工程力学第5章重心和形心

xC
ΔVi xi V
yC
ΔVi yi V
zC
ΔVi zi V
工程力学教程电子教案
重心和形心
7
xC
ΔVi xi V
yC
ΔVi yi V
zC
ΔVi zi V
z
C1
C Ci
P
o
Δz1P1
zC
ΔPi zi
y1 yC x1 xC xi
y
y1 ymax / 3
Ⅱ： A2 a2 , y2 a / 2
yC =
A1 y1 + A2 y2 A1 + A2
,即
y
D
a
C
Ⅱ
a
EⅠ
ymax
A
B
x
ymax


a 2
ymax a
2
ymax a2 3
ymax a2

a 2
工程力学教程电子教案
例题 5-3
重心和形心
ymax
展开得
则
xC
Δ Ai xi A
yC
Δ Ai yi A
上式也即为求平面图形形心的公式。
工程力学教程电子教案
重心和形心
9
§5-2 确定重心和形心位置的 具体方法
具体方法：
(1) 积分法； (2) 组合法； (3) 悬挂法； (4) 称重法。
工程力学教程电子教案
重心和形心
10
1. 积分法
xi
y
工程力学教程电子教案
重心和形心
4
重心位置的确定在实际中有许多的应用。例如，
电机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、
制造、试验和使用时，都常需要计算或测定其重心
的位置。
x
z
C1
C Ci
ΔP1
P ΔPi
o
z1 zC zi
y1 yyiC x1 xC
xi
y
工程力学教程电子教案
重心和形心
5
§5-1 重心和形心的坐标公式
zi与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个 汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上
物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，而
此力系的合力称为物体的重力。
z
C1
C Ci
ΔP1
P ΔPi
o
z1 zC zi
x
y1 yyiC x1 xC
xi
y
工程力学教程电子教案
重心和形心
3
平行力系合力的特点：如果有合力，则合力作用
yC
Δ Pi yi P
工程力学教程电子教案
重心和形心
6
为确定 zC ，将各力绕y轴转90º，得
z
zC
Δ Pi zi P
2. 均质物体的重心坐标公式
即物体容重g 是常量，则 x
C1
C Ci
P
o
Δz1P1
zC
ΔPi zi
y1 yyiC x1 xC
xi
y
P g V , Δ Pi g ΔVi
重心和形心
例题 5-2
x1= 75 mm, y1= 100 mm
A2= -180×130 = -23400 mm2
x2= 85 mm, y2= 110 mm 故
xC
=
30000×75 - 23400×85 30000 - 23400
y 20
200 1
O 150
17
2
20 x
= 39.5 mm
yC
=
30000×100 - 23400×110 30000 - 23400
工程力学教程电子教案
重心和形心
1
第5章 重心和形心
§5-1 重心和形心的坐标公式
§5-2 确定重心和形心位置的 具体方法
工程力学教程电子教案
重心和形心
2
地球表面或表面附近的物体都会受到地心引力。
任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些
微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重
力（即地球的吸引力）ΔPi ，其作用点的坐标xi、yi、
11
若为平面图形，则
x dA
y dA
xC
A
A
, yC A A
例题 5-1 求图示半圆形的形心位置。
C
.O
2R
工程力学教程电子教案
重心和形心
12
例题 5-1
y b(y)
解：建立如图所示坐标系，
则
xC= 0
dy
现求 yC 。
C
y
.O
x
b( y) 2 R2 y2
2R
d A b(y) d y 2 R2 y2 d y
个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第
一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方
法称为组合法。
下面通过例子来说明。
例题 5-2
角钢截面的尺寸如图所 示，试求其形心位置。
200
y 20
20
O 150
x
工程力学教程电子教案
重心和形心
15
例题 5-2
解：取Oxy坐标系如图所示，将角钢分割成两个 矩形，则其面积和形心为：
对于任何形状的物体或平面图形，均可用下 述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的 具体位置。对于均质物体，则有
x dV
xC V V
,
y dV
yC V V
,
z dV
zC
V
V
x
z
C1
C Ci
P
o
Δz1P1
zC
ΔPi zi
y1 yyiC x1 xC
xi
y
工程力学教程电子教案
重心和形心
则
Sx
y
A
dA
R
2y 0
R2

