约瑟夫斯问题
实验报告 约瑟夫问题
pCur->next = pNew;
pCur = pNew;
printf("结点%d,密码%d\n",pCur->id, pCur->cipher);
}
}
printf("完成单向循环链表的创建!\n");
}
(3)运行"约瑟夫环"问题
static void StartJoseph(NodeType **, int)
exit(-1);
}
pNew->id = iId;
pNew->cipher = iCipher;
pNew->next = NULL;
return pNew;
}
(6)测试链表是否为空,空为TRUE，非空为FALSE
static unsigned EmptyList(const NodeType *pHead)
实验内容
利用循环链表实现约瑟夫环求解。
实验说明
1.问题描述
约瑟夫问题的：编号为1，2，....,N的N个人按顺时针方向围坐一圈,每人持有一个密码(正整数)，一开始任选一个正整数作为报数上限值M，从第一个人开始按顺时针方向自1开始顺序报数，报到M时停止报数。报M的人出列，将他的密码作为新的M值，从他在顺时针方向上的下一个人开始重新从1报数，如此下去，直至所有人全部出列为止。试设计一个程序求出出列顺序。
{
if(!pHead)
{
return TRUE;
}
return FALSE;
}
实验中遇到的问题及解决方法
实验结果如下：
实验总结（结果和心得体会）
约瑟夫问题多种解决方法
• • • • • • • • • • •
s:=0; while s<n do begin if j<m then inc(j) else j:=1; s:=s+a[j]; end; write(j); a[j]:=0; end; end.
约瑟夫问题多 种解决方法
约瑟夫问题的来历
• 据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗 马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋 友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓 到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由 第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后 再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而 Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友 先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置， 于是逃过了这场死亡游戏。17世纪的法国数学家加斯帕在 《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余 的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆 圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔 入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法， 才能使每次投入大海的都是非教徒。
著名约瑟夫问题一
• 17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了 这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险， 必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是 想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次 报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直 到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的 都是非教徒。题目中30个人围成一圈，因而启发我们用一 个循环的链来表示。可以使用结构数组来构成一个循环链。 结构中有两个成员，其一为指向下一个人的指针，以构成 环形的链；其二为该人是否被扔下海的标记，为1表示还 在船上。从第一个人开始对还未扔下海的人进行计数，每 数到9时，将结构中的标记改为0，表示该人已被扔下海了。 这样循环计数直到有15个人被扔下海为止
实验一、约瑟夫问题
实验一：约瑟夫问题求解一、问题描述1、实验题目：约瑟夫（Josephus）问题的一种描述是：编号为1，2，……，n的n个人按顺时针方向围坐一圈，每人持有一个密码（正整数）。
一开始任选一个正整数作为报数上线值m，从第一个人开始按顺时针方向自1开始报数，报到m时停止报数。
报m的人出列，将他的密码作为新的m值，从他在顺时针方向下一个人开始重新从1报数，如此下去，直至所有的人全部出列为止。
2、基本要求：试设计一个程序，按出列顺序印出个人编号。
3、测试数据：m的初值为20；n=7，7个人的密码依次为：3，1，7，2，4，8，4。
