专题复习数形结合(含答案)
高中数学数形结合思想经典例题(含解析)
高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<19．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( )A.15B.25C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】 作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<x <0. 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )【答案】 A【解析】 因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排 除B ，选A.4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)【答案】 D【解析】 由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）x <0.若x >0，则需有f (x )<0，结合图象可知0<x <2；若x <0，则需有f (x )>0，结合图象可知－2<x <0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．25【答案】 B【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max＝21.6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【答案】 B【解析】 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.12【答案】 A【解析】 依题意，得实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋yx 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[53，2]，故选A.8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1【答案】 D【解析】 本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<x 1x 2<1，故选D. 9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定【答案】 C【解析】 如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0＝f （x 2）x 2，由于0＜x 1＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)【答案】 C【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解． 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269【答案】 B【解析】 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，43)，所以AE →＝(23，23)，AF →＝(13，43)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．1 【答案】 A【解析】 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方． 而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2x＝2，解得x ＝1.从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为222＋（－1）2＝255，如图所示．故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝45，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2【答案】 C【解析】 利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． ∵FP →＝4FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 B【解析】 x 2a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝|a|12＋4a 2＝34，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 23－4y 2＝1.因为c ＝34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|（－3）2＋42＝105＝2，即距离之和的最小值为2，选B.二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________． 【答案】 (－7，3)【解析】 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________． 【答案】 －2【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1＝y －（－1）x －（－1），则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，。
