2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二(上)期末数学试卷(解析版)

2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应空格内填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．设非零向量是直线的一个方向向量，则可以是．（只需填写一个）2．直线y＝2x+1与圆x2+y2＝1的位置关系是．3．若直线l的参数方程是（t∈R），则l的斜率为．4．已知点A的坐标为（5，0），点B是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1上的动点，则线段AB 的长的最大值为．5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．6．抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝．7．已知双曲线（常数λ＞0）的一条渐近线为y＝2x，则λ＝．8．已知椭圆的右焦点为F，过原点O作直线交椭圆于A、B两点，点A在x轴的上方．若三角形ABF的面积为2，则点A（p，q）的纵坐标q＝．9．若实数x、y满足，则y﹣2x的取值范围为．10．已知双曲线，F1，F2是Γ的左右焦点，点P是Γ上的点，若|PF1|•|PF2|＝4，则的值为．11．已知点A的坐标为（0，2），点P是抛物线y＝4x2上的点，则使得△OPA是等腰三角形的点P的个数是．12．在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上，画两个圆分别是⊙O1：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2，⊙O：（x+3）2+（y+3）2＝2，并将这两个圆的圆内部分均涂满阴影，过原点画一2条斜率为k的直线l，沿着l将该纸剪成两张纸．若两张纸上阴影部分的面积相等，则k 的值的集合为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分．13．已知常数D、E、F是实数，则“D2+E2﹣4F＞0”是“方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0是圆方程”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件14．在平面直角坐标系xOy中，设点集G＝{（x，y）|y2＝x}，则G中的点都落在曲线（）A．上B．y2＝|x|上C．上D．x2＝y上15．已知曲线Γ的参数方程（0≤θ≤π）．若以下曲线中有一个是Γ，则曲线Γ是（）A．B．C．D．16．已知A、B是双曲线的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA、PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（）A．k1+k2B．|k1﹣k2|C．k1•k2D．三、解答题（本大题满分0分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．设常数m∈R，已知两条直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0．（1）若l1与l2垂直，求m的值．（2）若l1与l2平行，求m的值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），动点P（x，y）满足．（1）若P在线段AB上，求P的坐标．（2）证明P总落在一个定圆上，并给出该定圆的方程．19．已知过点P（2，0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点．（1）若直线l的倾斜角为30°，求l与抛物线C的准线的交点坐标．（2）求弦长|AB|的最小值，并给出相应的直线l的方程．20．已知双曲线的右顶点为A，点B的坐标为．（1）设双曲线Γ的两条渐近线的夹角为θ，求cosθ．（2）设点D是双曲线Γ上的动点，若点N满足、，求点N的轨迹方程．（3）过点B的动直线l交双曲线Γ于P、Q两个不同的点，M为线段PQ的中点，求直线AM斜率的取值范围．21．定义：曲线称为椭圆的“倒椭圆”．已知椭圆，它的“倒椭圆”．（1）写出“倒椭圆”C2的一条对称轴、一个对称中心；并写出其上动点横坐标x的取值范围．（2）过“倒椭圆”C2上的点P，作直线PA垂直于x轴且垂足为点A，作直线PB垂直于y轴且垂足为点B，求证：直线AB与椭圆C1只有一个公共点．（3）是否存在直线l与椭圆C1无公共点，且与“倒椭圆”C2无公共点？若存在，请给出满足条件的直线l，并说明理由；若不存在，请说明理由．2018-2019学年上海市杨浦区控江中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应空格内填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．设非零向量是直线的一个方向向量，则可以是（）．（只需填写一个）【解答】解：直线的整理得：3x﹣2y﹣3＝0，则k＝故非零向量为（），故答案为：（）2．直线y＝2x+1与圆x2+y2＝1的位置关系是相交．【解答】解：根据圆心（0，0）到直线y＝2x+1的距离为＝，小于半径1，可得直线和圆相交，故答案为：相交．3．若直线l的参数方程是（t∈R），则l的斜率为﹣2．【解答】解：根据题意，直线l的参数方程是（t∈R），其普通方程为y+1＝﹣2（x﹣2），其斜率k＝﹣2；故答案为：﹣24．已知点A的坐标为（5，0），点B是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1上的动点，则线段AB的长的最大值为．