2014年高考全程复习构想高三文科科一轮复习资料第六章不等式1.6.1
高三数学高考第一轮复习课件：不等式
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
高考数学文科一轮复习(课件+习题)：第六章不等式、推
第五节 合情推理与演绎推理1．在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…，这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形，如下图，则第n 个三角形数为( ) A ．n B .12n(n ＋1)C ．n 2－1D .12n(n －1)答案：B2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，由此归纳出{a n }的通项公式解析：A 、D 是归纳推理，B 是类比推理；C 运用的“三段论”是演绎推理．答案：C3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“t ≠0，mt ＝nt ⇒m ＝n ”类比得到“c ≠0，a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b ”； ④“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”． 以上类比得到的正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④解析：由向量的数量积的概念知“a ·b ＝b ·a ”正确；由向量的运算法则知“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”正确；当a ，b 都与c 垂直时，“c ≠0，a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b ”不正确；当a ⊥b 时“|a ·b |＝|a |·|b |”不正确．故选C.答案：C4．无限循环小数为有理数，如：0.1·，0.2·，0.3·，…，观察0.1·＝19，0.2·＝29，0.3·＝13，…，则可归纳出0.4· 5·＝( )A .12B .511C .120D .5110解析：观察知0.1·＝19，0.2·＝29，0.3·＝39，…，所以可归纳出0.4· 5·＝4599＝511. 答案：B5．(2013·衡水调研)已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：记A(s ，t)表示第s 行的第t 个数，则A(11，12)＝( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫1367B .⎝ ⎛⎭⎪⎫1368C .⎝ ⎛⎭⎪⎫13111D .⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 解析：该三角形数阵每行所对应元素的个数为1，3，5，…，那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11，12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.故选D.答案：D6．(2014·湖北卷)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“菌盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V≈136L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么近似公式V≈275L 2h相当于圆锥体积公式中的π近似取为( )A .227B .258C .15750D .355113解析：设圆锥的底面圆半径为r ，则L ＝2πr ，由136L 2h ≈13Sh ，代入S ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V ≈275L 2h 时，π≈258，故选B.答案：B7．(2013·佛山一模)观察下列不等式： ①12＜1；②12＋16＜2；③12＋16＋112＜3；…，则第5个不等式为__________________________．解析：由①12＜1；②12＋16＜2；③12＋16＋112＜3；归纳可知第四个不等式应为12＋16＋112＋120<2； 第五个不等式应为12＋16＋112＋120＋130＜ 5.故答案为12＋16＋112＋120＋130＜ 5. 答案：12＋16＋112＋120＋130＜ 58．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据以上规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＝________________________________________________________________________(结果用具体数字作答)．解析：观察前3个等式发现分别从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等于右边的分别是这几个数的和的平方，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＝(1＋2＋…＋8)2＝362＝1 296.答案：1 296 9．(2013·宝鸡检测)考察下列一组不等式：23＋53＞22×5＋2×52， 34＋64＞3×63＋33×6， 55＋95＞52×93＋53×92， 652＋752＞62×712＋612×72， …将上述不等式在左、右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________________________________________________________________________．解析：依题意得，推广的不等式为a m ＋n ＋b m ＋n ＞a m b n ＋a n b m (a ＞0，b ＞0，a ≠b ，m ＞0，n ＞0)．答案：a m ＋n ＋b m ＋n ＞a m b n ＋a n b m (a ＞0，b ＞0，a ≠b ，m ＞0，n ＞0) 10．(2013·重庆一中月考)已知圆：x 2＋y 2＝r 2上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为：x 0x ＋y 0y ＝r 2，类比以上结论有：双曲线：x 2a 2－y2b2＝1上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为：____________________________．解析：设圆上任一点为(x 0，y 0)，把圆的方程中的x 2、y 2替换为x 0x ，y 0y ，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上任一点为(x 0，y 0)，则有切线方程为x 0x a 2－y 0yb2＝1(这个结论是正确的，证明略)．答案：x 0x a 2－y 0y b2＝111．观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？解析：设f (n )为n 个点可连的弦的条数，则f (2)＝1，f (3)＝3，f (4)＝6，f (5)＝10，…，f (n )＝n （n －1）2.因此圆周上n 个点之间所连的弦共有n ()n －12条(n ≥2)．12．(2013·广东中山模拟)设f(x)＝13x ＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解析：f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33， 同理可得：f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1， f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝（3x 1＋3）＋（3x 2＋3）（3x 1＋3）（3x 2＋3）＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3（3x 1＋3x 2）＋3＝3x1＋3x2＋233（3x1＋3x2）＋2×3＝3x1＋3x2＋233（3x1＋3x2＋23）＝33.。
