方程组的解为{x =m m−2y =m−4m−2．【解析】由题意写出方程组的系数行列式D 和D x ，D y ；当D ≠0时方程组有唯一解，再求出该方程组的解．本题考查了利用行列式求线性方程组的应用问题，是基础题．16.【答案】解：(1)由题意，以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，M(3,1)，N(1,2)，AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3×1+1×2=5． (2)由题意，设N 点坐标为(a,2)，a ∈[0,3]，则∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,2)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3×a +1×2=3a +2=8， 解得a =2，∴N 点坐标为(2,2)，故点N 的位置为线段CD 上靠近C 的三等分点．【解析】本题第(1)题根据题意可以建立以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴的平面直角坐标系，然后写出点M ，N 的坐标，计算出AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据向量内积的坐标运算公式进行计算即可得到结果；第(2)题可设N 点坐标为(a,2)，计算出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据向量内积的坐标运算公式进行代入计算即可得到a 的值，从而可判别出点N 的位置．本题主要考查运用向量解决集平面几何问题．考查了转化思想，向量的坐标运算，直观想象能力以及数学运算能力．本题属中档题．17.【答案】解：(1)由向量a ⃗ =(1,1+k)，b ⃗ =(k,2)，所以2a ⃗ −b ⃗ =(2−k,2k)，又2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 平行，所以2(2−k)−2k 2=0，解得k =−2或k =1；(2)若向量2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角，则(2−k)k +4k <0，解得k <0或k >6；由(1)知，当k =−2时，2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 平行，所以k 的取值范围是(−∞,−2)∪(−2,0)∪(6,+∞)．【解析】(1)由平面向量的坐标表示和向量共线定理，列方程求出k 的值；(2)由平面向量的数量积与夹角的关系，列不等式求出k 的取值范围，要去掉共线反向情况．本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，也考查了向量共线与夹角问题，是基础题．18.【答案】解：(1)由题意可得，中心R(0,1)到直线AB ：x −3y −1=0的距离d =√10=2√105， ∴正方形的面积S =(2d)2=325，(2)设对角线所在直线的方程为a(x −0)+b(y −1)=0，边AB 所在的直线方程为x −3y −1=0，两直线的法向量分别为n 1⃗⃗⃗⃗ =(a,b)，n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)，设两直线的夹角为θ，则cosθ=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10⋅√a 2+b 2=√22， ∴2a 2+3ab −2b 2=0，∴(2a−b)(a+2b)=0，∴b=2a或a+2b=0，两条对角线分别为x+2y−2=0或2x−y+1=0．【解析】(1)结合点到直线的距离公式可求d，然后代入正方形面积公式可求．(2)设对角线所在直线的方程为a(x−0)+b(y−1)=0，边AB所在的直线方程为x−3y−1=0，然后结合直线法向量与直线的夹角公式可求．本题主要考查了直线方程的求解，向量夹角公式及点到直线的距离公式的应用，属于基础试题．19.【答案】解：(1)由已知可得圆C1的圆心为原点，半径为1，则由已知定义可得：√32+42=2，解得m=±10，故实数m的值为±10；(2)当m=0时，直线l：3x−3y=0，圆C2与y轴相切于点A(0,3)，所以可设C2：(x−a)2+(y−3)2=a2，则根据定义可得：|3a−12|5|a|=65，解得a=−4或43，①当a=−4时，C2：(x+4)2+(y−3)2=16，两圆的圆心距d=5，半径之和为1+4=5，所以两圆外切，②当a=43时，C2：(x−43)2+(y−3)2=169，两圆的圆心距d大于半径之和，因此两圆外离．【解析】(1)根据新定义的要求即可求出m的值，(2)先设圆C2的方程，然后再根据新定义可求出a的值，再根据a的值判断两圆的位置关系．本题考查了新定义下直线与圆以及圆与圆的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．。
2020-2021年上海市控江中学高二上期中教师版
控江中学2020学年度第一学期期中考试高二数学一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 直线53:+=x y l 的斜率的大小为______ 【答案】32. 行列式794123151-中，元素4的代数余子式的值为______【解析】()31215113=-+3. 直线01:=++y x l 的一个法向量为_______ 【解析】()1,14. 直线1:1=y l 与直线02:2=+-y x l 的夹角大小为_______ 【解析】4π 5. 若直线062:1=-+ay x l 与直线()()051:2=++-+a y a x l 平行，则实数=a ______ 【解析】26. 已知向量3||=，且6=⋅b a ，则向量a 在向量b 的方向上的投影为______ 【解析】向量在向量的方向上的投影为2|cos ||===θ. 7. 线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211011t t ，解为⎩⎨⎧==53y x ， 则三阶行列式611101121----t t 的值为______【解析】我们按照第一列展开得()()07711116112112=-++-=-+=---+--y y x t t t t8. 设,是两个不平行的向量，若b k a AB +=2，b a BC 2+=，b a CD -=2，且D B A ,,三点共线，则实数k 的值为______【解析】b a BD +=3，由()k +=+32λ得λλ==k ,32，所以32=k9. 已知直线()22:-=-x k y l 与两点()()3,4,0,1B A 点，若直线l 与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是____________ 【解析】由条件得()()⎩⎨⎧≤≤-=-=-41122x x y x k y 有解，41321≤--=≤k k x ， 所以),2[]21,(+∞-∞∈ k .10. 若R ∈α，则直线01cos 32=+⋅+αy x 的倾斜角的范围是___________ 【解析】方向向量为)2,cos 3(-α，斜率存在时为αcos 32-，其值域为),32[]32,(+∞--∞ ，所以倾斜角范围为]32arctan ,32[arctan -π11. 在平面直角坐标系xOy 中，若动点()b a P ,到两直线4::21+-==x y l x y l 和的距离之和为23，则22b a +的最小值为______ 【解析】由条件得232|4|2||=-++-b a b a ，即6|4|||=-++-b a b a ， ()()222||||2||||4||||24||||6b a b a b a b a b a b a b a b a ++-≤++-≤⇒++-≤⇒+++-≤()224b a +=，故()时可取等号0,1122=-=≥+b a b a 12. 在ABC ∆中，EB AE DC BD ==,21，点F 为ADC ∆内（包括边界）任意一点，若μλ+=，其中R ∈μλ,，则μλ2-的取值范围是____________【解析】法一：为了简化计算，令ABC ∆为直角三角形，且令4,3AB AC ==， 如图，(2,0),(4,0)E B ，由12BD DC =，得8,13D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设(,)F x y ，其中(,)x y 在ADC ∆内（包括边界）， 则(2,)EF x y =-，22(2,0),12,33λEB μED λμλμμ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2223x λμy μ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩，解得11123λx y μy⎧=--⎪⎨⎪=⎩， 所以172123λμx y -=--，利用线性规划求得值域为[]8,1--. 法二：构造等和线解题，作12EG ED =-，连接BG ，则2λEB μED λEB μED +=-， 所以2EF λEB μED λEB μED =+=-， 显然BG 对应的21λμ-=，作出一系列平行线，EH 对应的20λμ-=， AI 对应的21λμ-=-，过点D 对应的等和线22λμ-=-，过点C 对应的等和线28λμ-=-， 所以μλ2-的取值范围是[]8,1--. 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）13.点(2,3)P 关于直线:0l x y +=的对称点的坐标是（ B ）()()()().2,3.3,2.2,3.3,2 A B C D -----14.已知向量,a b ，则“0a =或0b =”是“0a b ⋅=”的（ A ）条件.A 充分非必要 .B 必要非充分 .C 充要 .D 既不充分又非必要15.已知,e f 是互相重直的单位向量，向量n a 满足: ,31n n e a n f a n ⋅=⋅=-，n b 是向量f 与n a 夹角的正切值，则数列{}n b 是（ B ）A.单调递增数列且1lim 3n n b →∞=B.单调递减数列且1lim 3n n b →∞=C.单调递增数列且lim 3n n b →∞= D.单调递减数列且lim 3n n b →∞=【解析】设(0,1),(1,0)e f ==，(,)n a x y =，则,31n n e a y n f a x n ⋅==⋅==-，所以(31,)n a n n =-，所以11313n n b n n==--，所以数列{}n b 是单调递减数列且1lim 3n n b →∞=. 16. 已知点()0,0A ，点()36,15B ，点C 的横坐标、纵坐标都为整数，则ABC ∆的面积的最小值为（ C ）1.2A .1B 3.2C .3D 【解析】先证明一个结论，若),(),,(2211y x y x ==，则||211221y x y x S ABC -=△，下面对此作出证明： A AC AB AC AB A AC AB A AC AB S ABC 222222cos 21cos 121sin 21-=-⋅=⋅⋅=△2212122222121)())((21y y x x y x y x +-++== ||21)(21221122121221212121222221y x y x y x y x y y x x y x y x -=-=-+=， 在本题中，设(,)C x y ，则(36,15)AB =，(,)AC x y =，所以1221113|3615||32|222ABC S x y x y y x y x ∆-=-=-=， 因为,x y 都是整数，所以|32|1y x -≥，所以33|32|22ABC S y x ∆-≥=.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知关于x y 、的方程组23(2)1mx y x m y m +=⎧⎨+-=-⎩，m 为常数，且m ∈R（1）写出此方程组的系数矩阵； （2）解此方程组. 【解析】（1）132m m ⎛⎫⎪-⎝⎭；（2）2123(3)(1)32m D m m m m m ==--=-+-，21241312x D m m m m m ==--+=---，226(3)(2)31y m D m m m m m ==--=-+-，当1m =-时，0,0,0x y D D D =≠≠，原方程组无解，当3m =时，0x y D D D ===，原方程组有无数解，当31m m ≠≠-且时，原方程组有唯一解121x y D x m DD m y D m ⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪+⎩.18.（本题满分14分 第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知||2,||1a b == ，向量a 与向量b 的夹角为3π，设向量m a tb =+ ，向量2n ta b =+ （1）求a b ⋅ 的值（2）设()f t m n =⋅，求()f x 的表达式；若m 与n 的夹角θ为锐角，求实数t 的取值范围. 