§5.1 导数的概念 数学分析(华师大_四版)课件_高教社ppt_华东师大教材配套课件
《数学分析华师大》课件
数学分析是一门重要的数学学科，涵盖了诸多内容，从函数性质到微积分应 用等。本课件将带您深入了解数学分析的各个方面。
导言
学科介绍
数学分析是研究数学对象的性质和变化规律的一门学科。
重要性
它为其他数学学科提供了理论基础，并在科学研究和实际应用中发挥着关键作用。
应用领域
数学分析在物理学、工程学、经济学等众多领域有广泛的应用。
了解连续函数的定义和性质，探索连
续函数的局部性质和级数定义。
3
间断点
研究间断点的各种类型，包括可去间
复合函数
4
断和跳跃间断。
学习复合函数的概念和性质，掌握复 合函数的求导和求极限的方法。
导数与应用
1 导数的定义
深入研究导数的定义和 性质，掌握导数的计算 方法和应用。
2 最值与极值
3 曲线的变化
研究函数的最大值和最 小值，探索极值的判定 条件和优化问题的解法。
函数定义、性质和图像， 理解函数的各种特性和变换。
研究二维和三维曲线曲面的性 质，包括弧长、曲率和曲面积 分。
指数函数
探索指数函数的性质和应用， 了解指数增长和衰减的规律。
极限与连续性
1
极限的概念
深入研究极限的定义和性质，掌握极
连续函数
2
限运算和极限存在的条件。
极坐标和指数形式
研究极坐标和指数形式的复数 表示，深入理解复数的乘方和 开方。
微分方程
1 常微分方程
学习常微分方程的基本概念和解法，掌握常微分方程在实际问题中的应用。
2 偏微分方程
了解偏微分方程的基本概念和分类，研究常见偏微分方程的解法。
3 数值方法
探索数值方法在微分方程求解中的应用，包括欧拉方法和龙格-库塔方法。
课件3：5.1.2 导数的概念及其几何意义
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是切线 P0T 的斜率 k0， lim fx0＋Δx－fx0
即 k0＝__Δ_x_→_0______Δ_x________＝f′(x0)．
知识点二 导函数的概念
1．定义：当 x 变化时，y＝ f′(x) 就是 x 的函数，我们
[规律方法] 求切点坐标可以按以下步骤进行 (1)设出切点坐标； (2)利用导数或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
[跟踪训练] 直线 l：y＝x＋a(a≠0)和曲线 C：y＝x3－x2＋1 相切，则 a 的值为___________，切点坐标为____________． 解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)， 因为 y′＝Δlxi→m0x＋Δx3－x＋ΔxΔ2x＋1－x3－x2＋1＝3x2－2x， 则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13， 当 x0＝1 时，y0＝x30－x02＋1＝1， 又(x0，y0)在直线 y＝x＋a 上，
答案：B
4．已知函数 y＝f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝12x＋2， 则 f(1)＋f′(1)＝________. 解析：由导数的几何意义得 f′(1)＝12，由点 M 在切线上得 f(1)＝12×1＋2＝52，所以 f(1)＋f′(1)＝3. 答案：3
5．曲线 y＝x2－3x 的一条切线的斜率为 1，则切点坐标为________． 解析：设切点坐标为(x0，y0)， y′＝Δlxi→m0x0＋Δx2－3xΔ0＋x Δx－x20＋3x0 ＝Δlxi→m02x0Δx－3ΔΔxx＋Δx2＝2x0－3＝1，故 x0＝2， y0＝x20－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．
数学分析课件华东师大版
数学分析课件华东师大版
汇报人：
目录
• 引言 • 数学分析基础 • 导数与微分 • 积分学 • 无穷级数 • 多元函数微积分
01
引言
课程简介
01
数学分析是数学专业的一门基础 课程，主要研究实数、函数、极 限、连续性、可微性和积分等概 念及其性质。
02
通过学习数学分析，学生可以掌 握数学的基本原理和方法，培养 逻辑思维能力、抽象思维能力和 解决问题的能力。
总结词
理解无穷级数的定义和性质是掌握无穷级数的基础。
详细描述
无穷级数是数学分析中的一个重要概念，它是由无穷多个数按照一定的规则排列组成的数列。无穷级数具有一些 重要的性质，如线性性质、可加性、可乘性和收敛性等。这些性质在无穷级数的运算和证明中有着广泛的应用。
无穷级数的收敛性判别法
总结词
掌握无穷级数的收敛性判别法是判断无穷级数收敛性的关键。
定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
分部积分法
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常 用方法，它通过求不定积分的原函数 （即不定积分），然后利用原函数计 算定积分。
分部积分法是另一种计算定积分的方 法，通过将两个函数的乘积进行求导 ，将定积分转化为容易计算的积分。
换元法
换元法是一种常用的计算定积分的方 法，通过改变定积分的积分变量或积 分区间，将复杂的积分转化为容易计 算的积分。
极限的性质
极限具有唯一性、局部有界 性、局部保序性、迫近性等 性质。
连续函数的性质
连续函数具有局部有界性、 局部保序性、迫近性等性质 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
