工程力学第10章 应力状态和强度理论
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工程力学第十章-优质课件
－θdA＋（sx dAcosq）sinq＋（xydAcosq）cosq －（sydA sinq）cosq－（yx dA sinq）sinq＝0
利用三角倍角公式，上述二式经过整理后，得到计算平
面应力状态中任意方向面上正应力与剪应力的表达式：
s
＝s
q
x＋s
2
y
＋s x－s
2
y
cos2q－ sin 2q
正应力s ——拉应力为正，压应力为负
切应力 ——使微元体顺时针转动趋势为正，反之为负。
sy
y' y
x'
q
sx
x
10.2.2微元的局部平衡
平衡对象
——用q 斜截面截取的微元局部
y´
参加平衡的量 ——应力乘以其作用的面积
x´
q
q
s
q
q
x
平衡方程
Fx 0
Fy 0
对于同一种失效形式，有可能在引起失效的原因中 包含着共同的因素。
建立复杂应力状态下的强度失效判据，就是提出关 于材料在不同应力状态下失效共同原因的各种假说。根 据这些假说，就有可能利用单向拉伸的实验结果，建立 材料在复杂应力状态下的失效判据。
10.2 平面应力状态分析——任意方向面上应力的确定
当微元三对面上的应力已经确定时，为求
sx
q q sq
xy dAcosq cosq yx dAsinq sinq s y dAsinq sinq 0
xy dA
yx
sy
10.2.3平面应力状态中任意方向面上的正应力与剪应力
sθdA－（sx dAcosq）cosq ＋（xydAcosq）sinq －（sydA sinq）sinq＋（yx dA sinq）cosq＝0
利用三角倍角公式，上述二式经过整理后，得到计算平
面应力状态中任意方向面上正应力与剪应力的表达式：
s
＝s
q
x＋s
2
y
＋s x－s
2
y
cos2q－ sin 2q
正应力s ——拉应力为正，压应力为负
切应力 ——使微元体顺时针转动趋势为正，反之为负。
sy
y' y
x'
q
sx
x
10.2.2微元的局部平衡
平衡对象
——用q 斜截面截取的微元局部
y´
参加平衡的量 ——应力乘以其作用的面积
x´
q
q
s
q
q
x
平衡方程
Fx 0
Fy 0
对于同一种失效形式，有可能在引起失效的原因中 包含着共同的因素。
建立复杂应力状态下的强度失效判据，就是提出关 于材料在不同应力状态下失效共同原因的各种假说。根 据这些假说，就有可能利用单向拉伸的实验结果，建立 材料在复杂应力状态下的失效判据。
10.2 平面应力状态分析——任意方向面上应力的确定
当微元三对面上的应力已经确定时，为求
sx
q q sq
xy dAcosq cosq yx dAsinq sinq s y dAsinq sinq 0
xy dA
yx
sy
10.2.3平面应力状态中任意方向面上的正应力与剪应力
sθdA－（sx dAcosq）cosq ＋（xydAcosq）sinq －（sydA sinq）sinq＋（yx dA sinq）cosq＝0
工程力学电子教案(第三版)第10章 动荷载与交变应力-文档资料
10－2－1 交变应力与疲劳破坏 工程中有些构件，在工作时的应力是随时间 的改变而按某种规律交替变化的，这种应力称为 交变应力。构件内产生交变应力的原因可分为两 种。 一种是载荷不变，而构件本身在转动，从而 引起构件内部应力发生交替变化。如火车轮轴 (图a) 以匀角速度 转动，轴内除了轴线上各点之外， 其他任一点的弯曲正应力，都是随轮轴的转动而 变化的，当轮轴旋转一周，各点的正应力完成一 次周期性变化(图b)。
应用截面法，将吊索在离下端为x处截开， 取重物和部分吊索为研究对象（图10－1b）， 其上作用的力有轴力FNd，重物的重力W，吊索 自重Ax及虚加上的惯性力 W Ax a 。
g
§10－1构件作匀加速直线运动和匀速转动时的应力与强度
FNd
Ax
a x
W
W (a)
W Ax a g (b)
a (W Ax)(1 ) g
g
的内力乘以因数我们把这个因数称为动荷因数， 。 并用 K d 表示，即
a 即动载荷作用下的内力等于静载荷作用下(1 ) g
§10－1构件作匀加速直线运动和匀速转动时的应力与强度
a Kd 1 g
而
FNd FNst K d
上式表明，动载荷作用下的内力等于静载 荷作用下的内力乘以动荷因数。 吊索横截面上的动应力为： d
d
上式表明，在动载荷问题中，只要将构件的 许用应力除以相应的动荷因数Kd ，则在动载荷 作用下的强度问题就可以按静载荷作用下的强 度问题来计算。需要指出，在不同的动载荷问 题中，动荷因数Kd也不同。