【解析】（1）||||cos 12cos13πa b a b θ⋅=⋅⋅=⋅⋅=； （2）()(222()()(2)()2||2f t m n a tb ta b t a t b t a b =⋅=+⋅+=+++⋅⋅∣22422 62t t t t t =+++=++，因为m 与n 的夹角θ为锐角，所以0m n ⋅>，即2620t t ++>，解得33t t --+＜＞ 又由m 和n共线，解得t =，所以实数t的取值范围是33t t --+＜＞t ≠.19．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知坐标平面内第一象限的点P 到两个定点(1,0),(1,0)M N -距离的比||||PM PN = （1）若点PP 的横坐标（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PM 的点法向式方程和直线PN 的点方向式方程.【解析】（1）设(,)P x y，因为||||PM PN ==， 化简得22610x y x +-+=，令y =，得2630x x -+=，解得3x =±所以点P 的横坐标为36±；（2）因为点N 到直线PM 的距离为1，||2MN =， 所以30PMN ︒∠=，33PM k =±， 所以直线PM 的方程为31)y x =+， 把31)y x =+代入22610x y x +-+=，得2410x x -+=， 解得1223,23x x =+=所以点P 的坐标为(23,13)+或(23,13)-+或(23,13)+-或(23,13)，所以直线PN 的方程为11y x y x =-=-+或，所以直线PM 的点法向式方程为3(1)0x y ++=， 直线PN 的点方向式方程为111x y-=±. 20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分） 已知直线l 过定点(2,1)P -，且交x 轴负半轴于点A 、交y 轴正半轴于点B ，点O 为坐标原点.（1）若AOB ∆的面积为4，求直线l 的方程； （2）求||||OA OB +的最小值，并求此时直线l 的方程； （3）求||||PA PB ⋅的最小值，并求此时直线l 的方程.【解析】（1）设:1x l a yb +=，因为过点(2,1)P -， 所以211a b-+=，所以1()42AOB S ab ∆=-=，由2118a b ab ⎧-+=⎪⎨⎪=-⎩解得42a b =-⎧⎨=⎩，所以直线l 的方程为142x y-+=，即240x y -+=； （2）||||OA OB b a +=-，所以()212||||33a b OA OB b a b a a b b a -⎛⎫+=-=--+=++≥+ ⎪-⎝⎭当且仅当2,1a b ==+所以直线l 的方程为20x ++=； （3）因为,,A P B 三点共线，所以||||(2,1)(2,1)25AP PB AP PB a b a b ⋅=⋅=--⋅-=-+- 212222(2)54154b a b a a b a b a b a b ⎛⎫=-+-+-=--++-=--≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当3,3a b =-=时取等号， 所以直线l 的方程为30x y -+=.21.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知在平面直角坐标系中，点(,0)A a 、点(0,)B b （其中a b 、为常数，且0ab ≠），点O 为坐标原点.（1）设点P 为线段AB 靠近点A 的三等分点，(1)()OP OA OB λλλ=+-∈R ，求λ的值； （2）如图，设点121,,,,,k n P P P P -是线段AB 的n 等分点，(1)k OP OA OB μμ=+-，其中*11,,N ,2k n n k n ≤≤-∈≥，求μ（用含n 和k 的式子表示），并且当2020n =时，求121n OA OP OP OP OB -+++++的值（用含a b 、的式子表示）（3）若1,[0,1]a b t ==∈ ，求1||(1)3t AB AO OB t BA -++-的最小值 【解析】（1）因为(1)(1)(1)()(1)AP OP OA λOA λOB λOA OB λBA =-=-+-=--=-， 而点P 为线段AB 上靠近点A 的三等分点，所以13AP AB =， 所以113λ-=-，所以23λ=； （2）由题意得120192019112019,2020202020202020OP OA OB OP OA OB =+=+，所以12019OP OP OA OB +=+，事实上，对任意正整数,m n ，且2020m n +=， 有20202020,2020202020202020m n m m n nOP OA OB OP OA OB --=+=+，所以m n OP OP OA OB +=+， 所以221212021202122n OA OP OP OP OB OA OB a b -+++++=+=+ （3）当1a b ==时，线段AB 上存在一点M ，使得,(1)t AB AM t BA BM =-=， 且存在点0,32N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13NB OB =，则t AB AO AM AO OM -=-=，(1)31OB N t BA BM B NM +-=+=， 所以1||(1)3t AB AO OB t BA OM MN -++-=+， 即线段AB 上一点M ，到点O 和点N 的距离之和， 作点O 关于线段AB 的对称点(1,1)O '，则最小值为222103(0)11O N ⎛⎫'=-+-= ⎪⎝⎭。
2020-2021上海中国中学高二数学上期中试题带答案
2020-2021上海中国中学高二数学上期中试题带答案一、选择题1．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π2．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A．518B．13C．718D．493．我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( )A．45,75,15B．45,45,45C．45,60,30D．30,90,154．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（）A．13B．14C．15D．165．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（ ） A ．111B ．211C ．355D ．4556．下面的算法语句运行后，输出的值是（ ）A ．42B ．43C ．44D ．457．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．7109．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．410．下列说法正确的是（ ）A ．若残差平方和越小，则相关指数2R 越小B ．将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变C ．若2K 的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小D ．若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r = 11．已知函数()cos3xf x π=，根据下列框图，输出S 的值为( )A ．670B ．16702C ．671D ．67212．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题13．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.14．某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是______．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得101i i x =∑＝80， 101i i y =∑＝20， 110i i i x y =∑＝184， 1210i i x =∑＝720.则家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程为__________． 附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中， 1221ni i i n i i x y nxyb x nx==-=-∑∑，a ＝y －b x ，其中x ， y 为样本平均值．线性回归方程也可写为ˆy＝ˆb x ＋ˆa . 16．在1270x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域内任取一点(),x y ，则满足230x y -≥的概率是__________．17．如图程序框图的输出结果是_________.18．如果执行下面的程序框图，那么输出的s ＝______________.19．甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．20．已知变量,x y 之间的一组数据如下表：x0 1 23 y 1357则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点_______________三、解答题21．为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民生产粮食的积极性，从2014年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴的政策通过对2014~2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额x （单位：亿元）与该地区粮食产量y （单位：万亿吨）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 补贴额x /亿元 9 10 12 11 8 粮食产量y /万亿2526313721（1）请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆybx a =+； （2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴7亿元，请根据（1）中所得到的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.参考公式：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 22．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率； （3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.23．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量为y （万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组x 与y 的对应数据：x 元25 30 38 45 52 销量为y （万份）7.57.16.05.64.8由上表，知x 与y 有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为10.0ˆybx =-．（ⅰ）求参数b 的值；（ⅱ）若把回归方程10.0ˆybx =-当作y 与x 的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入=每份保单的保费⨯销量．24．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班 乙班 合计优秀不优秀合计参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考数据：()20P K k ≥0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.82825．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[)[)[)[)[)50,100,100,150,150,200,200,250,250,300，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中x 的值及续驶里程在[)200,300的车辆数；（2）若从续驶里程在[)200,300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率.26．