第三讲动态优化
动态优化与经济资源配置
动态优化与经济资源配置在经济社会发展的过程中，动态优化与经济资源配置起着至关重要的作用。
动态优化是指在不断变化的环境中寻找最优解决方案的过程，而经济资源配置则是将有限的资源合理分配的过程。
本文将探讨动态优化与经济资源配置之间的联系，并分析其对经济发展的影响。
动态优化是指在经济发展中，根据不同的时期和环境，不断调整资源分配方案，以实现经济效益最大化。
在面对不同的市场需求、供应变动和竞争激烈的情况下，通过动态优化，企业能够根据市场变化及时调整产品结构、生产规模等因素，从而实现资源的合理配置。
例如，某企业在面对市场需求状况不佳时，通过减少生产规模、降低成本等方式来有效配置资源，以应对市场的变化。
经济资源配置是指将稀缺的资源按照一定的原则和方法分配到各个经济活动领域中，以满足不同部门、企业和个体的需要。
良好的经济资源配置可以提高资源利用率，增加经济效益。
动态优化在经济资源配置中具有重要的作用。
它不仅能够根据市场变化进行及时调整，还能够在不同的时间段内进行资源的跨时配置。
只有通过动态优化，才能更好地适应经济环境的变化，并实现资源的最优配置。
动态优化与经济资源配置之间存在着相互依存的关系。
一个良好的资源配置方案需要通过动态优化来不断调整和优化，以适应动态变化的经济环境。
而动态优化也依托于经济资源配置的基础，只有在资源配置的基础上进行调整，才能实现经济效益的最大化。
在实际应用中，动态优化与经济资源配置的共同目标是实现经济的可持续发展。
动态优化使得资源配置更加灵活和精准，能够在资源有限的情况下充分发挥其潜力。
通过动态优化，我们可以创造更多的市场机会，提高资源配置的效率，并促进经济的稳定和繁荣。
然而，动态优化与经济资源配置过程中也存在一些挑战和难题。
首先，由于经济环境的不确定性，动态优化和资源配置往往面临快速变化的市场需求和竞争压力。
其次，资源不平衡问题是一个常见的挑战，有些地区的资源可能过剩，而有些地区则相对匮乏。
6多目标、动态优化
第1步：构造P1 级目标构成的单目标线性
minZ= P1d1++P2(2d2-+d2+)+P3(d3-)
2X1+X2 11
X1 -X2 +d1- -d1+=0 X1 +2X2 +d2- -d2+=10
绝对约束
minZ1=d1+
2X1+X2 11
X1 -X2 +d1- -d1+=0
X* =(50,100) Z* =13000
（2）从目标规划角度考虑——理想值
理想值（期望值）：去年总收益9000，
期望增长11.1%，即希望今年总收益达
到10000
❖ 理想值已经确定 ❖ 允许计算值（决策值）小于或大于理想值 ❖ 希望计算值与理想值之间的（负）差别尽
可能小
（2）从目标规划角度考虑——正、负偏差
X1 , X2 , di- , di+ 0
小结
目标规划的基本思想是，给定若干目标以及实现 这些目标的优先顺序，在有限的资源条件下，使 总的偏离目标值的偏差最小
1）约束条件 ❖ 硬约束(绝对约束) ❖ 软约束 (目标约束)，引入d -, d + 2）目标优先级与权因子
❖ P1 P2 … PL
❖ 同一级中可以有若干个目标：P21 , P22 ,P23 … ❖ 其重要程度用权重系数W21 ,W22 ,W23 …表示
2X1+4X2 500 4X1+2X2 400 X1 , X2 0
GP： Min Z= d100X1+80X2 -d++d- =10000
4X1+2X2 400 2X1+4X2 500 X1 , X2 , d- , d+ 0
优化理论中的动态问题
优化理论中的动态问题 动态问题是优化理论中的一个重要研究领域，它涉及到在不同时间点的决策和变化环境下进行最优化。本文将探讨动态问题的定义，解决方法以及它在不同领域的应用。
动态问题的定义 动态问题指的是在一段时间内，决策变化或环境变化时进行最优化的问题。与静态优化问题不同，动态问题需要考虑时间维度和变化的影响。在动态问题中，决策和环境可能随着时间的推移而变化，因此需要找到在给定时间段内的最佳决策方案。