§10－1构件作匀加速直线运动和匀速转动时的应力与强度
例10－1 矿山升降机吊笼重W＝40 kN， 钢索长l＝200 m，横截面面积A＝300 mm2， 钢索材料单位长度重量 ＝ 18 N/m，许用应 力[] ＝ 160 MPa。启动时，吊笼上升的加速 度a ＝ 2 m/s2，试校核钢索的强度。
(完整word版)南京工业大学工程力学应力状态和强度理论习题
3、已知一点的应力状态如图。
试求其主应力及其方向角，并确定最大切应力值.解：2max 2min22x y x y xy102.62MPa 52.62 1102.62MPa ，20，352.62MPa21140arctan arctan 7.4722150xy xy13max77.62MPa 24、图示单元体,试求 （1）指定斜截面上的应力；(2试题答案：解：（1）cos 2sin 222x y x yx201050376.6MPasin 2cos 22xyx20sin 60100cos 601035032.68MPa（2)2max 2min22xyxyxy81.9820101.98MPa 121.98181.98MPa ,20，3121.98MPa211200arctan arctan 39.352240xy xyMPa10、图示圆筒外径350mm D ，内径250mm d ,受轴向拉力450kN F和扭力偶e30kN m M 的联合作用。
试求其上K 点的最大主应力和最大切应力。
试题答案：解：32450101049.55MPa 3.14 6.25,3301016 4.82MPa 3.14 4.280.7421222311.56 4.775 4.775 4.82MPa 2.0222213max6.79MPa 211、图示简支梁,已知弹性模量是E 和泊松比。
试求 （1）点B 单元体的形状畸变能密度d v ; (2）体积改变能密度V v ; (3)总的应变能密度.试题答案：解:（1）21234ql bh，230，0222d 1231223311()3v E24243(1)16q l E b h（2)2V 12312()6v E 24243(12)32q l E b h（3）2221231223311[2()]2E2424932q l Eb h13、 构件中危险点的应力状态如图所示.试选择合适的准则对以下两种情形作强度校核：1．构件为钢制x σ= 45MPa ，y σ= 135MPa ，z σ= 0，xy τ= 0，许用应力][σ= 160MPa 。
工程力学10弯曲应力
M(x)
Q(x) dx
Q(x)+d Q(x)
图b M(x)+d M(x) z
在梁上取微段如图b；
x 在微段上取一块如图c，平衡 图c
t1
s
18
t
y
s1
X N
2
N1 t1b( dx ) 0
梁横截面上的剪应力
* M MSz * N1 * sdA A* ydA I z A Iz * ( M + dM )S z N2 Iz *
B 木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0. 9 M Pa，
L=3m
qL 2
试求最大正应力和最大剪应力之比,
Q
并校核梁的强度。
– 解：画内力图求危面内力 x
qL 2
+
Qmax
M max
qL 3600 3 5400 N 2 2
qL2 3600 32 4050Nm 8 8
M =0 F 1.4=5 0.4+31.2+31.7=10.7 F =7.64kN F =0 F +F ＝5+3+3=11 F =11-7.64=3.36kN
A RB RB
y RA RB RA
M C =3.36kN 0.4m=1.344kN m (下沿受拉) M B =3kN 0.3m=0.9kN m ( 上沿受拉)
s B=
MB 900N m = =62.1MPa 3 4 WB 0.06 0.045 1 32 0.06 4
s max=s C =63.2MPa
17
梁横截面上的剪应力
一、 矩形截面梁横截面上的剪应力 x y
《材料力学》第十章 强度理论
材料力学
第十章 强度理论
Theory of Strength
§10-1 强度理论的概念
The Conception of Theory of Strength
材料力学所研究的最基本问题之一——构件的强度问题。
由§1-1我们知道:构件的强度是指构件承受荷载的能力或构件抵抗
破坏的能力。在前面各章中,我们得到:
圆簇的包络线(Envelope of the family of limiting stress circles)。