为了了解某省各景区在大众中的熟知度，随机从本省1565:岁的人群中抽取了n 人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该省有哪几个国家AAAAA 级旅游景区？”，统计结果如下表所示： 组号 分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组 [)1525， a0.5第2组 [)2535， 18x第3组 [)3545， b 0.9 第4组 [)4555， 9 0.36第5组[)5565，3y（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .2．C解析：C 【解析】 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形， 其面积为112112S =⨯⨯=的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .3．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 4．C解析：C【分析】 【详解】由题意得等差数列{}n a 中258715,28a a a S ++== 求15a25855153155a a a a a ++=⇒=⇒=1774428772845412a a S a a d +=⇒⨯==⇒=∴=-= 154(154)1415415a a ∴=+-⨯=+-=，选C.5．C解析：C 【解析】 【分析】利用列举法求得基本事件的总数，再得出选取两个不同的数且和等于30，所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共有11个， 其中随机选取两个不同的数且和等于30的有30=7+23=11+19=13+17，共有3组，所以所求概率为2113355C =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式22000i <的解中最大自然数，即可求解. 【详解】 由算法语句知，运行该程序实现求不等式22000i <的解中最大自然数的功能， 因为24520252000=>，24419362000=<，所以44i =， 故选：C 【点睛】本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.解析：B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.9．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．B【解析】 【分析】由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断A ；由方差的性质可判断B ；由的随机变量2K 的观测值的大小可判断C ；由相关系数r 的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断D .【详解】对于A ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，相关指数2R 越大，故A 错误；对于B ，将一组数据的每一个数据都加上或减去同一常数后，由方差的性质可得方差不变，故B 正确；对于C ，对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误；对于D ，若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r =，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos 32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =， 直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=， ∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ． 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n ＝30n ﹣19，由401≤30n ﹣21≤755，求得正整数n 的个数，即可得出结论． 【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为a n ＝11+（n ﹣1）30＝30n ﹣19， 由401≤30n ﹣19≤755，n 为正整数可得14≤n ≤25， ∴做问卷C 的人数为25﹣14+1＝12， 故选C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．二、填空题13．2【解析】【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识解析：2 【解析】 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可. 【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.14．16【解析】高一高二高三抽取的人数比例为所以高三抽取的人数是解析：16 【解析】高一、高二、高三抽取的人数比例为300300400=334：：：：， 所以高三抽取的人数是440=16.3+3+4⨯ 15．y ＝03x －04【解析】由题意知又由此得故所求回归方程为故答案为解析：y ＝0.3x －0.4【解析】由题意知1118012010,8,21010n n i i i i n x x y y n n =========∑∑， 又222172010880nii xnx =-=-⨯=∑，1184108224ni i i x y nxy =-=-⨯⨯=∑，由此得240.3ˆˆˆ,20.380.480bay bx ===-=-⨯=-，故所求回归方程为ˆy 0.30.4x =-，故答案为ˆy0.30.4x =-. 16．【解析】分析：首先绘制可行域结合点的坐标求得可行域的面积然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示由解得即A(32）且故作出直线2x-3y=0则2x- 解析：29【解析】分析：首先绘制可行域，结合点的坐标求得可行域的面积，然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果.详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示，由127x y x y -=⎧⎨+=⎩解得32x y =⎧⎨=⎩，即A (3,2）.且()70,,0,12B C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故172713224ABC S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭V . 作出直线2x -3y =0.则2x -3y ≥0所以表示区域为△OAC ， 即不等式2x -3y ≥0所表示的区领为△OAC ，面积为131322AOC S =⨯⨯=V ， 所以满足230x y -≥的概率是为3222794AOCABCS p S V V ===.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.17．【解析】执行程序框图第一次循环；第二次循环；第三次循环；第十五次循环；退出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆 解析：15S =【解析】执行程序框图，第一次循环，1S = ；第二次循环，2S = ；第三次循环，3S = ；... 第十五次循环，15S = ；退出循环，输出15S =，故答案为15.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.18．46【解析】第一次执行程序执行第二次程序执行第三次程序执行第四次程序符合判断框条件退出循环输出故填46点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题属于中档题处理此类问题时一般模拟程序的运行经过几次运算即可解析：46 【解析】第一次执行程序2,2(11)4i s ==⨯+=，执行第二次程序3,2(41)10i s ==⨯+=，执行第三次程序4,2(101)22i s ==⨯+=，执行第四次程序5,2(221)46i s ==⨯+=，符合判断框条件，退出循环，输出46s =，故填46．点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题。
2022-2023学年上海市控江中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市控江中学高二上学期期中数学试题一、填空题1．某医疗机构有4名新冠疫情防控志愿者，现要从这4人中选3个人去3个不同的社区进行志愿服务、则不同的选择办法共有______种．【答案】24【分析】根据题意分两步，第一步先从4人中选出3人，第二步再安排到3个不同的社区，根据分步计数原理即可得到结果.【详解】由题意可分两步，第一步先从4名新冠疫情防控志愿者选出3人，共有种方法；34C 第二步选出的3人去3个不同的社区，共有种方法，根据分步计数原理可知，33A 不同的选择办法共有种，3343C A =46=24⨯故答案为：242．若平面截球O 所得圆的半径为，则球心O 到平面的距离为α2cm α___________.cm【分析】根据球的截面圆性质计算．【详解】．R =2r =由题意球心到截面的距离为d ===．3．在棱长为1的正四面体中，点到平面的距离为______．ABCD A BCD【分析】过点、分别作，，垂足分别为、，且，连接、B C BE CD ⊥CF BD ⊥E F BE CF O ⋂=AO 、，先证明平面，则到平面的距离为的长度，在结合勾股定理求解AE AF AO ⊥BCD A BCD AO 即可.【详解】过点、分别作，，垂足分别为、，且，B C BE CD ⊥CF BD ⊥E F BE CF O ⋂=连接、、，AO AE AF 在正四面体中，为等边三角形，ABCD BCD △所以、分别为、的中点，E F CD BD 所以，，AE CD ⊥AF BD ⊥又，面；，平面，AE BE E = AE BE ⊂、ABE AF CF F ⋂=AF CF ⊂、ACF 所以平面，平面，CD ⊥ABE BD ⊥ACF 又平面，平面，AO ⊂ABE AO ⊂ACF 所以，，CD AO ⊥BD AO ⊥又，平面，CD BD D = CD BD ⊂、BCD 所以平面，即到平面的距离为的长度，AO ⊥BCD A BCD AO由于，所以1BC CD ==BE ==AE =则，13OE BE =所以在中，.Rt AOE △AO =.4．设ABCD 是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，，则二面角的大小为______．PA AB =P BC A --【答案】45°【分析】连接，证明为二面角的平面角，根据求出即可.PB PBA ∠P BC A --PA AB =PBA ∠【详解】解：连接，因为平面，平面，所以，又在正方形PB PA ⊥ABCD BC ⊂ABCD PA BC ⊥中，，，所以平面，ABCD AB BC ⊥PA AB A ⊥=BC ⊥PAB 平面，则 ，所以为二面角的平面角.PB ⊂PAB BC ⊥PB PBA ∠P BC A --在直角三角形中，，所以.PAB PA AB =45PBA ∠=故答案为：455．若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的底面半径为______．【答案】1【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径.【详解】圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为半圆的弧长：，2πl =设底面圆半径为，则有，所以底面半径为：1.r 2π2πr =故答案为：16．已知球的表面积是，则该球的体积为________.16π【答案】323π【解析】设球的半径为r ，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.2r =【详解】设球的半径为r ，则表面积，2416S r ππ==解得，2r =所以体积，3344322333V r πππ==⨯=故答案为：323π【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.7．若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___________.【答案】100【分析】根据正四棱台的结构特征，借助其高、斜高、两底面对应边心距构成的直角梯形求出斜高即可计算得解.【详解】因正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则该正四棱台上底、下底面边心距分别为1，4，而正四棱台的高、斜高、两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高，5h '==因此，侧面积，28451002S +=⨯⨯=所以所求的侧面积为100.