如果一个函数在某个点的某个 自变量的偏导数存在，则称该 函数在该点关于该自变量可偏
5.1 导数的概念及其意义(精讲)(解析版)
5.1导数的概念及其意义一、物体的平均速度与瞬时速度1、平均速度设物体的运动规律是()s s t =，则物体在0t 到0t t +∆这段时间内的平均速度为()()00s t t s t s t t +∆-∆=∆∆2、瞬时速度（1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度；（2）一般地，当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近于某一个常数v ，我们就说当t ∆趋近于0时，st∆∆的极限就是v ，这时v 就是物体在0t t =时的瞬时速度，即瞬时速度()()0000limlim t t s t t s t sv t t∆→∆→+∆-∆==∆∆二、导数的平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率1、定义式：2121()()f x f x y x x x -∆=∆-2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．3、意义：刻画函数值在区间[]12,x x 上变化的快慢．4、平均变化率的几何意义：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 是曲线()y f x =上任意不同的两点，函数()y f x =的平均变化率211121()()()()f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆==∆-∆为割线AB的斜率，如图．【注意】Δx 是变量x 2在x 1处的改变量，且x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负．5、求平均变化率的步骤：第一步：先计算函数值的改变量()21()y f x f x ∆=-；第二步：再计算自变量的改变量21x x x ∆=-；第三步：求平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-；三、函数()y f x =在x ＝x 0处的瞬时变化率1、瞬时变化率的定义定义式0000()()limlimx x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢【注意】（1）“x ∆无限趋近于0”的含义x ∆趋于0的距离要多近有多近，即0x ∆-可以小于给定的任意小的正数，且始终0x ∆≠.（2）“函数()y f x =在0x x =的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系“函数()y f x =在0x x =处的导数”是一个数值，是针对0x 而言的，与给定的函数及0x 的位置有关，而与x ∆无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x ，x ∆无关．2、瞬时变化率的变形形式lim →lim →lim→lim →唸四、导数的几何意义1、切线的定义：当x ∆趋于零时，点B 将沿着曲线()y f x =趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l ，直线l 和曲线()y f x =在点A 处“相切”，称直线l 为曲线()y f x =在点A 处的切线．2、导数的几何意义函数()y f x =在0x 处的导数，是曲线()y f x =在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．五、求曲线“在”与“过”某点的切线1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点()()00,x f x 处切线的斜率0()f x '第二步（写方程）：用点斜式000()()()y f x f x x x '-=-第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
5.1.2导数的概念及其意义课件(第一课时)
导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.
1
lim (
)
x0 1 x
1.
追问：对于f ( x) 1 ,你能求f a a R且a 0吗？
x
追问：对于f ( x) 1 ,你能求f a a R且a 0吗？
x
fa =
lim
Δx →0
f a + Δx -
Δx
fa
=
lim
Δx →0
1a + Δx
Δx
1 a
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱlim
Δx →
0
-
a
a
1 + Δx
x
x
x
所以 f (2) lim y lim (x 3) 3.
x x0
x0
同理可得 f (6) lim (x 5) 5. x 0
追问：f (2) 3 和 f (6) 5 在这个实际问题中的意义是什么？ 导数值的正负分别代表什么？
f (2) 3 表示在第 2 h 时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h. 这 说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3℃/h的速率下降.
