动态最优化第1讲 动态最优化导论
动态优化理论最优决策与动态经济模型
动态优化理论最优决策与动态经济模型动态优化理论（Dynamic Optimization Theory）是指在一定时间范围内，通过调整决策变量来最大化或最小化某个目标函数的理论。
动态优化问题常见于经济学、管理学、工程学等领域，通过数学建模与分析，可以寻求最优决策策略，进而指导实际操作。
一、动态优化理论的基本原理动态优化问题的基本原理是在给定约束条件下，通过对决策变量的调整，使得目标函数在一定时间段内达到最优值。
动态优化问题通常包括状态方程、路径约束和终端约束。
1.1 状态方程状态方程描述了系统状态的演化过程，通常采用微分方程或差分方程的形式表示。
状态方程是衡量系统动态变化的关键因素，对于理解问题的本质和设计决策策略具有重要意义。
1.2 路径约束路径约束是指决策变量的取值必须满足的条件，例如资源限制、技术限制、市场需求等。
路径约束是动态优化问题中的限制条件，对于寻求最优决策具有指导作用。
1.3 终端约束终端约束是指在给定时间段内，目标函数必须满足的条件。
终端约束是动态优化问题中的最终目标，通过调整决策变量来使得目标函数在规定时间内达到最优值。
二、动态优化理论的最优决策方法动态优化理论采用多种数学方法和计算工具，如微积分、动态规划、最优控制理论等，以求解最优决策问题。
2.1 微积分方法微积分方法是解决动态优化问题的基本工具之一。
通过对目标函数和约束条件进行求导，可以得到最优解的局部性质和判别条件。
微积分方法在研究动态经济模型、资本积累问题等方面应用广泛。
2.2 动态规划方法动态规划方法是一种针对递推问题的优化技术。
通过将大问题分解为子问题，并使用递推关系求解，最终得到最优策略。
动态规划方法在资源分配、项目管理等领域具有重要应用。
2.3 最优控制理论最优控制理论是研究在给定目标下，如何使系统状态在一定时间内达到最优值的理论框架。
最优控制理论对于动态经济模型中的决策优化和控制调节具有重要意义。
三、动态经济模型与决策优化动态经济模型是基于动态优化理论构建的经济分析工具，用于研究经济系统的演化过程和决策策略。
经济学中的动态优化理论
经济学中的动态优化理论经济学中的动态优化理论是一种研究经济系统中如何做出最优决策的理论。
它涉及到时间上的连续性和不确定性，旨在寻求在给定的约束条件下，使经济主体能够获得最大化的效益或利润。
1. 动态优化理论的基本原理动态优化理论的基本原理是通过建立数学模型，描述经济主体在不同时间点做出决策的过程。
这些决策可能涉及到资源的分配、投资的决策、消费的选择等。
在建立模型时，需要考虑到不同决策对未来的影响，以及未来的不确定性。
2. 动态规划动态规划是动态优化理论的一个重要工具。
它通过将一个复杂的决策问题分解成一系列简单的子问题，并通过求解这些子问题来得到最优解。
动态规划的核心思想是最优子结构和重叠子问题。
最优子结构指的是一个问题的最优解可以通过其子问题的最优解来构造；重叠子问题指的是在求解一个问题时，需要多次求解相同的子问题。
3. 动态优化理论在经济学中的应用动态优化理论在经济学中有广泛的应用。
其中一个重要的应用领域是资本投资决策。
经济主体在投资决策中需要考虑到未来的收益和风险，并在不同时间点做出最优的投资决策。
动态优化理论可以帮助经济主体在不同的市场条件下，选择最佳的投资组合。
另一个应用领域是消费决策。
经济主体在消费决策中需要平衡当前的消费需求和未来的消费能力。
动态优化理论可以帮助经济主体在不同时间点做出最优的消费决策，以实现最大化的效用。
此外，动态优化理论还可以应用于资源分配、生产计划、价格决策等方面。
通过建立合适的数学模型，经济学家可以分析不同决策对经济系统的影响，并提供决策者制定最优策略的参考。