专题23 数与形本相依 焉能分作两边飞（含答案）
专题23 数与形本相依，焉能分作两边飞知识引入 数学大家华罗庚先生关于数形结合有一首短诗：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数统一体，永远联系莫分离。
知识解读 数学上总是把问题中的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，数形结合是一个重要的数学思想和一柄双刃的解题利剑。
一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的求解是一个抽象的问题，利用一次函数图象的直观性，可以直观地将方程（组）的解、不等式的解集用一次函数的图象表示出来，使得抽象问题直观化。
培优学案典例示范一、二元一次方程组与直线交点问题例1直线y ＝x ＋1与y ＝－2x ＋a 的交点在第一象限，则a 的取值可以是（ ）A .－1B .0C .1D .2【提示】思路1:先在平面直角坐标系中画出直线y ＝x ＋1，然后根据交点在第一象限，画出y ＝一2x ＋a ，根据y ＝－2x ＋a 与y 轴的交点确定a 的取值范围；思路2：直线y ＝x ＋1与y ＝－2x ＋a 交点的坐标，是方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋1y ＝－2x ＋a的解，可通过交点横坐标和纵坐标同为正数确定a 的取值范围.【技巧点评】直线是几何的概念，二元一次方程组是代数知识.而平面直角坐标系内，两直线的交点坐标，可通过解二元一次方程组求得.跟踪训练1.把直线y ＝－x －3向上平移m 个单位后，与直线y ＝2x ＋4的交点在第二象限，则m 的取值范围是（）A .1＜m ＜7B .3＜m ＜4C .m ＞－1D .m ＜4 二、借助图象求不等式的解集例2如图4－23－1，直线y ＝－x ＋m 与y ＝nx ＋4n （n ≠0）的交点的横坐标为－2，则关于x 的不等式－x ＋m ＞nx ＋4n ＞0的整数解为（ ）A.－1 B .－5 C .－4 D .－3yxj -2图4-23-1y=nx+4ny=﹣x+mO【提示】可令y 1＝－x 十m ，y 2＝nx 十4n ，不等式一x 十m ＞nx ＋4n 的解集实际上就是看x 在什么范围内时，y 1＞y 2.【技巧点评】数形结合是研究函数问题最基本的数学思想，利用图象解决问题往往能使得问题变得更直观，能够快速寻找到解决问题的思路.此类问题容易出错的地方是不清楚不等式一x 十m ＞nx ＋4n ＞0所描述的函数图象之间的关系，直接去解不等式组，不能求出m ，n 的值而受阻.跟踪训练2.已知一次函数y ＝kx ＋b 与y ＝mx 十n 的图象如图4－23－2所示，若0＜kx ＋b ＜mx 十n ，则x 的取值范围为 .xy图4-23-2y=mx+my=kx+b 6434O三、从“数”和“形”两方面看等腰三角形 例3直线y ＝x －1与两坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在坐标轴上，若△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（ ） A .4个 B .5个 C .7个 D .8个【提示】思路1：借助图象.先在平面直角坐标系画出线段AB ，然后分别在x 轴、y 轴寻找符合条件的C 点；思路2：由于A （1，0），B （0，一1），当点C 在x 轴上时，设C 点坐标为（a ，0），用两点间距离公式分别表示出AB ，BC 和AC 的长，然后分AB ＝BC ，AB ＝AC 和BC ＝AC 三种情况列方程求出a 的值，接着再讨论点C 在y 轴上。
人教版六年级数学上册第八单元第2课时《运用数形结合计算》课后练习题(附答案)
人教版六年级数学上册第八单元第2课时《运用数形结合计算》课后练习题（附答案）1．找规律，直接写出后面各题的得数。
1234.5679×9＝11111.1111 1234.5679×36＝1234.5679×18＝22222.2222 1234.5679×45＝1234.5679×27＝33333.3333 1234.5679×54＝2.解答题。
（1）数一数下图有几个长方形？（列出算式并计算）①②（2）仿照上面的方法算一算下图中一共有多少个长方形。
3.照这样画下去，第6个图形中黑色和白色方块各有多少块？第10个图形呢？黑色1块2块 3块白色：8块 13块18块4.数与形。
（1）仔细观察每幅图和它下面的算式之间的关系，根据发现的规律，接着画出后面的两个图形，并完成图形下面的算式。
（2）根据上面的规律，完成下面的算式。
1002－992＝（）＋（）＝（）20202－20192＝（）＋（）＝（）参考答案1．44444.4444 55555.5555 66666.66662.（1）①4＋3＋2＋1＝10（个）②2＋1＝3（个）（2）8＋10＋4＋5＋2＋1＝30(个)3.观察图形得出下面的规律：1 2 3 4 n黑色：1块2块3块4块n块白色：8块 13块 18块23块（3＋5n）块3＋5×1 3＋5×2 3＋5×3 3＋5×4 3＋5n3＋5×6＝33（块） 3＋5×10＝53（块）答：第6个图形中黑色有6块，白色方块有33块；第10个图形中黑色有10块，白色方块有53块。
4.（1）（2）100 99 199 **** **** 4039。
2021年小升初数学数形结合规律专题(附答案)
2021年小升初数学数形结合规律专题（附答案）一、单选题1.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（）。