故答案为：1008．棱柱的底面是边长为的正方形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 11160A AD A AB ∠=∠=︒12AA =则此棱柱的体积为______．【分析】设和交于点，在中，求出；在中，求出；在中，AC BD O 1A AB △1A B 1A DB △1AO 1AAO 求出；过作底面，垂足在对角线上，在中，求出棱柱的高1A AO ∠1A 1A E ⊥ABCD E AC 1Rt A AE ，利用棱柱的体积公式求解即可．1A E 【详解】设和交于点，AC BD O 中，，，则1A AB △12,1AA AB ==160A AB ∠=︒1A B ===同理1A D =中，，，则1A DB△11A B A D ==BD=1A O ==中，，则，即1A AO12,AA AO ==1A O=2221111cos 2AA AO A O A AO AA AO +-∠==⨯⨯145A AO ∠=︒，过作底面，垂足在对角线上，11A AD A AB ∠=∠ ∴1A 1A E ⊥ABCD E AC 在中，，，则1Rt A AE 12AA =145A AO ∠=︒1AE =此棱柱的体积为21V Sh ===9．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该正四棱锥的高为边长的一个正方形面积与该正四棱锥一个侧面三角形的面积相等，则此正四棱锥侧面与底面所成的二面角的余弦值为______．【分析】如图在正四棱锥中，，为边上的中点，则即为侧面P ABCD -AC BD O = M BC OMP ∠与底面所成角的平面角，再设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角PBC ABCD P ABCD -d a 形底边上的高为，根据题意求出的关系，从而可得出答案.h ,a h 【详解】如图在正四棱锥中，，为边上的中点，P ABCD -AC BD O = M BC 则为正四棱锥的高，，OP P ABCD -,PM BC OM BC ⊥⊥则即为侧面与底面所成角的平面角，OMP ∠PBC ABCD 设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形底边上的高为，P ABCD -d a h 根据题意得，该四棱锥的高为边长的正方形面积，21S d =该四棱锥一个侧面三角形的面积，212S ah =又因，且，所以，即，12S S =2224a h d =+22142a h ah-=2211024h h a a -⋅-=因此，h a=112cos2aOM OMPMP h ∠====.10．对于任意正整数，定义“的双阶乘”如下：对于是偶数时，n n !!n n ；对于是奇数时，.现有如下四个()()!!24642n n n n =--⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯n ()()!!24531n n n n =--⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯命题：①；②；③的个位数是；④的个()()2021!!2022!!2022!⋅=10112022!!21011!=⋅2022!!02023!!位数是.正确的命题序号为______.5【答案】①②③④【分析】根据的双阶乘的定义可直接验证知①正确；将展开式各项提出之后，即可知②n 2022!!2正确；由展开式中含因数因数可知③正确；结合的个位数可推导得④正确.2022!!102019!!【详解】对于①，()()()(2021!!2022!!20212019201731202220202018⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅，①正确；)422022202120203212022!⨯⨯=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=对于②，，(10112022!!20222020201864221011101010093=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯)10112121011!⨯⨯=⋅②正确；对于③，的展开式中含因数，其个位数为，③正确；2022!! 10∴0对于④，，2019!!20192017201597531=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯ 的个位数与的个位数相同，个位数为；∴2019!!13579⨯⨯⨯⨯5又，的个位数与相同，个位数为，④正确.2023!!202320212019!!=⨯⨯2023!!∴315⨯⨯5故答案为：①②③④.11．在直三棱柱中，AB ⊥BC ，，点P 在棱BC 上运动，则过点P 且111ABC A B C -12AB BC CC ===与AC 垂直的平面α截该三棱柱所得的截面面积的最大值为______.【答案】【分析】根据线线垂直，证明线面垂直，找到与垂直的平面，从而平面平面AC 1MNB B //α，由此能求出过点且与垂直的平面截该三棱柱所得的截面面积的最大值．1MNB BP AC α【详解】取中点为，中点为，连接，，，AC M 11A C N BM 1B N MN 则有，且，BM AC ⊥1//BB MN 因为三棱柱是直三棱柱，故平面,111ABC A B C -1BB ⊥ABC 所以平面，即，，所以平面，MN ⊥ABC MN AC ⊥BM MN M = AC ⊥1MNB B 平面平面，∴//α1MNB B 因为点在棱上运动，当点运动到点时，此时截面最大，进而面积最大，P BC ∴P B，此时12BM AC ==2MN =N N 2BM B S MB M =⋅==故答案为：12．空间给定不共面的A ，B ，C ，D 四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A ，B ，C ，D 中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的ααα2倍，这样的平面的个数是___________个α【答案】32【分析】按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解【详解】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性：α（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有个，4832⨯=故答案为：32二、单选题13．在三棱锥中，若，，那么必有（ ）A BCD -AD BC ⊥AD BD ⊥A ．平面平面B ．平面平面ADC ⊥BCD ABC ⊥BCD C ．平面平面D ．平面平面ABD ⊥ADC ABD ⊥ABC【答案】A【解析】由已知条件推导出平面，结合面面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；利AD ⊥BCD 用面面垂直的性质定理可判断BCD 选项的正误.【详解】，，且，平面.AD BC ⊥ AD BD ⊥BC BD B = AD ∴⊥BCD 对于A 选项，平面，所以，平面平面，A 选项正确；AD ⊂ ADC ADC ⊥BCD 对于B 选项，若平面平面，过点在平面内作，如下图所示：ABC ⊥BCD A ABC AE BC ⊥由于平面平面，平面平面，，平面，ABC ⊥BCD ABC ⋂BCD BC =AE BC ⊥AE ⊂ABC 平面，AE ∴⊥BCD 又平面，过点作平面的直线有且只有一条，假设不成立，B 选项错误；AD ⊥ BCD A BCD 对于C 选项，若平面平面，平面平面，，平面，ABD ⊥ADC ABD ⋂ADC AD =AD BD ⊥BD ⊂ABD 平面，BD ∴⊥ADC 平面，则，而与是否垂直未知，C 选项错误；CD ⊂ ADC BD CD ⊥BD CD 对于D 选项，过点在平面内作，垂足为点，D ABD DF AB ⊥F若平面平面，平面平面，，平面，ABD ⊥ABC ABD ⋂ABC AB =DF AB ⊥DF ⊂ABD 所以，平面，DF ⊥ABC 平面，，BC ⊂ ABC BC DF ∴⊥，，平面，BC AD ⊥ DF AD D ⋂=BC ∴⊥ABD 平面，，但与是否垂直未知，D 选项错误.BD ⊂ ABD BC BD ∴⊥BC BD 故选：A.【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法：（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理.在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.14．下列命题中，正确的是（ ）A ．一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交B ．一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面C ．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线D ．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行【答案】C【分析】由空间中直线与直线的位置关系，结合异面直线的定义逐一分析四个选项得答案．【详解】一条直线和两条平行直线中的一条相交，则和另一条相交或异面，A 错误；一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，设a ∥b ，l 与a 确定一个平面，则l 与a 平行或相交，如下图l 与a 相交的情况，l 与b 异面，B 错误；一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条如果不是异面直线，即与另一条平行，由平行公理知：三条直线互相平行，与题设有矛盾，C 正确；一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行或直线与两平行直线都异面， D 错误．故选：C 15．正方体的棱长为1，点P 在正方体内部及表面上运动，下列结论错误的是1111ABCD A B C D -（ ）A ．若点P 在线段上运动，则AP 与所成角的范围为1D C 1AB ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．若点P 在矩形内部及边界上运动，则AP 与平面所成角的取值范围是11BDD B 11BDD B ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若点P 在内部及边界上运动，则AP 11D B C △D ．若点P 满足，则点P 轨迹的面积为1AP =π2【答案】B【分析】根据线线角的定义可知：当点与重合时最小，点在的中点时最大即可确定P 1,C D P 1D C T 范围.当垂直时，线面角最大，当与重合时,线面角最小；当平面时，此时最P 11,D B AP ⊥11D B C AP 小;根据点的运动轨迹为球面的一部分即可求解.P 【详解】连接,则为等边三角形，当点与重合时，AP 与所成角最小11,,AD AC D C 1ACD △P 1,C D 1A B 为，当点在的中点时，AP 与所成角最大为，故A 对.π3P 1D C T 1A B π2连接交于,故,则平面,故当与重合时，AC BD O 11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=AO ⊥11BDD B P O AP 与平面所成角最大为，当与重合时,此时长度最大，此时AP 与平面11BDD B π2P 11,D BAP 所成角最小，最小角为,故 AP 与平面所成角的取值范围是，故11BDD B 1π6AD O ∠=11BDD B ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦B 错误.四面体，等边11111AC AD AC B D B C CD ======∴ 11A CB D -，当平面11D B C △AP ⊥时，此时故C 对.点P 满足时，此时在以为球心，半径为1的11D B C AP 1AP =P A 球面上，又因为点P 在正方体内部及表面上运动，故点在的球面上运动，故面积为P 18，故D 对.21π4π1=82⨯⨯故选:B16．空间中到正方体棱，，所在的直线距离相等的点有（ ）1111ABCD A B C D -11A D AB 1CC A ．