2014届高考数学一轮复习 第6章《不等式与推理证明》(第7课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第6章《不等式与推理证明》（第7课时）（新人教A 版）一、选择题1．利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－an ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)”时，在验证n ＝1成立时，左边应该是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：选C.当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2，故选C.2．某个与正整数n 有关的命题，如果当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，该命题成立，则一定可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，则有( )A ．当n ＝4时，该命题成立B ．当n ＝6时，该命题成立C ．当n ＝4时，该命题不成立D ．当n ＝6时，该命题不成立解析：选C.因为当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，该命题成立，则一定可推得当n ＝k ＋1时，该命题也成立，所以当n ＝5时，该命题不成立，则一定有n ＝4时，该命题不成立．3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n，n ∈N *，那么f (n ＋1)－f (n )＝( )A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2 解析：选D.用数学归纳法证明有关问题时，分清等式两边的构成情况是解题的关键．显然，当自变量取n 时，等式的左边是n 项和的形式．f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋1＋1＋1n ＋1＋2＋…＋1n ＋1＋n＋1n ＋1＋n ＋1－1n ＋1－1n ＋2－…－1n ＋n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.4．在数列{a n } 中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1n －1n ＋1B.12n 2n ＋1C.12n －12n ＋1D.12n ＋12n ＋2解析：选C.由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，得S 2＝2(2×2－1)a 2，即a 1＋a 2＝6a 2，∴a 2＝115＝13×5，S 3＝3(2×3－1)a 3，即13＋115＋a 3＝15a 3. ∴a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9.故选C .5．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是()A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k)解析：选D.(1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)知，命题对k ∈N *成立． 二、填空题6．用数学归纳法证明当n ∈N *时1＋2＋22＋23＋…＋25n －1是31的倍数时，当n ＝1时原式为________，从k →k ＋1时需增添的项是____________．解析：把n ＝k ，n ＝k ＋1相比较即可得出．答案：1＋2＋22＋23＋24 25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋47．平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点且任三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数f (n )＝________.答案：n 2－n ＋28．f (n ＋1)＝2f nf n ＋2，f (1)＝1(n ∈N ＋)，猜想f (n )的表达式为________．解析：f (2)＝2f 1f 1＋2＝23；f (3)＝2f 2f 2＋2＝2×2323＋2＝24；f (4)＝2f 3f 3＋2＝2×2424＋2＝25；…；猜想f (n )＝2n ＋1.答案：f (n )＝2n ＋1三、解答题9．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>2n ＋12均成立． 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时不等式成立，即 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12k ＋1－1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2k ＋1＋12.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立． 10．是否存在常数a ，b ，c 使得等式1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2＝n n ＋112(an 2＋bn＋c )对于一切正整数n 都成立？并证明你的结论．解：假设存在符合题意的常数a ，b ，c ，在等式1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2＝n n ＋112(an 2＋bn ＋c )中，令n ＝1，得4＝16(a ＋b ＋c )①令n ＝2，得22＝12(4a ＋2b ＋c )②令n ＝3，得70＝9a ＋3b ＋c ③由①②③解得a ＝3，b ＝11，c ＝10， 于是，对于n ＝1,2,3都有1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2＝n n ＋112(3n 2＋11n ＋10)(*)式成立．下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n ，(*)式都成立． (1)当n ＝1时，由上述知，(*)式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，(*)式成立，即1·22＋2·32＋…＋k (k ＋1)2＝k k ＋112(3k 2＋11k ＋10)，那么当n ＝k ＋1时，1·22＋2·32＋…＋k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k k ＋112(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k ＋1k ＋212(3k 2＋5k ＋12k ＋24)＝k ＋1k ＋212[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]，由此可知，当n ＝k ＋1时，(*)式也成立．综上所述，当a ＝3, b ＝11，c ＝10时题设的等式对于一切正整数n 都成立．一、选择题1．(2013·某某交大附中质检)用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)，从k 到k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：选B.当n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，而当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，∴左边增乘的式子为2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)．2．(2013·某某调研)已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n(na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c解析：选A.∵等式对一切n ∈N *均成立， ∴n ＝1,2,3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3a －b ＋c 1＋2×3＝322a －b ＋c 1＋2×3＋3×32＝333a －b ＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝781a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14.