4. 动态优化理论的局限性动态优化理论虽然在经济学中有着广泛的应用，但也存在一些局限性。
首先，动态优化理论的建模过程需要依赖于一些假设，如理性决策者、完全信息等。
这些假设可能与现实情况存在差异，从而影响到模型的准确性。
其次，动态优化理论在处理复杂问题时可能面临计算上的困难。
一些问题可能存在多个决策变量和多个约束条件，导致求解最优解的计算量很大。
动态优化理论
动态优化理论动态优化理论是一种应用于计算机科学和运筹学领域的重要理论。
它主要关注如何根据不断变化的信息和条件，对问题进行最优化的求解。
动态优化理论的应用广泛，从网络优化到资源分配，都能够从中受益。
一、概述动态优化理论是一种通过不断更新和调整解决方案的方法，以适应问题在时间和空间上的动态变化。
它通过分析和比较不同的决策路径，找到在特定条件下获得最优解的策略。
动态优化理论的核心思想是在每个时间步骤或状态下，基于当前信息做出最优的决策，以达到全局最优解。
二、动态规划动态规划是动态优化理论中最常用的方法之一。
它将问题划分为一系列子问题，并通过求解子问题的最优解来获得原始问题的最优解。
动态规划的关键是将问题划分为可重复的子问题，以及定义递推关系式。
通过计算和存储中间结果，可以大大减少计算量和时间复杂度，提高求解效率。
三、贪心算法贪心算法是另一种常用的动态优化方法。
它不同于动态规划，贪心算法每次只考虑局部最优解，而不管全局情况。
贪心算法的基本原理是每一步都选择当前状态下最优解，而不进行回溯和重新计算。
虽然贪心算法可能无法获得全局最优解，但在某些情况下，它可以提供较好的近似解。
四、动态优化的应用动态优化理论在实际问题中有广泛的应用。
例如，它在网络优化中可以用于路由算法的决策过程，根据不同的网络拓扑和实时负载情况，选择最优的路由路径。
另外，动态优化理论也可以应用于资源分配问题，如航空运输中的航班调度和货物装载优化。
五、案例分析为了更好地理解动态优化理论的应用，我们以货物装载优化为例进行分析。
假设有一艘货船需要在给定的货箱数量和总容量限制下，实现最优的货物装载方案。
根据动态优化理论，我们可以分别考虑不同船舱和货箱的组合，计算每种情况下的装载效益，然后选择最优的组合方案。
六、总结动态优化理论是一种重要的优化方法，它通过考虑问题的动态变化和调整，寻找最优解。
动态规划和贪心算法是动态优化理论中常用的方法。
它们在网络优化、资源分配等问题中有广泛的应用。
动态最优化 徐高的笔记
[
]
(2.1.3)
又由分部积分法可得
∫
T
0
Fy′ p ′(t )dt = Fy′ p (t ) 0 − ∫ p (t )
T 0
[
]
T
T d d Fy′ dt = − ∫ p (t ) Fy′ dt 0 dt dt
]
(2.2.13)
此式可以通过画一个图看出。详见蒋中一《动态最优化基础》76 页图 3.1 4
XG’s 动态最优化笔记
由于 ∆T 是任意的，可得横截条件为
[F + (φ ′ − y ′)F ]
y ′ t =T
=0
(2.2.14)
再加上 yT = φ (T ) 可确定曲线。 情形 IV：截断垂直（水平）终结线： 。做法是，先按照垂直终结线（水平终结线）方法 有终结约束 yT ≥ y min （或 T ≤ Tmax ） 求出最优曲线。检查是否符合约束，若是，则结束。否则按照固定终点问题 (T , y min ) （或
(2.1.4)
T dV (ε ) d = ∫ p (t ) Fy − Fy′ dt = 0 0 dε dt
(2.1.5)
由于 p (t ) 是任意函数，要上式成立，则必须有
Fy −
d Fy′ = 0 ，对于所有 t ∈ [0, T ] dt
y′
[欧拉方程]
(2.1.6)
欧拉方程的其它形式
s.t.
