高考数学导数及其应用专题复习(经典解题技巧和方法)

高考数学导数及其应用专题复习（经典解题技巧和方法）

1.导数概念及其⼏几何意义

（1）了了解导数概念的实际背景。

（2）理理解导数的⼏几何意义。

2.导数的运算

（1）能根据导数定义求函数

的导数。

（2）能利利⽤用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。

3.导数在研究函数中的应⽤用

（1）了了解函数单调性和导数的关系，能利利⽤用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数⼀一般不不超过三次）。

（2）了了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会⽤用

导数求函数的极⼤大值、极⼩小值（其中多项式函数⼀一般不不超过三

次）；会求闭区间了了函数的最⼤大值、最⼩小值（其中多项式函数⼀一

般不不超过三次）。

4.⽣生活中的优化问题

会利利⽤用导数解决某些实际问题

5.定积分与微积分基本定理理

（1）了了解定积分的实际背景，了了解定积分的基本思想，了了解定积分的概念。

（2）了了解微积分基本定理理的含义。

好了了，搞清楚了了导数及其应⽤用的基本内容之后，下⾯面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。

⼀一、利利⽤用导数研究曲线的切线

考情聚焦：1．利利⽤用导数研究曲线的切线是导数的重要应⽤用，为近⼏几年年各省市⾼高考命题的热

点。

2．常与函数的图象、性质及解析⼏几何知识交汇命题，多以选择、填

空题或以解答题中关键⼀一步的形式出现，属容易易题。

解题技巧：1．导数的⼏几何意义

函数在处的导数的⼏几何意义是：曲线在点处的切线的斜率

（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。

2．求曲线切线⽅方程的步骤：

（1）求出函数在点的导数，即曲线在点

处切线的斜率；

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切

线⽅方程为。注：①当曲线在点

处的切线平⾏行行于轴（此时导数不不存在）时，由切线定义可

知，切线⽅方程为；

②当切点坐标未知时，应⾸首先设出切点坐标，再求解。

例例 1：（2010 ·海海南⾼高考·理理科T3）曲线在点处

的切线⽅方程为（）

（A）（B）（C）（D）

【命题⽴立意】本题主要考查导数的⼏几何意义，以及熟练运⽤用导数的运算法则进⾏行行求解.

【思路路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线⽅方程.

【规范解答】选 A.因为，所以，在点处的切线斜率，所以，切线⽅方程为，即，故选 A.

二、利利⽤用导数研究导数的单调性

考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有⼒力力的⼯工具，近⼏几年年各省市⾼高考中的单调性问题，⼏几乎均⽤用它解决。

2．常与函数的其他性质、⽅方程、不不等式等交汇命题，且函数⼀一般为含参数的⾼高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查，属中⾼高档题⽬目。

解题技巧：利利⽤用导数研究函数单调性的⼀一般步骤。

（1）确定函数的定义域；（2）求导数；

（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不不等式＞0或＜0。

②若已知的单调性，则转化为不不等式≥0 或

≤0 在单调区间上恒成⽴立问题求解。例例 2：（2010·⼭山东⾼高

考⽂文科·Ｔ21）已知函数

（1）当时，求曲线在点处的切线⽅方程；

（2）当时，讨论的单调性.

【命题⽴立意】本题主要考查导数的概念、导数的⼏几何意义和利利⽤用导数研究函数性质的能⼒力力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.

【思路路点拨】(1)根据导数的⼏几何意义求出曲线在点处的切线的斜率；（2）直接利利

⽤用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准

的选择.

【规范解答】（1）当所以

因此，

,

即曲线

⼜又所以曲线

（2）因为,所以,令

（1）当时，所以

当时，>0，此时，

函数单调递减；当时，

<0，此时，函数单

调递增.

（2）当时，由，即，解得.

①当时，，恒成⽴立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;

②当时，，

时，,此时,函数单调递减

时，<0,此时,函数单调递增

时，，此时，函数单调递减

③当时，由于,

时，,此时,函

数单调递减：时，

<0,此时,函数

单调递增.

综上所述：

当时，函数在上单调递减;函数

在上单调递增当时,函数在

上单调递减

当时，函数在上单调递减；函数在上单调

递增；

函数在上单调递减.

【⽅方法技巧】

1、分类讨论的原因

(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；

(2)数的运算：如除法运算中除式不不为零，在实数集内偶次⽅方根的被开⽅方数为⾮非负数，对数中真数与底数的要求，不不等式两边同

乘以⼀一个正数还是负数等；

(3)含参数的函数、⽅方程、不不等式等问题，由参数值的不不同⽽而导致结果发⽣生改变；

(4)在研究⼏几何问题时，由于图形的变化(图形位置不不确定或形状不不确定)，引起问题的结果有多种可能.

2、分类讨论的原则

(1)要有明确的分类标准；

(2)对讨论对象分类时要不不重复、不不遗漏漏；