二、填空题3．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 答案：π4．(2013·某某调研)用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n 2”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是________．解析：将n ＝2,3,4,5分别代入验证，可得n ＝2,3,4时，2n ≤n 2，而n ＝5时，25＞52. 答案：5 三、解答题5．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ＝1,2，…)．(1)证明：a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立；(2)令b n ＝a nn(n ＝1,2，…)，判断b n 与b n ＋1的大小，并说明理由．解：(1)证明：法一：当n ＝1时，a 1＝2＞2×1＋1，不等式成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＞2k ＋1成立．那么当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝a 2k ＋1a 2k ＋2＞2k ＋3＋1a 2k＞2(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，a k ＋1＞2k ＋1＋1成立． 综上，a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立．法二：当n ＝1时，a 1＝2＞3＝2×1＋1，结论成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立， 即a k ＞2k ＋1.那么当n ＝k ＋1时，由函数f (x )＝x ＋1x(x ＞1)的单调递增性和归纳假设， 知a k ＋1＝a k ＋1a k＞2k ＋1＋12k ＋1＝2k ＋1＋12k ＋1＝2k ＋22k ＋1＝4k 2＋8k ＋42k ＋1＞2k ＋32k ＋12k ＋1＝2k ＋3＝2k ＋1＋1. ∴当n ＝k ＋1时，结论成立．综上可知，a n ＞2n ＋1对一切正整数n 均成立．(2)∵b n ＋1b n ＝a n ＋1n ＋1a nn＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2n ·nn ＋1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋1·n n ＋1＝2n ＋1n 2n ＋1n ＋1＝2n n ＋12n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－14n ＋12＜1.故b n ＋1＜b n .。
2014届高考数学一轮复习 第6章《不等式与推理证明》(第5课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第6章《不等式与推理证明》（第5课时）（新人教A 版）一、选择题1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.2．由710>58，911>810，1325>921，….若a >b >0且m >0，则b ＋m a ＋m 与b a 之间大小关系为( )A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定解析：选B.观察题设规律，由归纳推理易得b ＋m a ＋m >ba.3．记S n 是等差数列{a n }前n 项的和，T n 是等比数列{b n }前n 项的积，设等差数列{a n }公差d ≠0，若对小于2013的正整数n ，都有S n ＝S 2013－n 成立，则推导出a 1007＝0，设等比数列{b n }的公比q ≠1，若对于小于23的正整数n ，都有 T n ＝T 23－n 成立，则( )A ．b 11＝1B ．b 12＝1C ．b 13＝1D ．b 14＝1解析：选B.由等差数列中S n ＝S 2013－n ，可导出中间项a 1007＝0，类比得等比数列中T n ＝T 23－n ，可导出中间项b 12＝1.4．对任意正整数a ，b ，a ＋b ≥2ab 大前提 x ＋1x ≥2 x ·1x小前提所以x ＋1x≥2结论以上推理过程中的错误为( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论 D ．无错误解析：选B.∵小前提中没有标明x ＞0，故小前提错．5．(2013·日照质检)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：选D.由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．二、填空题6．一切奇数都不能被2整数，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎“三段论”的形式为：大前提：一切奇数都不能被2整除， 小前提：________________________________________________________________________，结论：________________________________________________________________________.解析：由“三段论”的形式可知：2100＋1是奇数为小前提，2100＋1不能被2整除是结论．答案：2100＋1是奇数 2100＋1不能被2整除7．古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21，…叫做三角形数，它们有一定的规律性．第30个三角形数与第28个三角形数的差为________．解析：第n 个三角形数满足的规律为a n ＝a n －1＋n ，从而有a 30＝a 29＋30＝a 28＋29＋30＝a 28＋59，所以两数差为59.答案：598．(2012·高考某某卷)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n ＋1(n ∈N ＋)位回文数有________个．解析：2位回文数有9个，4位回文数有9×10＝90个，3位回文数有90个，5位回文数有9×10×10＝100×9个，依次类推可得2n ＋1位有9×10n个．答案：(1)90 (2)9×10n三、解答题9．已知等式：sin 25°＋cos 235°＋sin5°cos35°＝34；sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34；sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34；….由此可归纳出对任意角θ都成立的一个等式，并予以证明． 解：归纳已知可得：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝34.证明如下： sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝sin 2θ＋(32cos θ－12sin θ)2＋sin θ(32cos θ－12sin θ)＝sin 2θ＋34cos 2θ＋14sin 2θ－12sin 2θ＝34.10．(2013·聊城质检)已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，则数列b n ＝na 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn也是等差数列．证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn＝na 1＋n n －1d 2n＝a 1＋d2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列．一、选择题1．(2012·高考某某卷)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76C．123 D．199解析：选C.记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.2．