质量管理学 第4章 方差分析与正交试验设计

ˆ 2 2.25
ˆ 3 3.85
**缩水率是望小的质量指标,故A2最好。
三、双因素方差分析

目的：检验两个因素对试验结果有无影响。
H 0 A : 1 j 2 j rj j H 0 B : i1 i 2 is i
用偏差平方和S来评价因素的效应
单因素试验：一个试验中考察的因素只有一个。
假设因素 有r 个水平，在Ai 水平下指标全体便构成 一个总体，因此共有r 个总体。假设第i 个总体服从 正态分布，其均值为 μi，方差为σ ，从该总体获得 一容量为m 的样本Yi1 ， Yi2 ，……， Yim, i=1,2,……,r,各样本是相互独立的，其观察值便是观 察到的数据。这种试验称为等重复试验。
i1 i2 im
水平
试验数据
和
均值
A1
A2 ……
Y11, Y12 ,, Y1m Y21 , Y22 ,, Y2 m
……
T1
Y1 Y2
…
T2
…
Ar
Yr1 , Yr 2 ,, Yrm
Tr
Yr
Yij 各不相同 !
总的均值

1 r m Y Yij nm i 1 j 1
引起数据波动的原因：
y
F分布的上a分位点
方差分析表
来源 偏差平方和
SA
自由度
均方和
F值
因素A （组间）
误差e （组内） 总和T
T Yij
i 1 j 1
m
f A r 1 VA S A / f A
VA F Ve
Se
ST
m
fe n r
fT n 1
r m
Ve S e / f e

当H0为真时，因素的水平不同引起的波动SA与随机误
差引起的波动Se相当，都可以看成是由随机波动引起 的，都可以作为误差的方差的某种估计。

当H0为假时，因素的水平不同引起的波动SA相对于随 机误差引起的波动Se而言较大。
引入自由度、均方和概念，评价各波动的影响。 自由度： fT , f A , f e 分别表示ST、SA、Se的自由度
来源 A B e T S
8.6667 150 3.3333 162
f
2 2 4 8
V
4.33333 75 0.83333
F
5.2 90 F0.05(2,4)= F0.01(2,4)=
6.9443 18
结论：
FA F0.05 ( f A , f e )
FB F0.01 ( f B , f e )
问题：消费者与供应厂商间经常出现纠纷。纠纷发生后， 消费者经常会向消费者协会投诉。消协对以下几个行业分 别抽取几家企业，统计最近一年中投诉次数，以确定这几 个行业的服务质量是否有显著的差异。 观测值 行业 1 零售业 57 旅游业 68 航空业 31 家电制造业 44
2 3 4 5 6 7 行业平均 总平均
（1）由于因素A的水平不同，当假设H0不真时，各个
水平下指标的均值不同，使试验结果不同，用组间
偏差平方和SA表达；
（2）由于随机误差e的影响，即使同一水平下获得的
数据也有差异，是除因素Ａ的水平外的一切原因引 起的，属于随机误差，用Se 表达。

波动的表达：
（1）总波动
ST (Yij Y ) 2
i 1 j 1
r
s
自 由 度
f B s 1
f e (s 1)(r 1)
fT f A f B f e
ST S A S B Se
构造统计量
FA ( s 1) S A ~ F ( f A , fe ) Se
FB
(r 1) S B ~ F ( f B , fe ) Se
方差分析的基本思想:

根据波动的来源，将全部观察值总的偏差平方 和及自由度分解为两个或多个部分，除随机误 差外，其余每个部分的波动可由某些特定因素 的作用加以解释。 通过比较不同来源波动的方差，借助F分布作 出统计推断，从而判断某因素对观察指标有无 影响。

在一定置信区间下，确定对指标有影响的显 著因素，确定显著因素的最佳水平。
i 1 j 1
r
m
2 （2）组间偏差平方和 S A m(Yi Y ) i 1
r
（3）组内偏差平方和 三者的关系：
S e (Yij Yi ) 2
i 1 j 1
r
m
ST S A Se
方差分析：