动态问题的解决方法 解决动态问题的方法可以分为两大类：离散时间方法和连续时间方法。
离散时间方法 离散时间方法将时间划分为离散的阶段，每个阶段都有相应的决策和环境状态。在每个阶段，可以通过动态规划、状态转移或者贝尔曼方程等解决方法来确定最佳决策。离散时间方法可以简化问题的复杂性，但也可能忽略了时间维度上的连续性。
连续时间方法 连续时间方法则考虑时间的连续性，将决策和环境状态建模为连续函数。使用微分方程、变分法或者最优控制理论等方法来求解连续时间下的最优决策问题。连续时间方法可以更准确地建模动态问题，但求解过程可能较为复杂。
动态问题在不同领域的应用 动态问题的研究和应用广泛存在于各个领域，以下是一些常见的应用案例：
- 资源分配问题：在经济学中，动态优化模型可以用于研究资源的最优分配问题，例如资金、劳动力等的分配规划。 - 供应链管理：对于供应链中的生产、仓储、运输等环节的决策，动态优化模型可以帮助优化供应链的效率和成本。 - 交通流量控制：动态优化方法可用于交通管理，包括路网拓扑设计、信号配时优化等，以提高交通流量的效率。 - 能源管理：在能源领域，动态优化模型可用于电力系统的调度、能源的储存和供应等问题，以最大化能源利用和降低成本。
结论 动态问题是优化理论中一个重要的研究方向，它涉及到在不同时间点的决策和变化环境下的最优化。离散时间方法和连续时间方法是解决动态问题的两种主要方法。动态问题在许多领域中都有广泛的应用，包括资源分配、供应链管理、交通流量控制和能源管理等。进一步的研究和应用动态问题的方法将有助于提高各个领域的效率和优化决策的准确性。
动态规划的优化技巧
C[a, k1-1]+ C[k1, d]+ C[b, k2-1]+ C[k2, c]+ t[a, d]+ t[b, c]
= C[a, d]+ C[b, c]
S[i,j-1] S[i,j] S[i+1,j]
证明：设Ck[i,j]= t[i, j]+C[i, k-1]+C[k, j] 令k=s[i,j-1]，并取i< k’< k。 由于k’< k j-1< j，故有： C[k’, j-1]+ C[k, j] C[k’, j]+ C[k, j-1] 在等式两侧同时加上t[i, j-1]+ t[i, j]+C[i, k-1]+ C[i, k’-1] 得：Ck’[i, j-1]+ Ck[i, j] Ck’[i, j]+ Ck[i, j-1] 由k的定义可知Ck[i, j-1] Ck’[i, j-1]，故Ck[i, j] Ck’[i, j] 所以k’ s[i,j]，故S[i,j] S[i,j-1] 同理，可得 S[i,j] S[i+1,j]
顺序查找
最坏情况下需要遍历整个单词表 最坏情况下的时间复杂度为O(M*S*N)
比较次数最多可达1000*20*5*100000=10^10
方法2
采用二分查找
首先排序 O(NlogN) 最坏情况下的时间复杂度为O((N+M*S)*logN)
最多比较次数
1000*20*5*log100000=1.6*10^6
方法一
long[1..n] g[i, j, k] g[n, m, 0]
n首歌曲按照写作顺序排序后的长度 前 i 首歌曲用 j 张唱片另加 k 分钟 最多可以录制的歌曲数目 问题的最优解
动态规划算法时间效率的优化
动态规划算法时间效率的优化动态规划是一种用于解决优化问题的算法思想，在很多实际场景中都有广泛的应用。
然而，动态规划算法在处理问题的过程中，可能会面临一些时间效率的优化问题。
为了提高动态规划算法的时间效率，可以从以下几个方面进行优化。
1.减少重复计算：动态规划算法通常需要计算大量的子问题，但有些子问题可能会被重复计算。
这会导致算法效率下降。
可以通过使用备忘录或者动态规划表来记录已经计算过的子问题的结果，以避免重复计算。
这样可以大幅提高算法的效率。
2.剪枝策略：在动态规划算法中，可以通过剪枝策略来减少不必要的计算。