m
g (t , y1 ,L, y n ) ≤ c m
F = F + ∑ λi (t ) ci − g i
数理经济学05-动态最优化基础
第四章 动态最优化基础§4.1 动态最优化的基本问题例：最短路问题图4.1给出了从城市A 到城市B 的路线图（省略了距离单位标注）。
现求一条从A 到B 的最短路线。
图4.1显然，为了从A 到B ，必须先逐步经过C1、C2、C3、C4等诸城市。
而在C1、C2、C3、C4，又都有多种选择。
而关键性的困难是当前的最优选择不一定是全局的最优。
这类问题也称为多阶段决策问题。
§4.2 动态最优化的基本概念阶段：将全过程分为若干个有相互联系的阶段，常用字母t 、k 表示；状态：系统在不同阶段性态。
一般来说，系统在一个阶段有多个状态。
系统在某一阶段的所有可能的状态构成的集合成为状态集，记为S k ；状态变量：表示系统状态的变量，记为s k 。
它与阶段有关；决策：在某一阶段的某一状态下，系统由该状态演变到下一阶段某一状态的选择。
在第k 阶段，处于状态s k 时的所有可能的决策集记为D k （s k ）；决策变量：描述决策的变量，它与阶段与系统在该阶段的状态有关。
在第k 阶段，处于状态s k 时的决策记为d k （s k ）；状态转移：从当前阶段的某一状态转移到下一阶段的某一状态。
状态转移方程：描述状态转移规律的数学方程。
它是当前状态变量与决策变量的函数，即) ,(1k k k k d s T s =+；策略：从起点到终点的每一阶段的决策所构成的决策序列，称为（全局）策略。
自某一阶段起，至终点的决策称为子策略，记为))(,),(()(11,n n k n k s d s d s p =。
指标（目标）函数：性能指标或效用指标，它用来评价决策的效果。
它可分为阶段指标与全局指标两类。
阶段指标是指衡量某一阶段在某一状态下的决策效果的指标。
它仅依赖当前状态和当前决策。
记为))(,(k k k k s d s v ；全局指标是指衡量整个全过程或自某一阶段起至终点的各阶段决策的总体效果的指标。
它是所有各阶段的状态和决策的函数，即动态最优化的主要问题是寻找一个策略，使全局指标最优。
动态规划的最优化原理有哪些内容
动态规划的最优化原理有哪些内容
动态规划的最优化原理包括以下内容：
1. 最优子结构性质：如果一个问题的最优解包含了其子问题的最优解，则称该问题具有最优子结构性质。
简单来说，就是问题的最优解由子问题的最优解构成。
2. 重叠子问题性质：在求解一个动态规划问题时，需解决很多相同或相似的子问题。
为了避免重复计算，可以使用备忘录或者动态规划表来存储已经计算过的子问题的解，以便之后需要时直接查表获取。
3. 无后效性：即一个状态的值一旦确定，就不受之后决策的影响。
在动态规划的状态转移方程中，只关心当前状态和之前的状态，不关心状态之后的发展。
4. 状态转移方程：动态规划的核心就是确定状态转移方程。
通过分析问题的特点，找到问题当前状态和之前状态之间的关系，从而推导出状态转移方程，进而解决整个问题。
动态规划的最优化原理是动态规划算法能够高效解决问题的基础，通过把问题划分为子问题，求解并保存子问题的解，最终得到原问题的最优解。
动态最优化基础 重点汇总
问题（3）与问题（2）不同，它的最优解的 T 个一阶条件不能分别确定， 而是要同时确定，也就是我们实际上要“．一．次．性．”．确．定．一．条．最．优．路．径．。每产出一