0个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，连接，并在上任取一点，设1B D 1B D P ，其中，作平面，垂足为，再作，垂足为，即可得到点(,,)P a a a 01a ≤≤PE ⊥1A D E 11EF A D ⊥F 到直线的距离，同理得到点到直线的距离，即可判断.P 11A D P 1AB CC 、【详解】在正方体上建立如图所示空间直角坐标系，1111ABCD A B C D -并设该正方体的棱长为1，连接，并在上任取一点，1B D 1B D P 因为，所以设，其中.1(1,1,1)DB = (,,)P a a a 01a ≤≤作平面，垂足为，再作，垂足为，PE ⊥1A D E 11EF A D ⊥F则是点到直线的距离，所以PF P 11A D PF =同理点到直线P 1AB CC 、所以上任一点与正方体的三条棱、所在直线的距离都相等，1B D 1111ABCD A B C D -1AB CC 、11A D 所以与正方体的三条棱所在直线的距离相等的点有无数个.1111ABCD A B C D -111AB CC A D 、、故选：D.三、解答题17．如图，梯形ABCD 满足AB//CD ，，现将梯形ABCD90,1,30ABC AB BC BAD ∠===∠= 绕AB 所在直线旋转一周，所得几何体记叙Ω(1)求的体积VΩ(2)求的表面积S Ω【答案】 (2)3π+【详解】试题分析：（1）旋转体为一个圆锥与一个圆柱，根据圆柱与圆锥体积公式求体积，最后求和得的体积V （2）表面积为圆锥侧面积与圆柱侧面积以及一个底面圆的面积之和，代入对应Ω公式可得结果试题解析：18．已知是底面边长为1的正四棱柱，高．求：1111ABCD A B C D -12AA =⑴异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；BD 1AB ⑵四面体的体积．11AB D C 【答案】（1）（2）23【详解】解：⑴连，∵ ，1111,,,BD AB B D AD 1111//,BD B D AB AD =∴异面直线与所成角为，记，BD 1AB 11AB D ∠11AB D θ∠=2221111111cos 2AB B D AD AB B D θ+-==⨯∴ 异面直线与所成角为BD 1AB ⑵连，则所求四面体的体积11,,AC CB CD ．11111111242433ABCD A B C D C B C D V V V --=-⨯=-⨯=19．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，AB ＝AD ＝2，E 、F 分别是AB 、BC 的中点．(1)证明：A 1、C 1、F 、E 四点共面；(2)求直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）连接AC ，利用三角形中位线和直线平行传递性可证；（2）建立空间直角坐标系，由向量法直接计算可得．【详解】（1）连接AC ，∵E ，F 分别为AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，又∵AA 1∥CC 1，∴四边形ACC 1A 1为平行四边形，∴A 1C 1∥AC ，∴A 1C 1∥EF ，所以A 1，C 1，F 、E 四点共面；（2）如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A 1（2，0，1），E （2，1，0），F （1，2，0），C （0，2，0），D 1（0，0，1），则，()()()111,1,0,0,1,1,0,2,1EF A E CD =-=-=- 设平面A 1C 1FE 的法向量为，(),,n x y z = 故，取x ＝1，得，100n EF x y n A E y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ()1,1,1n = 记直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角为θ，则11sin n CD n CD θ⋅===⋅ 直线CD 1与平面A 1C 1FE 所成的角为．20．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1，(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ；(2)求三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值；(3)若BC ，点E 在线段PB 上，求CE +OE 的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)13【分析】（1）由题意可证AC ⊥DO ，又PO ⊥AC ，即可证明AC ⊥平面PDO .（2）当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大且最大值为1，又AB ＝2，即可求△ABC 面积的最大值，又三棱锥P ﹣ABC 的高PO ＝1，即可求得三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值.（3）可求，即有PB ＝PC ＝BC ，由OP ＝OB ， ，可证E 为PBPB PC ===C P C B ''=中点，从而可求，从而得解.OC OE EC ='+'【详解】（1）在△AOC 中，因为OA ＝OC ，D 为AC 的中点，所以AC ⊥DO ，又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC ，因为DO ∩PO ＝O ，平面，所以AC ⊥平面PDO .,DO PO ⊂PDO （2）因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1，又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为，又因为三棱锥P ﹣ABC 的高PO ＝1，12112⨯⨯=故三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为：.111133⨯⨯=（3）在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以PB =同理PC PB ＝PC ＝BC ，在三棱锥P ﹣ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面，BC P '使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，共线时，CE +OE 取得最小值，C '又因为OP ＝OB ，，所以垂直平分PB ，即E 为PB 中点.C P C B ''=OC '从而＝OE +亦即CE +OE OC 'EC '21．如图在四面体ABCD 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，△DBC 为直角三角形，其中D 为直角顶点，．E 、F 、G 、H 分别是线段AB 、AC 、CD 、DB 上的动点，且四边形EFGH 60DCB ∠=︒为平行四边形．(1)求证：BC ∥平面EFGH(2)试探究当二面角从0°增加到90°的过程中，线段DA 在平面BCD 上的投影所扫过的A BC D --平面区域的面积；(3)设（），且△ACD 是以CD 为底的等腰三角形，当为何值时，多面体ADEFGHAEAB λ=()0,1λ∈λ的体积恰好为?14【答案】(1)证明见解析(3)12【分析】（1）利用线面平行的性质和判定定理可证明；（2）找到在平面BCD 上的投影轨迹，即A 可求出面积；（3），用分别表示四棱锥、四面体A EFGH ADEFGH V V -=多面体A DGH V -+λA EFGH -与四面体的体积比，求解可得结果.A DGH -A BCD -λ【详解】（1）证明:四边形EFGH 为平行四边形，.//EF GH ∴而面面BCD ，面BCD .GH Ì,BCD EF ⊂///EF ∴而面ABC ，面面，.EF ⊂ABC ⋂BCD BC =//EF BC ∴而面面EFGHEF ⊂,EFGH BC ⊂面EFGH .//BC ∴（2）,AB AC =在平面BCD 上的投影满足，即在平面BCD 上的投影在线段BC 的中垂线上.A ∴AB AC =A 如图所示，将补成边长为2的正三角形，Rt BCD BCM当二面角为角时，即点在平面BCD 上，此时为，A BC D --0︒A A M 当二面角为角时，此时为BC 中点，A BC D --90︒A N 故DA 在平面BCD 上的投影所扫过的平面区域为，DMN而14DMN MBC S S ==故线段DA 在平面BCD （3），且为等腰三角形，.2,1AC CD == ACD 2AD ∴=取BC 中点，由题意得:，O ,OA BC OA ⊥=12BC OD ==满足，根据勾股定理可知222OA OD AD +=OA OD⊥平面OA ∴⊥1111.3322A BCD BCD BCD V S OA CD BD OA -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯= 而多面体ADEFGH 的体积恰好为，即多面体ADEFGH 的体积恰为四面体ABCD 体积的一半.14连接AH 、AG ，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，F ABD F h C ABD C h A-EFH A-EFH 22A EFGH A BCD A BCD C ABDV V V V V V ----==12313F AEH ABD C h S h S ⨯⨯=⨯⨯⨯ 22=2(1)S AEH AF S ABD ACλλ⋅=-⋅ 22(1)A EFGH A BCD V V λλ--∴=-⋅⋅设点到平面的距离为，A BCD A h A DGHA BCD V V --1313A A DGH BCD h h S S ⋅=⋅⋅⋅ 2DGH DBC S S λ== .2A DGH A BCD V V λ--∴=⋅A EFGH ADEFGH V V -∴=多面体2(32)A DGH A BCDV V λλ--+=-⋅12A BCD V -=，整理得21(32)2λλ∴-=，()2122102λλλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭解得舍去).12λλ⎛== ⎝。
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题(1)
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知(4,6)A 、(3,1)B --、(5,5)C -三点，则经过点A 且与BC 平行的直线l 的点斜式方程为________2．已知1,2a b ==，且()()2a b a b λλ+⊥-，a 与b 的夹角60︒，则实数λ=____________3．直线320x y ++=与直线10x +=的夹角为______. 4．设变量x ，y 满足约束条件0{1030y x y x y ≥-+≥+-≤，则2z x y =+的最大值为 ．5．圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为_____________． 6．关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m n =________ 7．对任意实数m ，圆2224620x y mx my m +--+-=恒过定点，则其坐标为______.8．在行列式274434651xx --中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是________.9．已知定点()0,5A -，P 是圆()()22232x y -++=上的动点，则当PA 取到最大值时，P 点的坐标为______.10．已知P 是△ABC 内的一点，且满足350PA PB PC ++=，记△ABP 、△BCP 、△ACP 的面积依次为1S 、2S 、3S ，则::123S S S =________11．若直线y x b=+与曲线3y =b 的取值范围是______．12．已知1a >，1x ≥，1y ≥，且224444log log log ()log ()a a a a x y a x a y +=+，则log ()a xy 的取值范围是_______二、单选题13．已知直线方程为13510231x y =-，则下列各点不在这条直线上的是（ ）A ．(2,3)-B ．(4,7)C ．(3,5)D ．1(,4)214．与直线2x +3y –6=0关于点（1，–1）对称的直线方程是（ ）A ．2x +3y +8=0B ．2x +3y +7=0C ．3x –2y –12=0D ．3x –2y +2=015．设O 是△ABC 所在平面上的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不对 16．关于x 的方程210tan sin x x θθ+-=有两个不等实根a 和b ，那么过点()2,A a a ，()2,B b b 的直线与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．随θ值的变化而变化三、解答题 17．利用行列式解关于,x y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩. 18．