【解答】解：如图，圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的圆心坐标为（1，2），半径为1，则线段AB的长的最大值为．故答案为：．5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为（，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．【解答】解：根据题意知a＝2b，c＝又∵a2＝b2+c2∴a2＝4 b2＝1∴＝1故答案为：∴＝1．6．抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝2．【解答】解：因为抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以＝1，所以p＝2．故答案为：2．7．已知双曲线（常数λ＞0）的一条渐近线为y＝2x，则λ＝4．【解答】解：该双曲线的一条渐近线方程为：，由题意该双曲线的一条渐近线的方程为y＝2x，又λ＞0，可以得出λ＝4．故答案为：4．8．已知椭圆的右焦点为F，过原点O作直线交椭圆于A、B两点，点A在x轴的上方．若三角形ABF的面积为2，则点A（p，q）的纵坐标q＝．【解答】解：椭圆的右焦点为F（3，0），过原点O作直线交椭圆于A、B两点，点A在x轴的上方．若三角形ABF的面积为2，设A的纵坐标为q，可得，解得q＝．故答案为：．9．若实数x、y满足，则y﹣2x的取值范围为[﹣2，2]．【解答】解：由，得（y≥0）．令t＝y﹣2x，得y＝2x+t．联立，得8x2+4tx+t2﹣4＝0．由△＝16t2﹣32（t2﹣4）＝128﹣16t2＝0，得t＝．如图，又当直线t＝y﹣2x过（1，0）时t＝﹣2，∴y﹣2x的取值范围为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．10．已知双曲线，F1，F2是Γ的左右焦点，点P是Γ上的点，若|PF1|•|PF2|＝4，则的值为0．【解答】解：F1（﹣，0），F2（，0）是Γ的左右焦点，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得|m﹣n|＝2a＝2，又mn＝4，可得m2+n2＝12+2mn＝12+8＝20，而|F1F2|2＝4c2＝20，即有|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，可得PF1⊥PF2，即＝0．故答案为：0．11．已知点A的坐标为（0，2），点P是抛物线y＝4x2上的点，则使得△OPA是等腰三角形的点P的个数是6．【解答】解：如图所示：由题意设P坐标（x，4x2），△OPA是等腰三角形分3种情况：①OP＝OA时：x2+16x4＝4，即：16x2+x2﹣4＝0，x2有一个值，所以x有2个值，即有2个p点符合条件；②OP＝AP，x2+16x4＝x2+（4x2﹣2）2，解得：x2＝，同①符合条件的P有2个；③OA＝AP：4＝x2+（4x2﹣2）2解得：x2＝，也有2个点，综上符合条件的P点共有6个；故答案为：6．12．在一张画有直角坐标系的足够大的白纸上，画两个圆分别是⊙O1：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2，⊙O：（x+3）2+（y+3）2＝2，并将这两个圆的圆内部分均涂满阴影，过原点画一2条斜率为k的直线l，沿着l将该纸剪成两张纸．若两张纸上阴影部分的面积相等，则k 的值的集合为{2}．【解答】解：根据题意，直线l为过原点且斜率为k的直线，则直线l的方程为y＝kx，即kx﹣y＝0；⊙O1：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2，其圆心为（2，2），⊙O2：（x+3）2+（y+3）2＝2，其圆心为（﹣3，﹣3）；两圆的圆心不会同时在直线l上，若两张纸上阴影部分的面积相等，则两圆的圆心O1、O2在直线l的两侧且两圆圆心到直线l的距离相等，则有，解可得k＝2；故k的值的集合为{2}；故答案为：{2}．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分．13．已知常数D、E、F是实数，则“D2+E2﹣4F＞0”是“方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0是圆方程”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：x2+y2+Dx+Ey+F＝0等价为（x+）2+（y+）2＝，若方程表示圆，则D2+E2﹣4F＞0，即“D2+E2﹣4F＞0”是“方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0是圆方程”的充要条件，故选：A．14．在平面直角坐标系xOy中，设点集G＝{（x，y）|y2＝x}，则G中的点都落在曲线（）A．上B．y2＝|x|上C．上D．x2＝y上【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，设点集G＝{（x，y）|y2＝x}，图形是抛物线开口向右，顶点在坐标原点，对称轴为x轴，所以G中的点都落在曲线y2＝|x|上．故选：B．15．已知曲线Γ的参数方程（0≤θ≤π）．若以下曲线中有一个是Γ，则曲线Γ是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，曲线Γ的参数方程（0≤θ≤π），变形可得+y2＝1，（0≤x≤2，﹣1≤y≤1），其图形为椭圆+y2＝1的右半部分；故选：B．16．已知A、B是双曲线的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA、PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（）A．k1+k2B．|k1﹣k2|C．k1•k2D．