(完整版)《复变函数》期末试卷及答案(A卷)

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XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试

复变函数 试卷

一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。）

1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im

2.

函数2

)

(z z f =在复平面上

( ) A.处处不连续 B.

处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0=

z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析

3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b

a b

a --1的值 ( )

A.大于1

B.等于1

C.小于1

D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0

5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin

π=⎰dz z z

C n

，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2

6.0=z 是2

1

)(

z e z f z -=的 ( )

A.1阶极点

B.2阶极点

C.

可去奇点 D.本性奇点

7.幂级数!2)1(0

n z n n

n n

∑∞

=-的和函数是 ( )

A.z

e - B.2

z

e C.2

z e

-

D.z sin

8.设C 是正向圆周 2=z ，则

=⎰C z dz

2 ( )

A.0

B.i 2π-

C.i π

D.i 2π

9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<-

的充要条件是 ( ) A.a z f z z =→)(lim 0

（a 为复常数） B.∞=→)(lim 0

z f z z

C.)(lim 0

z f z z →不存在 D.以上都对

10. z ln 在1=z 处的泰勒级数展开式为 ( )

A.11 ,1)1()

1(11<-+--+∞

=∑z n z n n n

B.11 ,)1()1(1

<---∑∞

=z n z n n n C.11 ,1)1()

1(10<-+--+∞

=∑z n z n n n

D.11 ,)1()1(0

<---∑∞=z n z n n n

二、填空题(本大题共5小题，每题3分，共15分)

11.i 21+=z 的共轭复数=z ________ . 12.设)i 2)(i 32(+--=z ，则=z arg ________ .

13.在复平面上，函数)2(i )(2

2

2

y xy x y x z f -+--=在直线 ________ 上可导. 14.设C 是正向圆周1=z ，则

=⎰dz z z

C 5cos ________ .

15.若级数∑∞

=1

n n

z

收敛，而级数

∑∞

=1

n n

z

发散，则称复级数

∑∞

=1

n n

z

为 ________ .

学号和姓名务必正确清楚填写。因填写错误或不清楚造成不良后果的，均由本人负责；如故意涂改、乱写的，考试成绩视为无效。

答

题

请

勿 超

过 此

密

封

线

， 否 则

视 为

无 效

。

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三、计算题(本大题共5小题，每小题8分，共40分)

16.利用柯西-黎曼条件讨论函数z z f =)(的解析性.

17.判断数列1

i

2017++=n n z n 的收敛性. 若收敛，求出其极限.

18.求在映射2

z w =下，z 平面上的直线t z )i 2(+=被映射成w 平面上的曲线的方程.

19.求z

e 在0=z 处的泰勒展开式.

20.计算积分dz z ⎰

+i

10

2.

三、证明题(本大题共1小题，每小题15分，共15分)

21.试证明柯西不等式定理:设函数)(z f 在圆R z z C =-0:所围的区域内解析，且在C 上连续，则

,...)2,1( !

)(0)(=≤

n R Mn z f n

n 其中M 是)(z f 在C 上的最大值.

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XXXX 学院2016-2017学年度第一学期期末考试

复变函数答案（A 卷）

一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1－5 C C B B D 6-10 A C A B C

二、单项选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）

11. i 21- 12. 8arctan -π 13. 2

1

=y 14.i 2π 15.条件收敛

三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分） 16. 解：因y x z z f i )(-==，故 y y x v x y x u -==),( ,),(，从而

,1 ,0 ,0 ,1-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂y

u

x u y u x u 因此在任何点),(y x 处，y

v

x u ∂∂≠∂∂，所以)(z f 在复平面内处处不解析。

17. 解： i 1

120161i 1602+++=++=n n

n n n z n 而

)( 11

012016∞→→+→+n n n n ， 所以 i lim =∞→n n z 18. 解：直线t z )i 2(+=的参数方程为

)( ,

2∞<<-∞⎩⎨

⎧==t t

y t x 在2z w =映射下，该直线被映射成w 平面上的曲线

2222)i 43()i 2(t t z w +=+==

于是 ,4 ,32

2t v t u ==

消去t ，得 )0( 3

4

≥=u u v

这是w 平面上第一象限内的一条半直线。

19. 解：因为,...)2,1,0()()(==n e e z n z ，其展开式中泰勒系数为

!

1!)0()(n n f c n n ==

于是 z

e 在0=z 处的泰勒展开式为

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞

=!!21!

0n z z z n z e n

n n n z

20. 解：）（）（i 13

2i 131|313

i 103i

102+-=+==++⎰z dz z

五、证明题（本大题15分）

21. 证：由假设条件及高阶导数公式，有

,...)2,1( )

()

(i 2!)(100)(=-=

⎰+n dz z z z f n z f C n n π 于是

,...)2,1( !

22!,...)2,1( )(2!

)(1110

0)

(==⋅⋅≤=-≤+++⎰n R

Mn R R

M n n dz z z z f n z f

n n C n n πππ 证毕。