设两个向量a b ⋅，满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为3π，若向量2t a ＋7b 与a ＋t b 的夹角为钝角，求实数t 的范围．19．已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，求：（1）直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程；（2）直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程.20．已知(0,2)A 是定圆22:16C x y +=内的一个定点，D 是圆上的动点，P 是线段AD 的中点，求：（1）P 点所在的曲线方程E ；（2）过点A 且斜率为34-的直线与曲线E 交于M 、N 两点，求线段MN 的长度. 21．平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，r (0)r >为半径的定圆1C ，与过原点且斜率为k (0)k 的动直线交于P 、Q 两点，在x 轴正半轴上有一个定点(,0)R m ，P 、Q 、R 三点构成三角形，求：（1）△PQR 的面积1S 的表达式，并求出1S 的取值范围；（2）△PQR 的外接圆2C 的面积2S 的表达式，并求出2S 的取值范围.参考答案1．()1642y x -=-- 【分析】首先求得直线BC 的斜率，根据点斜式求得直线l 的方程.【详解】直线BC 的斜率为()15413582BC k ---==-=---，所以直线l 的点斜式方程为()1642y x -=--. 故答案为：()1642y x -=-- 【点睛】本小题主要考查已知直线上两点的坐标求斜率，考查直线的点斜式方程，属于基础题.2．-1±【分析】根据向量垂直得()()20a b a b λλ+⋅-=，结合数量积公式即可求出，【详解】 ()()2a b a b λλ+⊥-，所以()()20a b a b λλ+⋅-=即()2222220220a a b b λλλλλλ+-⋅-=⇒-+-=∴= -1±故答案为：-1±【点睛】本题考查向量的数量积及垂直关系，准确计算是关键，是基础题3．60︒【分析】分别求得题目所给两条直线的倾斜角，由此求得两条直线的夹角.【详解】直线20x +=的斜率为3-，倾斜角为150.直线10x +=的倾斜角为90，所以两条直线的夹角为1509060-=.故填：60.【点睛】本小题主要考查两条直线夹角的计算，考查直线的倾斜角，属于基础题.4．6【详解】根据题意画出约束条件对应的可行域，可知目标函数在点(3,0)处取得最大值，所以带入得6，即答案为6．5．22(1)(2)4x y -+-=【分析】利用点到直线距离公式求出半径即可.【详解】因为圆与直线51270x y --=相切，所以圆心 (1,2)到直线51270x y --=的距离等于半径， 即511227213r d ⨯-⨯-===， 所以圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，故答案为：22(1)(2)4x y -+-=【点睛】本题主要考查利用直线与圆的位置关系求圆的方程，属于基础题.6．35【分析】先由题意，得到31x y =⎧⎨=⎩即是原方程组的解，代入原方程组，求出,m n ，即可得出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以31x y =⎧⎨=⎩即是原方程组的解，代入原方程组，可得：65332m n +=⎧⎨-=⎩， 解得：153m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，因此35=-m n . 故答案为：35 【点睛】本题主要考查由二元一次方程组的增广矩阵求参数的问题，熟记二元一次方程组的矩阵表示即可，属于常考题型.7．()1,1、17,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】将圆的方程重新按m 合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.【详解】由2224620x y mx my m +--+-=由得()2222320m x y x y -+-++-=，故2223020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故填：()1,1、17,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.8．1x =-【分析】根据余子式定义得到()4244x x f x =-⨯+⨯，换元()20xt t =>，得到方程2441t t -=-，计算得到答案.【详解】24()424444xx x x f x =-=-⨯+⨯，则1()y f x =+的零点等于与方程()1f x =-的解. 设()20x t t => 则214412t t t -=-∴= 故1x =- 故答案为1x =-【点睛】本题考查了行列式的余子式，函数零点问题，换元可以简化运算，是解题的关键. 9．()3,2-【分析】连接A 和圆心C ，交圆于点P ，作出图像.求得直线AC 的方程，联立直线AC 的方程和圆的方程，求得交点P 的坐标.【详解】连接A 和圆心C ，交圆于点P ，作出图像如下图所示.此时PA 取得最大值.圆心坐标为()2,3-，故直线AC 的方程为()()503520y x ---=----，即5y x =-.由()()225232y x x y =-⎧⎪⎨-++=⎪⎩解得()3,2P -，（点()1,4-舍去）.故填：()3,2-.【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系，考查直线和圆的交点坐标的求法，考查圆的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.10．5:1:3【分析】记ABC ∆的面积为S ，由已知可得123511,,993S S S S S S ===，从而求得123::S S S 的值. 【详解】记ABC ∆的面积为S ，因为350PA PB PC ++=，所以135888PA PB PC -=+，记3588PB PC PD +=，则,,B C D 三点共线，且18PA PD -=，即D 在BC 上，且:5:3BD CD =，:1:9PD AD =，即以BC 为底时，BCP ∆的高是ABC ∆的19，所以219S S =.同理可求得1351,93S S S S ==.所以123::5:1:3S S S =. 故答案为：5:1:3【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查三点共线，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．1⎡⎤-⎣⎦【分析】由曲线x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，0≤x≤4，直线y=x+b 与曲线y=3+2，3）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2，由此结合图象能求出实数b 的取值范围．【详解】由曲线得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，0≤x≤4，∵直线y=x+b 与曲线∴圆心（2，3）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2，即21b d =≤⇒-≤≤∵0≤x≤4，∴x=4代入曲线y=3，把（4，3）代入直线y=x+b ，得b min =3﹣4=﹣1，②联立①②，得-1b 1≤≤+∴实数b 的取值范围是[﹣1，]．故答案为1,1⎡-+⎣.【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．12．[24++ 【分析】首先利用对数运算对已知条件进行化简，换元后转化为直线与圆的位置关系，来求得log ()a xy 的取值范围.【详解】依题意224444log log log ()log ()a a a a x y a x a y +=+，化简得22log 4log log 4log 8a a a a x x y y -+-=，令log ,log a a m x n y ==，则有22448n m n m +--=，以及()log a xy n m =+.因为1a >，1x ≥，1y ≥，所以0,0n m ≥≥，则由22448n m n m +--=得()()()2222240,0n m n m -+-=≥≥，表示以()2,2为圆心，半径为4的圆在第一象限的部分（包括与,x y 轴正半轴的交点）.令()()log 0a xy n m z z =+=≥，则0n m z +-=.画出图像如下图所示.当直线0n m z +-=过,A B 两点时，z 取得最小值，当直线0n m z +-=与圆相切时，z 取得最大值.令0n =代入22448n m n m +--=，解得2m =+，所以min 2z =+当直线0n m z +-=与圆()()()2222240,0n m n m -+-=≥≥相切时，圆心到直线的距离4d ==，解得4z =+max 4z =+.所以z 的取值范围，也即log ()a xy 的取值范围为[24++.故答案为：[24++【点睛】本小题主要考查对数运算，考查直线和圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 13．B 【分析】先由题意得到直线方程为：25190-+=x y ，根据选项，逐项代入验证，即可得出结果. 【详解】因为135152910332519231=-++--=-+-x y x y y x x y ，所以，由13510231x y =-得，25190-+=x y ；当2x =-，3y =时，25190-+=x y ，故点(2,3)-在直线25190-+=x y 上； 当4x =，7y =时，251980-+=-≠x y ，故点(4,7)不在直线25190-+=x y 上； 当3x =，5y =时，25190-+=x y ，故点(3,5)在直线25190-+=x y 上； 当12x =，4y =时，25190-+=x y ，故点1(,4)2在直线25190-+=x y 上. 故选：B 【点睛】本题主要考查点与直线位置关系，只需由点的坐标代入直线方程验证即可，本题需熟记直线的矩阵形式，属于常考题型. 14．A 【分析】在所求直线上取点（x ，y ），求出其关于点（1，–1）对称的点，代入到原直线方程，得到答案. 【详解】在所求直线上取点（x ，y ），则关于点（1，–1）对称的点的坐标为（2–x ，–2–y ）， 代入直线2x +3y –6=0，可得2（2–x ）+3（–2–y ）–6=0， 整理得2x +3y +8=0． 故选：A ． 【点睛】本题考查直线关于点对称，属于简单题. 15．A 【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算以及数量积运算，证得AB AC =，由此证得ABC ∆是等腰三角形. 【详解】由()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，得()()0CB OB OA OC OA ⎡⎤⋅-+-=⎣⎦，()()0AB AC AB AC -⋅+=，220ABAC -=，所以AB AC =，所以ABC ∆是等腰三角形. 故选：A 【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 16．B 【分析】由根与系数的关系得到+a b 和ab ,根据两点的坐标求出直线方程,再根据圆心到直线的据求出距离等于圆的半径,可得答案. 【详解】因为关于x 的方程210tan sin x x θθ+-=有两个不等实根a 和b , 所以ab ,1tan a b θ+=-,1sin ab θ=-, 因为过点()2,A a a，()2,B b b 的直线方程为222()a b y a x a a b--=--,化简得()0a b x y ab +--=,1==11==,所以过点()2,A a a ，()2,B b b 的直线与圆221xy +=的位置关系是相切.故选B. 【点睛】本题考查了根与系数的关系,由两点坐标求直线方程,点到直线的距离,直线与圆相切,属于中档题.17．当0m =，无解；当3m =-，无穷解；当0m ≠且3m ≠-，唯一解，1x m=，2y =-. 【分析】先求出系数行列式,,x y D D D ，然后讨论m ，从而确定二元一次不等式组的解的情况. 【详解】 依题意()21333m D m m m m m m==--=-+-，11323x D m m m-==--+-，()212623323y m D m m m m m m -==+=++.（1）当0m ≠且3m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解，11x x D D m=⨯=，12y y D D=⨯=-. （2）当0m =时，0,30x D D ==-≠，原方程组无解. （3）当3m =-时，0,0,0x y D D D ===，原方程组有无穷组解.