【解答】解：A（﹣2，0）、B（2，0）是双曲线的左、右顶点，设P（m，n），可得﹣＝1，即有＝，k1k2＝•＝＝．故选：C．三、解答题（本大题满分0分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．设常数m∈R，已知两条直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0．（1）若l1与l2垂直，求m的值．（2）若l1与l2平行，求m的值．【解答】解：（1）根据题意，直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0．若l1与l2垂直，必有m+3（m﹣2）＝0，解可得m＝；（2）直线l1：mx+3y﹣1＝0，l2：x+（m﹣2）y+1＝0，若l1与l2平行，必有m（m﹣2）＝1×3＝3，解可得：m＝﹣1或3，当m＝﹣1时，直线l1：﹣x+3y﹣1＝0，l2：x﹣3y+1＝0，两条直线重合，不合题意；当m＝3时，直线l1：3x+3y﹣1＝0，l2：x+y+1＝0，两条直线平行，符合题意；故m＝3．18．在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），动点P（x，y）满足．（1）若P在线段AB上，求P的坐标．（2）证明P总落在一个定圆上，并给出该定圆的方程．【解答】解：（1）根据题意，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），若P在线段AB上，则P在x轴上，设P的坐标为（x，0），且﹣1≤x≤1，又由，即|PA|＝2|PB|，则有（x+1）＝2（1﹣x），解可得：x＝，故P的坐标为（，0）；（2）证明：根据题意，设P的坐标为（x，y）；若，即|PA|＝2|PB|，则有（x+1）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，变形可得：x2+y2﹣x+1＝0，其表示一个圆；故点P总落在一个定圆上，且该圆的方程为x2+y2﹣x+1＝0．19．已知过点P（2，0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点．（1）若直线l的倾斜角为30°，求l与抛物线C的准线的交点坐标．（2）求弦长|AB|的最小值，并给出相应的直线l的方程．【解答】解：（1）由抛物线方程可得，准线方程为：x＝﹣1；直线l的倾斜角为30时，直线l的方程为：y＝（x﹣2），与准线联立得：x＝﹣1，y＝﹣，所以l与抛物线C的准线的交点坐标为：（﹣1，﹣）；（2），设A（x，y），B（x'，y'），显然直线l的斜率不为零，设直线l的方程为：x＝my+2，代入抛物线方程得：y2﹣4my﹣8＝0，y+y'＝4m，yy'＝﹣8，所以弦长|AB|＝•|y﹣y'|＝•＝•＝4，∵m2≥0，所以当m2＝0时，弦长|AB|最小值为4，这时直线l的方程为：x＝2．20．已知双曲线的右顶点为A，点B的坐标为．（1）设双曲线Γ的两条渐近线的夹角为θ，求cosθ．（2）设点D是双曲线Γ上的动点，若点N满足、，求点N的轨迹方程．（3）过点B的动直线l交双曲线Γ于P、Q两个不同的点，M为线段PQ的中点，求直线AM斜率的取值范围．【解答】解：（1）双曲线的渐近线方程为y＝﹣x和y＝x，即有tanθ＝||＝2，且0＜θ＜，由＝2，sin2θ+cos2θ＝1，解得cosθ＝；（2）设D（x0，y0），可得2x02﹣y02＝4，点N（x，y）满足，可得N为BD的中点，由点B的坐标为，可得2x＝1+x0，2y＝+y0，即x0＝2x﹣1，y0＝2y﹣，则2（2x﹣1）2﹣（2y﹣）2＝4，可得N的轨迹方程为2（x﹣）2﹣（y﹣）2＝1；（3）设过点B的动直线l的方程为y﹣＝k（x﹣1），代入双曲线方程2x2﹣y2＝4，可得（2﹣k2）x2﹣2k（﹣k）x﹣4﹣（﹣k）2＝0，k ≠±，由△＝4k2（﹣k）2+4（2﹣k2）（4+（﹣k）2）＞0，解得﹣3＜k＜﹣或﹣＜k＜，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2＝，即有PQ的中点M（，），可得直线AM的斜率为k AM＝＝，由﹣3＜k＜﹣或﹣＜k＜，可得k AM∈（﹣4﹣3，﹣）∪（﹣，﹣）．21．定义：曲线称为椭圆的“倒椭圆”．已知椭圆，它的“倒椭圆”．（1）写出“倒椭圆”C2的一条对称轴、一个对称中心；并写出其上动点横坐标x的取值范围．（2）过“倒椭圆”C2上的点P，作直线PA垂直于x轴且垂足为点A，作直线PB垂直于y轴且垂足为点B，求证：直线AB与椭圆C1只有一个公共点．（3）是否存在直线l与椭圆C1无公共点，且与“倒椭圆”C2无公共点？若存在，请给出满足条件的直线l，并说明理由；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得倒椭圆C2的x轴或y轴，对称中心（0，0），∵＝1﹣∈（0，1），∴x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）；（2）设P（x0，y0），代入倒椭圆中：＝1，∴4y02+x02＝x02y02且x0y0≠0，则A（x0，0），B（0，y0），所以直线AB的方程为：，代入椭圆C1得：（x02+4y02）x2﹣8x0y02x+4x02（y02﹣1）＝0，则△＝64x02y04﹣16（x02+4y02）x02（y02﹣1）＝﹣16x02（x02y02﹣x02﹣4y02）＝0，所以直线AB与椭圆C1只有一个公共点．（3）设直线l上任意一点Q（m，n），若Q是l与椭圆的C1的公共点，则1＝≥2，∴|mn|≤1，也即Q不是l与椭圆C1的公共点时，则必有|mn|＞1，同理，若Q是与倒椭圆C2的公共点时则1＝≥2∴|mn|≥4，所以Q若不是直线l与倒椭圆的公共点时，|mn|＜4，从而得Q不是直线l与C1，C2的公共点时则必有1＜|mn|＜4，对于直线l上任意一点Q（m，n），mn＝0或mn∈R，不存在符合题意的直线l．。