路径对应一个利润（目标值），这种路径（而不是单个值）与到实数之间的映射 关系叫泛．函．。在动态优化中，我们处理的问题的目标函数通常是泛函形式，称为 目．标．泛．函．。简而言之，函数是值到值的对应关系，而泛函是路径到值的对应关系。
max
V
[
y
]
=
T
∫0
F
[t,
y,
u
]dt
（7）
st y = f (t, y,u) y(0) = A y(t) 自由 (A,T给定 ）
（7）与（6）不同：①进入目标函数的不是 y ，而是= f 叫运动（转移状态）方程。②基本形式中 y(T ) 自由，
第一章 变分法
第一节 问题的性质（动态优化简介）
一、静态优化问题
如果一个企业要确定一个最优产出水平 x∗ 以最大利润 F（ x ）：
max x≥0 F (x)
（1）
这样的问题的解是一数，即确定选择变量的单个最优值。通常有一阶条件
F′(x∗) = 0 。 并．不．是．有．多．期．的．时．间．就．是．动．态．问．题．。考虑企业的多期（multiperiod）问题：
问题（3）中，我们假设了一个给定的初始点，即初始时间给定，且初始时 刻的产出（状态）已知。注意初始点有两．个．维．度．：时．间．与．状．态．。有时终结点也给 定的，即已知结束的时间与状态。
三、连续时间情形
问题（2）与（3）的连续时间对应物分别是问题（4）与（5）：
T
max ∫0 F (t, x(t))dt st x(t) ≥ 0
动态优化Dynamic Optimization 1p1 Lecture 1. Introduction
... 2 ∂ L / ∂x1∂xk k (−1) ∂g1 / ∂x1 ... ∂g m / ∂x1
... ∂ 2 L / ∂x1∂xk ... 2 ... ∂ 2 L / ∂x1 ∂g1 / ∂xk ... ... ... ∂g m / ∂xk
∂g1 / ∂x1 ... ∂g1 / ∂xk 0 ... 0
Necessary
conditions for a point x* to maximize a twice continuously differentiable function f(x): f ′( x* ) = 0 ( F .O.C )
f ′′( x* ) ≤ 0 ( S .O.C )
5
Nonlinear Programming
For
a twice continuously differentiable function f(x1,x2,…,xn) of n variables, necessary conditions for x*=[x*1,x*2,…,x*n] to maximize f(x1,x2,…,xn) is: F.O.C.: f i ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0, i = 1,2,..., n
6
Nonlinear Programming: Example 1
Maximize f ( x, y ) = xy + 9 y − x 2 − y 3 / 12 F.O.C.: f = y − 2 x = 0 x 2 − = + 9 /4=0 x f x y They are satisfied at (1/2 + (37/4)1/2,1 + 371/2) and at (1/2 − (37/4)1/2,1 − 371/2). S.O.C.: f = −2 < 0, f xx xy = 1, f yy = − y / 2 < 0 −2 1 H = 1 − y / 2 = y −1 They are satisfied at the first solution.