A. 38B. 52C. 66D. 742.某餐厅里，一张桌子可坐6人，如图所示：按照上面的规律，n张桌子能坐（）人。
A. 6n+4B. 4n+4C. 4n+2D. 6n+63.如下图，用火柴棒搭房子，搭三间用了13根。
照这样计算，搭504间用（）根火柴棒。
A. 2013B. 2015C. 20174.下图是用棋子摆成的图形，摆第一个图形需要3枚棋子，摆第二个图形需要6枚棋子，摆第三个图形需要9枚棋子……照这样的规律摆第11个图形需要（）枚棋子。
A. 27B. 30C. 33D. 36二、填空题（共18题；共32分）5.观察下图，每个图形中间是白色小正方形，周围是灰色小正方形。
照这样画下去，第10个图形中有________个白色小正方形，________个灰色小正方形。
6.右图是一组有规律的图案，第1个图案是由4个基本图形组成，第2个图案是由7个基本图形组成，……则第5个图案是由________个基本图形组成。
7.如图，小明用小棒搭房子，他搭3间房子用了13根小棒。
照这样搭，用21根小棒搭了________间房子；搭100间房子要用________根小棒。
8.如下图所示，4张桌子可坐________人，摆n张桌子可以坐________人。
9.摆一摆，找规律。
摆第7个图形需要________根小棒，摆第n个图形需要________根小棒。
10.观察下图，照规律摆下去，第6个图中有________个黑色方块，第n个图中有________个黑色方块。
11.用若干个棱长为1cm 的小正方体可以摆出一个长方体。
如图，按这种方式摆下去，第10个长方体的表面积是________ cm2，第n个长方体的表面积是________ cm2。
如果摆成的长方体的表面积是202 cm2，那么这个长方体是第________个。
王俊数形结合专题复习
思想方法之数形结合1、已知函数f(x)=log 2(x+1)，若0＜a ＜b ＜c ，则c c f b b f a a f )(,)(,)(的大小关系是 .2、函数1362222+-++-=x x x x y 的最小值为 .3、设b a R b a x x f ≠∈+=且,,1)(2，求证：b a b f a f -<-)()(4.求函数x 2x 1y 2+-=的最大值。
5、计算：40cos 20cos 40sin 20sin --6、已知向量与则向量),sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(αα===的夹角范围是 .7、已知向量(34)=，b ，1-=a b ，则a 的最大值是_ ____．8、已知在ABC ∆中，090,3,4ACB BC AC ∠===，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值为 .9、,a b 是互相垂直的两个单位向量，()()0a c b c -⋅-= ，则c 的最大值为 .10、在棱长为1的正四面体OABC 中，若点P 满足OP xOA yOB zOC =++ 且1x y z ++=，则OP 的最小值为 .11、已知A （1，1）为椭圆5922y x +=1内一点，F 1为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点 求｜PF 1｜+｜P A ｜的最大值和最小值12. ( 2006年湖南）若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是13．（2005福建）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是14．（2006年江西）P 是双曲线22x y 1916－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为15、不论k kx m =+总有实数解，则实数m 的取值范围是 .16、 （2009·徐州调研）设奇函数y=f(x) (x ≠0),当x ∈(0,+∞)时，f(x)=x-1，则不等式f(x-1)<0的解集是 .17．若不等式x 4x 2--≥34x+11-a 的解集为{x|-4≤x ≤-2}，求实数a 的值。
湘教版2019年秋季七年级上册数学期末复习：数形结合专项题含解析
湘教版2019年秋季七年级上册数学期末复习：数形结合专项题一、选择题。
1.如图,下列语句错误的是（）A. 射线CA和CD不是同一条射线B.C. 射线AC和AB是同一条射线D. 直线BC和BD是不同的直线2.已知数a,b,c的大小关系如图所示,则下列各式：；；；；,其中正确的有( )个．A. 1B. 2C. 3D. 43.如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（）A. B.C. D.4.如图，O为直线AB上一点，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则图中互余的角有（）A. 4对B. 3对C. 2对D. 1对5.有理数a、b在数轴上分别对应的点为M、N，则下列式子结果为负数的个数是（）①a+b；②a-b；③-a+b；④-a-b；⑤ab；⑥；⑦；⑧a3b3；⑨b3-a3．A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个6.如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|=3，则原点是（）A. M或RB. N或PC. M或ND. P或R7.一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠2的度数为（）A. 20°B. 22.5°C. 25°D. 67.5°8.如图，某中学制作了300名学生选择棋类、摄影、书法、短跑四门校内课程情况的扇形统计图，从图中可以看出选择短跑的学生人数为（）A. 33B. 36C. 39D. 429.如图是甲、乙两公司近年销售收入情况的折线统计图，根据统计图得出下列结论，其中正确的是（）A. 甲公司近年的销售收入增长速度比乙公司快B. 乙公司近年的销售收入增长速度比甲公司快C. 甲、乙两公司近年的销售收入增长速度一样快D. 不能确定甲、乙两公司近年销售收入增长速度的快慢二、填空题。