剪枝策略可以是其中一种条件限制，当不满足该条件时，直接跳过计算，这样可以极大地减少计算量。
3.优化状态转移方程：动态规划算法的核心是状态转移方程。
优化状态转移方程可以通过寻找问题的规律，减少计算量。
可以尝试化简状态转移方程，将复杂的问题转化为简单的问题，这样可以减少计算时间。
4.按需计算：动态规划算法通常需要计算所有的子问题，然后根据子问题的结果来求解最终问题。
但实际上，并不是所有的子问题都必须计算。
可以根据问题的特点，在需要的时候再进行计算，避免不必要的计算，提高算法效率。
5.并行计算：在一些情况下，可以采用并行计算的方式来提高动态规划算法的效率。
通过将问题分解成多个子问题，分别计算，然后将结果合并，可以加速算法的执行。
6.优化空间复杂度：动态规划算法通常需要使用额外的内存空间来存储计算过程中的中间结果。
优化空间复杂度可以使用状态压缩技术，将中间结果压缩成一个变量，从而减少内存的使用。
7.选择合适的数据结构：对于一些特殊的问题，可以根据问题的特点选择合适的数据结构来优化算法效率。
比如，对于一维数组问题，可以使用队列或者堆来进行优化；对于二维数组问题，可以使用矩阵来进行优化。
8.分治思想：有一些问题可以使用分治思想来优化动态规划算法。
将问题分解成多个子问题，分别求解，然后将子问题的结果合并，可以提高算法的效率。
动态最优化基础 重点汇总
问题（3）与问题（2）不同，它的最优解的 T 个一阶条件不能分别确定， 而是要同时确定，也就是我们实际上要“．一．次．性．”．确．定．一．条．最．优．路．径．。每产出一
路径对应一个利润（目标值），这种路径（而不是单个值）与到实数之间的映射 关系叫泛．函．。在动态优化中，我们处理的问题的目标函数通常是泛函形式，称为 目．标．泛．函．。简而言之，函数是值到值的对应关系，而泛函是路径到值的对应关系。
max
V
[
y
]
=
T
∫0
F
[t,
y,
u
]dt
（7）
st y = f (t, y,u) y(0) = A y(t) 自由 (A,T给定 ）
（7）与（6）不同：①进入目标函数的不是 y ，而是= f 叫运动（转移状态）方程。②基本形式中 y(T ) 自由，
第一章 变分法
第一节 问题的性质（动态优化简介）
一、静态优化问题
如果一个企业要确定一个最优产出水平 x∗ 以最大利润 F（ x ）：
max x≥0 F (x)
（1）
这样的问题的解是一数，即确定选择变量的单个最优值。通常有一阶条件
F′(x∗) = 0 。 并．不．是．有．多．期．的．时．间．就．是．动．态．问．题．。考虑企业的多期（multiperiod）问题：
问题（3）中，我们假设了一个给定的初始点，即初始时间给定，且初始时 刻的产出（状态）已知。注意初始点有两．个．维．度．：时．间．与．状．态．。有时终结点也给 定的，即已知结束的时间与状态。
三、连续时间情形
问题（2）与（3）的连续时间对应物分别是问题（4）与（5）：
T
max ∫0 F (t, x(t))dt st x(t) ≥ 0
动态规划及其优化
(6).最长递增子序列(LIS)
G[i]记录长度为i的递增子序列的最后一个 考虑：A[i] >= A[j] 且 F[j] >= F[i] 元素， i不会比j更优，决策i是可以被舍弃的。 通过二分查找可以在O(logN)内维护F、G。 对于：F[i1] < F[i2] < ... < F[ik] 必有：A[i1] < A[i2] < ... < A[ik] 总复杂度为O(NlogN)。 因此保证A[j] < A[i]，在满足上述条件下A[j] 尽量大，则j必定是i的最优决策。
动态规划在空间上的优化
当然，滚动数组还可以用位运算的 and来实现。这里不再赘述。 另外，大部分的时间上的优化就会伴 随着空间的优化，而单纯在空间复杂度 优化的方式除了滚动数组来说是比较少 见的。
动态规划在时间效率上的优化