=
-
1 a2
归纳提升
求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤:
(1)求平均变化率 y f (x 0 x) f (x0 ) ;
x
x
(2)取极限，得导数f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
例3.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行 冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
课件1：5.1.2 导数的概念及其几何意义
[解] (1)将 x＝1 代入曲线 C 的方程得 y＝1，∴切点 P(1，1)．
y′|x＝1＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
1＋ΔΔxx3－1＝Δlixm→0[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.
∴k＝y′|x＝1＝3，∴曲线在点 P(1，1)处的切线方程为
y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2＝0.
5.1.2 导数的概念及其几何意义
学习目标
核心素养
1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程， 1.通过导数概念和导数
体会导数的概念的实际背景．
几何意义的学习，培养
2．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．学生数学抽象及直观想 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处 象的核心素养．
的切线方程．(重点)
在 x＝x0 处的导数(也称为_瞬__时__变__化__率_)，记作 f ′(x0)或_y_′_|x_＝__x_0_，即
f ′(x0)＝
lim
Δx→0
Δy Δx
＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
思考：f ′(x0)＞0 和 f ′(x0)＜0 反映了怎样的意义？
[提示] f ′(x0)＞0 反映了瞬时变化率呈增长趋势，f ′(x0)＜0 反映了瞬时变化率呈下降趋势．
2．曲线 f (x)在点(x0，f (x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切 线有什么不同？ [提示] 曲线 f (x)在点(x0，f (x0))处的切线，点(x0，f (x0))一定 是切点，只要求出 k＝f ′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可； 而曲线 f (x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在 曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
§5.5 微分 数学分析(华师大 四版)课件 高教社ppt 华东师大教材配套课件
0()f x '*点击以上标题可直接前往对应内容微分从本质上讲是函数增量中关于自变量增量的如果给边长x 一个增量, 正方形面积的增量Δx 的线性部分和的高阶部分( )2.Δx 2Δx x Δx Δx 此时, 当边长x 增加一个微小量时,可用Δx Δx ΔS 微分的概念222Δ()2()S x x x x x x =+∆-=∆+∆由两部分组成:设一边长为x 的正方形, 它的面积S = x 2是x 的函线性部分, 请先看一个具体例子.数.后退前进目录退出因的线性部分来近似.由此产生的误差是一个关于的高阶无穷小量Δx2(Δ),x即以为边长的小正方形(如图).Δx2xΔx x2Δx定义500Δ(Δ)()y f x x f x =+-可以表示成ΔΔ(Δ),(1)y A x o x =+设函数0(),().y f x x U x =∈并称为 f 在点处的微分, 记作ΔA x 0x 其中A 是与无关的常数, 则称函数f 在点0x Δx 由定义, 函数在点处的微分与增量只相差一个0x 关于的高阶无穷小量,而是的线性函数.Δx d y Δx ,d 0x A y x x ∆==()(2).d 0x A x f x x ∆==或更通俗地说, 是的线性近似.Δy d y 如果增量可微,定理5.10Δ(1).ΔyA o x=+于是00d ()()Δ.x x f x f x x ='=导, 且证(必要性)如果在点可微, 据(1) 式有f 0x 0Δ0Δ()lim Δx yf x x →'=即在点可导, 且f 0x 0().f x A '=函数在点可微的充要条件是在点可f f 0x 0x Δ0lim ((1)),x A o A →=+=(充分性) 设在点处可导,f 0x 0Δ()Δ(Δ),y f x x o x '=+00d ()Δ.x x yf x x ='=且f 则由的有限增量公式说明函数增量可Δy 表示为的线性部分,与关于的高x ∆0()Δf x x 'Δx 所以在点可微,f 0x 阶无穷小量部分之和.