ｍ的初值为6，正确的出列顺序应为：6，1，4，7，2，3，5。
二、需求分析１、本程序用来求出含有密码的约瑟夫问题，可以输出所有人的出列顺序。
2 、程序运行后显示提示信息，提示用户输入一圈的人数n，接着输入每个人的密码，最后提示输入初始密码。
3、用户输入完毕后，程序自动输出运算结果。
三、概要设计1、设计思路n个人围成一圈，每个人的手中都有一个密码，这个密码决定了下一次报数的上限。
游戏规则：①给定一个初始密码②循环报数，报到密码值的人要出列，依次类推，直到所有的人都出列本程序要求输入的内容：n个人的密码及初始密码；本程序要求输出的内容：n个人出列的顺序。
2、数据结构为了实现上述功能，可以采用链式存储结构。
采用链式存储结构，定义了一个存储个人信息的结构体，及两个自定义函数，分别用于创建链表和约瑟夫出列操作。
①链表抽象数据类型的定义： #define SLNODE struct slnodeADT SLNODE{数据对象：D={ i a |i a ∈SLNODE, i=1,2,3.... }数据关系：R=φ}ADT SLNODE;②自定义函数:void create_SLnode(SLNODE *p,int n)//创建队列{ 创建链表，为N 个人分配密码 }void Josef(SLNODE *p,int n)//进行约瑟夫操作{输入初始密码m;for(){ 将出列的结点删除，并输出出列序号；}}③本程序的保护模块：结构体模块主程序模块自定义函数模块调用关系：3、程序设计主要算法的流程图：create_SLnode( )算法流程图Josef( )算法流程图四、详细设计1、元素类型、结点的类型及指针#define SLNODE struct slnodeSLNODE//每个结点的结构体{int num;//num代表序号int code;//code代表密码SLNODE *next;};2、自定义函数：void create_SLnode(SLNODE *p,int n)//创建队列，并将其尾指针指向第一个序号{SLNODE *r,*s;s=p;int i,m;cout<<"请给这"<<n<<"个人分配密码："<<endl;for(i=0;i<n;i++){cout<<"请给第"<<i+1<<"个人输入密码："<<endl;cin>>m;r=(SLNODE *)malloc(sizeof(SLNODE));r->code=m;r->num=i+1;r->next=s->next;s->next=r;s=s->next;}p=p->next;s->next=p;}void Josef(SLNODE *p,int n)//进行约瑟夫操作{p=p->next;int m;int i,j;SLNODE *r;cout<<"请输入初始密码："<<endl;cin>>m;cout<<"依次出列的序号为:"<<endl;for(i=0;i<n-1;i++)p=p->next;for(i=0;i<n-2;i++){for(j=0;j<m-1;j++)p=p->next;cout<<(p->next)->num<<endl;m=(p->next)->code;r=p->next;p->next=r->next;}if(m%2==0)cout<<p->num<<endl<<(p->next)->num<<endl;elsecout<<(p->next)->num<<endl<<p->num<<endl;}3、主函数：int main(){SLNODE *p;int n;cout<<"请输入一圈的人数："<<endl;cin>>n;p=(SLNODE *)malloc(sizeof(SLNODE));p->next=NULL;create_SLnode(p,n);Josef(p,n);return 0;}4、函数的调用关系：主函数main()调用自定义函数void create_SLnode(SLNODE *p,int n);/*创建队列*/与void Josef(SLNODE *p,int n);/*进行约瑟夫操作*/。
“约瑟夫斯问题”背景下的变式探究
右边后再从右边开 始依次剔 除第 一个， 第三个， 每隔一个剔除一人； 再从左边按同样规则， 至最 后剩下一人继承王位， 求此人的编号．
不等式 （） 木还可以变形为
已知Ｘ 、 为正数， 、Ｙ 求证： ｙ （ ＋ ｘ ｚ≥ Ｙ 一
≤ １ ．
（ １６ 一 （１） ｎ — （１）＋一 ＋ ）＋ ｃ １
） ＋ ） （ 一 （ ＋Ｙ ． …… … … （术 — ）… … … …・ ） 术
这是 １８ 年瑞士数学竞赛试题． ９３ 把此不等式变形， 就有
到下面的定理．
解： 由推论知： 约瑟夫斯的编号为 ２×（２一 ５
３） Ｏ ２ ＝４ ．
三、 定理 将 １２３ … ，ｎ ， ，， ２ 排成 圆周， 依次取 出 １ ３ ，，
５… ， ， 每隔一个取一数， 则最后取出的是 ２ ． ｎ
例 ２ （００ ２０ 年美 国邀 请赛） 标号为 １ ２ ３ ， ，， … ， ００ ２０ 的一 叠纸牌 排成 圆周， 若把 １ 号取 出，
３ … ， ， ， ２ 则最后取出的编号Ｌｎ一１满足 （ ） ２（ Ｌ ｎ一１ ＝ ｎ， （） ， （） ， ， ） （）而Ｌ １ ＝２ Ｌ２ ＝４ … 故Ｌ ｎ ＝２ ． （） 礼 四、 问题 的变式探究
１改变人数 “ｎ型” 扎型” 探 求问题 ＿ ２ 为“ ，