时间复杂度= 状态总数* 每个状态转移的状态数* 每次状态转移的时间
for k=2.. n*2 for r1=1..n for r2=1..n for r3=1..n c1=k-r1; c2=k-r2; c3=k-r3; ... ... end
(4)过河 (noip2005)
题目大意:一个坐标轴有C个点被标记，给定 一只青蛙的跳跃区间，问从0跳到L最少踩到 几个标记的点。 (1<=L<=10^9) (1<=M<=100)
(6).最长递增子序列(LIS)
Ans=0 for i=1..n read(x); l=1; r=ans; while l<=r do mid=(l+r)/2; if a>G[mid] then mid:=l+1 else r=r-1; G[l]=a; if l>ans then ans:=l;
控制系统动态性能分析与优化
控制系统动态性能分析与优化控制系统是工业生产过程中至关重要的一部分，控制系统的动态性能直接关系到生产过程的稳定性和质量。
因此，通过对控制系统动态性能的分析和优化，可以提高生产过程的效率和一致性，减少产品的浪费和缺陷。
本文将探讨如何对控制系统动态性能进行分析和优化。
一、控制系统动态性能的含义控制系统动态性能是指控制系统对于各种外部干扰和变化所作出的反应速度和准确性。
其中，反应速度体现了系统的快速性，而反应准确性则表示控制系统的稳定性和控制精度。
控制系统的动态性能对于不同的生产过程和目标有着不同的要求。
二、控制系统动态性能的指标控制系统动态性能的指标包括系统的响应速度、超调量、稳态误差和抗干扰能力等。
其中，响应速度是指系统对于输入信号所作出响应的时间，由系统的惯性和阻尼等因素决定；超调量是指系统响应过程中超过稳态值的最大偏差，反映系统对于干扰的敏感度；稳态误差是指系统在稳定状态下输出值与期望值之间的差距；抗干扰能力是指系统对于外部干扰的抵御能力，反映系统的稳定性和可靠性。
三、控制系统动态性能的分析控制系统动态性能的分析需要从系统的结构和参数入手。
具体而言，可以采用MATLAB等数学工具对系统的传递函数进行建模和仿真，分析系统的响应速度、超调量等指标。
同时，还可以通过实验手段对系统进行测试，采集数据并对其进行处理，得出系统的实际响应性能。
四、控制系统动态性能的优化控制系统动态性能的优化需要从结构优化和参数优化两方面入手。
在结构优化方面，可以通过引入控制器和滤波器等元器件，优化系统的结构，提高其响应速度和准确性。
在参数优化方面，可以通过对系统的参数进行调节和优化，提高其超调量、稳态误差和抗干扰能力等指标。
在具体操作中，可以采用自整定PID控制器等自适应控制策略，通过不断调整控制器的参数，使系统达到更优的动态性能。
此外，还可以通过加入前馈控制、模型预测控制等高级控制方式，提高系统的追踪能力和控制精度。
总之，控制系统动态性能对于生产过程的稳定性和效率具有关键影响。
动态规划的优化
动态规划的优化本⽂讲解⼏种动态规划的优化⽅式。
滚动数组⼀类显然的恒等变形优化就咕了)逃导论DP 有两个重要的概念：状态与状态转移。
⽽ DP 过程的时间复杂度也可以由 O(DP)= 涉及到的状态总数 × 转移决策数量 × 处理状态转移的时间。
所以我们就有三个⼤⽅向：减少涉及的状态总数我们可以试图减少涉及到的状态的总数。
可以试图改变状态定义粗暴地达到这⼀点。
减少寻找决策的时间我们可以优化寻找最优状决策点的时间，撒⼤⽹会浪费很多时间。
类似单调队列优化的算法就是让寻找最优决策点的时间⼤⼤减少的算法。
当然这个东西有时候与状态本⾝的定义与组织⽅式也有关系。
减少计算状态转移的时间通常来讲，我们的状态转移⽅程是⼀个递推式，复杂度很低。
但有时候某些状态转移不能 O(1) 计算，我们可以在状态计算⽅⾯下点⽂章。
矩阵优化这本质上是⼀种优化状态转移计算时间的⽅法。
⾸先要了解⼀点矩阵的基础知识矩阵在数学中，矩阵（Matrix）是⼀个按照长⽅阵列排列的复数或实数集合 ，最早来⾃于⽅程组的系数及常数所构成的⽅阵。