(Δ)o x 定理5.1000d ()()Δ.x x f x f x x ='=导, 且函数在点可微的充要条件是在点可f f 0x 0x0Δx x+xyO()y f x =Δyd y0x P RQ Q '∙∙∙∙Δ,y RQ =它是点P 处切线相在点的增量为f 0x d ,y RQ '=而微分是应于的增量.Δx 当很小时,两者之差相比于|Δd |y y Q Q '-=|Δ|x |Δ|x 将是更小的量(高阶无穷小).微分概念的几何解释:更由于0Δ0Δ0Δd limlim()0,Δx x y y Q Qf x xRQ →→'-'=='故若0()0,f x '≠Δ0lim 0.x Q Q RQ →'='这说明当d ()Δ,,(3)y f x x x I '=∈的高阶无穷小量.QQ 'RQ '还是Δ0,x →时若函数在区间上每一点都可微,则称是上f I f I 它既依赖于,也与有关.Δx x ()f x I 在上的微分记为的可微函数.则得到0Δx x+xyO()y f x =Δyd y0x P RQ Q '∙∙∙∙d ()d ,.(4)y f x x x I '=∈(4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看所以导数也称为微商. 习惯上喜欢把写成,于是(3) 式可改写成Δx d x d d Δ.y x x ==这相当于的情形,此时显然有y x =d (),d yf x x '=(5)积分学部分中.成函数的微分与自变量的微分之商, 即更多的好处将体现在后面d (sin )cos d ;x x x =d()ln d .x xa a a x =1d()d ;x xx ααα-=例12()()d ()()d ()3.d ;()()u x v x u x u x v x v x v x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4.d (())()()d ,().f g x f u g x x u g x ''==其中由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则:1.d (()())d ()d ();u x v x u x v x ±=±2.d(()())()d ()()d ();u x v x v x u x u x v x =+d ()d ,u g x x '=由于故运算法则4 又可以写成微分的运算法则d ()d .y f u u '=解2222ln d()d(ln )sin d()x x x x x x =+-2(2ln 12sin )d .x x x x =+-它在形式上与(4)式完全一样, 不管是自变量还u 例2 求的微分.22ln cos y x x x =+这个性质称为“一阶微分形式不变性”.是中间变量( 另一个变量的可微函数) 上式都成立.22d d(ln cos )y x x x =+22d(ln )d(cos )x x x =+2222d(cos )sin d()2sin d x x x x x x =-=-这里在的计算中, 用了一阶微分形式不变性.例3 求的微分.123e ++=x x y 解3213d e d(21)x x y x x ++=++3221(32)e d .x x x x ++=+§5 微分微分的概念微分的运算法则微分在近似计算中的应用高阶微分或写作22d ()d ,y f x x ''=称为f 的二阶微分.d(d )d(()Δ)y f x x '=()ΔΔ()d(Δ)f x x x f x x '''=⋅+则当f 二阶可导时, d y 关于x 的微分为若将一阶微分d ()Δy f x x '=仅看成是的函数, x 注由于与x 无关, 因此x 的二阶微分Δx d(Δ)x =三者各不相同, 不可混淆.2()()f x x ''=∆2()(d ).f x x ''=d(d )x x 2d =,0=22d (d ),x x =它与2d()2d x x x=高阶微分22d ()d ;(6)y f x x ''=当x 是中间变量((),())y f x x t ϕ==时, 二阶微分依次下去, 可由阶微分求n 阶微分:1n -对的n 阶微分均称为高阶微分. 2n ≥当x 是自变量时,的二()y f x =阶微分是为高阶微分不具有形式不变性.)d (d d 1y y n n -=(1)1d(()d )n n f x x --=()()d .n n f x x =22()d ()d .