方差分析的假设
H 0 : 1 2 r
H1 : 1 , 2 ,, r 不全相等
结论：
①如果给定α=0.05 ，从 附表5（F分布表）查 得 F0.05 (2,13) 3.81 ，由于F>3.81 ，所以在 α=0.05水平上因素 是显著的。这说明不同工 艺对布的缩水率有明显影响。 ②当因素 是显著时，我们还可以给出三种不同工 艺对布的平均缩水率的估计值分别为：
ˆ 1 8.69
ST (Yij Y ) 2
r s i 1 j 1
fT sr 1 n 1 f A r 1
偏 差 平 方 和
S A s (Yi Y ) 2
i 1
r
S B r (Y j Y )
j 1
s
2
S e (Yij Yi Y j Y ) 2
检验如下假设是否为真：
当 H0不真时，表示不同水 平下指标的均值有显著差 异，此时称因素A 是显著 的，否则称因素A不显著。
H 0：1 2 r
H1：1 , 2 ,, r 不全相等

例4-1：单因素：工厂 3水平：甲、乙、丙3个工厂
单因素3水平试验

例4-2：超声波清洗机清洗玻璃。 指标：清洗合格的数量； 因素：温度、清洗时间、加碱量、超声波频率 水平：若取清洗温度三种状态：
（1） A因素不显著；
（2） B因素高度显著。
第二节 正交试验的基本概念
一、试验设计的基本概念和正交表 （一）试验设计 选择最优方案：合适的配方、最合理的工艺参数、 最佳的生产条件、安排试验方案能做到时间最省， 效果最好，成本最低。
多因素试验：试验次数太多，需要处理试验次数
和试验因素的搭配。
第二节 正交试验的基本概念
零件强度 103 101 98 113 107 108 82 92 84 和 均值 110 412 103 116 444 111 86 344 86
解： 1）计算各类和； 2）计算各类平方和； 3）计算各偏差平方和及自由度； 4）计算因素及误差的均方和； 5）列方差分析表； 6）结论。
结论：不同工厂的零件强度有明显差异； 比较三个的指标，乙厂的零件质量最好。
5、双因素试验、多因素试验
如果在试验中所要考察的影响指标的因素 有两个（或多个），这种试验为双（多）因素试 验。 可采用双（多）因素方差分析方法。
二、单因素方差分析
某试验中只考察因素A对指标的影响，设因素A有 r个水平，在每一水平下进行m次重复试验，结果 为 Y , Y ,, Y i 1,2,, r
66 49 40 34 53 44 49
39 29 45 56 51 48
49 21 34 40
51 65 77 58
35 47.9
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第一节 方差分析

方差分析是鉴别因素效应的一种统计方法。 假设检验的方法。方差分析也就是对波动的分 析。
方差是描述波动的一种指标，方差分析是一种
方差分析是对总波动进行分析，看总波动是由
n=qk
p=(n-1)/(q-1)
2、混合水平正交表 各列水平数不完全相同的正交表 称为混合水平正交表。如L8(41×24)表中有一列的水 平数为4，有4列水平数为2。也就是说该表可以安排1 个4水平因素和4个2水平因素。再如L18(21×37)， L16(4×212)等都混合水平正交表。 不可考察因素间的交互影响。
Ln
p (q )
试验次数 正交表
因素个数
水平数
正交表的类别
1、等水平正交表 各列水平数相同的正交表称为等水平 正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中的水平为2， 称为2水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列水平为3，称 为3水平正交表。可考察因素间的交互影响。
Ln(qp)
r
2 T ST (Yij Y ) 2 Yij n i 1 j 1 i 1 j 1 r m 2
Ti Yij
j 1
2 2 T T S A m(Yi Y ) 2 i n i 1 i 1 m r r
例4-1 三个工厂生产的零件质量评价
50°C ，55°C ，60°C 则清洗温度就是一个三水平因素
四因素、三水平试验
方差分析的基本思想:
方差分析是在相同方差下检验若干个正态总体 均值是否相等的一种统计分析方法。 需要强调的是方差分析是在如下三个假定下， 对假设 H0（或 H1）做出判断的一种统计方法： （1）在水平Ai 下，指标服从正态分布 N ( i , 2 ) （2）在不同水平下，各方差相等； （3）样本相互独立。 ；
哪些部分组成的，这些部分间的关系如何。
第一节 方差分析
一、几个基本概念 1、指标：衡量试验效果的特征量。产品的质量特 性一般会有多个质量指标。 2、因素：影响试验效果的条件（可控、不可控）。 3、水平：因素所处的各个状态（等级）。 t水平因素：因素在试验中需要考察 t 种状态 单因素、三水平
4、单因素试验
第四章 方差分析与正交试验设计

掌握方差分析的原理与方法 了解试验设计（DOE）的相关概念 掌握等水平、无交互作用的正交试验方法