令他们排成 圆圈， 分别编号 １ ２ ３ … ， ２ 然后 ，，， ３，
解： 每经一步少两个数， 若经Ｐ 步至最后只剩 个数， 必有 礼＝ ２ ｐ＋ １ ．由和为 的３ 个数，
经３ 步后剩下３ 个数， 和仍为 Ｓ 至最后只 ，
剩一个数时， 写出的所有数总和为（ 十１ｓ 而 ），
５ １＝ ３ ＋２ ， １ 步后剩下 ３ 个数， ３ ４经 ２ ０ 被划去
约瑟夫问题（报数问题）
约瑟夫问题（报数问题）约瑟夫问题(报数问题)起因：据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗⻢⼈占领乔塔帕特后，39个犹太⼈与Josephus及他的朋友躲到⼀个洞中，39个犹太⼈决定宁愿死也不要被敌⼈抓到，于是决定了⼀个⾃杀⽅式，41个⼈排成⼀个圆圈，由第1个⼈开始报数，每报数到第3⼈该⼈就必须⾃杀，然后再由下⼀个重新报数，直到所有⼈都⾃杀⾝亡为⽌。
然⽽Josephus 和他的朋友并不想遵从。
⾸先从⼀个⼈开始，越过k-2个⼈（因为第⼀个⼈已经被越过），并杀掉第k个⼈。
接着，再越过k-1个⼈，并杀掉第k个⼈。
这个过程沿着圆圈⼀直进⾏，直到最终只剩下⼀个⼈留下，这个⼈就可以继续活着。
问题是，给定了和，⼀开始要站在什么地⽅才能避免被处决。
Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与⾃⼰安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。
中，类似问题⼜称为约瑟夫环，⼜约瑟夫问题，是⼀个和中的问题，在计算机的中，类似问题⼜称为约瑟夫环，⼜约瑟夫问题，是⼀个和中的问题，在计算机的称“丢⼿绢问题”。
及过程就是先决定⼀个判断数字为k，若第⼀个⼈从⼀开始报数，若报数到k，则第k个⼈就要出来，从第k+1个⼈，⼜重新开始从⼀开始报数，报的K的⼈再次出队，若所有⼈都报过⼀遍，则从第⼀个⼈开始循环，依次类推。
直到只剩下⼀个⼈为⽌。
解题步骤：可以将约瑟夫问题看成⼩朋友循环排队的⽅法。
⼩朋友们排成⼀队，每⼀位⼩朋友报数结束后，如果报的数不是出队的数（判断数字k），则⾃动到对尾排队，如果等于出队数，这个⼩朋友出队。
⼀直循环，直到剩下⼀个⼩朋友为⽌//这是判断数字为3的时候，其他的类似//item=int(input())a=[]num1=0num2=3for i in range(1,item+1):a.append(i)while len(a)>1:num1+=1t=a.pop(0)if num1!=3:a.append(t)else:num1=0print(a[0])举⼀反三：若不确定让⽤户随意输⼊判断数item,m=map(int,input().split(''))a=[]num1=0num2=3for i in range(1,item+1):a.append(i)while len(a)>1:num1+=1t=a.pop(0)if num1!=m:a.append(t)else:num1=0print(a[0])这⾥使⽤while会更加简单⼀些，⽐⽤for-in循环更好写。
约瑟总结范文
约瑟总结引言约瑟总结（Josephus problem）是一个古老而著名的数学问题。
根据传说，约瑟夫是一群40个士兵的领导者，他们被敌军包围。
为了避免被俘，他们决定在自杀和投降之间进行选择。
士兵们排成一个圆圈，并从一个指定的位置开始依次报数，报到指定的数目的人就被处决。
然后，下一个人重新报数。
这个过程一直进行，直到只剩下一个人幸存为止。
解决方法约瑟夫问题是一个经典的数学问题，有多种解决方法。
下面我们介绍两种常见的方法。
递推公式递推公式是解决约瑟夫问题的一种简洁的方法。
假设有n个人参与，每次报到m的人被淘汰。
我们可以通过递推的方式计算出最后剩下的人在初始规模为n时的位置。
首先，我们用一个数组p来表示剩下的人的位置，初始时所有人都是存活的。
然后我们从第一个人开始报数，将每次报到m的人从数组中删除，并将其位置存储在另一个数组q中。
然后，继续从下一个人开始报数，重复这个过程，直到所有人都被删除。
最后，数组p中剩下的最后一个位置就是最后幸存的人。
def josephus(n, m):p = list(range(1, n+1))q = []index =0while len(p) >0:index = (index + m -1) % len(p)q.append(p.pop(index))return q[-1]这是一个用Python语言实现的递推公式方法的示例。
其中，n为初始人数，m 为每次报到的数目。
这个方法的时间复杂度为O(nm)，可以在很短的时间内解决大规模的约瑟夫问题。
数学推导除了使用递推公式的方法外，我们还可以通过数学推导来解决约瑟夫问题。
假设有n个人参与，每次报到m的人被淘汰。
我们首先考虑特殊情况，即初始人数为2时的解法。
当初始人数为2时，只有两个人，我们不用进行报数，直接将第一个人淘汰，第二个人即是最后幸存的人。
当初始人数为3时，我们需要依次报到1、2、3，淘汰第3个人。
然后，剩下的两个人重新排成一个圆圈，继续从1开始报数，每次淘汰第3个人，直到只剩下一个人。
约瑟夫问题
第一个人出列：从 数器 j 从 1 数到 person[i] <- 0 第二个人出列：从 数器 j 从 1 数到 person[i] <- 0 „„ n-1个出列：„„