10.已知，如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2，请说明∠AED=∠C．根据提示填空．∵BE平分∠ABC（已知）∴∠1=∠3 （_____________）又∵∠1=∠2（已知）∴______=∠2 （_____________）∴______∥______（______________）∴∠AED=______（_______________）．11.若a、b、c在数轴上的位置如图，则|a|-|b-c|+|c|= ______ ．12.根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出的y的值为____________．13.如图，点B、C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN=a，BC=b，则AD的长是______ ．14.如图所示：把两块完全相同的直角三角板的直角顶点重合，如果∠AOD=128°，那么∠BOC= ______ ．15.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，则图中共有线段________条；直线有________条；射线有________条．16.记录某足球队全年比赛结果（“胜”、“负”、“平”）的条形统计图和扇形统计图（不完整）如下：根据图中信息，该足球队全年比赛胜了______场．17.某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：7：3，绘制成如图所示的扇形统计图，则甲地区所在扇形的圆心角度数为______度．三、解答题。
初中数学竞赛第二十一讲数形结合(含解答)
第二十一讲 数形结合【趣题引路】你曾听说过蚂蚁回家的故事吗?事情是这样的:如图,D 是三角形ABC•的边AB 上一点,其上有一只小蚂蚁,它首先从D 点沿平行于BC 的方向爬行到AC 边上的E 点;•再从E 点沿平行于AB 方向爬到BC 边上的F 点;再从F 点沿平行于AC 的方向爬行到AB 边上的G 点……,这样每从一边爬到另一边算爬一次,•那么这只蚂蚁是否可经有限次回到原出发点D?如果可经最少n 次回到D 点,那么n 的值等于多少?•加上什么条件就可以求得蚂蚁回家的总路线的长?解析 (1)若D 是AB 中点,则n=3;(2)若D 不是AB 中点,可证明6次后蚂蚁回到出发点D,如图,•因蚂蚁行走路线都是与△ABC 各边平行的,所以 AD AE BF BG CH CK AM BD EC FC GA AH BK BM ======, ∴AD BD AM BM BD BM ++=.即AB AB BD BM= ∴BD=BM,即M 与D 重合,n=6.当第(1)种情况时,蚂蚁回家的总路线长是△ABC 各边和的一半,•只要知道△ABC 各边长即可求解;当第(2)种情况时,只要知道△ABC 各边长和AD 、DG 或AE 、EH 等即可求解.请读者计算一下.点评数与形是一个不可分割的整体,数体现形的大小,形状,•而形又是抽象的数量关系形象化,数形结合能使我们容易把握问题的实质.【知识延伸】例 求函数y=21x ++2(4)4x -+的最小值. 解析 构造如图所示的两个直角三角形,即Rt △PAC,Rt △PBD,使AC=1,BD=2,PC=x,PD=4-x,求最小值可转化为:在L 上求一点P,使PA+PB 最小.取点A 关于L 的对称点A ′连结A ′B,则A ′B 与L 的交点即为所求P 点,故PA+PB 的最小值即是线段A ′B 在Rt △A ′EB 中,A ′B=2234+, 故函数y 的最小值为 5. 点评此题若用代数方法来解很麻烦,通过对函数形式观察,发现:21x +可以看成是以x 、•1为直角边的三角形的斜边,2(4)4x -+可以看成是以(4-x),2为直角边的斜边,•此题可归纳为求两个直角三角形斜边的和的最小值,于是可构造图形来解决.【好题妙解】佳题新题品味例1 在直径为AB 的半圆内,划出一块三角形区域,使三角形的一边为AB,•顶点C 在半圆周上,其他两边分别为6和8.现在建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN,其中,DE 在AB 上,如图21-3的设计方案是使AC=8,BC=6.(1)求△ABC 中AB 边上的高h;(2)设DN=x,当x 取何值时,水池DEFN 的面积最大?(3)实际施工时,发现AB 上距B 点1.85m 处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在,为保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树?解析 (1)运用勾股定理和面积公式可求得h=4.8;(2)∵△CNF ∽△CAB,∴h DN NF h AB -=. ∴NF=10(4.8)4.8x -. 则S DEFN =x ·104.8·(4.8-x)=104.8-(x 2-4.8x). 