简化的莫尔包络线由简单拉伸极限 应力圆和简单压缩极限应力圆的公切线, 以及简单拉伸极限应力圆的切点间轴正 向侧部分曲线构成。
§10-3 莫尔强度理论及其相当应力
Mohr’s strength theory and its equivalent stresses
P
s
P A
4 50 103
0.12 106
6.37MPa
AA s t
t
T Wn
16 7 106
0.13 109
35.65MPa
s s
1 3
6.37 2
(6.37)2 35.652 38.98 MPa
2
32.61
s1 39.0MPa,s 2 0,s 3 32.6MPa
(2)最大伸长线应变理论(The maximum tension strain theory)
认为:最大伸长线应变是使材料发生断裂破坏的主要因素
破坏条件:
e1=ejx
强度条件: бr2=б1-μ(б2+б3)≤[б]---(10-2)
((10-2)式是由虎克定律得出的,因为:e1=[б1-μ(б2+б3)]/E；单向
第十章 强度理论
Theory of Strength
§10-1 强度理论的概念
The Conception of Theory of Strength
材料力学所研究的最基本问题之一——构件的强度问题。
由§1-1我们知道:构件的强度是指构件承受荷载的能力或构件抵抗
破坏的能力。在前面各章中,我们得到:
圆簇的包络线(Envelope of the family of limiting stress circles)。
简化的莫尔包络线由简单拉伸极限 应力圆和简单压缩极限应力圆的公切线, 以及简单拉伸极限应力圆的切点间轴正 向侧部分曲线构成。
§10-3 莫尔强度理论及其相当应力
Mohr’s strength theory and its equivalent stresses
P
s
P A
4 50 103
0.12 106
6.37MPa
AA s t
t
T Wn
16 7 106
0.13 109
35.65MPa
s s
1 3
6.37 2
(6.37)2 35.652 38.98 MPa
2
32.61
s1 39.0MPa,s 2 0,s 3 32.6MPa
(2)最大伸长线应变理论(The maximum tension strain theory)
认为:最大伸长线应变是使材料发生断裂破坏的主要因素
破坏条件:
e1=ejx
强度条件: бr2=б1-μ(б2+б3)≤[б]---(10-2)
((10-2)式是由虎克定律得出的,因为:e1=[б1-μ(б2+б3)]/E；单向
(完整版)第10章应力应变分析及应力应变关系
10.13 1
第10章 应力应变分析 应力应变关系
本章主要内容
(1) 从静力学的角度给出应力的概念，一点处的应力状态的分析； (2) 从连续介质变形几何学的角度，给出应变的概念，一点处的应变状态
的分析； (3) 应力和应变的关系
将一点处的应力与应变联系起来的是材料本身所固有的力学性能，在 大量实验结果的基础上，本章给出常见工程材料的应力应变关系。
将直角坐标系作如下替换：x 1, y 2, z 3
11 12 13
i j 21
22
23
31 32 33
(i, j 1,2,3) (10.6)
11
剪应力互等定理
(1) 若将任意一点处的单元体看作从物体中切出来的一个分离体，则可 对单元体写出全部6个平衡方程
Fx 0 : ( xx yx zx ) ( xx yx zx ) 0 Fy 0 : ( xy yy zy ) ( xy yy zy ) 0
dx 2
( zxdxdy)
dy 2
( zydxdy)
dx 2
0
13
(2) 剪应力互等定理
在物体内任一点处互相垂直的两个截面上，剪应力总是同时存在， 且大小相等，两者的方向共同指向或共同背离这个两截面的交线。
用张量指标形式可表示为
i j ji
(10.9)
一点的应力状态
(1) 应力张量——二阶对称张量，9个分量中，6个独立分量。 (2) 一点处的应力张量可写为
y (dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
Ft 0 : dA x (dAcos)sin x (dAcos) cos
y (dAsin ) cos y (dAsin )sin 0
考虑到 x y，仅数值相等
第10章 应力应变分析 应力应变关系
本章主要内容
(1) 从静力学的角度给出应力的概念，一点处的应力状态的分析； (2) 从连续介质变形几何学的角度，给出应变的概念，一点处的应变状态