综上所述，当0m =，无解；当3m =-，无穷解；当0m ≠且3m ≠-，唯一解，1x m=，2y =-.【点睛】本小题主要考查二元一次不等式组的矩阵形式的解法以及应用，解题时要注意系数矩阵的性质的合理运用.18．17,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】先由已知条件求出向量a b ，的数量积，再由夹角为钝角即数量积小于零，求出t 的范围，再求出共线时t 的值，继而求出结果 【详解】12112a b ⋅=⨯⨯=， 由向量27ta b +与a tb+的夹角为钝角，得()()27027ta b a tb ta b a tb+⋅+<++ ，即()()270ta b a tb +⋅+<，化简即得221570t t ++<，解得172t <<－－ 又当27ta b +与a tb+共线时，满足271t t =，解得t 2=± ∴当t 2=-时两向量反向，不符合题意，故舍去则t 的范围为17,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为17,222⎛⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，当遇到夹角为钝角时即转化为数量积小于零，还要注意舍去共线向量的情况19．（1）6min S =，:360l x y +-=；（2）min 4S =+1l =.【分析】（1）设出直线l 的截距式方程，结合基本不等式求得直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程.（2）设出直线l 的截距式方程，结合基本不等式求得直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程. 【详解】（1）设直线方程为()10,0x y a ba b +=>>，则131a b +=，所以131a b =+≥=12ab ≥≥，当且仅当131,2,62a b a b ====时等号成立，直线l 与坐标轴围成面积为111126222S ab ab ==≥⨯=，此时直线方程为126x y+=，即360x y +-=.（2）设直线方程为()10,0x ya b a b +=>>，则131a b+=，所以()1334b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭44≥+=+当且仅当3b a a b =，即13a b ==+1=.【点睛】本小题主要考查直线的截距式方程，考查基本不等式求最值，属于中档题.20．（1）22(1)4x y +-=；（2；【分析】（1）设出P 点坐标，利用中点坐标公式求得D 点坐标，将D 坐标代入圆的方程，化简后求得P 点所在的曲线方程. （2）求得过点A 且斜率为34-的直线方程，利用直线和圆相交的弦长公式，求得线段MN 的长度. 【详解】（1）设(),P x y ，由于P 是AD 的中点，所以()2,22D x y -，因为D 在圆2216x y +=上，所以()()2222216x y +-=，化简得22(1)4x y +-=.（2）过点A 且斜率为34-的直线方程为324y x -=-，化简得3480x y +-=，圆22(1)4x y +-=的圆心()0,1到直线3480x y +-=的距离为45，所以线段MN的长度为25=. 【点睛】本小题主要考查代入法求轨迹方程，考查直线和圆相交所得弦长的求法，属于基础题.21．（1）1S =,10S mr <<；（2）()222222221144m r m r k S m π⎡⎤⎛⎫-++⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=， ()222224m r S mπ+⋅>.【分析】（1）求得R 到直线PQ 的距离，由此求得三角形PQR 的面积1S 的表达式，并由此求得1S 的取值范围.（2）设动直线的倾斜角为α，根据题意得到tan ,sin k αα==设出,P Q 的坐标，利用三角形外接圆半径公式求得三角形PQR 外接圆半径的表达式，由此求得2S ，并求得2S 的取值范围. 【详解】（1）(,0)R m 到直线(0)y kx k =≠，所以三角形PQR的面积为1122S r =⨯=mr =<.所以10S mr <<. （2）设动直线的倾斜角为α，0,,22ππαπ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan ,sin k αα==画出图像如下图所示.设()()cos ,sin ,cos ,sin P r r Q r r αααα--，而(,0)R m .所以2PQ r =，PR =，QR =由（1）得1sin S mr α==⋅. 所以三角形PQR 的外接圆半径为14PQ PR QRS ⋅⋅====.所以()222222221144m r m r k S m π⎡⎤⎛⎫-++⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=.由于2111k +>，所以()()22222222222444m r m r m r S m m ππ-++>⋅=⋅，即()222224m r S mπ+⋅>.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查三角形外接圆半径以及外接圆面积的计算，属于难题.。
控江中学高二上期末解析(2020.1)
控江中学高二上期末数学试卷2020.01一、填空题1．经过点(1,0)，且以(2,5)d =r为一个方向向量的直线l 的方程为 ．2．过点(4,3)，且与圆2225x y +=相切的直线l 的方程为 ．3．焦点为(-与的等轴双曲线的方程为 ．4．平面上到两定点(4,0)与(4,0)-的距离之和为8的动点的轨迹方程为 ．5．若不垂直于x 轴的直线10kx y -+=与直线20x y -=所成的角的大小为实数k 的值为 ．6．已知t 是实数．设向量(3,4)a =r，向量(2,1)b =r ．若()a a tb ⊥-r r r ，则t 的值为 ． 7．直线25y x =+被圆22(1)(2)14x y -+-=所截得的弦AB 的长度为 ．8．设动点A 的轨迹为抛物线24y x =，点(2,0)B 为定点．若线段AB 的中点为点P ，则点P 的轨迹方程为 ．9．椭圆2221(04)16x y b b +=<<的左焦点为F ，以F 为一端点、该椭圆上的动点为另一端点的所有线段的长度中，最大值记为M ，最小值记为m ．若7M m =，则b = ．10．设P 是双曲线22136x y -=上的一点，1F 、2F 是该双曲线的左、右焦点．若1212()()72F P F P F P F P +⋅-=u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则1||F P =u u u r__________．11．设λ是正实数，三角形ABC 所在平面上的另三点111,,A B C 满足：1()A A A B A C λ=+u u u u r u u u r u u u r，1()BB BC BA λ=+u u u u r u u u r u u u r ，1()CC CA CB λ=+u u u u r u u u r u u u r．若三角形ABC 与三角形111A B C 的面积相等，则λ的值为__________．12．在平面直角坐标系中，已知点1F 、2F 、3F 的坐标分别为(0,2)-、(2,2)、(5,2)-．该平面上的动点P 满足123||||||2019PF PF PF ++=．已知动点P 的轨迹是轴对称图形，该图形的一条对称轴的方程为__________（只需写出满足题意的一个方程）．二、选择题13．已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ）． （A ）(,20)-∞（B ）(,5)-∞（C ）(5,)+∞（D ）(20,)+∞14．设直线l 的方程为2430x y +-=，直线m 的方程为260x y +-=，则直线l 与m 的距离为（ ）． （A ）35（B ）35（C ）95（D ）9515．开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”．如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F 处．从行星位于长轴端点P 这一位置开始计算，它再次运行到点P 所经过的时间为T ．根据开普勒第二定律，从P 开始经过4T时间，行星的位置可能在（ ）． （A ）A 点处 （B ）B 点处 （C ）C 点处 （D ）D 点处16．设P 、Q 是椭圆2214x y +=上相异的两点．设(2,0)A ，(0,1)B ．命题甲：若||||A P A Q =，则P 与Q 关于x 轴对称； 命题乙：若||||BP BQ =，则P 与Q 关于y 轴对称．关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ）． （A ）甲和乙都是真命题（B ）甲是真命题，乙是假命题 （C ）甲是假命题，乙是真命题（D ）甲和乙都是假命题三、解答题17．已知向量1(1,2)e =r 与2(4,2)e =r是平面上的一组基向量．（1）设向量(1,4)v =-r ，试用向量1e r 与2e r表示v r ；（2）设t 是实数，向量(6,)b t =r ．设b r 与1e r 的夹角为α， b r 与2e r的夹角为β．若αβ=，求t 的值．18．已知m 为实数．设直线1l 的方程为21x my +=，直线2l 的方程为82mx y m +=-． （1）若1l 与2l 平行，求m 的值；（2）当1l 与2l 相交时，用m 表示交点A 的坐标，并说明点A 一定在某一条定直线上．19．设双曲线Γ的方程为2214y x -=．（1）设l 是经过点(1,1)M 的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l 的方程；（2）设1l 是Γ的一条渐近线，A 、B 是1l 上相异的两点．若点P 是Γ上的一点，P 关于点A 的对称点记为Q ，Q 关于点B 的对称点记为R ．试判断点R 是否可能在Γ上，并说明理由．20．已知抛物线P 的焦点为(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-．若三角形ABC 的三个顶点都在抛物线P 上，且0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，则称该三角形为“向心三角形”．（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？说明理由； （2）设“向心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知三角形ABC 是“向心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2．21．设椭圆E 的方程为2212x y +=．斜率为1的动直线l 交椭圆E 于A 、B 两点，以线段AB 的中点C 为圆心，||A B 为直径作圆S ．（1）求圆心C 的轨迹方程，并描述轨迹的图形； （2）若圆S 经过原点，求直线l 的方程； （3）证明：圆S 内含或内切于圆223x y +=．参考答案一、填空题1．5250x y --= 2．43250x y +-= 3．22144x y -= 4．0,(44)y x =-≤≤5．34 6．52 7．6 8．222y x =- 9．7 10．73 11．2312．210x y +-=【第9题解析】由椭圆“近日、远日”的相关知识，得4M a c c =+=+，4m a c c =-=-， 由7M m =，解得3c =，∴227b a c =-=． 【第10题解析】221212121212()()72||||(||||)(||||)72F P F P F P F P F P F P F P F P F P F P +⋅-=⇒-=-+=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r， 由双曲线定义知12||||223F P F P a -==u u u r u u u u r ，∴12||||123F P F P +=u u u r u u u u r ，于是可得1||73F P =u u u r．【第11题解析】记A BC △的重心为G ， 则由题意，A BC △与111A B C △关于G 中心对称， 即11112()()2323A G A A AB AC A B A C λλ=⇒+=+⇒=u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．【第12题解析】易得1323||||5F F F F ==，∴123F F F △为等腰三角形， 于是由动点P 的轨迹是轴对称图形，猜测对称轴为123F F F △ 底边12F F 上的高所在直线，其方程为210x y +-=．二、选择题13．B 14．C 15．A 16．B【第16题解析】乙的反例：||||5BP BQ ==，(2,0)P ，252(,)3Q -．三、解答题17．