①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c ＝a(b·c)”；②在数列{a n}中，a1＝0，a n＋1＝2a n＋2，猜想a n＝2n－2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.①三个实数之积满足乘法的结合律，而三个向量之积是向量，而两个向量相等要满足方向和大小都相等，向量(a·b)c与向量a(b·c)不一定满足，故①错误．②由a n＋1＝2a n＋2，可得a n＋1＋2＝2(a n＋2)，故数列{a n＋2}为等比数列，易求得a n＝2n －2，故②正确；③在四面体ABCD中，设点A在底面BCD上的射影是O，则三个侧面的面积都大于其在底面上的投影的面积，三个侧面的面积之和一定大于底面的面积，故③正确．二、填空题3．在圆中有结论：如图所示，“AB是圆O的直径，直线AC，BD是圆O过A，B的切线，P是圆O上任意一点，CD是过P的切线，则有PO2＝PC·PD”．类比到椭圆：“AB是椭圆的长轴，直线AC，BD是椭圆过A，B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有____________．”解析：椭圆中的焦半径类比圆中的半径．答案：PF1·PF2＝PC·PD4．(2011·高考某某卷)设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.解析：依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n＝2n.所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x2n－1x ＋2n.答案：x2n－1x ＋2n三、解答题5．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2，那么在四面体A －BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．图①解：如图①所示，由射影定理知 AD 2＝BD ·DC ， AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD2＝1AB2＋1AC 2.类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想：四面体A －BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直， AE ⊥平面BCD ， 则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.图②如图②，连接BE 并延长交CD 于F ， 连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF ，在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE2＝1AB 2＋1AF2.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF2＝1AC2＋1AD 2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，故猜想正确．。
2014届高考数学一轮复习 第6章《不等式与推理证明》(第4课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第6章《不等式与推理证明》（第4课时）（新人教A 版）一、选择题1．(2013·辽阳调研)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C.(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0. 结合图形可知选C. 2.如图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB (含边界)，若⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45是目标函数z ＝ax －y 的唯一最优解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－512B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，－310C.⎝ ⎛⎭⎪⎫310，125D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，310 解析：选B.目标函数z ＝ax －y 是斜率为a 的一条直线，结合图形可知，要满足⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45是目标函数z ＝ax －y 的唯一最优解，只需目标函数的斜率a 大于直线AC 的斜率k AC 且小于直线BC 的斜率k BC .由图易知k AC ＝－125，k BC ＝－310，所以a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，－310.故选B.3．(2012·高考广东卷)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋y ≥1x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1解析：选B.首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如右图中的阴影部分即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x ＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2，此时，z ＝y ＋3x ＝11.4．(2012·高考福建卷)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．2解析：选B.可行域如图阴影所示，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y －3＝0得交点A (1,2)，当直线x ＝m 经过点A (1，2)时，m 取到最大值为1，应选B.5．(2011·高考福建卷)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，上的一个动点，则O A → ·O M →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]解析：选C.由题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2表示的平面区域如图所示：由数量积的坐标运算易得：OA →·OM →＝－x ＋y ，令－x ＋y ＝z ，即y ＝x ＋z ，易知目标函数y ＝x ＋z ，过点B (1,1)时，z min ＝0，目标函数y ＝x ＋z 过点C (0,2)时，z max ＝2，故OA →·OM →的取值范围是[0,2]．二、填空题6．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4y ≤5x ＋y －2≥0所确定的平面区域的面积为________．解析：可行域如图所示则S △ABC ＝12×7×7＝492.答案：4927．(2012·高考课标全国卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y的取值范围为________．解析：依题意，画出可行域，如图所示，可行域为ABOC ，显然，当直线y ＝12x －z2过点A (1,2)时， z 取得最小值为－3；当直线过点B (3,0)时，z 取得最大值为3，综上可知z 的取值范围为[－3,3]．答案：[－3,3]8．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2.则目标函数z ＝yx ＋1的最大值是________．解析：线性约束条件对应的可行域为△ABC (如图)．而z ＝yx ＋1为点(x ，y )与(－1,0)连线的斜率．由图形知，z max ＝20＋1＝2. 答案：2 三、解答题9．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤02x －y ≥0x ≤1，求点P (2x －y ，x ＋y )所表示区域的面积．