高考数学复习-常用逻辑用语部分

高二数学-常用逻辑用语部分

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.

2、“若

p ，则q ”

：p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、若原命题为“若p ，则q ”

，则它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、若原命题为“若p ，则q ”

，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、若原命题为“若

p ，则q ”

，则它的逆否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性：

四种命题的真假性之间的关系：

()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

7、p 是q 的充要条件：p q ?

p 是q 的充分不必要条件：q p ?，p q ≠> p 是q 的必要不充分条件：p q q p ?≠>,

p 是q 的既不充分不必要条件：

8、逻辑联结词：

（1）用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．全真则真，有假则假。 （2）用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．全假则假，有真则真。

（2）对一个命题

p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?．真假性相反

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M 中任意一个x ，有

()p x 成立”

，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”

，记作“x ?∈M ，()p x ”． 10、全称命题

p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?．全称命题的否定是特称命题．

【题型】

题型一 四种命题与充要条件

【例1】下列命题：

①已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m ⊥α，n ?β，则“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件；

②不存在x ∈(0,1)，使不等式log 2x

,q p ≠>p q ≠>

解析：①当α⊥β时，n ?β可以是平面内任意一直线，所以得不到m ∥n ，当m ∥n 时，m ⊥α，所以n ⊥α，从而α⊥β，故“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件．所以①正确．②log 2x ＝lg x lg 2，log 3x ＝lg x

lg 3，因为lg 2

3，所以1lg 2>1lg 3，当x ∈(0,1)时，lg x lg 2

lg 3，即log 2x

若a k ”是“3

x ＋1

<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞)

D ．(－∞，－1]

解析：由3x ＋1<1，可得3

x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1

<0，

所以x<－1或x>2，因为“x>k”是“3

x ＋1

<1”的充分不必要条件，所以k≥2.

题型二 逻辑联结词、量词

【例1】已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( ) A ．p 真q 假 B ．p 假q 真 C ．“p ∧q ”为假

D ．“p ∧q ”为真

解析：△ABC 中，C >B ?c >b ?2R sin C >2R sin B (R 为△ABC 外接圆半径)，所以C >B ?sin C >sin B . 故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件，命题p 是假命题．

若c ＝0，当a >b 时，则ac 2＝0＝bc 2，故a >b ?ac 2>bc 2，若ac 2>bc 2，则必有c ≠0，则c 2>0，则有a >b ，所以ac 2>bc 2?a >b ，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件，故命题q 也是假命题，故选C. 【例2】若“?x ∈????－π4，π

4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________． 解析：令f (x )＝tan x ＋1，则函数f (x )在????－π4，π4上为增函数，故f (x )的最小值为f ????－π

4＝0， ∵?x ∈???

?－π4，π

4，m ≤tan x ＋1，故m ≤(tan x ＋1)min ，∴m ≤0，故实数m 的最大值为0.