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（4）一个宏观经济学的例子 ——实现一段时间内社会效用最大化
V U QK t , Lt K t dt
T 0
第一讲 动态最优化导论
（三）动态最优化的处理方法
（1）变分法 （2）最优控制理论 （3）动态规划
2. 变分法 （7次课） 3. 最优控制理论（7次课） 4. 动态规划（7次课） 5. 1次答疑 6. 第14周考试
参考书目
主要参考书：
变分法、最优控制理论部分：
1.《动态最优化基础》，蒋中一 [著] 王永宏 [译] 商务印书馆, 1999
动态规划部分：
2.《动态宏观经济理论》（第一章），托马斯.萨金特 [著]
第一讲 动态最优化导论
（一）动态最优化的基本问题
（1）例子：最短路线问题
给出从城市A到E城市的路线图。现求一条从A到E的最短路线。
这类问题也称为多阶段决策问题。
第一讲 动态最优化导论
（一）动态最优化的基本问题
（2）例子：连续变量情形
状态 Z
A
0 T
阶段
第一讲 动态最优化导论
（一）动态最优化的基本问题
第一讲 动态最优化导论
（二）动态最优化的本质：泛函分析
（1）泛函的概念 普通函数：实数到实数的映射
y f x
泛函：路径（曲线）到实数（表现指标）的映射
y t : 是以一个整体表示的时 间路径
V V y t V y
第一讲 动态最优化导论
（二）动态最优化的本质：泛函分析
t , P, P
5 0
（3）一个微观经济学的例子 ——利润最大化厂商实现五年的利润最大化
目标泛函：
V t , P, Pdt
第一讲 动态最优化导论
（二）动态最优化的本质：泛函分析
U t U C t 消费的效用： 生产函数：Q t QK t , Lt 消费： C t QK t , Lt I t QK t , Lt K t 效用函数：U C t U QK t , Lt K t 目标泛函：
动态最优化——经济学方法
学习动态最优化方法的意义：
高级宏观、货币理论的入门知识 文献阅读、论文写作、科研的重要方法
学好的前提：
掌握微积分（特别是微分差分方程部分）、线性 代数、概率论的基本知识
数学规划（主要是库恩-塔克定理）
课程安排
课程：（初定）
1. 导论和基础知识简介（1次课）
第一讲 动态最优化导论
（二）动态最优化的本质：泛函分析
Qd t Dt , P, P 面临的动态需求函数： Qt Qd t Dt , P, P 产出： 总收益函数：R t P t Q t R t , P, P C t C Q t C D t , P, P 成本函数： 总利润函数： t Rt C t R t , P, P C Dt , P, P
（2）目标泛函
路径：1）开始阶段；2）开始状态；3）前进方向 连续时间情形：1）t；2）y t ；3）y t dy / dt 路径值： F t , y t , y t
目标泛函（目标函数）：
V y F t , y t , yt dt
T 0
（3）动态最优化问题的基本要素
1. 一个给定的初始点和一个给定的终结点 2.从初始点到终结点的一组允许路径 3. 充当表现指标（成本、利润等）的一组路径值，它 们与各种路径相联系
4.特定的目标——通过选择最优路径或者最大化或者
最小化路径值或表现指标
第一讲 动态最优化的性质
（一）动态最优化的基本问题
苏剑 [译] 中国社会科学出版社, 1997
参考书目
其它参考书： 入门：
1. 《数理经济学的基本方法》（第4版），蒋中一,凯尔 文.温赖特 [著] 北京大学出版社, 2006 2.《经济理论中的最优化方法》（第2版）， 迪克西特 [著] 格致、上海三联、上海人民出版社, 2006
扩展：
1.《Dynamic Optimization》，Kamien 和 Schwartz [著] 2. 《经济动态的递归方法》 斯托基，卢卡斯，普雷斯科 特 [著] 中国社会科学出版社，1999 3.《动态经济学方法》（第2版） 龚六堂，苗建军 [著] 北京大学出版社，2011
（4）可变端点和横截条件
y t=T y=Z Z=g(T) y
y
A
A
A
Tt （a）垂直终结线问题 （固定时间水平问题）
0
0
t
0
t （c）终结曲线问题
（b）水平终结线问题 （固定端点问题）
第一讲 动态最优化的性质
（一）动态最优化的基本问题
（4）可变端点和横截条件 可变终结点共同特征：决策者拥有比固定终结点情 形多一个的自由度。 在推导最优解时，需要一个附加条件来确定所选的 最优路径。这一把最优路径决定性区别于其它允 方法
经济学方法系统：
（1）数理经济学（数理建模）
基础方法、数学规划、动态优化、随机过程等
（2）计量经济学（实证分析）
经典计量、时间序列分析、微观计量、面板数据、贝 叶斯估计、非参计量等
（3）其它方法
1）博弈论：经典博弈、合作博弈、演化博弈、博弈 学习理论、行为博弈、网络博弈等 2）实验经济学方法 3）计算机计算及模拟：数值计算、模拟仿真等 4）投入产出、应用统计、灰色理论、系统科学等等