解：设⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝ax ＋y ＝b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b3y ＝2b －a3，代入x ，y 的关系式得：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1≤0a ≥0a ＋b －3≤0，作出可行域如图所示，易得阴影面积S ＝12×2×1＝1.10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解：(1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合．x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]． (2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－2≤x ≤3，且x ∈Z .当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．一、选择题1．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥2xkx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( )A ．－12B.12C ．0D ．－12或0解析：选D.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥2xkx －y ＋1≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥2xkx －y ＋1≥0，表示的平面区域是直角三角形，只有直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0或y ＝2x 垂直时平面区域才是直角三角形．结合图形可得斜率k 的取值为－12或0.2．如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1，目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为( )A ．2B ．－2 C.15 D ．不存在解析：选A.如图为⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1所对应的平面区域，由直线方程联立方程组易得A (1，225)，B (1,1)，C (5，2)，由于3x ＋5y －25＝0在y 轴上的截距为5，故目标函数z ＝kx ＋y 的斜率－k <－35，即k >35.将k ＝2代入，过B 的截距z ＝2×1＋1＝3.过C 的截距z ＝2×5＋2＝12.符合题意．故k ＝2. 故应选A. 二、填空题3．(2013·济南调研)设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤k，当z 的最大值为6时，k 的值为________．解析：如图所示，作出可行域．直线z ＝x ＋y 经过点B (k ，k )时，z 取得最大值6.即k ＋k ＝6，∴k ＝3. 答案：34．(2012·高考陕西卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0－2x －1，x ≤0，D 是由x 轴和曲线y ＝f (x )及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z ＝x －2y 在D 上的最大值为________．解析：当x ＞0时，求导得f ′(x )＝1x，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线方程为y ＝x －1，画图(图略)可知区域D 为三角形，三个顶点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，(0，－1)，(1,0)，平移直线x －2y ＝0，可知在点(0，－1)处z 取得最大值2.答案：2 三、解答题5．(2013·青岛质检)某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够获得最大利润？解：设生产甲种肥料x 车皮、乙种肥料y 车皮能够获得利润z 万元． 目标函数为z ＝x ＋0.5y ，约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤1018x ＋15y ≤66x ∈Ny ∈N，可行域如图中阴影部分内的整点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝1018x ＋15y ＝66得：M 点坐标为(2,2)．当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大．所以z max ＝x ＋0.5y ＝3.所以生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够获得最大利润，最大利润为3万元．。
2014高三数学一轮复习特级教师整理《不等式证明》典型例题十(人教版)
典型例题十
例10 设是正整数，求证．
分析：要求一个项分式的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围．
证明：由，得．
当时，；
当时，
……
当时，．
∴．
说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明．由，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．
2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．。
2014高考数学第一轮复习第40课时—不等式的证明(一)
一、课题：不等式的证明（一）
一．复习目标：
1．掌握并灵活运用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
二．知识要点：
1．不等式证明的几种常见方法：．2．综合法常常用到如下公式：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）．
三．课前预习：
1．设,那么（）
2．已知，则的最小值．
四．例题分析：
例1．（1）若,求证：；
（2）已知为不相等的正数，且，求证：．
小结：
例2．设实数满足，求证：．
小结：
例3．设，求证：．
例4．已知是定义在上的增函数，，
（1）设，若数列满足，，试写出数列的通项公式；（2）求⑴中数列的前项和；
（3）证明：若，则．
五．课后作业：班级学号姓名1．设和是不相等的正数，则的大小关系是．
2．已知：．
求证: ．
3．若,求证：．
4．已知是的三边，求证：．
5．已知,求证：．
6．若，,求证：（1）；（2）．。
2014年高考全程第六章不等式1.6.2
Δ＝0
Δ＜0
一元二次方程 有两相等实根 有两不等实根 ax2＋bx＋c＝0 b x1，x2，(x1＜x2) x1＝x2＝－ 2a (a＞0)的根
没有实根
ax2＋bx＋c ＞ 0(a ＞ 0) 的 解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
①________ ④_______
②________ ⑤______
变式探究 1 解关于 x 的不等式 a2x2－2ax＋1－b2＜0(a≠0，b＞0)．
解析：原不等式可化为(ax－1＋b)(ax－1－b)＜0， 1－b 1＋b 2 ∵a≠0， ＞0， a ∴(x－ a )(x－ a )＜0， 1－b＜1＋b， 且 1－b 1＋b ∴①若 a＜0，则 a ＞ a ， 1＋b 1－b 此时不等式的解集为{x| a ＜x＜ a }； 1－b 1＋b ②若 a＞0，则 a ＜ a ， 1－b 1＋b 此时不等式的解集为{x| a ＜x＜ a }.
1 1 故原不等式的解集为{x|－3＜x＜2}． 答案：A
2．不等式 x2－|x|－2＜0 的解集是( ) A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2 或 x＞2} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜－1 或 x＞1}
解析：原不等式⇔|x|2－|x|－2＜0⇔(|x|－2)(|x|＋1)＜0⇔|x| －2＜0⇔－2＜x＜2，故选 A. 答案：A
题型探究 题型一 一元二次不等式的解法 例 1 解关于 x 的不等式：ax2－2x＋1＞0.