故当x=2.4时,S DEFN 最大;(3)当S DEFN 最大,x=2.4时,F 为BC 中点,在Rt △FEB 中,EF=2.4,BF=3.∴BE=22BF EF +=229 2.4-=1.8.∵BM=1.85,∴BM>EB.故大树位于欲修建的水池边上,应重新设计方案.∵x=2.4时,DE=5,∴AD=3.2.点评本例应用二次函数的性质求解,并综合了相似三角形,圆等几何知识.•题目设计新颖,有较强的创新特色.例2正数x,y,z满足22222225,39,316.yx xyyzz xz x⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪++=⎪⎩试求xy+2yz+3xz的值.解析如图21-4,构造一直角三角形PQR,由条件可知:△PQR内有一点,使OQ=z,OP=3y,OR=x,则S△PQR=S△OPR+S△OPQ+S△OQR.即12×3×4=12×x×3ysin150º+12·3y+12·z·x·sin120º,∴6=43xy+23yz+34xy.∴xy+2yz+3xz=243.点评此题条件复杂,若想通过代数方法求解,势必十分困难,通过观察,利用余弦定理构造图形却使问题变得较容易.例3 已知方程│x│=ax+1有一负根而没有正根,求实数a的取值范围.解析如图21-5,方程│x│=ax+1的根就是函数y1=│x│和y2=ax+1的图象交点的横坐标.方程只有负根而没有正根,就是过点(0,1)的直线y1=x+1只与直线y=-x(•x≤0)相交而不与直线y=x(x≥0)相交.在同一坐标系中作出y1=│x│与y2=ax+1•的图象,观察图象知,-1≤-1a<0,∴a≥1.全能训练A级1.函数y=21ax bx c++(a>0),无论x取任何实数,函数总有意义的条件是_______.2.已知边长为a的正方形,内接一个边长为b的正方形,求证:b<a b .3.已知a、b、x、y都是正数,且a2+b2=x2+y2=ax+by=1,求证:a2+y2=b2+x2=1,且ab=xy.1.b 2-4ac>0.2.提示:如图,由题意可得221()2x y a xy a b +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 构造方程,由△≥0即得结论.3.构造出以1为直径的圆内接四边形ABCD,如图,使AB=a,AD=b,BC=y,DC=x,•由托勒密定理知ax+by=AC ·BD=1,而BD=1.∴AC=1即圆的直径.∴四边形ABCD 为矩形.故可得a=x,b=y.∴a 2+y 2=b 2+x 2=1,且ab=xy.B 级1.已知正数a 、b 、c 、A 、B 、C 满足:a+A=b+B=c+C=10.求证:a ·B+b ·C+c ·A<100.•2.已知正数a 、b,且a+b=1,求证:(a+2)2+(b+2)2≥252.1.提示:构造等边△DEF如图,使DE=a+A,EF=c+C,FD=B+b,由S1+S2+S3<S△DEF可得结论.2.提示:如图,构造点P(-2,-2),Q(a,b),则不等式左边是PQ2,Q是线段AB上的点,AB的中点为C,则可求得PC=52,由PQ≥PC可得结论.。
届数学二轮复习思想方法训练3数形结合思想理含解析
思想方法训练3 数形结合思想思想方法训练第6页一、能力突破训练1。
若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z，则复数z1+i对应的点位于复平面内的（)A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限答案：D解析:由题图知,z=2+i,则z1+i =2+i1+i=2+i1+i·1-i1-i=32−12i,则对应的点位于复平面内的第四象限。
故选D。
2。
设全集U=｛x｜x≤8，x∈N*｝，若A⊆U，B⊆U,B∩(∁U A)={2，6},A∩(∁U B)={1，8｝，（∁U A）∩(∁U B）={4，7}，则()A。
A=｛1,6｝,B={2，8}B。
A={1,3，5,6｝,B=｛2,3,5，8｝C.A={1，6｝，B={2，3,5,8｝D.A={1,3,5，8｝，B=｛2，3,5，6｝答案：D解析:根据题意可作出Venn 图如图所示,由图可知A=｛1,3,5，8}，B=｛2，3，5，6}.3.若变量x ,y 满足{x -y +1≤0,y ≤1,x >-1,则（x —2)2+y 2的最小值为（ )A .3√22B .√5C .92D.5答案:D解析：如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影部分)。
设z=(x-2)2+y 2，则z 的几何意义为可行域内的点到定点D (2,0)的距离的平方，由图象可知，C ，D 两点间的距离最小，此时z 最小,由{y =1,x -y +1=0,可得{x =0,y =1,即C （0，1）。
所以z min =（0—2)2+12=4+1=5。
4.若函数f (x )=（a —x )｜x —3a ｜(a>0)在区间(-∞,b ］上取得最小值3-4a 时所对应的x 的值恰有两个，则实数b 的值等于( ) A .2±√2B .2-√2或6—3√2C 。
6±3√2D .2+√2或6+3√2 答案：D解析：结合函数f （x )的图象(图略)知，3—4a=—a 2, 即a=1或a=3.当a=1时，—b 2+4b —3=-1（b 〉3),解得b=2+√2;当a=3时,—b 2+12b —27=-9（b>9）， 解得b=6+3√2,故选D. 5.已知函数f （x ）={|lgx |,0<x ≤10,-12x +6,x >10,若a ,b ,c 互不相等，且f (a ）=f (b ）=f (c ），则abc 的取值范围是（ ） A.(1，10) B 。