k = 0 的后继开始扫描数组，报数计 m，该人出列，把他的状态置成 0，
k = i 的后继开始扫描数组，报数计 m，该人出列，把他的状态置成 0，
此题如果意思是定位第 m 个元素，当不需要跳过任何元素 时。 从 k 开始报数第 m 个元素是： ((( k + m - 1 ) – 1 ) mod ) n +1
“遍历”和“数到”的区别： 遍历到的每个元素需要做相同的操作，而“数到m”第m个 元素和前 m-1 个元素有不同的操作。
如果需要跳过某些标记的元素，就无法直接确定第 m 个元 素的位置，则需要按顺序逐个扫描元素，跳过不符合要求的 元素，对符合要求的元素进行计数。 此处注意第一个数也许需要跳过，第一个报数的编号也许不 是 k，不能直接从 1 计数。 i <- k j <- 0 while ( j< m ) do begin i <- (i mod n) + 1 if ( person[i] <> 0 ) then j <- j+1 end
2.1
模拟方法
2.2
2.1.1 数组+标记 2.1.2 循环链表+删除节点
数学模型
定义数组： array person[1..n]代表 n 个人的状态； 第i个元素代表编号为i的人的状态，下标代表人的编号； 状态： 1代表没有出列，0代表已出列。 使用线性数组表示环状圆圈 * 数组元素间相邻关系和环状结构元素间相邻关系有所不 同，person[n]没有后继节点，person[1]没有前驱节点。 数组可以使用下面方法实现环状结构的相邻关系： person[i]后继节点的下标为j： if i = n then i<- 1 else i <- i+1 或者 i <- (i mod n) +1
约瑟夫环问题的两种解法（详解）
约瑟夫环问题的两种解法（详解）约瑟夫环问题的两种解法（详解）题⽬：Josephus有过的故事：39 个犹太⼈与Josephus及他的朋友躲到⼀个洞中，39个犹太⼈决定宁愿死也不要被敌⼈抓。
于是决定了⾃杀⽅式，41个⼈排成⼀个圆圈，由第1个⼈开始报数，每报数到第3⼈该⼈就必须⾃杀。
然后下⼀个重新报数，直到所有⼈都⾃杀⾝亡为⽌。
然⽽Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与⾃⼰安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。
对于这个题⽬⼤概两种解法：⼀、使⽤循环链表模拟全过程⼆、公式法我们假设这41个⼈编号是从0开始，从1开始报数，第3个⼈⾃杀。
1、最开始我们有这么多⼈：[ 0 1 2 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]2、第⼀次⾃杀，则是(3-1)%41=2 这个⼈⾃杀，则剩下：[ 0 1 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]3、然后就是从编号为3%41=3的⼈开始从1报数，那么3号就相当于头，既然是头为什么不把它置为0，这样从它开始就⼜是与第1,2步⼀样的步骤了，只是⼈数少了⼀个，这样不就是递归了就可以得到递归公式。
想法有了就开始做：4、把第2步中剩下的⼈编号减去3映射为：[ -3 -2 0 1 2 ... 34 35 36 37 ]5、出现负数了，这样不利于我们计算，既然是环形，37后⾯报数的应该是-3，-2，那么把他们加上⼀个总数（相当于加上360度，得到的还是它）[ 38 39 0 1 2 3 ... 34 35 36 37 ]6、这样就是⼀个总数为40个⼈，报数到3杀⼀个⼈的游戏。
这次⾃杀的是第5步中的(3-1)%40=2号，但是我们想要的是第2步中的编号（也就是最初的编号）那最初的是多少？对应回去是5；这个5是如何得到的呢？是（2+3)%41得到的。
⼤家可以把第5步中所有元素对应到第2步都是正确的。
7、接下来是[ 35 36 37 38 0 1 2... 31 32 33 34 ]⾃杀的是(3-1)%39=2，先对应到第5步中是(2+3)%40=5，对应到第2步是(5+3)%41=8。
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约瑟夫斯问题
问题描述
约瑟夫斯问题是一个经典的数学问题，也被称为约瑟夫环问题。
问题的描述如下：有n个人围成一圈，从第一个人开始报数，报到m的人出列，然后从出列的下一个人开始重新报数，再次报到m的人出列，如此循环，直到所有人都出列为止。
那么，最后剩下的人在原来的顺序中编号是几？
算法思路
为了解决约瑟夫斯问题，可以使用一种常用的数学技巧来计算最后剩下的人的编号。
假设n个人的编号分别为0, 1, 2, …, n-1，那么可以得到一个递推公式：
f(n, m) = (f(n-1, m) + m) % n
其中f(n, m)表示有n个人时最后剩下的人的编号。
根据这个递推公式，可以进行递归计算。
算法实现
下面是使用Python语言实现约瑟夫斯问题的算法：
```python def josephus(n, m): if n == 1: return 0 else: return (josephus(n-1, m) + m) % n
测试样例
n = 7 # 总人数 m = 3 # 报数到m时出列 survivor = josephus(n, m) print(。