解析： 1 ①当 a＝0 时，不等式即－2x＋1＞0，∴解集为{x|x＜2}； ②当 a＜0 时，△＝4－4a＞0， 2 1 2 此时不等式为 x －ax＋a＜0， 1－ 1－a 2 1 2 由于方程 x －ax＋a＝0 的两根分别为 、 a 1＋ 1－a 1－ 1－a 1＋ 1－a ，且 ＞ ， a a a 1＋ 1－a 1－ 1－a ∴不等式的解集为：{x| ＜x＜ }； a a
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理
合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1
a
2014届高考数学一轮复习 第6章《不等式与推理证明》(第2课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第6章《不等式与推理证明》（第2课时）（新人教A 版）一、选择题1．(2011·高考某某卷)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b＞2ab D.b a ＋a b≥2解析：选D.∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误． 对于B 、C ，当a ＜0，b ＜0时，明显错误．对于D ，∵ab ＞0，∴b a ＋a b ≥2 b a ·ab＝2.2．(2011·高考某某卷)若函数f ()x ＝x ＋1x －2()x >2在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋2B ．1＋ 3C ．3D ．4解析：选C.f ()x ＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2. ∵x >2，∴x －2>0.∴f ()x ＝x －2＋1x －2＋2≥2 ()x －2·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立．又f ()x 在x ＝a 处取最小值．∴a ＝3.3．(2012·高考某某卷)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1＞1(x ∈R ) 解析：选C.取x ＝12，则lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，sin x＋1sin x ＝－2，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.应选C. 4．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取最小值4.5．(2011·高考卷)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：选B.设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20.当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.二、填空题6．函数y ＝x 2x 4＋9(x ≠0)的最大值为__________，此时x 的值为________． 解析：y ＝x 2x 4＋9＝1x 2＋9x2≤129＝16， 当且仅当x 2＝9x2，即x ＝±3时取等号．答案：16± 37．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________.解析：每年购买次数为400x.∴总费用为400x·4＋4x ≥26400＝160，当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立，故x ＝20.答案：208．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值X 围是________．解析：原式等价于x ＋y ＋3＝xy ≤(x ＋y 2)2(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以x ＋y ＋3≤x ＋y 24，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，所以x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)，故x ＋y∈[6，＋∞)．答案：[6，＋∞) 三、解答题9．已知a ，b ＞0，求证：a b 2＋b a 2≥4a ＋b.证明：∵a b 2＋b a 2≥2a b 2·b a 2＝21ab＞0， a ＋b ≥2ab ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋b a 2(a ＋b )≥2 1ab ·2ab ＝4. ∴a b 2＋b a 2≥4a ＋b.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a b 2＝b a2，a ＝b ，取等号，即a ＝b 时，不等式等号成立．10．(1)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(2)已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0，求xy 的最小值．解：(1)∵0<x <32，∴3－2x >0.∴y ＝4x ·(3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2[2x ＋3－2x 2]2＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈(0，32)， ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.(2)由x ＋y －3xy ＋5＝0得x ＋y ＋5＝3xy . ∴2xy ＋5≤x ＋y ＋5＝3xy .∴3xy －2xy －5≥0，∴(xy ＋1)(3xy －5)≥0，∴xy ≥53，即xy ≥259，等号成立的条件是x ＝y .此时x ＝y ＝53，故xy 的最小值是259.一、选择题1．(2011·高考某某卷)设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜bC ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b解析：选B.∵0＜a ＜b ，∴a ＜a ＋b2＜b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )＞0，即ab＞a ，故选B.2．(2012·高考某某卷)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285 C ．5 D ．6解析：选C.∵x ＋3y ＝5xy ，∴1y ＋3x＝5，∵x ＞0，y ＞0，∴(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝3x y ＋12yx ＋9＋4≥23x y ·12y x＋13＝25，∴5(3x ＋4y )≥25，∴3x＋4y ≥5，当且仅当x ＝2y 时取等号．∴3x ＋4y 的最小值是5，选C.二、填空题3．(2011·高考某某卷)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．答案：94．(2013·潍坊质检)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y的最小值为________．解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， 即4(x －1)＋2y ＝0,2x ＋y ＝2， 9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ·3y ＝232x ＋y ＝2×32＝6.(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧32x＝3y2x ＋y ＝2，即x ＝12，y ＝1时取等号)答案：6 三、解答题 5.设矩形ABCD (AB ＞AD )的周长为24，把它关于AC 折起来，AB 折过去后交CD 于点P ，如图，设AB ＝x ，求△ADP 的面积的最大值，及此时x 的值．解：∵AB ＝x ，∴AD ＝12－x ，又DP ＝PB ′，AP ＝AB ′－PB ′＝AB －DP ， 即AP ＝x －DP ，∴(12－x )2＋PD 2＝(x －PD )2，得PD ＝12－72x，∵AB ＞AD ，∴6＜x ＜12，∴△ADP 的面积S ＝12AD ·DP＝12(12－x )⎝⎛⎭⎪⎫12－72x ＝108－6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋72x ≤108－6·272＝108－722，当且仅当x ＝72x，即x ＝62时取等号，∴△ADP 面积的最大值为108－722，此时x ＝6 2.。
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变式探究 2 若 a≥1， 试比较 M＝ a＋1－ a和 N＝ a－ a－1的大小．
解析：M－N＝( 1 ＝ － a＋1＋ a a－1－ ＝ a＋1＋ a 故 M＜N.