(7)f x x f x x '''=+()2d d ()d y f x x '=()d d ()d(d )f x x x f x x '''=+例422()sin ,(),d .y f x x x t t y ϕ====设求解法一2 () (), sin ,x t y f x y t ϕ===先将代入得.0d 2=x 而当x 为自变量时,它比(6) 式多了一项2()d ,f x x '()x t ϕ=当时,由(6) 得22d ()d x t t ϕ''=不一定为0,22cos ,y t t '=于是.sin 4cos 2222t t t y -=''22222d (2cos 4sin )d .y t t t t =-解法二依(7) 式得222d ()d ()d y f x x f x x'''=+22sin d cos d x x x x =-+2222..sin (2d )cos 2d t t t t t =-+2222(2cos 4sin )d .t t t t =-2()d f x x '如果将漏掉就会产生错误.22d ()d x t tϕ''=§5 微分微分的概念微分的运算法则高阶微分微分在近似计算微分在近似计算中的应用1.函数值的近似计算000(Δ)()()Δ.(8)f x x f x f x x '+≈+000()()()().(9)f x f x f x x x '≈+-(9) 式的几何意义是当x 与x 0充分接近时, 可用点0Δ()Δ(Δ),y f x x o x '=+由于由此得Δd .y y ≈记, 即当时，0Δx x x =+0x x ≈故当很小时, 有Δx (8) 式可改写为中的应用公式(9) 分别用于sin x , tan x , ln(1+x ), e x ( x 0= 0 ), ,sin x x ≈,tan x x ≈(),1ln x x ≈+.1e x x +≈例5 试求sin 33o 的近似值( 保留三位有效数字).解π,60x ∆=由公式(9) 得到处的切线近似代替曲线, 这种线性近00(,())P x f x 可得近似计算公式( 试与等价无穷小相比较):似的方法可以简化一些复杂的计算问题.,606sin 33sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ 0()sin ,,6f x x x π==取sin33sin cos 6660πππ⎛⎫⎛⎫≈+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.545≈2.误差的估计0|Δ|||,x x x x δ=-≤设数x 是由测量得到的, y 是由函数经过()y f x =如果已知测量值x 0 的误差限为,即x δ算得到的y 0= f (x 0) 也是y = f (x ) 的一个近似值. 差, 实际测得的值只是x 的某个近似值x 0. 由于测量工具精度等原因, 存在测量误计算得到.由x 0计000().(11)||()yx f x y f x δδ'=则当x δ很小时, 量y 0 的绝对误差估计式为:相对误差限则为0|()|y x f x δδ'=称为y 0 的绝对误差限,而的0y 0()()y f x f x ∆=-0()f x x '≈∆0().x f x δ'≤33001π38792.39cm ,6V d =≈201π2V d d δδ=解以d 0 = 42,0.05d δ=计算的球体体积和误差估绝对误差限和相对误差限.计分别为:203001π21||π6V d d V d δδ=⨯‰.03 3.57d d δ=≈例6 设测得一球体直径为42cm, 测量工具的精度为0.05cm. 试求以此直径计算球体体积时引起的2π420.052=⨯⨯3138.54cm ;≈。
导数的概念PPT课件
孟文俊
3
沧州职业技术学院
二、教学目标
方法能力 专业能力
使学生在逻辑分析和判断能力、抽象思维和想象力、精准的数 学运算能力等各方面得到系统训练，为学生职业能力的培养打好基础。
培养学生具有使用数学的思想方法去认识、分析和解决问题的能力。
社会能力
使学生具备适应社会需求变化的可持续发展的能力。
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沧州职业技术学院
后进一步自学和学习数学服务。
孟文俊
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沧州职业技术学院
基础模块
专业模块 机电类数学
专业模块 化工类数学
专业模块
专业模块
信息类数学 经管类数学
孟文俊
7
沧州职业技术学院
基础模块教学安排的设计
划分与描述
参考
名称
描述
学时
1.函数、极 本内容首先对中学数学做全面的总结，然后重点介绍
限、连续 极限的概念，并以此说明函数连续和间断的知识。通 18
积分及应 和方法的掌握，使学生理解“无限求和”（积分）的 18
用
思想，并以此解决实际问题。
孟文俊
8
沧州职业技术学院
基础模块教学安排的设计
Hale Waihona Puke 划分与描述（不同专业模块选择讲授）
参考
名称
描述
学时
1.多元函数 本内容包括多元函数的微分学和积分学，通过对
微积分及应 本内容的学习，使学生进一步理解在三维空间中 20
孟文俊
21
导数的概念
说课目录 任务分析 目的分析 教法分析 过程分析 评价反思
猜想
曲线的切线斜率/ 物体在t0 时刻的瞬时速度
抽象 舍去问题的具体含义
高三数学导数概念PPT课件
事实上，导数也可以用下式表示：
f
( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)
在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处
不可导.