的分析； (3) 应力和应变的关系
将一点处的应力与应变联系起来的是材料本身所固有的力学性能，在 大量实验结果的基础上，本章给出常见工程材料的应力应变关系。
将直角坐标系作如下替换：x 1, y 2, z 3
11 12 13
i j 21
22
23
31 32 33
(i, j 1,2,3) (10.6)
11
剪应力互等定理
(1) 若将任意一点处的单元体看作从物体中切出来的一个分离体，则可 对单元体写出全部6个平衡方程
Fx 0 : ( xx yx zx ) ( xx yx zx ) 0 Fy 0 : ( xy yy zy ) ( xy yy zy ) 0
dx 2
( zxdxdy)
dy 2
( zydxdy)
dx 2
0
13
(2) 剪应力互等定理
在物体内任一点处互相垂直的两个截面上，剪应力总是同时存在， 且大小相等，两者的方向共同指向或共同背离这个两截面的交线。
用张量指标形式可表示为
i j ji
(10.9)
一点的应力状态
(1) 应力张量——二阶对称张量，9个分量中，6个独立分量。 (2) 一点处的应力张量可写为
y (dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
Ft 0 : dA x (dAcos)sin x (dAcos) cos
y (dAsin ) cos y (dAsin )sin 0
考虑到 x y，仅数值相等
材料力学第10章 强度理论
§10-2 四种常用的强度理论
一、关于断裂的强度理论
2．最大拉应变理论（第二强度理论、最大伸长线应变理论）
提出的假说：
最大拉应变是引起材料断裂破坏的原因 。
2
脆性断裂破坏的条件：
均处于弹性范围内 u 1 1 1 2 3 u
1 u
1
[ t ] 3 [ t ] [ c ]
当 [ t ] [ c ] [ ] 时，有
1 3 [ ]
莫尔强度理论可以看作是最大切应力理论的发展，考虑 了材料拉压强度不等的因素。
材料力学
第10章 强度理论
§10-3 莫尔强度理论 二、 莫尔强度理论简介与推导 按照材料在某些应力状态下破 坏时的主应力1,3可作出一组应力 圆——极限应力圆(如图)，这组极限 应力圆有一条公共包络线(即极限包 络线，一般情况下为曲线，如图中 的曲线ABC和与它对称的另一曲线)。 莫尔强度理论认为，对于某一给 定的应力状态(1,2,3 )如果由1与 3所作应力圆与上述极限包络线相切 或相交，则表示材料要发生强度破坏。 在工程应用中，往往根据单轴拉伸和单轴压缩的强度试 验结果作两个极限应力圆定出公切线(直线)作为极限包络线。
2、按正应力条件选择截面 M max M max 84 103 6 3 ≤[ ] Wz≥ 494 10 m Wz [ ] 170 106 查型钢表选择28a工字钢。 4 I 3、切应力强度校核 I z 7114cm ， z* =24.62，d =8.5cm Sz FQmax 200 103 max 2 3 Iz 24.62 10 8.5 10 d * Sz
②切应力强度条件
扭转
u
工程力学 第二版 (范钦珊 唐静静 著) 高等教育出版社 课后答案 第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
网
FP a2
ww w
5
.k hd
b
m
上表面
∴
σa 4 = σb 3
习题 10－7 图
和 ε 2 。证明偏心距 e与 ε1 、 ε 2 之间满足下列关系：
FP
网
ww w
e=
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
课
后 答
案
FP
M = FP e
习题 10－8 图
解：1，2 两处均为单向应力状态，其正应力分别为： 1 处：
第10章
组合变形与变形杆件的强度计算
10－1 根据杆件横截面正应力分析过程， 中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析 下列答案中哪一个是正确的。 （A）My = 0 或 Mz = 0， FN ≠ 0 ； （B）My = Mz = 0， FN ≠ 0 ； （C）My = 0，Mz = 0， FN ≠ 0 ； （D） M y ≠ 0 或 M z ≠ 0 ， FN = 0 。 正确答案是 D 。 解：只要轴力 FN x ≠ 0 ， 则截面形心处其拉压正应力一定不为零， 而其弯曲正应力一定为零， 这样使其合正应力一定不为零，所以其中性轴一定不通过截面形心，所以答案选（D） 。 