a＋1－ a)－( a－ a－1) 1 a＋ a－1 a＋1 ＜0. a＋ a－1
题型三 利用不等式的性质判断命题真假 例 3 对于实数 a、b、c，判断下列命题的真假． (1)若 a＞b，则 ac＜bc； (2)若 a＞b，则 ac2＞bc2； (3)若 ac2＞bc2，则 a＞b； (4)若 a＜b＜0，则 a2＞ab＞b2； 1 1 (5)若 a＜b＜0，则a＜b； b a (6)若 a＜b＜0，则a＞b.
解析：依题意得，第二次钉子没有全部入木板；第三次入 板， 4 4 7＋7k＜1， 4 ∴4 4 7＋7k＋7k2≥1， k∈N＋.
题型二 比较大小 例 2 若 x＜y＜0， 试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大 小．
解析：根据题目的结构特点，可考虑用作差比较法． (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)． ∵x＜y＜0， ∴xy＞0，x－y＜0， ∴－2xy(x－y)＞0， ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)． 点评：比较法的关键是第二步的变形，一般来说，变形越 彻底，越有利于下一步的判断．
考点自测 1.x＝(a＋3)(a－5)与 y＝(a＋2)(a－4)的大小关系是( A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．不能确定
)
解析：∵x－y＝a2＋3a－5a－15－a2－2a＋4a＋8＝－7＜ 0， ∴x＜y. 答案：C
1 2．设 a，b 为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜a”的( A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．理解不等式的思想和方法 (1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法， 应引 起高度注意，要注意强化． (2)加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算． (3)通过复习要强化不等式“运算”的条件．如 a＞b、c＞ d 在什么条件下才能推出 ac＞bd. (4)强化函数的性质在大小比较中的重要作用， 加强知识间 的联系.
6．1 不等关系与不等式
考纲点击 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.实数 a，b 的大小比较： a＞b a－b＞0⇔①________ a＝b a－b＝0⇔②________； a－b＜0⇔③________. a＜b
2．不等式的性质： b＜a (1)性质 1：a＞b⇔④________(对称性)． a＞c (2)性质 2：a＞b，b＞c⇒⑤________(传递性)． a＋c＞b＋c (3)性质 3：a＞b⇒⑥_____________(可加性)． b a＋b＞c⇒a＞c－⑦________(移项法则)． ac＞bc (4)性质 4：a＞b，c＞0⇒⑧________. ac＜bc a＞b，c＜0⇒⑨________.(可乘性) a＋c＞b＋d (5)性质 5：a＞b，c＞d⇒⑩______________(加法法则)． ac＞bd (6)性质 6：a＞b＞0，c＞d＞0⇒⑪________(乘法法则)． an＞bn (7)性质 7：a＞b＞0，n∈N 且 n≥2⇒⑫______(乘方法则)． n n (8)性质 8：a＞b＞0，n∈N 且 n≥2⇒⑬________(开方法则) a＞ b
点评：将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实 际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转 换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系．
变式探究 1 用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁 钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的 1 钉子长度后一次为前一次的k (k∈N*)，已知一个铁钉受击 3 次 后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是 4 钉长的7，请从这个实例中提炼出一个不等式组．
c d bc－ad 解析：①a－b＝ ab ＞0，成立． c d bc－ad ②∵a－b＝ ab ＞0，ab＞0， ∴bc－ad＞0 成立． c d bc－ad ③∵bc－ad＞0，a－b＝ ab ＞0， ∴ab＞0 成立． 答案：D
4．给出如下四个命题： ①若 a>b，c>d，e>0，则 d－ae>c－be； ②若 a>b，c<0，d∈R，则(a－d)c<(b－d)c； ③若 a<b<0，c<d<0，则 ac<bd； e e ④若 a>b>0，c<d<0，e∈R，则 < . a－c b－d 其中真命题是__________．
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 1.在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点 (1)不等式的性质是解、 证不等式的基础， 对任意两实数 a、 b 有 a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b，这是 比较两数(式)大小的理论根据，也是学习不等式的基石． (2)一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注 意在解题中灵活、准确地加以应用．
解析：a>b，d∈R⇒a－d>b－d. 又 c<0，所以(a－d)c<(b－d)c. 答案：②
5．以下四个不等式①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a； 1 1 ④0＜b＜a.其中使a＜b成立的充分条件有____________．
1 1 b－a 解析：a＜b⇔ ab ＜0⇔b－a 与 ab 异号，因此①、②、④ 能使 b－a 与 ab 异号． 答案：①②④
1≤a－b≤2， 方法三：由 2≤a＋b≤4，
确定的平面区域如图．
3 1 3 1 ， 时， 当 f(－2)＝4a－2b 过点 A 2 2 取得最小值 4×2－2×2
＝5； 当 f(－2)＝4a－2b 过点 B(3,1)时，取得最大值 4×3－2×1 ＝10. ∴5≤f(－2)≤10.