y2
d
y

2 (R2 3

3
y2)2
|
R 0

2 3
R3
工程力学教程电子教案
重心和形心
13
例题 5-1
代入公式有
yC
y
A
d A Sx
源自文库4
R
A
A 3π
y
C
.O
x
2R
工程力学教程电子教案
重心和形心
14
2. 组合法
当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每
= 39.5 mm
200 1
2
20
yC =
A1 y1 + A2 y2 A1 + A2
= 64.5 mm
O 150
x
y
另一种解法：负面积法
20
2
将截面看成是从200mm×150mm的
矩形中挖去图中的小矩形（虚线部
200 1
20
分）而得到，从而
O 150
x
A1 = 200×150= 30000 mm2
工程力学教程电子教案
线上将有一确定的点C,当原力系各力的大小和作用点
保持不变，而将各力绕各自作用点转过同一角度，则
合力也绕C点转过同一角度。 C点称为平行力系的中
心。对重力来说，则为重心。 z
重心的位置对于物体的
相对位置是确定的,与物体在 空间的位置无关。
x
C1
C Ci
P
o
Δz1P1
zC
ΔPi zi
y1 yyiC x1 xC
x
yi
上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的物
体，其重心与形心的位置是重合的。
工程力学教程电子教案
重心和形心
8
3. 均质等厚薄板的重心和平面图形的形心
对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称
平面为xy平面，则其重心的一个坐标zC 等于零。 设板厚为d ，则
有
V =A·d， ΔVi = ΔAi·d
重心测定常采用这种方法。
思考题5-1 图示机床重
2500 N，现拟用“称重法”确 定其重心坐标。为此，在B处
y
放一垫子，在A处放一秤。当 机床水平放置时，A处秤上读 数为1750N，当θ=20º时秤上 B θ 的读数为1500 N。试算出机床 重心的坐标。
x A
工程力学教程电子教案
重心和形心
20
例题 5-3
边长为a的均质等厚正方形板 ABCD，被截去等 腰三角形AEB。试求点E的极限位置 ymax以保证剩余 部分AEBCD的重心仍在该部分范围内。
y
D
a
C
a
E A
ymax
B
x
工程力学教程电子教案
重心和形心
21
例题 5-3
解：分两部分考虑
xC =
a 2
极限位置 yC= ymax
Ⅰ： A1 a ymax / 2


a 2
ymax a
2
ymax a2 3
ymax a2

a 2
y D
a
2
y2 max
6a
ymax
3a2

0
a
解方程得
ymax

62 4
3 a 0.634
a
E A
22
C
ymax
B
x
工程力学教程电子教案
重心和形心
23
A1=（200-20）×20=3600 mm2
x1 = 10 mm y1 = 110 mm A2 = 150×20=3000 mm2 x2 = 75 mm y2 = 10 mm
y 20
200 1 2
O 150
20 x
工程力学教程电子教案
重心和形心
16
例题 5-2 由组合法，得到
y 20
xC =
A1 x1 + A2 x2 A1 + A2
两种方法的结果相同。
= 64.5 mm
工程力学教程电子教案
重心和形心
18
3. 悬挂法 以薄板为例，只要将薄板任意两点A和B依次
悬挂，画出通过A和B两点的铅垂线，两条铅垂线
的交点即为重心C的位置，如图。想一想，为什
么？
A
B.
B A
C
工程力学教程电子教案
重心和形心
19
4. 称重法 对较笨重、形体较为复杂的物体，如汽车，其
1. 重心坐标的一般公式
z
右图认为是一个空间力系，则
C1
C Ci
P=∑ΔPi
ΔP1
P ΔPi
合力的作用线通过物体的重
o
z1 zC zi
心，由合力矩定理
x
y1 yyiC x1 xC
xi
y
My (P) My (Δ Pi )
P xC Δ Pi xi
xC
Δ Pi xi P
同理有