这⼀概念由19世纪英国数学家凯利⾸先提出。
—来⾃度娘。
举个例⼦：1001这就是⼀个矩阵。
矩阵的运算矩阵的加法令 A i,j 表⽰矩阵 A 的第 i ⾏第 j 列。
那么矩阵加法是：对于两个 N×N 的矩阵 A,B，若 C=A+B 则C i,j=A i,j+B i,j。
C 也是⼀个 N×N 的矩阵加法满⾜交换律和结合律。
矩阵的乘法两个矩阵 A,B 之间的乘法当且仅当 A 的⾏数与 B 的列数相等的时候才有定义。
若 A 是⼀个 N×K 的矩阵 ，B 是⼀个 K×M 的矩阵，令矩阵 C=A×B ，则 C 是⼀个 N×M 的矩阵。
并且：C i,j=N∑x=1A i,k B k,j矩阵乘法满⾜结合律与分配律不满⾜交换律 特殊情况不作考虑。
矩阵优化讲了这么多，这玩意能⼲啥？我们从最简单的例题看起：已知：a i=p⋅a i−1+q⋅a i−2 (i>2)给定 p,q,a1,a2,n,m，求 a n mod m。
动态优化与经济决策分析
动态优化与经济决策分析动态优化与经济决策分析是一个复杂而又关键的课题，它涉及到如何在不确定性的环境下做出最佳决策，以最大化经济效益。
动态优化是一种数学方法，通过建立数学模型来帮助决策者分析和解决实际问题。
本文将探讨动态优化在经济决策中的应用和意义，并举例说明其实际操作。
一、动态优化的基本原理和方法动态优化是一种以时间为维度的优化方法，它关注的是在不同时间点上做出的连续决策对整体效益的影响。
在动态优化中，需要通过建立数学模型描述经济系统的演化过程，并通过求解最优化问题，得到最佳决策方案。
在动态优化中，常用的方法包括动态规划、最优控制和状态转移等。
动态规划是一种通过将问题分解成子问题，并保存子问题的最优解来求解整体最优解的方法。
最优控制是一种通过对控制变量的选择和调整来实现系统最优化的方法。
状态转移则是描述系统在不同时间点上的状态变化规律。
二、动态优化在经济决策中的应用1.投资决策动态优化可以帮助企业在投资决策中考虑不同的时间价值、不确定性和风险。
通过建立投资模型，考虑不同的投资收益和成本，并运用动态规划等方法，可以得到最优的投资策略。
例如，在能源领域，动态优化可以帮助企业在不同的时间点上决策是否进行投资，以及何时、何种方式进行投资，以实现最大化利润。
2.供应链管理供应链管理涉及到多个参与方之间的协调和决策。
动态优化可以帮助企业考虑不同时间点上的需求和供给，以实现整体的效益最大化。
通过建立供应链模型，运用动态规划等方法，可以确定最优的生产、库存和配送策略。
例如，在零售业中，动态优化可以帮助企业确定何时进货、何时减库存、何时进行促销活动，以最大程度地降低成本并提高销售。
3.风险管理动态优化可以帮助企业在不确定性和风险下做出决策。
通过建立风险模型，考虑不同风险事件的发生概率和影响程度，并运用动态规划等方法，可以得到最优的风险管理策略。
例如，在金融行业，动态优化可以帮助金融机构在不同的市场环境下调整资产配置，以实现最大化投资回报和最小化风险。
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第三讲：动态优化 （离散时间）
如果动态优化问题是处理离散时间with Finite Horizon, 那么解决办法与静态相同。
可是， 当问题推广到 Infinite Horizon 的情形， 大家需要注意 Transversality
Condition (TVC). 下面我将慢慢引入 TVC 这概念及其经济含义。
考虑一个经典的吃蛋糕问题 (Cake Eating Problem)
[吃蛋糕问题] 假定在时间 t=0, 你拥有一只蛋糕。你准备靠它度过一生 (from t=0 to
t=T). 如果你在时间 t 消费 块蛋糕, 你得到的效用从时间零看等于: 这里
在 0 到 1 之间. 即你这辈子的总效用可以被表达为:
请问你应该怎样吃才能使效用极大化?