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专题复习三数形结合Ⅰ、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．Ⅱ、典型例题剖析例1.某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图3－3－1已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求y1与y2的函数解析式；（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？解：（1）y1=20x，y2=10x+300．（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销 10件产品再提成100元．（3）若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案．点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的.例2.某农场种植一种蔬菜，销售员平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图3－3－2，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：（1）请提供四条信息；（2）不必求函数的解析．解：（1）2月份每千克销售价是3．5元；7对月份每千克销售价是0．5元；（3）l月到7月的销售价逐月下降；（4）7月到12月的销售价逐月上升；（5）2月与7月的销售差价是每千克3元；（6）7月份销售价最低，1月份销售价最高；（7）6月与8月、5月与9月、4月与10 月、3月与11 月，2月与12 月的销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．例3.某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3-3-3所示的条形统计图：⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息；⑵请根据条形统计图中的数据补全如图3－3－4所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻, 并说明这两幅统计图各有什么特点？⑶请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。
解：⑴：参加调查的人数为5000人； 说明：只要符合题意，均得满分． ⑵如图3－3－5所示：条形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数．扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数占所调查的总人数的百分比．说明：第二版、第三版所对应的两个扇形中非公共边不在一条直线上的得0分． ⑶如：建议改进第二版的容，提高文章质量，容更贴近生活，形式更活泼些． 说明：只要意义说到、表达基本正确即可得满分．点拨。
统计分布图在中考中出现的越来越多，而统计图又分为：条形。
扇形、折线，从统计图中获得的信息是我们必须掌握的．Ⅲ、同步跟踪配套试题：（60分 45分钟）一、选择题（每题3分，共18分）1．实数a 、b 上在数轴上对应位置如图3－3－6所示，则2||a b b -+等于（ ）A ．aB ．a －2bC ．－aD ．b －a2．不等式组114x x ->⎧⎨≤⎩的解集在数轴上，如图所示表示应是（ ）3．如图3－3－8所示，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为（ ） A ．8 B ．64 C ．16 D ．324．某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量 c（件）关于时间t（月）的图象如图3－3－9所示，则该厂对这种产品来说（）A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量逐月减少；B．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平；C、1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产；D、1月至 3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产。
5．某人从A地向B地打长途6分钟，按通话时间收费，3分钟以收费2．4元，每加 1分钟加收 1元，则表示费y（元）与通话时间(分）之间的关系的图象如图所示，正确的是（）6、如图3－3－11所示，在Rt△ABC中，∠C＝90○，AB=13，BC=5，则以AC为直径的半圆的面积为（）A．6π B．12π C．36π D．18π二、填空题（每题3分，共12分）7．a，b，c是三角形的三条边，则关于x的一次函数222y a b c x a b c ab=+-++--的图象不经过第_______限．()28．若一次函数(2)=-+的图象经过第一、二、四象限时，my m x m的取值围是_______.9．若点P（1，a）和Q（－1，,b）都在抛物线21y x=-+上，则线段PQ的长是_______。