第11页/共30页
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
O
x
x
表明：y 就是割线的斜率. x
第1页/共30页
请看当 点Q沿 着曲线 逐渐向 点P接 近时,割 线PQ 绕着点 P逐渐 转动的 情况.
y
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
o
x
第2页/共30页
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0 时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.
x
x
x
y lim y lim x x x lim
1
x x0
x0
x
x0 x x x
1. 2x
第16页/共30页
例2：利用导数的定义求函数y | x | ( x 0)的导数.
解 ： y | x |,当x 0时, y x,则 y ( x x) x
x
x
y 1, lim 1;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,
则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处
无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,
可以有多个,甚至可以无第穷3页多/共个30页.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解 : k lim f (x0 x) f (x0 )
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一、导数的概念导数是微分学的核心概念,是研究函数与自变量关系的产物,又是深刻研究函数性态的有力工具.无论何种学科,只要涉及“变化率”,就离不开导数.
§1 导数的概念数学分析第五章导数和微分
二、导函数三、导数的几何意义
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§1 导数的概念导函数导数的几何意义导数的概念一般认为, 求变速运动的瞬时速度，别在研究瞬时速度和曲线的牛顿( 1642－1727, 英国) 两个关于导数的经典例子.切线时发现导数的. 微分学产生的三个源头.上一点处的切线，求已知曲线求函数的最大、最小值，这是牛顿和莱布尼茨就是分后退前进目录退出导数的概念
下面是数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导函数导数的几何意义1. 瞬时速度当t 越来越接近t0 时，时间t 的函数, 000()()limttststvtt(1)时刻的瞬时速度. 时刻t0 及邻近时刻t 之间的平均速度是设一质点作直线运动, 质点的位置s是则在某存在时, ,)(tss即其运动规律是平均速度就越来越接近t0严格地说, 当极限这个极限就是质点在t0时刻的瞬时速度.导数的概念
00
()()=.ststvtt
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§1 导数的概念导函数导数的几何意义2. 切线的斜率.)()(00_xxxfxfk其上一点P( x0, y0 ) 处的切线PT.点Q , 为此我们在P 的邻近取一需要寻找曲线y = f (x)在这条割线的斜率为QT0xxOxyP()yfx作曲线的割线PQ ,导数的概念
如图所示, 数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导函数导数的几何意义答: 它就是曲线在点P 的切线PT 的斜率.的极限若存在，会是什么呢？设想一下,当动点Q 沿此曲线无限接近点P 时，k00)()(lim0xxxfxfkxx(2)QT0xxOxyP()yfx则这个极限.)()(00_xxxfxfk导数的概念数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导函数导数的几何意义上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同x0处关于x 的瞬时变化率(或简称变化率).增量比的极限(如果存在) 称为f 在点的极限.D y = f (x) –f (x0) 与自变量增量D x =x –xo之比一类型的数学问题：求函数f 在点x0 处的增量这个增量比称为函数f 关于自变量的平均变化率，导数的概念数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导函数导数的几何意义定义1设函数y =f (x) 在点x0 的某邻域内有定义，000()()lim(3)xxfxfxxx则称函数f 在点x0可导,该极限称为f 在如果令Dx =x –x0, Dy = f (x0+Dx) –f (x0), 00000()()()limlim.(4)xxfxxfxyfxxxDDDDDDx0的导数，记作.)(0xf可以写成如果极限存在,导数就导数的概念数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导函数导数的几何意义这说明导数是函数增量D y 与自变量增量D x之比即就是f (x) 关于x 在x0 处的变化)(0xf点x0 不可导.如果(3) 或(4) 式的极限不存在, 则称在()fx的极限,导数的概念
率.数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导函数导数的几何意义xyfxDDD0lim)1(由此可知曲线y x3 在点P(1, 1)的切线斜率为,3)1(fk所以于是所求切线方程为,)1(31xy.23xy即)33(lim20xxxDDD.3导数的概念
例1 求函数y =x3 在x =1 处的导数，并求该曲线在点P (1,1) 的切线方程.