（1）设(1,2)(4,2)(1,4)x y +=-，即41,22 4.x y x y +=-⎧⎨+=⎩解得3x =，1y =-． 故123v e e =-r r r．（4分）（注：直接写出答案建议给满分）（2）11cos ||||e b e b α⋅==r r r r （7分）22cos ||||e b e b β⋅=r r r r（9分）因,[0,]αβπ∈，故题意即242622tt ++=， （11分） 解得t 的值为6．（14分）18．（1）1l 与2l 平行的一个必要条件为系数行列式221608mD m m==-=， 解得4m =±．（2分） 当4m =时，两直线重合，不合题意． （4分） 当4m =-时，两直线的确平行，因此m 的值为4-． （6分）（2）212828x m D m m m ==-++-，2142y D m mm ==--, 因此两直线的交点为21,44m A m m +⎛⎫- ⎪++⎝⎭．（10分）因此，点A 在直线210x y --=上． （14分） 19．（1）当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，和双曲线Γ的确有且仅有一个公共点． （1分） 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1(1)y k x -=-，与Γ的方程联立，得到224(1)40x kx k --+-=．整理得222(4)2(1)((1)4)0k x k k x k +-+---=． （3分） 因此2k =±满足题意．（4分）而当2k ≠±时，题意即判别式22224((1)(4)((1)4))0k k k k ∆=-+--+=，解得52k =． 因此l 的方程为1x =，或210x y --=，或230x y +-=，或5230x y --=． （6分） （2）（解法一） 由双曲线及其渐近线关于一坐标轴的对称性，不妨设,A B 均在渐近线2y x=上．进而设(,2)A u u ，(,2)B v v ．设点P 的坐标为00(,)x y ，其中22014y x -=．这样，点Q 的坐标为00(2,4)u x u y --，点R 的坐标为00(22,44)v u x v u y -+-+．（10分） 而220011(22)(44)4v u x v u y -+-+--222222000000(22)2(22)(22)(22)44y y v u x v u x v u v u y x ⎛⎫=-++------- ⎪⎝⎭-00(22)(2)v u x y =--，注意到v u ≠，故若点R 在Γ上，则002y x =．（12分）但此时22004y x -=，矛盾，因此点R 不在Γ上．（14分） （解法二）由于2QP QA =u u u r u u u u r ，2QR QB =u u u r u u u r，故2PR A B =u u u r u u u r ，因此直线PR 平行于直线AB ．（10分）根据双曲线的性质，平行于渐近线的直线与双曲线的交点不超过一个，而P 已经是Γ上的点，故点R 不在Γ上． （14分）20．（1）抛物线P 的方程为24y x =．（1分）假设这样的“向心三角形”存在，则其第三个顶点的坐标应为3(1,0)(0,0)(1,2)(2,2)--=-．（3分）但是点(2,2)-不在抛物线P 上，矛盾． 因此这样的“向心三角形”不存在．（4分）（2）设直线AB 的方程为4y x m =+，与24y x =联立，整理得20y y m -+=．因此121y y +=，121211(44)22mx x y m y +=+=--．（6分） 由123123(,)(3,0)x x x y y y ++++=得31124m x =+，31y =-．（8分）代入方程24y x =，得1211m =+，解得5m =-，因此直线AB 的方程为45y x =-．（10分）（3）（解法一）设直线BC 的方程为x ny m =+．将该方程与24y x =联立，得2440y ny m --=．由与直线BC 和抛物线P 相交，故判别式216()0n m ∆=+>．（12分）故234y y n +=，从而22342x x n m +=+，因此点A 的坐标为2(423,4)n m n --+-． 因点A 在抛物线P 上，故221616812n n m =--+，故2342m n =-+． （14分）结合20n m +>，得212n <． 故点A 的横坐标22224234842n m n n n --+=-+=<．（16分）（解法二）设,,A B C 三点的坐标分别为2,4a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4c c ⎛⎫⎪⎝⎭．由题意，22212a b c ++=，且0a b c ++=． 因此222222(12)2()()a b c b c a -=++=≥．（13分） 故28a ≤，而当28a =时，b c =，与,B C 不重合相矛盾,（14分） 因此点A 的横坐标24a 小于2．（16分）21．（1） 设直线l 的方程为y x m =+，与方程2212x y +=联立，得222()20x x m ++-=，整理得2234(22)0x mx m ++-=．判别式221624240m m ∆=-+>当且仅当(m ∈． （2分） 此时，12223x x m+=-，因而1223y y m +=．因此，圆心C的轨迹方程为20,x y x ⎛+=<< ⎝⎭．其轨迹为一直线在椭圆E 内的部分．（5分） （2）在(m ∈的前提下，圆S 经过原点当且仅当12120x x y y +=． （7分）而2121212122()x x y y x x m x x m +=+++ 22244433m m m -=-+243m =-，（9分）故S经过原点当且仅当m =． 因此直线l的方程为y x =，或y x =-．（11分）（3）在(m ∈的前提下，原点O 到圆心C的距离为|||OC m ，而圆S的半径为1||2A B == （14分）因此，圆上任一点P 到圆心的距离不大于|||||OC CP m += 设||,0,2m πθθ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎦⎝⎭，则2|arccos3m θθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭因此||OPS 内含或内切于圆223x y +=．（18分）。
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（2）求直线 的点方向式方程.
20．已知向量 ， 的夹角是 ， ， .又有向量 ，向量 ，其中 .
（1）求 （用含有 ， 的表达式）
（2）若 在 处取得最小值，当 ，求角 的范围.
21．如图，设直线 ： ， ： .点 的坐标为 .过点 的直线 的斜率为 ，且与 ， 分别交于点 ， （ ， 的纵坐标均为正数）.
17．已知等比数列 的首项 ，公比为 .
（1）求二价行列式 的值；
（2）试就 的不同取值情况，求解二元一次方程组 .
18．已知向量 ，单位向量 与向量 的夹角为 .
（1）求向量 ；
（2）若向量 与坐标轴不平行，且与向量 垂直，令 .请将 表示为 的函数 ，并求函数 的定义域和最大值.
19．已知如图，坐标平面内点 到两个定点 ， 距离的比 ，且点 到直线 的距离为1.
求出交点坐标，再由两角和的正切公式求得新直线的斜率，可得直线方程．
【详解】
由 得 ，即交点为 ，设直线 的倾斜角为 ， ，则新直线的倾斜角为 ， ，
∴新直线的方程为 ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查直线方程，解题关键是掌握直线旋转过程中倾斜角的变化、斜率的变化．
8．1
【分析】
由 的几何意义，作图求解．
上海市控江中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．计算 ______.
2．直线 的倾斜角为______.
3．行列式 中，第三行第二列的元素8的代数余子式大于0，则实数x满足的条件是_________
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C、D可能同时在线段AB上
D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上
16．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A．（0，1）B． C． D．
三、解答题
【详解】
如图，线段 就是线段 ， 表示线段 上的点 与点 连线的斜率，由图可知当 与 重合时，它取得最大值， ．
故答案为：1.
【点睛】
本题考查斜率的应用，求一个分式的最大值，利用分式的几何意义，它表示直线的斜率，由数形结合思想易得结论．
9．
【分析】
把直线方程按参数 整理，然后根据恒等式知识求解．
【详解】
12．在同一个平面内，向量 的模分别为 与 的夹角为 ，且 与 的夹角为 ，若 ，则 _________．
二、单选题
13．若直线 在第一、二、三象限，则（）
A． B．
C． D．
14．若直线 与 平行,则 的值为（）
A．-1B．1C．-1或2D．±1
15．已知点A,B,C,D是直角坐标系中不同的四点，若 ， ，且 ，则下列说法正确的是( ),
9．若不论 为任何实数，直线 横过一定点，则该定点坐标为______.
10．设 ， 为单位向量，非零向量 ， ，若 ， 的夹角为 ，则 的最小值为______.
11．如图，光线从 出发，经过直线 ： 反射到 ，该光线又在 点被 轴反射.若反射光线恰与直线 平行，且 ，则实数 的取值范围是______.
直线方程可改为 ，
由 ，解得 ，故定点坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查直线过定点问题，直线过定点，对于直线方程中的参数而言是个恒等式，由恒等式知识可求解，也可取两条特殊的直线求出交点坐标，代入验证后可得定点坐标．
10．
【解析】
【分析】
把模转化为数量积运算，化为求二次函数的最小值问题．
【详解】
设 ，则 ，解得 ，即 ，∴ ，
由题意 ，整理得 ，
∵ ，∴ ， ．
故答案为： ．
直线 的斜率为 ，倾斜角为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查求直线的倾斜角，求出直线斜率，由正切函数性质可得倾斜角．注意角的范围．
3．x＞12
【分析】
根据3阶行列式 的元素 的余子式 附以符号 后，叫做 的代数余子式，得元素8的代数余子式为 ，再运算即可得解.
【详解】
解：行列式 中，第三行第二列的元素8的代数余子式为 ，由题意有 且 ，即 ，
【详解】
， ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查两直线的夹角，掌握两直线夹角的定义是解题基础．两直线夹角的范围是 ．
6．－1
【解析】
【分析】
先求出数量积 ，再由投影的定义计算．
【详解】
， ，
∴向量 在 上的投影为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查向量的投影，考查向量数量积的几何意义．属于基础题．
7．
【分析】
（1）求实数 的取值范围；
（2）设 ，求 面积的最小值；
（3）是否存在实数 ，使得 的值与 无关?若存在，求出所有这样的实数 ；若不存在，说明理由.
参考答案
1．
【分析】
由矩阵乘法法则运算．
【详解】
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查矩阵的乘法运算，ຫໍສະໝຸດ 于基础题．2．【分析】
求出斜率，再由反正切得倾斜角．
【详解】
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查了代数余子式的概念及行列式的计算，重点考查了对代数余子式运算法则得理解，属基础题.
4．
【解析】
【分析】
可用向量的加减法法则运算．
【详解】
∵ ，∴ ，所以 ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查向量的线性运算．可以作图，由数乘的定义求解．
5．
【分析】
求倾斜角的差，如果差为钝角，求补角．
由题意 ．
，
∴ 时， 取得最小值 ，即 取得最小值 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查向量的数量积．考查模与数量积的转化．掌握数量积的性质： 是解题关键．
11．
【分析】
作 关于直线l的对称点为M，M关于x轴的对称点为N，由N必在第二次的反射光线所在直线上，可求得 的关系式，从而可得取值范围．
【详解】
如图，设 关于直线l的对称点为M，则M一定在第一次的反射光线所在直线上，设M关于x轴的对称点为N，则N必在第二次的反射光线所在直线上．
4．若 ，且设 ，则实数 ______.
5．两直线的倾斜角分别为 和 ，则这两条直线的夹角为______.
6．已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 在 上的投影为______.
7．如图，把直线 绕着它与直线 的交点，沿着逆时针方向旋转 ，得到的直线方程是______.
8．点 为线段 上的点，则 的最大值是______.