10 已知抛物线2=++经过A（－1，0），B （3，0）， C(2，6）三点，与y轴的交y ax bx c点为D，则△ABD的面积为________.三、解答题（每题10分，共30分）11 甲、乙、丙三人共解出100道数学题．每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫难题，三人都解出的题叫容易题．试问：难题多还是容易题多？（多的比少的）多几道？12 如图3－3－12所示，ΔAOB为正三角形，点A、B的坐标分别为(2,),(,0)A aB b，求a，b的值及△AOB的面积．13 在直径为AB的半圆，画出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，其他两边分别为6和8．现要建造一个接于△ABC的矩形水池 DEFN，其中，DE在 AB 上，如图3－3－13所示的设计方案是使AC=8，BC=6．⑴求△ABC中AB边上的高h；⑵设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？⑶实际施工时，发现在AB上距B点l．85处有一棵大树．问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．Ⅳ、同步跟踪巩固试题b ac（80分 70分钟）一、选择题（每题4分，共36分）1．实数a、b、c在数轴上的位置如图3－3－14 所示，化简||||a b c b++-的结果是（）A．a＋c B．－a－2b+cC．a+2b －c D．－a－c2．若直线y=mx+4，x=l，x=4和x轴围成的直角梯形的面积是7，则m的值是（）A．－12B．－23C．－32D．－23．如图3－3－15中，每个正方形网格都是由四个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分面积为52的是（）4．如图3－3－16所示，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴的夹角为60°，且点A坐标为（－2，0），点B在x轴上方，设A B=a，那么点B的横坐标为（）A．2－a2B．2＋a2C．－2－a2D．－2+a25．实数a、b、c在数轴上对应点位置如图3－3－17所示，下式中正确的是（）A．b+c＞0 B．a+b＜a＋c C．ac＞bc D．ab＞ac6．在边长为a。
的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)（如图3－3－18（l）），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图3－3－18⑵），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A ．22()()a b a b a b -=+-；B ．222()2a b a ab b +=++；C ．222()2a b a ab b -=-+；D ．22(2)()a b a b a ab b +-=+- 7．已知关于x 的不等式2x －a ＞－3的解集如图3－3－19所示，则a 的值等于（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．28．如图3－3－20所示，在反比例函数y= kx(k ＞0）的图象上有三点A 、B 、C ，过这三点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x 轴，y 轴围成的面积分别为S 1，S 2，S 3，则（ ） A ．S 1＞S 2＞S 3 B ．S 1＜S 2 ＜S 3 C ．S 1＜S 3＜S 2 D ．S 1=S 2 =S 39．如图3－3－21（1）所示，在大房间一面墙壁上，边长为15 cm 的正六边形A 如图3－3－21（2）所示）横排20片和以其一部分所形成的梯形B ，三角形C 、D 上，菱形F 等六种瓷砖毫无空隙地排列在一起．已知墙壁高3．3m ，请你仔细观察各层瓷砖的排列特点，计算其中菱形F 瓷砖需使用（ ） A ．220片 B ．200片 C ．180片 D ．190片二、填空题（每题4分，共16分）10 如图3－3－22所示，在平面直角坐标系中，∠AOB =150○，OA ＝OB=2，则点A 、B 的坐标分别是______________和_________．11实数p 在数轴上的位置如图3－3－2322(1)(2)_______p p --。
12已知直线y1=2x－1和y2=－x－1的图象如图3－3－24所示，根据图象填空．⑴当x______时，y1＞y2；当x______时，y1=y2；当x______时，y1＜y2.⑵方程组211y xy x=-⎧⎨=--⎩的解是_____________。
13 已知二次函数21(0)y ax bx c a=++≠与一次函数 y2=kx+ m（k≠0）的图象相交于点 A （－2，4），B（8，2）（如图 3－3－25所示），则能使y1＞y2成立的x的取值围是________．三、解答题(28分)14 (8分)如图3－3－26，以直角三角形的两直角边为边长所作的正方形A、B的面积分别为9，16，求以斜边为边长的正方形DEFG的面积．15 (8分)如图3－3－27所示，有两个同心转盘，现随意转动两转盘，求两转盘静止后恰为如图情形(即大转盘与小转盘的标号相对应）的概率________．16 (10分）如图3－3－28所示，在梯形 ABCD中，BC∥AD，∠A= 90°，AB=2，BC=3，AD=4，E为AD的中点，F为CD的中点，P为BC上的动点(不与 B、C重合〕设 BP=x，四边形PEFC的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值围．。