解1)1()1()1(3DDDxfxfy因为,3332xxxDDD数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导函数导数的几何意义例2 常量函数f (x) = c 在任何一点x 的导数都为例3 证明函数f (x) =| x | 在x =0 处不可导.证因为1,0,()(0)01,0,xfxfxx所以f (x)在x = 0当0x这是因为Dy 0，所以.0)(xf处不可导.零.时它的极限不存在,导数的概念数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导函数导数的几何意义例4 证明函数1sin,0,()0,0xxxfxx在x =0 处不可导.()(0)1sin0fxfxx所以f 在x = 0 处不可导.证因为当时,0x不存在极限,导数的概念数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导函数导数的几何意义(5)式称为f (x) 在点x0 的有限增量公式,设f (x) 在点x0 可导，则xyxfDD)(0这样, 函数f (x) 的增量可以写成0()().(5)yfxxoxΔΔΔ根据有限增量公式即可得到下面定理.时的无穷小量，是当0Dx式对Dx 0 仍然成立.有限增量公式导数的概念
于是D x o(D x).这个公数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导函数导数的几何意义定理5.1如果函数f 在点x0 可导, 则f 在点x0连续.值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可处连续，却不可导. 如例3、例4 中的函数均在x = 0导的必要条件.导数的概念数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导函数导数的几何意义由定理5.1, f (x) 在点x0 不可导.0()(0)(0)lim0xfxffx由于导数是一种极限, 因此如同左、右极限那样, 当x0 = 0 时, 因为，1)(xD证当时,用归结原理容易证明f (x) 在点x0 00x可以定义左、右导数( 单侧导数).不连续,所以有导数的概念
其中D(x) 是熟知的狄利克雷函数.例5 证明函数仅在x 0 处可导,2()()fxxDx
0lim()0.xxDx数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导函数导数的几何意义定义2xxfxxfxyxxDDDDDD)()(limlim0000则称该极限为f (x) 在点x0 的右导数,记作.)(0xf类似地可以定义左导数, 合起来即为: ),[00xx上有定义，设函数y =f (x) 在点的某个右邻域0x00000000()()()lim,(6)()()()lim.xxfxxfxfxxfxxfxfxxΔΔΔΔΔΔ如果右极限存在，导数的概念数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导函数导数的几何意义定理5.2右导数和左导数统称为单侧导数.如果函数y =f (x) 在点x0 的某个邻域内有定义，00()().fxfx在讨论分段函数在分段点上的可导性时, 本结论则)()(00xf、xf)(0xf存在的充要条件是都存在，且很有用处，请看下面例题.类比左、右极限与极限的关系，我们有：导数的概念数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导函数导数的几何意义例6 设1cos,0,(),0.xxfxxx试讨论f (x) 在x =0 处的左、右导数和导数.解容易看到f (x) 在x 0 处连续. 又因1cos,0,(0)(0)1,0,xxfxfxxxDDDDDD所以，0cos1lim)0(0DDDxxfx导数的概念数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导函数导数的几何意义DD00Δ(0)limlim11.Δxxxfx，由于)0()0(ff故f (x) 在x =0 处不可导.导数的概念数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导数的概念导函导数的几何意义导函数
如果函数f 在区间I 上的每一点都可导(对于区间
0()()()lim,.xfxxfxfxxIxDDD
(7)
即导函数，简称导数, 定义了一个在区间I 上的函数，称为f 在I 上的则称f 为区间I 上的可导函数. 端点考虑相应的单侧导数, 如左端点考虑右导数) ,仅为一个记号，学了微分之后就会知注这里xydd意一点x 都有f 的一个导数与之对应, ()0fx此时,对I上的任这就数记作()d,,dyfxyx或数学分析第五章导数和微分高等教育出版社
§1 导数的概念导数的概念导函导数的几何意义道，这个记号实质是一个“微分的商”.
.dd,,d)(d000xxxxxxxyyx
xf
例7 求函数y xn 的导数，n为正整数.解由于xxxxxynnDDD
D)(
,2)1(121nnnxxxnnnxDD
相应地，也可表示为)(0xf
1210(1)lim()2nnnxnnynxxxxD
DD
因此
数1.nnx