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。 （A）中性轴不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心； （B）中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心； （C）中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心； （D）中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。 正确答案是 D 。 解：中性轴上正应力必须为零。由上题结论中性轴不一定过截面形心；另外当轴力引起的 拉（压）应力的绝对值大于弯矩引起的最大压（拉）应力的绝对值时，中性轴均不在截面内， 所以答案选（D） 。 并且垂 10－3 图示悬臂梁中， 集中力 FP1 和 FP2 分别作用在铅垂对称面和水平对称面内， 直于梁的轴线，如图所示。已知 FP1＝1.6 kN，FP2＝800 N，l＝1 m，许用应力 σ ＝160 MPa。 试确定以下两种情形下梁的横截面尺寸： 1．截面为矩形，h＝2b； 2．截面为圆形。
工程力学(材料力学)9 应力状态和强度理论
1
2
(σ1
σ2)2
(σ2
σ3)2
(σ3
σ1)2
σs
考虑安全因数后，第四强度理论的强度条件为
1
2
(1
2 )2
( 2
3)2
( 3
1)2
[ ]
3.强度理论的选用
具体可以归结为如下四点：
（1）脆性材料，最小主应力大于等于零时，使用第一理论；当 最大主应力小于等于零时，使用第三或第四理论。 （2）塑性材料，当最小主应力大于等于零时，使用第一理论； 其他应力状态时，使用第三或第四理论。 （3）简单变形时，用与其对应的强度准则。如扭转等要求
应力状态和强度理论
• 应力状态的概念; • 平面应力状态下的应力分析; • 空间应力状态简介; • 材料的破坏形式; • 强度理论的概念;
教学目的和要求
• 构件的应力应变状态及材料破坏的强度理论。 • 掌握一点应力状态的概念， • 平面应力状态下单元体任意斜截面上的应力及单
元体主应力、主方向、最大切应力。 • 任意状态下通过广义胡克定律建立应力应变关系。 • 了解材料破坏的方式，掌握四种强度理论。
规定： 截面外法线同向为正； t 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
列平衡方程
Fn 0
dA t xy (dAcos ) sin x
x (dAcos ) cos
y
y
ttxy
n
t yx (dAsin ) cos
Ox
t
y (dAsin ) sin 0
Ft 0
t dA t xy (dAcos ) cos x (dAcos ) sin
最大切应力是引起材料屈服的主要因素。材料最大切应力
τmax达到材料在单向拉伸屈服时的最大切应力τjx ，发生屈服 破坏。
第10章应力状态概述
sx 三个互相垂直的主平面.
主应力：
sz
主平面上的正应力。
z
x 主应力排列规定：按代数值大小，
s2
s 1s 2 s 3
s1 主应力单元体：
由主平面构成的单元体。
s3
六.应力状态的分类: 三向应力状态： 三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态：一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态：一个主应力不为零的应力状态。
s1 17°
x
(e)
解析法：
s max s min
1 2
(s
x
s
y)
1 2
(s x
s y )2
4t
2 x
46.1MPa
26.1MPa
0
1 tg 1 2t x 2 sx sy
16.85o
s 1 46.1MPa, s 2 29MPa, s 3 26.1MPa
t max
s1
s3
2
36.1MPa
t
(c)
s 2 20MPa s 3 26MPa
t
(d)
B
D2
D2
max t
OC
A
s
OC
A
s
D1
s3
s1
D1
s3
s2 s1
最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。
最大剪应力对应于B点的纵坐标，即
tmax BC 36MPa
作用面与s2平行而与s1成45°角，如图e所示。
s3
tmax s2
s2
s1
t
s3
s2
s3
s1
s3
s2
s2
s1
s3