•失误与防范 1．a＞b⇒ac＞bc 或 a＜b⇒ac＜bc，当 c≤0 时不成立． 1 1 1 1 2．a＞b⇒a＜b或 a＜b⇒a＞b，当 ab≤0 时不成立． 3．a＞b⇒an＞bn 对于正数 a、b 才成立． a 4.b＞1⇔a＞b，对于正数 a、b 才成立． 5．注意不等式性质中“⇒”与“⇔”区别，如：a＞b，b a＞b， ＞c⇒a＞c，其中 a＞c 不能推出 b＞c.
)
Байду номын сангаас
1 解析：一方面，若 0＜ab＜1，则当 a＜0 时，0＞b＞a，∴ 1 1 b＜a不成立；另一方面，若 b＜a，则当 a＜0 时，ab＞1，∴0 ＜ab＜1 不成立，故选 D. 答案：D
3．已知 a，b，c，d 均为实数，有下列命题： c d ①若 ab＞0，bc－ad＞0，则a－b＞0； c d ②若 ab＞0，a－b＞0，则 bc－ad＞0； c d ③若 bc－ad＞0，a－b＞0，则 ab＞0. 其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
归纳总结 •方法与技巧 1．用同向不等式求差的范围． a＜x＜b， a＜x＜b， ⇒ ⇒a－d＜x－y＜b－c c＜y＜d －d＜－y＜－c 这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．
2．放缩法：等式⇒不等式．如： 1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＝1－ ＜1. 1×2 2×3 nn＋1 n＋1 3．倒数关系在不等式中的作用． ab＞0， 1 1 ab＞0， 1 1 ⇒a＜b； ⇒a＞b. a＞b a＜b 4．作差法：判定不等式关系的基本方法． a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0.
题型探究 题型一 用不等式表示不等关系 例 1 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使 用不超过 1 000 万元的资金购买单价分别为 40 万元、90 万元 的 A 型汽车和 B 型汽车．根据需要，A 型汽车至少买 5 辆、B 型汽车至少买 6 辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解析：设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆，则 40x＋90y≤1 000， x≥5， y≥6， x，y∈N*， 4x＋9y≤100， x≥5， 即 y≥6， x，y∈N*.
题型四
利用不等式性质求范围
例 4 设 f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求 f(－2)的 取值范围．
解析：方法一：设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1) (m，n 为待定系数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b， m＋n＝4， m＝3， 于是得 解得 n－m＝－2， n＝1， ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故 5≤f(－2)≤10.
(3)不等式的传递性：若 a＞b，b＞c，则 a＞c，这是放缩 法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产 生这样的错误：为证明 a＞c，选择中间量 b，在证出 a＞b，c ＞b 后，就误认为能得到 a＞c. (4)同向不等式可相加，但不能相减，即由 a＞b，c＞d， 可以得出 a＋c＞b＋d，但不能得 a－c＞b－d.
解析： (1)因 c 的正负或是否为零未知， 无法判断 ac 与 bc 的大小， 所以是假命题； (2)因 c2≥0，所以 c＝0 时，有 ac2＝bc2，故为假命题； (3)由 ac2＞bc2，知 c≠0，c2＞0，所以为真命题； a＜b， a＜b， 2 (4)由 ⇒a ＞ab，又 ⇒ab＞b2，所以为真 a＜0， b＜0， 命题；
2 2
1 1 b－a (3)∵a－b＝ ab ， 对照条件和不等式的性质要求可知需添 加“ab＞0”这个条件才能使命题成立． (4)∵a－b＞0，c－d＞0， 又 ac－bd＝ac－bc＋bc－bd＝c(a－b)＋b(c－d)， ∴需添加“c＞0，b＞0”或“a＞0 且 d≥0”或“c＞0 且 b≥0”可使命题成立．对照不等式的运算性质，还可添加 “b≥0 且 d≥0”使命题成立.