[分析] 用 记录在时间 t 初始还剩下的蛋糕. 根据定义: . 限制条件可被表示为:
……
……
除了上述显性限制外，还有隐性限制： 和 for any t. 稍作思考，我们知
道这些限制中，除了 是”binding”外, 其它都是”nonbinding constraints”。 所
以我们得加上这个”binding constraint”:
现在，让我们写下Lagrangian:
…
…
一阶条件 (First Order Conditions or FOCs)
, t=0, 1, 2, …, T
, t=0, 1, 2, …, T
列出complementary slackness conditions:
……
……
下面来解上述方程及不等式。 首先(3.2) 可推出 for any t, 所以(3.7)说明：
, t=0, 1, 2, …, T
其次，结合(3.4)和(3.9)导出：
当T 取有限值时 （即 Finite Horizon），(3.11) 推出, 即死之前吃光所有的
蛋糕。当T 取无限值时（即当你长生不老），
的自然推广似乎应当是
. 值得注意的是：虽然在吃蛋糕这个问题中，这个推广是对的， 但
并非永远是正确的优化必要条件。 正确的必要条件是(3.11)的自然
推广:
(3.12)便是所谓的Transversality Condition (TVC) under infinite horizon.
在经济增长的模型中可能就不成立， 而 TVC 则是成立的。其经
济含义我下面将有评论。
再者， （3.2）（3.3）可导出：
, t=0, 1, 2, …, T
最后，利用(3.13)解 (3.10)同时注意到 和 :
t=0, 1, 2, …, T
[评论]
1. 可能有同学注意到我在
前乘上了 . 这是合法的。乘的数越小，则 越大
而已。这里我们乘上了
是为了使 FOCs 看上去更整齐。 同时， 的经济
含义也很清晰： current-value shadow price, current-value marginal utility.
被称为 present value shadow price.
2. 这里， 称作 discount factor. 说明下一期消费所带来的效用从这期
来看需要打个折扣。
3. 如果将 当作资本存量(capital stock), 将 当作消费 (consumption), 则我们上
面分析的就是最简单的宏观经济模型。 这里生产函数就是：
. 资本
积累方程就是：
.
4. 注意到
是影子价格，那么TVC 的含义就是最优化要求 资本存量的价值
随着时间的推移趋向于零。若它趋向于某个正数，则说明储蓄过
多。
5. 其实吃蛋糕的问题有更简单的解法。 我们在上面写限制条件时采用的是流
量的形式。之所以采用这种形式是因为它便于推广到一般情形。更重要的原
因是我想以这种方式引入TVC 的概念。限制条件的另一种写法是：
这是以Present Value 的形式来写的。左边是 present value of life-time consumption,
右边是 present value of life-time resources. 有同学可能会问，既是present value, 为何
不见interest rate? 答案是这里利率为零 （资本边际产出为零：
同时折旧
率也假设为零）。
[习题] 让
成无穷大. 请使用TVC 及FOCs 解出, t=0, 1, 2, …, .